SKKN hướng dãn học sinh yếu giải một số phương trình lượng giác thường gặp

Mục lục
1. Lí do chọn đề tài
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lí luận
2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng
2.1.2 Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
2.2 Thực trạng của vấn đề
2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

2
3
3
3
4
10
11

2.3.1 Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ

11

2.3.2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho

15

trước
2.3.3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi

18

thị

qua một điểm cho trước
2.4. Hiệu quả của SKKN
2.4.1 Khảo sát thực tế:
2.4.2 Kết quả sau khi thực hiện SKKN:
3. Kết luận:
Phụ lục
Đề số 1
Đề số 2
Tài liệu tham khảo

22
22
22
24
26
30
35

1. Lí do chọn đề tài
Chủ đề hàm số là một nội dung cơ bản của chương trình toán THPT. Một
bài toán về chủ đề hàm số không chỉ đơn thuần là tìm tập xác định, xét sự biến
1

1


thiên và vẽ đồ thị của hàm số mà còn đề cập đến những vấn đề khác như: Viết
phương trình tiếp tuyến; chứng minh tính chất tiếp tuyến; tìm tập hợp điểm mà từ
đó kẻ được các tiếp tuyến đến đồ thị hàm số …

Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những
nội dung quan trọng và thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển
sinh vào CĐ – ĐH trong những năm gần đây, nhưng rất nhiều học sinh còn mơ
hồ và lúng túng không biết giải bài toán này. Bài toán viết phương trình tiếp
tuyến có nhiều dạng khác nhau, học sinh thường mắc sai lầm giữa bài toán viết
phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm và viết phương trình tiếp tuyến tại một
điểm; một dạng nữa là viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số
góc của tiếp tuyến, chứng minh tính chất của tiếp tuyến…đối với học sinh lại
càng khó. Học sinh không có phương pháp làm bài tập viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số vì các em mới chỉ được biết sơ qua ở chương trình lớp 11
lại được luyện tập rất ít. Hơn nữa các em không biết phân loại bài tập để có cách
giải hữu hiệu, trong quá trình làm bài tập rất nhiều bài giải học sinh còn bỏ sót
trường hợp ví dụ như chưa tìm hết tiếp điểm; đánh tráo đề bài…
Như ở trên cũng đã nói, trong chương trình cũng như sách giáo khoa đại số
và giải tích lớp 11 học sinh mới chỉ được tiếp cận và hiểu biết bài toán viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ở mức độ nhất định; chưa hiểu sâu về
lí thuyết; chưa được rèn luyện nhiều về kĩ năng. Chính vì vậy tôi mạnh dạn viết
sáng kiến kinh nghiệm về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán này và được rèn kĩ năng
nhiều hơn, vận dụng vào giải toán thành thạo hơn, đó là lí do tôi chọn đề tài sáng
kiến kinh nghiệm: “GIÚP HỌC SINH YẾU KÉM VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP
TUYẾN VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG”
2. Giải quyết vấn đề
2.1 Cơ sở lí luận:
>2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng
2

2

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C) giả sử (C) là đồ thị của hàm số
0
0
y = f(x) và M 0 (x ; f (x )) ∈ (C ) kí hiệu M(x; f(x)) là điểm di chuyển trên ( C)

y

(C)
M

T

f(x)

0
f(x ) M 0

O

x

0

x

x

Đường thẳng M 0 M là một cát tuyến của ( C).
0
0

Khi x →x 0 thì M(x; f(x)) di chuyển trên ( C) tới M 0 (x ; f (x )) và ngược lại.

Giả sử cát tuyến M 0 M có vị trí giới hạn, kí hiệu là M 0T thì M 0T được gọi là tiếp
tuyến của ( C) tại M 0 . Điểm M 0 được gọi là tiếp điểm.
Tại mỗi vị trí của M trên (C) ta luôn có
kM =

f ( xM ) − f ( x0 )
xM − x0

*) Nhắc lại ý nghĩa hình học của đao hàm: “Đạo hàm của hàm số y =f(x) tại x0
0
0
là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M 0 (x ; f (x ))”.

