SKKN lôi quấn học sinh vào tiết học qua những câu truyện kể về các nhà bác học, về lịch sử tìm ra các nguyên tố hóa họchm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 1 BÁT XÁT
----

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
PHÁT HIỆN VÀ KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM
KHI GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH THPT

Họ và tên:
Chức vụ:
Chuyên môn:
Đơn vị:

NGUYỄN DUY LONG
Phó Hiệu trưởng
Toán học
Trường THPT số 1 Bát Xát

Bát Xát, tháng 6 năm 2014


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
MỤC LỤC
NỘI DUNG
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1. CỞ SỞ LÝ LUẬN
2.1.1. Yêu cầu đối với lời giải một bài toán
2.1.2. Các căn cứ tìm lời giải
2.1.3. Kiểm tra lời giải
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

2.2.1. Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng
2.2.2. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt
2.2.3. Sai lầm khi nắm các khái niệm Toán học
2.2.4. Sai lầm liên quan đến sử dụng định lý
2.2.5. Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy
2.2.6. Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng
2.2.7. Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức
2.2.8. Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán
2.2.9. Sai lầm liên quan đến suy luận
2.3. CÁC GIẢI PHÁP
2.3.1. Quan điểm 1
2.3.2. Quan điểm 2
2.3.3 Quan điểm 3
2.4. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI
3. KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

TRANG
2
3
3
3
3
3
3
3
7
9
11
12

14
15
16
19
20
20
21
21
22
24
25

1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hiện nay, thực tế cuộc sống nói chung và toán học nói riêng đang đòi hỏi
chúng ta về tốc độ và độ chính xác cao. Trong toán học, muốn giải được một bài
toán trước hết phải có nhận định đúng đắn về bài toán đó. Tuy nhiên, thực tiễn
cho thấy năng lực giải toán của học sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều
sai lầm. Có nhiều nguyên nhân dẫn tới tình trạng này, trong đó phải kể đến việc
học sinh không chịu khó đào sâu suy nghĩ và thầy cô giáo kịp thời phát hiện và

Sáng kiến kinh nghiệm

2

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
khắc phục các nhận định sai lầm cho học sinh. Vì điều này nên ở học sinh nhiều
khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm.

Từ những sự phân tích trên đây, cùng với kinh nghiệm 10 năm giảng dạy
tại trường THPT số 1 Bát Xát, tôi nghiên cứu đề tài:
“Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh
THPT”
nhằm giúp các em học sinh nhà trường khắc phục được các sai lầm của mình,
đặc biệt là các em học sinh chuẩn bị thi tốt nghiệp, Cao đẳng-Đại học năm
2014.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự cộng tác và giúp đỡ của các thầy cô giáo
trong nhà trường, đặc biệt là các thầy cô trong nhóm Toán trong thời gian
nghiên cứu và tiến hành áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này. Dù bản thân tác giả
đã hết sức cố gắng bằng việc tham khảo một lượng lớn kiến thức từ các tài liệu
mới và cũ nhưng chắc chắn đề tài nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót bởi
kinh nghiệm và kiến thức còn hạn chế. Tác giả rất mong nhận được những góp ý
quý báu của quý đồng nghiệp.
Bát Xát, tháng 6 năm 2014
Tác giả

Nguyễn Duy Long
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2. 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Mỗi loại bài toán có các cách giải khác nhau, nhưng con đường tìm đến
kết quả thì hầu hết đều phải đảm bảo những điều cơ bản sau:
2.1.1 Yêu cầu đối với lời giải một bài toán:
- Kết quả chính xác.
- Lập luận lôgíc và có căn cứ chính xác.
Sáng kiến kinh nghiệm

3

Nguyễn Duy Long

Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Ngoài ra, đối với những bài toán có nhiều cách giải thì phải nêu được cách
giải ngắn gọn, trình bày hợp lý và dễ hiểu nhất.
2.1.2 Các căn cứ tìm lời giải:
- Bài toán thuộc dạng nào đã biết.
- Giả thiết và kết luận của bài toán.
- Các kiến thức cơ bản và kiến thức liên quan để giải bài toán.
2.1.3 Kiểm tra lời giải.
- Sau khi có lời giải, phải tiến hành kiểm đáp án, lời giải. Sau đó tìm hướng
khác giải bài toán và so sánh với lời giải vừa tìm được về tính chính xác, tính
ngắn gọn và dễ hiểu.
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Với thời gian giảng dạy 10 năm tại trường THPT số 1 Bát Xát, tôi thấy có
nhiều sai lầm của học sinh phổ biến từ khóa này đến khóa khác. Cụ thể như sau:
2.2.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng.
Học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm sau đây khi giải những
bài toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp.
2.2.1.1 Không nắm vững bản chất của tham số, không hiểu nghĩa của
cụm từ “giải và biện luận”, lẫn lộn giữa “biện luận theo m” và “tìm m”. Khi
giải biện luận phương trình (bất phương trình) có tham số m, nhiều học sinh
quy về tìm m để phương trình (bất phương trình) có nghiệm.
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình: x − 1 = 2 x − m .
Sai lầm: Có học sinh giải như sau: với x ≥ 1 nghiệm của phương trình là
x = m − 1 ; với x < 1 nghiệm của phương trình là x =

m +1
.
3

Lời bình: Học sinh này dù đã nắm được khái niệm giá trị tuyệt đối nhưng
vẫn chưa ý thức được rằng, tham số được xem như là những số đã biết nhưng
chưa rõ cụ thể là bao nhiêu, bởi vậy không chắc gì m – 1 đã lớn hơn hoặc bằng
1;

m +1
đã nhỏ hơn 1.
3

Sáng kiến kinh nghiệm

4

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình: m(x – m + 3) ≥ m(x - 2) + 6.
Sai lầm: Bất phương trình ⇔ mx - m2 + 3m ≥ mx - 2m +6 ⇔ m2 – 5m +
6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ m ≤ 3. Vậy nghiệm của bất phương trình là: 2 ≤ m ≤ 3.
Lời bình: Thực ra 2 ≤ m ≤ 3 chỉ là điều kiện để bất phương trình có
nghiệm chứ không phải là nghiệm của bất phương trình. Khi m nằm ngoài [2; 3]
thì bất phương trình sẽ vô nghiệm và ta vẫn phải đề cập đến trường hợp này
trong khâu biện luận.
2.2.1.2 Không ý thức được sự suy biến của tham số, áp dụng thuật giải
một cách máy móc vào những trường hợp không thuộc hệ thống.
Ví dụ 3: Giải và biện luận bất phương trình:
x 2 − 3 x + 2a ≤ x 2 + 2ax + 5
Sai lầm: Có học sinh giải như sau: bất phương trình tương đương với:

x2 – 3x + 2a ≤ x2 + 2ax + 5 ⇔ x(2a + 3) ≥ 2a -5 ⇔ x ≥

2a − 5
2a + 3

Lời bình: Với cách giải như trên cho thấy học sinh chưa nắm vững khái
niệm giá trị tuyệt đối, mặt khác chưa nắm vững điều kiện để thực hiện được các
phép biến đổi tương đương cơ bản trên các bất phương trình.
2.2.1.3 Nắm không chính xác về điều kiện để có thể thực hiện phép
biến đổi tương đương.
Ví dụ 4: Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất:
lg(x2 + 2mx) - lg(x - 1) = 0 (1)
Sai lầm: (1) ⇔ lg(x2 + 2mx) = lg(x - 1) ⇔ x2 + 2mx = x – 1 (2)
⇔ x2 + x(2m - 1) + 1 = 0.
Phương trình này có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ∆ = 0 ⇔ m = −
hoặc m =

