Tải bản đầy đủ (.pdf) (89 trang)

phương pháp lặp giải bài toán không thuần nhất giữa phương trình elliptic và phương trình song điều hòa

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (522.43 KB, 89 trang )

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐINH NHƯ NGỌC
PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN
NHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG
TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - NĂM 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐINH NHƯ NGỌC
PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN
NHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG
TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36
Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ VINH QUANG
THÁI NGUYÊN - NĂM 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Các kiến thức cơ bản 4
1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . . . . . . . 4
1.1.1 Không gian C
k
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Không gian L


p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Không gian W
1,p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Biên liên tục Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 Vết của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6 Không gian Sobolev với chỉ số âm . . . . . . . . . 11
1.2 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản . . . . . . . . . 12
1.2.1 Lược đồ lặp hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép
lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Khái niệm nghiệm yếu đối với phương trình Elliptic cấp hai 17
1.3.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình . . . . . 17
1.3.2 Phát biểu các bài toán biên . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . 20
2 Các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán
cấp hai và cấp bốn 24
2.1 Phương pháp lặp giải bài toán cấp hai trên tư tưởng chia
miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Cơ sở của phương pháp chia miền . . . . . . . . . 24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
ii
2.1.2 Phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic 28
2.2 Phương pháp xấp xỉ xác định giá trị biên đối với bài toán
song điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Bài toán không thuần nhất và phương pháp tìm nghiệm
xấp xỉ 45
3.1 Mô hình toán học của bài toán không thuần nhất . . . . 45
3.2 Phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ Dirichlet-Neumann . 51

3.3 Phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ xấp xỉ biên . . . . . 58
3.4 Các kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Danh mục công trình đã công b ố . . . . . . . . . . . . . 67
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
iii
Các ký hiệu
L Toán tử elliptic.
R
n
Không gian Euclide n chiều.
Ω Miền giới nội trong không gian R
n
.
∂Ω Biên trơn Lipschitz.
C
k
(Ω) Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục.
L
2
(Ω) Không gian các hàm đo được bình phương khả tích.
W
1,p
(Ω) Không gian Sobolev với chỉ số p.
H
1/2
(∂Ω) Không gian Sobolev với chỉ số 1/2.
H

1
0
(Ω) Không gian các hàm có vết bằng không trên ∂Ω.
H
−1
(∂Ω) Không gian đối ngẫu với H
1
0
(Ω).
H
−1/2
(∂Ω) Không gian đối ngẫu với H
1/2
(∂Ω).
 . 
V
Chuẩn xác định trên không gian V .
(.)
V
Tích vô hướng xác định trên không gian V .
C
γ
(Ω) Hằng số vết.
C

Hằng số Poincare.
E Ma trận đơn vị.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1
Mở đầu

Phương trình cấp bốn mà tiêu biểu là phương trình song điều hoà
xuất hiện trong ngành cơ học chất rắn với mô hình chuyển dịch ngang
của tấm đàn hồi hoặc trong ngành cơ học chất lỏng vớ i mô hình dòng
chảy với phương trình Navier-Stokes trong môi trường chất lỏng không
nén được, khi được ghép với các phương trình bậc hai sẽ xuất hiện mô
hình không thuần nhất mô tả sự dịch chuyển ngang của cấu trúc tấm
đàn hồi đa hợp mà nó được làm bởi hai thành phần khác nhau, một
thành phần là tấm uốn và thành phần còn lại là màng mỏng. Đây là
một mô hình hỗn hợp đang được các nhà toán học trên thế giới quan
tâm. Năm 2005, trong tài liệu [4], tác giả P. Gervasio đã mô tả mô hình
toán học của bài toán không thuần nhất và đưa ra phương pháp xác
định nghiệm gần đúng dựa trên một sơ đồ lặp. Ngoài phương pháp trên,
để giải mô hình bài toán không thuần nhất có thể sử dụng phương pháp
phân rã bài toán về một bài song điều hoà và hai bài toán elliptic và
từ đó đề xuất sơ đồ lặp bằng cách xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán
song điều hoà dựa trên phương pháp xấp xỉ biên và xác định nghiệm của
hai bài toán elliptic trên cơ sở phương pháp chia miền. Cơ sở lý thuyết
này đã được một số tác giả Việt Nam đưa ra trong cá c năm qua.
Nội dung chính của luận văn sẽ mô tả mô hình toán học của bài toán,
nghiên cứu các phương pháp giải và đề xuất sơ đồ lặp xác định nghiệm
xấp xỉ trên cơ sở phân hoạch về hai bài toán cấp hai và cấp bốn, thực
hiện tính toán bằng số xác định nghiệm xấp xỉ. Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm
và đặc biệt là không gian Sobolev, các khái niệm cơ bản về nghiệm yếu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
2
đối với phương trình elliptic, lý thuyết về phương pháp lặp giải phương
trình toán tử. Những kiến thức quan trọng này làm cơ sở để trình bày
và nghiên cứu về lý thuyết các mô hình toán học được trình bày trong
các chương tiếp theo của luận văn.

