SKKN phân tích một số sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm tích phân

GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU.....................................................................2
I. Lý do chọn đề tài.......................................................................................................................2
II. Mục đích nghiên cứu................................................................................................................3
III. Nhiệm vụ nghiên cứu..............................................................................................................3
IV. Đối tượng nghiên cứu – Phạm vi nghiên cứu.........................................................................3
V. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................................................3

PHẦN II: NỘI DUNG................................................................4
I. Cơ sở lý luận của vấn đề...........................................................................................................4
II. Thực trạng vấn đề....................................................................................................................8
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề....................................................................8
IV. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa..................................................10
V. Hiệu quả từ sáng kiến đem lại...............................................................................................17

PHẦN III: KẾT LUẬN............................................................19

1


GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các

phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về " hình và
số." Theo quan điểm chính thống, toán học là môn học nghiên cứu về các cấu trúc
trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và ký
hiệu toán học. Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác.
Có thể nói rằng không có toán học, sẽ không có ngành khoa học nào cả. Do khả
năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là " ngôn
ngữ của vũ trụ". Môn Toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có
phân môn: Giải tích toán học còn gọi đơn giản là Giải tích. Giải tích là ngành
toán học nghiên cứu về các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân...
Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn"; Các yếu tố được nghiên cứu
trong giải tích thường mang tính chất "động" hơn là tính chất "tĩnh" như trong Đại
số. Chính vì vậy mà phần lớn học sinh THPT rất lúng túng và gặp khó khăn khi học
Giải tích nói chung và Nguyên hàm, Tích phân nói riêng. Bên cạnh đó, trong đề thi
tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các năm, bài toán liên quan đến
tích phân hầu như không thể thiếu.
Trong thực tế, đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là:
tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích
phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất
ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của
hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương
pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không?
Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc những sai lầm dẫn đến
lời giải sai. Với hy vọng giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm kể trên,
nắm vững kiến thức về Nguyên hàm – Tích phân, biết phân loại được một số dạng
2


GV: Vũ Thị Hiền
Trường: THPT số 1 Mường Khương
toán tính tích phân, nắm được phương pháp giải cho một số dạng bài tập, từ đó

giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toán
Nguyên hàm – Tích phân nói riêng , đạt kết quả cao trong quá trình học tập môn
Toán nói chung, và học sinh phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát
hóa qua các bài tập nhỏ, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số sai
lầm thường gặp khi giải toán Nguyên hàm – Tích phân”.
II. Mục đích nghiên cứu
- Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh
hiểu đúng bản chất của vấn đề.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập tích phân (Chương trình
Giải tích 12 – Ban cơ bản) để có được bài giải toán hoàn chỉnh và chính xác.
IV. Đối tượng nghiên cứu – Phạm vi nghiên cứu
- Các bài toán tính tích phân chương III, giải tích lớp 12 .
- Học sinh 02 lớp phụ trách 12A1, 2 trường THPT số 1 Mường Khương và
kinh nghiệm của một số năm học trước.
V. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.

3


GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

PHẦN II: NỘI DUNG

I. Cơ sở lý luận của vấn đề
1. Định nghĩa nguyên hàm:
F(x) là nguyên hàm của f(x) ⇔ F’(x) = f(x)
* Định lí:
+ F(x) là nguyên hàm của f(x) ⇒ F(x) + C củng là nguyên hàm với C là hằng
số. Kí hiệu: ∫ f ( x)dx (đọc là tích phân bất định của f(x)). Như vậy:

∫ f ( x)dx

= F(x) + C
+ F(x) và G(x) là nguyên hàm của f(x) ⇔ F(x) – G(x) = C (C: hằng số)
2. Các tính chất của nguyên hàm:
1. ( ∫ f ( x)dx)' = f ( x)
2. ∫ a. f ( x)dx = a ∫ f ( x)dx

3. ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

4.

