skkn hướng dẫn học sinh yếu,trung bình viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

Tổ Toán – Tin
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT KIỆM TÂN
  
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH YẾU,TRUNG BÌNH VIẾT
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: LÊ HỮU HÀ
ĐỒNG NAI, THÁNG 05 NĂM 2014
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

Tổ Toán – Tin
2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT KIỆM TÂN

Mã số:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH YẾU,TRUNG BÌNH VIẾT
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
Người thực hiện: LÊ HỮU HÀ
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục: 
Phương pháp dạy học bộ môn: toán 
Phương pháp giáo dục: 
Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm: 
 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học: 2013 - 2014
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
1.1.THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN.
1.1.1. Họ và tên: Lê Hữu Hà.
1.1.2. Ngày tháng năm sinh: 16/03/1986.
1.1.3. Nam, nữ: Nam.
1.1.4. Địa chỉ: Võ Dõng 1 – Gia Kiệm – Thống Nhất – Đồng Nai
1.1.5. Điện thoại: 0982737462.
1.1.6. Chức vụ: Giáo viên Toán
1.1.7. Đơn vị công tác: Trường THPT Kiệm Tân.
1.2.TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO.
1.2.1. Trình độ chuyên môn: Cử nhân sư phạm Toán.
1.2.2. Năm nhận bằng: 2009.
1.2.3. Chuyên ngành đào tạo: Toán.
1.3.KINH NGHIỆM KHOA HỌC.
1.3.1. Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán.
1.3.2. Số năm kinh nghiệm: 5 năm.
Tổ Toán – Tin
3
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

MỤC LỤC
3.2.Nguyên nhân chính l do:à 8
3.3. Nh ng bi n pháp th c hi nữ ệ ự ệ 8
3.3.1. Vi c l m c a th yệ à ủ ầ 8
3.3.2. Vi c l m c a tròệ à ủ 9

3.4 Ph m vi th c hi n t iạ ự ệ đề à 9
3.5 Th i gian th c hi n t iờ ự ệ đề à 9
3.6 Ph ng pháp nghiên c u t i:ươ ứ đề à 9
4. TÓM T T LÝ THUY TẮ Ế 9
4.1 Ch ng 5: o H mươ Đạ à 9
4.1.1.1. Ti p tuy n c a ng cong ph ngế ế ủ đườ ẳ 9
4.1.1.2. Ý ngh a hình h c c a o h mĩ ọ ủ đạ à 10
4.1.1.3. Ph ng trình ti p tuy nươ ế ế 10
4.2. Quy t c tính o h mắ đạ à 10
4.2.1. o h m c a m t s h m th ng g pĐạ à ủ ộ ố à ườ ặ 10
4.2.2. o h m c a t ng, hi u, tích, th ngĐạ à ủ ổ ệ ươ 11
5. H TH NG BÀI T PỆ Ố Ậ 11
5.1. D ng 1: Vi t ph ng trình ti p tuy n v i th (C) c a h m s y = f(x) t i ạ ế ươ ế ế ớ đồ ị ủ à ố ạ
i m đ ể 11
M(x0 ; y0 ) 11
5.1.1. Ph ng pháp:ươ 11
5.1.2: Ví dụ 11
5.1.3: B i t p v n d ngà ậ ậ ụ 16
5.2. D ng 2: Vi t ph ng trình ti p tuy n v i th (C) c a h m s y = f(x) t i ạ ế ươ ế ế ớ đồ ị ủ à ố ạ
i m có ho nh x0đ ể à độ 16
5.2.1. Ph ng pháp:ươ 16
5.2.2. Ví dụ 16
5.2.3. B i t p v n d ngà ậ ậ ụ 22
5.3. D ng 3: Vi t ph ng trình ti p tuy n v i th (C) c a h m s y = f(x) t i ạ ế ươ ế ế ớ đồ ị ủ à ố ạ
i m có tung y0.đ ể độ 24
5.3.1. Ph ng pháp:ươ 24
5.3.2. Ví dụ 24
5.3.3.B i t p áp d ngà ậ ụ 31
5.4.D ng 4: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a th h m s y = f(x), bi t h s góc ạ ế ươ ế ế ủ đồ ị à ố ế ệ ố
c a ti p tuy n l kủ ế ế à 32

5.4.1.Ph ng pháp:ươ 32
5.4.2. Ví d ụ 32
5.4.3.B i t p v n d ngà ậ ậ ụ 36
5.5. D ng 5: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a th h m s y = f(x), bi t ti p ạ ế ươ ế ế ủ đồ ị à ố ế ế
tuy n song song v i ng th ng ế ớ đườ ẳ 36
5.5.1. Ph ng pháp:ươ 37
5.5.2. Ví dụ 37
5.5.3.B i t p v n d ngà ậ ậ ụ 42
Tổ Toán – Tin
4
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

