Phương pháp Hungari giải bài toán giao việc tuyến tính và mở rộng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ THỊ CÚC

PHƢƠNG PHÁP HUNGARI GIẢI BÀI TOÁN
GIAO VIỆC TUYẾN TÍNH VÀ MỞ RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

1


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
MỤC LỤC

Trang
LỜI NÓI ĐẦU

2

Chƣơng 1. PHƢƠNG PHÁP HUNGARI VÀ BÀI TOÁN GIAO VIỆC

4

1.1. Bài toán giao việc

4

1.2. Phƣơng pháp Hungari

8

1.3. Ví dụ áp dụng

12

1.4. Bài toán tìm cực đại

15

Chƣơng 2. PHƢƠNG PHÁP THU HẸP CHÍNH TẮC

18

2.1. Bài toán vận tải tuyến tính

18

2.2. Phƣơng pháp thu hẹp chính tắc

21

2.4. Ví dụ minh họa

27

KẾT LUẬN

31

TÀI LIỆU THAM KHẢO

32

2


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
LỜI NÓI ĐẦU
Bài toán giao việc (Assignment Problem) là một trƣờng hợp riêng quan
trọng của bài toán qui hoạch tuyến tính và có quan hệ gần gũi với bài toán vận
tải (Transportation Problem) và bài toán ngƣời du lịch (Traveling Salesman
Problem) trong tối ƣu tổ hợp và lý thuyết đồ thị. Bài toán giao việc có nhiều
ứng dụng thiết thực, đa dạng trong thực tiễn và luôn là chủ đề hấp dẫn của tối
ƣu hóa. Hiện vẫn có nhiều nghiên cứu đề cập tới bài toán giao việc nhằm tổng
quát và mở rộng phạm vi ứng dụng của bài toán.
Phương pháp Hungari (Hungarian Method) rất độc đáo và hiệu qủa để
giải bài toán giao việc. Tên gọi của phƣơng pháp là để tƣởng nhớ hai nhà toán
học Hungari: König và Egeváry, đã có công đầu tạo ra cơ sở lý luận cho
phƣơng pháp. Harold W. Kuhn là ngƣời đã phát triển và công bố phƣơng
pháp này năm 1955 (xem [6]).

Phƣơng pháp Hungari đã trở nên quen thuộc, đƣợc dùng rộng rãi và có
thể mở rộng cho nhiều bài toán khác của qui hoạch tuyến tính, trong đó có bài
toán vận tải mà thuật toán "thu hẹp chính tắc" là một dạng mở rộng nhƣ thế.
Luận văn "Phương pháp Hungari giải bài toán giao việc tuyến tính và
mở rộng" nhằm mục đích tìm hiểu bài toán giao việc với hàm mục tiêu tuyến
tính và các ứng dụng của bài toán; Phƣơng pháp Hungari giải bài toán giao
việc tuyến tính và phƣơng pháp "thu hẹp chính tắc" giải bài toán vận tải (ở
dạng ma trận) của qui hoạch tuyến tính.
Luận văn đƣợc trình bày trong hai chƣơng.
Chƣơng 1 "Phƣơng pháp Hungari và bài toán giao việc" trình bày nội
dung bài toán giao việc với hàm mục tiêu tuyến tính và một số ứng dụng của
bài toán, đồng thời đề cập tới một số bài toán có liên quan: Bài toán vận tải và
bài toán ngƣời du lich. Tiếp đó, luận văn trình bày phƣơng pháp Hungari quen
thuộc giải bài toán và các ví dụ minh họa.

3


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
Chƣơng 2 "Phƣơng pháp thu hẹp chính tắc" đề cập tới bài toán vận tải
với hàm mục tiêu tuyến tính, một dạng mở rộng của bài toán giao việc tuyến
tính (khi vế phải nguyên, khác 1) và trình bày phƣơng pháp "thu hẹp chính
tắc" do Giả sử Hoàng Tụy đƣa ra trong [3] (có chung ý tƣởng với phƣơng
pháp Hungari) để giải bài toán.Luận văn đã nêu các ví dụ minh họa cho thuật
toán giải đã trình bày. Phân tích quan hệ giữa phƣơng pháp thu hẹp chính tắc
với phƣơng pháp Hungari và một số phƣơng pháp giải khác có cùng ý tƣởng.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn này còn
có những thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy, cô và các bạn đóng góp ý

kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau này.
Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS - TS
Trần Vũ Thiệu, ngƣời đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Trƣờng Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, Viện Toán hoc - Viện Hàn lâm Khoa học và Công
nghệ Việt Nam đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác
giả học tập và nghiên cứu.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015
Tác giả

Vũ Thị Cúc

4


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
Chƣơng 1

PHƢƠNG PHÁP HUNGARI VÀ BÀI TOÁN GIAO VIỆC
Chƣơng này đề cập tới bài toán giao việc, một dạng đặc biệt của bài toán
vận tải và có nhiều ứng dụng rộng rãi. Sau khi nêu nội dung và ý nghĩa của
bài toán, luận văn sẽ trình bày phƣơng pháp Hungari quen thuộc giải bài toán
và các ví dụ minh họa. Nội dung của chƣơng đƣợc tham khảo từ tài liệu [1],
[4] và [7].
1.1. BÀI TOÁN GIAO VIỆC TUYẾN TÍNH
Bài toán này có nội dung nhƣ sau: Có n ngƣời (i = 1, 2, ... , n) và n công
việc (j = 1, 2, ... , n). Để giao cho ngƣời i thực hiện công việc j cần một chi
phí cij ≥ 0. Vấn đề là cần giao cho ngƣời nào làm việc gì (mỗi ngƣời chỉ làm
một việc, mỗi việc chỉ do một ngƣời làm) sao cho chi phí tổng cộng nhỏ nhất?

Mô hình toán học cho bài toán này nhƣ sau:
n

n

z=

c ij x ij → min

(1.1)

i 1j 1

với các điều kiện
n

x ij = 1, i = 1, ... , n (mỗi ngƣời chỉ làm một việc),

(1.2)

x ij = 1, j = 1, ... , n (mỗi việc chỉ do một ngƣời làm),

(1.3)

xij = 0 hay 1, i = 1, ... , n, j = 1, ... , n (biến nhị nguyên).

(1.4)

j 1

n
i 1

Vì có các điều kiện (1.2), (1.3) nên điều kiện (1.4) có thể thay bằng
xij nguyên ≥ 0, i = 1, 2, ... , n, j = 1, 2, ... , n.
Bài toán (1.1) - (1.4) gọi là bài toán giao việc với ma trận chi phí C = [cij].

