Bài tập giới hạn hàm số lớp 11 có lời giải

Contents 
1

Các phương pháp khử vô định 0/0 .................................................................................................... 1
1.1

Khử nhân tử chung .................................................................................................................... 1

1.2

Đổi biến ..................................................................................................................................... 1

1.3

Gọi số hạng vắng ...................................................................................................................... 2

2

Giới hạn hàm số hữu tỉ ...................................................................................................................... 3

3

Giới hạn hàm vô tỉ ............................................................................................................................ 4

4

Giới hạn hàm số lượng giác .............................................................................................................. 6

5

Bài tập tổng hợp ................................................................................................................................ 9

5.1

Giới hạn hàm phân thức (hữu tỉ, vô tỉ)...................................................................................... 9

5.2

Giới hạn hàm lượng giác ......................................................................................................... 15

5.3

Một số bài giới hạn sử dụng định lý kẹp giữa......................................................................... 17

Một số bài giới hạn lượng giác ........................................................................................................... 19

1 Các phương pháp khử vô định 0/0 
Dạng lim

x x0

f ( x)
g ( x)

với lim f ( x) = 0, lim g ( x) = 0
x x0

x x0

1.1 Khử nhân tử chung 


Nếu f ( x ) , g ( x ) có nhân tử chung x - a thì ta đơn giản tử và mẫu cho x - a



Các hằng đẳng thức thường dùng
a) a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
b) a3 - b3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 )
c) a 3 + b3 = (a + b)( a 2 - ab + b 2 )
d) a n - b n = (a - b)(a n-1 + a n-2b + ... + ab n-2 + b n-1 )



Xem cách sử dụng sơ đồ hoocne để phân tích đa thức bậc >3 thành nhân tử

1.2 Đổi biến 
4

Ví dụ 1: lim
x1

2 x -1 -1
x -1

Đặt t = 4 2 x -1 khi đó x  1 thì t  1


t = 4 2 x -1
 2 x -1 = t 4
 x -1 =

t 4 -1
2

2 x -1 -1
t -1
t -1
= lim 4
= 2 lim 4
x1
x1 t -1
x 1 t -1
x -1
2
t -1
1
2 1
= 2 lim
= 2 lim 3 2
= =
3
2
x1
x1 t + t + t + 1
4 2
(t -1)(t + t + t + 1)

 lim

4

5

Ví dụ 2: lim
x 0

 lim
x 0

5

1- x -1
t = 5 1- x , t  1
, đặt
x
 x = 1- t 5

1 - x -1
t -1
-1
1
= lim
= lim 4 3 2
=5
x

x

0
0
x

1- t
t + t + t + t +1
5

1.3 Gọi số hạng vắng 
Ví dụ 1: lim
x1

x3 - 3x - 2
x -1

Ta cần tìm nhân tử x-1 ở tử để triệt tiêu mẫu, tuy nhiên không thể áp dụng hằng đẳng thức trực tiếp
a 3 - b 3 hay a 2 - b 2 được, do đó ta thêm bớt 1 để xuất hiện 2 hằng đẳng thức
3

lim
x1

x - 3x - 2
= lim
x1
x -1

= lim

(

( x3 -1) + 1- 3x - 2

( x -1)( x 2 + x + 1) +

x -1
-3( x -1)

) = lim

( x -1)( x 2 + x + 1) +

1- (3x - 2)
1 + 3x - 2

x -1

x1

ö÷ 3
3
1 + 3x - 2 = lim çæ x 2 + x + 1÷=
ç
x1 ç
x -1
è
1 + 3x - 2 ø÷ 2

x 1

Ví dụ 2: lim
x 0

x +1 + 3 x -1

x

Ta không thể áp dụng hằng đẳng thức a 2 - b 2 hay a 3 - b 3 cho
thêm bớt 1 thì ta có hai hằng đẳng thức.

(

) (

)

x + 1 -1 + 1 + 3 x -1
x + 1 + 3 x -1
= lim
= lim
lim
x 0
x 0
x 0
x
x
æ
ö÷
çç
÷÷ 5
1
1
= lim çç
+
2÷

÷=
x 0 ç x + 1 + 1
çèç
1- 3 x -1 + 3 x -1 ø÷÷ 6

(

)

x + 1 và

3

x -1 được, nhưng nếu

1 + ( x -1)
x + 1 -1
+
x + 1 + 1 1 - 3 x -1 + 3 x - 1

(

x

)

2


2 Giới hạn hàm số hữu tỉ 

Tính các giới hạn
1.
2.
3.
4.
5.

x2 + x - 6
x 2
x2 - 4
x 2 -16
lim 2
x 4 x + x - 20
x2 - 5x + 6
lim 2
x3 x - 8 x + 15
x3 - 3x + 2
lim 4
x1 x - 4 x + 3
3x 4 - 4 x3 +1
lim
2
x1
( x -1)

x2 + x - 2
x 1
1- x 3
x3 - 3x + 2
7. lim 3

x1 x - x 2 - x + 1
x3 - 4 x 2 + 4 x - 3
8. lim
x 3
x 2 - 3x
8 x3 -1
9. lim 2
1
x 6 x - 5 x +1

lim

6.

lim

2

2 x 4 - 5 x 3 + 3 x 2 + x -1
x1
3 x 4 - 8 x 3 + 6 x 2 -1

10. lim

Giải:
1. lim

( x + 3)( x - 2)
x2 + x - 6
x +3 5

= lim
= lim
=
2
x  2 ( x - 2)( x + 2)
x 2 x + 2
x -4
4

2. lim

( x - 4)( x + 4)
x 2 -16
x+4 8
= lim
= lim
=
2
x + x - 20 x4 ( x + 5)( x - 4) x4 x + 5 9

3. lim

( x - 3)( x - 2)
x2 - 5x + 6
x-2
1
= lim
= lim
=2
x - 8 x + 15 x3 ( x - 3)( x - 5) x3 x - 5

2

4. lim

x3 - 3x + 2
x4 - 4 x + 3

x 2

x 4

x 3

x1

Bằng sơ đồ hoocne phân tích được
2

x3 - 3 x + 2 = ( x -1) ( x + 2)
x 4 - 4 x + 3 = ( x -1) ( x 2 + 2 x + 3)
2

 lim
x1

5. lim
x1

6. lim
x1

x3 - 3x + 2
x+2
1
= lim 2
=
4
x

1
x - 4x + 3
x + 2x + 3 2

3 x 4 - 4 x3 + 1
2

( x -1)

