một số bài toán liên quan đến ma trận trong các kì thi olympic toán sinh viên toàn quốc

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƢ PHẠM
BỘ MÔN SP TOÁN HỌC
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN
TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN
SINH VIÊN TOÀN QUỐC
Giáo viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

ThS. Trang Văn Dễ

Nguyễn Thị Thảo Hạnh
MSSV: 1110099
Lớp: SP Toán_Tin học K37

Cần Thơ, 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của ThS. Trang
Văn Dễ . Tôi xin phép được gửi đến thầy sự kính trọng và long biết ơn sâu sắc về sự
tận tâm của Thầy đối với bản thân tôi không những trong thời gian làm luận văn mà
còn trong suốt quá trình học tập. Đồng thời, tôi xin được bày tỏ nguyện vọng tiếp tục

tìm hiểu toán học dưới sự hướng dẫn của Thầy.
Tôi cũng xin phép được gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô đã giảng dạy lớp
Toán – Tin Học khóa 37 trường Đại Học Cần Thơ cũng như toàn thể quý thầy cô Khoa
Toán trường Đại Học Cần Thơ, những người đã cho tôi kiến thức, quan tâm động viên,
nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện đề
tài,
Cuối cùng, tôi xin phép được gửi lời cảm ơn đến những người thân, bạn bè đã quan
tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt thời gian hoàn thành luận văn và quãng đường
học tập vừa qua.
Cần thơ, tháng 04 năm 2015
Nguyễn Thị Thảo Hạnh

MỤC LỤC


PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................ 2
PHẦN NỘI DUNG .......................................................................................................... 3
Chương 1: ..................................................................................................................... 3
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................................... 3
1.1 Ma trận, các phép toán về ma trận. ..................................................................... 3
1.1.1 Ma trận .......................................................................................................... 3
1.1.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng (cột) của ma trận .................................. 5
1.1.3 Các phép toán về ma trận .............................................................................. 6
1.1.4 Một số tính chất của phép toán ma trận ........................................................ 7
1.2 Định thức ............................................................................................................. 7
1.2.1 Định nghĩa ..................................................................................................... 7
1.2.2 Một số tính chất của định thức ...................................................................... 9
1.3 Ma trận nghịch đảo .............................................................................................. 9

1.3.1 Định nghĩa ..................................................................................................... 9
1.3.2 Các tính chất................................................................................................ 10
1.4 Hạng của ma trận. .............................................................................................. 10
1.4.1 Định nghĩa ................................................................................................... 10
1.4.2 Các tính chất................................................................................................ 10
1.5 Hệ phương trình tuyến tính ............................................................................... 10
1.5.1 Định nghĩa ................................................................................................... 10
1.5.2 Một vài hệ phương trình đặc biệt ................................................................ 12


Chương 2: ................................................................................................................... 13
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN TRONG CÁC KÌ THI
OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC ......................................................... 13
2.1 Định thức của ma trận ....................................................................................... 13
2.1.1 Khai triển theo dòng hoặc cột ..................................................................... 13
2.1.2 Đưa về ma trận tam giác ............................................................................. 19
2.1.3 Rút nhân tử tuyến tính................................................................................. 24
2.1.4 Phương pháp truy hồi .................................................................................. 26
2.1.5 Biểu diễn định thức dưới dạng tổng hoặc tích các định thức khác ............. 30
2.1.6 Các phương pháp tổng hợp khác ................................................................ 34
2.2 Ma trận nghịch đảo ............................................................................................ 46
2.2.1 Sử dụng phần bù đại số ............................................................................... 46
2.2.2 Biến đổi sơ cấp dòng ................................................................................... 47
2.2.3. Sử dụng đa thức đặc trưng. ........................................................................ 49
2.2.4. Phương pháp giải hệ................................................................................... 54
2.2.5. Một số bài toán tổng hợp. .......................................................................... 57
2.3 Hạng của ma trận ............................................................................................... 61
2.3.1 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức .................................. 61
2.3.2 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp
(phương pháp Gauss) ........................................................................................... 63

2.3.3 Các bài toán tổng hợp ................................................................................. 66
2.4 Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính ............................................ 67
2.4.1 Hệ phương trình Cramer ............................................................................. 67