5


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
Định nghĩa 1.1. Các số {xij} thỏa mãn (1.2) - (1.4) gọi là một phương án
giao việc, hay ngắn gọn là một phương án, một phƣơng án đạt cực tiểu của
(1.1) gọi là một phương án tối ưu hay lời giải của bài toán.
Giả sử danh sách người và việc đƣợc viết theo một thứ tự nhất định. Khi
đó có một cách giao việc đơn giản là giao cho ngƣời i thực hiện công việc ở vị
trí thứ i trong danh sách. Nếu danh sách các công việc đƣợc sắp xếp lại và ta
vẫn giao cho ngƣời i làm việc j trong danh sách thì rất có thể ta sẽ có chi phí
tổng cộng nhỏ hơn. Vấn đề là cần xáo trộn danh sách các công việc sao cho
chi phí tổng cộng là nhỏ nhất. Nói một cách khác, cần tìm một hoán vị

= (i1,

i2, ... , in) của n số 1, 2, ... , n sao cho tổng số
c1i1 + c1i2 + ... + c1in
đạt giá trị nhỏ nhất. Số hoán vị của n số 1, 2, ... , n bằng n!, vì thế bài toán có
n! phƣơng án.
Hàm n! tăng theo hàm giai thừa: 4! = 24, 10! = 3.628.800 và 100! =

9,3×10157. Tính và so sánh n! phƣơng án để chọn ra phƣơng án tối ƣu là một
thuật toán không có hiệu quả thực tế, vì đó là một thuật toán thời gian mũ.
Mỗi hoán vị của n số 1, 2, ... , n có thể đặt tƣơng ứng với một ma trận
vuông cấp n : X = [xij], với các phần tử 0 hoặc 1, xij = 1 có nghĩa là ngƣời i
đƣợc giao làm việc j. Chẳng hạn, hoán vị 3, 1, 2 tƣơng ứng với ma trận
0 0 1
X= 1 0 0
0 1 0

Để ý rằng trên mỗi hàng, mỗi cột của ma trận X có vừa đúng một số 1 (mọi số
còn lại bằng 0).
Cùng với bài toán min z, ta có thể xét bài toán max z với cùng các điều
kiện (1.2) - (1.4). Khi đó cij biểu thị hiệu quả thu đƣợc khi giao cho ngƣời i
thực hiện công việc j.
Bài toán giao việc rất gần với hai bài toán quen thuộc sau đây.

6


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
• Bài toán vận tải: Cần vận chuyển một loại hàng (xi măng chẳng hạn)
từ m nơi cung cấp hàng (gọi là trạm phát) tới n nơi tiêu thụ hàng (gọi là trạm
thu). Cho biết lƣợng hàng có ở trạm phát i (i = 1, 2, ... , m) là số pi nguyên >
0, và lƣợng hàng cần ở tram thu j (j = 1, 2, ... , n) là số qj nguyên > 0 và giá
cƣớc vận chuyển một đơn vị hàng từ trạm phát i tới trạm thu j là cij ≥ 0. Giả
thiết các pi, qj thỏa mãn điều kiện cân bằng cung cầu: p1 + p2 + ... + pm = q1 +
q2 + ... + qn. Vấn đề đặt ra là: cần tìm một phƣơng án vận chuyển hàng từ mỗi
trạm phát tới mỗi trạm thu sao cho mọi trạm phát đều giao hết lƣợng hàng có,

mọi trạm thu đều nhận đủ lƣợng hàng cần, và tổng chi phí vận chuyển là nhỏ
nhất? Mô hình toán học của bài toán này sẽ đƣợc nêu ở Mục 2.1, Chƣơng 2.
• Bài toán ngƣời du lịch: Có n thành phố, đánh số từ 1 tới n. Xuất phát
từ một trong n thành phố này (chẳng hạn thành phố 1), một khách du lịch
muốn tới thăm (n - 1) thành phố còn lại, mỗi thành phố vừa đúng một lần, rồi
trở về thành phố xuất phát. Cho biết cij là chi phí đi từ thành phố i tới thành
phố j. Giả thiết cij > 0 với mọi i ≠ j và cii = + ∞ với mọi i (có thể cij ≠ cji). Hãy
tìm cho khách du lịch một hành trình có tổng chi phí nhỏ nhất? Có một số
cách diễn đạt toán học cho bài toán này, trong đó có mô hình tƣơng tự (1.1) (1.4) (xem chẳng hạn, [1] tr. 250).
Trong mô hình (1.1) - (1.4) ở trên, ta giả thiết số ngƣời bằng số việc. Tuy
nhiên, có thể xét trƣờng hợp khi số ngƣời khác số việc. Ví dụ, nếu số ngƣời
nhiều hơn số việc, ta thêm vào các việc giả với chi phí hay hiệu quả bằng 0.
Một số vấn đề không liên quan gì tới ngƣời và việc cũng có thể giải
quyết nhờ mô hình bài toán giao việc. Chẳng hạn, cần lắp đặt các máy vào
những vị trí khác nhau sao cho tốn ít chi phí, hay cần phân công các nhà máy
sản xuất các sản phẩm sao cho đạt hiệu quả cao nhất. Ta hãy xét vài ví dụ.
Ví dụ 1.1. Một cơ sở dịch vụ vừa mua 3 loại máy mới. Có 4 vị trí thích
hợp cho việc lắp đặt các loại máy này, mỗi vị trí đặt đƣợc một máy. Do đặc
điểm vị trí và do tính năng của mỗi máy, nên chi phí lắp đặt và khai thác mỗi
máy ở các vị trí khác nhau có thể khác nhau. Chi phí này đƣợc cho ở Bảng

7


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
1.1. Vị trí 2 không phù hợp để đặt máy 2 nên ở ô tƣơng ứng không ghi chi
phí. Cần đặt máy vào những vị trí nào sao cho chi phí tổng cộng là nhỏ nhất?
Để diễn đạt bài toán này dƣới dạng bài toán giao việc, ta thêm vào một

máy giả (máy 4) cho vị trí thừa ra. Đồng thời, gán cho ô ứng với máy 2 và vị
trí 2 một chi phí bằng số M khá lớn, để ngăn không cho đặt máy 2 ở vị trí 2.
Kết quả ta nhận đƣợc Bảng 1.2.
Bảng 1.1. Dữ liệu Ví dụ 1.1

Máy

Bảng 1.2. Phƣơng án tối ƣu

Vị trí
1

2

3

4

1

17

20

16

15

2

16

-

14

21

3

10

12

15

11

Máy
1
2
3
4

Vị trí
1

2

3

4

17
16
10
0

20
M
12
0

16
14
15
0

15
21
11
0

Áp dụng thuật toán giải nêu ở mục sau, ta nhận đƣợc lời giải: máy 1 đặt
ở vị trí 4, máy 2 đặt ở vị trí 3, máy 3 đặt ở vị trí 1, với tổng chi phí bằng 39.
Máy giả đƣợc đặt ở vị trí 2, vì thế vị trí này có thể dùng để đặt máy thực trong
tƣơng lai.
Ví dụ 1.2. Một hãng sản xuất định chế tạo 4 loại sản phẩm mới bằng
cách tận dụng năng lực dƣ thừa của 4 nhà máy thuộc hãng. Hiệu quả sản xuất
của các nhà máy đƣợc cho trong Bảng 1.3. Hãy tìm cách phân công cho nhà

máy nào sản xuất sản phẩm gì (mỗi nhà máy chỉ sản xuất một loại sản phẩm,
mỗi loại sản phẩm chỉ do một nhà máy sản xuất) để thu đƣợc hiệu quả tổng
cộng lớn nhất?
Lời giải: Nhà máy 1 sản xuất sản phẩm I, nhà máy 2 sản xuất sản phẩm
III, nhà máy 3 sản xuất sản phẩm IV, nhà máy 4 sản xuất sản phẩm II. Hiệu
quả tổng cộng bằng 30 (xem Bảng 1.3).