Chương 2: Trình bày cơ sở của phương pháp chia miền tổng quát,
các kết quả lý thuyết của phương pháp chia miền đối với phương trình
elliptic cấp hai dựa trên tư tưởng xác định giá trị đạo hàm trên biên
phân cách, lý thuyết về phương pháp xấp xỉ xác định giá trị biên đối với
bài toán song điều hòa. Đây là những kết quả đã được các tác giả Việt
Nam công bố trong các năm qua. Các kết quả này là cơ sở lý thuyết
chính để đề xuất sơ đồ lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán không thuần
nhất trong chương 3 của luận văn.
Chương 3: Mô tả mô hình toán học của bài toán không thuần nhất,
trình bày phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ Dirichlet-Neumann do tác
giả P. Gervasio đề xuất. Xuất phát từ các lý thuyết trong chương 2, luận
văn đề xuất một phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ mới đối với bài toán
không thuần nhất bằng việc phân rã bài toán về 1 bài toán so ng điều
hoà và 2 bài toán elliptic tương ứng và từ đó xây dựng phương pháp lặp
xác định nghiệm xấp xỉ, tính toán thử nghiệm trên máy tính điện tử.
Phương pháp này có thể coi là ngược với phương pháp do P. Gervasio
đã đưa ra.
Các kết quả bằng số được lập trình trong môi trường MATLAB với
nhiều ví dụ khác nhau để kiểm tra tính đúng đắn của sơ đồ lặp đã đề
xuất.
Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp
ý kiến của các Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn
thiện.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS. Vũ
Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm
luận văn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
3
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô, các bạn bè, đồng

nghiệp và gia đình đã luôn giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
4
Chương 1
Các kiến thức cơ bản
1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm
1.1.1 Không gian C
k
(Ω)
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều R
n

Ω là bao đóng của Ω. Ký hiệu C
k
(Ω), (k = 1, 2, ) là tập các hàm có
đạo hàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong Ω. Ta đưa vào C
k
(Ω)
chuẩn
 u 
C
k
(Ω)
=

α=k
max | D
α

u(x) |, (1.1)
trong đó α = (α
1
, α
2
, , α
n
) được gọi là đa chỉ số, là vecto với các tọa
độ nguyên không âm, | α |= α
1
+ α
2
+ + α
n
, D
α
u =

α
1

2
+ +α
n
u
∂x
α
1
1
∂x

α
n
n
.
Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong Ω của các hàm và tất
cả đạo hàm của chúng đến cấp k, kể cả k. Tập C
k
(Ω) với chuẩn (1.1) là
một không gian Banach.
1.1.2 Không gian L
p
(Ω)
Giả sử Ω là một miền trong R
n
và p là một số thực dương. Ta ký hiệu
L
p
(Ω) là lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho


| f(x) |
p
dx < ∞. (1.2)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
5
Trong L
p
(Ω) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên Ω. Như
vậy các phần tử của L
p

(Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thoả
mãn (1.2) và hai hàm là tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp
trên Ω. Vì
| f(x) + g(x) |
p
≤ (| f(x) | + | g(x) |)
p
≤ 2
p
(| f(x) |
p
+ | g(x) |
p
)
nên rõ ràng L
p
(Ω) là một không gian vecto. Ta đưa vào L
p
(Ω) phiếm
hàm  . 
p
được xác định bởi
 u 
p
=



| f(x) |
p

dx

1
p
. (1.3)
Định lí 1.1. (Bất đẳng thức H¨oder) Nếu 1 < p < ∞ và u ∈
L
p
(Ω), v ∈ L
p
(Ω) thì uv ∈ L
p
(Ω) và


| u(x)v(x) | dx ≤ u(x) 
p
.  v(x) 
p

, (1.4)
trong đó p

=
p
p − 1
, tức là
1
p
+

1
p

= 1, p

được gọi là số mũ liên hợp đối
với p.
Định lí 1.2. ( Bất đẳng thức Minkowski) Nếu 1 < p < ∞ thì
 f + g 
p
≤ f 
p
+  g 
p
. (1.5)
Định lí 1.3. Không gian L
p
(Ω) với 1 ≤ p < ∞ là một không gian
Banach.
1.1.3 Không gian W
1,p
(Ω)
Định nghĩa 1.1. Cho Ω là miền trong R
n
. Hàm u(x) được gọi là khả
tích địa phương trong Ω nếu u(x) là một hàm cho trong Ω và với mỗi
x
0
∈ Ω đều tồn tại một lân cận ω của x
0