Hơn nữa ta có kết quả sau: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại điểm nếu biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số là
M 0 (x 0 ; f (x 0 )) có phương trình là y − f ( x0 ) = f '( x0 )( x − x0 ) ”

Sau đây ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với oy
3

3


*) Định lý 1:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm
M 0 (x 0 ; f (x 0 )) là y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) trong đó y0 = f ( x0 )

*)Định lý 2:

Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = kx + b. Đường thẳng
 f ( x ) = kx + b

f '( x ) = k
d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 
Khi đó nghiệm x của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm
>2.1.2 Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
1. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị
a. Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) . Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C )
Ví dụ 1:
Cho hàm số y = x3- 6x2+ 9x có đồ thị (C)
Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2;2) thuộc đồ thị (C)
Giải
Ta có: y’=3x2-12x +9
Với: x = 2 ; y = 2 và y’(2)= -3
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(2;2) l à:
y = −3( x − 2) + 2 hay y = −3 x + 8

Ví dụ 2: Cho hàm số y =

x+2
2 x + 3 có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp

tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị với trục 0y
Giải:
4

y' = −

1
(2 x + 3) 2
4


 2
1
y '( 0) = −
 0; ÷
9
Giao điểm của đồ thị với 0y:  3  , hệ số góc
1
2
y=− x+
9
3
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho là
b. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm
0

0

có hoành độ x = x (Hoặc : y= y )
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 - 2x2 có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x= -2
Giải
Ta có: y’=4x3- 4x
Với: x = -2 ⇒ y = 8 và y’(-2)= - 24
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(-2;8) là:
y = -24( x + 2 ) + 8

hay

y = -24x - 40

3
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x − 3x + 5 có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến

của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = 5
Giải :
y ' = 3x 2 − 3
x = 0

y = 5 ⇔ x − 3x + 5 = 5 ⇔ x − 3 x = 0 ⇔  x = − 3
x = 3

3

3

Ta có
+) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (0;5)
y’(0) = -3
Do đó phương trình tiếp tuyến là y − 5 = −3( x − 0) hay y = -3x +5.
+) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (− 3;5) .
y ' (− 3 ) = 3(− 3 ) 2 − 3 = 6

5

5

Do đó phương trình tiếp tuyến là : y − 5 = 6( x + 3 ) hay y = 6 x + 6 3 + 5 .
+) Tương tự phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm ( 3;5)
là : y = 6 x − 6 3 + 5 .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước
Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k ∈ ¡ . Viết phương trình
tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y=

x −1
x + 1 (C) có hệ số góc

bằng 2
y' =

x = 0
⇔ x2 + 2x = 0 ⇔ 
( x + 1) = 2 => ( x 2 + 2 x + 1) = 1
 x = −2
2

2

Có 2 toạ độ tiếp điểm là (0; −1), ( −2;3)
Hai phương trình tiếp tuyến: y = 3x − 1 và
y = 3( x + 2) + 3
⇔ y = 3x + 9

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) :

y=

−x + 3
2 x + 1 biết tiếp tuyến song

song với d : y = −7 x − 1.
Giải:
−7

Ta có

( 2 x0 + 1)

2

= −7 ⇔

x=0
= 1 ⇒ 
( 2 x0 + 1)
 x = −1
1

2

Có hai phương trình tiếp tuyến y = −7 x + 3, y = −7 x − 3
3
2

Ví dụ 3: Cho hàm số y=x − 3 x + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến

của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆ : 3 x − 5 y − 4 = 0
Giải:

6

6


3
5 . Vì tiếp tuyến d cần tìm vuông góc
Cách 1 : Đường thẳng ∆ có hệ số góc
5
kd = −
3
với đường thẳng ∆ nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là
Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình
1

x
=
1

3
⇔ 9 x 2 − 18 x + 5 = 0 ⇔ 
5
5
x = 5
y ' = − ⇔ 3x 2 − 6 x = −

 2 3
3
3
Thay lần lượt x1 , x2 vào phương trình tiếp tuyến tổng quát, ta được các tiếp
k∆ =

5
61
5
31
y=− x+
y=− x−
3
7 và
3
7
tuyến là:
5
y =− x−c
3
Cách 2 : Phương trình tiếp tuyến có dạng d :
(*)
d là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm
5
61
 3

2
x
−

3
x
+
2
=
−
x
−
c
c
=
−
1


3
27
⇔

 c = 31
3 x 2 − 6 x = − 5
 2 27

3
Thay lần lượt c1; c2 vào phương trình (*), ta được các tiếp tuyến là:
5
61
5
31
y=− x+

y=− x−
3
7 và
3
7
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm
cho trước
Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm A ( a; b ) cho trước. Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C)