8


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Bảng 1.3. Dữ liệu Ví dụ 1.2

Nhà
máy
1
2
3
4

I
9
7
6
5

Sản phẩm
II III
6

3
9 10
3
2
6
5

/>
Bảng 1.4. Dữ liệu Ví dụ 1.3

Tầu

IV
7
6
5
3

A
B
C
D

1
3
4
3
5

Cảng

2
3
5
7
7
8
4
6
7
9

4
5
3
2
6

Ví dụ 1.3. Ở một cảng nọ có 4 tầu A, B, C, D có thể dùng để chở hàng
tới 4 cảng 1, 2, 3, 4. Do sự khác nhau về loại tầu và loại hàng nên tổng chi phí
xếp, dỡ và vận chuyển hàng trên các tầu khác nhau tới các cảng khác nhau có
sự khác biệt đáng kể. Các chi phí này đƣợc cho ở Bảng 1.4. Vấn đề là điều tầu
nào tới cảng nào (mỗi tầu tới một cảng, mỗi cảng có một tầu tới) sao cho chi
phí tổng cộng của cả 4 chuyến hàng là nhỏ nhất?
Một trong số các lời giải là: A → 1, B → 4, C → 2, D → 3, với tổng chi
phí bằng 19 (xem Bảng 1.4).
1.2. PHƢƠNG PHÁP HUNGARI
Bài toán (1.1) - (1.4) là trƣờng hợp riêng của mô hình bài toán vận tải,
trong đó số địa điểm sản xuất bằng số địa điểm tiêu thụ, đồng thời các khả
năng cung cấp pi bằng các yêu cầu tiêu thụ qj và đều bằng 1. Vì thế về nguyên
tắc có thể dùng phƣơng pháp giải bài toán vận tải (chẳng hạn, thuật toán thế

vị) để giải bài toán giao việc. Tuy nhiên, do cấu trúc đặc biệt của bài toán giao
việc nên có những thuật toán giải riêng, hiệu quả hơn. Dƣới đây sẽ trình bày
một trong các phƣơng pháp đó, với tên gọi phương pháp Hungari.
Giả sử ta xét bài toán min z. Trƣớc hết ta nêu một số định lý làm cơ sở lý
luận cho phƣơng pháp Hungari.
Định lý 1.1. Giả sử ma trận chi phí của bài toán (1.1) - (1.4) không âm
và có ít nhất n phần tử bằng 0. Hơn nữa nếu n phần tử 0 này nằm ở n hàng
khác nhau và n cột khác nhau thì phương án giao cho người i thực hiện công

9


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
việc tương ứng với số 0 này ở hàng i sẽ là phương án tối ưu (lời giải) của bài
toán (1.1) - (1.4).
Chứng minh. Theo giả thiết của định lý, mọi phƣơng án giao việc có chi
phí không âm. Trong khi đó, phƣơng án giao việc nêu trong định lý có chi phí
∎

bằng 0, nên chắc chắn phƣơng án đó là tối ƣu.

Định lý sau đây cho thấy rằng ta có thể biến đổi ma trận chi phí của bài
toán mà không làm ảnh hƣởng tới lời giải của nó. Vì thế phƣơng pháp giải
nêu dƣới đây sẽ thực hiện ý tƣởng biến đổi ma trận chi phí cho đến khi đạt tới
ma trận có ít nhất một phần tử 0 trên mỗi hàng và mỗi cột.
Định lý 1.2. Cho C = [cij] là ma trận chi phí của bài toán giao việc
(n người, n việc) và X* = [ x ij ] là một lời giải (phương án tối ưu) của bài toán
này. Giả sử C' là ma trận nhận được từ C bằng cách thêm số

≠ 0 (dương

hay âm) vào mỗi phần tử ở hàng r của C. Khi đó X* cũng là lời giải của bài
toán giao việc với ma trận chi phí C'.
Chứng minh. Hàm mục tiêu của bài toán giao việc mới bằng
n

n

n

n

n

c ij x ij =

z' =
i 1j 1
n

n

c ij x ij + ×
i 1j 1

n

n

x rj =
j 1

x rj

j 1

i 1 j 1
i r

n

=

c rj

c ij x ij +

c ij x ij + .
i 1j 1

Đẳng thức cuối cùng có đƣợc là do tổng các xij trên mỗi hàng, mỗi cột đều
bằng 1. Vì thế, giá trị nhỏ nhất của z' đạt đƣợc khi và chỉ khi
n

n

c ij x ij

z=
i 1j 1

là nhỏ nhất. Cụ thể là, z' đạt cực tiểu tại X = X*.

∎

Định lý 1.2 vẫn còn đúng nếu ta thêm một hằng số vào mỗi phần tử trên
cùng một cột của ma trận chi phí. Vậy, chiến thuật của ta là biến đổi C bằng
cách thêm hằng số vào các hàng và các cột của ma trận chi phí.

10


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
Giả sử ta xét bài toán min z và ma trận chi phí không âm. Thuật toán giải
gồm các bƣớc sau đây.
Bƣớc 0 (Bƣớc chuẩn bị). Trừ các phần tử trên mỗi hàng của C cho phần
tử nhỏ nhất trên hàng đó, tiếp theo trừ các phần tử trên mỗi cột cho phần tử
nhỏ nhất trên cột đó. Kết quả ta nhận đƣợc ma trận C' có tính chất: trên mỗi
hàng, cột có ít nhất một phần tử 0 và bài toán giao việc với ma trận C' có cùng
lời giải nhƣ bài toán với ma trận C (Định ý 1.2).
Bƣớc 1 (Đánh dấu * cho phần tử 0). Với mỗi hàng, lần lƣợt từ hàng 1 tới
hàng n, đánh dấu * cho phần tử 0 đầu tiên (trên hàng đó) không nằm trên cột
đã có phần tử 0* (phần tử 0 đƣợc đánh dấu *). Xét hai khả năng:
a) Nếu sau khi đánh dấu thấy có đủ n phần tử 0* thì dừng: các phần tử 0*
sẽ cho lời giải cần tìm. Cụ thể là: ngƣời i đƣợc giao thực hiện công việc tƣơng
ứng với phần tử 0* trên hàng i (Định lý 1.1).

