giáo án phương pháp quy nạp toán học

Ngy son:

2015

Ngy ging: 11A:
11B:

11C:

TIT 37
Chng III.

DY S - CP S CNG CP S NHN

Đ1. PHNG PHP QUY NP TON HC
I. Mc tiờu
1. Kiến thức
Hiểu nội dung của phơng pháp quy nạp toán học bao gồm hai bớc (bắt buộc) theo
một trình tự quy định.
2. Kĩ năng
Biết cách lựa chọn và sử dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải các bài toán một
cách hợp lí
3. Thái độ
Tự giác, tích cực học tập
T duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống
II. Chun b ca giỏo viờn v hc sinh
Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi.
Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi.
III. Tin trỡnh bi dy
1. n nh lp (1 phỳt)
2. Kiểm tra bài cũ (Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới)

3. Bi mi
t vn : Trong khi gii toỏn chỳng ta cú cỏc bi toỏn liờn quan ti s t nhiờn.
Ngoi cỏc cỏch gii ó bit hụm nay thy gii thiu cho cỏc em thờm mt phng phỏp
na ú l phng phỏp quy np toỏn hc (1 phỳt)
Hoạt động của
Hoạt động của trò
Ghi bảng
thầy
Hoạt động 1 (10)
I. Phơng pháp quy nạp toán học
Hớng dẫn học sinh Học sinh đọc khái niệm Để chứng minh những mệnh đề liên
nắm đợc phơng phơng pháp quy nạp toán quan đến số tự nhiên n N * là đúng
pháp quy nạp toán học
với mọi n mà không thể trực tiếp đhọc.
ợc thì có thể làm nh sau:
Bớc 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với
Nêu các bớc của Bớc 1: Kiểm tra mệnh đề n=1.
phơng pháp quy nạp đúng với n=1.
Bớc 2: Giả thiết mệnh đề đúng với
Bớc 2: Giả thiết mệnh đề một số tự nhiên bất kì n = k 1 (gọi là
toán học ?
đúng với một số tự nhiên giả thiết quy nạp), chứng minh răng
bất kì n = k 1 (gọi là giả nó cũng đúng với n=k+1
thiết quy nạp), chứng Đó là phơng pháp quy nạp toán học,
minh răng nó cũng đúng hay còn gọi tắt là phơng pháp quy
với n=k+1
nạp.
Hoạt động 2(12)
Nêu bài toán

II. Ví dụ áp dụng
Đọc bài toán và sử dụng Ví dụ 1: chứng minh rằng với
phơng pháp quy nạp để n N * thì:
chứng minh?
1 + 3 + 5 + ... + (2n 1) = n 2
(1)
Kiểm tra khi n=1 ?
Bớc 1: khi n=1 , ta có : Giải :
Bớc 1: khi n=1 , ta có : 1 = 12 vậy hệ
Giả sử đẳng thức 1 = 12
thức (1) đúng.
đúng với n = k 1 ,
Ta phải chứng minh Bớc 2: : Đặt vế trái bằng Bớc 2: Đặt vế trái bằng Sn
Giả sử đẳng thức đúng với n = k 1 ,


rằng (1) cũng đúng Sn
nghĩa
là
:
với n=k+1,
Giả sử đẳng thức đúng Sk = 1 + 3 + 5 + ... + (2k 1) = k 2 (giả thiết
với n = k 1 , nghĩa là : quy nạp). Ta phải chứng minh rằng
S k = 1 + 3 + 5 + ... + (2k 1) = k 2 (1) cũng đúng với n=k+1, tức là :
(giả thiết quy nạp). Ta Sk +1 = 1 + 3 + 5 + ... + (2k 1) + [ 2(k + 1) 1]
phải chứng minh rằng (1)
= (k + 1) 2
cũng đúng với n=k+1, tức
Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta có
là :

S k +1 = 1 + 3 + 5 + ... + (2k 1) + [ 2(:k + 1) 1]
S k +1 = S k + [ 2(k + 1) 1] = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
Kết luận:
= (k + 1) 2
Đọc ví dụ và sử dụng ph- Vậy hệ thức (1) đúng với mọi
ơng pháp quy nạp để n N *
Nêu ví dụ
chứng minh?
Ví dụ 2:
Kiểm tra với n= 1
Bớc 1: với n=1, ta có: Chứng minh rằng với n N * thì
( n3 n ) M3
Giả sử với n = k 1 A1 = 0M3
Bớc 2: Giả sử với n = k 1 Giải : đặt An = n3 n
ta có:
ta có:
Ak = ( k 3 k ) M3 (giả
Bớc 1: với n=1, ta có: A = 0M3
3
thiết Bớc 2: Giả sử với n = k 1 1 ta có:
thiết quy nạp) . Ta Ak = ( k k ) M3 (giả
phải chứng minh : quy nạp) . Ta phải chứng A = k 3 k M3 (giả thiết quy nạp) . Ta
(
)
k
minh : Ak +1 M3
Ak +1 M3
phải chứng minh : Ak +1 M3
Thật vậy : ta có:
A = (k + 1)3 (k + 1) = k 3 + 3k 2Thật

+ 3k +vậy
1 k: ta1 có:
k +1

= (k 3 k ) + 3 ( k 2 + k )
= + 3 (k 2 + k )

Kết luận
Hoạt động 3 (17)
Cho học sinh đọc
chú ý.

Đọc ví dụ và sử
dụng phơng pháp
quy nạp để chứng
minh?

Nêu chú ý
- ở bớc 1, ta phải chứng
minh mệnh đề đúng với
n=p.
- ở bớc 2, ta giải thiết
mệnh đề đúng với số tự
nhiên bất kì n = k p và
ta phải chứng minh rằng
nó cũng đúng với n = k
+1
So sánh khi n=1, 2, 3, 4,
5
n=1: 3 < 8

n=2: 9 < 16
n=3: 27 > 24
n=4: 81 > 32
n=5: 35 > 40

Đọc ví dụ và sử dụng phơng pháp quy nạp để
Nêu ví dụ
chứng minh?
Bớc 1: với n 3 thì (3)
Kiểm tra với n 3
đúng
Giả sử với n = k 3 Bớc 2: Giả sử với n = k 1

Ak +1 = (k + 1)3 (k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 k 1
= (k 3 k ) + 3 ( k 2 + k )
= + 3 (k 2 + k )

theo giả thiết quy nạp Ak = ( k 3 k ) M3 ,
hơn nữa: 3 (k 2 + k )M3 nên Ak +1 M3
Vậy An = n3 n chia hết cho 3 với
mọi n N *
Chú ý :
Nếu phải chứng minh mệnh đề là
đúng với mọi số tự nhiên n p (p là
một số tự nhiên) thì :
- ở bớc 1, ta phải chứng minh mệnh
đề đúng với n=p.
- ở bớc 2, ta giải thiết mệnh đề đúng
với số tự nhiên bất kì n = k p và ta
phải chứng minh rằng nó cũng đúng

với n = k +1
Ví dụ 3:
Cho hai số 3n và 8n với n N *
A, so sánh 3n với 8n khi n= 1, 2, 3,
4, 5.
B, Dự đoán kết quả tổng quát và
chúng minh bằng phơng pháp quy
nạp .
Giải :
a, so sánh 3n với 8n
Khi n=1: 3 < 8
n=2: 9 < 16
n=3: 27 > 24


ta có:

n=4: 81 > 32
ta có: 3k 8k
n=5: 35 > 40
3 8k (giả thiết (giả thiết quy nạp) . Ta
quy nạp) . Ta phải phải chứng minh : b, Với n 3 thì 3n > 8n .(3)
chứng
minh
: 3k +1 8(k + 1) Thật vậy : Chứng minh:
k +1
Bớc 1: với n 3 thì (3) đúng
3 8(k + 1)
3k .3 8k + 8
Bớc 2:giả thiết mệnh đề đúng với

k
3 8k
n = k 3 nghĩa là : 3k 8k ta phải
chứng minh mđ(3) đúng với n = k + 1
2.3k 8
tức là : 3k +1 8(k + 1)
Theo giả thiết quy nạp ta có : 3k 8k
k

: trừ vế với vế ta đợc



3k.3 8k + 8
3k 8k

với

2.3k 8

mọi n = k 3 thì mệnh đề luôn đúng.
4. Cng c ( 3 phỳt)
Hi: Em hóy nờu li ni dung phng phỏp quy np ?
5. Hớng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (1phút)
Xem lại lí thuyết
Làm bài tập 1, 4, 5 trong sách giáo khoa trang 82, 83.
V: Nhn Xột sau bi dy
Thi gian: .
Phng phỏp:
Kt qu hc tp..