2.4.2. Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) để giải hệ
phương trình tuyến tính tổng quát........................................................................ 70
2.5 Lũy thừa bậc cao của ma trận ............................................................................ 74
2.5.1 Ma trận lũy linh ........................................................................................... 74
2.5.2 Các dạng toán về mũ hóa ma trận ............................................................... 77
PHẦN KẾT LUẬN ........................................................................................................ 87
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 88


PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết vai trò quan trọng của toán học trong chương trình giảng dạy,
trong nền giáo dục của nước nhà cũng như sự ảnh hưởng của nó đến sự phát triển kinh
tế, xã hội, an ninh quốc phòng của đất nước. Toán học có một vị trí đặc biệt quan trọng
từ bậc giáo dục phổ thông cơ sở đến đào tạo các ngành học cao hơn như thạc sĩ, tiến
sĩ.Toán học cung cấp một công cụ mạnh mẽ giúp cho các chuyên gia giải quyết vấn đề
chuyên môn của tất cả các ngành, ngay cả những ngành thuộc lĩnh vực tưởng chừng xa
lạ như khoa học và nghệ thuật. Chính vì sự quan trọng đó các trường Đại học và Cao
đẳng, hầu như đối với các ngành đào tạo, Toán được đưa vào giảng dạy từ những năm
đầu. Trong đó nội dung chủ yếu là Toán học cao cấp, và một trong những nội dung cốt
lõi của Toán học cao cấp chính là ma trận, ma trận được xây dựng như nội dung cơ sở,
nền móng của toán học cao cấp.
Khái niệm ma trận trong đại số được giảng dạy trong chương trình Toán đại cương của
hầu hết các trường Đại học – Cao đẳng. Đây cũng là nội dung quy định của Hội toán

học Việt Nam trong kỳ thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc. Không những thế
ma trận cũng được xem như nội dung chính của Olympic Toán học sinh viên toàn quốc
và quốc tế.
Vai trò của ma trận trong đại số tuyến tính nói riêng và trong Toán học nói chung là
hết sức to lớn. Để hiểu rõ về ma trận và việc giải các bài tập là rất cần thiết. Trong giáo
trình Đại số tuyến tính các bài tập thường ở những dạng cơ bản để sinh viên bắt đầu
làm quen với ma trận, chưa sắp xếp theo các dạng và chưa đề cập tới các phương pháp
giải chung cho một số dạng toán khó và ít gặp. Vì vậy việc theo dõi bài tập gây khó
khăn cho một số bạn sinh viên.

1


Trong khóa luận này, tôi đã liệt kê được một số dạng toán về ma trận dựa trên các đề
thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc trong những năm qua và đưa ra một số hướng
giải cụ thể. Đây là đề tài mở và các bài toán hết sức phong phú và đa dạng. Tôi hy
vọng khóa luận này sẽ được bổ sung bởi các bạn sinh viên khóa sau để khóa luận sẽ là
một tài liệu tốt cho các bạn sinh viên khoa Toán.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài này chính là:
- Hệ thống lại lý thuyết một cách tổng quát về ma trận để xây dựng và phân loại các
dạng Toán về ma trận.
- Đưa ra các phương pháp giải phong phú của một bài Toán ma trận.
- Xây dựng hệ thống bài tập, phân loại được các dạng toán và tìm hướng giải chúng.
- Thông qua tìm hiểu và nghiên cứu giúp bản thân có cái nhìn tổng quan về các bài
toán trong đề thi Olympic Toán sinh viên.
Luận văn được chia làm 2 phần:
Chương I. Các kiến thức chuẩn bị.
Chương II. Nội dung chính

2


PHẦN NỘI DUNG
Chƣơng 1:
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Ma trận, các phép toán về ma trận.
1.1.1 Ma trận

 Định nghĩa 1.1.1. Ma trận cỡ m  n : Một bảng gồm m.n số được viết thành m
dòng, n cột như sau:

 a11

 a21
 ...

 ai1

 ...
a
 m1

a12

...

a1 j

...

a22

...

a2 j

...

