Quy hoạch tuyến tính

BỐ CỤC BÀI GIẢNG
1.Các ví dụ dẫn đến bài toán Quy hoạch tuyến
tính:
1.1 Lââp kế hoạch sản xuất:
1.2 Phân bổ vốn đầu tư:
2. Định nghĩa:


1. Các ví dụ dẫn đến bài toán Quy hoạch tuyến
tính (QHTT):
1.1 Lââp kế hoạch sản xuất:
sản phẩm
Chi phí
Nguyên liêâu 1 (N1)
Nguyên liêâu 2 (N2)
Nguyên liêâu 3 (N3)
Lao đôâng (phút)

L1

L2

L3

Số lượng nguyên
liêâu hiêân có (kg)

4
2
3

10

5
4
6
7

3
3
4
6

15.000
12.000
10.000
500.000

Giả sử rằng sản phẩm sản xuất ra đều có thể tiêu thụ được
hết với lợi nhuâ n
â khi bán môât đơn vị sản phẩm L1, L2, L3
tương ứng là 5000:10000:7000 (đồng). Yêu cầu lâ p
â kế hoạch
sản xuất tối ưu.


Gọi xj là số sản phẩm của Lj (j = 1,2, 3) cần sản xuất (xj
≥ 0, j = 1, 2, 3.)
Theo kế hoạch sản xuất phải tìm lượng nguyên liê âu tiêu
hao là:
N1: 4 x1 + 5 x2 + 3 x3 ≤ 15000

N2:

2 x1 + 4 x2 + 3 x3 ≤ 12000

N3:

3 x1 + 6 x2 + 4 x3 ≤ 10000

Số phút cần sử dụng:

10 x1 + 7 x2 + 6 x3 ≤ 500.000

Tổng lợi nhuâân theo kế hoạch sản xuất là:

5000 x1 + 10000 x2 + 7000 x3
Yêu cầu tối ưu là: 5000 x + 10000 x + 7000 x → max
1
2
3


Mô hình bài toán:
Tìm x = (x1, x2, x3) sao cho:

f ( x ) = 5000 x + 10000 x + 7000 x → max
1
2
3
4 x + 5 x + 3x ≤ 15000
2

3
 1
2 x + 4 x + 3x ≤ 12000
2
3
 1

3x1 + 6 x2 + 4 x3 ≤ 10000

10 x1 + 7 x2 + 6 x3 ≤ 500000

 x j ≥ 0, j = 1, 2,3


Tổng quát: ta có bài toán lââp kế hoạch sản xuất
dưới dạng bảng số liêâu sau đây:
Yếu tố
Số lượng
sản xuất hiêân có
S1

Sản phẩm
S2

…

Sn

Y1

b1

a11

a12

…

a1n

Y2

b2

a21

a22

…

a2n

…
…
Ym

…
…
bm

…
…
am1

…
…
am2

…
…
…

…
…
amn

c1

c2

…

cn

Lợi nhuâân đơn vị


Mô hình:
Tìm x = (x1, x2,…, xn) sao cho:

n
f = ∑ c j x j → max
j =1
n
∑ aij x j ≤ bi , i = 1,..., m
j =1

x j ≥ 0, j = 1,..., n


2.2 Phân bổ vốn đầu tư:
Môât nhà đầu tư có 4 tỉ đồng muốn đầu tư vào 4 lĩnh vực
Lĩnh vực đầu tư
Cổ phiếu
Công trái
Gửi tiết kiêâm
Bất đôâng sản

Lãi suất/năm
20%
12%
15%
18%

Ngoài ra, để giảm thiểu rủi ro, nhà đầu tư cho rằng
không nên đầu tư vào cổ phiếu vượt quá 30% tổng
số vốn đầu tư; đầu tư vào công trái và gửi tiết kiê âm
ít nhất 25% tổng vốn đầu tư; gửi tiết kiêâm ít nhất
300 triêâu đồng. Hãy xác định kế hoạch phân bổ vốn
đầu tư sao cho tổng lợi nhuận hàng năm là lớn

nhất.