5.6.D ng 6: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a th h m s y = f(x), bi t ti p tuy nạ ế ươ ế ế ủ đồ ị à ố ế ế ế
vuông góc v i ng th ng ớ đườ ẳ 43
5.6.1.Ph ng pháp:ươ 43
5.6.2. Ví dụ 43
5.6.3.B i tâp v n d ngà ậ ụ 47
6. K T LU NẾ Ậ 49
Khi nghiên c u ph ng pháp gi ng d y toán h c ch ng trình ph thông trung ứ ướ ả ạ ọ ở ươ ổ
h c, chúng ta c n th y rõ vai trò c a nh ng ng i l m công tác giáo d c, nh t l ọ ầ ấ ủ ữ ườ à ụ ấ à
nh ng ng i tr c ti p h ng d n các em, không nh ng n m v ng m t cách có h ữ ườ ự ế ướ ẫ ữ ắ ữ ộ ệ
th ng m còn bi t v n d ng x lý nh ng v n t ra trên tinh th n h c i ố à ế ậ ụ để ử ữ ấ đề đặ ầ ọ đ
ôi v i h nh, lý lu n g n li n v i th c ti n i s ng. Do ó, chúng ta ph i th y đ ớ à ậ ắ ề ớ ự ễ đờ ố đ ả ấ
rõ vai trò, trách nhi m c a mình i v i th h tr , nh m o t o các em theo ệ ủ đố ớ ế ệ ẻ ằ đà ạ
m t h ng m i cho phù h p v i i u ki n hi n t i. khi các em r i kh i gh ộ ướ ớ ợ ớ đ ề ệ ệ ạ Để ờ ỏ ế
nh tr ng có th trình h c ti p ho c mang theo mình nh ng ki n th c à ườ ể đủ độ ọ ế ặ ữ ế ứ
c b n giúp mình giúp i.ơ ả để đờ 49
7. TÀI LI U THAM KH OỆ Ả 50
Sách giáo khoa l p 11 - 12.ớ 50
Sách b i t p l p11- 12.à ậ ớ 50

T i li u chu n ki n th c, k n ng l p 11- 12.à ệ ẩ ế ứ ĩ ă ớ 50
T i li u h ng d n ôn thi t t nghi pà ệ ướ ẫ ố ệ 50
Tuy n t p các thi t t nghi p THPTể ậ đề ố ệ 50
Tuy n t p các thi h c ki l p 12 c a t nh ng Nai ể ậ đề ọ ớ ủ ỉ Đồ 50
Tuy n ch n v gi i thi u thi i h c, cao ng Toán h c n m 2002 – 2007 ể ọ à ớ ệ đề đạ ọ đẳ ọ ă
c a tác gi : ng Thanh H i, Tr n Tuy t Thanh, Ho ng Xuân Vinh.ủ ả Đặ ả ầ ế à 50
Tuy n t p các chuyên luy n thi i h c môn Toán ph n H m S c a tác gi ể ậ đề ệ đạ ọ ầ à ố ủ ả
Tr n Ph ngầ ươ 50
8. PHỤ LỤC 51
Tổ Toán – Tin
5
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

MỞ ĐẦU
1. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1.4.Lý do chọn đề tài.
Chúng ta biết rằng: dạy học toán là dạy cho người học có năng lực trí tuệ, năng lực này
sẽ giúp họ học tập và tiếp thu các kiến thức về tự nhiên xã hội một cách hợp lý và khoa
học hơn. Vì vậy dạy học toán không đơn thuần là dạy cho học sinh nắm được kiến thức,
những định lý toán học. Điều quan trọng là dạy cho học sinh năng lực trí tuệ mà năng lực
này sẽ được hình thành và phát triển trong quá trình học tập. Vì vậy cần bồi dưỡng và phát
triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh.
Trong những năm gần đây việc đổi mới phương pháp dạy học và cải cách sách giáo
khoa là vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo những con người có năng lực hoạt động
trí tuệ tốt. Đổi mới phương pháp dạy học và cải cách sách giáo khoa không chỉ trong các
bài giảng lý thuyết, mà ngay cả trong những giờ luyện tập. Luyện tập ngoài việc rèn luyện
kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận cần giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến
thức đã học, sắp xếp các kiến thức theo một hệ thống.
Sau khi được về công tác tại trường THPT Kiệm Tân, với đối tượng học sinh khoảng
60% đến 80% là học sinh yếu và trung bình. Do đó việc nghiên cứu để đưa ra phương

pháp giảng dạy thích hợp cho từng bài, từng chương trong giáo trình của toán học THPT
phù hợp với hiện tại và tương lai là vấn đề quan trọng được nhiều người quan tâm.
Có thể nói bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là bài toán cơ bản và
thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học, cao đẳng trong những
năm gần đây, thế nhưng không ít học sinh còn lúng túng, không có cái nhìn thấu đáo về
bài toán này, các em thường không nhận dạng được bài toán và chưa có phương pháp giải
toán cho từng dạng toán cũng như khả năng phân tích. Đối với học sinh yếu, trung bình thì
khả năng nhận dạng, phương pháp giải và phân tích bài toán về tiếp tuyến lại càng khó
khăn hơn. Đứng trước tình hình đó, việc nghiên cứu và đưa ra phương pháp thích hợp với
đối tượng học sinh yếu, trung bình là rất quan trọng và cần thiết. Đó là lí do giúp tôi mạnh
dạn viết chuyên đề này.
Tổ Toán – Tin
6
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