Ngy son:

2015

Ngy ging: 11A:
11B:

11C:

TIT 38

BI TP - PHNG PHP QUY NP TON HC
I. Mc tiờu
1. Kiến thức
Hiểu nội dung của phơng pháp quy nạp toán học bao gồm hai bớc (bắt buộc) theo
một trình tự quy định ỏp dng vo gii toỏn.
2. Kĩ năng
Sử dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải các bài toán một cách hợp lí.
3. Thái độ
Tự giác, tích cực học tập
T duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống
II. Chun b ca giỏo viờn v hc sinh
Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi.


Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi.
III. Tin trỡnh bi dy
1. n nh lp (1 phỳt)
2. Kiểm tra bài cũ (Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới)

3. Bi mi
t vn : Cỏc em ó c hc phng phỏp quy np toỏn hc, tit hc ny thy
giỳp cỏc em ỏp dng vo gii cỏc bi toỏn liờn quan.
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Ghi bảng
Hot ng 1 (3 phỳt).
- Hi: Em hóy nhc li ni
dung phng phỏp quy np
toỏn hc ?
Hot ng 2 (20 phỳt).
- Gi 3 hc sinh lờn bng,
mi em lm 1 ý trong bi 1
v nhc c lp cựng lm.
- Gi ý cho hc sinh nu
cn
- ỏnh giỏ, cho im hc
sinh v sa cha nu cn.

- Nờu ni dung phng
phỏp quy np toỏn hc:
gm 2 bc

- Lm bi tp

BI TP

Bi 1 (SGK trang 82)

- Theo dừi trờn bng v

nghe ging.

Hot ng 3 (10 phỳt). Gii
bi tp 4.
- Hóy gii cõu a) ?
- Tớnh S1, S2, S3

- Em hóy d oỏn cụng thc
tớnh Sn ?
- D oỏn cụng thc tớnh
n
Sn =
(n Ơ *)
- Em hóy chng minh cụng
n +1
thc ú bng quy np ?
- Dựng pp quy np cm
cụng thc trờn.
- Ngoi cỏch gii dựng quy - Tr li: dựng cỏch gii
np, ta cũn cỏch gii khỏc toỏn cp II.
khụng ?
Hot ng 4 (9 phỳt).
2
Gii bi tp 5.
- Cú Cn on thng.
- Ta bit a giỏc li n cnh
cú n nh. lp c bao
nhiờu on thng t cỏc nh
ú ?
- Tt c cỏc on thng ú

2
- Cú n cnh v Cn n
gm cú cỏc cnh v ng

Bi 4 (SGK trang 83)
1 1
=
a) S1 =
1.2 2
1
1
2
S2 =
+
=
1.2 2.3 3
1
1
1
3
S3 =
+
+
=
1.2 2.3 3.4 4
b) Sn =
CM:

n
(n Ơ *)

n +1

Bi 5 (SGK trang 83)
Gi Sn l s ng chộo
ca a giỏc li n cnh. Ta
phi chng minh:
n(n 3)
Sn =
(n Ơ *,n 4)
2
Ta cú:


chộo. Vy cú bao nhiờu cnh ng chộo.
v ng chộo ?
- T s phõn tớch ny cỏc em
hóy gii bi tp 5 sgk trang - Gii bi tp
83.
- Chỳ ý: cỏc em cú th dựng
quy np hoc gii trc tip
bi ny.

Sn = Cn2 n
n!
n =
2!(n 2)!
n(n 1)(n 2)!
n=
2!(n 2)!
n(n 1)

n(n 3)
n=
2
2
(n Ơ *,n 4)
=

4. Cng c (1 phỳt)
Thụng qua cỏc bi tp trờn, ta thy khi gii cỏc bi toỏn liờn quan n s t
nhiờn ngoi cỏc cỏch gii trc õy ta cũn cú phng phỏp quy np cng khỏ n gin.
5. Hớng dẫn học bài ở nhà (1phút)
Hon thnh cỏc bi tp cũn li.
Chun b bi mi: Dóy s
V: Nhn Xột sau bi dy
Thi gian: .
Phng phỏp:
Kt qu hc tp..
-----------------------------------------------------------------------

Ngy son:

TIT 39

2015

Ngy ging: 11A:
11B:

Đ2. Dãy số

11C:

I. Mục tiêu
1. Kiến thức
Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, các tính chất tăng giảm và bị chặn của dãy
số.
2. Kĩ năng
Biết cách giải các bài tập về dãy số nh tìm số hạng tổng quát, xét tính tăng, giảm và
bị chặn của dãy số.
3. Thái độ
Tự giác, tích cực học tập
T duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống.
II. Chun b ca giỏo viờn v hc sinh
Giáo viên: sgk, bài soạn.
Học sinh: sgk, vở ghi.


III. Tin trỡnh bi dy
1. n nh lp (1 phỳt)
2. Kiểm tra bài cũ (Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới)
3. Bi mi
t vn : Cỏc em ó c hc v hm s, trờn c s ú thy giỳp cỏc em tỡm
hiu bi mi: Dóy s.
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Cho
hàm
số
Hoạt động 1 (16)
Cho học sinh thực hiện

1
f ( n) =
,nƠ *
hoạt động 1.
2n 1
tính:
Cho học sinh phát biểu f (1), f (2), f (3), f (4), f (5)
khái niệm
phát biểu khái niệm

Ghi bảng
I. Định nghĩa
1. Định nghĩa dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập
các số nguyên dơng N* đợc gọi là
một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy
số).Kí hiệu :
u : Ơ* Ă
n a u(n)

Dãy số đợc viết dới dạng khai
triển :

Nêu một số ví dụ về
ví dụ :
dãy số ?
a,dãy các số tự nhiên
liên tiếp:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..
b, dãy các số chính phơng : 1, 4, 9, 16 có số

hạng đầu u1 = 1 và số
hạng tổng quát là un = n2
Hoạt động 2 (10)
Định nghĩa dãy số hữu
hạn:
Phát biểu khái niệm dãy
số hữu hạn:
Cho một số ví dụ về dãy
số hữa hạn?

