Chương 6 ước LƯỢNG THAM số THỐNG kê

Chương 6:

ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
THỐNG KÊ


I. Mẫu thống kê :
Ký hiệu X là đặc tính cần nghiên cứu trên các phần
tử của tập hợp M.
M gọi là tổng thể, số phần tử của M ký hiệu là N.
Thông thường không thể lấy hết các phần tử của M để
quan sát X vì những lý do sau
- Số N quá lớn.
- Thời gian và kinh phí không cho phép.
- Có thể làm hư hại hết các phần tử của M.
Vì vậy người ta thường lấy một số phần tử của M
để quan sát X, các phần tử này gọi là mẫu lấy từ M.
Số phần tử của mẫu gọi là cỡ mẫu, ký hiệu là n.


Điều kiện để chọn mẫu :
- Các phần tử của mẫu lấy ngẫu nhiên từ M.
- Các phần tử của mẫu được lấy một cách độc lập
với nhau.
Ký hiệu Xi là giá trị quan sát X trên phần tử thứ i của
mẫu. Khi đó ta có một bộ n biến ngẫu nhiên
(X1 , …, Xn ) gọi là mẫu lý thuyết lấy từ M.


Tính chất mẫu lý thuyết :
1) Các Xi có cùng phân phối như X.

2) Các Xi độc lập với nhau.
Khi đã lấy mẫu cụ thể xong ta có các số liệu
( x1 , … , xn ) và gọi là mẫu thực nghiệm lấy từ X.
Phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản :
Đánh số các phần tử của M từ 1 đến N. Và lập các
phiếu cũng đánh số như vậy.
Trộn đều các phiếu, sau đó lấy lần lượt có hoàn lại
n phiếu. Các phần tử của M có số thứ tự trong các
phiếu lấy ra sẽ được chọn làm mẫu.


II. Các đặc trưng mẫu :
Cho mẫu (X1 , …, Xn ), ký hiệu EX = μ và DX = σ2.
1. Trung bình mẫu :
1 n
X = ∑ Xi
n i =1
nμ
1 n
EX = ∑ EX i =
=μ
n i =1
n
1
DX = 2
n
DX =

nσ 2 σ 2
DX i = 2 =

∑
n
n
i =1
n

σ
n


‰

Mẫu thực nghiệm : ( x1 , … , xn )

1 n
X = ∑ xi
n i =1
a) Mẫu có lặp :
X

x1 . . .

xk

Tổng

ni

n1 . . .

nk

n

Trong đó ni là tần số giá trị xi trong mẫu và

n1+ …+ nk = n.

1 k
X = ∑ ni xi
n i =1


b) Mẫu chia khoảng :
X

(a1, a2]

ni

n1

. . . (ak, ak+1] Tổng
...

nk

n

Trong đó ni là tần số giá trị trong mẫu rơi vào

(ai,ai+1] và n1+ …+ nk = n.

ai + ai +1
θi =
2
1 k
X = ∑ niθi
n i =1


2. Phương sai mẫu :

1 n
s = ∑ ( X i − X )2
n i =1
n −1 2
2
Es =
σ
n
2

s 2 = X 2 − ( X )2
n
1
X 2 = ∑ X i2
n i =1


Phương sai mẫu có điều chỉnh :

n
1
2
(
)
S2 =
X
−
X
∑ i
n − 1 i =1
n 2
2
S =
s
n −1
ES 2 = σ 2
‰ Cho mẫu thực nghiệm ( x1 , … , xn ).
a) Mẫu có lặp :
k
1
s 2 = ∑ ni ( xi − X ) 2
n i =1

1 k
2
(
)
−
S =

n
x
X
∑ i i
n − 1 i =1
1 k
2
X = ∑ ni xi2
n i =1
2


b) Mẫu chia khoảng :
k
1
s 2 = ∑ ni (θi − X ) 2
n i =1
k
1
2
S2 =
n
θ
−
X
(
)
∑i i
n − 1 i =1

1 k
X = ∑ niθi2
n i =1
2

3. Tỷ lệ mẫu :
Giả sử tham số p là tỷ lệ các phần tử loại L trên
tổng thể M. Xét mẫu (X1 , …, Xn), với Xi = 1 nếu
phần tử thứ i của mẫu thuộc loại L, Xi = 0 nếu
ngược lại.


Gọi m số phần tử loại L trên mẫu, khi đó m = X1 + ... + Xn
m
và f =
được gọi là tỷ lệ mẫu (tần suất) của các
n

phần tử loại L (trên mẫu).
m 1
np
Ef = E = ( EX1 + ... + EX n ) =
=p
n n
n
m 1
npq pq
Df = D = 2 ( DX1 + ... + DX n ) = 2 =
n n
n

n
III. Ước lượng điểm :
Giả sử θ là tham số chưa biết của biến ngẫu nhiên X.
Dựa vào mẫu (X1 , …, Xn ) cần tìm đại lượng θˆ ( X 1 ,..., X n )
làm xấp xỉ cho θ, gọi là ước lượng điểm của θ.