b) Nếu số phần tử 0* nhỏ hơn n thì chuyển sang thực hiện Bƣớc 2.
Bƣớc 2. Lần lƣợt từ hàng 1 tới hàng n, tìm hàng đầu tiên không chứa
phần tử 0*. Hàng nhƣ thế phải có vì lúc này chƣa đủ n phần tử 0*. Giả sử đó
là hàng i0. Vì trên mỗi hàng đều có ít nhất một phần tử 0, nên trên hàng i0 phải
có phần tử 0, chẳng hạn ở cột j0. Xuất phát từ ô (i0, j0), ta sẽ xây dựng một dây
chuyền các ô kế tiếp nhau theo chiều dọc (theo cột), ngang (theo hàng) nối
các phần tử 0 với 0* và 0* với 0 (gọi tắt là dây chuyền đan) nhờ hai thao tác:
(A) (Tìm 0* theo cột) Giả sử ta đang ở phần tử 0 trong ô (ik, jk) với k ≥ 0,
ta tìm phần tử 0* trong cột jk. a) Nếu tìm thấy thì thêm vào dây chuyền đang
xét ô chứa phần tử 0* này, rồi thực hiện thao tác (B) dƣới đây; b) Nếu trái lại,
ta đổi mỗi phần tử 0 trên dây chuyền đan này thành 0* và đổi mỗi 0* (cũ)
thành 0. Sau đó, nếu có đủ n phần tử 0* thì dừng. Nếu chƣa đủ, thì xét hàng
tiếp theo không chứa 0* (nếu còn), hoặc chuyển sang Bƣớc 3 (nếu đã xét hết).
(B) (Tìm 0 theo hàng) Giả sử ta đang ở phần tử 0* trong ô (ik+1, jk), với k
≥ 0. Trên hàng ik+1 ta tìm phần tử 0 không nằm trên cột đã có mặt trong dây
chuyền đang xét. Có hai khả năng:

11


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
a) Nếu tìm đƣợc thì ta thêm vào dây chuyền đang xét ô chứa phần tử 0
này, rồi thực hiện thao tác (A) nêu trên đây để tìm tiếp 0* theo cột.
b) Nếu trái lại, thì ta gọi jk là cột thiết yếu và loại khỏi dây chuyền đang
xét hai ô (ik+1, jk) và (ik, jk), tức quay lui trên dây chuyền đang xét.
b1) Nếu sau đó vẫn còn ô trên dây chuyền đang xét (k ≥ 1), ta lại xuất
phát từ phần tử 0* trong ô (ik, jk-1) và lặp lại thao tác (B) với hàng ik thay cho
hàng ik+1, nghĩa là trên hàng ik ta tìm phần tử 0, không nằm trên cột jk (cột

thiết yếu) và trên các cột trƣớc đó đã có mặt trong dây chuyền đang xét.
b2) Nếu không còn ô nào trên dây chuyền này (k = 0), thì ta lại tìm phần
tử 0 ở tƣơng giao của hàng không chứa 0* và cột không phải là thiết yếu. Nếu
thấy phần tử 0 nhƣ thế, chẳng hạn trong ô ( i 0 , j0 ), ta lặp lại thao tác (A), xuất
phát từ ô ( i 0 , j0 ). Nếu hết phần tử 0 nhƣ thế thì ta chuyển sang Bƣớc 3.
Bƣớc 3. (Xác định hàng thiết yếu) Lúc này chƣa có đủ n phần tử 0* và ở
Bƣớc 2 ta đã xác định đƣợc các cột thiết yếu. Bây giờ ta cần xác định các
hàng thiết yếu. Một hàng gọi là thiết yếu nếu hàng đó chứa phần tử 0* ở cột
không phải là thiết yếu.
König, chuyên gia về lý thuyết đồ thị ngƣời Hungari, đã chứng minh
định lý sau đây làm cơ sở lý luận cho việc biến đổi tiếp ma trận C' ở Bƣớc 4.
Định lý 1.3. Số tối đa các phần tử 0* (phần tử 0 được đánh dấu *) bằng
số tối thiểu các hàng và cột thiết yếu. Hơn nữa, số hàng và cột này chứa trọn
mọi phần tử 0 và 0* của C'.
Bƣớc 4. (Biến đổi ma trận C') Giả sử

là số nhỏ nhất trong số các phần

tử của ma trận C' thuộc hàng và cột không thiết yếu. Từ Định lý 1.3 suy ra
> 0, vì mọi phần tử 0 đều nằm trên các hàng và cột thiết yếu. Biến đổi các
phần tử trong C' bằng cách: trừ

vào mọi phần tử thuộc các hàng không thiết

yếu và thêm

vào mọi phần tử thuộc các cột thiết yếu. Việc làm này tƣơng

đƣơng với trừ

vào mọi phần tử thuộc hàng và cột không thiết yếu, và thêm

vào mọi phần tử thuộc hàng và cột đều là thiết yếu. Quay trở lại thực hiện
Bƣớc 2 để đánh thêm dấu * cho các phần tử 0 trong ma trận thu đƣợc.

12


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
Để ý rằng sau khi biến đổi ma trận C' nhƣ trên, thì trong ma trận C vừa
nhận đƣợc, các phần tử 0* trong C' vẫn đƣợc giữ nguyên nhƣ cũ, và ở một số
hàng không thiết yếu sẽ có thêm các phần tử 0 mới. Do đó tạo khả năng đánh
∎

thêm dấu * cho các phần tử 0 mới này.

Phƣơng pháp vừa nêu có tên gọi phương pháp Hungari là để tƣởng nhớ
hai nhà toán học ngƣời Hungari tên là König và Egeváry, đã có công đầu tạo
ra cơ sở lý luận cho phƣơng pháp.
Phƣơng pháp Hungari thuộc loại phƣơng pháp tối ƣu tổ hợp dựa trên các
kết quả nghiên cứu của König và Egeváry, và đƣợc Harold W. Kuhn phát
triển và công bố năm 1955 (xem [6]). Thuật toán Kuhn có độ phức tạp tính
toán bằng O(n3), nó rất dễ đƣợc thực thi và lập trình trên máy tính.
Có thể xem phƣơng pháp Hungari nhƣ một dạng đặc biệt của phƣơng
pháp đơn hình đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính. Thật vậy, bài toán qui
hoạch đối ngẫu của bài toán giao việc (1.1) - (1.4) có dạng (các biến ui và vj):
n

n

ui +
i 1

v j → max

j 1

với các điều kiện
ui + vj ≤ cij, i, j = 1, 2, ... , n.
Có thể thấy một phƣơng án của bài toán đối ngẫu là
ui = min cij , i = 1, 2, ... , n,
1 j n

vj = min c ij
1 i n

u i , j = 1, 2, ... , n.