1.5.Tên đề tài:
“Hướng dẫn học sinh yếu, trung bình viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số”
2. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
2.1.Khảo sát điều tra
Khảo sát ở các lớp:
11C
9
(năm 2013 - 2014).
12S
5
; 12S
8
(năm 2013 - 2014)
* Giới thiệu hiện trạng khi chưa thực hiện đề tài:
Trong mỗi năm học khi dạy Học sinh bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số, tôi thường cho Học sinh làm một số bài tập theo từng chuyên đề ( kiểm tra 15 phút ) để
đánh giá mức độ nắm vững kiến thức và kỹ năng làm bài tập
Tôi thường cho Học sinh làm một số bài tập sau:
Ví dụ 1:
Cho hàm số
3
2y x x= +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
A(-1; -3).
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
4 4y x x= − +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị (C) tại điểm có tung độ bằng 1.
Ví dụ 3: Cho hàm số
3 2
1
2 1
3
y x x x= + + −
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 2
Trước khi áp dụng chuyên đề:
Số TT
Khảo sát
tại
Năm Số HS Điểm đạt được
0
→
< 5 5

→
< 7 7
→
< 10
1 11C
9
2014 41 77% 19% 4%
2 12S
5
2013 34 65% 30% 5%
3 12S
8
2013 36 73% 22% 5%
Khi khảo sát ở các lớp khác nhau với những đối tượng khác nhau, tôi nhận thấy một số đặc
điểm chung như sau:
Tổ Toán – Tin
7
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

• Nhiều em không hiểu bài, không biết các làm bài tập dạng này.
• Phần lớn các em chưa làm xong bài hoặc giải sai, giải nhầm, không ra được kết quả
• Cách trình bày còn tùy tiện, không hợp lý
• Điểm khá giỏi ít, phần lớn chỉ đạt điểm trung bình hoặc yếu.
Sau khi áp dụng chuyên đề:
Số TT
Khảo sát
tại
Năm Số HS Điểm đạt được
0
→

< 5 5
→
< 7 7
→
< 10
1 11C
9
2014 41 7% 56% 37%
2 12S
5
2013 34 11% 59% 30%
3 12S
8
2013 36 22% 51% 27%
3.2.Nguyên nhân chính là do:
• Học sinh còn nhiều “ lỗ hổng ” kiến thức, kĩ năng
• Tiếp thu kiến thức, hình thành kĩ năng chậm
• Năng lực tư duy yếu
• Phương pháp học tập chưa tốt
• Thờ ơ với giờ học trên lớp, thường xuyên không làm bài tập ở nhà
3.3. Những biện pháp thực hiện
3.3.1. Việc làm của thầy
• Tạo tiền đề xuất phát
• Lấp “ lỗ hổng” kiến thức, kĩ năng
• Tổng hợp các bài tập trong các tài liệu: SGK, SBT, sách tham khảo, các đề thi tốt
nghiệp và đại học, cao đẳng hàng năm.
• Phân loại bài tập :
• Theo các dạng toán
• Theo yêu cầu đề bài
• Theo mức độ từ dễ đến khó

• Luyện tập vữa sức
• Với mỗi bài tập trước khi giải tôi đều hướng dẫn Học sinh cách phân tích yêu cầu
của đề bài, định hướng cách giải.
• Lưu ý sau khi giải bài tập
• Khắc sâu những vẫn đề trọng tâm, những điểm khác biệt
• Nhắc lại, giảng lại một số phần mà Học sinh hay nhầm, khó hiểu
• Rèn luyện kĩ năng học tập
• Mở rộng tổng quát hoá bài tập
• Kiểm tra đánh giá kiến thức, kĩ năng tính toán, kĩ năng phân tích và tư duy của học
sinh sau mỗi dạng toán
Tổ Toán – Tin
8
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

3.3.2. Việc làm của trò
• Chuẩn bị đồ dùng dạy học như: Máy tính cầm tay, thước kẻ, giấy nháp
• Tính thành thạo đạo hàm của các hàm số cơ bản như: Hàm đa thức, Hàm bậc nhất
trên bậc nhất
• Từ hàm số và đạo hàm của hàm số đó tính các giá trị của hàm số cũng như giá trị
của đạo hàm tại một điểm có hoành độ x
0
• Giải thành thạo các phương trình :

2 3 2 4 2
ax+b
ax+b=0; ax +bx+c=0; ax +bx +cx+d =0; ax +bx +c=0; =m
cx+d

• Phải nắm vững các kiến thức đã học, ôn tập và bổ sung các kiến thức còn thiếu.
• Đọc thêm tài liệu và làm các bài tập về nhà

3.4 Phạm vi thực hiện đề tài
Học sinh lớp 11- 12 ở trường THPT Kiệm Tân
3.5 Thời gian thực hiện đề tài
Từ năm 2013 – 2014
3.6 Phương pháp nghiên cứu đề tài:
Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu cơ sở lý thuyết từ đó định hướng các phương
pháp dạy học cho đúng đối tượng.
• Phương pháp khảo sát điều tra
• Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
• Phương pháp so sánh.
• Phương pháp đánh giá thử nghiệm.
4. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
4.1 Chương 5: Đạo Hàm
4.1.1. Định nghĩa và Ý nghĩa của đạo hàm
4.1.1.1. Tiếp tuyến của đường cong phẳng
Tổ Toán – Tin
9
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C). Giả
sử (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và M
0
( x
o
; f(x
o
))
thuộc đồ thị (C).
Kí hiệu M( x; y) là một điểm di chuyển trên (C).
Đường thẳng M

o
M là một cát tuyến của (C).
Nhận xét rằng khi
0
x x→
thì M(x; y) di chuyển trên
(C) tới điểm M
0
(x
o
; f(x
o
)) và ngược lại. Giả sử cát
tuyến M
o
M có vị trí giới hạn, kí hiệu là M
o
T thì M
o
T
được gọi là tiếp tuyến của (C) tại M
o
. Điểm M
o
được gọi là tiếp điểm
4.1.1.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại
( ; )
o
x a b∈