∫ f (t )dt = F (t ) + C ⇒ ∫ f (u)du = F (u) + C

3. Bảng tóm tắc công thức nguyên hàm:
(Ta tạm hiểu hssc cơ bản mở rộng là từ hssc cơ bản ta thay biến x bởi ax + b)
Nguyên hàm của hssc Nguyên hàm của hssc mở rộng
thường gặp
thường gặp

Nguyên hàm của hàm
số hợp (với u = u(x) )

∫ dx = x + C

∫ du = u + C

x α +1
α
x
dx
=
+C
∫
α +1

1 ( ax + b) α +1
∫ (ax + b) dx = a α + 1 + C

1
∫ x dx = ln x + C

∫ (ax + b) dx = a ln ax + b + C

∫e

∫x

ax + b

∫a

px + q

x

dx = e x + C

x
∫ a dx =

ax
+C
ln a

∫ cos xdx = sin x + C

α

1

1

dx =

1 ax +b
.e
+C
a

1 a px + q
dx =
+C

p ln a
1

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C
4

α
∫ u du =

u α +1
+C
α +1

1

∫ u du = ln u + C
∫e

u

du = e u + C

u
∫ a du =

au
+C
ln a

∫ cos udu = sin u + C

GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

∫ sin xdx = − cos x + C
1

∫ cos

2

x

1

∫ sin

2

x

1

∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C

dx = tgx + C

∫ cos

dx = − cot gx + C

∫ sin

1
1
dx = tg (ax + b) + C
a
(ax + b)

2

2

1
1
dx = − cot g (ax + b) + C
a
(ax + b)

∫ sin udu = − cos u + C
1

∫ cos

2

u

1

∫ sin

2

u

du = tgu + C

du = − cot gu + C

4. Tích phân
b

a, Định nghĩa:

∫ f ( x)dx = F(x) |

b
a

= F(b) – F(a)

a

b, Các tính chất: (SGK trang 124, Giải tích 12)
( Chốt kỹ từng tính chất và lưu ý ví dụ phù hợp đối với từng tính chất)
5. Các phương pháp tính tích phân
a, Phương pháp sử dụng định nghĩa và tính chất của tích phân:

b, Phương pháp đổi biến:
a. Đổi biến dạng 1: x = ϕ(t), a = ϕ(α), b = ϕ(β),
β

b

∫ f ( x)dx = α∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt
a

* Lưu ý: Đặt x là một hàm theo biến t, đổi dấu nhớ đổi cận
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1

1.

∫

1 − x 2 dx

0

Giải:

π
2

Đặt x = sint ⇒ dx = cost.dt. Với x ∈ [0;1] ta có t ∈ [0; ]
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0
1

Vậy

∫
0

;

x= 1 ⇒ t =

π
2

π

π
2

π
2
π
1 − x dx = cos2 t.dt = 1 (1 + cos 2t).dt= 1 (t + s in2t ) 2 =
0
∫0
4
2 ∫0
2
2
2

5

GV: Vũ Thị Hiền
2

Trường: THPT số 1 Mường Khương

dx

2. I= ∫ 4 + x 2
0
Giải :
Đặt x= 2 tan t
Đổi cận :
x= 0 ⇒ t = 0
x=2 ⇒ t =

π
4

π
4

π

π
4

1 4 π
2dt

1
⇒ I=
=
=
∫0 cos2 t (4 + 4tg 2t ) 2 ∫0 dt 2 t 0 = 8

b. Đổi biến dạng 2:
*Dấu hiệu sử dụng tích phân đổi biến dạng 2:
Hàm số dưới dấu tích phân thường có dạng tích của 2 hàm, trong đó
một hàm hoặc một biểu thức của hàm có đạo hàm bằng hoặc gần bằng hàm số
còn lại ( sai khác nhau một hằng số). Ta sử dụng phương pháp tích phân đổi biến
dạng 2.
p

Ví dụ 1: Tính tích phân:

I = ò3
0

sin x + cosx
dx
cosx

Giải:
p

p
p
p
æ

ö
sin x + cosx
sin x
cosx ÷
sin x
3
÷
dx = ò 3 ç
+
dx
=
dx
+
ç
ò0 cosx
ò03 1.dx
ècosx
ø
0 ç
cosx
cosx ÷