1. Ước lượng không chệch
θˆ ( X 1 ,..., X n ) được gọi là ước lượng không chệch
của θ nếu
Eθˆ ( X 1 ,..., X n ) = θ
Khi đó sai số của ước lượng bằng
E (θˆ ( X 1 ,..., X n ) − θ ) = 0

2. Các phương pháp tìm ước lượng điểm :
Hợp lý cực đại, Bình phương nhỏ nhất.
Ví dụ : Các tham số của biến X là μ = EX và DX= σ2.
• X là ước lượng không chệch của μ .
• s2 là ước lượng chệch của σ2.
• S2 là ước lượng không chệch của σ2.
• f là là ước lượng không chệch của tỷ lệ p.


IV. Ước lượng tham số bằng khoảng tin cậy (KTC) :
1. Khái niệm chung :
Giả sử θ là tham số chưa biết của biến ngẫu nhiên
X. Dựa vào mẫu (X1 , …, Xn ) cần tìm hai đại lượng
θ1(X1 , …, Xn ) , θ2(X1 , …, Xn ) sao cho
P(θ1 ≤ θ ≤ θ2 ) = γ

(*)

với γ đủ lớn cho trước , thường γ = 95% hay 99%.
Xác suất γ gọi là độ tin cậy của ước lượng khoảng.
Khoảng [θ1 , θ2] gọi là khoảng tin cậy cho θ.
Ý nghĩa của (*) : Có γ100% số lần lấy mẫu cỡ n thì
θ ∈[θ1 , θ2].
Có (1-γ)100% số lần lấy mẫu cỡ n thì θ ∉[θ1 , θ2].


2. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng :
Giả sử tham số là μ = EX chưa biết của biến ngẫu
nhiên X và σ2= DX. Dựa vào mẫu (X1 , …, Xn )
cần tìm hai đại lượng μ1(X1 , …, Xn ) , μ2(X1 , …,Xn )
sao cho
P(μ1 ≤ μ ≤ μ2 ) = γ
1) Khi n ≥ 30, σ2 đã biết.
Xét thống kê

Z=

X −μ

σ

~ N (0,1)

n
Dựa vào luật phân phối đã biết của Z ta tìm z
sao cho P( Z ≤ z ) = γ .

Từ đó ta có

σ

μ1,2 = X ± z1+γ

n

2

Trong đó là z1+γ phân vị mức
2
là

Φ ( z1 + γ
2

1+ γ
)=
2

2) Khi n ≥ 30, σ2 không biết.

μ1,2 = X ± z1+γ
2

S
n

1+ γ
2

của Φ(x), tức


3) Khi n < 30, σ2 đã biết và X ~ N(μ, σ2 )

μ1,2 = X ± z1+γ
2

σ
n

4) Khi n < 30, σ2 không biết và X ~ N(μ, σ2 ).
Xét thống kê
T=

X −μ
~ t (n − 1)
S
n

Dựa vào luật phân phối Student với (n -1) bậc
tự do của T ta có
n −1 S
μ1,2 = X ± t
1 +γ
n

2


Trong đó

t

n −1
1+γ
2

1+ γ
là phân vị mức
2

của luật

phân phối Student với (n-1) bậc tự do.
3. Khoảng tin cậy cho tỷ lệ :
Giả sử tham số p là tỷ lệ các phần tử loại L trên
tổng thể M. Xét mẫu (X1 , …, Xn) với Xi = 0 nếu
phần tử thứ i của mẫu thuộc loại L, Xi = 1 nếu
ngược lại. Cần tìm hai đại lượng p1(X1 , …, Xn),
p2(X1 , …, Xn) sao cho
P(p1 ≤ p ≤ p2 ) = γ


Xét mẫu cỡ lớn : nf ≥ 10, n(1-f) ≥ 10 và thống kê

Z=

f−p
~ N (0,1)
p(1 − p )
n

Trong đó f tỷ lệ mẫu.
Từ đó

p1,2 = f ± z1+γ
2

f (1− f )
n


4. Độ chính xác của ước lượng và xác định cỡ mẫu :
1) Trường hợp kỳ vọng
Độ chính xác của ước lượng cho tham số μ =EX
với độ tin cậy γ là số ε > 0 sao cho

P( X − μ ≤ ε ) = γ
Từ đó, ta có

ε = z1+γ

σ

2

n

ε = z1+γ

S
n

2

, nếu σ2 đã biết

, nếu σ2 không biết


•

Cho ε và γ tìm cỡ mẫu n :

⎡
σ⎤
n ≥ ⎢ z1+γ ⎥
⎢⎣ 2 ε ⎥⎦

2

⎡
S⎤
n ≥ ⎢ z1+γ ⎥
⎢⎣ 2 ε ⎥⎦

2

, nếu σ2 đã biết.

, nếu σ2 không biết.


2) Trường hợp tỷ lệ
Độ chính xác của ước lượng f cho tham số p
với độ tin cậy γ là số ε > 0 sao cho

P( f − p ≤ ε ) = γ
Từ đó, ta có

ε = z1+γ
2

•

f (1 − f )
n

Cho ε và γ tìm cỡ mẫu n

⎡
n ≥ ⎢ z1+γ
⎢⎣ 2

f (1 − f ) ⎤
⎥

ε
⎥⎦

2