1
2

3
.
2

Sáng kiến kinh nghiệm

5

Nguyễn Duy Long

Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Lời bình: Thực ra phương trình (1) đã cho chỉ tương đương với phương
 x 2 + 2mx > 0
trình: x + 2mx = x – 1 (2) với điều kiện 
, hay nói gọn hơn là,
x −1 > 0
2

phương trình (1) tương đương với phương trình (2) với điều kiện x > 1.
Do đó đáng lẽ phải nói: phương trình x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 có duy nhất
∆ = 0

một nghiệm x > 1, rồi từ đó chuyển về xét hai trường hợp:  b
và
− 2a > 1
∆ > 0
thì học sinh lại chỉ nói: phương trình x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 có

x
>
1
≥
x
 2
1
nghiệm duy nhất.
2.2.1.4 Không biết tìm ra tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia.
Ví dụ 5: Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình:
x − a − x − 2a > x − 3a

(1)

Sai lầm: Gặp bài toán này, học sinh hầu như không biết nên phân chia
tham số a thành những trường hợp nào. Nhiều học sinh cứ ngỡ rằng 3 số: a, 2a,
3a thì dĩ nhiên 3a là lớn nhất, do đó điều kiện của bất phương trình chỉ là x > 3a
và biến đổi:
(1) ⇔

x − a > x − 2a + x − 3a ⇔ 4a − x > 2

( x − 2a ) ( x − 3a )

3a ≤ x < 4a
3a ≤ x < 4a

⇔ 2
⇔ a 6 − 2 3
a 6+2 3
2
3 x − 12ax + 8a < 0
<
x
<

6
6


(

)

(

)

Lời bình:
TH 1: Nếu a = 0, bất phương trình (1) vô nghiệm.
TH 2: Nếu a > 0, điều kiện của x là x ≥ 3a, khi đó bất phương trình tương
đương với 4a - x >

( x − 2a ) ( x − 3a )

Sáng kiến kinh nghiệm

(2), vì a > 0 nên

6

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
3a ≤ x < 4a
(2) ⇔  2
2
3 x − 12ax + 8a < 0

⇔ 3a < x <

a(6 + 2 3)
.
6

TH 3: Nếu a < 0, điều kiện của x là x ≥ a, khi đó (1) tương đương với 4a –
x >2

( x − 2a ) ( x − 3a ) .

Vì a < 0 và x ≥ a nên 4a − x = 3a + (a − x) < 0 , do đó

bất phương trình này vô nghiệm.
Việc phân chia 3 trường hợp a = 0; a < 0; a > 0 căn cứ một phần quan
trọng vào việc tìm điều kiện chung để thay thế cho 3 điều kiện: x ≥ a ; x ≥ 2a ;
x ≥ 3a . Phần sau của đề tài sẽ trở lại vấn đề này.
2.2.1.5 Do hiểu sai yêu cầu của bài toán nên phân chia thiếu trường
hợp.
2
2
Ví dụ 6: Tìm m sao cho phương trình: x − (2m + 1) x + m = 0 chỉ có một

nghiệm thỏa mãn x > 3.
Sai lầm: Có nhiều học sinh lập luận: yêu cầu của bài toán tương đương
với phương trình có nghiệm kép lớn hơn 3.
1

m=−
∆ = 0




4
⇔ S
⇔
.
 2 > 3 m > 5

2
Không tồn tại m.
Lại có những học sinh lập luận rằng: phương trình có hai nghiệm phân
biệt thỏa mãn điều kiện một nghiệm lớn hơn 3:
af (3) ≤ 0
5

⇔ < m ≤ 3 + 3 là điều kiện cần tìm.
x1 ≤ 3 < x2 ⇔  S
2
 2 > 3
Lời bình: Theo kiểu thứ nhất học sinh phiên dịch sai yêu cầu của bài
toán, với cụm từ “chỉ có một nghiệm lớn hơn 3”, học sinh đồng nhất với “có hai
nghiệm bằng nhau lớn hơn 3”. Theo kiểu thứ 2 học sinh đã gộp hai trường hợp
x1 < 3 < x2 và 3 = x1 < x2 thành một trường hợp x1 ≤ 3 < x2 . Tuy nhiên đã viết
điều kiện bỏ sót trường hợp x1 <
Sáng kiến kinh nghiệm

S
≤ 3 < x2 .
2
7

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Ngoài các sai lầm trên thì, trong phân chia trường hợp riêng, học sinh còn
mắc nhiều sai lầm khác, chẳng hạn, trong quá trình phân chia có thể bỏ sót các
trường hợp; phân chia trồng chéo; trùng lặp hoặc mắc phải sai lầm trong biến
đổi và tính toán.
2.2.2. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt.
Học sinh thường mắc phải các kiểu sai lầm ngôn ngữ phổ biến sau:
2.2.2.1

Sai lầm về cú pháp và ngữ nghĩa.

Không ít học sinh đã cho rằng:
a =a;
2

m

a. a =
n

m.n

a;

(

a+ b

) ( ) ( )
2

=

a

2

+

b

2

= a +b;

log c ( a.b ) = log c a.log c b ; (-x)n = - xn (không cần chú ý tới n chẵn, n lẻ);
2
1
1
+
cos
2x
4
f ( x) =
; cos x =
, ...

f ( x)
2
−1

Có những hiện tượng học sinh biến đổi đúng những chưa chắc đã nắm
được kiến thức một cách thực thụ.
Ví dụ 7: Nhiều công thức phát biểu một cách rất “vần” như “lim của một
tổng bằng tổng các lim; lim của tích bằng tích các lim; đạo hàm của một tích
bằng tích các đạo hàm; tích của các hàm số đồng biến là hàm đồng biến”; “cos
đối, sin bù, phụ chéo”... học sinh chỉ nắm kiến thức theo kiểu hành văn chứ
không hiểu bản chất Toán học.
Ví dụ 8: Dấu “=” có rất nhiều hình thái sử dụng như chỉ sự đồng nhất,
toàn đẳng, chỉ sự thay đổi, chỉ một hành động cần tiến hành, ... Trong trường
hợp này nói riêng ta nói tới dấu “=” trong nguyên hàm. Vì mang một phong
cách rất “vần” nên học sinh dễ nhớ được

∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx = ∫ [ f ( x) + g ( x) ]dx ,
nhưng ít học sinh hiểu được bản chất của dấu “=” đó. Trong hoàn cảnh này học
sinh nắm cú pháp một cách hình thức nhưng không hiểu được ngữ nghĩa cho nên
học sinh không hiểu vì sao I = 1 + I ?

