SKKN nâng cao kết quả học tập phần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan bằng việc sửa chữa những sai lầm và nêu hướng kh

MỤC LỤC
Nội dung

Trang
2-3

1.Đặt vấn đề
2. Giải quyết vấn đề

4-6

2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề

7

2.2 Thực trạng của vấn đề
2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

8-20

2.4 Hiệu quả của sáng kiến.

21
22

3. Kết luận
Tài liệu tham khảo:
1. SGK Giải tích 12 – CB . NXB Giáo dục 2008.
2. SGV Giải tích 12 – CB . NXB Giáo dục 2008.
3. SBT Giải tích 12 – CB . NXB Giáo dục 2008.

4. Chuẩn kiến thức kỹ năng bộ môn Toán. NXB Giáo dục năm 2009.
5. Hướng dẫn ôn tập thi TN THPT môn Toán năm học 2012-2013. NXB
Giáo dục năm 2013
6. Tham khảo các tài liệu của đồng nghiệp: Bài báo trên internet, Tạp chí
Toán học tuổi trẻ, SKKN của đồng nghiệp.

1


Phần 1
ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình giải tích 12, nội dung khảo sát và vẽ đồ thị của hàm
số, cùng các bài tập liên quan bằng ứng dụng đạo hàm có một vị trí đặc biệt
quan trọng, chiếm hầu hết số tiết có trong chương trình, số điểm cũng khá trong
cấu trúc điểm của đề thi TN THPT hàng năm. Là một công cụ khá hữu dụng để
giải quyết hầu hết những bài toán trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ
thông cũng như trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.
Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả và dễ sử dụng khi giải toán
liên quan đến khảo sát hàm số.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh lớp 12 trường
THPT số 4 TP Lào Cai hay gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến
việc vận dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Học sinh thường
mắc những sai lầm mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có
sự hướng dẫn của thầy cô giáo.
Chẳng hạn, với bài tập: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3( 2m-1)x +1
1. Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
2. Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu ?
Đa số các em đã sử dụng phương pháp sai để giải, số liệu thống kê qua bảng sau
đây:

Lớp

Sĩ
số

12A1 25
12A3 19

Không giải được
Số lượng
05
10

Tỉ lệ
20%
53%

Giải sai phương
pháp
Số lượng Tỉ lệ
12
48%
06
31%

Giải đúng phương
pháp
Số lượng Tỉ lệ
08
32%

03
16%

Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứng
dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, tôi chọn đề tài
" Nâng cao kết quả học tập phần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên
quan bằng việc sửa chữa những sai lầm và nêu hướng khắc phục cho học sinh."

2


II. Mục đích nghiên cứu
- Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học
sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó, học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán lên quan đến việc
ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan
(Chương trình Giải tích 12 – Ban cơ bản) để có được bài giải toán hoàn chỉnh và
chính xác.
IV. Đối tượng nghiên cứu – Phạm vi nghiên cứu
- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo
sát và vẽ đồ thị hàm số - Chương I, giải tích lớp 12 .
- Học sinh 02 lớp phụ trách 12A1, 12A3 (tổng số học sinh 44) trường
THPT số 4 thành phố Lào Cai, năm học 2013 – 2014 và kinh nghiệm một số
năm học trước.
V. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.

3


Phần 2
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
I. Cơ sở lý luận
1. Nội dung chương trình (Chương I - giải tích 12 - Ban cơ bản)
Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và
phạm vi nghiên cứu của đề tài)
1.1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:
* Hàm số y = f(x) đồng biến ( tăng ) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc
K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
* Hàm số y = f(x) nghịch biến ( giảm) trên khoảng K nếu với mọi cặp x1,
x2 thuộc K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
1.2. Công thức tính đạo hàm:
Hàm số hợp y = u α có đạo hàm y ' = α.u α−1.u ' (*)
công thức (*) chỉ đúng với số mũ α là hằng số. Nếu α không nguyên thì công
thức (*) chỉ đúng khi u nhận giá trị dương.
1.3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí:
* Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng K. Nếu f ' ( x ) ≥ 0
( f ' ( x ) ≤ 0 ) với ∀x ∈ K và f’(x) =0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x)
đồng biến ( nghịch biến ) trên K.
1.4. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:
* Định lý 1 (Quy tắc I): Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng
K = (x 0 − h; x 0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ { x 0 } , với h > 0.