Hoạt động 3 (15)
Nêu các cách cho một
dãy số ?

ví dụ :
a, -4, -2, 0, 2, 4
b, 1, 3, 5, 7, 9

u1 , u2 , u3 ,..., un ,...,
Trong đó un = u(n) hoặc đợc viết
tắt là :( un ) gọi un là số hạng đầu,
un là số hạng thứ n và là số hạng

tổng quát của dãy số.
ví dụ :
a: dãy các số tự nhiên lẻ: 1, 3, 5,
7có số hạng đầu là u1 = 1 và số
hạng tổng quát là : un = 2n 1
b, dãy các số chính phơng : 1, 4,
9, 16,.. có số hạng đầu u1 = 1 và số

hạng tổng quát là un = n2
2. Định nghĩa dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập
M = { 1, 2, 3, ...m} với m Ơ * đợc gọi
là một dãy số hữu hạn
Dạng khai triển là u1 , u2 , u3 ,..., um
trong đó u1 là số hạng đầu, um là số
hạng cuối.
ví dụ:
1, 3, 5, 7, 9 là dãy số hữu hạn có
u1 = 1, u5 = 9

II. Cách cho một dãy số
1. Dãy số cho bằng công thức
- Dãy số cho bằng công của số hạng tổng quát
thức của số hạng tổng ví dụ :
n
quát
n 3
a)
cho
dãy
số
un = (1) .
(1)
Mỗi cách cho dãy số, - Dãy số cho bằng phn
lấy một ví dụ.
ơng pháp mô tả
từ công thức (1) ta có thể xác định
- Dãy số cho bằng ph- đợc bất kì số hạng nào của dãy số.

ơng pháp truy hồi


1, Dãy số cho bằng
35
243
công thức của số hạng Chẳng hạn : u5 = (1)5 . =
5
5
tổng quát
viết
dãy
số
dới
dạng
khai
triển
là:
n
un = (1)n .

3
n

(1)

9
81
3n
3, , 9, ,.., (1)n . ....

2
4
n

Nh vậy dãy số hoàn toàn xác định
nếu biết công thức số hạng tổng
quát un của nó.
2. Dãy số cho bằng phơng pháp
2, Dãy số cho bằng ph- mô tả
ơng pháp mô tả
ví dụ : số là số thập phân vô
hạn
không
tuần
hoàn
= 3,141 592 653 589
dãy số ( un ) với un là giá = 3,141 592 653 589
trị gần đúng thiếu của nếu lập dãy số ( un ) với un là giá
số với sai số tuyệt đối trị gần đúng thiếu của số với
sai số tuyệt đối 10 n thì :
10 n
u1 = 3,1 ; u2 = 3,14; u3 = 3,141;...

Là dãy số đợc cho bằng phơng
pháp mô tả. Trong đó chỉ ra cách
3, Dãy số cho bằng ph- viết các số hạng liên tiếp của dãy.
ơng pháp truy hồi:
3. Dãy số cho bằng phơng pháp
u1 = u2 = 1
truy hồi

(n 3)

ví dụ :
un = un 1 + un 2
dãy số phi-bô-na-xi là dãy số un
đợc
xác
định
nh
sau:
u1 = u2 = 1
(n 3)

un = un 1 + un 2

nghĩa là từ số hạng thứ 3 trở đi,
mỗi số hạng đều bằng tổng của
hai số hạng đứng ngay trớc nó.
Cho một dãy số bằng phơng pháp
truy hồi là :
a, cho số hạng đầu( hay vài số
hạng đầu)
b, cho hệ thức truy hồi, tức là biểu
thị số hạng thứ n qua số hạng (hay
vài số hạng )đứng trớc nó.
4. Cng c (1 phỳt)
Cỏc em cn nm khỏi nim dóy s, s hng u, s hng tng quỏt, s hng
cui ca dóy s, cỏc cỏch cho dóy s.
5. Hớng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (2 phỳt)
Xem lại lí thuyết.

Làm bài tập 1, 2, 3 trong sách giáo khoa trang 92.
V: Nhn Xột sau bi dy
Thi gian: .
Phng phỏp:
Kt qu hc tp..
-----------------------------------------------------------------------


Ngy son:

TIT 40

2015

Ngy ging: 11A:
11B:

11C:

Đ2. Dãy số (tip theo)

I. Mục tiêu
1. Kiến thức
Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, các tính chất tăng giảm và bị chặn của dãy
số.
2. Kĩ năng
Biết cách giải các bài tập về dãy số nh tìm số hạng tổng quát, xét tính tăng, giảm và
bị chặn của dãy số.
3. Thái độ
Tự giác, tích cực học tập

T duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống
II. Chun b ca giỏo viờn v hc sinh
Giáo viên: sgk, bài soạn.
Học sinh: sgk, vở ghi.
III. Tin trỡnh bi dy
1. n nh lp (1 phỳt)
2. Kiểm tra bài cũ (Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới)
3. Bi mi
t vn : Ta bit dóy s cng l mt hm s, liu nú cú th tng ng hoc s
bin thiờn hay nú cú c im riờng ? Tit hc ny thy giỳp cỏc em tr li v nhng vn
ny (1 phỳt)
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Ghi bảng
III.
Biểu
diễn
hình học của dãy số
Hot ng 1 (12
Vì
dãy
số
là
một
hàm số trên Ơ * nên
phỳt).
ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ
Biu din hỡnh hc
thị, khi đó trong mặt phẳng toạ độ,
ca dóy s.

- Chỳ ý nghe ging v dãy số đợc biểu diễn bằng các toạ
độ (n, un )
- Tng t nh biu theo dừi.
din mt im trong
n +1
Ví dụ : dãy số un với un =
có
mt phng ta hoc
n


biu din mt im
trờn trc.

biểu diễn hình học nh sau:
un
u1
u2
u3
u4

0




1

2

3

4

n

3
4
5
u1 = 2, u2 = , u3 = , u4 = ,...
2
3
4

Có thể biêu diễn các số hạng của
một dãy số trên trục số:
1

5 4 3
43 2
u4u3 u2

2
u1

u(n)

0
IV.
Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy
số bị chặn
1. Dãy số tăng, dãy số giảm
Định nghĩa 1:
Dãy số ( un )đợc gọi là dãy số tăng
Hot ng 2 (25
nếu ta có un +1 > un với mọi n Ơ *
phỳt).
Dãy số ( un )đợc gọi là dãy số giảm
Dãy số tăng, dãy số - Thc hin hot ng
nếu ta có un +1 < un với mọi n Ơ *
giảm.
5.
ví dụ:
- Yờu cu hc sinh
Dãy số : ( un ) với un = 2n 1 là dãy số
thc hin hot ng 5
tăng.
sgk trang 89.
Thật vậy, với mọi n Ơ * .Xét hiệu
un +1 un ta
có
:
un +1 un = 2( n + 1) 1 (2 n 1) = 2
Do un +1 un > 0 nên un +1 > un

ví dụ :

Dãy số : ( un ) với un =

n
là dãy số
3n

giảm
Thật vậy, với mọi n Ơ * .vì un > 0
nên có thể xét tỉ số

un +1
. Ta có :
un

un +1 n + 1 n n + 1
= n +1 : n =
un
3
3
3n

Dễ thấy
un +1 < un

u
n +1
< 1 nên n +1 < 1 suy ra
un
3n

Chú ý : không phải mọi dãy số đều
tăng hoặc đều giảm .
ví dụ: ( un ) với un = (3)n
2. Dãy số bị chặn


Định nghĩa 2:
Dãy số ( un ) đợc gọi là bị chặn trên
nếu tồn tại một số M sao cho :
( un M , n Ơ * )
Dãy số ( un ) đợc gọi là bị chặn dới
nếu tồn tại một số M sao cho :
( un m, n Ơ * )
Dãy số ( un ) đợc gọi là bị chặn nếu
nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn
dới, tức là tồn tại số m, M sao cho :
( m un M , n Ơ * )
Ví dụ : sgk/90
4. Cng c (5 phỳt)
Cõu hi 1: Em hóy nờu cỏc cỏch biu din hỡnh hc ca dóy s ?
Cõu hi 2: Th no l dóy s tng, dóy s gim ? Cỏch xỏc nh mt dóy s l tng
hoc gim ?
Cõu hi 3: Th no l dóy s b chn ?
5. Hớng dẫn học bài ở nhà (1 phỳt)
Xem lại lí thuyết
Làm bài tập 1, 2, 4 v 5 trong sách giáo khoa trang 92.
V: Nhn Xột sau bi dy
Thi gian: .
Phng phỏp:

Kt qu hc tp..
-----------------------------------------------------------------------


Ngy son:

2015

Ngy ging: 11A:
11B:

11C:

TIT 41

CP S CNG
I. MC TIấU
1. Kiến thức
Biết đợc khái niệm cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng
và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
2. Kĩ năng
Biết sử dụng công thức và tính chất của cấp số cộng để giải quyết các bài toán : Tìm
các yếu tố còn lại khi biết ba trong năm yếu tố u1, un, n ,d, Sn,
3. Thái độ
Tự giác, tích cực học tập
T duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống
II. CHUN B CA GV V HS
1. Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi.
2. Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi,
III. TIN TRèNH BI DY

1. n nh lp (1 phỳt)
2. Kiểm tra bài cũ (Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới )
3. Dạy bài mới
t vn : Tit trc cỏc em ó c hc v dóy s, tit hc ny cỏc em tỡm hiu
v mt dng dóy s ú l cp s cng (1 phỳt).
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Ghi bảng
Hoạt động 1 (20)
I. Định nghĩa
Cho học sinh thực hiện Số hạng đứng sau bằng 1, Định nghĩa
số hạng đứng trớc cộng Cấp số cộng là một dãy số (hữu
hoạt động :
thêm 4 đơn vị
hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số
Biết bốn số hạng đầu
hạng thứ hai, mỗi số hạng đều
tiên của một dãy là: -1,
bằng số hạng đứng ngay trớc nó
-1, 3, 7, 11, 15, 19, 23,
3, 7, 11.
cộng với một số không đổi d.
27,
31
Hãy chỉ ra quy luật và
Số d đợc gọi là công sai của cấp số
viết tiếp 5 số hạng của
cộng.
dãy ?
Nếu un là cấp số cộng với công sai

Phát biểu định nghĩa ?
d, ta có hệ thức truy hồi:
Học sinh phát biểu .
un +1 = un + d với n Â
Ơ
N * (1)
Khi d=0 thì cấp số cộng là một
Viết hệ thức truy hồi
dãy
số không đổi.
un là cấp số cộng với
Ví dụ : chứng minh dãy số sau là
công sai d, ta có hệ thức một dãy số hữu hạn: 1, -3, -7, -11,
truy hồi:
-15
Xét ví dụ
v un +1 = un + d với n N * Giải : vì : - 3= 1+(-4);
- 11=-7+
(-4)
- 7= -3+( -4); - 15=
-11+(-4)
Hoạt động 2 (20)
Nên theo định nghĩa dãy số đã cho
Cho hs phát biểu định
là một cấp số cộng với công sai d=lí
4
hs phát biểu định lí


Hớng dẫn học sinh

chứng minh định lí
bằng phơng pháp quy
nạp:
Bớc 1:..
Bớc 2:..

Kết luận

II. Số hạng tổng quát
Định lí:
Nếu cấp số cộng ( un ) có số hạng
đầu u1 và công sai d thì số hạng
tổng quát un đợc xác định bởi công
thức:
Khi n=2 thì u2 = u1 + d
un = u1 + (n 1)d với n 2
(2)
Giả thiết công thức (2)
Chứng minh: (chứng minh bằng
đúng với n = k 2 tức là : phơng pháp quy nạp toán học)
uk = u1 + (k 1)d ta phải
Khi n=2 thì u2 = u1 + d đúng
chứng minh mệnh đề
Giả thiết công thức (2) đúng với
đúng với n=k+1, tức là: n = k 2 tức là : u = u + (k 1)d ta
k
1
uk +1 = u1 + kd .
phải chứng minh mệnh đề đúng với
n=k+1, tức là: uk +1 = u1 + kd .

Vậy : un = u1 + (n 1)d
Thật vậy theo gt quy nạp và công
với n 2
thức cộng ta có:
uk +1 = uk + d = u1 + (k 1)d + d = u1 + k.d
a, Theo công thức cộng Vậy : un = u1 + (n 1)d với n 2
(2)
Ví dụ: cho cấp số cộng ( un ) biết
ta có :

Xét ví dụ :
a, Tìm u15
b, số 100 là số hạng
thứ bao nhiêu.
c, biểu diễn các số
u15 = 5 + (15 1).3 = 37
hạng của dãy số trên
trục số.Nhận xét vị trí
của mỗi điểm : u2 , u3 , u4 b, theo công thức (2) ta
có :
so với hai điểm kề bên.
un = 5 + (n 1).3 vì Vì
un = 100 nên :
100 = 5 + (n 1).3
n = 36
Biểu diễn trên trục số
năm số hạng đầu của
cấp số cộng là:
-5, -2, 1, 4, 7

u1 = 5, d = 3
a, Tìm u15

b, số 100 là số hạng thứ bao nhiêu.
c, biểu diễn các số hạng của dãy số
trên trục số.Nhận xét vị trí của mỗi
điểm : u2 , u3 , u4 so với hai điểm kề
bên.
Giải :
a, Theo công thức cộng (2) ta có :
u15 = 5 + (15 1).3 = 37

b, theo công thức (2) ta có :
un = 5 + (n 1).3 vì Vì un = 100 nên :
100 = 5 + (n 1).3 n = 36

c, năm số hạng đầu của cấp số
cộng là:
-5, -2, 1, 4, 7đợc biểu diễn bởi các
điểm u1 , u2 , u3 , u4 , u5 trên trục số:
u2
2

0

u3

u4

u5

1

4

7

Điểm u3 là trung điểm của đoạn
u2 , u4

4. Cng c (2 phỳt)
Th no l cp s cng ?
5. Hớng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (1 phỳt)
Xem lại lí thuyết
Làm bài tập 2 trong sách giáo khoa trang 97.
V: Nhn Xột sau bi dy


Thi gian: .
Phng phỏp:
Kt qu hc tp..
----------------------------------------------------------------------Ngy son:

2015

Ngy ging: 11A:
11B:

11C:

TIT 42

CP S CNG (tip theo)
I. MC TIấU
1. Kiến thức
Biết đợc khái niệm cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng
và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
2. Kĩ năng
Biết sử dụng công thức và tính chất của cấp số cộng để giải quyết các bài toán : Tìm
các yếu tố còn lại khi biết ba trong năm yếu tố u1, un, n ,d, Sn,
3. Thái độ
Tự giác, tích cực học tập
T duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống
II. CHUN B CA GV V HS
1. Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi.
2. Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi,
III. TIN TRèNH BI DY
1. n nh lp (1 phỳt)
2. Kiểm tra bài cũ (Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới )
3. Dạy bài mới
t vn : Tit trc cỏc em ó c hc th no l cp s cng, tit hc ny cỏc em tỡm
hiu xem cp s cng cú tớnh cht gỡ(1 phỳt).
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Hoạt động 1 (17 Phát biểu định lí 2
phỳt)
Cho học sinh phát biểu u = uk 1 + uk +1 với k 2 (3)
k
định
2