Sáng kiến kinh nghiệm

8

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
dx

dx
Chẳng hạn, khi tính ∫
, có học sinh giải như sau: Kí hiệu I = ∫
.
x.ln x
x.ln x
Đặt u =

1
−dx
dx
⇒ du =
⇒ dv = .
2 ; v = lnx
ln x
x(ln x)
x

Theo công thức nguyên hàm từng phần I = ∫ udv = uv − ∫ vdu ta có
I=


1
1 
.ln x − ∫ ln x. −
dx , suy ra I = 1+ I (?)
2 ÷
ln x
 x(ln x) 
Đã có sự vô lí, bởi lẽ dấu “=” trong hoàn cảnh này chỉ sự bằng nhau giữa

hai tập hợp: I là tập hợp của các hàm, mà I + 1 cũng là tập hợp của các hàm.
Hơn nữa với cách giải trên không đi đến kết quả gì.
Trong thực tế dạy học, ta đã bắt gặp hiện tượng, một bài toán tìm nguyên
hàm nhưng với hai cách giải đúng khác nhau đã cho ra kết quả có vẻ rất khác
nhau, nên đã dẫn đến sự hoài nghi về một trong hai kết quả. Khi hai người chọn
hai kết quả F(x) + C và G(x) + C, tuy G(x) và F(x) mang hình thức khác nhau
nhưng giữa chúng có thể chỉ sai khác một hằng số. Điều này rất hay gặp ở các
hàm lượng giác ngược. Có nhiều học sinh “nắm được” cú pháp một cách hình
thức nhưng không hẳn hiểu được ngữ nghĩa của kí hiệu toán học.
2.2.2.2 Lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và đối tượng dùng để
chỉ đối tượng ấy.
k
Ví dụ 9: Học sinh thường hay nói “Tổ hợp chập k của n là Cn ”, hoặc,
k
“Chỉnh hợp chập k của n là An ”; “mặt phẳng (P) là Ax + By + Cz + D = 0”.

2.2.2.3 Áp đặt những tính chất liên quan đến khái niệm này cho khái
niệm khác có những từ gần giống.
Ví dụ 10: Học sinh nghĩ: “Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn” do
bắt chước tính chất “Tổng của hai số lẻ là một số chẵn”, hoặc xuất phát từ tính
chất mỗi số nguyên không chẵn thì lẻ, nên nghĩ rằng chẳng có hàm nào vừa
không chẵn, vừa không lẻ.
2.2.2.4 Lạm dụng thuật ngữ và kí hiệu Toán học để thay thế một số từ
của ngôn ngữ tự nhiên.
Ví dụ 11: a. Đa thức có hệ số bậc 3 < 0 (đa thức có hệ số bậc ba âm).
9
Sáng kiến kinh nghiệm
Nguyễn Duy Long

Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
b. Giá trị của hàm số f(x) tại x = - 2 = 3 (f(- 2) = 3).
c. ∃ ngày như ∀ ngày (một ngày như mọi ngày).
2.2.2.5 Ảnh hưởng của thói quen ngôn ngữ không đúng đắn.
Ví dụ 12: Không chú ý tới dấu của x nên học sinh viết
còn cho rằng

x 2 = x ; học sinh

36 = ± 6 .

Ở lớp 9 học sinh biết rằng mỗi số a > 0 có hai căn bậc hai và đọc là căn,
nhưng khi dùng dấu căn thì phải quan niệm rằng đó là căn bậc hai số học, nghĩa
là chỉ giá trị dương trong hai giá trị ấy thôi. Đáng lẽ ra, khi viết dấu căn, giáo
viên đọc một cách đầy đủ rằng căn bậc hai số học của 36 bằng 6. Tuy nhiên theo
thói quen giáo viên thường chỉ nói vắn tắt căn của 16 bằng 4.
2.2.2.6 Đồng nhất ngôn ngữ có nội dung gần giống nhau.
Ví dụ 13: Lẫn lộn cụm từ “điểm cực trị” ; “cực trị” và “giá trị cực trị”, do
đó dễ sai lầm khi giải Toán chẳng hạn, bài toán: Tìm a, b để các cực trị của hàm
số y =

5 2 3
5
a x + ax 2 − 9 x + b là những số dương và x0 = − là các điểm cực trị.
3
9

Học sinh dễ mắc mớ rằng, tại sao các cực trị là những số dương lại còn thêm giả
thiết điểm cực trị mang giá trị âm, phải chăng đề không đúng?

2.2.3. Sai lầm khi nắm các khái niệm Toán học
Thực tiễn sư phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm, việc
không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới học sinh hiểu
không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm. Mặt khác, nhiều khái
niệm Toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việc không
nắm và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không
có biểu tượng đúng về khái niệm mới.
Sai lầm về các khái niệm Toán học (đặc biệt là các khái niệm ban đầu có
tính chất nền tảng) sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu học kém toán. Vì vậy có thể nói sự
“mất gốc” của học sinh về kiến thức Toán học trước hết coi là sự “mất gốc” về
các khái niệm. Từ nhiều nguyên nhân khác nhau có thể dẫn tới sự nhận thức
khái niệm Toán học một cách hình thức biểu hiện ở:
Sáng kiến kinh nghiệm