để u(x) khả tích trong ω.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
6
Định nghĩa 1.2. Cho Ω là miền trong R
n
. Giả sử u(x), v(x) là hai hàm
khả tích địa phương trong Ω sao cho ta có hệ thức:


u

k
ϕ
∂x
k
1
1
∂x
k
n
n
dx = (−1)
k


vϕ dx
đối với mọi ϕ(x) ∈ C
k
0
(Ω), k = k

1
+ k
2
+ + k
n
, k
i
≥ 0 (i = 1, 2, , n).
Khi đó, v(x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x).
Ký hiệu:
v(x) =

k
u
∂x
k
1
1
∂x
k
n
n
Thường ký hiệu:
D
0
u = u; D
k
u =

k

u
∂x
k
1
1
∂x
k
n
n
Định nghĩa 1.3 . Giả sử p là một số thực, 1 ≤ p < ∞, Ω là miền trong
R
n
. Không gian Sobolev W
1,p
(Ω) được định nghĩa như sau:
W
1,p
(Ω) = {u | u ∈ L
p
(Ω),
∂u
∂x
i
∈ L
p
(Ω), i = 1, 2, , n},
trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng.
Với p = 2, ta ký hiệu W
1,2
(Ω) = H

1
(Ω), nghĩa là
H
1
(Ω) = {u | u ∈ L
2
(Ω),
∂u
∂x
i
∈ L
2
(Ω), i = 1, 2, , n}.
Bổ đề 1.1.
i) Không gian W
1,p
(Ω) là không gian Banach với chuẩn
 u 
W
1,p
(Ω)
= u 
L
p
(Ω)
+
n

i=1


∂u
∂x
i

L
p
(Ω)
.
ii) Không gian H
1
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v)
H
1
(Ω)
= (u, v)
L
2
(Ω)
+
n

i=1
(
∂u
∂x
i
,
∂v
∂x

i
)
L
2
(Ω)
, ∀u, v ∈ H
1
(Ω).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
7
1.1.4 Biên liên tục Lipschitz
Định nghĩa 1.4. Miền Ω được gọi là có biên liên tục Lipschitz nếu nó
giới nội và tồn tại các hằng số dương α, β và một số hữu hạn m các hệ
tọa độ địa phương x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
và m hàm a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2

, , x
(r)
n−1
), r =
1, 2, , m liên tục trong các khối n − 1 chiều K
(r)
| x
(r)
i
|< α, i = 1, 2, , n − 1
sao cho:
i)Mỗi điểm x của biên ∂Ω có thể biểu diễn trong ít nhất một hệ toạ
độ dạng: x = (x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
, a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x

(r)
n−1
)).
ii) Các điểm x = (x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
, x
(r)
n
) thoả mãn
| x
(r)
i
|< α, i = 1, 2, , n − 1

a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x

(r)
n−1
) < x
(r)
n
< a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
) + β,
hoặc
a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
) − β < x

(r)
n
< a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
)
nằm trong Ω hoặc nằm ngoài Ω.
iii) Mỗi hàm a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
), r = 1, 2, , m thoả mãn điều kiện
Lipschitz trên khối K
(r)
, tức là với mọi (x

(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
), (y
(r)
1
, y
(r)
2
, , y
(r)
n−1
)
∈ K
(r)
tồn tại hằng số dương L sao cho
| a
r
(x
(r)
1
, , x
(r)
n−1
)−a

r
(y
(r)
1
, , y
(r)
n−1
) |≤ L

(x
(r)
1
−y
(r)
1
)
2
+ +(x
(r)
n−1
−y
(r)
n−1
)
2

1
2
.
Chú ý 1.1. Miền có biên Lipschitz có pháp tuyến ngoài hầu khắp nơi,

các hàm a
r
(x
(r)
1
, , x
(r)
n−1
) có đạo hàm cấp một giới nội hầu khắp nơi.
Ví dụ 1.1. Các miền đơn giản với biên liên tục Lipschitz: hình tam giác,
hình tứ giác, hình vành khăn.
Định lí 1.4. (Định lý nhúng)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
8
Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó:
i)Nếu 1 ≤ p ≤ n thì W
1,p
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) là
- Nhúng compact đối với q ∈ [1, p