. Gọi (C) là đồ
thị của hàm số đó.
Định lí 1: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x
o
là hệ số góc của tiếp tuyến M
o
T của
(C) tại điểm M
o
(x
o
; y
o
) trong đó y
o
= f(x
o
).
4.1.1.3. Phương trình tiếp tuyến
Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M
0
(x
0
; y
0
)
là:
0 0 0
'( )( )y y y x x x− = −
trong đó

0 0
( )y f x=
Chú ý:
• x
0
: Hoành độ tiếp điểm
• y
0
= f(x
0
) : Tung độ tiếp điểm
•
0
'( )y x
: Hệ số góc của tiếp tuyến
4.2. Quy tắc tính đạo hàm
4.2.1. Đạo hàm của một số hàm thường gặp
Định lí 1: Hàm số
( , 1)
n
y x n N n= ∈ >
có đạo hàm tại mọi
x R∈
và
1
( )' .
n n
x n x
−
=

Nhận xét:
• Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: (c)’ = 0
• Đạo hàm của hàm số y = x bằng 1: (x)’ = 1
Tổ Toán – Tin
10
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

4.2.2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
4.2.2.1. Định lí
Định lí 2: Hàm số
y x=
có đạo hàm tại mọi x dương và
1
( )'
2
x
x
=
Định lí 3: Giả sử u = u(x) , v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác
định. Ta có
•
( )' ' 'u v u v+ = +
•
( )' ' 'u v u v− = −
•
( . )' '. . 'u v u v u v= +
•
2
' . '
( )'

u u v u v
v
v
−
=
4.2.2.2. Hệ quả
Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì
( . )' . 'k u k u=
Hệ quả 2:
2
1 '
( )' ( ( ) 0)
v
v v x
v
v
= − = ≠
Chú ý: Cho hàm số
ax+b
y=
cx+d
xác định trên
\
d
R
c
 
 
 
−

. Đạo hàm
2
. .
'
( )
a d cb
y
cx d
−
=
+
5. HỆ THỐNG BÀI TẬP
5.1. Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm
M(x
0
; y
0
)
5.1.1. Phương pháp:
• Tính đạo hàm y’
• Tính đạo hàm
0
'
( )x
y
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):
0
'
0 0
( )

( )
x
y y y x x− = −
5.1.2: Ví dụ
Ví Dụ 1: Cho hàm số
3
3 2y x x
= − +
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại
điểm A(2 ; 4)
(Kỳ thi tốt nghiệp THPT hệ bổ túc trung học phổ thông năm 2007)
Giải
Tổ Toán – Tin
11
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

Đạo hàm:
2
' 3 3y x
= −
' 2
(2)
3.(2) 3 9y
⇒ = − =
⇒
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là :
0
'
0 0
( )

( ) 4 9( 2) 9 14
x
y y y x x y x y x
− = − ⇒ − = − ⇔ = −
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A (2; 4) là: y = 9x - 14
Những lỗi sai học sinh thường gặp Cách khắc phục
* Không nhớ phương trình tiếp * Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):

0
'
0 0
( )
( )
x
y y y x x− = −
* Không xác định được đề bài cho
yếu tố nào và chưa cho yếu tố nào
trong phương trình tiếp tuyến
* Sơ đồ:
* Tính đạo hàm sai
* Công thức:
1
( . )' . .
n n
c x c n x
−
=
Chú ý:
( )' 1
( )' 0

x
c
=
=
Tính sai
'
(2)
y
do:
* Thế x
0
vào hàm số y = f(x)
* Tính toán sai sau khi thế x
0
vào đạo
hàm y’
* Nhấn mạnh yếu tố cần tính liên quan tới đạo
hàm y’ chứ không liên quan tới hàm số y = f(x), cụ
thể hơn là tính
'
(2)
y
* Yêu cầu học sinh tính toán cẩn thận.
Để tránh lỗi sai tính toán sau khi thế x
0
vào đạo
hàm y’ ta có thể dùng máy tính bỏ túi như sau:
(máy tính fx 570 ES, fx 570ES plus…)
* Bấm liên tiếp (Chú ý viết chữ màu đỏ bấm
ALPHA)

* Phân vân cách trình bày bài toán * Trình bày như phần lời giải.
* Biến đổi phương trình tiếp tuyến
sau khi thế các giá trị x
0
; y
0
;
0
'
( )x
y
sai.
* Hướng dẫn cách biến đổi.
Tóm lại: Sau ví dụ 1 Học sinh cần nắm những điều như sau
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:
0
'
0 0
( )
( )
x
y y y x x− = −
Tổ Toán – Tin
12
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

• Dựa vào tiếp điểm biết được đâu là hoành độ tiếp điểm x
0
, đâu là tung độ tiếp điểm
y

0
, từ đó suy ra yếu tố cần tìm
0
'
( )x
y
trong phương trình tiếp tuyến
• Biết tính
0
'
( )x
y
bằng cách thế x
0
vào đạo hàm y’, cũng như biết tính
0
'
( )x
y
bằng máy
tính bỏ túi.
• Học sinh hiểu và nắm được để viết được phương trình tiếp tuyến cần tìm những yếu
tố x
0
; y
0
;
0
'
( )x

y
• Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sau khi đã biết các yếu tố x
0
;
y
0
;
0
'
( )x
y
• Biết tính toán thu gọn phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sau khi đã thế các
giá trị x
0
; y
0
;
0
'
( )x
y
vào phương trình:
0
'
0 0
( )
( )
x
y y y x x− = −
Ví Dụ 2: Cho hàm số