( x -1) (3 x 2 + 2 x + 1)
= lim
= lim (3 x 2 + 2 x + 1) = 6
2
x 1
x1
( x -1)
2

-( x + 2)
( x -1)( x + 2)
x2 + x - 2

= lim
=
lim
= -1
3
x1 1- x 1 + x + x 2
1- x
(
)(
) x1 1+ x + x 2
2

( x -1) ( x + 2)
x3 - 3 x + 2
x+2 3
7. lim 3
= lim
= lim
=
2
2
x1 x - x - x + 1
x1
( x -1) ( x + 1) x1 x + 1 2


( x - 3)( x 2 - x + 1)
x3 - 4 x 2 + 4 x - 3
x2 - x +1 7
8. lim

lim
lim
=
=
=
x3
x3
x3
x 2 - 3x
x ( x - 3)
x
3
3
(2 x - 1)(4 x 2 + 2 x + 1)
(2 x ) - 1
8 x3 -1
4x2 + 2x + 1
= lim 2
= lim
=6
9. lim 2
= lim
1
1
1
1
3x -1
(2 x - 1)(3x - 1)
x 6 x - 5 x + 1
x 6 x - 5 x + 1

x
x
2

2

2

2

3

( x - 1) (2 x + 1)
2 x 4 - 5 x3 + 3x 2 + x -1
2x +1 3
10. lim
= lim
= lim
=
4
3
2
3
1
1
x1
x

x


3x + 1 4
3x - 8 x + 6 x -1
( x - 1) (3x + 1)

3 Giới hạn hàm vô tỉ 
Tính các giới hạn
1 + x 2 -1
x 0
x
x + 7 -3
2. lim
x 2
x2 - 4
x + 2 -1
3. lim
x-1
x +5 -2
1.

lim

6.

x0

x 2 +1 -1
x 2 +16 - 4

3x - 2 - 4 x 2 - x - 2
x1

x 2 - 3x + 2
x- x+2
8. lim
x 2
4 x +1 - 3
7.

2 x -1 - x
x1
x -1
2 x + 2 - 3x +1
5. lim
x1
x -1

4.

lim

lim

1- 3 1- x
x 0
x
3
x +7 -2
10. lim 2
x1 x - 3 x + 2

lim

9.

lim

Giải:
1 + x 2 -1
1. lim
= lim
x0
x0
x

2. lim
x 2

3.

)(

) = lim

1 + x 2 -1

1+ x 2 +1

(

)

x 1+ 1+ x2

(

)(
(

x0

x
1+ 1+ x2

)
)

=0

x + 7 -3 x + 7 + 3
x + 7 -3
x-2
=
lim
= lim
2
x 2
x -4
( x - 2)( x + 2) x + 7 + 3 x2 ( x - 2)( x + 2) x + 7 + 3

= lim
x2

(

1

( x + 2)( x + 7 + 3)

lim

x-1

= lim

x + 2 -1
= lim
x + 5 - 2 x-1

x-1

(
(

=

1
24

)(
x + 5 - 2)(
x + 2 -1

( x - 2)( x + 5 + 2)
( x - 2)( x + 2 +1)

(

= lim

x-1

)(
x + 5 + 2)(

x + 2 +1

x +5 + 2
=2
x + 2 +1

)
x + 2 +1)

x +5 + 2

)


4. lim
x1

2 x -1 - x
2 x -1 -1 +1- x
2 x -1 -1
1- x
= lim
= lim
+ lim
x

1
x

1
x

1
x -1
x -1
x -1
x -1

= lim

(

x 1

5. lim
x1

) + lim

2 x -1 + 1

( x -1)( 2 x -1 +1)

x 1

= lim

)(

2 x -1 -1

2 ( x -1)

( x -1)( 2 x -1 +1)

x1

+ lim
x1

1- x

(

)(

x -1

1- x

(

)(

x -1

)

x +1

)

x +1

2
-1
1
=
+ lim
2 x -1 + 1 x1 1 + x 2

= lim
x 1

2 x + 2 - 3x +1
2 x + 2 - 2 + 2 - 3x +1
2x + 2 - 2

2 - 3x +1
= lim
= lim
+ lim
x1
x1
x1
x -1
x -1
x -1
x -1

= lim

(

x 1

6. lim
x 0

2 ( x -1)

( x -1)( 2 x + 2 + 2)

+ lim
x1

= lim
x 0

)(

( x -1)(2 + 3x + 1)

x1

3(1- x )

( x -1)(2 + 3x +1)

2

x0

x 2 +16 + 4
x 2 +1 +1

2

2

)

3x +1 2 + 3x +1

= lim

( x +1 -1)( x +1 +1)( x
= lim

+16 - 4
( x +16 - 4)( x +16 + 4)(

x 2 +1 -1
x2

) + lim (2 -

2x + 2 + 2

( x -1)( 2 x + 2 + 2)

x 1

= lim

)(

2x + 2 - 2

2

x 1

2

2
-3
1
=+ lim

4
2 x + 2 + 2 x1 2 + 3 x + 1

) = lim x ( x +16 + 4)
+1 +1)
x ( x +1 +1)
2

+16 + 4
x2

x 0

2

2

2

=4

3x - 2 - 4 x 2 - x - 2
3 x - 3 + 1- 4 x 2 - x - 2
=
l
im
x1
x1
x 2 - 3x + 2
( x -1)( x - 2)

7. lim

3x - 3
1- 4 x 2 - x - 2
3
3 + x - 4 x2
+ lim
= lim
+ lim
x1 ( x -1)( x - 2)
x1 ( x -1)( x - 2)
x1 x - 2
x1
( x -1)( x - 2) 1 + 4 x 2 - x - 2

= lim

= lim
x1

(

)

-(4 x + 3)
3
1
+ lim
=

2
x - 2 x1 ( x - 2) 1 + 4 x 2 - x - 2

(

)

(
(

)(
)(

)(
)(

)
)

(

)

x- x+2 x+ x+2
4 x +1 + 3
( x 2 - x - 2) 4 x +1 + 3
x- x +2
= lim
= lim
8. lim

x 2
x 2
4 x + 1 - 3 x 2 4 x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 x + x + 2
4 ( x - 2) x + x + 2
= lim
x2

( x +1)( 4 x +1 + 3)

(

4 x+ x+2

)

=

9
8

(

)


1 - 1- x
9. lim
= lim
x 0
x0

x
3

= lim
x 0

(1-

3

(

x 1 + 1- x +

x

(

)(

x 1 + 3 1- x +

(

3

1- x

3

))
2

= lim
x 0

)((
x +7 -2
10. lim
= lim
x - 3x + 2
( x -1)( x - 2)((
(

3

x1

2

= lim
x1

= lim
x1

3

x +7 -2

x1

(

3

(

1- x 1 + 3 1- x +

(

3

1- x

1- x

))