7

7


3
2
Vớ d 1: Cho hm s y = x 3 x + 2 . Vit phng trỡnh tip tuyn k n th

t im

A(

23
; 2)
9

Gii:
23

y = k x ữ 2 (*)
9

ng thng d i qua im A cú phng trỡnh
ng thng d tip xỳc vi th (C) khi h sau cú nghim
3
23
3
23


2
2
2
x 3 x + 2 = k x ữ 2
x 3 x + 2 = (3 x 6 x) x ữ 2
9
9




3 x 2 6 x = k
2

3 x 6 x = k
x = 2
k = 0

1

x =
5
3
k =

3

x = 3

2
k = 9
3 x 6 x = k
Thay k ln lt vo (*), ta c cỏc phng trỡnh tip tuyn l:
5
61
d1 : y = 2, d 2 : y = x +
3
27 v d3 : y = 9 x 25
Vớ d 2: Cho hàm số
Giải:

y=

1 4
3
x 3x 2 +
2
2

(C )

3
A(0; ).
2
. Viết pttt của (C) đi qua

3
3
A(0; )
y = kx +
2 có dạng:
2
Phơng trình đờng thẳng qua

(d )

Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
3
3
1 4
2
x 3 x + = kx +
2
2
2
2 x 3 6 x = k

có nghiệm.

8

8


Suy ra

x = 0

3x 4 6 x 2 = 0 x = 2
x = 2


3
y= .
2
+) Với x = 0 k = 0 . Pttt là:
3
y = 2 2 x + .
2
+) Với x = 2 k = 2 2 . Pttt là:
3
2 2x +
2.
+) Với x= - 2 k = 2 2 . Pttt là: y =
3
A(0; )
2 đến đến thị (C).
Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến kẻ từ
x

y=
x + 1 (C). Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận của
Vớ d 3: Cho hàm số

đồ thị hàm số. CMR: không có tiếp tuyến nào đi qua I.
Giải:
Ta có tiệm cận đứng x = -1.
Tiệm cận ngang y = 1. Do đó toạ độ giao điểm của hai đờng tiệm cận là:
I(-1; 1).
Phơng trình đờng thẳng qua I(-1; 1) có dạng: y = k(x+ 1) + 1 (d).
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có
nghiệm:
x
x + 1 = k ( x + 1) + 1
x
1
x
1

=
( x + 1) + 1
=
+1 x = x + 2
1
2
x
+
1
x
+

1
x
+
1
(
x
+
1
)

=k
( x + 1) 2

(vô nghiệm) => (điều phải chứng minh).
Vớ d 4: Cho hàm số

y=

x2 x 1
x +1
(C). Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ

đợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải:
Viết lại y dới dạng

y = x2+

1
x + 1 (C).

Gọi B(0; b) Oy , Phơng trình đờng thẳng qua B có dạng: y = kx + b (d).
9

9


Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có
nghiệm:

(I)

1

1

x 2 + x + 1 = kx + b
x 2 + x + 1 = kx + b


1
1
x + 1 1 = kx + k
=k
2

( x + 1)
x +1

3 +

Do đó (I)

2
1
b+3k
=bk
=
x +1
x +1
2

b+3k
1
(1)
x + 1 =
2

1
1
= k ( 2)
( x + 1) 2

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn (2)
b + 3 k
0

k b + 3
2

2
2
k 2(b + 1)k + (b + 3) 4 = 0 (*)
1 ( b + 3 k ) 2 = k

2

Yêu cầu bài toán thoả mãn khi phơng trình (*) có hai nghiệm khác b + 3
' > 0
(b + 1) 2 ((b + 3) 2 4) > 0
b < 1



2
2
(b + 3) 2(b + 1)(b + 3) + (b + 3) 4 0
4b + 8 0
b 2

Vậy, các điểm trên trục tung có tung độ bé hơn -1 và khác -2 thì từ đó kẻ
đợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
2.2 Thc trng ca vn :
Qua iu tra v thc tin ging dy cho thy a phn hc sinh khụng cm thy
khú khn trong vic kho sỏt hm s. Tuy nhiờn hc sinh gp phi khú khn khi
lm bi tp v tip tuyn ca th hm s, thng mc phi nhng khú khn
sau:
- Cha cú nhng phng phỏp gii c th cho tng dng bi
- Nhm gia hai khỏi nim tip tuyn i qua mt im v tip tuyn ti
mt im thuc th ca hm s