Gọi x1, x2, x3, x4 tương ứng là số tiền (triêâu đồng) đầu
tư vào chứng khoán, công trái, gửi tiết kiê âm, bất đôâng
sản ( x j ≥ 0, j = 1,..., 4 )
• Do tổng số tiền đầu tư không được vượt quá số tiền
hiêân có nên: x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 4000 (triêâu đồng)
•Điều kiêân về số tiền đầu tư vào chứng khoán:

x ≤ 0,3( x + x + x + x ) ⇔ −0,7 x + 0,3x + 0,3x + 0,3x ≥ 0
1
1 2 3 4
1
2
3
4

•Điều kiêân về số tiền đầu tư vào công trái và gửi tiết kiê âm:

x2 + x3 ≥ 0, 25 ( x1 + x2 + x3 + x4 ) ⇔ −0, 25 x1 + 0, 75 x2 + 0, 75 x3 − 0, 25 x4 ≥ 0

Và

x3 ≥ 300

•Lãi suất của năm là:
•Yêu cầu tối ưu:

0, 2 x1 + 0,12 x2 + 0,15 x3 + 0,18 x4

0, 2 x1 + 0,12 x2 + 0,15 x3 + 0,18 x4 → max


Mô hình:
Tìm x = ( x1, x2, x3, x4) sao cho:

f ( x) = 0, 2 x1 + 0,12 x2 + 0,15 x3 + 0,18 x4 → max

x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 4000
−0,7 x + 0,3x + 0,3x + 0,3x ≥ 0
1
2
3
4

−0, 25 x1 + 0, 75 x2 + 0, 75 x3 − 0, 25 x4 ≥ 0
x3 ≥ 300
x j ≥ 0, j = 1,..., 4


Vâây để lââp mô hình toán học của môât bài toán thực
tế, ta phân tích bài toán đó theo 3 bước sau:
Bước 1: Đăât ẩn và điều kiêân cho ẩn.
Bước 2: Lââp hêâ ràng buôâc chính
Bước 3: Lââp hàm mục tiêu


2. Định nghĩa:
Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát có dạng:

Tìm x = (x1, x2, …,xn) sao cho:
n

f ( x) = ∑ c j x j → min ( max )
j =1

hàm mục tiêu

Với hêâ ràng buôâc:

≤


n


aij x j  =  bi , i = 1,..., m
∑
j =1
≥ 
≥ 0 


x j ≤ 0  , j = 1, 2,..., n
 tuy y 

ràng buôâc biến
(ràng buôâc chính)

ràng buôâc dấu

 Môât số khái niêâm:
 Vectơ x=( x1, x2,…, xn) được gọi là phương án (PA) của
bài toán QHTT nếu nó thỏa mãn hê â ràng buôâc của bài toán
 Phương án x*=( x1*, x2*, …, xn*) được gọi là phương án
tối ưu (PATƯ) của bài toán QHTT nếu giá trị hàm mục
tiêu tại đó là tốt nhất.
 Giải bài toán QHTT tức là tìm phương án tối ưu của nó
(nếu có).


 Môât số khái niêâm:
Bài toán giải được là bài toán có PATƯ.
Bài toán không giải được là bài toán không có PATƯ.
Khi đó hoăâc là bài toán không có phương án hoă âc có
phương án nhưng hàm mục tiêu không bị chă ân
(

f ( x ) → +∞ ( −∞ )

đối với bài toán max (min)).

 Nếu phương án x thỏa mãn ràng buôâc nào đó với
dấu “=” thì ta nói x thỏa mãn chă ăt ràng buôâc đó. Ngược
lại nếu thỏa dấu “>” hoăâc “<” thì ta nói thỏa mãn lỏng
ràng buôâc đó.


 Môât số khái niêâm:

- Ứng với ràng buôâc thứ i ta có vectơ Ai* = (ai1, ai2, …,ai3).
- Ký hiêâu:

 a1 j 
  là vectơ các hêâ số của biến xj trong các
a2 j 

Aj =
.  ràng buôâc (không kể ràng buôâc dấu).
 
 amj 
- Hêâ vectơ Ai* tương ứng với các ràng buôâc chính tạo
thành ma trâ ăn ràng buô ăc chính, ký hiêâu là A.
- Các ràng buôâc gọi là ràng buô ăc đô ăc lâ ăp tuyến tính nếu
hêâ véctơ Ai* tương ứng đôâc lââp tuyến tính.


 Môât số khái niêâm:
- Phương án cực biên (phương án cơ bản): là phương
án thỏa mãn chăât n ràng buôâc đôâc lââp tuyến tính.
+ Phương án cực biên (PACB) thỏa mãn chă ât đúng n
ràng buôâc gọi là PACB không suy biến, PACB thỏa mãn
chăât hơn n ràng buôâc gọi là PACB suy biến.