I = ò3
0

p

.
. Þ sin xdx
. = - dt

 Với I 1 = ò 3 sin xdx
, ta đặt t = cosx Þ dt = - sin xdx
0

cosx

Đổi cận:

x

0

t

1

1
2

p
3

Thay vào:
1
æ ö
2 ç- dt ÷
÷
ç
÷=
èt ø

1 ç

I1 = ò

 Với

p

1 dt

ò

1
2

t

= ln t
p

I 2 = ò 3 1.dx = x 03 =

 Vậy,

0

I = I 1 + I 2 = ln2 +

1
1

2

1
= ln1- ln = ln2
2

p
3
p
3

6


GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương
e

Ví dụ 2: Tính tích phân

4 + 5ln x
dx
x

∫
1

2
4 + 5ln x ⇒ t = 4 + 5ln x ⇒ 2tdt =

Bài làm: : Đặt t =

5
dx
x

KQ : 38/15
3. Phương pháp tích phân từng phần:
b

b

∫ udv = [ uv] − ∫ vdu
b
a

a

a

* Lưu ý: Thường ưu tiên đặt u theo thứ tự: Lôgarit, lũy thừa, mũ, lượng giác
π

Ví dụ 1: Tính tích phân sau:

∫( e

cos x

0

+ x ) sin xdx .

Giải
π

∫( e

Ta có:

cos x

0

π

π

0

0

+ x ) sin xdx = ∫ ecos x sin xdx + ∫ x.sin xdx = I + J

π

π

0

0

I = ∫ ecos x sin xdx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x

π
1
= − ( e cosπ − e cos 0 ) = e − .
0
e

π

u = x
du = dx
J = ∫ x.sin xdx Đặt 
⇒
 dv = sin xdx v = − cos x
0

π π
π
J = ∫ x.sin xdx = ( − x cos x ) + ∫ cos xdx = − ( π cos π − 0.cos 0 ) + sin x = π
0 0
0
0
π

π

Vậy:

∫( e

cos x

0

1
+ x ) sin xdx = I + J = e − + π
e
5

2
Ví dụ 2 : Tính tích phân sau I= ∫ x ln( x − 1)dx
2

Giải:

Đặt

{

u = ln( x −1)
dv = x 2 dx
5

 du = dx
⇒  x3x −1
 v = 3

2
Vậy ∫ x ln( x − 1)dx =
2

5

5 1
x3
x3
dx
ln( x − 1) - ∫
2
3 2 x −1
3
5

1
1
125
8
)dx
ln 4 − ln1 − ∫ ( x 2 + x + 1 +
=
32
x −1
3
3
7

GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương
=

5
125
1 x3 x 2
1
ln 4 − ( + + x + ln x − 1) = (248ln 4 − 105)
2
3
3 3 2
6

* Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1

1.

∫
0

xe x dx

π
2

2. x sin xdx

∫
1

π
2

3. e x cos xdx
∫
1

4.

π
4

x.

∫ cos

2

1

x

dx

II. Thực trạng vấn đề
Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” thường
gặp phải những khó khăn sau:

- Không nắm vững định nghĩa Nguyên hàm, Tích phân.
- Không nắm vững phương pháp đổi biến số
- Không nắm vững phương pháp nguyên hàm ( tích phân ) từng phần
- Không nắm vững công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện
một số giải pháp như sau:
1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được
bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và
khác nhau giữa chúng.
- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp...
- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề.
8


GV: Vũ Thị Hiền
Trường: THPT số 1 Mường Khương
- Phương pháp: phương pháp giải toán.
3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh
động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử
dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp
với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp tới bài

giảng. (ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang cong)
4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 6 mức độ nhận thức:
nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá.
- Giáo viên đánh giá học sinh .
- Học sinh đánh giá học sinh.
5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với
từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải
khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự
làm bài tập.
6. Phân dạng bài tập và phương pháp giải
- Hệ thống kiến thức cơ bản.
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết
quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.

9


GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

IV. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa
1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm
a, Ví dụ 1: chứng minh rằng F ( x) = −(1 + x)e − x là một nguyên hàm của hàm
f ( x) = xe − x trên R. Từ đó hãy tìm nguyên hàm của hàm g ( x ) = ( x − 1)e − x .