10

10


- Trong quá trình giải học sinh còn mắc phải sai lầm khi tính toán, biến
đổi…trong bước trung gian. Lập luận không chặt chẽ; đánh tráo đề bài…
3
2
Ví dụ: Cho hàm số y = x − 3x + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến

của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;3)
Giải: +) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(0;3), phương trình của d có dạng
y = kx + 3
+) d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình
 x 3 − 3 x 2 + 2 = kx + 3 (1)
 2
3x − 6 x = k (2)
có nghiệm x
Thay k ở (2) vào (1) ta được
x 3 − 3x 2 + 2 = (3 x 2 − 6 x) x + 3
⇔ ( x − 1)(2 x 2 − x − 1) = 0 (*)
Bây giờ ở phương trình (* ) học sinh không chú ý: Từ phương trình (*) ta có
x −1 = 0
 2
 2 x − x − 1 = 0 mà lại viết

x −1 = 0
⇔ x =1
 2

2
x
−
x
−
1
=
0


Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = −3x + 3
Khi đó lời giải bị sai ngay từ bước trung gian nên thiếu một phương trình tiếp
tuyến.
Như vậy lời giải đúng là
x =1
 k = −3
x −1 = 0
⇔
1 ⇒
15

k =
x=
 2

2

4
Từ phương trình (*) ta có  2 x − x − 1 = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = −3x + 3 và

11

11

y=

15
x+3
4


Có những học sinh lại đánh tráo đầu bài đi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C) tại điểm A(0;3)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A có dạng y − y0 = f '( x0 )( x − x0 )
Theo đầu bài ta có x0 = 0, y0 = 3
y '( x0 ) = f '( x0 ) = 0

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 3
Hoặc có học sinh lại bỏ sót trường hợp trong quá trình giải…
2.3 Giải quyết vấn đề
Việc đưa các dạng bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và phương pháp
giải cụ thể cho từng dạng bài, vận dụng phương pháp giải bài tập toán đề hướn
dẫn các em làm bài tập phần học này là rất cần thiết. Bởi khi đó các em không
còn phải lúng túng trong việc lựa chọn cách giải mà sẽ có được cách giải chính
xác khi đã xác định được yêu cầu về “Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số” ở
dạng nào. Chính vì vậy mà hai năm gần đây trong phần dạy bài tập về tiếp tuyến
của đồ thị hàm số tôi đã cố gắng giúp học sinh biết cách nhận dạng bài tập; chỉ ra
phương pháp giải từng dạng. Từ đó các em tự tin và có hứng thú học tập.
> 2.3.1. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị

a. Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) . Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C )
* Phương pháp giải:
+) Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm (đã nêu ở trên) thì tiếp tuyến tại một
điểm M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) có hệ số góc là f '( x0 )
+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tai điểm M 0 ( x0 ; y0 ) có
dạng: y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) hay y − f ( x0 ) = f '( x0 )( x − x0 )
Nhận xét:
12

12


+) Đối với bài toán này học sinh chỉ cần tính được chính xác f '( x) , f '( x0 )
và rút gọn chính xác sẽ được lời giải đúng của bài toán
+) Đồ thị chỉ có 1 phương trình tiếp tuyến
Ví dụ 1: Cho hàm số (C): y = x3-6x2+9x Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại
điểm M (2;2) ∈ (C )
Giải
Ta có: y’=3.x2-12x +9
Với: x = 2 ; y = 2 và y’(2)= -3
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(2;2) là:
y = −3( x − 2) + 2 hay y = −3x + 8
2
Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y = x+1 - 2 x − 1 . Hãy viết phương trình tiếp tuyến với

đồ thị (C) tại A(0;3)
Giải
4
2

Ta có: y’= 1+ (2 x − 1)

nên y’(0) = 5

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A(0;3) là:
y = 5(x-0) + 3

hay

y = 5x + 3

Ví dụ 3: Cho hàm số y = 2 + 3x – x3 có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp
tuyến tại điểm uốn của đồ thị.
Giải:
y ' = 3 − 3x 2 , y '' = −6 x
và y '' = 0 ⇔ x = 0
Toạ độ điểm uốn là (0;2) , y '(0) = 3
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là:
y = 3( x − 0) + 2 hay y = 3x + 2
13

13


b. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm
0

0

có hoành độ x = x (Hoặc : y= y )

*. Phương pháp giải:
-Với: x =x

0

⇒y

0

0

=f(x ) (Bài toán đưa về dạng trên)

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm có hoành độ
0

x = x có dạng:
0

0

y=f’(x )( x-x ) + y

0

Nhận xét: Áp dụng tương tự với tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung
0

0

độ: y= y =f(x )

⇒x

0

=? ( bài toán đưa về dạng tiếp tuyến tại một điểm )

3
2
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x + 3x − 1
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ -1.