10

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
+ Học sinh không nắm vững nội hàm và ngoại diên của khái niệm nên
nhận dạng và thể hiện khái niệm sai.
+ Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định nghĩa khái niệm nên diễn đạt và
vận dụng sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác, khi biến đổi tính toán, khi
suy luận chứng minh).
Ví dụ 14: Không nắm vững sự mở rộng khái niệm góc hình học sang khái
niệm góc lượng giác dẫn đến nắm sai bản chất các hàm lượng giác dẫn tới sai
lầm kế tiếp biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn đơn vị, khi kết hợp nghiệm
của phương trình, bất phương trình lượng giác thường thiếu, thừa nghiệm hoặc
khi viết nghiệm của hệ phương trình thì viết một họ nghiệm dẫn tới thiếu

nghiệm, chẳng hạn, khi giải phương trình tích các hàm lượng giác đều viết các
họ nghiệm chung kí hiệu nên dẫn đến thu hẹp tập nghiệm:
Khi giải phương trình sin2x.sin3x.sinx = 0, học sinh cho kết quả: x=

kπ
kπ
; x=
;
3
2

x= k .π .
Trong đơn vị đo góc lượng giác là radian và độ, học sinh không hiểu đây
là hai đơn vị đo khác nhau nên dẫn tới sai lầm viết nghiệm của các phương trình:

sin ( 2 x − 1) = sin ( x + 3) là x = 4 + k3600 hoặc x = 600 -

2
+ k 3600 .
3

Không nắm vững khái niệm nghiệm của phương trình và bất phương trình
nên khi giải phương trình x + 1 + x − 1 = 2 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 học sinh không thừa
nhận kết quả trên là nghiệm, do lâu nay học sinh nghĩ rằng nghiệm của phương
trình là các giá trị rời rạc, đơn lẻ mà không phải là một khoảng, một đoạn.
Học sinh không hiểu khái
niệm nguyên hàm, dẫn tới việc chứng minh hệ thức giữa các nguyên hàm bằng
cách chứng minh “đạo hàm hai vế bằng nhau”. Lẽ ra phải hiểu rằng nguyên hàm
,
của hàm số f(x) là một tập hợp các hàm F(x) sao cho F ( x) = f ( x) nên chứng

minh hai nguyên hàm bằng nhau, tức là phải theo nguyên tắc chứng minh hai tập
hợp bằng nhau.
Sáng kiến kinh nghiệm

11

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Do không nắm vững khái niệm đường cong trên mặt phẳng tọa độ và đồ
thị hàm số nên học sinh xem parabol trong hình học giải tích có phương trình y 2
= x là đồ thị của hàm số ngược của hàm số y = x 2 , hoặc khi tìm tiếp tuyến của
đường cong như đường tròn có phương trình ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 đã không
2

2

xét trường hợp tiếp tuyến vuông góc với Ox là x = a ± R mà chỉ xét tiếp tuyến
có dạng y = ax + b như trong đồ thị hàm số nên đã thiếu trường hợp. Ta biết
rằng đồ thị hàm số là một đường cong trên mặt phẳng tọa độ nhưng không hẳn
bất cứ đường cong nào trên mặt phẳng tọa độ cũng đều là đồ thị hàm số. Căn cứ
vào định nghĩa hàm số ta có: trong mặt phẳng tọa độ một đường cong (C) là đồ
thị hàm số y = f(x) khi chỉ với mỗi x0 thuộc tập xác định của hàm số thì đường
thẳng x = x0 song song với Oy chỉ cắt (C) tại một điểm duy nhất.
Nắm khái niệm hàm số; khái niệm giới hạn hàm số một cách hình thức
nên không ít học sinh cho rằng kí hiệu f(x) là kí hiệu của tích hai đại lượng fx,
xem ∞ − ∞ = 0 ; 0.∞ = 0; 1∞ = 1 .
2.2.4 Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí.

Cấu trúc thông thường của định lí có dạng A ⇒ B trong đó A là giả thiết
của định lí, B là kết luận của định lí. Sai lầm phổ biến khi học định lí do xem
thường ngôn ngữ và các điều kiện của giả thiết A nên suy ra các kết luận sai
lầm: không có A vẫn suy ra B; không có A suy ra không có B; sử dụng định lí
tương tự chưa đúng. Không nắm vững kết luận B nên sử dụng B mà không nhớ
A; có B suy ra có A; có A nhưng suy ra không phải B, mà chỉ chú trọng tới
phương pháp giải Toán. Do đó trong quá trình áp dụng vào giải Toán học sinh
hay áp dụng thiếu điều kiện hoặc sử dụng đúng nhưng không chính xác; sử dụng
định lí như định nghĩa. Đặc biệt là những định lí học sinh bị “mất gốc” hoặc
không hiểu bản chất nên khi sử dụng định lí không hiểu rõ phạm vi sử dụng của
định lí.
2

Ví dụ 15: Tính tích phân I =

Sáng kiến kinh nghiệm

dx

∫ ( x + 1)

2

−2

12

Nguyễn Duy Long

Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
2
2
dx
d ( x + 1)
4
=
2
2 =Sai lầm: I = ∫
∫
−2 ( x + 1)
−2 ( x + 1)
3
Lời bình: Ta thấy rằng hàm số y =

1
2 gián đoạn tại x = -1 ∈ [ −2; 2 ]
( x + 1)

nên không sử dụng được công thức Niutơn – Lepnít để tính tích phân trên. Giả
thiết của công thức Niutơn – Lapnít là hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] nên
cách giải trên thiếu việc kiểm tra điều kiện áp dụng định lí. Thực ra tích phân
trên không tồn tại.
1 π
2π
( n − 1) π 
sin
+
sin
+

...
+
sin
Ví dụ 16: Tìm giới hạn: I = lim
n →∞
n  n
n
n 

π
2π
( n − 1) π
sin
sin
Sai lầm: Ta có lim
.
n = 0 , ..., lim
n = 0, ..., lim
n
=
0
n →∞
n →∞
n →∞
n
n
n
sin

Nên I = 0 + 0 + ...+ 0 = 0.

Lời bình: Định lí về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các dãy chỉ phát
biểu cho một số hữu hạn các dãy, các dãy này phải có giới hạn, nhưng học sinh
đã áp dụng cho tổng vô hạn.
1 π
2π
( n − 1) π 
+ ... + sin
Lời giải đúng là: Đặt An = sin + sin
,
n n
n
n 
ta có:

π  2sin π sin π + 2sin π .sin 2π + ... + 2sin π .sin (
2nAn .sin
2n
n
2n
n
2n
n =

n − 1) π 
n 


π
3π  
3π

5π 
( 2n − 3) π − cos ( 2n − 1) π 

− cos  + ... +  cos
= cos − cos  + cos
=
2n
2n  
2n
2n 
2n
2n 


= 2sin

( n − 1) π
2n
Nên

( n − 1) π

π
2n ⇒ lim A = lim 2 . 2n .sin ( n − 1) π = 2 .1.sin π = 2 ,
An =
n
n →∞
n →∞
π
π sin π