...
ai 2

...
...

...
aij

...
...

...
am 2

...
...

...

amj

...
...

a1n 

a2 n 
... 

ain 

... 
amm 

(1.1.1)

được gọi là ma trận kiểu (m  n) .
Mỗi số aij được gọi là một thành phần của ma trận. Nó ở dòng thứ i và cột thứ j.
Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ in hoa: A, B,... Có thể viết ma trận (1.1.1) một
cách đơn giản bởi:
A  (aij )mn

Khi đã biết rõ m và n thì còn có thể viết là: A  (aij )

 Ma trận dòng: Ma trận cỡ 1 n gọi là ma trận dòng

3

a

1

a2 ... a j

...

an 

(1.1.2)

 Ma trận cột: Ma trận cỡ m 1 gọi là ma trận cột
 a1 
 
 a2 
 ... 
 
aj
 ... 
 
a 
 n

(1.1.3)

 Ma trận vuông: Ma trận cỡ n  n gọi là ma trận vuông cấp n (hay ma trận cấp n) và
viết A  (aij )nn . Trong ma trận vuông A  (aij )nn dãy các phần tử có chỉ số hàng bằng
chỉ số cột a11 ,a 22 ,..., ann gọi là đường chéo chính của ma trận A.

 Ma trận thực: Nếu các phần tử của ma trận A đều nhận giá trị thực, có nghĩa là
aij  R, thì ma trận A được gọi là ma trận thực.

 Ma trận thực gồm tất cả các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận không.
 Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi ma trận
 a11

 a12
 ...

 a1 j
 ...

a
 1n

a21

...

ai1

...

a22

...

ai 2

...

...
a2 j

...
...

...
aij

...
...

...
a2 n

...
...

...
ain

...
...

am1 

am 2 
... 


amj 
... 

amn 

là ma trận chuyển vị của ma trận (1.1.1) và kí hiệu là AT .

4

(1.1.4)


Như vậy ma trận AT thu được từ A bằng cách đổi dòng thứ i của A thành cột thứ i
của AT và nếu A là ma trận kiểu m  n thì ma trận chuyển vị AT là ma trận kiểu n  m .

 Ma trận đơn vị: Là ma trận vuông cấp n có các phần tử nằm trên đường chéo chính
bằng 1 và các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0, tức là có dạng:

1

0
I 
 ...

0

0 ... 0 

1 ... 0 

... ... ... 

0 ... 1 

Kí hiệu là : I n (đôi khi ta còn kí hiệu là I)

 Ma trận con: Cho A là ma trận cấp m  n , ta gọi M ij là ma trận lập được từ ma trận
A bằng cách bỏ đi hàng i và cột j, khi đó M ij gọi là ma trận con của ma trận A ứng với
phần tử aij .
1.1.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng (cột) của ma trận

 Các phép biến đổi sau đây đối với hàng (cột) của ma trận gọi là các phép biến đổi sơ
cấp theo hàng (cột) của ma trận:
(1). Đổi chỗ hai hàng (cột) của ma trận cho nhau.
(2). Nhân tất cả các phần tử của một hàng (cột) của ma trận với một số   0 .
(3). Cộng vào một hàng (cột) nào đó của ma trận một hàng (cột) khác sau khi đã nhân
với một số   0 .

 Định nghĩa 1.1.3 Một ma trận được gọi là ma trận bậc thang trên nếu nó thỏa mãn
các điều kiện sau:
(1) Các hàng bằng không ở dưới các hàng khác không.

5


(2) Phần tử cơ sở của hàng phía dưới nằm bên phải so với phần tử cơ sở của hàng phía
trên.
1.1.3 Các phép toán về ma trận
 Hai ma trận bằng nhau:
Cho hai ma trận A  (aij )mn , B  (bij ) pq . Khi ấy:

m  p

A  B  n  q
a  b
ij
 ij
(Tức là nó cùng cấp và từng phần tử tương ứng bằng nhau.)
 Phép cộng ma trận:
Tổng của hai ma trận cùng cấp A  (aij )mn , B  (bij ) pq cũng là ma trận cấp m  n , kí
hiệu là : A  B, được xác định bởi:
A  B  (aij  bij )mn