))
2

2

x0

1 + 3 1- x +

)

x + 7)

(

3

2

1- x

2

3

)

)

2

1

)

( x - 2) ( 3 x + 7 ) + 2 3 x + 7 + 4

+ 23

2

=-

x1

1
12

x x0



a)

sin u ( x )
sin u ( x )
= lim
=1
x  xo
u( x)0 u ( x )
u ( x)

b)

lim

lim

= lim

u( x)0

tan u ( x)
u ( x)

=1

Các phép biến đổi lượng giác

1- cos 2 x
1 + cos 2 x
= sin 2 x ,
= cos 2 x
2
2
b) sin 2 x = 2 sin x cos x; cos 2 x = cos 2 x - sin 2 x
a +b
a -b
c) cos a + cos b = 2 cos
.cos
2
2
1é
d) cos a cos b = ë cos ( a + b) + cos (a - b )ùû
2
a)

Tính các giới hạn

1- x

))
2

1
3

(

x -1

)

( x -1)( x - 2) ( 3 x + 7 ) + 2 3 x + 7 + 4

sin x
sin ax
= 1 , lim
=1
x 0
x 0
x
ax
x
ax
Suy ra: lim
= 1, lim
=1
x 0 sin x
x 0 sin ax
tan x

sin x 1
sin x
1
Ta có lim
= lim
= lim
=1
.
.lim
x 0
x0
x
x cos x x0 x x0 cos x
tan x
tan ax
 lim
= 1, lim
=1
x 0
x 0
x
ax
 Mở rộng: Nếu lim u ( x) = 0 thì:

u ( x)

3

)
x + 7 + 4)

= lim

Giới hạn cơ bản: lim

x xo

=

(

3

3

x + 7 - 23

(

tan u ( x)

(

x 1 + 3 1- x +

)

x +7 + 23 x +7 + 4

3

4 Giới hạn hàm số lượng giác 


)

2

(

13 - 3 1- x

= lim

1

( x -1)( x - 2) ( 3 x + 7 ) + 2 3 x + 7 + 4

(

3

2


1.
2.
3.
4.
5.

sin 2 x
x 0
x
tan 2 x
lim
x 0
3x
tan 2 x
lim
x 0 sin 5 x
1- cos x
lim
x 0
x2
1- cos ax
lim
x 0
x2

lim

6.
7.
8.
9.
10.

1- cos x cos 2 x cos 3 x
x 0

x2
1- cos 2 2 x
lim
x 0
x sin x
sin 2 2 x - sin x sin 4 x
lim
x 0
x4
tan x - sin x
lim
x 0
x3
1 + sin x - cos x
lim
x 0 1 - sin x - cos x
lim

Giải:
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
= lim 2.
= 2 lim
= 2.1 = 2
x 0
x 0
x 0
x
2x

2x

1. lim

2. lim
x 0

tan 2 x
2 tan 2 x 2
tan 2 x 2
2
= lim
= .1 =
lim .
3 x x 0 3 2 x
3 x0 2 x
3
3

tan 2 x
tan 2 x
x
tan 2 x
x
= lim
= lim
.
.lim
x0 sin 5 x
x 0

x0 sin 5 x
x sin 5 x x0 x

3. lim

tan 2 x
1 5x
1 2
= 2. =
.lim .
x 0
2 x x0 5 sin 5 x
5 5

= 2 lim

2

æ
ö
x
x
x
çç sin x ÷÷
2 sin
sin 2
sin 2
1- cos x
1
1

2 = 2 lim
2 = 2 lim .
2 = lim çç
2 ÷÷÷ = 1 .1 = 1
= lim
4. lim
2
2
2
2
ç
x 0
x 0
x 0
x 0 4 æ ö
x
2 x0 çç x ÷÷÷
2
2
x
x
çç x ÷÷
4.
÷
ç
è 2 ø
çè 2 ÷ø
4
2

2

æ ax ö÷
ax
ax
2 x
çç sin ÷
2sin
sin 2
2
2
2 sin
2
a
a
1- cos ax
çç
2
2
2
2 ÷÷÷ = a .1 = a
=
=
=
=
lim
2
lim
2
lim

.
lim
5. lim
2
x0
x0
x 0 4 a 2 x 2
x0 4 æ
x2
x2
2 x0 ççç ax ÷÷÷
2
2
ax ö÷
ç
.
çè 2 ø÷
÷
2
ç
÷
ç
a
4
è2ø
2

1- cos x cos 2 x cos 3 x
x 0
x2

6. lim

Ta có:
1
cos x cos 2 x cos 3 x = cos x. (cos x + cos 5 x )
2
ö
1
1æ
1
= (cos 2 x + cos x cos 5 x) = ççcos 2 x + (cos 4 x + cos 6 x)÷÷÷
ø
2
2 çè
2
1
1
1
= cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x
2
4
4


1
1
1
1- cos 2 x - cos 4 x - cos 6 x
1- cos x cos 2 x cos 3 x

2
4
4
 lim
= lim
2
2
0
x 0
x

x
x
æ1 1
ö
æ
ö
æ
ö
çç - cos 2 x÷÷ + çç 1 - 1 cos 4 x÷÷ + çç 1 - 1 cos 6 x÷÷
èç 2 2
ø÷ èç 4 4
ø÷ èç 4 4
ø÷
= lim
2
x0
x
1 1
1

1
1 1
- cos 2 x
- cos 4 x
- cos 6 x
= lim 2 2 2
+ lim 4 4 2
+ lim 4 4 2
x0
x 0
x 0
x
x
x
1 2
sin x
1 1- cos 4 x
1 1- cos 6 x 1 1 42 1 6 2
2
lim
.
lim
.
+
+
= + . + . =7
= lim
x0 4
x 0 4
x0

x2
x2
x2
2 4 2 4 2

(Xem lại bài tập 5)
2

æ sin 2 x ö÷
1- cos 2 2 x
sin 2 2 x
sin 2 2 x x
x
çç
7. lim
.
lim
4.
= lim
= lim
=
= 4.1 = 4
÷÷ .lim
2
ç
0
0
0
0
x 0

x

x

x

x

è 2x ø
x sin x
x sin x
x
sin x
sin x
sin 2 2 x - sin x sin 4 x
8. lim
x 0
x4

Ta có:
sin 2 2 x - sin x sin 4 x = sin 2 2 x - sin x.2sin 2 x cos 2 x
= sin 2 x (sin 2 x - 2sin x cos 2 x ) = sin 2 x (2sin x cos x - 2sin x cos 2 x )
= 2sin x sin 2 x (cos x - cos 2 x) = 2sin x sin 2 x.(-2) sin