), trong đó
1
p

=
1
p


1
n
.
- Nhúng liên tục với q = p

.
ii) Nếu p = n thì W
1,n
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞).
iii) Nếu p > n thì W
1,p
(Ω) ⊂ C
0
(Ω) là nhúng compact.
1.1.5 Vết của hàm
Định nghĩa 1.5. Không gian Sobolev W
1,p
0
(Ω) được định nghĩa như các
bao đóng của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω
tương ứng với chuẩn của W
1,p
(Ω).
Không gian H
1
0
(Ω) được định nghĩa bởi H
1

0
(Ω) = W
1,2
0
(Ω).
Định lí 1.5. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó:
i) Nếu 1 ≤ p < n thì W
1,p
0
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) là:
- Nhúng compact đối với q ∈ [1, p

), trong đó
1
p

=
1
p

1
n
.
- Nhúng liên tục với q = p

.
ii) Nếu p = n thì W
1,n

0
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞).
iii) Nếu p > n thì W
1,p
0
(Ω) ⊂ C
0
(Ω) là nhúng compact.
Định lí 1.6. (Định lý vết)
Giả sử Ω là tập mở trong R
n
sao cho biên ∂Ω là liên tục Lipschitz.
Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục
γ : H
1
(Ω) −→ L
2
(∂Ω)
sao cho với bất kỳ u ∈ H
1
(Ω) ∩ C
0
(Ω) ta có γ(u) = u |
∂Ω
. Hàm γ(u)
được gọi là vết của u trên ∂Ω.
Định nghĩa 1.6. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian
H

1/2
(∂Ω) được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết γ, tức là
H
1/2
(∂Ω) = γ(H
1
(Ω)).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
9
Định lí 1.7.
i) H
1/2
(∂Ω) là không gian Hilbert với chuẩn
 u 
H
1/2
(∂Ω)
=

∂Ω
| u(x) |
2
dS
x
+

∂Ω

∂Ω
| u(x) − u(y) |

2
| x − y |
n+1
dS
x
dS
y
.
ii) Tồn tại một hằng số C
γ
(Ω) sao cho
 γ(u) 
H
1/2
(∂Ω)
≤ C
γ
(Ω)  u 
H
1
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
(Ω).
Khi đó, C
γ
(Ω) được gọi là hằng số vết.
Bổ đề 1.2. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H
1/2
(∂Ω)

có các tính chất sau:
i) Tập {u |
∂Ω
, u ∈ C

(R
n
)} trù mật trong H
1/2
(∂Ω).
ii) Nhúng H
1/2
(∂Ω) ⊂ L
2
(∂Ω) là compact.
iii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
g ∈ H
1/2
(∂Ω) −→ u
g
∈ H
1
(Ω)
với γ(u
g
) = g và tồn tại hằng số C
1
(Ω) chỉ phụ thuộc miền Ω sao cho
 u
g


H
1
(Ω)
≤ C
1
(Ω)  g 
H
1/2
(∂Ω)
, ∀g ∈ H
1/2
(∂Ω).
Bổ đề 1.3. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó
H
1
0
(Ω) = {u | u ∈ H
1
(Ω), γ(u) = 0}.
Định lí 1.8. (Bất đẳng thức Poincaré)
Tồn tại hằng số C

sao cho:
 u 
L
2
(Ω)
≤ C


 u 
L
2
(Ω)
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
10
Chứng minh.
Giả sử I là một khoảng trong R
n
chứa Ω, u ∈ H
1
0
(Ω). Ta ký hiệu ˜u là
mở rộng bởi 0 của u vào I. Ta có ˜u ∈ H
1
0
(Ω) và
 u 
L
2
(Ω)
= ˜u 
L
2
(I)
;  u 
L
2
(Ω)

= ˜u 
L
2
(I)
. (1.6)
Để chứng minh định lý đúng với Ω là khoảng bất kỳ trong R
n
, không
mất tính tổng quát ta chứng minh định lý đúng với Ω = (0, a)
n
.
Với mọi u ∈ C

0
(Ω) ta có
u(x) = u(x

, x
n
) =

x
n
0
∂u
∂x
n
(x

, t) dt.