4 2
1
2
4
y x x= −
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến với đồ thị (C) tại điểm
7
( 1; )
4
A
−
−
Giải:
Đạo hàm
3
' 4y x x= −
⇒
' 3
( 1)
( 1) 4( 1) 3y
−
= − − − =
⇒
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:
0
'
0 0
( )
7 5

( ) 3.( 1) 3
4 4
x
y y y x x y x y x
− = − ⇒ + = + ⇔ = +
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
7
( 1; )
4
A
−
−
là:
5
3
4
y x
= +
Những lỗi sai học sinh thường gặp Cách khắc phục
* Một số Học sinh còn nhầm lẫn x
0
* Nhấn mạnh cho Học sinh biết đâu là x
0
; y
0
dựa
Tổ Toán – Tin
13
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

với y
0
khi dựa vào tọa độ tiếp điểm vào sơ đồ sau:
* Tính đạo hàm sai
* Công thức:
1
( . )' . .
n n
c x c n x
−
=
Tính sai
'
( 1)
y
−
do:
* Do thế x
0
vào hàm số y = f(x)
* Do thế x
0
vào đạo hàm không đóng
ngoặc.
* Nhấn mạnh yếu tố cần tính liên quan tới đạo hàm
y’ chứ không liên quan tới hàm số y = f(x), cụ thể
hơn là tính
'
( 1)
y

−
( Có nghĩa là thế x = -1 vào đạo hàm y’)
* Nhấn mạnh khi thế x
0
đã biết vào đạo hàm y’ thì
phải đóng ngoặc nhất là khi x
0
nhận giá trị âm
Để tránh lỗi sai khi thế số ta có thể dùng máy tính
bỏ túi như sau:
Bấm liên tiếp:
* Thế các giá trị x
0
; y
0
; và
0
'
( )x
y
vào
phương trình tiếp tuyến sai do các
giá trị trên nhận giá trị âm.
* Dựa vào sơ đồ chỉ ra lỗi sai khi thế các giá trị x
0
;
y
0
; và
0

'
( )x
y
* Tính toán thu gọn phương trình
tiếp tuyến của hàm số sau khi thế các
gí trị x
0
; y
0
;
0
'
( )x
y
bị sai.
* Hướng dẫn cách nhân và làm gọn.
Tóm lại: Sau ví dụ 2 Học sinh cần nắm được những điều sau:
• Dựa vào đề bài biết được bài toán đã cho biết hoành độ tiếp điểm x
0
và tung độ tiếp
điểm y
0
, từ đó suy ra giá trị cần tìm là
0
'
( )x
y
• Nắm vững và tính thành thạo đạo hàm của các hàm đa thức đơn giản
Tổ Toán – Tin
14

Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

• Tính thành thạo giá trị của đạo hàm tại x
0
bằng cách thế x
0
vào đạo hàm y’, cũng
như tính bằng máy tính bỏ túi.
• Lưu ý khi thế x
0
vào đạo hàm y’ phải đóng ngoặc nhất là khi x
0
mang giá trị âm
• Thành thạo trong việc tính toán thu gọn phương trình tiếp tuyến của hàm số sau đã
khi thế các giá trị x
0
; y
0
;
0
'
( )x
y
.
Ví Dụ 3: Cho hàm số
3 4
2 3
x
y
x

+
=
−
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến với đồ thị (C) tại điểm M( 1; -7 ).
( Kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2007 - Hệ bổ túc trung học phổ thông)
Giải
Tập xác định:
3
\
2
D R
 
 
 
=
Đạo hàm
2
17
'
(2 3)
y
x
−
=
−
'
(1)
2
17

17
(2.1 3)
y
−
⇒ = = −
−
⇒
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:
0
'
0 ( ) 0
( ) 7 17.( 1) 17 10
x
y y y x x y x y x
− = − ⇒ + = − − ⇔ = − +
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:
17 10y x
= − +
Những lỗi sai học sinh thường gặp Cách khắc phục
* Tính sai đạo hàm y’
* Công thức:
2
' . '
( )'
u u v u v
v
v
−
=
Chú ý: Cho hàm số

ax+b
y=
cx+d
xác định trên
\
d
R
c
 
 
 
−
. Đạo hàm
2
. .
'
( )
a d cb
y
cx d
−
=
+
* Tính sai
'
(1)
y
* Hướng dẫn học sinh tính
'
(1)

y
bằng máy tính bỏ
túi
Tóm lại: Sau ví dụ 3: Học sinh cần nắm được những điều sau
• Nắm vững và tính thành thạo đạo hàm của hàm số
ax+b
y=
cx+d
dựa vào công thức
2
' . '
( )'
u u v u v
v
v
−
=
Tổ Toán – Tin
15
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

• Biết tính thành thạo đạo hàm của hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
dựa vào công thức
2