a. Nếu f ' ( x ) > 0 trên khoảng (x 0 − h; x 0 ) và f ' ( x ) < 0 trên khoảng

(x 0 ; x 0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

b. Nếu f ' ( x ) < 0 trên khoảng (x 0 − h; x 0 ) và f ' ( x ) > 0 trên khoảng
(x 0 − h; x 0 ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

4


* Định lý 2 (Quy tắc II): Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong
khoảng (x 0 − h; x 0 + h) , với h > 0. Khi đó:
a. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
b. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
+ Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải
điều kiện cần. Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng.
1.5. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D:
f (x) ≥ m , ∀x ∈ D
f (x) ≤ M , ∀x ∈ D
M = max f (x) ⇔ 
,
D
∃x 0 ∈ D : f (x 0 ) = m
∃x 0 ∈ D : f (x 0 ) = M

m = min
f (x) ⇔ 
D

+ Nếu f (x) ≥ m , ∀x ∈ D (hay f (x) ≤ M , ∀x ∈ D ) nhưng không
∃x 0 ∈ D : f (x 0 ) = m (hay ∃x 0 ∈ D : f (x 0 ) = M ) thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó,

không tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D.
+ Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền
D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với
phép đặt t = u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương.
1.6. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x):
* Tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) ∈ (C) có phương trình:
y = f '(x0).(x - x0) + y0.
* Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, đi qua điểm M 1(x1;y1) có phương
trình:
f (x) = k(x − x1 ) + y1

y = k.(x - x1) + y1. Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ: 

f '(x) = k

(I)

+ Nếu điểm M1(x1;y1) nói trên thuộc (C) thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ
(I). Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến.
2. Sai sót thường gặp khi giải toán
2.1. Sai sót trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm
vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới
hạn của hàm số.
2.2. Sai sót trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính
xác tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các
hàm đồng biến, nghịch biến.
5


2.3. Sai sót trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng

sai công thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực.
2.4. Sai sót trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi
vận dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu
trên khoảng (a;b).
2.5. Sai sót trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm
số trên một miền D, khi chuyển đổi bài toán không tương đương.
2.6. Sai sót trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một
điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số.
II. Cơ sở pháp lý
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lý đã học trong chương I "ứng
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ".
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải
bài tập về ứng dụng của đạo hàm.
- Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lý hiển nhiên hay đã
được chứng minh, thừa nhận.
CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát
và vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau:
- Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng,
không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.
- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm
số trên một miền D.
- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm
thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ qua một điểm bất kỳ đến đồ thị hàm số đã cho.

6

CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
I. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên
cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
- Phân tích, giải thích rõ hơn các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh
nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lý đó.
- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa,
định lý.
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống
và khác nhau giữa chúng.
- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp
- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề.
- Phương pháp: phương pháp giải toán.
3. Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm)
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng
sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn
sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử
kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực
tiếp tới bài giảng.
4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với các mức độ nhận
thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng – vận dụng ở mức độ cao.
- Giáo viên đánh giá học sinh.
- Học sinh đánh giá học sinh.

5. Giáo viên có đổi mới phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho
phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai làm

7


thường mắc phải khi giải các bài toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số, một số bài toán liên quan. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm
bài tập.
6. Phân loại bài tập và phương pháp giải
- Hệ thống kiến thức cơ bản. Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết
quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
II. NGHIÊN CỨU THỰC TẾ, PHÂN TÍCH NHỮNG SAI SÓT THÔNG
QUA MỘT SỐ VÍ DỤ.
1. Sai sót khi xét tính đơn điệu của hàm số
* Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn
điệu của hàm số.
Ví dụ 1:

Xét tính đơn điệu của hàm số: y = f (x) =

x −3
x −1

Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = ¡ \ { 1}
2

Ta có: y ' = (x − 1)2 > 0, ∀x ∈ D
Bảng biến thiên:
x
Y'

- ¥

+¥

1

+

+
+¥

y

1

1
- ¥

Suy ra: Hàm số đồng biến trên (- ¥ ;1) È (1; + ¥ )
Phân tích:
Lời giải trên có vẻ đúng, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán. Chú
ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x1, x2 thuộc D,
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1 = - 1Î D và
x 2 = 2 Î D thì x1 < x2 nhưng f(x1) = 2 > - 1 = f(x2).

