Giải đề thi Giai tich 2

Cập nhật 18/01/2015

2.6 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2014 – 2015

Môn thi: Giải tích 2
Số tín chỉ: 02

Đề số 1

Dành cho sinh viên: Ngoài khoa Toán
Dạng đề thi: Không được sử dụng tài liệu
Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (3đ): Tìm cực trị của hàm số

z  x 3  6xy  y3
Câu 2 (4đ): Tính tích phân 3 lớp sau:

I  | xy | dxdydz
V

Trong đó V là miền xác định bởi x2 + y2 + z2  4 và z  0
Câu 3 (3đ): Tính tích phân đường loại hai:

I   (e x siny  xy  y 2 ) dx  (e x cosy  xy  x 2 ) dy
L

2
Trong đó, L là đường cong kín gồm cung y  1  x và đoạn [–1, 1]

Lời giải:
Câu 1: Tìm cực trị của hàm số hai biến
3
3
Hàm số: z  x  6xy  y

Thuộc dạng bài tìm cực trị tự do của hàm số hai biến.
* Tìm các điểm tới hạn (điểm dừng):
'
'
''
''
Hàm số xác định trên R2. Đặt: p  f x ; q  f y ; r  f x2 ; S  f xy ;

t  f y''2

Ta có:

p  f x'  3x 2  6y
q  f y'  3y2  6x
r  f x''2  6x ;

S  f xy''  6 ;

t  f y''2  6y

2

2
p  0 
3x  6y  0 
x  2y  0
 2
 2
 x 2  y2  2(x  y)  0
Cho: 
q  0 
3y  6x  0 
y  2x  0

Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149
25


Cập nhật 18/01/2015

x  y
 (x  y).(x  y  2)  0  
x  (y  2)
+ Thay x = y vào phương trình x2 – 2y = 0 ta được:

 y  0 x  0
y2  2y  0  

y

2


x  2
+ Thay x = – (y + 2) vào phương trình x2 – 2y = 0 ta được:

y2  4  0

(vô nghiệm thực)

 Có 2 điểm dừng: A(0, 0) và B(2, 2)
* Xét xem các điểm dừng có phải là cực trị hay không:
+ Xét điểm dừng A(0, 0) ta có:

S2  rt  36  36xy  36  0 . Do đó, A không là cực trị.
+ Xét điểm dừng B(2, 2) ta có:

S2  rt  36  36xy  108  0
Kết hợp với r = 6x = 12 > 0. Do đó, B là điểm cực tiểu.
Kết luận:
Hàm số z(x, y) đạt cực tiểu địa phương bằng –8 tại điểm B(2, 2).
Tham khảo hình ảnh từ đồ thị (kiểm tra lại kết quả tính toán):
Hình ảnh từ đồ thị cho thấy, điểm B(2, 2) thỏa mãn điểm cực tiểu và z(B) = – 8

HVT
Cực tiểu

Câu 2: Tính tích phân 3 lớp

I  | xy | dxdydz trong đó V là miền xác định bởi x2 + y2 + z2  4 và z  0
V

Miền lấy tích phân có dạng một nửa khối cầu phía trên mặt phẳng xOy, tâm khối

cầu tại O(0, 0, 0); bán kính R = 2. Hàm lấy tích phân là hàm chẵn đối với cả x và y,
miền lấy tích phân đối xứng qua mặt phẳng xOz và mặt phẳng yOz.
Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149
26


Cập nhật 18/01/2015

z
Miền V có dạng như hình vẽ:
Chia miền V thành 4 miền ứng
với 4 góc phần tư trong mặt phẳng
xOy. Tích phân cần tìm là:

2

V1

I  | xy | dxdydz

y

V

 4 xy dxdydz

x

V1

Đổi biến sang hệ tọa độ cầu:

x 'r
x  rcos sinθ

'
Đặt: y  rsin sinθ . Tính định thức Jacobi: J  y r
z  rcosθ
z 'r


x '
y'
z'

x θ'
y θ'  r 2sinθ
z θ'

0  r  2

Miền V1 được xác định với 0  θ  π/2
0    π/2

2
Do đó: I  4 xy dxdydz  4 rcos sinθ. rsin sinθ. | r sinθ | drd dθ
V1

V1

2

π/2

π/2

0

0

 4 r . sin cos. sin θ drd dθ  4 r dr.  sin cos d.  sin 3θ dθ
4

3

4

V1

0

2

r 5 sin 2
4
.
5 0 2

π/2 π/2

32 1 π/2
.   sin θ d (cosθ)  4. . .  (cos2θ  1) d (cosθ)
5 2 0
0
2

0

 /2


64  cos3θ
 
 cos θ 
5  3
0



64 
1  128
 0  0   1 
5
3  15

Câu 3: Tính tích phân đường loại hai

I   (e x siny  xy  y 2 ) dx  (e x cosy  xy  x 2 ) dy
L

2
Trong đó, L là đường cong kín gồm cung y  1  x và đoạn [–1, 1]

Đường cong kín L xác định miền D  R2 có dạng nửa đường tròn tâm O, bán kính 1
Sử dụng mối liên hệ giữa tích phân đường
loại hai với tích phân kép (công thức Green) để
tìm tích phân trên.

 P(x, y) dx  Q(x, y) dy    P

'
y

L

y
y  1 x2



 Qx' dxdy

D

Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149
27

D
1

O

1

x


Cập nhật 18/01/2015

Do đó:

I   (e x siny  xy  y 2 ) dx  (e x cosy  xy  x 2 ) dy
L





   ex cosy  x  2y  ex cosy  y  2x dxdy   x  y  dxdy
D

D

Miền D có dạng nửa hình tròn, sử dụng phương pháp đổi biến trong hệ tọa độ cực:

x  rcos
y  rsin

Đặt: 

x 'r
Tính định thức Jacobi: J  '
yr

x'
cos  rsin

r
'
y sin rcos

Tích phân trở thành:

0  r  1
I   x  y dxdy   (rcos  rsin ) | r| drd với D' xác định bởi: 
0    π
D
D'
π

1

  r dr (cos  sin ) d   r dr. (cos  sin ) d
2

D'

2

0

0

1

r3
1
2
π

.sin  cos  0  . 1  1  
30
3
3

Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149
28