. .
'
( )
a d cb
y
cx d
−
=
+
• Nắm vững các cách tính giá trị của đạo hàm tại hoành độ tiếp điểm x
0
• Nắm vững một số kỹ năng viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một
điểm.
5.1.3: Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số
3 2
6 9y x x x= − +
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp
với đồ thị (C) tại điểm A(2; 2).
Bài 2: Cho hàm số
3 2
2 9 12 4y x x x= − + −
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình
với đồ thị (C) tại điểm M (-1; -27).
Bài 3: Cho hàm số
4 2
2 3y x x= − −
. gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến với đồ thị (C) tại điểm (1; - 4). ( Đề kiểm tra học kỳ 2 lớp 12 năm 2011 - 2012 )
Bài 4: Cho hàm số

4 2
8 10y x x= − +
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến với đồ thị (C) tại điểm N(0 ; 10).
Bài 5: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thi (C) tại
điểm A(2 ; 3)
( Kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2008 lần 2 - Hệ bổ túc trung học phổ thông)
Bài 6: Cho hàm số
2
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
điểm A(0 ; 2)
Bài 7: Cho hàm số
2
1

2 1
y x
x
= + −
−
, gọi đồ thị của hàm số là (H). Viết phương trình tiếp
tuyến với đồ thị (H) tại điểm A(0; 3).
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2007 – Hệ trung học phổ thông không phân ban )
5.2. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm có
hoành độ x
0
5.2.1. Phương pháp:
• Tính đạo hàm y’
• Tính y
0
• Tính đạo hàm
0
'
( )x
y
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):
0
'
0 0
( )
( )
x
y y y x x− = −
5.2.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hàm số

3 2
3 1y x x= − +
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là 3.
Tổ Toán – Tin
16
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

( Kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2008 - Hệ bổ túc trung học phổ thông)
Giải
Đạo hàm :
2
' 3 6y x x= −
* Với x
0
= 3
Ta có:
3 2
0
3 3.3 1 1y = − + =
;
' 2
(3)
3.3 6.3 9y = − =
⇒
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:
0
'
0 0
( )

( ) 1 9( 3) 9 26
x
y y y x x y x y x
− = − ⇒ − = − ⇔ = −
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:
9 26y x= −
Những lỗi sai học sinh thường gặp Cách khắc phục
* Một số Học sinh do chưa để ý nên
băn khoăn, nhầm lẫn hoành độ tiếp
điểm x
0
với y
0
và
0
'
( )x
y
* Sơ đồ:
Nhấn mạnh cho học sinh biết:
• x
0
: Hoành độ tiếp điểm
• y
0
= f(x
0
) : Tung độ tiếp điểm
•
0

'
( )x
y
: Hệ số góc của tiếp tuyến
Từ đó dựa vào đề bài suy ra yếu tố đã biết và yếu
tố cần tính.
* Không biết tính giá trị y
0
như thế
nào.
* Nhấn mạnh cho Học sinh biết:
• y
0
chính là y thay vì
3 2
3 1y x x= − +
được viết theo x thì y
0
được viết
theo x
0
.
•
3 2
0 0 0
3 1y x x= − +
* Tính y
0
sai * Hướng dẫn Học sinh tính y
0

dựa vào máy tính
bỏ túi như sau:
Tóm lại: Sau ví dụ 1 Học sinh cần nắm được yếu tố sau:
• Hiểu được mối liên hệ giữa y
0
và x
0
từ đó có thể hiểu được ký hiệu
0
'
( )x
y
.
• Tính được được y
0
bằng cách thế vào hàm số cũng như dựa vào máy tính bỏ túi.
Tổ Toán – Tin
17
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

• Nắm được tên gọi và ký hiệu của các giá trị x
0
; y
0
và
0
'
( )x
y
.

• Nắm được các kỹ năng viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Ví dụ 2: Cho hàm số
4 2
2y x x= −
.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
có hoành độ
2x
= −
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008 – Hệ trung học phổ thông không phân ban)
Giải:
Đạo hàm
3
' 4 4y x x= −
* Với
0 0
2; 8x y= − =
;
'
( 2)
24y
−
= −
⇒
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:
0
'
0 0
( )
( ) 8 24( 2) 24 40
x

y y y x x y x y x
− = − ⇒ − = − + ⇔ = − +
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị là:
24 40y x= − +
Những lỗi sai học sinh thường gặp Cách khắc phục
* Tính sai giá trị y
0
* Hướng dẫn tính y
0
bằng máy tính bỏ túi
* Tính sai giá trị
0
'
( )x
y
* Hướng dẫn tính
0
'
( )x
y
bằng máy tính bỏ túi
Tóm lại: Sau ví dụ 2 Học sinh cần nắm được những yếu tố sau
• Tính thành thạo đạo hàm của hàm số đa thức
• Nắm được kỹ năng tính các giá trị y
0
và
0
'
( )x
y

bằng máy tính bỏ túi
• Nắm vững được kỹ năng viết phương trình tiếp tuyến.
Ví dụ 3: Cho hàm số
1
2 2
x
y
x
−
=
+
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = -3.
( Đề thi học kì 1 lớp 12 năm 2009 – 2010 )
Tổ Toán – Tin
18
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

Giải:
Tập xác định:
{ }
\ 1D R= −
Đạo hàm
2
4
'
(2 2)
y
x
=

+
* Với
'
0 0
( 3)
1
3; y 1; y
4
x
−
= − = =
⇒
Phương trình tiếp của đồ thị (C) là:
0
'
0 0
( )
1 1 7
( ) 1 ( 3)
4 4 4
x
y y y x x y x y x
− = − ⇒ − = + ⇔ = +
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:
1 7
4 4
y x= +
Những lỗi sai học sinh thường gặp Cách khắc phục
* Tính đạo hàm sai
* Cho hàm số

ax b
y
cx d
+
=
+
xác định trên
\
d
R
c
 
 
 