Lời giải đúng:

8


Tập xác định: D = ¡ \ { - 1}
2

Ta có: y ' = (x + 1)2 > 0, ∀x ∈ D
Bảng biến thiên:
x
y'

- ¥

+¥

-1

+

+
+¥

y

1

1
- ¥

Suy ra: Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ¥ ;- 1) và (- 1; + ¥ ) .
* Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc
xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của hàm số: y = f (x) = 4 − x 2 + x − 1 .
Học sinh trình bày như sau: Tập xác định: D = [ - 2; 2] . Ta có: y ' = 1 −
y ' = 0 ⇔ 1−

x
4 − x2

,

x = − 2
= 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔ 4 − x2 = x2 ⇔ 
4 − x2
2
 x =

x

Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên
một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
x
y'
Y

-2

-

-

2

0

-3

2

2

+

0

-

2 2- 1
-1

1

Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên các khoảng
(- 2; -

2) và ( 2; 2) .

Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn

é- 2; ê
ë

2ù
ú
û giá trị của hàm số giảm từ –3 xuống – 1. Thực ra ở đây -

phải là điểm tới hạn của hàm số.
Lời giải đúng:
Tập xác định: D = [ - 2; 2] .

Ta có: y ' = 1 −

x
4 − x2

9

2 không


y ' = 0 ⇔ 1−

x ≥ 0
= 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔ 
2
2
4 − x2
4 − x = x
x

⇔x= 2

Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên
một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
x
y'

-2

Y

2

2

+

0

-

2 2- 1
-3

1

Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên khoảng
( 2; 2) .

2. Sai sót khi chứng minh bất đẳng thức
*Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh
thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của
hàm số để vận dụng.
Ví dụ 3: (Bài tập 5, trang 10, SGK Giải tích 12 CB)
Chứng minh rằng: tanx > x, với " x Î

æ pö
ç
0; ÷
÷
ç
÷
ç
è 2ø

Một số học sinh trình bày như sau:
æ pö

÷
÷.
Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x Î çççè0; ø
2÷

Ta có: f '(x) =
trên khoảng

1
- 1 = tan 2 x > 0 , " x Î
2

cos x

æ pö
ç
0; ÷
÷
ç
÷, suy ra hàm số f(x) đồng biến
ç
è 2ø

æ pö
ç
0; ÷
ç
÷
ç
÷.
è 2ø

Từ x > 0 Þ f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với " x Î

æ pö
ç
0; ÷
÷
ç
÷.
ç
è 2ø

Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá khó để phát hiện
sự không chặt chẽ. Sau khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng
từ
x > 0 Þ f(x) > f(0).

10

æ pö
ç
0; ÷
ç
÷
ç
÷ thì vì sao
è 2ø


ổ pử

0; ữ
Sai lm õy l 0 ẽ ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ.
ố 2ứ

Nh rng: nu f(x) ng bin trờn on [ a; b ] (tc l f(x) liờn tc trờn [ a; b ] v
f '(x)> 0 vi " x ẻ ( a; b) ) thỡ vi " x1 , x 2 ẻ [ a; b ] , x1 > x 2 ị f (x1 ) > f (x 2 )

Li gii ỳng:
ộ pử

0; ữ
Xột hm s f(x) = tanx - x, vi x ẻ ờ
ữ.
ờ
ứ
ở 2ữ

Ta cú: f '(x) =

ộ pử
1
- 1 = tan 2 x 0 , " x ẻ ờ0; ữ
ữ
2
ữ, du "=" xy ra ch ti x = 0, suy
ờ
cos x
ở 2ứ

ộ pử
0; ữ
ra hm s f(x) ng bin trờn na khong ờ
.
ữ
ờ ữ
ứ
ở 2

T x > 0 ị f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, vi " x ẻ

ổ pử
ỗ
0; ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ.
ố 2ứ

* Cỏc em cng hay mc nhng sai lm khi vn dng sai tớnh cht ca cỏc hm
ng bin, nghch bin.
Vớ d 4:
Chng minh rng nu vi " x ẻ Ă , x > - 1 thỡ x.e x > -

1
.
e

Mt s hc sinh trỡnh by nh sau:
Xột cỏc hm s f(x) = x, g(x) = e x l cỏc hm ng bin trờn Ă . Suy ra hm s
h(x) = x.ex l tớch ca hai hm ng bin nờn cng ng bin trờn Ă . Suy ra, t
x > - 1 ị f(x) > f(-1) hay x.e x > -