 Phép nhân một số với một ma trận:
Cho ma trận A  (aij )mn và số   0 . Khi ấy tích của số  với ma trận A cũng là ma
trận cấp m  n , kí hiệu là : . A, được xác định bởi

 A  ( aij )mn
 Phép nhân ma trận:
Tích của ma trận A  (aij )mn với ma trận B  (bij ) pq là một ma trận cấp m  p , kí hiệu
là: A.B , được xác định bởi

6


n


A.B   cij   aik bkj 
k 1


m p

1.1.4 Một số tính chất của phép toán ma trận
 Định lý 1: Cho các ma trận A, B, C và các số  ,  sao cho các phép toán sau đây
được tạo thành. Khi ấy ta sẽ có:
1. A  B  B  A

6. ( . ). A   .( . A)

2. ( A  B)  C  A  ( B  C)

7. .( A.B)  (. A).B  A.(.B)

3. A.( B.C)  ( A.B).C

8.  .( A  B)   . A   .B

4. ( A  B).C  AC
.  B.C

9. (   ). A   . A   . A

5. A.( B  C)  A.B  AC
.

10. Nói chung, A.B  B. A

Định lý 2: Cho các ma trận A, B. Khi ấy ta có:
1. ( AT )T  A

2. ( A  B)T  AT  BT
3. ( A.B)T  BT . AT
4. ( A)T   AT
1.2 Định thức
1.2.1 Định nghĩa
 Định thức của ma trận A  (aij )mn là một số, kí hiệu là

7


a11 a12 a13

...

a1n

a21 a22 a23 ... a2 n
det A  a31 a32 a33 ... a3n
... ... ... ... ...
an1 an 2 an 3 ... ann
và được xác định như sau:
(1) A là ma trận cấp 1 ( n  1 ):

A  (a11 ) thì det A  a11
(2) A là ma trận cấp 2 ( n  2 ):

det A 

a11 a12
a21 a22

 a11.a22  a12 .a21  a11.det(M11 )  a21.det(M 21 )

(Chú ý rằng a11 và a12 là các phần tử nằm cùng ở hàng 1 của ma trận A), v.v…, và một
cách tổng quát,
(3) A là ma trận cấp n ( n  3 ) thì:

det A  a11.det( M11 )  a21 det( M 21 )  a31 det( M 31 )  ... 
 (1)i  j .aij .det( M ij )  ...  (1) n1.an1.det( M n1 )
(Người ta gọi là phép khai triển theo cột 1).
 Tương tự ta có công thức khai triển của định thức theo cột k nào đó:
det A  (1)k 1 ak1 det(M k1 )  ak 2 det(M k 2 )  ...  (1)n1 akn det(M kn ) 

8


1.2.2 Một số tính chất của định thức
(1) A  AT
(2) Khi đổi vị trí của hai hàng (hai cột) cho nhau thì định thức đổi dấu.
(3) Định thức có một hàng (một cột) nào đó gồm toàn số 0 thì bằng 0.
(4) Định thức có hai hàng (hai cột) tỷ lệ nhau thì bằng 0.
(5) Nếu nhân một hàng (một cột) nào đó của định thức với một số   0 thì định thức
được nhân lên với số  đó.
(6) Định thức không thay đổi nếu ta cộng vào một hàng (một cột) nào đó một tổ hợp
tuyến tính của một số hàng (cột) khác.
(7) Khi tất cả các phần tử của một hàng (hay một cột) có dạng tổng của hai số hạng thì
định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức.
1.3 Ma trận nghịch đảo
1.3.1 Định nghĩa
 Cho A là một ma trận vuông cấp n. Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma

trận A ( kí hiệu là: A1 ) nếu thỏa mãn:

A.B  I n và B. A  I n
 Nếu A tồn tại ma trận nghịch đảo thì ta nói A là ma trận khả nghịch.
 Định lý (điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo)
Điều kiện cần và đủ để một ma trận A vuông cấp n tồn tại ma trận nghịch đảo là:
det A  0

