ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT SỰ BIẾN
THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Tên bài dạy

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I/ Mục tiêu :
1/Kiến thức : Hiểu biết và vận dụng :
Giúp học sinh thông hiểu điều kiện (chủ yếu là điều kiện đủ) để hàm số đồng biến
hoặc nghịch biến trên một khoảng, một nửa khoảng hoặc một đoạn.
2/Kỹ năng : Giúp học sinh vận dụng một cách thành thạo định lý về điều kiện đủ
của tính đơn điệu để xét chiều biến thiên của hàm số
3/ Tư duy thái độ :
- Phát triển khả năng tư duy logic, đối thoại, sáng tạo.
- Biết quy lạ thành quen.
Tập trung tiếp thu , suy nghĩ phát biểu xây dựng bài
II/ Chuẩn bị :
1/ Giáo viên: giáo án , dụng cụ vẽ
2/ Học sinh : đọc trước bài giảng
III/ Phương pháp : Đàm thoại ,gợi mở , đặt vấn đề
IV/ Tiến trình bài học :
4.1/ Ổn định lớp : kiểm tra sĩ số , làm quen cán sự lớp
4.2/ Kiểm tra kiến thức cũ
Câu hỏi 1 : N êu định nghĩa đạo hàm của hàm số tại điểm x0
Câu hỏi 2 : Nêu định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến ở lớp 10 , từ đó nhận xét dấu
tỷ số

f ( x 2 )  f ( x1 )
x 2  x1

trong các trường hợp

GV : Cho HS nhận xét và hoàn chỉnh
GV : Nêu mối liên hệ giữa tỷ số đó với đạo hàm của hàm số y = f(x) tại 1 điểm x
K

đồng thời đặt vấn đề xét tính đơn điệu của hàm số trên 1 khoảng , đoạn ,nữa
khoảng
bằng ứng dụng của đạo hàm
4.3/ Bài mới:
Hoạt động 1: Giới thiệu định nghĩa và điều kiện cần của tính đơn điệu
HOẠT ĐỘNG CỦA
THẦY
- Yêu cầu học sinh
nhắc lại định nghĩa
hàm số đồng biến,

HOẠT ĐỘNG CỦA
TRÒ
Học sinh phát biểu
Hàm số được gọi là đồng

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU
I/ ĐỊNH NGHĨA:
Giả sử K là một khoảng, một nữa
khoảng, một đoạn và f là hàm số


nghịch biến đã học ở
biến trên K
 x1 , x2  K , x1  x2

lớp 10.(Giã sử K là
một khoảng, đoạn, nửa f ( x1 )  f ( x 2 )
0
khoảng)
x1  x2
- Ở lớp 10 thay vì
Tương tự với hàm số
dùng định nghĩa trên
nghịch biến trên K.
để xét sự đồng biến,
nghịch biến của hàm
số ta có thể dùng kiến
thức nào?
- Nêu lại định nghĩa về
sự đơn điệu của hàm
số trên một khoảng K
(K  R).

xác định trên K.
+ Hàm số f gọi là đồng biến trên K
nếu:
x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

+ Hàm số f gọi là nghịch biến trên
K nếu:
x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

II/ ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA TÍNH
ĐƠN ĐIỆU:
Người ta chứng minh được kết quả

sau:
Giả sử hàm số f có đạo hàm trong
khoảng I
+ Nếu hàm số f đồng biến trong
khoảng I thì f / ( x)  0, x  I
+ Nếu hàm số f nghịch biến trong
khoảng I thì f / ( x)  0, x  I

Hoạt động 2: Giới thiệu điều kiện đủ của tính đơn điệu
HOẠT ĐỘNG CỦA
THẦY
+ Giáo viên
Giới thiệu định lí về
đk đủ của tính đơn
điệu
-Nêu chú ý về trường
hợp hàm số đơn điệu
trên doạn , nữa
khoảng ,nhấn mạnh
giả thiết hàm số f(x)
liên tục trên đoạn ,nữa
khoảng
Giới thiệu việc biểu
diển chiều biến thiên
bằng bảng