−
.
Đạo hàm
2
. .
'
( )
a d cb
y
cx d
−
=
+
* Tính sai giá trị y
0
* Hướng dẫn tính y

0
bằng máy tính bỏ túi
* Tính sai giá trị
0
'
( )x
y
* Hướng dẫn tính
0
'
( )x
y
bằng máy tính bỏ túi
Tóm lại: Sau ví dụ trên học sinh cần nắm được những yếu tố sau
• Nắm vững kỹ năng tính đạo hàm của hàm số
ax+b
y=
cx+d
• Đạo hàm của hàm số
ax+b
y=
cx+d
là
2
. .
'
( )
a d cb
y
cx d

−
=
+
• Nắm vững được kỹ năng và kỹ sảo tính các giá trị y
0
và
0
'
( )x
y
• Nắm vững được kỹ năng viết phương trình tiếp của hàm số khi biết hoành độ tiếp
điểm x
0
Ví dụ 4: Cho hàm số
3 2
2 9 12 6y x x x= + + +
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương
trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 0
( Đề thi học kì 1 lớp 12 năm 2008 – 2009 )
Giải:
Tổ Toán – Tin
19
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

Đạo hàm:
2
' 6 18 12y x x= + +
* Với
'
0 0

(0)
0; y 6; y 12x = = =
⇒
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:
0
'
0 0
( )
( ) 6 12( 0) 12 6
x
y y y x x y x y x
− = − ⇒ − = − ⇔ = +
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:
12 6y x= +
Ví dụ 5: Cho hàm số
3
2 6 3y x x= − −
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011 – Hệ giáo dục thường xuyên )
Giải:
Đạo hàm
2
' 6 6y x= −
Ta có :
'
0 0
(0)
0; y 3; y 6x = = − = −
⇒

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:
0
'
0 0
( )
( ) 3 6( 0) 6 3
x
y y y x x y x y x
− = − ⇒ + = − − ⇔ = − −
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:
6 3y x= − −
Những lỗi sai học sinh thường gặp Cách khắc phục
* Học sinh không hiểu hoặc hiểu một
cách mơ hồ về giao điểm của đồ thị
(C) và trục trung.
* Học sinh không biết đề bài cho yếu
tố nào trong các yếu tố x
0
; y
0
;
0
'
( )x
y
.
Hình vẽ ( Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa )
* Yêu cầu học sinh đọc tọa độ điểm A dựa trên
hình vẽ, nêu cách xác định tọa độ điểm trên mặt
phẳng toa độ.

* Dựa vào hình vẽ yêu cầu học sinh đọc tọa độ các
điểm B, C, D nằm trên trục tung.
Tổ Toán – Tin
20
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

* Dựa vào các điểm B, C, D yêu cầu học sinh phát
hiện ra quy luật của các điểm nằm trên trục tung
đều có hoành độ là 0.
* Điểm M là giao điểm của đồ thị (C) và trục tung
cũng chính là tọa độ tiếp điểm
* Điểm M nằm trên trục tung nên hoành độ của
điểm M là 0
* Liên hệ ví dụ 5 với ví dụ 4: Ví dụ 5 thực chất là
viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
có hoành độ là 0.
* Học sinh định hình lại bài toán từ đó suy ra cách
làm giống như ví dụ 4.
Tóm lại: Sau ví dụ 4 – 5 học sinh cần nắm được yếu tố sau
• Hiểu thế nào là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung
• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung đều có hoành độ là 0
• Bài toán “ Viết phương trình tiếp của đồ thị tại giao điểm của đồ thị với trục tung ”
chính là bài toán “ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành
độ là 0 ”.
• Thành thạo bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có
hoành độ là x
0
.
• Liên hệ các bài toán ở dạng 1 với các bài toán ở dạng 2 đều là viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm khi đã có hoành độ tiếp điểm x

0
.
Ví dụ 6: Cho hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp tuyến
với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
( Đề thi tốt nghiệp THPT lần 2 năm 2007 – Hệ trung học phổ thông phân ban )
Giải
Tổ Toán – Tin
21
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

Tập xác định :
{ }
\ 2D R= −
Đạo hàm:
2
3
'
( 2)
y
x
=

+
Ta có:
'
0 0
(0)
1 3
0; y ; y
2 4
x
−
= = =
⇒
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:
0
'
0 0
( )
1 3 3 1
( ) ( 0)
2 4 4 2
x
y y y x x y x y x
− = − ⇒ + = − ⇔ = −
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:
3 1
4 2
y x= −
Những lỗi sai học sinh thường gặp Cách khắc phục
* Tính đạo hàm sai
Công thức:

2
. .
'
( )
a d cb
y
cx d
−
=
+
Tóm lại: Sau ví dụ 6 học sinh cần nắm được yếu tố sau
• Hiểu rõ đề bài và hiểu giao điểm của đồ thị hàm số nào với trục tung đều có hoành
độ là 0
• Hiểu rõ bài toán “ Viết phương trình tiếp của đồ thị tại giao điểm của đồ thị với trục
tung ” chính là bài toán “ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có
hoành độ là 0 ”.
• Thành thạo kỹ năng tính đạo hàm của hàm số bậc nhất trên bậc nhất
• Thành thạo các kỹ năng tính các giá trị y
0
và
0
'
( )x
y
bằng máy tính cũng như thế x
0
trực tiếp vào y
0
và
0

'
( )x
y
.
• Thành thạo các kỹ năng viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có
hoành độ là x
0
.
5.2.3. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − +
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là x = 1.
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2004 – Hệ bổ túc trung học phổ thông )
Tổ Toán – Tin
22
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

Bài 2: Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= − + +
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2013 – Hệ giáo dục thường xuyên )
Bài 3: Cho hàm số
3 2
6 12 6y x x x= − + −
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình
tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = - 2.