æ xö
3x
.sin çç- ÷÷÷
çè 2 ø
2

x
3x
= 4sin x sin 2 x sin sin
2
2
x
3x
4sin x sin 2 x sin sin
sin 2 x - sin x sin 4 x
2
2
 lim
= lim
4
4
0
x 0
x

x
x
x
x
3x
3x
sin
sin
sin
sin
x

x
sin x
sin 2 x
sin
sin
2
1
3
2
2 .lim
2 = 4.lim
2 .lim .
= 4 lim
.lim
.lim
.lim 2.
.lim .
x0
x 0
x 0
x x 0 x
x x 0 x
x x0
2 x x 0 2 x x 0 2 3 x
2
2
1 3
= 4.1.2. . = 6
2 2
2

sin x
sin x - sin x.cos x
- sin x
sin x (1- cos x) 1
tan x - sin x
cos x
9. lim
= lim cos x 3
= lim
= lim
.
3
3
x0
x

x

x

0
0
0
x
x
x
x3
cos x
= lim

x0

sin x 1- cos x 1
sin x
1- cos x
1
1
1
.
.
= lim
.lim
.lim
= 1. .1 = (xem lại bài tập 4)
2
2
x

x

x

0
0
0
x
x
x
x
cos x

cos x
2
2


(1- cos x) + sin x
(1- cos x) + sin x
1 + sin x - cos x
x
= lim
= lim
.
x0 1- sin x - cos x
x 0 (1- cos x ) - sin x
x0
x
(1- cos x)- sin x

10. lim

= lim

(1- cos x) + sin x

x0

x

x
= L1.L2

x0 (1- cos x ) - sin x

.lim

Ta có:

(1- cos x) + sin x

L1 = lim
x0

x

x
2sin 2
æ1- cos x sin x ÷ö
2 + lim sin x
= lim çç
+
=
lim
÷
x0 ç
x 0
è
x
x
x ø÷ x0
x

x
2 .sin x + 1 = 0 + 1 = 1
= lim
x0
x
2
2
sin

x
1
1
= lim
=
x 0 (1- cos x ) - sin x
x 0 (1- cos x ) - sin x
æ1- cos x sin x ö÷
lim ççç
÷
x 0 è
x
x ÷ø
x
1
1
=
=
= -1
x
-1

2sin 2
2 - lim sin x
lim
x 0
x 0
x
x
L2 = lim

Vậy lim
x 0

1 + sin x - cos x
= -1
1- sin x - cos x

5 Bài tập tổng hợp 
I.

Định lý kẹp giữa
Nếu h ( x) £ f ( x) £ g ( x) và lim h ( x) = lim g ( x) = L
x x0

x x0

Thì lim f ( x) = L
x x0

II.

Nếu lim f ( x) = L thì lim f ( x) = L
x x0

x x0

Hệ quả: lim f ( x) = 0 thì lim f ( x ) = 0
x x0

x x0

5.1 Giới hạn hàm phân thức (hữu tỉ, vô tỉ) 
Bài 1.

Tính các giới hạn

x 2 - 3x + 2
1. lim
x 2
x-2
1 + x3
2. lim
x -1 1 - x 2

5.
6.

lim
x 0

lim

x-1

1- x - 1 + x
x
2
x -1

2 x + 3x 2 +1


3x 2 + 5 x - 2
x -2 x 3 - 3 x + 2
x6 - 6 x + 5
4. lim
2
x1
( x -1)

3.

lim

7.

lim

8.

lim

x 5

2 x - 5 x -1
3- x + 4

1 - 3 12 x + 1
x 0
4x

Giải:
1. lim
x 2

( x - 2)( x -1)
x 2 - 3x + 2
= lim
= lim ( x -1) = 1
x 2
x 2
x-2
x-2

(1 + x )(1- x + x
1 + x3
2. lim
= lim
2
x -1 1 - x
x -1

(1- x)(1 + x)
3.

2

)

1- x + x 2 3
=
x -1
1- x
2

= lim

(3x -1)( x + 2)
3x 2 + 5 x - 2
3x -1
7
= lim
= lim
=2
2
3
x-2 x - 3 x + 2
x-2
x-2
9
( x + 2)( x -1)
( x -1)

lim

4. lim

x6 - 6 x + 5
2

( x -1)

x 1

( x -1) ( x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 4 x + 5)
= lim
= lim ( x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 4 x + 5) = 15
2
x1
x1
( x -1)
2

1- x - 1 + x
= lim
x0
x

5. lim
x 0

(

1- x - 1 + x

)(

1- x + 1 + x

) = lim (1- x)-(1+ x)
x0

x

x

-2 x
= -2
x 0
x

= lim

6.

lim

x 2 -1

x-1

2 x + 3x 2 +1

(

= lim

x-1

( x2 -1)(2 x -

(2 x +

)

( x2 -1)(2 x - 3x2 +1)
= lim
4 x 2 -(3x 2 +1)
3x 2 +1) x-1

3 x 2 +1

)(

3x 2 +1 2 x -

)

= lim 2 x - 3 x 2 + 1 = -4
x-1

7. lim
x5

(

= lim

(

(4 x 2 - 25 x + 25)(3 +

x+4

(5 - x )(2 x + 5 x -1)

x5

1- 12 x + 1
= lim
x 0
x 0
4x

8. lim

)(
)(

)(

2 x - 5 x -1 2 x + 5 x -1 3 + x + 4
2 x - 5 x -1

= lim
x5
3- x + 4
3 - x + 4 3 + x + 4 2 x + 5 x -1

3

(1-

3

)(

)

) = lim -(4 x - 5)(3 +
x5

x+4

æ
12 x + 1 çç1 + 3 12 x + 1 + 3 12 x + 1
è
2ö
æ
4 x çç1 + 3 12 x + 1 + 3 12 x + 1 ÷÷
è
ø

) ÷÷öø

(

(

)=-9

2

2 x + 5 x -1

)

)

)

2


= lim
x 0

1- (12 x + 1)
æ
4 x çç1 + 3 12 x + 1 +
è

(

3

ö
12 x + 1 ÷÷
ø

)

2

= lim
x0

-3

1 + 12 x + 1 +
3

x3 - 3x - 2
x1
x -1
x + 1 + 3 x -1
2) lim
x 0
x
2 x +1 - 3 8 - x
3) lim
x 0
x
Giải:

1) lim

x1

4) lim

3

x1

x + 7 - 5 - x2
x -1

5 - x2 - 3 x2 + 7
x 1
x -1
4
2 x -1 + 5 x - 2
6) lim
x1
x -1

5) lim

( x -1)( x 2 + x + 1)
x -1

x1

+ lim

x1

= lim ( x 2 + x + 1) + lim
x1

x1

3 - 3x

( x -1)(1 + 3x - 2 )

-3
3 3
= 3- =
2 2
1 + 3x - 2

x + 1 + 3 x -1
x + 1 - 1 + 1 + 3 x -1
x + 1 -1
1 + 3 x -1
= lim
= lim
+ lim
x 0
x 0
x 0
x
x
x

x

2) lim
x 0

1
1
+ lim
x

0
x +1 +1
1 + 3 x -1 +

= lim
x 0

(

3

x -1

)

2

=

1 1 5

+ =
2 3 6

2
2 x +1 - 3 8 - x
2 x +1 - 2 + 2 - 3 8 - x
= lim
= lim
x0
x0
x0
x
x

3) lim

2
1
+ lim
x + 1 + 1 x 0 2 2 + 2 3 8 - x +

= lim
x 0

= lim
x1

x 1

(

3

8- x

)

2

= 1+

(

) + lim 2 -

x + 1 -1
x

x 0

3

8- x
x

1 13
=
12 12

3

3
x + 7 - 5 - x2
x + 7 - 2 + 2 - 5 - x2
x +7 -2
2 - 5 - x2
= lim
= lim
+ lim
x1
x1
x1
x -1
x -1
x -1
x -1

3

x 1

5) lim

= -1

x3 - 3x - 2
x 3 -1 + 1 - 3 x - 2
x 3 -1
1- 3 x - 2
= lim
= lim

+ lim
x1
x1 x -1
x1
x -1
x -1
x -1

= lim

4) lim

)

12 x + 1

2

Tính các giới hạn

Bài 2.

1) lim

(

3

1

(

3

)

2

x + 7 + 2 3 x + 7 + 22

+ lim
x1

x 2 -1

( x -1)(2 + 5 - x

2

)

=

1 2 7
+ =
12 4 12

5 - x2 - 3 x2 + 7
5 - x2 - 2 + 2 - 3 x2 + 7
5 - x2 - 2

2 - 3 x2 + 7
= lim
= lim
+ lim
x1
x1
x 1
x -1
x -1
x -1
x -1


= lim
x1

( x -1)( 5 - x 2 + 2)

= lim
x1

4

6) lim
x1

1- x 2

-( x +1)
2

5- x + 2

+ lim
x1

æ
ö
( x -1)ççç22 + 2 3 x 2 + 7 + ( 3 x 2 + 7 ) ÷÷÷
2

è

ø

-( x + 1)

+ lim
x1

1- x 2

22 + 2 3 x 2 + 7 +

(

3

x2 + 7

)

2

2
3

=-

4
4
2 x -1 + 5 x - 2
2 x -1 -1 + 1 + 5 x - 2
2 x -1 -1
1- 5 2 - x
= lim
= lim
+ lim
= L1 + L2
x1
x1
x1
x -1
x -1
x -1
x -1
4

Với L1 = lim
x1

x=

2 x -1 -1
, đổi biến t = 4 2 x -1  t  1 khi x  1
x -1

t 4 +1
t 4 -1
 x -1 =
2
2

L1 = lim
x1

t -1
t -1
2 1
= 2 lim
= =
4
3
2
x1 t -1 t + t + t + 1
t -1
( )(
) 4 2
2

1- 5 2 - x
, đổi biến t = 5 2 - x  t  1 khi x  1
x1
x -1

Với L2 = lim

 x = 2 - t 5  x -1 = 1 - t 5

1- t
1- t
1
= lim
=
5
2
3
4
x1 1- t
x1 1- t 1 + t + t + t + t
( )(
) 5

L1 = lim

4

Vậy lim
x1

Bài 3.

2 x -1 + 5 x - 2 1 1 7
= + =
x -1
2 5 10

tính các giới hạn

x 2 + 2 x -15
1. lim
x3
x -3
2.

2 x 2 + 3x +1
x-1
x 2 -1
lim

2 x 2 - 3x +1
9. lim 3
x1 x - x 2 + x -1
10. lim

x 2 - 3x + 2
2

( x - 2)

x 2

x 2 - x 2 + x -1
3. lim
x1
x -1

11. lim

x 4 -16
x-2

12. lim

4. lim
x 2

5. lim
x1

x 2

x3 - 8
x2 - 4

3x 2 - 5 x +1
x+¥
x2 - 2

4 x 6 - 5 x5 + x

2

( x -1)

2

2

( x -1) (7 x + 2)
13. lim
2
x+¥
(2 x + 1)


6. lim
x1

x9 - 9 x + 8

3x 4 - x +1
14. lim
x+¥
x 3 -1

2

( x -1)

(3x 2 +1)(5 x + 3)

15. lim
x+¥ 2 x 3 -1 x + 1
(
)( )

x 7 -1
7. lim 5
x1 x -1
3

8. lim
h 0

2 ( x + h) - 2 x 3
h

Giải:
1. lim
x 3

( x - 3)( x + 5)
x 2 + 2 x -15
= lim
= lim ( x + 5) = 8
x3
x 3
x -3
( x - 3)

( x +1)(2 x +1)

2 x 2 + 3x +1
2 x +1 1
2. lim
= lim
= lim
=
2
x-1
x
x
1
1
x -1
x -1
2
( x -1)( x +1)
( x -1)( x 2 +1)
x 3 - x 2 + x -1
3. lim
= lim
=2
x1
x1
x -1
( x -1)
( x - 2)( x + 2)( x 2 + 4)
( x 2 - 4)( x 2 + 4)
x 4 -16
= lim
= lim

= 32
4. lim
x 2 x - 2
x 2
x 2
x-2
x-2
5. lim
x1

6. lim
x1

4 x6 - 5 x5 + x
2

( x -1)

x9 - 9 x + 8
2

( x -1)

x ( x -1) (4 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1)
2

= lim

2

( x -1)

x1

= 10

( x -1) ( x 7 + 2 x 6 + 3 x5 + 4 x 4 + 5 x3 + 6 x 2 + 7 x + 8)
= lim
= 36
2
x1
( x -1)
2

( x -1)( x 6 + x5 + x 4 + x3 + x 2 + x + 1) 7
x 7 -1
7. lim 5
= lim
=
x1 x -1
x1
5
( x -1)( x 4 + x3 + x 2 + x +1)
8. lim
h 0