*Một học sinh đã giải như sau:

F’(x) = -e - x + (1+x)e- x =f(x) với mọi x =>F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x)
trên R.

∫ g ( x ) dx = ∫ ( x − 1) e

−x

dx = ∫ xe − x dx − ∫ e − x dx = − ( 1 + x ) e − x + c  − −e − x + c 

= −(1 + x )e − x + e − x = − xe − x .

* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số c cho mọi phép tính nguyên hàm
* Lời giải đúng:

∫ g ( x ) dx = ∫ ( x − 1) e

−x

dx = ∫ xe − x dx − ∫ e − x dx = − ( 1 + x ) e − x + c1  − −e − x + c2 

= − xe − x + c với c = c1 – c2.

b, Ví dụ 2: Tính ∫ cot xdx
*Một học sinh đã giải như sau:
cos x
I = ∫ cot xdx = ∫
dx .
sin x

⇒I =

− cos x
1


dx
u =
du =
⇒
sinx
sin 2 x
Đặt 


dv = cos xdx
v = sinx

1
sinx.cos x
.sinx + ∫
dx = 1 + I ⇒ 0 = 1???
sinx
sin 2 x

* Phân tích: học sinh viết chung hằng số c cho mọi phép tính nguyên hàm
* Lời giải đúng:
I = ∫ cot xdx = ∫

d ( sinx )
cos x

dx = ∫
= ln sinx + c
sin x
sinx

2. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản
10


GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

Ví dụ 3: tính I = ∫ ( 2x + 1) dx
3

*Một học sinh đã giải như sau: I = ∫ ( 2x + 1) dx =
3

( 2x + 1)

4

4

+c

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Học sinh vận dụng công thức ∫ x n dx =

x n +1
+ c với n ≠ – 1
n +1

* Lời giải đúng:
4
2x + 1)
Đặt 2x + 1 = t ⇒ dt = 2dx ⇒ dx = dt ⇒ ∫ ( 2x + 1) 3 dx = ∫ t 3 dt = t + c = (
+c
4

2

2

8

8

3. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân
2

Ví dụ 4: Tính tích phân I =

dx

∫ ( x + 1)

2

−2

*Một học sinh đã giải như sau:
2

I=

2

dx

∫ ( x + 1)

2

=

−2

d(x + 1)

∫ ( x + 1)

2

−2

−1
=
x +1

2

=
−2

−1
−4
−1 =
3
3

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: hàm số y =

1

( x + 1)

2

không xác định tại

x = −1 ∈ [ −2;2]

* Lời giải đúng: Hàm số y =

1

( x + 1)

2

không xác định tại x = −1 ∈ [ −2; 2] suy ra hàm

không liên tục trên [ −2;2] , do đó tích phân trên không tồn tại
b

* Chú ý đối với học sinh: khi tính tích phân ∫ f (x)dx cần chú ý kiểm tra xem hàm số
a

y = f(x) có liên tục trên đoạn [a, b] không? Nếu có thì áp dụng các phương pháp
được học để tính tích phân đã cho, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó
không tồn tại .
Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
11


GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

5

dx
1/ ∫
4 .
0 (x − 4)
3

3/

1

∫ cos
0

1
2

4

x

dx

1

− x 3 .e x + x 2
dx
4/ ∫
x3
−1

2/ ∫ x( x − 1) dx .
2

π
2

−2

π

dx

∫ 1 + sin x

Ví dụ 5: tính tích phân: I =

0

1+ t
1
2dt
dx =
=
2 ;
1 + t 1 + sin x (1 + t ) 2
2

x
* Sai lầm thường gặp : Đặt t = tan thì
2
⇒

2dt
dx
−2
=

∫ 1 + sin x ∫ (1 + t ) 2 = ∫ 2(t + 1) d(t+1) = −

−2
dx
⇒ I= ∫
x
=
tan + 1
1 + sin x
0
2
π

π
0

2
+c
t +1

−2
2
π
=
tan + 1 tan 0 + 1
2

π
2

do tan không tồn tại nên tích phân trên không tồn tại.
*Nguyên nhân sai lầm:
Đặt t = tan

x
x
x∈ [ 0; π ] tại x = π thì tan không có nghĩa.
2
2

* Lời giải đúng:
π

I=

dx

π

dx
π

0
1 + cos x − 
2


∫ 1 + sin x = ∫
0

x π
d − 
π
x π
−π 
2 4
=∫
= tan  −  π0 = tan − tan
=2
4
π
 4 
2 4
2 x
0
cos  − 
2 4
π