Ghi bảng
III. Tính chất các số hạng
của cấp số cộng
Định lí 2:
Trong một cấp số cộng, mỗi số
hạng ( trừ số hạng đầu và số
hạng cuối) đều là trung bình
Giả sử ( un ) là cấp số cộng của hai số hạng đứng kề với nó
Hớng dẫn học sinh
với công sai d.áp dụng công nghĩa là
chứng minh?
thức 1 ta có:
uk 1 + uk +1
với k 2 (3)
uk 1 = uk d ; uk +1 = uk + d
suy uk =
2
ra
Chứng minh :
uk 1 + uk +1 Giả sử ( un ) là cấp số cộng với
uk 1 + uk +1 = 2uk uk =
2
công sai d.áp dụng công thức 1
ta có:
uk 1 = uk d ; uk +1 = uk + d suy ra
Phát biểu định lí 3
Hoạt động 2 (23
phỳt)
Đặt Sn = u1 + u2 + u3 ... + un

Cho hs phát biểu định
lí

uk 1 + uk +1 = 2uk uk =

uk 1 + uk +1
2

IV. Tổng n số hạng đầu tiên
của cấp số cộng
Định lí 3:
Cho cấp số cộng ( un ).


Sn =

Đặt Sn = u1 + u2 + u3 ... + un

n(u1 + un )
2

Khi đó : Sn =

Vì un = u1 + (n 1)d nên

Chú ý :
vì un = u1 + (n 1)d nên công thức
(4)
có
thể

viết

n(n 1)
Sn = nu1 +
.d
2

Nêu chú ý :

n(u1 + un )
(4)
2

Sn = nu1 +

n(n 1)
.d (4)
2

Xét ví dụ :

a, Vì un = 3n 1 nên u1 = 2
với n 1 , xét hiệu Ví dụ 3: cho dãy số ( un ) với

d

d=3

un +1 un = 3(n + 1) 1 (3n 1) = 3 u = 3n 1
n

a, chứng minh ( un ) là suy ra un +1 = un + 3 vậy ( un )
a, chứng minh ( un ) là cấp số
cấp số cộng.Tìm u1 và là cấp số cộng với công sai
cộng.Tìm u1 và d

b, tính tổng của 50 số hạng
đầu.
b, u1 = 2, n = 50 nên theo c, Biết Sn = 260 tìm n
Giải :
công thức (4) ta có:
n(n 1)
50.49 a, Vì un = 3n 1 nên u1 = 2
.d = 50.2 +
.3 = 3775
b, tính tổng của 50 số Sn = nu1 +
với
xét
hiệu
n 1,
2
2
hạng đầu.
un +1 un = 3(n + 1) 1 (3n 1) = 3
c, vì u1 = 2, n = 50, Sn = 260 nên suy ra un +1 = un + 3 vậy ( un ) là

theo công thức (4) ta có :
c, Biết Sn = 260 tìm n

n(n 1)
260 = n.2 +

.3
2
3n 2 + n 520 = 0

cấp số cộng với công sai d=3
hay b, u1 = 2, n = 50 nên theo công
thức (4) ta có:

n(n 1)
50.49
.d = 50.2 +
.3 = 3775
2
2
u1 = 2, n = 50, Sn = 260 nên

Sn = nu1 +

c, vì
theo công thức (4) ta có :

n(n 1)
hay
.3
2
3n 2 + n 520 = 0 giải phơng trình
260 = n.2 +

trên ta tìm đợc n=13 thoả mãn.
4. Cng c (2 phỳt)

5. Hớng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (1 phỳt)
Xem lại lí thuyết
Làm bài tập: 3, 5 trong sách giáo khoa trang 97.
V: Nhn Xột sau bi dy
Thi gian: .
Phng phỏp:
Kt qu hc tp..
Ngy son:

2015

Ngy ging: 11A:
11B:

TIT 43
CP S NHN
I. MC TIấU

11C:


1. Kiến thức
Biết đợc khái niệm cấp số nhân, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng
và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
2. Kĩ năng
Biết sử dụng công thức và tính chất của cấp số nhân để giải quyết các bài toán : Tìm
các yếu tố còn lại khi biết ba trong năm yếu tố u1, un, n ,d, Sn,
3. Thái độ
Tự giác, tích cực học tập
T duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống

II. CHUN B CA GV V HS
1, Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi.
2, Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi.
III. TIN TRèNH BI DY
1. n nh lp (1 phỳt)
2. Kiểm tra bài cũ (lng vo cỏc hot ng hc tp)
3. Bài mới
t vn : Tit trc cỏc em ó c hc th no l cp s cng, tit hc ny cỏc em tỡm
hiu thờm mt dóy s na, ú l cp s nhõn(1 phỳt).
Hoạt động của thầy
Hoạt động 1 (10)
Cho học sinh thực
hiện hoạt động :
Cho biết số hạt thóc ở
các ô từ thứ nhất đến
thứ 6 của bàn cờ?

Hoạt động của trò

Ghi bảng
I. Định nghĩa

ô 1 có 1 hạt
ô 2 có 2 hạt
ô 3 có 6 hạt
ô 4 có 8 hạt
ô 5 có 16 hạt
ô 6 có 32 hạt

1. Định nghĩa

Học sinh phát biểu khái Cấp số nhân là một dãy số (hữu
hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ
Phát biểu định nghĩa ? niệm .
sốhạng thứ hai, mỗi số hạng đều là
tích của số hạng đứng ngay trớc
nó với một số không đổi d.
Số q đợc gọi là công bội của cấp
số nhân.
Nếu ( un )là cấp số nhân với công
Khi q = 0 thì cấp số Khi q = 0 thì cấp số bội d, ta có hệ thức truy hồi:
nhân có dạng nh thế nhân có dạng u1 , 0,..., 0,... u = u .q
với n Ơ * (1)
n +1
n
nào ?
Khi q = 0 thì cấp số nhân có dạng
Khi q=1 cấp số nhân có
u1 , 0,..., 0,...
Khi q = 1 thì cấp số
nhân có dạng nh thế dạng u1 , u1 , u1 ,..., u1 ,...
là một dãy số không đổi.
nào ?
Khi q=1 cấp số nhân có dạng
Khi u1 = 0 thì với mọi q, u , u , u ,..., u ,...
1 1 1
1
Khi u1 = 0 thì cấp số cấp số nhân có dạng
u1 = 0 thì với mọi q,
Khi
nhân có dạng nh thế 0, 0, 0,..., 0,...

cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,..., 0,...
nào ?
Xét ví dụ/98
Biểu diễn các số hạng
u2 qua u1 và q?

1
u2 = 1 = (4).( );
4
1
1
u3 = = 1.( ) ;
4
4

Ví dụ 1:chứng minh dãy số hữu
hạn sau là một cấp số nhân:
1 1
1
4 ,1, ,
,
4 16
64


1
1
1
tơng tự biểu diễn u3 , 1 = ( 1 )( 1 ); 1 = 1 ( 1Giải
: vì : 1 = (4).( ); = 1.( ) ;

)
4
4
64 16 4
4
4
4
u4 , u5 lần lợt qua các 16
số hạng đứng trớc nó?

Kết luận gì về dãy số
đã cho?

1
1
1
1
1
1
= ( )( );
= ( )
16
4
4
64 16 4
1 1
1
Nên dãy số 4 ,1, , ,
4 16
64

Học sinh phát biểu định

là một cấp số nhân với công bội

lí?
Hoạt động 2 (10)
Cho hs phát biểu định
lí

q=

II. Số hạng tổng quát
Định lí:
Nếu cấp số nhân ( un ) có số hạng
đầu u1 và công bội q thì số hạng
tổng quát un đợc xác định bởi
công thức:
(2)
un = u1q n 1 với n 2
Ví dụ: cho cấp số nhân ( un ) biết

Xét ví dụ sgk/100

u1 = 3, q =

a,
a, Tính u7
b,hỏi
mấy?