9


1.3.2 Các tính chất
(1) Nếu A, B khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và ( AB)1  B1 A1 .
(2) A khả nghịch khi và chỉ khi I n nhận được từ A qua một số hữu hạn các phép biển
đổi sơ cấp.
(3) A khả nghịch khi và chỉ khi A là ma trận của một đẳng cấu tuyến tính nào đó.
1.4 Hạng của ma trận.
1.4.1 Định nghĩa
Hạng của một ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác 0 lập từ ma trận A. Kí
hiệu là: rank ( A) hay r ( A) .
1.4.2 Các tính chất
(1) Với mọi A  M m.n ( K ), thì 0  r ( A)  min m, n.
(2) Hạng của ma trận là số cấp lớn nhất của định thức con khác không của ma trận A.
(3) Hạng của ma trận không thay đổi khi qua phép chuyển vị hoặc các phép biến đổi sơ
cấp.
1.5 Hệ phƣơng trình tuyến tính
1.5.1 Định nghĩa
Hệ phương trình dạng:

a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1

a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

...
...
...
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm

10

(1)


Trong đó x1 , x2 ,..., xn là các ẩn, aij , b j 

là các hằng số, gọi là hệ phương trình tuyến

tính (m phương trình, n ẩn).
Ma trận

 a11
a
A   21
 ...

 am1

... a1n 

... a2 n 
... ... 

... amn 

a12
a22
...
am 2

gọi là ma trận các hệ số của hệ (1).
Ma trận

 a11
a
A   21
 ...

 am1

a12

...

a22

...

...
am 2

...
...

a1n b1 

a2 n b2 
... ... 

amn bm 

gọi là ma trận các hệ số mở rộng của hệ (1). Một hệ phương trình hoàn toàn xác định
khi ta biết ma trận các hệ số mở rộng của nó.
Cột

 b1 
b 
 2
 ... 
 
 bm 
gọi là cột tự do của hệ (1).
Chú ý rằng, hệ phương trình (1) có thể cho dưới dạng ma trận như sau

11


 x1  b1 
 x  b 
A  2   2 

...  ... 
   
 xn  bm 
trong đó A là ma trận các hệ số của hệ (1).
Nhận xét: Nếu ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của một hệ phương
trình tuyến tính ta được hệ mới tương đương với hệ đã cho.
1.5.2 Một vài hệ phƣơng trình đặc biệt
a) Hệ Cramer
Hệ phương trình tuyến tính (1) được gọi là hệ Cramer nếu m  n (tức là số phương
trình bằng số ẩn) và ma trận các hệ số A là không suy biến (det A  0).
b) Hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất
Hệ phương trình tuyến tính (1) gọi hệ thuần nhất nếu cột tự do của hệ bằng 0, tức là

b1  b2  ...  bm  0.

12


Chƣơng 2:
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN TRONG CÁC KÌ THI
OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC

2.1 Định thức của ma trận
2.1.1 Khai triển theo dòng hoặc cột
Cơ sở của phương pháp này là định lý Laplace cho 1  k  n. Xét hai bộ số
1  i1  ...  ik  n và 1  j1  ...  jk  n.

Ma trận gồm các phần tử nằm trên giao của các dòng 1  j1  ...  jk  n và các cột
1  i1  ...  ik  n của ma trận A được gọi là ma trận con cấp k và được kí hiệu là
A(i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk ). Còn định thức của nó được gọi là định thức con hay milnor.

Ma trận con nằm trên giao của các dòng và cột còn lại được gọi là ma trận con bù
của A(i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk ) và được kí hiệu là A(i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk ). Định thức

A(i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk )
Được gọi là định thức con bù của

A(i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk )

trong A, còn

(1) S (i , j ) A(i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk ) được gọi là phần bù đại số của A(i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk ) trong

đó S (i, j )  (i1  ...  ik )  ( j1  ...  jn ) .
 Định lý : (Khai triển Laplace)
Giả sử đã chọn ra k dòng (tương ứng cột) trong một định thức cấp n (1  k  n) , khi
đó định thức đã cho bằng tích của tất cả các định thức con cấp k lấy ra từ k dòng (tương
ứng cột) đó với phần bù đại số của chúng, tức là:

