Bài giảng toán cao cấp 2 bài 1 2

Bài 1.2:

CHUỖI SỐ DƯƠNG


NỘI DUNG:
1.2.1. Các định lí so sánh
1.2.2. Quy tắc D’Alembert
1.2.3. Quy tắc Cauchy
1.2.4. Quy tắc tích phân


Định nghĩa:


Chuỗi số  u n được gọi là chuỗi số dương nếu
n 1

un  0, n  1, 

Ví dụ:

1

n 1 n



2

n


n
n 1 ( n  1)!2



2

n 1

n 1 n  1

Các
Các chu
chuỗỗiitrên
trên có
là ph
nhữ
ảing
là
chuỗchu
i sốỗdi ươ
số ng
dươ
không
ng ?


Điều kiện đủ để chuỗi số dương hội tụ

Nếu dãy số S n bị chặn trên , n  1,  tức là A  0


sao cho

S n  A,  n

thì chuỗi số dương  u n hội tụ.
n 1

Nếu dãy số Sn không bị chặn trên, Sn ∞ khi
n∞ thì chuỗi số phân kì


1.2.1 Các định lí so sánh
a. Định lí 1.2: (Tiêu chuẩn so sánh 1)




Cho hai chuỗi số dương  u n và  vn
n 1

n 1

trong đó u n  v n ,  n  1
Khi đó ta có:




- Nếu  v n hội tụ thì  u n hội tụ.
n 1

n 1





- Nếu  u phân kì thì  v n phân kì
n

n 1

n 1


Ví dụ:
Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau


a)

3
n 1

1
n .3 n



1
b)  3
n 1 n




1
c)  n
n 1 2  1

d)


n 1

n  1  n 1
3
n


b. Định lí 1.3: (Tiêu chuẩn so sánh 2)


un
K
Cho 2 chuỗi số dương  u n và  vn . Giả sử nlim
 v

n 1
n 1
n


Khi đó ta có:




- Nếu 0 < K < +∞ thì

 u và  v cùng hội tụ
n

n 1

n

n 1

hoặc cùng phân kì




- Nếu K = 0 và nếu

 v hội tụ thì  u hội tụ.
n

n

n 1

n 1



- Nếu K = +∞ và nếu

v
n 1



n

phân kì thì  u n phân kì.
n 1


Ví dụ:
Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số.




1
a)  n

n 1 2  1

b) 

n 1





 1
c)  ln1  
n
n 1 

d)

1
3

n



 sin 2n
n 1


Chú thích


Cho chuỗi số dương  un , trong đó un
n 1

 0 khi n  ∞. Nếu tồn tại 1 VCB vn


tương đương với VCB un thì  un hội
n 1



tụ (phân kì) nếu  vn hội tụ (phân kì)
n 1


1.2.2 Quy tắc D’Alembert
un1
Cho chuỗi số dương  u n . Giả sử lim
l
n 1
n un
Khi đó:




* Nếu l < 1 thì

u

n

hội tụ

n 1


* Nếu l > 1 thì 
n 1

un

phân kì (l có thể = +∞)


Ví dụ
Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số


n



3
b)  3
n 1 n



(n!)
d ) n (  R)
n 1 n

2n  1
a ) n
n 1 3

n!
c) n
n 1 n




1.2.3 Quy tắc Cauchy


n u l
Cho chuỗi số dương  u n . Giả sử nlim
n

n 1

Khi đó: * Nếu l < 1 thì



 u hội tụ
n

n 1


* Nếu l > 1 thì  u n phân kì.
n 1

Ví dụ Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số:


 2n  1 
a)  

n1  3n  5 

n
2



 5n  1 
b)  

n 1  2 n  3 

n2


1.2.4 Quy tắc tích phân
Nếu hàm f(x) liên tục, dương, giảm trong [a, +∞)

với a ≥ 1, f(x)  0 khi x  +∞ và chuỗi số dương


u

có u n  f (n), n  1,

n

n 1

Khi đó:


-

Nếu  f ( x) dx hội tụ thì chuỗi số  u n hội tụ
1


-



n 1



Nếu  f ( x) dx phân kì thì chuỗi số  u n phân kì
1

n 1


Ví dụ:
Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số:


a) 

n 1

1
n

1
b) 
2
n2 n (lnn)



Chú ý
Một số chuỗi số đặc biệt thường dùng để so
sánh khi xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi
số


1
1) 

n 1 n


2)  q
n 1

n

 Hội tụ khi   1

 Phân kì khi   1

 Hội tụ khi q  1

 Phân kì khi q  1