Ta lại có
| u(x) |
2
=






x
n
0
∂u
∂x
n
(x

, t) .1dt





2
≤ x
n

x
n

0



∂u
∂x
n
(x

, t)



dt
≤ a

a
0



∂u
∂x
n
(x

, t)




dt.
Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức trên Ω ta được:


u
2
dx ≤ a
2





∂u
∂x
n



2
dx ≤ a
2


|u|
2
dx,
tức là
 u 
L

2
(Ω)
≤ a  u 
L
2
(Ω)
, ∀u ∈ C

0
(Ω).
Do đó bất đẳng thức trên đúng với mọi u ∈ H
1
0
(Ω).
Nếu Ω là một tập mở giới nội bất kỳ, luôn tồn tại khoảng I với các
cạnh phụ thuộc vào đường kính của Ω thoả mãn Ω ⊂ I.
Theo trên, định lý đúng với khoảng I, kết hợp với (1.6) ta suy ra định
lý đúng với Ω.
Nhận xét 1.1. Bất đẳng thức Poincaré có ý nghĩa rằng :
 u = u 
L
2
(Ω)
là một chuẩn trên H
1
0
(Ω) được xác định bởi
 u 
2
H

1
(Ω)
= u 
2
L
2
(Ω)
+  u 
2
L
2
(Ω)
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
11
Định lí 1.9. ( Bất đẳng thức Poincaré mở rộng)
Giả sử biên Ω liên tục Lipschitz, ∂Ω = Γ
1
∪ Γ
2
, trong đó Γ
1
, Γ
2
là các
tập đóng , rời nhau, Γ
1
có độ đo dương. Khi đó, tồn tại hằng số C

sao

cho
 u 
L
2
(Ω)
≤ C

 u 
L
2
(Ω)
,
∀u ∈ H
1
(Ω), γ(u) = 0 trên Γ
1
.
1.1.6 Không gian Sobolev với chỉ số âm
Định nghĩa 1.7. Ký hiệu H
−1
(Ω) là không gian Banach được định nghĩa
bởi
H
−1
(Ω) = (H
1
0
(Ω))

,

tức là không gian đối ngẫu của H
1
0
(Ω). Chuẩn của phần tử F ∈ H
−1
(Ω)
được xác định như sau
 F 
H
−1
(Ω)
= sup
H
1
0
(Ω)\{0}



F, u

H
−1
(Ω),H
1
0
(Ω)


 u 

H
1
0
(Ω)
,
trong đó

F, u

H
−1
(Ω),H
1
0
(Ω)
=


F u dx.
Bổ đề 1.4. Cho F ∈ H
−1
(Ω). Khi đó tồn tại n + 1 hàm f
0
, f
1
, , f
n
trong L(Ω) sao cho
F = f
0

+
n

i=1
∂f
i
∂x
i
. (1.7)
Hơn nữa
 F 
2
H
−1
(Ω)
= inf
n

i=1
 f
i

2
L
2
(Ω)
,
trong đó infimum lấy trên tất cả các vecto (f
0
, f

1
, , f
n
) trong [L
2
(Ω)]
n+1
thoả mãn điều kiện (1.7).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
12
Định nghĩa 1.8. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian
H
−1/2
(∂Ω) là không gian Banach được định nghĩa bởi
H
−1/2
(∂Ω) = (H
1/2
(∂Ω))

,
tức là không gian đối ngẫu của không gian H
1/2
(∂Ω). Chuẩn của phần
tử F ∈ H
−1/2
(∂Ω) được xác định như sau
 F 
H
−1/2

(∂Ω)
= sup
H
−1/2
(∂Ω)\{0}



F, u

H
−1/2
(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)


 u 
H
1/2
(∂Ω)
,
trong đó

F, u

H
−1/2
(∂Ω),H
1/2

(∂Ω)
=

∂Ω
F u dS.
Bổ đề 1.5. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H
−1/2
(∂Ω)
có các tính chất sau:
i) Nhúng L
2
(∂Ω) ⊃ H
−1/2
(∂Ω) là compact.
ii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
v ∈ H(Ω, div) −→ v.n ∈ H
−1/2
(∂Ω),
với không gian H(Ω, div) = {v|v ∈ L
2
(Ω), divv ∈ L
2
(Ω)}.
Hơn nữa, nếu v ∈ H(Ω, div) và w ∈ H
1
(Ω) thì:



(divv)w dx =



vw dx +

v.n, w

H
−1/2
(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)
.
1.2 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản
1.2.1 Lược đồ lặp hai lớp
Xét bài toán
Au = f, (1.8)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
13
trong đó A : H −→ H là toán tử tuyến tính trong không gian Hilb ert
thực n chiều H với tích vô hướng (, ) và chuẩn  y =

(y, y).
Giả sử A là toán tử đối xứng, xác định dương, f ∈ H là vecto tuỳ
ý. Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y
0
bất kỳ thuộc H, người
ta đưa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ y
1
, y
2