4. Sai lầm khi biến đổi hàm số
4

2
Ví dụ 6: Tính tích phân I = ∫ x − 6x + 9dx
0

12


GV: Vũ Thị Hiền

*Một học sinh đã giải như sau:
4

4

I = ∫ x − 6x + 9dx = ∫
2

0

0

Trường: THPT số 1 Mường Khương
4

4

(x − 3) 2
(x − 3) dx = ∫ (x − 3)d(x − 3) =
2
0

=

2

0

1 9
− = −4

2 2

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Phép biến đổi (x − 3) 2 = x − 3; x ∈ [0, 4] là không tương đương
* Lời giải đúng:
4

4

0

0

I = ∫ x 2 − 6x + 9dx = ∫ (x − 3) 2 dx

( x − 3)
−(x − 3) 2
= ∫ x − 3d(x − 3) = ∫ (3 − x)d(x − 3) + ∫ (x − 3)d(x − 3) =
+
2
2
0
0
3
0
4

3

* Chú ý đối với học sinh:

b

⇒∫
a

2n

3

4

f ( x ) 

2n

2n

= f ( x)

2 4

=
3

9 1
+ =5
2 2

( n ≥ 1, n nguyên)

b

f ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx , ta phải xét dấu hàm số f(x) trên đoan [a, b] rồi dùng
2n

a

tính chất để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
5. Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến
1

2
Ví dụ 7: Tính tích phân I = ∫ 1 − x dx
0

*Một học sinh đã giải như sau:
Đặt x = sint suy ra dx = costdt
1

⇒I=∫
0

1

1

1

1 + cos2t
t sin 2t

1 1
1 − sin t .cos t.dt = ∫ cos t.dt = ∫
.dt = ( +
) = + sin 2
2
2
4 0 2 4
0
0
2

2

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: học sinh đổi biến nhưng không đổi cận
* Lời giải đúng: Đặt x = sint suy ra dx = cost.dt
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
2

⇒I=∫
0

π
2

π
2

π
2

π

1 + cos2t
t sin 2t 2 π
1 − sin 2 t .cos t.dt = ∫ cos 2 t.dt = ∫
.dt = ( +
) =
2
2
4
4
0
0
0
13


GV: Vũ Thị Hiền
* Chú ý đối với học sinh:

Trường: THPT số 1 Mường Khương
b

2
2
Khi gặp tích phân dạng I = ∫ c − x dx , nếu tích phân tồn tại thì thông thường
a

ta tính tích phân bằng cách đặt x = c.sint( hoặc x = c.cost) đổi cận, chuyển về tính
tích phân theo t

1
4

x3

Ví dụ 8: Tính tích phân I =
∫

1− x

0

2

dx

*Một học sinh đã giải như sau:
1
4

Đặt x = sint suy ra dx = costdt . Đổi cân: x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = arcsin
arcsin

⇒ I=

∫

1
4

arcsin

3

sin t
1 − cos t
2

0

∫

cos t.dt =

0

1
4

3

sin t
cos t.dt =
cos t

arcsin

∫

1

4

1
4

sin 3 t.dt

0

Đến đây học sinh thường rất lúng túng vì số lẻ, do đó các em không tìm ra được
đáp số.
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức
1 − x 2 thông thường ta đặt x = sint ( hoặc x = cost); nhưng đối với ví dụ 7, nếu làm

theo cách này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận. Cụ thể khi x = 1/4 ta không tìm chính
xác được t
* Lời giải đúng:
Đặt t = t = 1 − x 2 ⇒ t 2 = 1 − x 2 ⇒ 2tdt = − 2xdx ⇒ xdx = − tdt
1
4