2n
π
2 π
2n.sin
2n
2n
13
Sáng kiến kinh nghiệm
Nguyễn Duy Long
2sin


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
chứ không phải là 0 như lời giải sai trên đây của học sinh.
2.2.5 Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy
Ví dụ 16: Chứng minh bất đẳng thức:
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a ( b + c + d + e ) (1) với a, b, c, d, e∈ R .
Xin nêu hai cách giải cho bài toán này trước hết không phải vì mục đích
tìm cho ra nhiều lời giải, mà với mỗi cách giải sẽ gợi lên một phương hướng
tổng quát hóa bài toán:
2
2
2
2
2
Cách 1: Ta có a + b + c + d + e − a ( b + c + d + e ) ≥ 0
2

a


⇔  − b÷
2


2

2

2

a
 a
 a

+ − c ÷ + − d ÷ + − e÷ ≥ 0 .
2
 2
 2


2
2
2
2
2
Cách 2: Xét hiệu f(a) = a − a ( b + c + d + e ) + b + c + d + e là một tam thức
2
2
2
2

bậc hai đối với a có ∆ = ( b + c + d + e ) − 4 ( b + c + d + e ) .
2

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được: ∆ ≤ 0 , từ đó suy ra đpcm.
Học sinh có thể tổng quát hóa bài toán từ cách giải 2 như sau: Do a là một số cố
định nên mở rộng cho n số hạng tiếp theo ta được:
a 2 + a12 + a22 + ... + an2 ≥ a ( a1 + a2 + ... + an ) với a, a1 , a2 ..., an ∈ R
Lời bình: Với cách giải tương tự
2
2
2
2
Xét hiệu: f(a) = a + a1 + a2 + ... + an − a ( a1 + a2 + ... + an )
2
2
2
2
= a − a ( a1 + a2 + ... + an ) + a1 + a2 + ... + an

Đây là một tam thức bậc hai đối với a. Muốn tam thức này luôn không âm
2
2
2
thì ∆ ≤ 0 ⇔ ( a1 + a2 + ... + an ) − 4 ( a1 + a2 + ... + an ) ≤ 0 (1)
2

Theo Bất đẳng thức Bunhiacôpxki thì:
2
2
2

2
2
2
(1) ⇔ ( 1 + 1 + ... + 1 ) ( a1 + a2 + ... + an ) ≥ ( a1 + a2 + ... + an )

2

⇔ n ( a12 + a22 + ... + an2 ) ≥ ( a1 + a2 + ... + an ) .
2

⇔ n ( a12 + a22 + ... + an2 ) − ( a1 + a2 + ... + an ) ≥ 0
2

2
2
2
Nếu n ≤ 4 ⇔ ( a1 + a2 + ... + an ) − 4 ( a1 + a2 + ... + an ) ≤
2

Sáng kiến kinh nghiệm

14

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT

≤ ( a1 + a2 + ... + an ) − n ( a12 + a22 + ... + an2 ) ≤ 0 ⇒ (1) luôn được thỏa mãn
2

∀ai .
Nhưng với n > 4, nếu chọn a1 = a2 = ... = an = 1 thì ∆ = n 2 − 4n > 0 nên tồn
tại những giá trị của a làm cho giá trị của tam thức f(a) âm, cụ thể ta có thể lấy
2
n2
n
n
n n
a = thì khi đó f(a) = f  ÷ = + n − = ( 4 − n ) . < 0 (vì n > 4) nên bất
2
4
2
2 4

đẳng thức tổng quát hóa không đúng.
Vậy bài toán tổng quát như thế nào? Ta trở lại với cách giải 1 vì vế trái có
2

a
2
 ÷ lặp lại bốn lần và cộng lại thì bằng a . Nhưng nếu số hạng ở vế trái nhiều
2
hơn hay ít hơn thì sự phân tích trên không đúng nữa, nếu tăng số hạng lên n số
2

 a 
2
thì cần phải có n lần 
÷ có tổng bằng a , khi đó với cách viết tương tự ta

 n
2

2

2

 a

 a

 a

được: 
− a1 ÷ + 
− a2 ÷ + … 
− an ÷ ≥ 0 .
 n

 n

 n

Vậy bất đẳng thức được tổng quát đúng là:
a 2 + a12 + a22 + ... + an2 ≥

2
a ( a1 + a2 + ... + an ) .
n

2.2.6 Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng
Khi làm những bài toán có liên quan đến tư duy hàm, học sinh hay sai lầm
trong việc phát hiện, thiết lập sự tương ứng giữa các đối tượng tham gia trong
bài toán, đặc biệt nổi bật trong các bài toán về hàm số, phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình có chứa tham số, hoặc cần đặt ẩn phụ.
Ví dụ 17: Tìm m điều kiện để phương trình sau có nghiệm:
x −1 + 3 − x −

( x − 1) ( 3 − x )

=m

(1)

Sai lầm: Bài toán có nhiều hướng giải, tuy nhiên nếu chọn ẩn phụ:

Sáng kiến kinh nghiệm

15

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
t=

x − 1 + 3 − x với x ∈ [ 1; 3] , thì bài toán trở thành: tìm m để phương trình

t 2 − 2t + 2m − 2 = 0 có nghiệm. Vì thế cần phải đặt điều kiện cho ẩn phụ. Học
sinh có thể lí giải như sau:

+) Do t là tổng hai căn bậc hai nên t ≥ 0.
x ≥ 1
+) Do 
thay vào t ta có:
x ≤ 3

t ≥ 2
.

t ≤ 2

+) Do t ≥ 0 , áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được t ≤ 2 nên điều
kiện của t là t ∈ [ 0; 2] .
Lời bình: Với cả ba phương án điều kiện ẩn phụ như trên, học sinh đều
có sai lầm vì không nhận thấy sự tương ứng giữa ẩn t và ẩn x. Lẽ ra điều kiện
của t là t∈  2; 2  .
2.2.7 Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa hình thức”
3
2
Ví dụ 18: Tìm m để hàm số y = x + ( m + 1) x + ( 2m − 3) x + 3 đồng biến

với mọi x > 3.
Sai lầm: Bài toán trở thành tìm m để :
y , = f ( x) = 3x 2 + 2 x ( m + 1) + 2m − 3 ≥ 0 với mọi x > 3.
Ta có ∆ , = m 2 − 4m + 10 > 0 với mọi m nên tam thức f(x) có hai nghiệm
,
phân biệt x1 < x2. Vậy y ≥ 0 ⇔ x ∈ ( −∞; x1 ] ∪ [ x2 ; + ∞ ) , mặt khác theo giả thiết

3. f (3) > 0


cứ hễ x > 3 là có f(x) ≥ 0 nên ta suy ra x1 < x2 < 3 ⇔  S
.
 2 < 3
Lời bình: Thực tiễn dạy học cho thấy: nếu học sinh không nắm được lược
đồ giải dạng bài toán trên, nếu giáo viên không làm nổi rõ lí do tại sao vị trí
tương đối giữa x1; x1; α ; β là thế này, thế khác, thì dù có được giáo viên làm
mẫu một số bài đến lượt học sinh, chỉ cần thay đổi một chút thôi, ví như lúc làm
mẫu là [ 3; + ∞ ) còn bây giờ là ( 3; + ∞ ) họ vẫn có thể gặp sai lầm!
Sáng kiến kinh nghiệm