, , y
k
, của phương trình
(1.8). Các xấp xỉ như vậy được biết như là các giá trị lặp với chỉ số lặp
k = 1, 2, Bản chất của những phương pháp này là giá trị y
k+1
có thể
được tính thông qua các giá trị lặp trước: y
k
, y
k−1
,
Phương pháp lặp được g ọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai
bước nếu xấp xỉ y
k+1
có thể tính được thông qua một hoặc hai giá trị
lặp trước đó.
Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là
B
k
y
k+1
− y
k
θ
k+1
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, 2, (1.9)
trong đó θ

k+1
là các tham số lặp.
Giả thiết B
k
là toán tử tuyến tính từ H vào H, tồn tại toán tử ngược
B
−1
k
. Do đó từ (1.9) ta có
y
k+1
= y
k
− θ
k+1
B
−1
k
(Ay
k
− f) (1.10)
hoặc dạng tương tự
y
k+1
= y
k
− θ
k+1
B
−1

k
r
k
= y
k
− θ
k+1
w
k
,
trong đó r
k
= Ay
k
− f là độ không khớp và w
k
= B
−1
k
r
k
là phần hiệu
chỉnh.
Với y
k
đã biết, giá trị của y
k+1
có thể tính được từ (1.10). Biết y
0
ta

xác định được y
1
, y
2
, Tất nhiên nó chỉ có nghĩa khi phép lặp hội tụ,
tức là
 y
k
− u −→ 0, k −→ ∞.
Thông thường, nghiệm được tìm với độ chính xác ε (liên quan đến độ
chính xác
 y
k
− u 
 y
0
− u 
), có nghĩa là sự tính toán được dừng khi
 y
k
− u ≤ ε  y
0
− u  . (1.11)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
14
Vì u chưa biết nên ta thay điều kiện (1.11) bằng bất đẳng thức cho
độ không khớp
 Ay
k
− f ≤ ε  Ay

0
− f  . (1.12)
Ta chấp nhận điều kiện dừng
 y
k
− u 
D
≤ ε  y
0
− u 
D
. (1.13)
trong đó D là toán tử đối xứng, xác định dương. Với D = A
2
, từ (1.13)
ta suy ra được (1.11).
Bây giờ ta xét phương trình liên quan đến phần dư
z
k
= y
k
− u.
Từ Au = f ta có
B
k
z
k+1
− z
k
θ

k+1
+ Az
k
= 0, k = 0, 1, 2, (1.14)
trong đó z
0
∈ H đã biết.
Từ (1.14) ta thấy
z
k+1
= S
k+1
z
k
, S
k+1
= E − θ
k+1
B
−1
k
A,
trong đó S
k+1
là toán tử chuyển tiếp từ lớp thứ k tới lớp thứ k + 1. Với
n = k − 1 ta có
z
n
= T
n

z
0
, T
n
S
n
S
n−1
S
2
S
1
.
Ta có đánh g iá
 z
n

D
= T
n
z
0

D
≤ T
n

D
 z
0


D
,
hay
 z
n

D
≤ q
n
 z
0

D
, q
n
= T
n

D
.
Từ đó suy ra điều kiện dừng là q
n
≤ ε. Từ đây dẫn đến vấn đề về sự
hội tụ của phép lặp theo ước lượng chuẩn của toán tử T
n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
15
Lược đồ (1.9) cho ta xấp xỉ chính xác nghiệm u của phương trình

Au = f với bất kỳ toán tử B
k
và cách chọn tham số θ
k+1
. Nhưng q
n
phụ
thuộc vào cả {B
k
} và {θ
k+1
}. Vấn đề ở đây là nên chọn {B
k
} và {θ
k+1
}
như thế nào để cực tiểu chuẩn  T
n

D
= q
n
.
+ Nếu B
k
= E thì lược đồ lặp (1.9) được gọi là lược đồ lặp hiển
y
k+1
− y
k

θ
k+1
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, 2, (1.15)
Trong trường hợp θ
k+1
= θ là hằng số, lược đồ (1.15) còn được gọi là
lược đồ lặp đơn giản.
+ Nếu B
k
= E thì lược đồ lặp (1.9) được gọi là lược đồ ẩn.
1.2.2 Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép lặp
Lược đồ lặp (1.9) với toán tử B
k
= B, tham số θ
k+1
= θ không đổi
(k = 0, 1, 2, ) còn được gọi là lược đồ lặp dừng.
B
y
k+1
− y
k
θ
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, 2, (1.16)
Trong trường hợp này, phương trình (1.14) liên hệ với sai số xấp xỉ
z