1
.
e

Phõn tớch:
Li gii trờn sai lm ch: tớch ca hai hm ng bin l mt hm ng
bin ch ỳng khi hai hm ú dng (!).
Li gii ỳng:
Xột hm s f(x) = x.ex, ta cú f '(x)= ex(x+1) 0 , " x - 1 , du "=" xy ra ch ti
x= -1. Suy ra, hm s ng bin trờn na khong [ - 1; + Ơ ) . T x > - 1 ị
f(x) > f(-1) hay x.e x > -

1
.
e

3. Sai sút khi gii cỏc bi toỏn liờn quan ti o hm
11


* Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.
a
a- 1
Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức ( u ) ' = a.u .u ' ,

a Î ¡ , nhưng quên rằng nếu như a không nguyên thì công thức này chỉ đúng

khi u nhận giá trị dương.
Ví dụ 6: Cho hàm số y = 3 x 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ
thị (C) tại điểm có hoành độ x = - 1.
Một số học sinh trình bày như sau:
Với x = - 1 ta có y = 3 (- 1) 2 = 1
2

2

-

Ta có y = x 3 suy ra y ' = x
3

1
3

1
2
2
2
2 é 2 ù- 16 2 - 16 2
3
6
(- 1) ú
y '(-1) = (- 1) = (- 1) = ê
û = 3 .1 = 3 .
3
3
3ë

2
3

2
3

5
3

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (x + 1) + 1 hay y = x + .
Phân tích: Sai sót ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ
1

không nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết (- 1)- 3 là không đúng (!).
Lời giải đúng:
Với x = - 1 ta có y = 3 (- 1) 2 = 1
2x

2

Ta có y3 = x2 Þ (y3)'= (x2)' Þ 3.y2 y ' = 2x Þ y ' = 3y 2 = 3
3 x
Þ y '(-1) = -

2
3

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -

2
2
1
(x + 1) + 1 hay y = - x + .
3
3
3

4. Sai sót khi giải các bài toán liên quan tới tính đơn điệu, cực trị của hàm
số
 Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số học sinh quên rằng đó
là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
 y ' > 0 , " x Î (a; b) Þ hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)
 y ' < 0 , " x Î (a; b) Þ hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)
12


Điều ngược lại nói chung là không đúng.
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 - mx 2 + x - 1
đồng biến trên ¡ .
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = ¡ .
ìï a > 0

y ' = 3x2 - 2mx + 1. Hàm số đồng biến trên ¡ Û y ' > 0 , " x Î ¡ Û ïíï
ïî D ' < 0
ìï
3 >0
Û ïí 2
ïïî m - 3 < 0 Û -

3< m<

3.

Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x3 đồng biến trên ¡ , nhưng

y ' = 3x 2 ³ 0, " x Î ¡ , dấu "=" xảy ra chỉ tại x= 0. Nhớ rằng: nếu hàm số y = f(x)

xác định trên khoảng (a;b), f '(x) ³ 0 , " x Î (a; b) và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn
điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).
Lời giải đúng:
ìï a > 0

Hàm số đồng biến trên ¡ Û y ' ³ 0 , " x Î ¡ Û ïíï
ïî D ' £ 0
ìï
3 >0
Û ïí 2
ïïî m - 3 £ 0 Û -

3£ m£ 3.

* Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số, nhiều học sinh cũng
quên rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
ìï f '(x 0 ) = 0
Þ x 0 là điểm cực tiểu.
+ ïíï
ïî f ''(x 0 ) > 0

ïì f '(x 0 ) = 0
Þ x 0 là điểm cực đại.
+ ïíï
ïî f ''(x 0 ) < 0

Điều ngược lại nói chung là không đúng. Do vậy khi tìm được điểm x 0 , cần thử

lại.
Ví dụ 8: Cho hàm số y = f(x) = mx 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
hàm số đạt cực đại tại x = 0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2.
13


ìï f '(0) = 0

Û
Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: ïíï
ïî f ''(0) < 0

ìïï 4m.0 = 0
í
ïïî 12m.0 < 0 hệ vô

nghiệm.
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Phân tích:
Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = 0 Û x = 0.
Bảng biến thiên:
x
y'