Giải: Hoành độ tiếp điểm x = −1 , nên tung độ tiếp điểm y = 1
y ' = 3x 2 + 6 x ⇒ y '( −1) = −3
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (-1;1) là:
y = −3( x + 1) + 1

y = −3 x − 2

hay
y=

3x + 1
1 − x có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của

Ví dụ 2: Cho hàm số
(C) tại điểm có tung độ –7.
Giải:

Tung độ tiếp điểm y = −7 nên hoành độ tiếp điểm x = 2
4
y' =
⇒ y '(2) = 4
(1 − x) 2
.Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (2;-7)
là: y = 4( x − 2) − 7

hay

y = 4 x − 15

*) Bài toán mở rộng:

14

14


Vớ d 1: Cho hàm số: y = x + 3x 2 (C).Tìm các điểm thuộc (C) mà qua đó kẻ
đợc một và chỉ một tiếp tuyến đến (C).
3

2

Giải:
3
2
Gọi M 0 ( x0 ; x0 + 3x0 2) (C ) .

Phơng trình tiếp tuyến (pttt) của (C) tại M0 có dạng:
y = k ( x x 0 ) x03 + 3 x02 2 (d)

Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) tại M 0 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
x 3 + 3 x 2 2 = k ( x x 0 ) x 03 + 3 x 02 2

3x 2 + 6 x = k
x1 = x0
( x x0 )( 2 x + 3 x + xx0 + x 3 x0 ) = 0
x2 = 3 x0
2

Suy ra
2

2
0

Điểm M0 thoả mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi:
x1 = x 2 x0 =

3 x0
x0 = 1
2
.

Vậy, trên (C) tồn tại duy nhất điểm M 0( 1; 0) mà qua đó kẻ đợc đúng một và chỉ
một tiếp tuyến với đồ thị (C).
y=

4x 2
x + 1 (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C),

Vớ d 2: Cho hàm số:
trục Oy và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.
Giải:
Ta có:

x = 3 y =
y' =

4.3 2 5
=
3 +1
2.

6
3
y ' (3) =
2
8
( x + 1)
5
3
5
(3; )
y = ( x 3) +
2 là:
8
2

Pttt của (C) tại điểm
Diện tích hình phẳng cần tính là:

15

15


3

S=∫
0

3

3
5
6
3
3
6
( x − 3) + − (4 −
) dx = ∫ ( ( x − 3) − +
)dx
8
2
x +1
8
2 x +1

0

3

3

3
x + 6ln x + 1)
( x − 3) 3 2
0
= ( 16
-

=

12 ln 2 −

99
16

(®vdt).

> 2.3.2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước
Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k ∈ ¡ . Viết phương trình
tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k
* Phương pháp giải:
i) Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm:
+) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ xi
⇒ f '( xi ) = k ⇒ x = xi là nghiệm của phương trình f '( x ) = k
+

+) Giải phương trình f '( x ) = k , suy ra nghiệm x = { x0 , x1 ,...xn } , n ∈ ¢

+) Phương trình tiếp tuyến tại xi là: y = k ( x − xi ) + f ( xi )
ii) Cách 2: Phương pháp điều kiện kép
Xét đường thẳng có hệ số góc k có phương trình y = kx + m (m là ẩn) tiếp xúc
với đồ thị (C): y = f ( x) . Khi đó ta có phương trình kx + m = f ( x) có nghiệm
kép. Áp dụng điều kiện để phương trình có nghiệm kép, suy ra được m. Từ đó
suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm
Nhận xét: Vì điều kiện (C1 ) : y = f ( x) và (C2 ) : y = g ( x) tiếp xúc nhau là hệ điều
 f ( x ) = g ( x)

kiện  f '( x ) = g '( x) có nghiệm kép chứ không phải điều kiện phương trình
f ( x) = g ( x) có nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số
y = f ( x) mà phương trình tương giao kx + m = f ( x) có thể biến đổi tương đương

về một phương trình bậc 2 ( khi đó điều kiện để có nghiệm kép là ∆ m = 0 )
16

16


Chỳ ý: Ta cú cỏc dng biu din ca h s gúc k nh sau:
1
k = 1, 2,..., ,..., 2, 3,...
2
- Dng trc tip:

2

15 0 ;30 0 ;450 ; ; .... .