k
= y
k
− u có dạng
B
z
k+1
− z
k
θ
+ Az
k
= 0, z
0
= y
0
− u, k = 0, 1, 2, (1.17)
Toán tử B nói chung là không đối xứng, có toán tử ngược B
−1
.
Định lí 1.10. Nếu A là toán tử đối xứng, xác định dương thì
B >
1
2
θA hay (Bx, x) >
1
2
θ(Ax, x), ∀x ∈ H, (1.18)
là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.16) trong không gian H
A

với tốc độ hội tụ cấp số nhân
 z 
A
≤ ρ  z
k

A
, k = 0, 1, 2, , ρ < 1, (1.19)
trong đó
ρ =

1 −
2θδ

δ
 B 
2

1
2
, δ = min
k
λ
k
(A), δ

= min
k
λ
k

(B
0

1
2
θA),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
16
B
0
=
B + B

2
là phần đối xứng của toán tử B.
Chứng minh.
Từ (1.17) ta có : z
k+1
= Sz
k
với S = E − θB
−1
A. Do đó
 z
k+1

2
A
= (Az
k+1

, z
k+1
) = (ASz
k
, Sz
k
)
= (A(E − θB
−1
A)z
k
, (E − θB
−1
A)z
k
)
= z 
2
A
−θ[(AB
−1
Az
k
, z
k
) + (B
−1
Az
k
, Az

k
)
+ (B
−1
Az
k
, Az
k
)] + θ
2
(AB
−1
Az
k
, B
−1
Az
k
).
Thế Az
k
= −Bv
k
với v
k
= −B
−1
Az
k
, kết hợp với điều kiện A là toán

tử đối xứng ta được
 z
k+1

2
A
= z
k

2
A
−2θ((B −
1
2
θA)v
k
, v
k
). (1.20)
Do giả thiết (1.16) của định lý ta suy ra toán tử P = B −
1
2
θA là
toán tử dương. Chúng ta thiết lập tính xác định dương của nó trong H:
P = B −
1
2
θA ≥ δ

E, δ


> 0,
trong đó δ

là giá trị riêng nhỏ nhất của toán tử P
0
= B
0

1
2
θA. Do đó
2θ((B −
1
2
θA)v
k
, v
k
) ≥ 2θδ

 v
k

2
. (1.21)
Mặt khác
 z
k


2
A
= (Az
k
, z
k
) = (Bv
k
, A
−1
Bv
k
)
≤ A
−1
 Bv
k

2
≤ A
−1
 B 
2
 v
k

2

 B 
2

 v
k

2
δ
suy ra
 v
k

2

δ
 B 
2
 z
k

2
A
. (1.22)
Kết hợp (1.20),(1.21),(1.22) ta được
 z
k+1

2
A
= Sz
k

2

A
≤ ρ
2
 z
k

2
A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
17
với ρ
2
= 1 −
2θδ

δ
 B 
2
< 1. Từ đó suy ra (1.19).
Còn bất đẳng thức  z
n

A
≤ ρ
n
 z
0

A
khẳng định sự hội tụ của

phép lặp do ρ
n
−→ 0, n → ∞.
Nhận xét 1.2. Với B
k
= B cố định, định lý đã đưa ra quy tắc lựa chọn
giá trị θ để lược đồ lặp hội tụ. Trong trường hợp B = E, điều kiện hội
tụ sẽ được đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng thoả mãn
λ
k
(E −
1
2
θA) = 1 −
1
2
θλ
k
(A) > 0,
hay
1 −
1
2
θ  A > 0.
Như vậy, lược đồ lặp hội tụ với mỗi θ <
2
 A 
.
1.3 Khái niệm nghiệm yếu đối với phương trình
Elliptic cấp hai

1.3.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình
Xét phương trình
−u = f (1.23)
Giả sử u ∈ C
2
(Ω), f ∈ C(Ω) và phương trình (1.23) thoả mãn trong
miền Ω. Khi đó, u(x) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.23).
Lấy hàm ϕ bất kỳ thuộc D(Ω) = C

0
(Ω) nhân với hai vế của (1.23)
rồi lấy tích phân ta được


uϕ dx =


fϕ dx. (1.24)
Áp dụng công thưc Green vào (1.24) và kết hợp với điều kiện ϕ|
∂Ω=0
ta có


n

i=1
∂ϕ
∂x
i
∂u

∂x
i
dx =


fϕ dx, (1.25)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
18
hay


uϕ dx =


fϕ dx.
Như vậy, nếu u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.23) thì có
(1.25). Nhưng nếu f /∈ C(Ω) thì phương trình (1.23) không có nghiệm
cổ điển. Vậy, ta cần mở rộng khái niệm nghiệm khi f ∈ L
2
(Ω).
Định nghĩa 1.9. Giả sử u ∈ H
1
(Ω), f ∈ L
2
(Ω), u được gọi là nghiệm
yếu của phương trình (1.23) nếu (1.25) được thoả mãn.
Mệnh đề 1.1. Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.23) và u ∈
C
2
(Ω), f ∈ C(Ω) thì u là nghiệm cổ điển, tức là −u = f.