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = ⇒ t =

⇒I=

15
4

∫
1

(1 − t )( − tdt)
=−
t
2

15
4

∫
1

15
4
15

 t3
 4 15 15
15 2 −33 15 2
2
(1 − t )dt =  − t ÷ =
−
+ =
+
192
4
3
192
3
3

1

* Chú ý đối với học sinh: khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức 1 − x 2 ,
nếu cân của tích phân là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì ta mới tính tích
14


GV: Vũ Thị Hiền
Trường: THPT số 1 Mường Khương
phân bằng cách đặt x =sint( hoặc x = cost) còn nếu không thì ta phải tìm phương
pháp khác
6. Sai lầm vì dùng công thức không có trong sách giáo khoa
0

Ví dụ 9: Tính tích phân I =

1
∫−1 x + 2x + 2dx
2

*Một học sinh đã giải như sau:
0

0

1
1
π
0
I= ∫ 2

dx = ∫
dx = arctan(x + 1) −1 = arctan 0 − arctan( − 1) =
2
4
x + 2x + 2
(x + 1) + 1
−1
−1

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: SGK hiện hành không cung cấp công thức
1

∫ 1+ x

2

dx = arctan x + c

* Lời giải đúng:
0

0

1
1
I= ∫ 2
dx = ∫
dx
2
− 1 x + 2x + 2

− 1 (x + 1) + 1

Đặt x + 1 = tant ⇒ dx =
π
4

1
π
dt = (1 + tan 2 t)dt . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = ;x = − 1 ⇒ t = 0
2
4
cos t
π
4

π
1
π
2
4 =
.(1
+
tan
t)dt
=
dt
=
t
2
∫

0
4
0 1 + tan t
0

⇒ I= ∫

b

1
dx , thì ta tính tích phân
2
a c + x

* Chú ý đối với học sinh: khi gặp tích phân dạng I = ∫

2

bằng cách đặt x = c.tant (hoặc x = c.cott). Chú ý công thức
1 + tan 2 t =

1
1
;1 + cot 2 t = 2
2
cos t
sin t

7. Hiểu sai bản chất công thức
2

x
Ví dụ 10: Tính tích phân I = ∫ xe dx
0

u = x

u ' = 1
⇒

x
x
 v' = e
v = e

*Một học sinh đã giải như sau: Đặt 

15


GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

2

⇒ I = ( xe x ) − ∫ e x dx = 2e2 − ( e x ) = 2e 2 − e 2 + 1 = e2 + 1
2

0

2

0

0

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: học sinh hiểu sai bản chất công thức lấy tích phân
từng phần
u = x

 du = dx
⇒

x
x
 dv = e dx  v = e

* Lời giải đúng: Đặt 
2

⇒ I = ( xe x ) − ∫ e x dx = 2e 2 − ( e x ) = 2e 2 − e 2 + 1 = e 2 + 1
2

0

2

0

0

8. Sử dụng sai công thức
Ví dụ 11.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 9 – x2; y = 0; x = 1; x = 4.
*Một học sinh đã giải như sau: diện tích hình phẳng cần tìm là
4

4

x3
S = ∫ (9 − x )dx = (9x − ) = 6
3 1
1
2

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: học sinh vận dụng sai công thức tính diện tích
hình phẳng
* Lời giải đúng: diện tích hình phẳng cần tìm là
3

4



x3   x3
38
S = ∫ 9 − x 2 dx = ∫ 9 − x 2 dx + ∫ 9 − x 2 dx = ∫ (9 − x 2 )dx + ∫ (x 2 − 9)dx =  9x − ÷ +  − 9x ÷ =
3 1  3


3 3
1
1
3
1
3
4

3

4

3

4

2.Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân
5

1/ ∫
0

dx

( x − 4)