Đây chính là cách chọn ui, vj để nhận đƣợc ma trận C' với mọi phần tử

cij = cij - vj - ui ≥ 0 ở Bƣớc chuẩn bị. Do đặt xij = 0 với mọi ô (i, j) có cij > 0
và chỉ đặt xij = 1 với ô (i, j) chứa phần tử 0*, nên ta luôn có (cij - vj - ui)xij = 0,
tức là hệ thức về độ lệch bù trong điều kiện tối ƣu luôn đƣợc thỏa mãn.
Vì thế, nếu trong C' có đủ n phần tử 0* thì ma trận X = [xij]m×n tƣơng ứng
sẽ thỏa mãn (1.2), (1.3) và do đó X là một phƣơng án tối ƣu của bài toán giao
việc. Nếu C' chƣa có đủ n phần tử 0* thì ta phải thay đổi hệ thế vị ui, vj (các

13

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
biến đối ngẫu), tức là biến đổi ma trận C' thành C" = cij - ui - vj, sao cho ui, vj
vẫn là phƣơng án của bài toán đối ngẫu (tức C" ≥ 0). Biến đổi ma trận chi phí
đƣợc thực hiện cho đến khi ma trận đó có đủ n phần tử 0* thì dừng thuật toán.
1.3. VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1.4. Để minh họa cho các bƣớc của thuật toán giải nêu trên, ta giải
bài toán phân việc với n = 4 và ma trận chi phí nhƣ sau:
5 6 7 7
0 1 0
3 2 6 2
1 0 2
C=
⇒ C' =
1 6 9 4
0 5 6
2 5 8 7
0 3 4

2
0
.
3
5

Thực hiện Bƣớc 0, ta nhận đƣợc ma trận C': Trên mỗi hàng, mỗi cột đều
có chứa phần tử 0.

Ở Bƣớc 1, ta đánh dấu * cho phần tử 0 ở hàng 1, cột 1 và phần tử 0 ở
hàng 2, cột 2 (vì trên cột 2 chƣa có phần tử 0*). Hàng 3 và 4 chỉ có phần tử 0
ở cột 1 mà cột này đã có 0* ở hàng 1, vì thế không thể đánh dấu * đƣợc nữa.
Kết quả là mới có hai phần tử 0*, ta chuyển sang thực hiện Bƣớc 2.

C' =

0

1

0 2

1

0

2 0

0

5

6 3

0

3

4 5

.

Bƣớc 2: Bắt đầu xét từ hàng 3, hàng chƣa có phần tử 0*. Ô đầu tiên của
hàng này chứa phần tử 0 là ô (3, 1). Ta tìm phần tử 0* trong cột 1 (thao tác A)
và thấy 0* ở ô (1, 1), tiếp đó ta tìm phần tử 0 trong hàng 1 (thao tác B) và thấy
0 ở ô (1, 3). Lập lại thao tác A, ta thấy cột 3 không chứa phần tử 0*, nhƣ vậy
ta có dây chuyền đan (mũi tên nét đứt trong ma trận C' trên đây):
0 trong ô (3, 1) - 0* trong ô (1, 1) - 0 trong ô (1, 3).
Trên dây chuyền này, đổi 0 thành 0* và ngƣợc lại, ta nhận đƣợc ma trận
C' mới. Trong C' bây giờ đã có 3 phần tử 0*.

14


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

C' =

/>
0

1

0

2

1

0

2

0

0

5

6

3

0

3

4

5

.

Ta lặp lại Bƣớc 2: Bắt đầu từ hàng 4 (hàng đầu tiên từ trên xuống chƣa
có 0*). Hàng này chứa 0 ở ô (4, 1). Thực hiện thao tác (A), ta thấy cột 1 chứa
0* ở ô (3, 1). Ta đƣợc dây chuyền, gồm hai ô:
0 trong ô (4, 1) - 0* trong ô (3, 1).
Thực hiện thao tác (B), ta thấy hàng 3 không có phần tử 0 nào khác, nên
cột 1 là cột thiết yếu và loại khỏi dây chuyền hai ô (3, 1) và (4, 1). Lúc này,

không còn dây chuyền nào nữa và cũng không còn hàng nào không chứa phần
tử 0*, nhƣng có phần tử 0 trên cột không thiết yếu, nên ta chuyển sang thực
hiện Bƣớc 3 để xác định các hàng thiết yếu.

C' =

0

1

0

2

1

0

2

0

0

5

6

3

0

3

4

5

.

Bƣớc 3: Bắt đầu từ hàng 1, hàng này có 0* ở cột 3 (cột không thiết yếu),
nên hàng 1 là thiết yếu. Hàng 2 có 0* ở cột 2 (cột không thiết yếu) nên hàng 2
là thiết yếu. Hàng 3 có 0* ở cột 1 (cột thiết yếu), nên hàng 3 không phải là
thiết yếu. Hàng 4 không có 0* nên cũng không phải là thiết yếu. Nhƣ vậy,
hàng 1, 2 và cột 1 là thiết yếu (kẻ nét đứt): các hàng, cột này chứa đƣợc mọi
phần tử 0 và 0*. Ta chuyển sang thực hiện Bƣớc 4 để điều chỉnh ma trận C'.
Bƣớc 4: Số nhỏ nhất trong các ô thuộc các hàng và cột không thiết yếu là
3. Trừ 3 vào các ô thuộc các hàng và cột không thiết yếu và thêm 3 vào các ô
thuộc các hàng và cột đều là thiết yếu, ma trận C' bây giờ trở thành

15


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

C" =

/>
3

1

0

2

4

0

2

0

0

2

3

0

0

0

1

2

.

Trở lại thực hiện Bƣớc 2, ta thấy hàng 4 chƣa có phần tử 0*.
a) Nếu xét phần tử 0 ở ô (4, 1) thì ta tìm đƣợc dây chuyền đan
0 trong ô (4, 1) - 0* trong ô (3, 1) - 0 trong ô (3, 4).
Sau khi đổi 0 thành 0* và ngƣợc lại, ta nhận đƣợc ma trận C1 , trong đó đã có
n = 4 phần tử 0*: Dừng thuật toán.
b) Nếu xét phần tử 0 ở ô (4, 2) thì ta tìm đƣợc dây chuyền đan
0 trong ô (4, 2) - 0* trong ô (2, 2) - 0 trong ô (2, 4).
Sau khi đổi 0 thành 0* và ngƣợc lại, ta nhận đƣợc ma trận C2 , trong đó đã có
n = 4 phần tử 0*: Dừng thuật toán.

C1 =

3

1

0

2

4

0

2

0

0

2

3

0

0

0

1

2

,

C2 =

3

1

0

2

4

0

2

0

0

2

3

0

0

0

1

2

.