3
số hạng thứ
256

1
4

1
3
u7 = u1.q 6 = 3.( ) 6 =
2
64

1
2

b, un = 3.( ) n 1 =

3
256

1
1
1
( ) n1 =
= ( )8
2
256
2

a, Tính u7
b, Hỏi

1
2

3
số hạng thứ mấy?
256

Giải:
áp dụng công thức (2) ta có :
1
3
u7 = u1.q 6 = 3.( ) 6 =
2
64

b, Theo công thức (2) ta có:
1
3
un = 3.( ) n1 =
2
256
1
1
1
( ) n1 =
= ( )8
2

256
2

suy ra n-1=8 hay n=9
Vậy số
Phát biểu định lí 2
Hoạt động 3 (10)
Cho học sinh phát
biểu định lí
u +u
uk = k 1 k +1 với k 2

3
là số hạng thứ 9
256

III. Tính chất các số hạng của
cấp số nhân
Định lí 2:
Trong một cấp số nhân,bình phơng
2
mỗi số hạng ( trừ số hạng đầu và số
(3)
hạng cuối) đều là tích của hai số
Hớng dẫn học sinh
chứng minh?
hạng đứng kề với nó, nghĩa là
Giả sử ( un ) là cấp số 2
u = u .u với k 2 (3)
nhân với công sai d.áp k k 1 k +1

dụng công thức 1 ta có: (hay uk = uk 1 .uk +1 )
uk 1 = uk d ; uk +1 = uk + d
Chứng minh:sử dụng công thức (2)
suy
ra với k 2 , ta có:
uk 1 + uuk +k 11 = u1 .q k 2
uk 1 + uk +1 = 2uk uk =
2 u = u .q k
k +1
1


suy ra uk 1 .uk +1 = u12 q2 k 2 = ( u1q k 1 ) = uk2
2

Hoạt động 4 (10)
Cho hs phát biểu định
lí
Viết dạng khai triển u1 , u1q, u1q 2 ,...u1q n 1 ,...
của cấp số nhân ?
Đặt:
S n = u1 + u2 + u3 + ... + un
Biểu diễn Sn qua u1 , q

IV, Tổng n số hạng đầu tiên của
cấp số nhân
Cấp số nhân ( un ) với công bội q có
thể viết dới dạng:

Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un

n 1

= u1 + u1q + u1q + ...u1q Khi đó:
2

u1 , u1q, u1q 2 ,...u1q n 1 ,...

nhân hai vế của biểu thức(4) với q
ta đợc :
qS n = u1q + u1q 2 + u1q 3 + ... + u1q n (5)

Trừ tơng ứng từng vế của các
đẳng thức(4) và (5) ta đợc
(1 q ).S n = u1 (1 q n ) .
Ta có định lí:

Phát biểu định lí 3
Xét ví dụ :
Định lí 3:
tính tổng của 10 số
hạng đầu tiên.
Đặt Sn = u1 + u2 + u3 ... + un Cho cấp số nhân ( un ).với công bội
thì
q 1
n
u (1 q )
Đặt Sn = u1 + u2 + u3 ... + un
S = 1
n

1 q

Khi đó : Sn =

u1 (1 q n )
(4)
1 q

Chú ý :
Với q=1 thì cấp số vì q=1 thì cấp số nhân vì q=1 thì cấp số nhân
nhân có tổng bằng là u1 , u, u1 , u1 ,...u1 ,.. khi đó u1 , u, u1 , u1 ,...u1 ,.. khi đó Sn = nu1
bao nhiêu?

là

S n = nu1

Ví dụ 3: cho cấp số nhân ( un ) biết
u1 = 2, u3 = 18 tính tổng của mời số
sử dụng công thức của hạng đầu tiên
ví dụ 3/102
tính tổng của mời số số hạng tổng quát ta Giải :theo giải thiết u1 = 2, u3 = 18 ta
tính đợc q
hạng đầu tiên?
có: u3 = u1 .q 2 2.q 2 = 18 q = 3
vậy có hai trờng hợp:
tìm q=?
10
q=3, ta có: S10 = 2(1 3 ) = 59048

với q=3 ta có S=?
với q=-3 ta có S= ?

q=3,

ta

S10 =

2(1 3 )
= 59048
1 3

q=-3
S10 =

10

ta

1 3
có: q=-3ta có: S = 2(1 (3)10 ) = 29524
10
1 (3)

có:

2(1 (3) )
= 29524

1 (3)
10

4. Cng c (2 phỳt)
Cp s nhõn l gỡ ?
5. Hớng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (1 phỳt)
Xem lại lí thuyết
Làm bài tập 2, 3, 5: trong sách giáo khoa trang 103.
V: Nhn Xột sau bi dy


Thời gian: ……………………………………………………………………………….
Phương pháp: ……………………………………………………………………………
Kết quả học tập…………………………………………………………………………..
-----------------------------------------------------------------------

Ngày soạn:

2015

Ngày giảng: 11A:
11B:

11C:

TIẾT 44
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN

I. Mục tiêu
1.Kiến thức

Giúp cho học sinh:
Nắm vững các kiến thức : định nghĩa cấp số nhân , công thức số hạng tổng quát . công
thức tính tổng n số hạng đầu của 1 cấp số nhân.
2. Kĩ năng
Rè cho học sinh :
-Biết vận dụng các công thức nêu trên vào giải bài tập.
- Tìm được các yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tố u1 , un , n, q, Sn , tính được u1 , q ,
un , S n .
-Biết vận dụng các kiến thức vềcấp số nhân vòa bài toán thực tế .i
3. Thái độ
Rèn cho học sinh :
- Khả năng suy luận và phân tích , tính toán chính xác .
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Giáo viên: giáo án.
2. Học sinh : nắm vư?ng các nội dung nêu trên.
III. Tiến trình bài dạy
1. ổn địh lớp (1 phút)
2. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp với việc sửa bài tập
3. Bài mới
Đặt vấn đềt: Tiết học trước các em đã biết thế nào là cấp số nhân cùng với các tính
chất của nó. Hôm nay thầy giúp các em luyện tập thêm các bài tập về cấp số nhân m(1
phút)
Hoạt động 1( 10) : Kiểm tra bài cu?
Hoạt động của GV
-HS1:Trình bày định nghĩa
CSN và định lí1. Làm bài tập 6
về nhà r
-HS2: Trình bày đ?nh lí 2 và 3.

Hoạt động của HS

-HS lên bảng trả lời
-Tất cả các HS còn lại
chú ý nhận xét.
-Ghi nhận.

Ghi bảng


Làm bài tập 7 về nhàT
- Kiểm tra các câu hỏi về
nhà.K
Hoạt động 2( 12) : BT1/103/SGK
Phương pháp: phát vấn, gợi mở vấn đáp, đàm thoại, nhóm nhỏ thảo luận, nêu vấn đề….
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng
-Để chứng minh dãy số là -HS suy nghĩ trả lời: lập tỉ BT1/103/SGK :
un +1
một cấp số nhân, ta cần làm
số u
gì
n
a/

un +1
=
un

2.

Vậy

un +1 = un .2∀n ∈ ¥ ∗

b/

Tương

tự

.