( Đề kiểm tra học kì 1 lớp 12 năm học 2012 - 2013)
Bài 4: Cho hàm số
3 2
4 1y x x= + −
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = - 1.
( Sách Đại Số và Giải Tích lớp 11 trang 176 )
Bài 5: Cho hàm số
4 2
6 1y x x= − +
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 1.
Bài 6: Cho hàm số
3 1
2
x
y
x
+
=
+
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp tuyến
với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = -1.
( Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010 – Hệ giáo dục trung học phổ thông )
Bài 7: Cho hàm số
3 2
1
2 1
3
y x x x= − − + +

, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình
tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
Bài 8: Cho hàm số
3 2
5
2
1
1
3
y x x x= − + −
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình
tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
Bài 9: Cho hàm số
4 2
1 3
3
4 2
y x x
−
= − +
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
Bài 10: Cho hàm số
4 2
3 1
1
4 2
y x x= − +
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.

Bài 11: Cho hàm số
3
1
x
y
x
−
=
+
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp tuyến
với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
Tổ Toán – Tin
23
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

Bài 12: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=
+
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp tuyến
với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
5.3. Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm có
tung độ y
0
.

5.3.1. Phương pháp:
• Tính đạo hàm y’
• Giải phương trình
0 0
( )y f x=
để tìm hoành độ tiếp điểm x
0
• Với mỗi giá trị x
0
tìm được đi tính đạo hàm
0
'
( )x
y
• Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) :
0
'
0 0
( )
( )
x
y y y x x− = −
5.3.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hàm số
3
3 1y x x= − +
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ là -1.
Giải:
Đạo hàm

2
' 3 3y x= −
Gọi x
o
là hoành độ tiếp điểm
Ta có
3 3
0
0 0 0 0 0
0
1
1 3 1 1 3 2 0
2
x
y x x x x
x




=
= − ⇔ − + = − ⇔ − + = ⇔
= −
* Với
'
0
(1)
1 0x y= ⇒ =
⇒
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:

0
'
0 0
( )
( ) 1 0( 1) 1
x
y y y x x y x y
− = − ⇒ + = − ⇔ = −
* Với
'
0
( 2)
2 9x y
−
= − ⇒ =
⇒
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:
0
'
0 0
( )
( ) 1 9( 2) 9 17
x
y y y x x y x y x
− = − ⇒ + = + ⇔ = +
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là
1y = −
hoặc
9 17y x= +
Những lỗi sai học sinh thường gặp Cách khắc phục

* Học sinh hiểu nhầm đề bài cho x
0

thay vì y
0
Sơ đồ:
Tổ Toán – Tin
24
Trường THPT Kiệm Tân Sáng kiến kinh nghiệm

* Không nhớ ký hiệu y
0
được viết theo
x
0
như thế nào ?
* Ký hiệu y
0
chính là y thay vì
3
3 1y x x
= − +
viết
theo x thì y
0
được viết theo x
0
nên
3
0 0 0

3 1y x x= − +
* Biến đổi đưa về phương trình bậc 3
sai.
* Biến đổi:
3 3
0 0 0 0 0
3
0 0
1 3 1 1 3 1 1 0
3 2 0
y x x x x
x x
= − ⇔ − + =− ⇔ − + + =
⇔ − + =
* Giải phương trình
3
0 0
3 2 0x x− + =
sai
* Hướng dẫn giải phương trình bằng máy tính bỏ
túi:

* Phân vân về cách trình bày bài toán * Trình bày như phần lời giải ở trên
Tóm lại: Sau ví dụ 1 Học sinh cần năm được yếu tố sau
• Đọc và hiểu được đề bài cho biết yếu tố nào trong phương trình tiếp tuyến
• Hiểu rõ ký ký hiệu tung độ tiếp điểm y
0
và mối liên hệ giữa y
0
và hoành độ tiếp

điểm x
0
• Nắm rõ các kỹ năng biến đổi phương trình
• Giải thành thạo phương trình bậc ba bằng máy tính bỏ túi
• Nắm được cách trình bày bài toán sau khi tìm được hoành độ tiếp điểm x
0
• Thành thạo kỹ năng viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi đã biết hoành
độ tiếp điểm.
• Nắm được số lượng phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) phụ thuộc vào số nghiệm
x
0
của phương trình. (Có bao nhiêu nghiệm x
0
thì có bấy nhiêu phương trình tiếp
tuyến với đồ thị (C))
Ví dụ 2: Cho hàm số:
4 2
1 1
1
4 2
y x x= + +
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình
tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ bằng
4
7
.
(Bài tập 7 trang 44 Sách Giải Tích 12)
Giải
Đạo hàm
3

'y x x= +
Tổ Toán – Tin
25