16

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Vì sao họ sai lầm? đơn giản là vì họ nghĩ rằng: Với bài [ 3; + ∞ ) thì
x1 < x2 ≤ 3 , bây giờ với bài ( 3; + ∞ ) không còn dấu “=” nữa, thế thì cũng phải bỏ
dấu “=” ở x1 < x2 ≤ 3 để thành x1 < x2 < 3 (!?).
Thực ra, nếu nắm vững kiến thức về tập hợp lôgíc, nếu thông thạo cách
biểu diễn tập nghiệm trên trục số, thì học sinh dễ nhận thức được rằng: trong
trường hợp bây giờ, ta có ( −∞; x1 ] ∪ [ x2 ; + ∞ ) chứa ( 3; + ∞ ) , thế thì biểu diễn
trên trục số:
3
x1

x2

ta vẫn có x1 < x2 ≤ 3 (bởi, cho dù x2 = 3 thì [ x2 ; + ∞ ) vẫn cứ chứa ( 3; + ∞ ) ).
Lẽ ra có thể giải bài toán như sau: Ta có ∆ , = m 2 − 4m + 10 , ta thấy ∆ , > 0

∀m ∈ R thế thì f(x) có hai nghiệm phân biệt, kí hiệu hai nghiệm đó là x 1, x2 với
x1 < x2. Theo Định lí thuận thì f(x) ≥ 0 tương đương với x∈ ( −∞; x1 ] ∪ [ x2 ; + ∞ ) ,
mặt khác theo giả thiết thì cứ hễ x ≥ 3 là có f(x) ≥ 0, cho nên cứ hễ x ∈ [ 3; + ∞ )
là x∈ ( −∞; x1 ] ∪ [ x2 ; + ∞ ) . Bằng sự minh họa của trục số, ta suy ra x1 < x2 ≤ 3
3
x1

x2

3. f (3) ≥ 0

15
⇔ S
⇔ m ≥−
4
 2 < 3
2.2.8 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán
2.2.8.1 Do đặt điều kiện của ẩn phụ.
Khi đặt ẩn phụ thường lãng quên đặt điều kiện của ẩn phụ, và cho rằng,
phương trình f(x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình g(t) = 0 có nghiệm,
trong đó g(t) là biểu thức thu được từ f(x) thông qua một phép đặt ẩn phụ
t = ϕ ( x) nào đó. Nói cách khác, nếu phương trình xuất phát có dạng f[g(x)] thì
học sinh thường đặt t = g(x) để đưa về phương trình f(t) = 0, và quan niệm rằng,
phương trình f[g(x)] = 0 có nghiệm khi và chỉ khi f(t) = 0 có nghiệm.
Sáng kiến kinh nghiệm

17

Nguyễn Duy Long

Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Ví dụ 19: Tìm m để phương trình: 4 x −2 x + 2 − m.2 x − 2 x +3 + 3m − 2 = 0 vô
2

2

nghiệm.
Sai lầm: Đặt t = 2 x −2 x + 2 . Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương
2

trình : f(t)= t 2 − 2mt + 3m − 2 = 0 (*) vô nghiệm ⇔ ∆ , < 0 ⇔ 1 < m < 2 .
Lời bình: Học sinh không đặt điều kiện cho ẩn phụ t dẫn đến xét thiếu
trường hợp. Điều kiện của t là t ≥ 2 nên bài toán trở thành tìm m để (*) không có
nghiệm thỏa mãn t ≥ 2 .
TH 1: ∆ , < 0 ⇔ 1 < m < 2

∆ , ≥ 0

TH 2: f(t) có nghiệm t1 ≤ t2 < 2 ⇔ a. f (2) > 0 ⇔ m ≤ 1 .
S
 <2
2
Vậy với m < 2 thì phương trình vô nghiệm.
Khi đặt ẩn phụ, mặc dù có đặt điều kiện, nhưng điều kiện quá hẹp hoặc
quá rộng không sát, đặt ẩn phụ t = ϕ ( x) để đưa phương trình về ẩn t, tuy nhiên
học sinh chỉ đưa ra một điều kiện cần đối với t, chứ không phải là điều kiện cần
và đủ.
2.2.8.2 Do không nắm vững các phép biến đổi tương đương.
Ví dụ 20: Giải bất phương trình ( x 2 − 3 x ) . 2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0 .

Sai lầm: Bất phương trình trên tương đương với:
1

x ≥ 3
2 x 2 − 3x − 2 ≥ 0  x ≥ 2 ∨ x ≤ −
⇔
2⇔
 2
1
x ≤ −
 x − 3x ≥ 0
 x ≥ 3 ∨ x ≤ 0

2
Lời bình:
Phép biến đổi đã bỏ sót nghiệm x = 2.

Sáng kiến kinh nghiệm

18

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Bất phương trình đã cho tương đương với:
x = 2 ∨ x = 3
( x 2 − 3 x ) 2 x 2 − 3 x − 2 = 0
⇔
⇔

1
2
2
x > 3 ∨ x < −
( x − 3 x ) 2 x − 3 x − 2 > 0


2
Trong dạy học biến đổi phương trình, học sinh hay sai lầm khi lũy thừa
hai vế của những biểu thức có chứa căn bậc chẵn, dường như căn bậc lẻ không
có điều gì phải bàn thêm. Nhưng thực tế không như vậy. Xét ví dụ sau:
2.2.8.3 Sai lầm do chuyển đổi sai đối tượng toán học
Ví dụ 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) =

x 2 − x + 1 + x 2 − 3x + 1 mọi x∈ R
2

Sai lầm: f(x) =

2

2
2

1  3
3 1

÷ + x−
÷ + ÷

x− ÷ +
2  2 
2


 2

1 3
 3 1
; ÷; M (x; 0)
Trong hệ trục tọa độ 0xy, xét các điểm A  ;
÷, B 
2
2
2
2



thì f(x) = MA + MB. Theo bất đẳng thức tam giác thì MA + MB ≥ AB,
mà AB =

2

(

) . Nên minf(x) = 2 (

3 −1
2

).