3 3 khi

- Tip tuyn to vi chiu dng 0x gúc ,
ú h s gúc k = tan
- Tip tuyn song song vi ng thng y = ax+b , khi ú h s gúc k = a

ka = 1 k =

- Tip tuyn vuụng gúc vi ng thng y = ax+b , khi ú
- Tip tuyn to vi ng thng y = ax+b mt gúc khi ú
k a
= tan
1 + ka
.

1
a

Vớ d 1:
3
2
Cho hàm số y = x 3x (C). Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ
số góc của tiếp tuyến k = -3.
Giải:
2
Ta có: y ' = 3x 6 x
2
2
Do hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên: 3x 6 x = 3 x 2 x + 1 = 0 x = 1

Với x = 1 y = 2 . Pttt cần tìm là: y = 3( x 1) 2 y = 3 x + 1
Ví dụ 2:
3
2
Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3x + 1 (C). Biết tiếp tuyến

đó song song với đờng thẳng y = 9x + 2009.
Giải:
2
Ta có y ' = 3x 6 x .

Do tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y = 9x + 2009 nên tiếp tuyến có hệ
2
số góc k = 9 3x 6 x = 9 .

17

17


x = 1
x 2 2x 3 = 0
x = 3 .
+) Với x = 1 y = 3. Pttt của (C) tại x = - 1 là: y = 9( x + 1) 3 y = 9 x + 6

+) Với x = 3 y = 1 . Pttt của (C) tại x = 3 là: y = 9( x 3) + 1 y = 9 x 26
Vậy, có 2 tiếp tuyến của (C) song song với đờng thẳng y = 9x + 2009 là:
y = 9x + 6 và y = 9x - 26.
3
Vớ d 3: Cho hàm số y = x 3 x + 2 (C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết

tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng
Giải:

y=

1
x
9 .

2
Ta có y ' = 3x 3 . Do tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đờng

thẳng

y=

1
x
9 nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 9.

2
2
Do đó y ' = k 3x 3 = 9 x = 4 x = 2.

+) Với x = 2 y = 4 . Pttt

tại điểm có hoành độ x = 2 là:

y = 9( x 2) + 4 y = 9 x 14.

+) Với

x = 2 y = 0 .

Pttt tại điểm có hoành độ x = - 2 là:

y = 9( x + 2) + 0 y = 9 x + 18 .

Vậy, có hai tiếp tuyến củả (C) vuông góc với đờng thẳng

y=

1
x
9 là:

y =9x - 14 và y = 9x + 18.
*) Bi toỏn m rng:
Vớ d 1:
3
2
Cho hàm số y = x + 3x 9 x + 3 (C). Chứng minh rằng trong số các tiếp tuyến

của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Giải:
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị (C) là:
2
k = y ' = 3x + 6 x 9

18

18


y ' ' = 6 x + 6 y ' ' = 0 6 x + 6 = 0 x = 1

iểm uốn U(-1; 14).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là: k1 = -12.
2
Bảng biến thiên của hàm số y ' = 3 x + 6 x 9

x
y



+

+

-1
0

-

+

+

y
-12

Từ bảng biến thiên suy ra k 12 . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = -1 (hoành
độ điểm uốn) (Điều phải chứng minh)
Vớ d 2:
Cho hàm số:

y=

mx 2 + ( m 1) x + m 2 + m
xm

(C )

. Tìm điểm x0 để với mọi m 0 , tiếp

tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm x0 song song với một đờng thẳng cố định.
Tìm hệ số góc của đờng thẳng đó.
Giải:
Ta có:

y' =

mx02 2m 2 x0 2m
mx 2 2m 2 x 2m

y
'
(

x
)
=
0
( x m) 2
( x 0 m) 2
.