Ma trận C1 cho lời giải: ngƣời 1 việc 3, ngƣời 2 việc 2, ngƣời 3 việc 4,
ngƣời 4 việc 1. Tổng chi phí là 7 + 2 + 4 + 2 = 15.
Ma trận C2 cho lời giải: ngƣời 1 việc 3, ngƣời 2 việc 4, ngƣời 3 việc 1,
ngƣời 4 việc 2, cũng với tổng chi phí bằng 7 + 2 + 1 + 5 = 15.

∎

1.4. BÀI TOÁN TÌM CỰC ĐẠI
Mặc dầu phƣơng pháp Hungari đƣợc mô tả để giải bài toán giao việc với
hàm mục tiêu cực tiểu hóa. Song bài toán với mục tiêu cần làm cực đại cũng
có thể giải nhờ phƣơng pháp này.
Giả sử ta cần giải bài toán
n

n

z=

c ij x ij → max

i 1j 1

16


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
với các điều kiện (1.2) - (1.4). Bài toán này có thể đƣa về bài toán tìm cực tiểu
của hàm
n

n

-z=

( c ij ) x ij → min

i 1 j 1

với cùng các ràng buộc (1.2) - (1.4).
Ma trận C = [cij] có phần tử dƣơng, thì ma trận [- cij] sẽ có phần tử âm và
tiêu chuẩn tối ƣu nêu trong Định lý 1.1 không áp dụng đƣợc. Tuy nhiên, ta có
thể sử dụng Định ý 1.2, và thêm vào mỗi phần tử của ma trận [- cij] một số
bằng số đối của số âm nhỏ nhất trong các phần tử - cij. Ma trận thu đƣợc sẽ có
mọi phần tử không âm, và bài toán giao việc với ma trân mới này có thể giải
theo phƣơng pháp Hungari đã nêu.
Ví dụ 1.5. Xét bài toán giao việc với mục tiêu cần làm cực đại tƣơng ứng
với ma trận hiệu quả
8
2
C = [cij] =
4
4

5
6
6
7

5
6
3
1

2

5
.
7
3

Bài toán cực tiểu hóa tƣơng đƣơng là
n

n

-z=

( c ij ) x ij → min

i 1 j 1

với các ràng buộc (1.2) - (1.4).
Phần tử nhỏ nhất trong ma trận [- cij] là - 8. Vì thế ta thêm 8 vào mỗi
phần tử trong ma trận [- cij] và nhận đƣợc ma trận
0 3 3 6
6 2 2 3
C' =
.
4 2 5 1
4 1 7 5
Ma trận này đƣợc xem nhƣ ma trận chi phí và bài toán giao việc tƣơng
ứng có thể giải theo phƣơng pháp Hungari đã nêu.

17

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Thực hiện Bƣớc 0, ta nhận đƣợc ma trận
0 3 3
4 0 0
C =
3 1 4
3 0 6

/>
6
1
.
0
4

Thực hiện Bƣớc 1 ta nhận đƣợc ma trận

C =

0

3

3

6

4

0

0

1

3

1

4

0

3

0

6

4

.

Ma trận này cho lời giải: ngƣời 1 việc 1, ngƣời 2 việc 3, ngƣời 3 việc 4,
ngƣời 4 việc 2. Hiệu quả tổng cộng là: 8 + 6 + 7 + 7 = 28.

∎

Tóm lại, chƣơng này đã giới thiệu nội dung bài toán giao việc tuyến tính
và một số ứng dụng của bài toán. Trình bày cơ sở lý luận và các bƣớc thuật
toán của phƣơng pháp Hungari giải bài toán. Đây là một loại thuật toán tối ƣu
tổ hợp chạy trong thời gian đa thức, rất hiệu quả và gần về ý tƣởng với "thuật
toán thu hẹp chính tắc" giải bài toán vận tải, đƣợc trình bày ở chƣơng sau.

18


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
Chƣơng 2

PHƢƠNG PHÁP THU HẸP CHÍNH TẮC
Chƣơng này đề cập tới bài toán vận tải ở dạng đồ thị, sau đó dƣới dạng
bảng và trình bày phƣơng pháp thu hẹp chính tắc giải bài toán. Nội dung của
chƣơng đƣợc tham khảo từ các tài liệu [2], [3] và [5].
2.1. BÀI TOÁN VẬN TẢI TUYẾN TÍNH
Giả sử trong một đồ thị G = (A, E) với tập đỉnh A = {a1, a2, ... , am; b1, b2,
... , bn} và tập cạnh E = {(ai, bj) : i = 1, 2, ... , m, j = 1, 2, ... , n}. Các đỉnh a1,
a2, ... , am là các trạm phát (nơi cung cấp hàng), b1, b2, ... , bn là các trạm thu
(nơi tiếp nhận hàng). Trạm phát ai cần chuyển đi pi (lƣợng cung) đơn vị hàng,
trạm thu bj cần nhận qj (lƣợng cầu) đơn vị hàng, pi và qj là những số nguyên
dƣơng thỏa mãn điều kiện cân bằng cung cầu:
p1 + p2 + ... + pm = q1 + q2 + ... qn.

(2.1)

Ta biết giá cƣớc cij để vận chuyển một đơn vị hàng từ trạm phát ai tới

trạm thu bj. Khi đó, bài toán vận tải đƣợc đặt ra nhƣ sau: xác định số đơn vị
hàng xiị cần vận chuyển từ mỗi trạm phát ai tới mỗi trạm thu bj sao cho tiết
kiệm cƣớc phí vận chuyển nhất. Nói chính xác hơn, vấn đề là:
Cho biết các số nguyên pi > 0 (i = 1, 2. … , m), qj > 0 (j = 1, 2, ... , n) và
các số cij ≥ 0. Giả thiết có điều kiện (2.1), hãy tìm các số nguyên xij ≥ 0 sao cho
n

x ij = pi, i = 1, 2, ... , m (mọi trạm phát giao hết hàng),

(2.2)

x ij = qj, j = 1, 2, ... , n (mọi trạm thu nhận đủ hàng),

(2.3)

j 1

m

i 1
m n

c ij x ij (tổng cƣớc phí vận chuyển) nhỏ nhất có thể đƣợc.