13


A



A(i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk ) | ( 1) S (I,J) . A(i1,..., ik ; j1,..., jk )



A(i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk ) | (1) S (I,J) . A(i1,..., ik ; j1,..., jk )

1 j1 ... jk  n

A

1i1 ...ik  n

Trên thực tế khai triển Laplace hay được vận dụng cho một dòng hay một cột chứa
nhiều 0.
 Hệ quả: (Khai triển Laplace theo dòng thứ i hay cột thứ j)

A  (1)i 1 ai1 Ai1  (1)i  2 ai 2 Ai 2  ...  (1)i  n ain Ain
 (1) j 1 a j1 Aj1  (1) j  2 a j 2 Aj 2  ...  (1) j  n a jn Ajn .
Bài toán 1: Tính định thức của ma trận sau

1
2

D3

 ...
 n

2
3
4
...
n

3
4
5
...
n

...
...
...
...
...

n  2 n 1 n 
n 1
n
n 
n
n
n

...
...
...
n
n
n 

Giải
Ta có

1
2
det D  3
...
n

2
3
4
...
n

3
4
5
...
n

...
...
...
...
...

n  2 n 1 n
n 1
n
n
n
n

n
...
...
...
n
n
n

Lấy tất cả các dòng từ dòng 2 trở đi, trừ đi dòng thứ nhất ta được:

14


... n  2 n  1
... 1
1
... 2
1
... ...
...
... 2
1

1
2
3
1
1
1
det D  2

2
2
...
...
...
n 1 n  2 n  3

n
0
0
...
0

Khai triển theo cột cuối cùng ta được

D   1

n n 1
2

.n

Bài toán 2: Tính định thức

a0

a1 a2 ...

 y1 x1

...

0

Dn1  0  y1 x2 ...

0

...
0

0

an

...
0

... ...
0 ...

...
xn

Giải
Khai triển theo cột cuối ta được

 y1 a1
Dn1  an

...

0

0  y2 x2 ...

0

...
0

...
0

0

... ...
0 ...

...
 yn

a0
 xn

a1 a2 ...

 y1 x1

0

...
0

... ...
0 ...

...
0

...

an1
0
...
xn1

 an y1 y2 ...  xn .Dn
Tiếp tục quá trình như vậy áp dụng cho Dn ta được
Dn1  a1 x1 x2 ...xn  a1 y1 x2 ...xn  a2 y1 y2 x3 ...xn  ...  an y1 y2 ... yn

15


Bài toán 3:
Tính định thức sau

1

D

Cn1 Cn2

... Cnn 1 Cnn

1 Cn11 Cn21 ... Cnn11

0

...

...

...

...

...

...

1

C21 C22

...

0

0

1

C11

0

...

0

0

a0

a1

a2

... an 1 an

Giải
Kể từ dòng thứ 3 từ dưới lên, trừ mỗi dòng đi dòng sát cuối ta được

Cn1  C11 Cn2

0

D

... Cnn 1 Cnn

0 Cn11  C11 Cn21

... Cnn11

0

...

...

...

...

...

C21  C11 C22

...

0

0

0

0

0

...

1

C11

0

...

a0

a1

a2

...

an1 an

Khai triển Laplace theo cột đầu và dòng cuối với chú ý rằng trên đường chéo là toàn 1
trừ a0 , ta nhận được kết quả là

D   1

n n 1
2

a0  a1  a2  ...   1n an  .



16


Bài toán 4:
Tính định thức sau

a b b
b a b
b b a
Dn 
... ... ...
b b b
b b b

... b
... b
... b
... ...
... a
... b

b
b
b
...
b

a

Giải
Nhân cột thứ n cho 1 rồi cộng vào cột thứ nhất ta được:

a b b
b a b
b b a
Dn 
... ... ...
b b b
b b b

... b
... b
... b
... ...
... a
... b

b
a b
b
0
b
0

...
...
b

0
a
a b

b b ...
a b ...
b a ...
... ... ...
b b ...
b b ...

b
b
b
...
a
b

b
b
b
...
b
a

Khai triển Laplace theo cột thứ nhất ta được

a b b
b a b
b b a

Dn1   a  b 
... ... ...
b b b
b b b

... b
... b
... b
... ...
... a
... b

b
b
b
  1n1  a  b 
...
b
a

Do đó Dn1   a  b  Dn1   1n1  a  b  D.