5

1
2

2 / ∫ x ( x 2 − 1) dx

2

0

π
2

1

− x 3ex + x 2
dx
3
x
−1

dx
3/ ∫ 4
0 cos x

3/ ∫
π

5

dx
5/ ∫ 2
0 x − 3x + 2

6 / ∫ 1 − sin 2xdx
0

16


GV: Vũ Thị Hiền
2

7 / ∫ x2 +
1
2

π
3

Trường: THPT số 1 Mường Khương

1
− 2.dx
x2

3

8 / ∫ x 3 − 2x 2 + x.dx
0

8

9 / ∫ tan x + cot x − 2.dx
2

π
6

4

1

5

2x 3 + 2x + 3
11/ ∫
dx
2
x
+
1
0
7

13 /

∫
0

x 2 − 16
dx
x

10 / ∫

2

3

12 /

∫
0

2

x 3dx

14 / ∫

1+ x2

1

x 3dx
1 − x8
dx

x 1+ x2

V. Hiệu quả từ sáng kiến đem lại
1. Kết quả từ thực tiễn:

Ban đàu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải toán tích phân như
đã nêu ở trên. Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn tỉ mỉ cách phân tích một bài toán
tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân, cận của tích phân đẻ lựa chọn phương pháp
phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải
trong quá trình suy luận, trong các bước tính tích phân rồi từ đó hướng các em đến
lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập
tích phân trong sách giáo khoa giải tích 12 và một số bài trong đề thi tốt nghiệp, đại
học cao đẳng trong các năm thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời
giải được một số lượng bài tập
2. Kết quả thực nghiệm
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2013 - 2014.
Bài kiểm tra trên hai đối tượng: Lớp 12A6 ( 27 hs) không áp dụng sáng kiến
và lớp 12A2 ( 39 hs) áp dụng sáng kiến như sau:
Xếp loại
Đối tượng
12A6
12A2

Giỏi

Khá

Tb

Yếu

4%
15%

15%
25%

36%
45%

45%
15%

17


GV: Vũ Thị Hiền
Trường: THPT số 1 Mường Khương
Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập tích cực và hứng thú đặc biệt là
giải bài toán tích phân các em rất thận trọng và hiểu bản chất của vấn đè chứ không
rập khuôn máy móc như trước, đó là việc thể hiện phát huy tính tích cực và chủ
động của học sinh.

18


GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

PHẦN III: KẾT LUẬN
Bài viết SKKN này của tôi nhằm cung cấp tới các thầy cô giáo và các em
học sinh như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về nguyên
hàm, tích phân và những kiến thức liên quan, học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về

những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời, qua những sai lầm ấy mà
rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình; học
sinh có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang bị để làm
toán. Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của nguyên hàm, tích
phân nói riêng.Nói riêng, với học sinh thì những kiến thức về nguyên hàm, tích
phân cũng là tương đối khó, nhất là đối với những em có lực học trung bình trở
xuống. Các em thường quen với việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các khái
niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học. Đó là
chưa kể sách giáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu
tượng và thậm chí mang tính hàn lâm ; những nội dung này học sinh sẽ được tiếp
cận thêm khi có cơ hội học sâu hơn (chủ yếu ở bậc Đại học).
Ở cấp độ trường trung học phổ thông số 1 Mường Khương, SKKN có thể áp
dụng để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp
phần nâng cao chất lượng dạy và học ; giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các
khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học,
giúp các em tránh khỏi lúng túng trước một bài toán đặt ra và không mắc phải
những sai lầm thường gặp.
Bản thân tôi là một giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp 12 chưa nhiều năm song
với thực tế trên lớp tôi đã đi sâu nghiên cứu về lĩnh vực này. Khi áp dụng SKKN
này vào giảng dạy tôi nhận thấy kết quả nhận biết của các em tăng lên rõ rệt, các
em không còn nỗi lo sợ khi làm toán tích phân mà ngược lại còn rất hứng thú đối
với loại toán này.

19


GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích 12 ( Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) –
Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất)
2. Phương pháp giải toán Tích phân ( Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXB Giáo
dục)
3. Sách giáo khoa giải tích 12 Nâng cao ( Đoàn Quỳnh( Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy
Đoan (Chủ biên) – Trần Phương Dung – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng)
4. Phương pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội –
2005)
5. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán ( Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn
– NXB Hà Nội – 2004)
8. Sai lầm phổ biến khi giải toán (Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – Phan Thanh
Quang – NXB Giáo dục)

20


GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

21