Yêu cầu bài toán là tìm x0 để y(x0) = k ( hằng số) m 0


mx02 2m 2 x0 2m
= k m
( x 0 m) 2

(2 x 0 + 2 + k ) m 2 (2kx 0 + x 02 )m + kx02 = 0 m 0
2 x 0 + 2 + k = 0 (1)

2kx0 + x02 = 0 (2)
2
kx0 = 0 (3)
k = 0

x0 = 0
Ta có : (3)

+) Với x0 = 0 suy ra k = -2 (thoả mãn).
19

19

 x 0 = −1
⇒
x =0
+) Víi k = 0  0
(v« nghiÖm)

VËy, x0 = 0 vµ k = -2 th× th× tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i x 0 song song víi mét ®êng
th¼ng cè ®Þnh.
> 2.3.3.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm
cho trước
Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm A ( x A ; y A ) cho trước. Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C)
* Phương pháp giải:
i) Cách 1: Thực hiện theo các bước
- Đường thẳng d đi qua điểm A ( x A ; y A ) có phương trình:
d : y = k ( x − xA ) + yA

- d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
 f ( x) = k ( x − x A ) + y A
 f ( x) = f '( x)( x − x A ) + y A (1)
⇔

 f '( x) = k
 f '( x) = k
⇒k
- Kết luận về tiếp tuyến d.
ii) Cách 2: Thực hiện theo các bước
- Giả sử tiếp điểm là M ( x0 ; y0 ) khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng

d: y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0
- Điểm A ( x A ; y A ) ∈ d , ta được y A = y '( x0 )( xA − x0 ) + y0 (2) ⇒ x0
- Kết luận về tiếp tuyến d
Chú ý: Số nghiệm phân biệt ở phương trình (1), (2) bằng số tiếp tuyến kẻ từA đến
đồ thị (C)
Ví dụ 1:
1
3 x3-x2 .

Cho hàm số (C): y =
Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(3;0)
20

20


Giải
Ta có: y’= x2-2x
-Gọi đường thẳng qua A(3;0) có hệ số góc k→phương trình có dạng:
y=k.(x- 3)+0
-Để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì:

1 3
 x − x 2 = k ( x − 3)
3

k = x 2 − 2x


có nghiệm

1 3 2
x − x = ( x 2 − 2 x)( x − 3)
-Thay (2) vào (1)ta có 3
→x=0 và x= 3
-Với x=0 thay vào(2)→k = 0. Phương trình tiếp tuyến: y = 0
-Với x= 3 thay vào(2)→ k= 3. Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x-3) = 3x – 9
-Vậy có hai phương trình tiếp tuyến đi qua A(3;0) là:
y=0
và y = 3x – 9
Ví dụ 2:
Cho hàm số (C): y =

x+2
2 x + 3 Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

,biết tiếp tuyến cắt trục hoành,trục tung lần lượt tại A và B sao cho tam giác AOB
cân tại O
Giải
Phân tích: tiếp tuyến (d)cần tìm thỏa mãn *(d)là tiếp tuyến của ( C)
*(d)cắt ox tại A và cắt oy tại B
*OA=OB
Cách 1: Vì (d) cắt ox tại A nên A(a;0)
điều kiện: a ≠ 0 và b ≠ 0

(d) cắt oy tại B nên B(0;b) .

Để tam giác AOB cân tại O thì OA=OB ⇔
21

21

a =b


⇔a=b

hoặc

a = -b

y
x
+ =1
a
*Với a = b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng: a

⇔y=-x +a

Để (d) là tiếp tuyến của (C) thì hệ phương trình:

 x+2
 2 x + 3 = − x + a (1)

−1
−1 =
(2)
2
(2
x

+
3)


có nghiệm

Từ (2) ta có: x = -2 hoặc x = -1
-Với x = -2 thay vào (1) ta có: a = -2 thay vào phương trình tiếp tuyến (d) phương
trình của d là
y = -x - 2
-Với x = -1 thay vào (1) ta có: a = 0 (loại)
x
y
+
=1
−a
*Với a = -b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng: a
⇔y=x -a

 x +2
= x −a

2 x +3

−1
1 =

( 2 x +3) 2
Để (d) là tiếp tuyến của (C) thì: 

Từ (2) suy ra hệ vô nghiệm
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = -x - 2
Cách 2:
22

22

có nghiệm


Vì tam giác AOB cân tại O nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc
450 hoặc 1350 và không đi qua gốc tọa độ O
-Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 45 0 ta có:
tan 450 = y ' ( x 0 ) ⇔ 1 =

−1
⇒
(2 x 0 + 3) 2
phương trình vô nghiệm

- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 135 0 ta có:
tan 135 0 = y ' ( x 0 ) ⇔ −1 =

−1
⇒ (2 x 0 + 3) 2 = 1 ⇔
2
x 0 = -1 hoặc x 0 = -2
(2 x 0 + 3)