17

b b b
a b b
b b b
... ... ...
b b b
b b b

...
...
...
...
...
...

b
b
b
...
b
a

b
b
b
...
b
b


Trong đó:

b
a
D
...
b

b
b
...
b

...
...
...
...

b
b
...
a

b
b
b
a b
0
b
 2b a  b
...
...
...
b
2b 2b

... b

... 0
... 0
... ...
... a  b

Khai triển Laplace theo cột cuối ta được:
D   1n b  a  b n2 , thay vào Dn và rút gọn ta được :

Dn   a  b  Dn1  b  a  b n1 .
Ta chứng minh bằng quy nạp rằng :
Dn 

Thậy vậy, rõ ràng D1  a 

1
 a  b n   a  b n  .
2

1
 a  b 1   a  b 1  .
2

Giả sử đúng với n – 1 tức là Dn1 

1
 a  b n1   a  b n1 
2

Ta chứng minh đúng với n.

D1   a  b  Dn1  b  a  b n1
1
  a  b   a  b n   a  b n   b  a  b n1
2
1
  a  b n   a  b n1  a  b  2b  
2
1
  a  b n   a  b n 
2

18

b
0
0
...
0


Vậy Dn 

1
 a  b n   a  b n  .
2

2.1.2 Đƣa về ma trận tam giác
Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột ta đưa về ma trận tam giác trên hay dưới
rồi. Khi thực hiện các phép biến đổi, định thức thay đổi theo quy tắc sau:
 Mệnh đề

i. Định thức đổi dấu khi đỗi chỗ hai dòng hoặc cột cho nhau. (Tính chất này được gọi
là tính thay phiên).
ii. Định thức được nhân với   K khi ta nhân một dòng hay một cột với  .
iii. Định thức không thay đổi khi ta thêm vào một dòng (tương ứng cột) một tổ hợp
tuyến tính của các dòng (tương ứng cột) còn lại.
Đây là phương pháp thông dụng nhất để tính định thức có cấp là một số cụ thể. Ta có
thể trình bày thành thuật toán như sau:
 Thuật toán tính định thức (phương pháp Gauss).
1a. Cho một chỉ số i sao cho aij  0 ,rồi đổi chỗ dòng thứ 1 và dòng thứ i cho nhau,
đồng thời đổi dấu định thức.(Thông thường ta chọn i sao cho aij gần 1 nhất, hoặc chọn
i đầu tiên thỏa mãn tính chất đó ). Nếu chỉ số tồn tại như vậy không tồn tại thì định
thức bằng 0.
1b. Lần lượt trừ dòng j  2 đi tích của dòng thứ 1 (của ma trận mới) với

ai1
.
a11

2. Tại bước k , 2  k  n lặp lại bước 1 đối với ma trận con cấp n  k  1 ở góc phải
bên dưới cùng.
3. Tối đa sau n  1 bước ta sẽ nhận được ma trận tam giác trên. Định thức của nó bằng
tích các phần tử trên đường chéo.
19


Bài toán 1:Tính định thức

1

1

...

1

C21

C31

...

Cn11

C32

C32

...

Cn2 2

...

...

...

...

...

C2nn11

Cnn1 Cnn11
Giải
Sử dụng công thức tổ hợp Cnk  Cnk1  Cnk11

Trong các phép biến đổi sau: bắt đầu từ cột cuối cùng trừ đi các cột đứng trước đó, sau
đó ta áp dụng khai triển Laplace đối với dòng đầu, rồi tiếp tục như vậy ta được:

1

0

...

0

0

1

...

1

1

D  C32

C31

...

Cn1

Cn11

...

...

...

...

...

C

1
2

Cnn1 Cnn2

...

C2nn23 C2nn23

Lại làm như trên nhưng chỉ đến cột thứ 2 ta có:

1

0

...

0

0

C21

1

...

0

0

D  C32

C31

...

1

1

...

...

...

...

...

Cnn1 Cnn2

...

20

C2nn23 C2nn23