(2.4)

i 1j 1

Trong các tài liệu về vận trù học (Operations Research) khi nói đến bài
toán vận tải thƣờng là ám chỉ dạng phát biểu trên đây (cũng gọi là dạng bảng

hay dạng ma trận). Đƣơng nhiên, nhƣ ta vừa thấy, bài toán vận tải dƣới dạng

19


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
đồ thị (hay dạng mạng) có thể đƣa về dạng bảng (dạng ma trận) một cách dễ
dàng. Ngƣợc lại, sau đây ta sẽ thấy rằng bài toán vận tải dƣới dạng bảng cũng
có thể xem nhƣ một trƣờng hợp riêng của dạng đồ thị và do đó, có thể giải bài
toán bằng những phƣơng pháp đã có về bài toán vận tải trên đồ thị.
Thật vậy, xét đồ thị G = (A, E) với A = {a1, a2, ... ,am, b1, b2, ... , bn}, E =
{(ai, bj) : i = 1, 2, ... , m, j = 1, 2, ... , n} (xem Hình 2.1). Nếu ta lấy hệ yêu cầu
o b1
a1o
o b2
a2 o
o b3
a3 o
o b4
Hình 2.1. Đồ thị G = (A, E)

{- pi (i = 1, 2, ... , m), qj (j = 1, 2, ... , n)} và giá cƣớc cij trên mỗi cung (ai, bj)
thì rõ ràng việc tìm các xij theo các điều kiện (2.2), (2.3), (2.4) chẳng qua là
giải bài toán trên đồ thị G, với các dữ kiện đã cho.
Định nghĩa 2.1. Một ma trận không âm X = ||xij|| thỏa mãn (2.2), (2.3)
gọi là một phương án của bài toán, một phƣơng án thỏa mãn (2.4) gọi là một
phương án tối ưu (lời giải) của bài toán.
Để tiện việc tính toán, ngƣời ta thƣờng biểu diễn đồ thị G trên đây bằng

một bảng T (gọi là bảng vận tải), gồm m hàng và n cột: hàng thứ i đại diện
cho đỉnh ai (trạm phát), cột thứ j đại diện cho đỉnh bj (trạm thu) và ô (i, j) ở
tƣơng giao của hàng i và cột j đại diện cho cạnh (ai, bj) (xem Bảng 2.1). Trong
bảng ngƣời ta ghi các dữ kiện của bài toán: Yêu cầu pi (lƣợng cung) ở trƣớc
hàng i, yêu cầu qj (lƣợng cầu) ở trên đầu cột j, giá cƣớc cij ở góc trên bên trái
ô (i, j). Trong quá trình tính toán, số xij sẽ ghi ở góc dƣới bên phải ô (i, j).
Nhƣ vậy, muốn áp dụng vào đây các phƣơng pháp về đồ thị chỉ cần diễn
giải theo ngôn ngữ bảng T các khái niệm thông thƣờng về đồ thị nhƣ: dây

20


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
chuyền, chu trình v.v, ... Điều này đƣợc thực hiện bằng cách thay "đỉnh" bằng
"hàng" hay "cột" , "cạnh" bằng "ô". Ta có
Định nghĩa 2.2. a) Dây chuyền là một dãy ô sao cho bất kỳ ô nào trong
dãy ấy cũng cùng hàng với ô trƣớc đó (nếu có) và cùng cột với ô sau nó (nếu
có), hoặc cùng cột với ô trƣớc nó (nếu có) và cùng hàng với ô sau nó (nếu có).
b) Nếu ô đầu tiên của dây chuyền ở trên hàng i (cột j) và cùng cột (cùng
hàng) với ô sau nó thì ngƣời ta nói nó xuất phát từ hàng i (cột j).
c) Nếu ô cuối cùng ở trên hàng i (cột j) và cùng cột (cùng hàng) với ô
trƣớc nó thì ngƣời ta nói dây chuyền tận cùng ở hàng i (cột j).
d) Chu trình là một dây chuyền cùng xuất phát và tận cùng ở một hàng
hay một cột.
Chẳng hạn, dãy ô {(1, 1), (1, 4), (2, 4), (2, 3)} là một dây chuyền đi từ
cột 1 tới cột 3. Dãy ô {(1, 1), (1, 4), (2, 4), (2, 3), (3, 3), (3, 1)} là một chu
trình (xem Hình 2.1 và Bảng 2.1).
Bảng 2.1. Bảng vận tải T

qj

pi
p1
p2
p3

q1
c11

• x11

c21

q2
c12

c13
x12

c22
x21

c31

• x31

q3

x32

c14

• x14
• x24

x13
c23

• x23

c24

c33

• x33

c34

x22
c32

q4

x34

Cách nhìn bảng T nhƣ một đồ thị rất có lợi, nó giúp ta thấy rõ nhiều tính
chất của bảng bề ngoài có vẻ phức tạp. Chẳng hạn, tính chất: nếu (m + n - 1) ô
không tạo nên chu trình thì bất cứ ô nào khác cũng tạo nên với các ô đó một

chu trình duy nhất - chẳng qua là một tính chất đơn giản của một cây bao trùm
của một đồ thị có (m + n) đỉnh.
Mục sau sẽ trình bày phƣơng pháp thu hẹp chính tắc giải bài toán vận tải
cho ở dạng bảng.

21


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>
2.2. PHƢƠNG PHÁP THU HẸP CHÍNH TẮC
Đại ý của phƣơng pháp là xuất phát từ một tập hợp ô "thu hẹp chính tắc"
D1 từ toàn bộ tập hợp ô của bảng T, rồi tìm phƣơng án phân phối tối đa theo
D1 (chỉ sử dụng các ô thuộc D1 để phân phối hàng), nêu còn hàng và cột chƣa
thỏa mãn thì mở rộng dần D1 một cách có lợi nhất, cho đến khi khả năng phân
phối của D1 bằng tổng số hàng cần vận chuyển thì phƣơng án phân phối tối đa
theo D1 lúc đó là một phƣơng án tối ƣu (lời giải) của bài toán.
Trƣớc hết ta nêu một số định nghĩa.
Định nghĩa 2.3. Một tập hợp ô D của bảng T gọi là một tập hợp ô chính
tắc nếu có thể tìm cho mỗi hàng một số u i (i = 1, 2, ... , m) và mỗi cột một số
vj (j = 1, 2, ... , n) sao cho
vj - ui ≤ cij với mọi ô (i, j),

(2.5)

vj - ui = cij với mọi ô (i, j) ∈ D.

(2.6)

Các số ui, vj gọi là các thế vị của các hàng và cột. Sau đây là một số ví dụ
về các tập hợp ô chính tắc.
Ví dụ 2.1. a) D1 = ∅, các thế vị ui = vj = 0 với mọi i và j.
b) D2 = {(r, s)} với (r, s) là ô có
crs = min cij = .
i, j

Các thế vị ui = 0 (i = 1, 2, ... , m), vj =
c) D3 = {(i, j) : cij =

i},

trong đó

i

(j = 1, 2, ... , n (xen Bảng 2.2).

là số cij nhỏ nhất trong hàng i, tức D3

là tập hợp các ô có giá cƣớc nhỏ nhất trong hàng của nó. Thế vị là ui =
i = 1, 2, ... , m, và vj = , j = 1, 2, ... , n, trong đó
(xem Bảng 2.3).