- ¥

+¥

0

+

0

-

0

y

- ¥
- ¥

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Lời giải trên sai ở đâu?
ìïï f '(x 0 ) = 0
Þ x 0 là điểm cực đại của hàm số, còn điều
Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn íï
ïî f ''(x 0 ) < 0

ngược lại thì chưa chắc đúng . Vì nếu x 0 là điểm cực đại thì vẫn có thể f ''(x 0) =
0. Lý do là điều kiện f ''(x0) < 0 chỉ là điều kiện đủ để hàm số g(x) = f '(x) nghịch
biến trong lân cận (x0 - h; x0 + h) (với h > 0), khi đó:
ìïï f '(x) > f '(x 0 ) = 0, " x Î (x 0 - h; x 0 )
Þ x 0 là điểm cực đại của hàm số.
í
ïïî f '(x) < f '(x 0 ) = 0, " x Î (x 0 ; x 0 + h)

Lời giải đúng:
Cách 1:
Ta có y ' = 4mx3. Để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y '(x) > 0, " x Î (- h;0) , với h
ìï 4mx 3 > 0
Þ
> 0. Tức là: ïíï
h
<
x
<
0
ïî

m < 0.

Thử lại, ta thấy với m < 0 là điều kiện cần tìm.
Cách 2: xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)
+ m = 0: Ta có y = f(x) = 0 là hàm hằng nên hàm số không có cực trị.
+ m > 0: Ta có y ' = 4mx 3 , y ' = 0 Û x = 0. Lập bảng biến thiên ta thấy x 0 là
điểm cực tiểu của hàm số.
14


+ m < 0: Ta có y ' = 4mx 3 , y ' = 0 Û x = 0. Lập bảng biến thiên ta thấy x 0 là
điểm cực đại của hàm số.
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi và chỉ khi m < 0.
Ví dụ 9: Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx.

ìï 4.03 +3m.02 = 0
ïìï f '(0) = 0
ïí
Û
Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là: íï
ïï 12m.02 + 6m.0 > 0
f
''(0)
>
0
ïî
î

hệ vô nghiệm m.
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Phân tích:
Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x4 + 1
y ' = 4x3 , y ' = 0 Û x = 0.
Bảng biến thiên:
0
+¥
x
0
y'
-

+¥

+

+¥

+¥

y

1

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Lời giải đúng:
Cách 1:
ïì f '(x) < 0, " x Î (- h;0) (1)
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì ïíï
(với h > 0)
ïî f '(x) > 0, " x Î ( 0 ; h) (2)

ìï " x Î (- h;0)
Û
(1) Û ïíï 3
2
ïî 4x + 3mx < 0

ïíìï " x Î (- h;0)
ïïî 4x + 3m < 0

ìï " x Î (0; h)
Û
Û
(2) ïíï 3
2

ïî 4x + 3mx > 0

ïíïì " x Î (0; h)
ïïî 4x + 3m > 0

ïìï " x Î (- h;0)
3m
Û ïí
Û ³ 0 Û m £ 0 (1')
3m
ïï x < 4
ïî
4
ìï " x Î (0; h)
ï
3m
Û ïí
Û £ 0 Û m ³ 0 (2')
3m
ïï x > 4
ïî
4

Từ (1') và (2') suy ra m = 0
Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0.
Cách 2: xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)
+ m = 0: Ta có y = x4 + 1 có y ' = 4x3 , y ' = 0 Û x = 0.
15

Bng bin thiờn:
x
y'

- Ơ

+Ơ

0
0

-

+

+Ơ

+Ơ

Y

1

Suy ra hm s t cc tiu ti x = 0
+ m > 0: Ta cú y ' = x 2(4x + 3m) , y ' = 0 x = 0 hoc x = -

3m
. Lp bng
4

bin thiờn ta thy y ' khụng i du qua x = 0 (nghim bi bc chn). Do ú hm
s khụng cú cc tr ti x = 0.
+ m < 0: Ta cú y ' = x 2(4x + 3m), y ' = 0 x = 0 hoc x = -

3m
. Lp bng
4

bin thiờn ta thy y ' khụng i du qua x = 0 (nghim bi bc chn). Do ú hm
s khụng cú cc tr ti x = 0.
Kt lun: vi m = 0 thỡ hm s ó cho t cc tiu ti x = 0.
5. Sai sút khi gii bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s
* Cỏc em thng mc sai lm khi khụng nm vng nh ngha giỏ tr ln nht
(GTLN) v giỏ tr nh nht (GTNN) ca hm s trờn mt min D.
Vớ d 10:
2
Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s y = f(x) = cos x +

1
+
cos 2 x

ổ
1 ử
ữ
2ỗ
cosx +
ữ
ỗ
ữ- 1 .