Ví dụ 1:

f ( x ) = 10 x1 + 12 x2 + 9 x3 → max
2 x1 + x2 − x3 + x4 ≥ 5
−4 x + 3x − 5 x + 2 x ≤ 8

1
2
3
4

 x1 + 8 x3 = −15

 x1 ≥ 0
 x2 ≤ 0

 x4 ≥ 0
x 0 = ( 9, 0, −3, 0 ) là một phương án.
x1 = ( 1, 0, −2,1) là một phương án cực biên.


Mô hình bài toán:
Tìm x = (x1, x2, x3) sao cho:

f ( x ) = 5000 x + 10000 x + 7000 x → max
1
2
3

Hàm mục
tiêu

4 x + 5 x + 3x ≤ 15000
2
3
 1

2 x + 4 x + 3x ≤ 12000
2
3
 1
Hêâ ràng buôâc chính

3x1 + 6 x2 + 4 x3 ≤ 10000

10 x1 + 7 x2 + 6 x3 ≤ 500000

Hêâ ràng buôâc dấu
 x j ≥ 0, j = 1, 2,3


3. Các dạng đăâc biêât của bài toán QHTT:
a. Bài toán QHTT dạng chính tắc:
n

f ( x ) = ∑ c j x j → max ( min )
j =1

n

∑ aij x j = bi ( i = 1,..., m )
j =1

x j ≥ 0 ( j = 1,..., n )
Định lý: Phương án x của bài toán QHTT dạng chính tắc
là phương án cực biên khi và chỉ khi hê â thống các vectơ
{Aj} tương ứng với các thành phần dương của phương

án là đôâc lââp tuyến tính.


Ví dụ 2: Cho bài toán QHTT có hệ ràng buộc:

x1 + 2 x2 + x4 = 4
3 x2 + x3 + 2 x4 = 3
x j ≥ 0; j = 1,..., 4
Các phương án
x1 = (4; 0; 3; 0); x2 = (2; 1; 0; 0); x3 = (0; 1/2; 0; 3/4)
là các PACB theo định lý trên.


* Cách biến đổi bài toán QHTT dạng tổng quát về dạng
chính tắc:
- Nếu có ràng buôâc dấu dạng x j
với
.

≤ 0 thì đă tâ x’j = -xj ,

x′j ≥ 0

- Nếu xj không có ràng buôâc dấu đăât

x j = x j′ − x j′′

với

x j′ , x j′′ ≥ 0

≥

-Nếu có ràng buôâc dạng ∑ aij x j  ÷bi thì thay bằng
≤
j =1
n

−
  p
p
aij x j  ÷xi = bi với
xi ≥ 0
n

∑
j =1

+

Ví dụ 3: đưa bài toán QHTT ở ví dụ 1 về dạng chính tắc.


Ví dụ 4: Đưa bài toán QHTT sau về dạng chính tắc.

f ( x ) = 2 x1 + x2 + 3x3 → min
x1 + 2 x2 + 2 x3 ≥ 2
2 x1 + x2 + x3 = 3
x1 + x2 + 2 x3 ≤ 6
x1 ≥ 0; x2 ≤ 0; x3 tuy y

b. Bài toán dạng chuẩn:
* Môât ma trâân chứa các vectơ Aj lââp được thành môât ma
trâân đơn vị được gọi là ma trâ ân chứa ma trâân đơn vị.


* Bài toán QHTT dạng chuẩn là:
+ Bài toán QHTT dạng chính tắc.
+

bi ≥ 0 ( i = 1,..., m )

+ Ma trâân hêâ số chứa ma trâân đơn vị.
Ví dụ:

f ( x ) = 2 x1 + 5 x2 + 4 x3 + x4 − x5 − x6 → min
x1 − 6 x2 − 2 x4 − 9 x5 = 30
4 x2 + x3 + x4 + 3 x5 = 40
3 x2 + x5 + x6 = 26
x j ≥ 0 ( j = 1,...,6 )


 Bằng cách sắp xếp lại bài toán QHTT dạng chuẩn
có dạng.

n
f ( x ) = ∑ c j x j → max ( min )
j =1
x1 +

x2 +

a
xm+1 + .... + a1n xn = b1
1( m+1)
a

xm+1 + .... + a2n xn = b2
2( m+1)

xm + a
xm+1 + .... + amn xn = bm
m( m+1)

x j ≥ 0 ( j = 1,..., n ) ; bi ≥ 0 ( i = 1,..., m )

 Các biến có vecto cột hệ số tạo thành ma trâ ân đơn vị
gọi là biến cơ sở. Biến còn lại gọi là biến phi cơ sở.