Với x 0 = -1 ⇒ y 0 = 1 .Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+1) +1 hay y= -x (loại vì đi

qua gốc tọa độ O)
Với x 0 = -2 ⇒ y 0 = 0 . Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+2) hay y= -x - 2
Kết luận: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y= -x - 2
NHẬN XÉT: - Với cách 1: học sinh thường thiếu điều kiện của a và b để A BO là
tam giác
-Với cách 2: đơn giản hơn xong học sinh hay bỏ qua điều kiện tiếp
tuyến của đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ O
2.4. Hiệu quả của SKKN
2.4.1 Khảo sát thực tế:
Trước khi thực hiện SKKN , năm học 2013 - 2014 tôi đã khảo sát chất lượng
của học sinh lớp 11A1 ; 11A4 ; thông qua kiểm tra viết gồm 3 bài toán viết
phương trình tiếp tuyến (Đề số 1 phụ lục trang 26 )
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trước
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Kết quả như sau:
Không có học sinh đạt điểm khá, giỏi ở lớp 11A4 ; điểm trung bình chưa đạt
40%, còn lại là yếu, kém. Cụ thể:
23

23


Lớp

TS

Giỏi

Khá

T bình

Yếu

Kém

SL %
SL %
SL %
SL %
SL
11A1 35 3
8.6 5
14.3 20
51.1 7
20
0
11A4 32 0
0
0
0
12
37.5 16
50
4
Tổng 67 3
4.5 5
7.5 32
47.8 23

34.3 4
Chất lượng bài làm của học sinh lớp 11A4 thấp, kĩ năng giải toán yếu.

%
0
12.5
5.9

2.4.2 Kết quả sau khi thực hiện SKKN:
Sau khi thực hiện đề tài tại lớp 11A1; 11A4 của trường THPT Số 2 Bảo Thắng
năm học 2013 – 2014 tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh thông qua kiểm tra
viết gồm 4 bài: (Đề số 2 phụ lục trang 30)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trước
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Bài toán 4: Ứng dụng
Kết quả như sau:
Đã có học sinh đạt điểm khá, giỏi tuy còn ít. Điểm yếu, kém đã giảm.
. Cụ thể:
Lớp

TS

Giỏi

Khá

T bình

Yếu

SL %
SL %
SL %
SL
11A1 35 12
34.3 16
45.7 7
20
0
11A4 32 2
6.3 3
9.4 20
62.5 5
Tổng 67 14
20.9 19
28.4 27
40.3 5
Như vậy, chất lượng bài kiểm tra đã được tăng lên rõ rệt.

Kém
%
0
15.6
7.5

SL
0
2
2

%
0
6.2
2.9

Một số học sinh khá, giỏi còn biết vận dụng vào các bài toán ở mức độ khó hơn.
Trải qua thực tiễn giảng dạy nội dung các bài giảng liên quan đến SKKN và có sự
tham góp của đồng nghiệp, vận dụng SKKN vào giảng dạy đã thu được một số
kết quả nhất định sau:

24

24


1. Học sinh yếu đã hiểu và biết vận dụng tốt hơn phương pháp viết phương trình
tiếp tuyến
2. Học sinh trung bình trở lên nắm vững được phương pháp, biết vận dụng
thành thạo và linh hoạt hơn
Chất lượng bài giải và kĩ năng giải toán tốt hơn so với những năm trước đây.

3. Kết luận:
- Trong giai đoạn giáo dục hiện nay, đổi mới phương pháp giảng dạy là một
nhiệm vụ hết sức quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội một nguồn nhân lực thực
thụ. Bản thân tôi mong muốn làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập của học
sinh nên tôi luôn cố gắng tìm tòi và ứng dụng đổi mới vào việc giảng dạy trên cơ
sở kinh nghiệm qua nhiều năm đứng lớp .
- Loại toán viết phương trình tiếp tuyến trong các tài liệu tham khảo thường
được đề cập một cách sơ sài và nhỏ lẻ, nên tôi đã cố gắng tập hợp, giải quyết các

bài toán phương trình tiếp tuyến một cách đơn giản để học sinh dễ hiểu . Qua ứng
dụng SKKN này giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy đối với bài toán viết
phương trình tiếp tuyến học sinh đã thông hiểu hơn rất nhiều.
- Như vậy, với SKKN này dù ít hay nhiều cũng giúp ích cho cho công việc
giảng dạy của tôi, góp một phần nhỏ giúp học sinh hiểu kĩ hơn và vận dụng tốt
hơn vào giải toán, nâng cao chất lượng học môn toán hơn trước. Đối với bản thân
25

25