9. lim
x1

10. lim

x 2

= 2 lim
h 0

h

( x + h - x)(( x + h) + x ( x + h) + x 2 )
2

3

2 ( x + h) - 2 x 3

h

( x -1)(2 x -1)
2 x 2 - 3x +1
2 x -1 1
= lim
= lim 2
=
3
2
2
x - x + x -1 x1 ( x -1)( x + 1) x1 x + 1 2
x 2 - 3x + 2
2

( x - 2)

( x - 2)( x -1)
x -1
= lim
= ¥
2
x 2
x 2 x - 2
( x - 2)

= lim

( x - 2)( x 2 + 2 x + 4)
x3 - 8
x2 + 2 x + 4
11. lim 2
= lim
= lim
=3
x 2 x - 4
x 2
x 2
x+2
( x - 2)( x + 2)

= 2.3x 2 = 6 x 2


æ
5 1ö

5 1
x 2 çç3 - + 2 ÷÷÷
3- + 2
3x - 5 x +1
èç
x x ø
x x =3
12. lim
= lim
= lim
x+¥
x+¥
x+¥
æ
ö
2
2
x2 - 2
1- 2
x 2 çç1- 2 ÷÷÷
çè x ø
x
2

2

2

2

2

æ 1ö
æ
æ 1ö æ
2ö
2ö
x çç1- ÷÷÷ .x 2 çç7 + ÷÷÷
x 2 çç1- ÷÷÷ çç7 + ÷÷÷
2
2
ç
ç
ç
ç
x
x
1
7
2
+
(
)(
)
è xø
è
è xø è
xø
xø
= lim

= lim
= +¥
13. lim
2
2
2
x+¥
x+¥
x
+¥
ö÷
æ
ö÷
1
1
(2 x +1)
2æ
çç2 + ÷
x çç2 + ÷÷
çè
èç
xø
x ø÷
2

æ
æ
1
1ö
1

1ö
x 4 çç3 - 3 + 4 ÷÷÷
x çç3 - 3 + 4 ÷÷÷
3x - x +1
èç
èç
x
x ø
x
x ø
14. lim
= lim
= lim
= +¥
3
x+¥
x+¥
x+¥
ö
1
1
x -1
3æ
÷
1- 3
x çç1- 3 ÷÷
çè x ø
x
4

æ
æ
öæ
ö
1ö æ
3ö
çç3 + 12 ÷÷çç5 + 3 ÷÷
x 2 çç3 + 2 ÷÷÷.x çç5 + ÷÷÷
÷
÷
çè
ç
ç
ç
è
x ø è
xø
x øè
xø
= lim
= lim
=0
15. lim
3
x+¥ 2 x -1 x + 1
(
)( ) x+¥ x3 æçç2 - 13 ÷÷ö.x ççæ1 + 1 ÷÷ö x+¥ x ççæ2 - 13 öæ
÷÷çç1 + 1 ö÷÷
֍
çè

èç
x ÷ø çè
x ÷ø
x øè
x ø÷

(3x 2 +1)(5 x + 3)

tính các giới hạn

Bài 4.

1. lim
x1

x +8 -3
2
x + 2x - 3
3

2. lim
x 2

3. lim
x 2

2 x -1 - x 2 + 2 x - 2
x1
x2 - 4x + 3

4. lim

4x - 2
x-2

5.

x- x +2
4 x +1 - 3

6.

lim

x + 2 -1
2x + 6 - x + 5

lim

x + 3 -1
x-6 + 2

x-1

x-2 3

Giải:
1. lim
x1

(

)(
(

)
)

x +8 -3 x +8 + 3
x +8 -3
1
1
=
lim
= lim
=
2
x1
x + 2 x - 3 x1 ( x -1)( x + 3) x + 8 + 3
( x + 3) x + 8 + 3 24

(

)

2
æ
ö
4 x - 2 çç 3 4 x + 2 3 4 x + 4÷÷
4 ( x - 2)

4x - 2
è
ø
2. lim
= lim
= lim
2
2
x 2
x 2
x 2
æ
ö
æ
ö
x-2
( x - 2)ççè 3 4 x + 2 3 4 x + 4ø÷÷
( x - 2)èçç 3 4 x + 2 3 4 x + 4ø÷÷

(

3

3

)(
(

= lim
x 2

1

(

3

)

2

4x + 2 3 4x + 4

=

1
12

)

)

(

)


(
(

)(
)(

)(
)(

)
)

x- x+2 x+ x+2
4 x +1 + 3
x- x +2
= lim
4 x + 1 - 3 x 2 4 x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 x + x + 2

3. lim
x 2

= lim
x 2

( x 2 - x - 2)(

) = lim ( x +1)(

4 x +1 + 3

(4 x - 8)( x + x + 2 )

)=9

4 x +1 + 3

2

x+ x+2

x 2

2
(2 x -1) - ( x 2 + 2 x - 2)
3( x -1)
2 x -1 - x 2 + 2 x - 2
= lim
= lim
=0
4. lim
x1
x1
x1 ( x -1)( x - 3)
x2 - 4x + 3
( x -1)( x - 3)
2

5.

(

(

x-1

æ

6.

lim

)

( x +1) 2 x + 6 + x + 5
x + 2 -1
= lim
=2
2 x + 6 - x + 5 x-1
( x +1) x + 2 +1

lim

x-2 3

x + 3 -1
= lim
x - 6 + 2 x-2

)

ö

( x + 2)çèç( 3 x - 6 ) - 2 3 x - 6 + 4÷÷ø

2

( x + 2)( x + 3 + 2)

(
= lim

3

)

2

x-6 -23 x-6 + 4

x-2

x +3 + 2

5.2 Giới hạn hàm lượng giác 
Bài 5.

tính các giới hạn

sin 3x
x 0
2x

1. lim
2. lim

x 0

sin (-x)
sin 5 x

1- 2 x 2 + 1
x 0
1- cos x

8. lim

sin 2 2 x - sin x sin 4 x
9. lim
x 0
x4

3. lim

tan 20 x
11x

10. lim

4. lim

tan 9 x
tan 6 x

11. lim

5. lim

1- cos 3x
x2

12. lim

6. lim

cos x - cos 7 x
x 0
x2

13. lim

æ 1
3 ö÷
7. lim x çç
÷
x 0 ç
è sin x sin x ø÷

14. lim

x0

x0

x 0

1- cos 2 2 x
x 0
x sin x
1- cos x
x0 sin 2 2 x
cos x - cos 3x
x 0
sin 2 x
sin 2 x + sin x
x 0
3sin x