ĐS

:

1
un +1 = un .
2
1
2

c/ ĐS : un+1 = un .(− )
-Nhận xét, ghi nhận
Hoạt động 3( 19) : BT2,3/103/SGK
Phương pháp: phát vấn, gợi mở vấn đáp, đàm thoại, nhóm nhỏ thảo luận, nêu vấn đề….
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng
u

=
2,
u
=
486
BT2/103/SGK :
a/ Biết 1
. Tìm -Nhận xét, ghi nhận
6
Ta
có
:
q.
5
5
-Nghe, suy nghĩ, trả lời:dựa u6 = u1.q = 2.q = 486
e tìm q ta da vào đâu?
vàoCT:
2
8
b/ Bieát q = , u4 = . Tìm u = u .q n−1 , n ≥ 2
⇔ q 5 = 243 = 35 ⇒ q = 3
3
21
.
n
1
u1 .
Ta
có

:
3
-HS suy nghĩ trả lời: dựa
e tìm u1 ta da vao aâu?
8
2
u4 = u1.q 3 = u1.  ÷ =
c/ Biết u1 = 3, q = −2 của cấp vào CT:
 3  21
n −1
3
số nhân hỏi số 192 là số un = u1.q , n ≥ 2 .
8 3 9
⇒ u1 = .  ÷ =
hạng thứ mấy?
21  2  7
Theo yêu cầu đề bài như thế -HS suy nghĩ trả lời: dựa Ta
có
:
nàyh, ta dựa vào đâu để t? vào CT:
192
⇔ (−2) n−1 =
= 64
un = u1.q n −1 , n ≥ 2 .
m?
3
a/ Biết u3 = 3, u5 = 27 .
-HS suy nghĩ trả lời:
Theo yêu cầu đề bài h, ta +T?m u1 và q.
cần tìm gì

+
Dựa
vào
un = u1.q n −1 , n ≥ 2

⇔ (−2) n = ( −2).64 = −128
⇒n=7

BT3/103/SGK :Tìm 5 số
CT: hạng của cấp số nhân.

-HS suy nghĩ trả lời: giải hệ.
+
Dựa
vào
CT:

b/ Biết u4 − u2 = 25, u3 − u1 = 50 u = u .q n−1 , n ≥ 2
n
1
Để giải được câu này , ta

u5 u1.q 4 27
=
=9
Ta có : =
u3 u1.q 2
3
⇔ q 2 = 9 ⇒ q = ±3

+ Với q = 3, ta có cấp số


cần làm gì

+T?m u1 và q.
Ta

{

u4 − u2 = 25
u3 −u1 =50


⇔


⇔

{

có:
3

u1 ( q − q ) = 25
u1 ( q 2 −1) =50

200
u1 =−
3

1
q=
2

nhân :

1
,1,3,9, 27
3

+ Với q = -3, ta có cấp số
nhân :
1
, −1,3, −9, 27
3

Ta có cấp số nhân:
1
u2 n −1 = 2. 3n 3n −132 n − 1 + 39n
3

3. Củng cố ( 1 phút)
Các em cần nhớ :
- Cách chứng minh dãy số là cấp số nhân.
- Cách tìm số hạng đầu và công bội thỏa điều kiện cho trước.
- Cách tìm các số hạng của cấp số nhân thỏa điều kiện cho trước.
4. Hưỡng dẫn học sinh học bài và làm bài tập (1 phút)
- Xem kỹ các dạng bài tập đã giải.
V: Nhận Xét sau bài dạy
Thời gian: ……………………………………………………………………………….

Phương pháp: ……………………………………………………………………………
Kết quả học tập…………………………………………………………………………..


Ngày soạn:

2015

Ngày giảng: 11A:
11B:

11C:

TIẾT 45
ÔN TẬP CHƯƠNG III
I. Mục tiêu
Qua bài học HS cần:
1. Kiến thức
- Phương pháp quy nạp toán học.
- Định nghĩa và các tính chất của cấp số.
- Định nghĩa, các công thức tính số hạng tổng quát, tính chất và công thức tính tổng
n số hạng đầu của một cấp số cộng cấp số nhân.
2. Kỹ năng
- Áp dụng được lý thuyết vào giải các bài tập về chứng minh quy nạp, cấp số cộng,
cấp số nhân.
- Biết các dùng máy tính bỏ túi hỗ trợ tính số hạng thứ n hay là tổng của n số hạng
đầu tiên,…
- Giải được các bài tập cơ bản trong SGK.
3. Thái độ
- Phát triển tư duy trừu tượng, khái quát hóa, tư duy lôgic,…

- Học sinh có thái độ nghiêm túc, say mê trong học tập, biết quan sát và phán đoán
chính xác, biết quy lạ về quen.
II. Chuẩn bị của GV và HS
GV: Giáo án, các dụng cụ học tập,…
HS: Soạn bài trước khi đến lớp, chuẩn bị bảng phụ (nếu cần), …Giải được các bài tập
trong SGK.
III. Tiến trình bài dạy
1. Ổn định lớp (1 phút)
2. kiểm tra bài cũ:
3. Bài mới
Đặt vấn đề: Trong chương III các em đã được nghiên cứu về phương pháp quy nạp,
dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân, tiết học này thầy giúp các em ôn tập lại các kiến thức
ấy (1 phút).
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung
HĐ1( 13 phút): (Ôn


tập kiến thức)
HĐTP1: Ôn tập kiến
thức bằng cách gọi HS
đúng tại chỗ trả lời các
câu hỏi cảu bài tập 1
đến 4 trong SGK.
GV goi từng HS nêu
câu trả lời cảu các bài
tập 1 đến 4.
Bài tập 3 GV hướng dẫn
giải và yêu cầu HS các

nhóm suy nghĩ giải bài
tập 4
HĐTP2: Sử dụng pp
quy nạp toán học để
giải toán.
GV yêu cầu HS các
nhóm xem nội dung bài
tập 5a) và thảo luận suy
nghĩ trả lời.
GV gọi HS đại diện lên
bảng trình bày lời giải.
GV gọi HS nhận xét, bổ
sung (nếu cần)

HS suy nghĩ và trả lời …
HS chú ý theo dõi…
Bài tập 1:
Vì un+1 – un=d nên nếu d>
∀n ∈ ¥ * thì cấp số cộng tăng,
ngược lại cấp số cộng giảm.
Bài 2: HS suy nghĩ và trả lời
tương tự.

Bài tập 1 đến bài tập 4
(SGK)

HS các nhóm xem đề và thảo Bài tập 5a) (SGK)
luận theo nhóm để tìm lời
giải.
HS đại diện lên bảng trình

bày lời giải (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Đặt Bn = 13n-1
Với n = 1 thì B1 = 131-1=12M6
Giả sử Bk = 13k-1M6
Ta phải chứng minh Bk+1M6
Thật vậy, theo giả thiết quy
nạp ta có:
Bk+1=13k+1-1=13.13k-13+12
=13(13k-1)+12=13.Bk+12
GV nhận xét và nêu lời Vì Bk M6 và 12M6 nên Bk+1M6
giải đúng (nếu HS Vậy Bn = 13n-1M6
không trình bày đúng
lời giải)
HĐ2( 28 phút):
HĐTP2: Xét tính tăng
Bài tập 7 (SGK)
giảm và bị chặn của
Xét tính tăng, giảm và bị
một dãy số.
HS các nhóm xem đề và thảo chặn của dãy số (un), biết:
HS cho HS các nhóm luận theo nhóm để tìm lời a)u = n + 1
n
n
xem nội dung bài tập 7 giải.
và thảo luận theo nhóm HS đại diện nhóm lên bảng
đề tìm lời giải.
trình bày lời giải (có giải