ỗ
ố
cosx ứ

Mt s hc sinh trỡnh by nh sau:
t t = cosx +

1
1
ị cos 2 x +
= t2 - 2.
2
cosx
cos x

Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4 - 4, " t ẻ Ă
Vy min f (x) =- 4 , khi t = - 1.
Phõn tớch: Sai lm õy l chuyn bi toỏn khụng tng ng. Giỏ tr nh
nht ca hm f(x) khụng trựng vi giỏ tr nh nht ca hm g(t), " t ẻ Ă .
Cú th thy ngay khi t = - 1 thỡ khụng tn ti giỏ tr ca x cosx +
f(x) m , x D

f(x)
Nh rng, s m = min
D
x 0 D : f(x 0 ) = m
Li gii ỳng:
16

1

= - 1.
cosx


t t = cosx +
ị t = cosx +

1
ùỡ p
ùỹ
, vi x ẻ D = Ă \ ớù + kp , k ẻ Â ý
ùùỵ
cosx
ợù 2

1
1
= cosx +
2 . Du "=" xy ra khi v ch khi cosx = 1
cosx
cosx

Khi ú: cos 2 x +

1
= t 2 - 2.
2
cos x

Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - 3.

Lp bng bin thiờn hm s g(t) (vi t 2 ):

t - Ơ
g '(t)

-2

-

-

-1
0

2

+Ơ

+

+

+Ơ

+Ơ

G(t)

5

-3

g(t) = 3
f(x) = min
Da vo bng bin thiờn, ta suy ra: m = min
t 2
D
t c khi t = - 2 cosx +

1
=- 2 cosx =- 1 x = p + k2p , k ẻ Â
cosx

6. Sai sút khi vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s
Vớ d 11:
Cho hm s y = f(x) = - x 3 + 3x2, cú th (C). Vit phng trỡnh tip tuyn ca
(C) bit tip tuyn ú i qua im A(-1;4)
Mt s hc sinh trỡnh by nh sau:
f '(x) = - 3x2 + 6x.
Ta cú im A(-1;4) ẻ th (C).
suy ra phng trỡnh tip tuyn l:
y = f '(-1).(x+1)+4 y = - 9(x + 1) + 4 y = - 9x - 5 .
Phõn tớch:
Phng trỡnh tip tuyn y = - 9x - 5 l tip tuyn ti A (nhn A lm tip im)
tt nhiờn l k t A. Nhng vn cú th cú tip tuyn ca th (C) i qua A m
khụng nhn A lm tip im.
Li gii ỳng:
Phng trỡnh ng thng (d) i qua im A(-1;4)
17

và có hệ số góc k là: y = k(x + 1) + 4
Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm:
ìï - x 3 + 3x 2 = k(x + 1) + 4
ïí
(I).
ïï
k
= - 3x 2 + 6x
î
ìï x 3 - 3x - 2 = 0
éx = 2, k = 0
ê
Û
Hệ (I) Û ïíï
2
ê
ëx = - 1, k = - 9
ïî k = - 3x + 6x

Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = 4, y = - 9x - 5 .
2. Bài tập tương tự
Bài 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a. y =

5x + 3
x+1

b. y =

x 2 - 2x
1- x

Bài 2: Xác định m để hàm số sau không có cực trị:
y=

x 2 + 2mx - 3
x- m

Bài 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a. y = (7 - x) 3 x + 5

b. y = cosx - sinx

c. y = sin2x

Bài 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực tiểu tại x = 2:
y = x 3 - 3mx 2 + ( m - 1) x + 2

Bài 5: Xác định m để hàm số sau luôn đồng biến trên ( 1; + ¥ ):
y=

mx 2 + 6x - 2
x+ 2

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
é 3p ù
ú
ë 2 ú

û

0;
b. y = 2sinx + sin2x trên đoạn ê
ê

c. y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + 5
Bài 7: Cho hàm số y = (x + 1)2 (2 - x) , có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2;0)
Bài 8: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
x2
a. e > 1 + x + , " x>0
2
x

18


x3
< s inx với x > 0
6
x+ 1
Bài 9: Cho hàm số y =
x- 1

b. x -

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Gọi (d): 2x –y +m =0. CMR (d) luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A,
B trên 2 nhánh của đồ thị hàm số.