Giai:
sin 3x
3 sin 3x 3
sin 3x 3
3
= lim .
= lim
= .1 =
x 0
x 0 2
2x
3x
2 x 0 3 x
2
2

1. lim

1- sin x - cos 2 x
x 0
sin x

=4


2. lim

sin (-x)
sin 5 x

x 0

= lim (-1).
x 0

sin (-x)
-x

.

sin (-x)
x
1 5x
1
1
.lim .
= - lim
= (-1). = x 0

x0 5 sin 5 x
sin 5 x
5
5
-x

3. lim

tan 20 x
20 tan 20 x 20
tan 20 x
= lim .
= lim
= 20 /11
x

0
x

0
11x
11 20 x
11
20 x

4. lim

tan 9 x
tan 9 x
x

tan 9 x
1 6x
1
.
.lim .
= lim
= lim 9.
= 9. = 3 / 2
x

0
x

0
x

0
tan 6 x
x
tan 6 x
9x
6 tan 6 x
6

x 0

x 0

1- cos 3 x 32
1- cos ax a 2

lim
(xem
lại
bài
tập
=
= )
x 0
x 0
x2
2
x2
2

5. lim

cos x - cos 7 x
cos x -1 + 1- cos 7 x
cos x -1
1- cos 7 x
= lim
= lim
+ lim
2
2
2
x 0
x 0
x 0
x 0

x
x2
x
x

6. lim

= lim
x 0

-(1- cos x)

x2

1- cos 7 x
1 72
+ lim
= - + = 24
x 0
x2
2 2

æ 1
3 ö÷
x
3x
7. lim x çç
= lim
- lim
= 1 - 3 = -2

÷
÷
ç
x0 è sin x
sin x ø x0 sin x x0 sin x
1- 2 x 2 + 1
1- 2 x 2 + 1
x2
2 x2
1
1
= 1. = 2
= lim
.lim
=
lim
.
2
x 0
x 0
x0 1- cos x
x 0 2
1
1- cos x
x
x 1 + 2 x 2 + 1 lim 1- cos x
2
x 0
x
2

8. lim

(

)

sin 2 2 x - sin x sin 4 x
2sin x.cos x.sin 2 x - sin x.2sin 2 x.cos 2 x
= lim
4
x 0
x 0
x
x4

9. lim

= lim
x 0

2sin x sin 2 x (cos x - cos 2 x)
x

4

sin x sin 2 x cos x -1 +1- cos 2 x
.
.
x 0

x
x
x2

= 2 lim

æ 1 22 ÷ö
sin x
sin 2 x æç
cos x -1
1- cos 2 x ÷ö
ç
= 2 lim
+ lim
.lim 2.
.çlim
÷÷ø = 2.1.2.ççè- 2 + 2 ÷÷÷ø = 6
x 0
x 0
2 x çè x0 x 2
x x 0
x2

1- cos 2 2 x
sin 2 2 x
4sin 2 x cos 2 x
sin x
.4 cos x = 1.4 = 4
= lim
= lim

= lim
x 0
x0 x sin x
x 0
x 0
x sin x
x sin x
x

10. lim

2

1- cos x
1- cos x
x2
1
1 (2 x)
1 1
11. lim
lim
.
=
= lim . 2
= . = 1/ 8
2
2
2
x0 sin 2 x
x 0

x
sin 2 x 2 x0 4 sin 2 x 2 4
2

æ x ÷ö
cos x - cos 3 x
cos x - cos 3x x 2
cos x -1 + 1- cos 3 x
lim
. 2 = lim
.lim çç
=
÷
2
2
2
x 0
x 0
x0 ç
è sin x ÷ø
sin x
sin x x0
x
x

12. lim

cos x -1
1- cos 3x
1 32

lim
+
=
+ =4
x 0
x0
x2
x2
2 2

= lim
13. lim
x 0

sin 2 x + sin x
2sin x cos x + sin x
2 cos x + 1
= lim
= lim
=1
x

0
x

0
3sin x
3sin x
3

1- sin x - (1- 2sin 2 x)
1- sin x - cos 2 x
14. lim
= lim
= lim ( 2sin x -1) = -1
x 0
x 0
x0
sin x
sin x

5.3 Một số bài giới hạn sử dụng định lý kẹp giữa 
Chú ý:
lim f ( x ) = 0  lim f ( x ) = 0
x 0

x 0

Giới hạn của hàm số nếu có là duy nhất
tính các giới hạn

Bài 6.

1.

sin x
x+¥
x

7.

lim

x sin x
x+¥ x 2 + 1
lim

x cos ( x 2 + 1)

æ
1ö
2. lim çç x cos ÷÷÷
x 0 ç
è
xø

8.

æ
1ö
3. lim çç x sin ÷÷÷
x 0 ç
è
xø

9. lim x 2 sin

4.

lim

x+¥

x + x +1
cos
x

lim

x+¥

x0

(

)

x + x +1

1
x

æ1 1 ö
10. lim x cos çç - 2 ÷÷÷
çè x x ø
x 0
cos x + sin x
x+¥
x 2 +1

sin 2 x + 2 cos x
5. lim
x+¥
x 2 + x +1

11. lim

1 + cos x
6. lim
x+¥
x

12. lim

x+¥

2 x + cos x
x +1

Giai:
1.

sin x
x+¥
x
lim

sin x
= 1 tuy nhiên giới hạn trên x  ¥ nên không thể áp dụng được.

x0
x

Ta biết lim

Lại có sin ¥ không xác định, ta có:
0£

sin x
1 1
£ =
( x  +¥)
x
x
x
sin x
1
1
= 0 nên theo định lý kẹp giữa ta có lim 0 £ lim
£ lim
=0
x+¥
x+¥
x+¥ x
x+¥ x
x

Mà lim
 lim

x+¥

sin x
sin x
= 0 vậy lim
=0
x
+¥
x
x


æ
1ö
2. lim çç x cos ÷÷÷
x0 ç
è
xø
1
lim cos = cos (¥) không xác định.
x0
x
Ta có: 0 £ x cos

1
£x
x

Mà lim x = 0 nên theo định lý kẹp giữa suy ra lim x cos
x 0

x 0

1
1
= 0  lim x cos = 0
x

0
x
x

æ
1ö
3. lim çç x sin ÷÷÷ = 0 (như câu 2)
x 0 ç
è
xø
4.

lim

x+¥

Ta có: 0 £

Và lim

x+¥

5.

x + x +1
cos
x

(

x + x +1
cos
x

)

x + x +1 = 0

(

)

x + x +1 £

x + x +1
x

x + x +1
=0
x

sin 2 x + 2 cos x

=0
x+¥
x2 + x +1
lim

-1 £ sin 2 x £ 1
-2 £ 2 cos x £ 2
 -3 £ sin 2 x + 2 cos x £ 3  0 £ sin 2 x + 2 cos x £ 3
Ta có: 0 £
6.