HOẠT ĐỘNG
CỦA TRÒ
+ Học sinh
Chú ý lắng nghe bài

giảng
Ghi chép bài cẩn
thận

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU
III/ ĐỊNH LÝ:
Giả sử hàm số f có đạo hàm trong khoảng
I
+ Nếu f / ( x)  0, x  I thì hàm số f đồng
biến trong khoảng I
+ Nếu f / ( x)  0, x  I thì hàm số f đồng
biến trong khoảng I
Chú ý:
Khoảng I trong định lý trên có thể thay
bởi một đoạn, một nữa khoảng. Khi đó
phải bổ sung giả thiết “ Hàm số liên tục
trên đoạn hoặc nữa khoản đó”. Chẳng
hạn:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn  a, b  và
có đạo hàm f / (x) > 0 trên khoảng  a, b 
thì hàm số f đồng biến trên đoạn  a, b 


Chiếu (vẽ) đồ thị
hình 1:
Chiếu (vẽ) đồ thị hình Từ hình 1, hãy chỉ
1:
các khoảng mà hàm
Từ hình 1, hãy chỉ các số đồng biến,
khoảng mà hàm số

nghịch biến.
đồng biến, nghịch
biến.

Hoạt động 3: Một số ví dụ minh họa
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY
+ Giáo viên
- Cho học sinh nhắc lai
định lí về đk đủ của
tính đơn điệu
- Đưa ra các ví dụ và
hướng dẫn cho học
sinh giải các ví dụ
+ Giáo viên gọi một học sinh
lên bảng giải ví dụ 2. Sau đó
cho học sinh nhận xét cách
giải giải và từ đó rút ra nhận
xét về bài toán xét chiều biến
thiên của hàm số
+ Giáo viên gọi một học sinh
lên bảng giải ví dụ 3. Sau đó
cho học sinh nhận xét cách
giải giải và từ đó rút ra nhận
xét về bài toán xét chiều biến
thiên của hàm số
Trong ví dụ 3, ta có thể khẳng
định hàm số đồng biến trên
nữa khoảng được hay không?

HOẠT ĐỘNG CỦA

TRÒ
+ Học sinh
- Phát biểu lại định lí về
đk đủ của tính đơn điệu
- Theo dõi cách giải ví
dụ 1
- Từ đó học sinh giải ví
dụ 2, 3
Nêu ví dụ 3
- yêu cầu học sinh thực
hiện các bước giải
- Nhận xét , hoàn thiện
bài giải
Ghi chép thực hiện bài
giải
- TXĐ
- tính y /
- Bảng biến thiên
- Kết luận
+ Học sinh nhận xét và
trả lời câu hỏi của giáo
viên
Giáo viên cho học sinh
về nhà giải ví dụ 4

GHI BẢNG – TRÌNH
CHIẾU
IV/ Một số ví dụ
Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên
của hàm số

y = x4 – 2x2 + 1
Giải
- TXĐ D = R
- y / = 4x3 – 4x
-

y / = 0 <=>[

x0
x  1

- Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các
khoảng (-1;0) và (1 ; +  )
Hàm số nghịch biến trên các
khoảng (-  ;-1) và (0;1)
Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên
của hàm số
y=x+

1
x

Bài giải : ( HS tự làm)
Ví dụ 3: Tìm các khoảng đơn
điệu của hàm số y = 3x +

3
x

Nếu được thì cần bổ sung gì? Ví dụ 4: c/m HS y =
+ Học sinh nhận xét và trả lời
9  x2
câu hỏi của giáo viên
nghịch biến trên [0 ; 3]
Giáo viên cho học sinh về nhà
Giải
giải ví dụ 4
TXĐ D = [-3 ; 3] , hàm
số liên tục trên [0 ;3 ]
x

y/ =

9  x2

< 0 với  x

 (0; Vậy hàm số

+5
Hàm số xác định với x  0.
Ta có y’ = 3 -

3 x 2  1
x2

3
=

x2

, y’ = 0  x =  1

và y’ không xác định khi x =
0.

nghịch biến trên [0 ; 3 ]
c) Ta có bảng xét dấu của đạo hàm và các khoảng đơn điệu của hàm số đã cho:
x -
y’
y

+

-1
0

-

0
||

-

1
0

+
+

Kết luận được: Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ; -1); (1; + ).
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (- 1; 0); (0; 1).
4.4/ Cũng cố và luyện tập:
- Phát biểu định lí điều kiện đủ của tính đơn điệu? Nêu chú ý
- Nêu các bước xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng I?
- Phương pháp c/m hàm sốđơn điệu trên khoảng ; nữa khoảng , đoạn
- Nắm vững các định lí điều kiện cần , điều kiện đủ của tính đơn điệu
- Các bước xét chiều biến thiên của 1 hàm số