2
Bài 10: Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình: x - 2 x = m( x - 1)

có 4 nghiệm thực phân biệt ?
III. Kết quả nghiên cứu
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết
quả đạt được có khả quan hơn. Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch được khi
kiểm tra khả năng giải bài tập của học sinh 2 lớp 12A1 và 12A3 như sau:
Số liệu thống kê qua bảng sau :
- Khi chưa áp dụng đề tài:
Lớp Sĩ
Không giải được
số
Số lượng
Tỉ lệ
12A1 25
05
20%
12A3 19
10
52,6%

Giải sai phương
pháp
Số lượng Tỉ lệ
12
48%
06
31,6%

Sau khi áp dụng đề tài :
Lớp Sĩ
Không giải được
số
Số lượng
Tỉ lệ
12A1 25
0
0%
12A3 19
02
10,5%

Giải sai phương
pháp
Số lượng Tỉ lệ
03
12%
03
15,8%

Giải đúng phương
pháp
Số lượng Tỉ lệ
08
32%
03
15,8%

Giải đúng

Số lượng
22
14

Tỉ lệ
88%
73,7%

Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của
học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng
đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan; đề tài đã góp
phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh ( cả yếu kém và học sinh khá) và
đem lại hiệu quả rõ rệt, học sinh hứng thú với nội dung bài học. Trong thời gian
tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà trường

19


và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá trình
thực nghiệm.
PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
I. Kết luận
Thông qua những sai sót và cách hiểu sai các định nghĩa, khái niệm, định
lý của học sinh, nếu giáo viên phát hiện ra, tìm ra nguyên nhân, kịp thời uốn nắn
và sửa chữa các sai sót đó thì sẽ giúp học sinh ghi nhớ lâu hơn, hiểu đúng bản
chất toán học của tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp học sinh tránh được
những sai sót tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy.
Thông qua bài viết này, cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh
như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và các
ứng dụng của đạo hàm, với những kiến thức liên quan, học sinh sẽ có cái nhìn

sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời, qua
những sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải
toán cho riêng mình ; người học có thể quay trở lại để kiểm chứng những lý
thuyết đã được trang bị để làm toán. Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói
chung và của chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm là
một công cụ rất hữu hiệu để giải quyết rất nhiều bài toán, hơn nữa, những bài
toán được giải bằng công cụ đạo hàm thì lời giải cũng tỏ ra ngắn gọn hơn, đễ
hiểu.
Đối với học sinh thì những kiến thức về đạo hàm cũng là tương đối khó,
nhất là đối với những học sinh có lực học trung bình trở xuống. Học sinh thường
quen với việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các khái niệm, định nghĩa,
định lý cũng như những kiến thức liên quan đã được học. Đó là chưa kể sách
giáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng và
thậm chí mang tính hàn lâm; những nội dung này học sinh sẽ được tiếp cận thêm
khi có cơ hội học sâu hơn. Ở cấp độ trường trung học phổ thông , đề tài có thể
áp dụng để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, chia sẻ cùng đồng nghiệp,
củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học. Giúp

20


học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lý cũng như
những kiến thức liên quan đã được học, giúp học sinh tránh khỏi lúng túng trước
một bài toán đặt ra và không mắc phải những sai lầm thường gặp.
Trong khuôn khổ của bài viết này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích
được hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót.
Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học cấp
trường , của Hội đồng khoa học Sở Giáo dục và Đào tạo và của quý thầy cô.
II. Kiến nghị
Đạo hàm của hàm số có rất nhiều ứng dụng, mà một trong các ứng dụng

đó là khảo sát, vẽ đồ thị hàm số và giải các bài toán liên quan. Ngoài ra, đạo
hàm còn là công cụ sắc bén để giải quyết nhiều dạng toán khác như giải phương
trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình, chứng minh bất
đẳng thức.
Tôi hi vọng đề tài sẽ đóng góp một phần vào việc giải các dạng toán đã
nêu trên ; Các thầy cô cùng phát hiện thêm những sai sót của học sinh trong quá
trình giải toán, để uốn nắn kịp thời, tạo cho học sinh cơ hội sửa sai và thêm yêu
thich bộ môn Toán. Đây cũng là những sai sót thường gặp của các em học sinh
trong quá trình học toán, ôn thi tốt nghiệp và thi vào các trường Đại học, Cao
đẳng .
Người viết

Hoàng Kim Anh

21


22


23