Chứng minh.
Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.23), tức là u ∈ H
1
(Ω) và
ta có (1.25) với mọi hàm ϕ ∈ D(Ω), kết hợp với điều kiện u ∈ C
2
(Ω) ta
suy ra


(u + f)ϕ dx = 0, ∀u ∈ D(Ω).
Vì D(Ω) trù mật trong L
2
(Ω), u + f trực giao với mọi ϕ ∈ D(Ω)
nên u + f = 0 trong L
2
(Ω). Nhưng vì u liên tục nên u + f ≡ 0
trong C(Ω). Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.23).
1.3.2 Phát biểu các bài toán biên
• Bài toán Dirichlet
Xét bài toán

−u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ ∂Ω,
(1.26)
trong đó f ∈ L
2
(Ω).
Hàm u ∈ H
1

(Ω) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.26) nếu
u − v ∈ H
1
0
(Ω), (1.27)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
19
trong đó u là hàm thuộc H
1
(Ω), có vết bằng ϕ và


uv dx =


fv dx, ∀v ∈ H
1
0
(Ω) (1.28)
Nhận xét 1.3.
- Nghiệm yếu của bài toán (1.26) là nghiệm yếu của phương trình
−u = f vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm
u ∈ H
1
(Ω) thoả mãn (1.28) với mọi v ∈ C

0
(Ω) ⊂ H
1
0

(Ω).
- Nếu u là nghiệm yếu của bài toán (1.26) và u, f, ϕ đủ trơn thì u là
nghiệm theo nghĩa cổ điển.
• Bài toán Neumann
Xét bài toán

−u = f, x ∈ Ω,
∂u
∂ν
= h, x ∈ ∂Ω,
(1.29)
trong đó h ∈ C(∂Ω), f ∈ C(
¯
Ω), u ∈ C
2
(
¯
Ω) là nghiệm cổ điển.
Nhân hai vế của phương trình −u = f với v ∈ H
1
(Ω) rồi lấy tích
phân ta được


vu dx =


vf dx. (1.30)
Áp dụng công thức Green vào (1.30) ta có


∂Ω
v
∂u
∂ν
dS +


uv dx =


vf dx,
kết hợp với (1.29) ta suy ra


uv dx =


fv dx +

∂Ω
hv dS, ∀ ∈ H
1
(Ω). (1.31)
Định nghĩa 1.10. Nếu h ∈ L
2
(∂Ω), f ∈ L
2
(Ω) thì nghiệm yếu của bài
toán Neumann (1.29) là hàm u ∈ H
1

(Ω) thoả mãn (1.31).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
20
Nhận xét 1.4. Ta mới chỉ xét những trường hợp trên biên ∂Ω chỉ cho
một loại điều kiện biên. Trên thực tế có thể gặp các bài toán biên hỗn
hợp





−u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ Γ
1
,
∂u
∂ν
= h, x ∈ Γ
2
.
Trong trường hợp này, ta đưa vào không gian
V = {v ∈ H
1
(Ω), v|
Γ
1
= 0}.
Giả sử w ∈ H
1
(Ω) : w|

Γ
1
= ϕ. Khi đó, nghiệm yếu của phương
trình−u = f với các điều kiện biên trên là hàm u ∈ H
1
(Ω) sao cho
u − w ∈ V và


uv dx =


vf dx +

Γ
2
vh dS, ∀v ∈ V.
1.3.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu
Định lí 1.11. (Định lý Lax-Milgram)
Giả sử H là không gian Hilbert với tích vô hướng (v, u). B(v, u) là
dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục, xác định dương trên H, tức là
tồn tại k > 0 sao cho
|B(v, u)| ≤ k  v  u , ∀u, v ∈ H
và tồn tại α > 0 sao cho
B(v, u) ≥ α  v 
2
, ∀v ∈ H.
Khi đó, mỗi phiếm hàm tuyến tính F giới nội trên H có thể biểu diễn
trong dạng
F (v) = B(v, z), ∀v ∈ H,

trong đó z ∈ H là duy nhất được xác định bởi F và
 z ≤
1
α
 F  .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

×