GV gọi HS đại diện thích)
nhóm lên bảng trình bày HS các nhóm trao đổi và rút
lời giải.
ra kết quả:
Gọi HS nhận xét, bổ Dãy (un) tăng và bị chặn dưới
Bài tập 8 và 9 (SGK)
sung (nếu cần)
bởi 2.
GV nhận xét và nêu lời
giải đúng (nếu HS
không trình bày đúng


lời giải)
HĐTP2: Các bài tập
về cấp số cộng và cấp
số nhân.
GV yêu cầu HS các
nhóm theo dõi đề bài
tập 8 và 9 trong SGK và
cho HS các nhóm thảo
luận để tìm lời giải.
Gọi HS đại diện lên
bảng trình bày lời giải
và gọi HS nhận xét, bổ
sung và GV nêu lời giải
đúng (nếu HS không
trình bày đúng lời giải)
HĐTP3:
GV cho HS các nhóm

xem đề bài tập 10 và
thảo luận theo nhóm để
tìm lời giải.
Gọi HS đại diện nhóm
lên bảng trình bày lời
giải.
Gọi HS nhận xét, bổ
sung (nếu cần)
GV nhận xét và nêu lời
giải đúng (nếu HS
không trình bày đúng
kết quả)

HS các nhóm thảo luận và
suy nghĩ tìm lời giải bài tập 8
và 9, cử đại diện lên bảng
trình bày lời giải.
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
HS các nhóm trao đổi và cho
kết quả:…
8a)) u1=8; d = -3.
8b) u1=0, d = 3; u1=-12, d =
21
5

9a)q = 2 và u1=6
9b) q = 2 và u1=12.
HS các nhóm thảo luận để
tìm lời giải và cử đại diện lên

bảng trình bày lời giải có giải
thích.
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
+C = 4A Þ B = A .4A = 2A
+ C2 = B.D nên 16A2 = 2A.D.
suy ra: D = 8A
A + B + C + D = 360 0 nên
15A = 3600
Suy ra:
A = 250, B = 480, C = 960,
D = 1920

Bài tập 10. Cho tứ giác
ABCD có số đo (độ) của
các góc lập thành một cấp
số nhân theo thứ tự A, B, C,
D. Biết góc C gấp bốn lần
góc A. Tính các góc của tứ
giác.
- Cho các nhóm cùng
thảo luận để giải bài
toán
- GV quan sát và hướng
dẫn: Tính các góc B, C,
D theo A
Nhận và chính xác kết quả
nhóm hoàn thành sớm nhất

4. Củng cố (1 phút)
- Gọi HS nhắn lại khái niệm cấp số cộng và cấp số nhân, công thức tính số hạng tổng
quát, tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân và tổng n số hạng đầu của một cấp cấp số
cộng và cấp số nhân.
- Áp dụng giải bài tập 10 SGK trang 108.
5. Hướng dẫn học ở nhà (1 phút)
- Xem lại lý thuyết trong chương III.
- Xem lại các bài tập đã giải và giải các bài tập còn lại trong phần ôn tập chương III.
V: Nhận Xét sau bài dạy
Thời gian: ……………………………………………………………………………….
Phương pháp: ……………………………………………………………………………
Kết quả học tập…………………………………………………………………………..


Ngày soạn:

2015

Ngày giảng: 11A:
11B:

11C:

TIẾT 46
ÔN TẬP HỌC KÌ I
I. Mục tiêu
1. Kiến thức
- Ôn tập và hệ thống hóa các kiến thức về phương trình lượng giác; các kiến thức về
hoán vị, tổ hợp và xác suất.
2. Kỹ năng

- Có kỹ năng hệ thống hóa các kiến thức cơ bản đã học.
- Kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học để giải các bài tập tổng hợp.
3. Thái độ
- Tích cực tham gia vào bài học, có tinh thần hợp tác.
- Phát huy trí tưởng tượng, rèn luyện tư duy lôgic.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Chuẩn bị của học sinh: SGK, thước kẻ.
2. Chuẩn bị của giáo viên: SGK, thước kẻ, bảng phụ.
III. Tiến trình bài dạy
1. Ổn định lớp (1 phút)
1. Kiểm tra bài cũ : Kết hợp trong quá trình ôn tập.
2. Bài mới
Đặt vấn đề: Trong chương trình đại số lớp 11 từ đầu năm học này, các em đã học
qua phương trình lượng giác, Tổ hợp - xác suất và dãy số, tiết học này, thầy giúp các em
ôn lại những kiến thức đó (1 phút)
Hoạt động của học
Hoạt động của giáo viên
Ghi bảng
sinh
Hoạt động 1( 13 phút): Ôn tập phần lượng giác
Phương pháp: phát vấn, gợi mở vấn đáp, đàm thoại,
nhóm nhỏ thảo luận, nêu vấn đề….
GV cho HS nhắc lại các - HS nêu các dạng pt Bài 1: Giaûi caùc phöông trình
dạng pt lượng giác cơ bản lượng giác đã học và sau:


Hoạt động của học
sinh
đã học và cơng thức viết cơng thức nghiệm.
nghiệm của từng pt .

HS nêu một số dạng pt
H: Nêu một số dạng pt đã học.
lượng giác đơn giản đã - HS nêu cách giải từng
học ? Nêu cách giải từng dạng .
dạng ?
HS làm BT1.
Hoạt động của giáo viên

GV đưa nội dung đề BT1
lên bảng.
- Cho 3 HS lên bảng giải
câu a, b, c.

a) 2cosx - 3 = 0
b) tg( 3x +600) = 3
b) tg( 3x +600) = 3
c) sin6x + 3 cos6x = 2
d) 2sin2x – 5sinxcosx –
8cos2x = -2
d) sin2x - cosx + 1 = 0
e) 2sin2x – 5sinxcosx – 8cos2x
= -2
f) sinx + sin3x = cosx
+ cos3x
f) cos2x + cos6x = sin8x
- 3 HS lên bảng giải.
Hướng dẫn:
e/ Thay -2 = -2(sin2x + cos2x)
đưa pt về pt thuần nhất có vế
- Các HS khác nhận xét.

phải bằng 0.
f/ pt tương đương :
2cos4xcos2x = 2sin4xcos4x
⇔ 2cos4x(cos2x – sin4x) = 0
- HS ghi nhớ.

- GV kiểm tra, nhận xét.
Lưu ý: Trong pt khơng
được sử dụng đồng thời 2
đơn vị đo góc là độ và
rađian.
- Khi giải câu f, khơng
được giản ước cho cos4x ở
2 vế của pt vì cos4x chưa
khác 0 và làm như thế sẽ
mất nghiệm.
Hoạt động 2( 13 phút): Ơn tập phần tổ hợp
Phương pháp: phát vấn, gợi mở vấn đáp, đàm thoại,
nhóm nhỏ thảo luận, nêu vấn đề….
GV cho HS nhắc lại 2 quy
tắc đếm cơ bản.
- Cho HS nêu định nghĩa
và viết cơng thức tính số
các hốn vị, chỉnh hợp, tổ
hợp.
GV đưa nội dung đề BT 2
lên bảng.
- GV cho 1 HS lên bảng
giải câu a.

Ghi bảng

- 1 HS nhắc lại.
- HS nêu định nghĩa và
viết cơng thức tính.
HS xem nội dung đề
BT2.

- 1 HS lên bảng giải câu
a.
Gọi số cần tìm có dạng
- GV kiểm tra, nhận xét.
abcde . Chữ số a có 6
GV phân tích hướng dẫn cách chọn, các chữ số
HS giải câu b và câu c sau còn lại có 7 cách chọn.
đó cho 2 HS lên bảng giải. Vậy có tất cả 6.74 = 14

cos4 x = 0
⇔
cos2 x = sin 4 x

h) sin3x – cos3x = 1 +
sinxcosx

Bài 2: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6.
a/ Có thể lập được bao nhiêu
số có 5 chữ số ?
b/ Có thể lập được bao nhiêu
số chẵn có 5 chữ số khác

nhau.
c/ Có thể lập được bao nhiêu
số có 4 chữ số khác nhau và
chia hết cho 5.
Hướng dẫn:
b/ Xét 2 trường hợp:
TH1: Số có dạng abcd 0