3 −1
2

Lời bình: Sai lầm khi chuyển đổi từ bài toán đại số sang hình học, học
1 3
sinh không ý thức được vị trí tồn tại của M. Nên chọn điểm A  ;
÷, B
2 2 
 3 1
; ÷ là hai điểm cùng phía so với trục hoành. Đoạn thẳng AB không cắt

2
2

trục x ' Ox chứa 0x nên bất đẳng thức MA + MB ≥ AB không xẩy ra do đó
không tồn tại điểm M 0 ∈ 0 x sao cho: M0A + M0B = AB.
Để tránh sai lầm trên khi chuyển đổi bài toán sang sử dụng công cụ tọa độ
thì cần phải lưu ý: Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B và đường thẳng d đi qua
M. Khi đó: Nếu A, B cùng phía so với d thì MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M
19
Sáng kiến kinh nghiệm
Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
là giao điểm của AB1 với đường thẳng d, trong đó B1 là điểm đối xứng với B qua
d, khi đó MA + MB = AB1. Nếu A, B khác phía so với đường thẳng d thì

MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB với d.
1 3  3 1
; − ÷ và C (x; 0),
Bài toán trên phải được giải là: chọn A  ;
÷; B 
2
2
2
2

 
2

2

 3 1  1
3
ta có f(x) = MA + MB ≥ AB1, trong đó AB1 = 
− ÷ +− −
÷ = 2
2
2
2
2

 

nên f(x) ≥ 2 , dấu bằng xẩy ra khi x = 3 − 1.
2.2.9. Những sai lầm liên quan đến suy luận.
Suy luận là một trong những hình thức của tư duy. Suy luận là một quá

trình suy nghĩ để rút ra một mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã cho.
Một suy luận thường có cấu trúc logic A ⇒ B , trong đó A là tiền đề, B là kết
luận. Cấu trúc logic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là cách lập luận. Học
sinh thiếu kiến thức về logic, sử dụng mệnh đề sai hoặc ngộ nhận là mệnh đề
đúng, đánh tráo luận đề sẽ mắc sai lầm trong suy luận. Sai lầm trong suy luận
khi giải Toán có các kiểu sai lầm sau:
2.2.9.1 Sai lầm về luận cứ.
Sai lầm thuộc loại này là do trực giác: dựa vào các mệnh đề sai do ngộ
nhận, hoặc mệnh đề chưa được chứng minh là đúng, hoặc dựa vào mệnh đề
tương đương với mệnh đề cần chứng minh.
2
Ví dụ 22 : Tìm m để f(x) = ( m + 1) x − 2 ( m − 1) x + 3m − 3 ≥ 0 ∀x

a > 0
⇔ m ≥ 1.
Sai lầm: Để f(x) ≥ 0 ∀x ⇔  ,
∆ ≤ 0
Lời bình: Kết quả trên tuy đúng nhưng là đúng một cách ngẫu nhiên. Về
nguyên tắc ta phải xét riêng trường hợp hệ số bậc 2 bằng 0. Chỉ khi nó khác 0 ta
mới được dùng mệnh đề trên.
2.2.9.2 Sai lầm về luận đề.

Sáng kiến kinh nghiệm

20

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT

Sai lầm chủ yếu là đánh tráo luận đề, thay thế mệnh đề cần chứng minh
bằng những mệnh đề không tương đương.
Ví dụ 23: Tìm m để phương trình 25 x − 2.5 x +1 + 1 − 2m = 0 (1) có nghiệm
Sai lầm: Đặt 5 x = t > 0
2
Phương trình có nghiệm (1) ⇔ f (t ) = t − 4t + 1 − 2m = 0 (2) có nghiệm

 ∆ , = 2m + 3 > 0
3
1

t > 0 ⇔ 0 < t1 < t2 ⇔  P = 1 − 2m > 0 ⇒ − ≤ m < là điều kiện cần tìm.
2
2
S = 4 > 0

Cũng nhiều học sinh lập luận phương trình (1) có nghiệm thì phương trình
3
(2) t2 – 4t + 1 – 2m = 0 có nghiệm ⇔ ∆ , = 3 + 2m > 0 ⇔ m > − . Nguyên nhân
2
dẫn đến sai lầm là chuyển đổi bài toán sang bài toán không tương đương.
Như vậy, chỉ qua một số ví dụ, chúng ta đã làm sáng tỏ nhiều kiểu sai lầm
của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích, đồng thời
phân tích các nguyên nhân dẫn tới các sai lầm đó.
2.3. CÁC GIẢI PHÁP
Một số ví dụ trên đã đưa ra lời bình, cũng chính là các cách khắc phục cho
những nhận định sai lầm của học sinh trong giải toán. Các sai lầm trên không chỉ
xảy ra đối với những học sinh yếu hay trung bình mà ngay cả những học sinh thi
học sinh giỏi đôi khi cũng mắc phải. Do đó, để khắc phục được những nhận định
sai lầm này một cách có hệ thống, chúng tôi đã đưa ra hệ thống quan điểm như

sau:
2.3.1. Quan điểm 1: Trong quá trình truyền thụ tri thức và rèn luyện
kĩ năng toán học, cần trang bị đầy đủ, chính xác các kiến thức Toán học,
đồng thời dự đoán trước các khả năng xày ra sai lầm của học sinh.
Với quan điểm này thì trước hết, bản thân mỗi nhà giáo cần phải nâng cao
ý thức tự bồi dưỡng chuyên môn, thường xuyên trao đổi, học hỏi đồng nghiệp và
rèn luyện các phương pháp dạy học tích cực.

Sáng kiến kinh nghiệm

21

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Trong giảng dạy, giáo viên cần lường trước các khả năng xảy ra nhận
định sai lầm của học sinh. Nếu dự đoán được các sai lầm trên thì chắc chắn giáo
viên sẽ chuẩn bị bài giảng của mình để đề phòng trước sai lầm cho học sinh. Sự
chủ động đề phòng sai lầm xuất hiện bao giời cũng mang tính tích cực hơn là
sửa chữa sau này. Những sai lầm của học sinh về khái niệm toán học mang dấu
ấn khó phai và rất mất công chỉnh lại cho chính xác. Giáo viên cũng cần nêu ra ở
thí dụ để thuyết phục chứ không chỉ dừng lại ở việc nhắc nhở. Các thí dụ, mà
đặc biệt các phản thí dụ bao giờ cũng tạo ấn tượng đối với học sinh.
Ví dụ:

x
x =
−x

x ≥0
x <0

ở đây x = -x khi x < 0 ( nhưng khi x = 0 thì x = - x). Điều này chứng tỏ
x < 0 chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần để tránh sai lầm cho
học sinh.
2.3.2. Quan điểm 2: Chú ý tới các yêu cầu: tính giáo dục, tính kịp
thời, tính chính xác trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học
sinh.
Đây là khâu đòi hỏi giáo viên phải kết hợp được sự tắc kịp thời, tính chính
xác và tính giáo dục cùng với sự tích cực hoá của học sinh để vận dụng các hiểu
biết về việc kiểm tra lời giải nhằm tìm ra sai lầm, phân tích nguyên nhân và sửa
chữa lời giải.
Quy trình ở giai đoạn này là giáo viên theo dõi thấy sai lầm → giáo viên
gợi ý để học sinh tìm ra sai lầm → học sinh tự tìm ra sai lầm → giáo viên gợi ý
chỉnh lời giải → học sinh thể hiện lời giải đúng → giáo viên tổng kết và nhấn
mạnh sai lầm đã bị mắc.
Nhiều sai lầm của học sinh khá tinh vi, có khi giáo viên không phát hiện
kịp thời. Trường hợp đã được phát hiện kịp thời thì vẫn đòi hỏi giáo viên phải có
thái độ đối xử khéo léo sư phạm để tăng hiệu quả giáo dục. Tuỳ theo mức độ sai
lầm mà giáo viên quyết định sử dụng các biện pháp sư phạm thích hợp. Có khi
giáo viên cần đưa ra lời giải đúng để học sinh tự đối chiếu và tìm ra sai lầm của
lời giải sai, đây cũng là một gợi ý để học sinh nhận ra sai lầm. Có khi giáo viên
chủ động đưa ra lời giải sai để học sinh nhận dạng các dấu hiệu tìm ra sai lầm.
Có khi giáo viên đưa ra nhiều lời giải khác nhau để học sinh phân biệt sự đúng
22
Sáng kiến kinh nghiệm
Nguyễn Duy Long

Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
sai của lời giải, có thể sử dụng phương pháp trắc nghiệm toàn lớp để mọi học
sinh đều phải suy nghĩ và có ý kiến.
Ngược lại, nếu giai đoạn này giáo viên không kịp thời phân tích và sửa
chữa sai lầm của học sinh khi giải toán thì các sai lầm sẽ ngày càng trầm trọng,
giáo viên không hoàn thành nhiệm vụ dạy học, học sinh sẽ sút kém về kết quả.
2.3.3. Quan điểm 3: Giáo viên kiến tạo các tình huống dễ dẫn tới sai
lầm để học sinh được thử thách với những sai lầm đó.
“Vấp ngã một lần thì lần sau có thể vẫn vấp ngã, nhưng không ngã ở chỗ
cũ nữa”. Với quan điểm này, giáo viên nên chuẩn bị sẵn một số phương án
“bẫy” học sinh.
Ví dụ 24: Cho hàm số y =

2 3
2
x − mx 2 − 2 ( 3m 2 − 1) x +
3
3

( C ) . Tìm m

để hàm số có 2 điểm cực trị x1 , x2 sao cho x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) = 1 .
(Đề thi Đại học khối D năm 2012)
Bài toán được giải như sau:

y ' = 2 x 2 − 2mx − 2 ( 3m 2 − 1) ; y ' = 0 ⇔ 2 x 2 − 2mx − 2 ( 3m 2 − 1) = 0 (*)
Một số học sinh sẽ mắc sai lầm: x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*).

 x1 + x2 = m
.

2
 x1 .x2 = 1 − 3m

Áp dụng định lý Viet ta có: 

Thay vào biểu thức x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) = 1 ta tìm được m = 0 hoặc m =

2
.
3

Chiếc bẫy được gài rất khéo ở câu hỏi ghép: Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị

x1 , x2 sao cho x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) = 1 dễ dẫn học sinh chú ý vào biểu thức cuối.
Dạng bài này phổ biến trong đề thi đại học, kể cả khi chuyển sang chủ đề Tiếp
tuyến của đồ thị, Sự tương giao của hai đồ thị ...
Với bài này, để hướng học sinh quay trở lại mạch bài làm đúng, ta chỉ cần lưu ý:
Hàm số có 2 điểm cực trị phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm

2

m
>

13
phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ ' > 0 ⇔ 
.
m < − 2

13

Sáng kiến kinh nghiệm

23

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Với điều kiện này, rõ ràng giá trị m=0 bị loại. Đáp án cuối cùng của bài toán là

2
m= .
3
2.4. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI
Tôi đã nghiên cứu và áp dụng cá phương pháp trên trong quá trình dạy
học: Ôn thi tốt nghiệp, ôn đại học, ôn thi học sinh giỏi. Đối với học sinh, đa số
các em nhận ra sai lầm của mình và không mắc phải sai lầm tương tự trong các
lần sau. Đối với đồng nghiệp, chúng tôi cùng trao đổi, rút kinh nghiệm nhằm áp
dụng phương pháp và tiếp tục tìm tòi những mảng kiến thức dễ gây nhận định
sai lầm cho học sinh. Từ đó những khó khăn và sai lầm của học sinh được chỉ ra
trên đây đã giảm đi rất nhiều và đặc biệt là đã hình thành được cho học sinh một
“phong cách” tư duy khác trước rất nhiều. Học sinh đã bắt đầu ham thích những
dạng toán mà trước đây họ rất “ngại” - bởi vì luôn gặp phải những thiếu sót và
sai lầm khi đứng trước các dạng đó.
Tôi đã làm một phép so sánh thời gian giải cùng một bài toán đối với hai
nhóm đối tượng có cùng mức độ nhận thức như nhau, một nhóm có phát hiện và
khắc phục nhận đinh sai lầm và một nhóm chưa được khắc phục.
Kết quả như sau:
Phát hiện và khắc phục nhận định sai lầm
cho học sinh từ trước

Đã tiến hành
Chưa tiến hành

Học sinh lớp
12A2
12A3

Thời gian
làm bài
12 phút
7 phút

Ngoài ra, điểm trung bình khi kiểm tra cùng một bài toán của hai nhóm
đối tượng này cũng khác nhau. Cụ thể:
Phát hiện và khắc phục nhận định sai lầm cho

Học sinh lớp

Điểm trung

học sinh từ trước

bình

Đã tiến hành
Chưa tiến hành

Sáng kiến kinh nghiệm

12A2

12A3

24

9,5
6,0

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Qua đó có thể nhận thấy nếu phát hiện và khắc phục tốt nhận định sai lầm
của học sinh trong giải toán thì chất lượng bộ môn sẽ được nâng cao hơn và tạo
được sự hứng thú với môn toán hơn cho học sinh.

3. KẾT LUẬN
Sai lầm là điều không thể tránh khỏi trong cuộc sống! Trong toán học
cũng vậy, khi ta chủ quan trong nhìn nhận một bài toán hoặc chưa được cung
cấp đủ kiến thức cần thiết thì điều này càng dễ xảy ra. Điều quan trọng là ta phải
biết cách hạn chế và khắc phục các sai xót này.
Việc nghiên cứu đề tài này vừa giúp tôi có thêm những kinh nghiệm giảng
dạy, đồng thời khi triển khai cũng giúp nhiều học sinh tự tin hơn và hứng thú
hơn với môn Toán. Đó cũng chính là mong muốn của những người thầy và đáp
ứng yêu cầu của xã hội.

Sáng kiến kinh nghiệm

25

Nguyễn Duy Long