1 + cos x
=0
x+¥
x
lim

Ta có: 0 £
7.

1 + cos x
2
£
x
x

x sin x
=0
x+¥ x 2 + 1
lim

Ta có: 0 £
8.

sin 2 x + 2 cos x
3
£ 2
2
x + x +1
x + x +1

lim

x+¥

x sin x
x
£ 2
2
x +1
x +1
x cos ( x 2 + 1)


Ta có: lim

x = +¥ và lim cos ( x 2 + 1) không xác định nên giới hạn không tồn tại

9. lim x 2 sin

1
= 0 (như bài 2)
x

x+¥

x 0

x+¥

æ1 1 ö
10. lim x cos çç - 2 ÷÷÷ = 0
çè x x ø
x 0
cos x + sin x
= 0 (như bài 5)
x+¥
x 2 +1

11. lim

2 x + cos x
2x
cos x
= lim
+ lim
= 2+0 = 2
x+¥
x+¥ x + 1
x+¥ x + 1

x +1

12. lim

Một số bài giới hạn lượng giác 
1.

sin x m
x0 sin n x

lim

m
sin x m
1
xn
sin x m
xn
xm
m sin x
lim
x
.
.
.
lim
.lim
.lim
=
=

x0 sin n x
x 0
x m x n sin n x x0 x m x0 sin n x x0 x n
n
æ x ÷ö
sin x m
xm
xm
ç
.lim
lim
= lim m .lim ç
=
÷
x 0
x 0 ç
x 0 x n
è sin x ÷ø x0 x n
x

lim

Nếu m = n thì lim

xm
xm
=
lim
=1
x 0 x m

xn

Nếu m > n thì lim

xm
= lim x m-n = 0
n
x0
x

Nếu m < n thì lim

xm
1
= lim n-m = ¥
n
x 0 x
x

x 0

x 0

x 0

2.

lim
p
x

3

sin 3 x
1- 2 cos x

Đổi biến: t = x -

p
p
 t  0 khi x 
3
3

Ta có:
æ pö
sin 3 x = sin 3ççt + ÷÷÷ = sin (3t + p ) = sin 3t.cos p + sin p.cos 3t = - sin 3t
çè
3ø
æ pö
p
p 1
cos x = cos ççt + ÷÷÷ = cos t cos - sin t.sin = cos t - 3 sin t
çè
3ø
3
3 2

(

 lim

p
x
3

)

sin 3x
- sin 3t
- sin 3t
t
= lim
= lim
.
t

0
t

0
1- 2 cos x
t
1- cos t + 3 sin t
1- cos t + 3 sin t


- sin 3t
t
sin 3t
1
.lim

= - lim 3.
.lim
t 0
t 0 1- cos t + 3 sin t
t 0
t
3t t 0 1- cos t + 3 sin t
t

= lim

= -3.

1
1
-3
- 3.
=
=- 3
æ
ö
1
c
os
t
sin
t
1- cos t + 3 sin t
0
+

3
÷÷
lim çç
+ 3.
lim
t 0 ç
è t
t 0
t ÷ø
t

Ta co: lim
t 0

3.

t
t
sin
2 = lim
2 . sin t = 0
t

0
t
t
2
2

2sin 2

1- cos t
= lim
t 0
t

lim x sin

x+¥

p
x

Đây là dạng 0.¥ , khi đó ta nghịch đảo số hạng ¥ để xuất hiện dạng

p
lim x sin = lim
x+¥
x x+¥

Đổi biến: t =

 lim x sin
x+¥

4.

sin
1
x

p
x

0
, ở đây là số hạng x
0

æ 0 ÷ö
çç ÷
èç 0 ø÷

1
 t  0 khi x  +¥
x

p
= lim
x x+¥

p
x = lim sin pt = p lim sin pt = p.1 = p
t 0
t 0
1
pt
t
x

sin

1- tan x
p
æ
ö
x
ç x - p ÷÷
4 sin ç
çè
4 ø÷

lim

Đổi biến: t = x -

p
p
 t  0 khi x 
4
4

p
tan t + tan
æ p ÷ö
4 = 1- tan t + 1 = -2 tan t
Ta có : 1- tan x = 1- tan ççt + ÷÷ = 1çè
p
4ø
1- tan t 1- tan t
1- tan t.tan

4

-2 tan t
sin t
-2
-2
1- tan x
cos t = lim
= lim 1- tan t = lim
lim
= -2
p
t 0 sin t (1- tan t )
t 0 cos t (1- tan t )
æ
ö÷ t 0 sin t
p
x
çx - ÷
4 sin ç
çè
4 ø÷


5.

1- cos x
x 0
sin 2 x

lim

Đổi biến : t = cos x  t  1 khi x  0
Ta có: sin 2 x = 1- cos 2 x = 1- t 4 = (1- t )(1 + t + t 2 + t 3 )
1- cos x
1- t
1
1
= lim
= lim
=
2
4
2
3
x 0
t 0 1- t
t 0 1 + t + t + t
sin x
4

lim

6.

(

lim sin x + 1 - sin x

x+¥

)

Ta có:
sin x + 1 - sin x = 2 cos

x +1 + x
.sin
2
2

Và 0 £ 2 cos

Mà lim 2 sin
x+¥

lim 2 cos

x+¥

x +1 + x
x +1 - x
x +1 + x
.sin
= 2 cos
.sin
2
2
2
2

2

(

1
x +1 + x

x +1 + x
.sin
2
2

Vậy lim 2 cos
x 0

(

)

(

1
x +1 + x

)

£ 2 sin

2

(

1
x +1 + x

(

1
x +1 + x

)

= sin 0 = 0 nên theo định lý kẹp giữa suy ra

(

x +1 + x
.sin
2
2

1
x +1 + x

(

)

=0

1
x +1 + x

)

=0

)

Hay lim sin x + 1 - sin x = 0
x+¥

7.

lim
x 0

sin x
x

ì
sin x
ï
ï
neu x  0+
sin x ïï x
=í
Ta có:
ï

sin x
x
ï
neu x  0ï
ï
x
ï
î

sin x
- sin x
= -1 , vì giới hạn của hàm số là duy nhất nên giới hạn đã cho
= 1 và limx 0
x 0
x
x
không tồn tại.
Mà lim+

)