22

= max ( i,

2,

... ,

-

i,
m)


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

d) D4 = {(i, j) : cij = j}, trong đó

j

/>
là số cij nhỏ nhất trong cột j, tức D4 là

tập hợp các ô có giá cƣớc nhỏ nhất trong cột của nó. Thế vị là ui = 0, i = 1, 2,
... , m, và vj = j, j = 1, 2, ... , n (xem Bảng 2.4).
Bảng 2.2. Tập ô chính tắc D2

qj

pi

10
8
12
vj

5

4

6

15

13

14

12

10

14

7

9

14

11

12

15

13

7

7

7

Bảng 2.3. Tập ô chính tắc D3

ui

qj

pi

0

10

0

8

0

12

7

5

4

6

15

13

14

12

10

14

7

9

14

11

12

15

13

vj

11

11

11

ui
1
4
0

11

Bảng 2.4. Tập ô chính tắc D4

qj

pi

10
8
12
vj

5

4

6

15

13

14

12

10

14

7

9

14

11

12

15

13

11

7

9

ui
0
0
0

10

Có thể dễ dàng kiểm tra lại rằng trong cả bốn trƣờng hợp ở Ví dụ 2.1,
D1, D2, D3 và D4 đều là các tập hợp ô chính tắc (các thế vị u i, vj thỏa mãn
(2.5), (2.6)). Ví dụ 2.1c) và 2.1d) hay đƣợc dùng nhất.
Định nghĩa 2.4. Cho D là một tập hợp ô chính tắc. Một phương án phân
phối theo tập hợp ô D là một ma trận X = ||xij||m×n với các xij là các số nguyên
≥ 0 nghiệm đúng:
xij = 0 nếu (i, j) ∉ D,
n

(2.7)

x ij ≤ pi, i = 1, 2, ... , m,

(2.8)

x ij ≤ qj, j = 1, 2, ... , n,

(2.9)

j 1

m
i 1

23


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Số (X) =

m
i 1

n
x
j 1 ij

/>
gọi là khả năng phân phối của phƣơng án X.

Ta cần một số khái niệm sau.
Định nghĩa 2.5. Một hàng i (cột j) gọi là được thoả mãn hay chưa thỏa
mãn tùy theo có dấu = hay < trong (2.8) (hay (2.9)). Các ô thuộc D gọi là các
ô chọn. Các ô họn (i, j) với xij > 0 gọi là các ô được phân phối.
Định nghĩa 2.6. Một phƣơng án phân phối X theo một tập hợp ô chọn D
là tối đa nếu không có phƣơng án nào theo cùng tập hợp ô đó, có khả năng

phân phối lớn hơn. Khả năng lớn nhất này gọi là khả năng phân phối của D.
Nhận xét 2.1 (Thủ tục tìm phƣơng án phân phối tối đa). Nếu tập hợp ô
chính tắc đầu tiên không có chu trình (điều này bao giờ cũng làm đƣợc nhƣ ở
Ví dụ 2.1), thì mọi tập hợp ô chính tắc về sau cũng không chứa chu trình. Khi
đó có thể xác định phƣơng án phân phối tối đa (theo một tập hợp ô chính tắc
D) theo cách nhƣ sau.
Lấy tùy ý một ô treo (tức là một ô mà trong hàng hay cột của nó không
có ô nào khác của D) (i1, j1) và đặt
x i1 j1 = min { p i1 , q j1 },
p i(11) = p i1 - x i1 j1 , p i(1) = pi với mọi i ≠ i1,
q (j11) = q j1 - x i1 j1 , q (j1) = qj với mọi j ≠ j1.

Sau đó trong tập ô chọn còn lại, lấy tùy ý một ô treo (i2, j2) và đặt

x i2 j2 = min { p i(12 ) , q (j12) },
p i(22) = p i(12 ) - x i2 j2 , p i( 2) = p i(1) với mọi i ≠ i2,
q (j22) = q (j12) - x i2 j2 , q (j2) = q (j1) với mọi j ≠ j2, v.v ...

Tiếp tục nhƣ vậy cho đến khi sử dụng hết mọi ô chọn thì đặt x ij = 0 cho
các ô (i, j) ∉ D.
Định nghĩa 2.7. Cho X = ||xij|| là một phƣơng án phân phối tối đa theo
một tập hợp ô chọn D. Một dây chuyền gọi là chưa bão hòa khi nào các ô lẻ
(ô thứ 1, thứ 3, v.v ...) của nó đều đƣợc phân phối.

24


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

Với một số khái niệm vừa định nghĩa ở trên, ta sẽ phân chia các hàng
(trạm phát) và các cột (trạm thu) trong bảng T thành ba loại "thừa", 'thiếu" và
"đủ" theo nghĩa sau đây.
Định nghĩa 2.8. Một hàng hay cột gọi là thừa nếu nó là một hàng chƣa
thỏa mãn, hoặc nếu có một dây chuyền chƣa bão hòa đi từ nó tới một hàng
chƣa thỏa mãn. Một hàng hay cột gọi là thiếu nếu nó là một cột chƣa thỏa
mãn, hoặc nếu có một dây chuyền chƣa bão hòa đi từ nó tới một cột chƣa thỏa
mãn. Các hàng và cột không thừa, không thiếu gọi là đủ.
Nhận xét 2.2 (Thủ tục xác định các hàng và cột thừa, thiếu, đủ).
a) Muốn xác định các hàng và cột thừa (theo tập hợp ô chính tắc D) ta
tiến hành nhƣ sau: bắt đầu đánh dấu "+" tất cả các hàng chƣa thỏa mãn (Định
nghĩa 2.5); sau khi đánh dấu các hàng rồi thì đánh dấu tất cả các cột chƣa
đánh dấu cắt một hàng đã đánh dấu ở một ô chọn; sau khi đánh dấu các cột rồi
thì đánh dấu tất cả các hàng chƣa đánh dấu cắt một cột đánh dấu ở một ô đƣợc
phân phối; cứ nhƣ thế tiếp tục cho đến khi không đánh dấu thêm đƣợc nữa.
b) Cũng bằng cách tƣơng tự, để xác định các hàng và cột thiếu (theo tập
hợp ô chính tắc D), trƣớc tiên đánh dấu "-" tất cả các cột chƣa thỏa mãn; sau
khi đánh dấu các cột rồi thì đánh dấu tất cả các hàng chƣa đánh dấu cắt một
cột đã đánh dấu ở một ô chọn; sau khi đánh dấu các hàng rồi thì đánh dấu tất
cả các cột chƣa đánh dấu cắt một hàng đã đánh dấu ở một ô đƣợc phân phối;
cứ nhƣ thế tiếp tục cho đến khi không đánh dấu thêm đƣợc nữa.
c) Sau đó, các hàng và cột còn lại là đủ (không đánh dấu "+" hoặc "-").
Sau đây là khái niệm "ô bắc cầu".
Định nghĩa 2.9. Một ô bắc cầu là một ô không thuộc D, ở tƣơng giao
của một hàng thừa hay đủ với một cột thiếu. Với mỗi ô bắc cầu e = (i, j) ta đặt
(e) =

ij

≡ cij - (vj - ui) ≥ 0 (theo (2.5)). Ô bắc cầu nào có (e) nhỏ nhất gọi là

ô bắc cầu lợi nhất.

25