Về nhóm các phép dời

Lời nói đầu
Trong chơng trình học phần Đại số đại cơng ở năm thứ hai, chúng tôi
đã đợc học một số kiến thức cơ bản về Lý thuyết nhóm. Chúng tôi nhận thấy
rằng Lý thuyết nhóm là một khái niệm rất quan trọng, nó đợc ứng dụng rộng
rãi trong số học, đại số, hình học ,... và các khoa học khác. Do đó chúng tôi
thấy cần phải học lại và học thêm về Lý thuyết nhóm để vừa mở rộng thêm
kiến thức vừa học thêm phơng pháp t duy đại số.
Khoá luận của chúng tôi là sự ôn tập lại kiến thức về nhóm ở năm thứ hai,
học tập thêm kiến thức mới về Lý thuyết nhóm, vận dụng những kiến thức để
chứng minh một số mệnh đề mà ở sách giáo khoa ( Đại số đại cơng Hoàng
Xuân Sính) cha đề cập hoặc cha chứng minh. Đồng thời chúng tôi cũng cố gắng
vận dụng các kiến thức để soi sáng một số vấn đề của các môn học khác.
Khoá luận gồm 2 chơng: Chơng 1. Một số khái niệm cơ bản về nhóm.
Trong chơng này trình bày một số khái niệm cơ bản về nhóm cần cho chơng
sau, giải một số bài tập về nhóm. Chơng 2. Nhóm các phép dời. Trong chơng
này trình bày các khái niệm cơ bản về phép dời trong hình học, tích các phép
dời. Vận dụng các hiểu biết về nhóm để nghiên cứu cấu trúc nhóm của tập các
phép dời.
Vì năng lực và thời gian có hạn, nên những kết quả mà chúng tôi thu đợc chỉ mới là bớc đầu. Còn một số vấn đề chúng tôi rất hứng thú về nhóm các
phép dời. Nhất là nhóm các phép dời trong không gian mà chúng tôi cha thể
nghiên cứu đầy đủ. Chúng tôi hy vọng sẽ có thể thu đợc nhiều kết quả nếu còn
đợc tiếp tục. Chắc rằng khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi
rất mong nhận đợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn.
Để hoàn thành khoá luận này tôi xin chân thành cảm ơn :
- PGS. TS Nguyễn Quý Dy Khoa Toán - Đại học Vinh.
- Các thầy cô giáo trong Khoa Toán trờng Đại học Vinh.
- Gia đình và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn
thành khoá luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Vinh, tháng 04 năm 2003
Ngời thực hiện

Phùng Thị Tình

Mục lục


2

Trang
Lời nói đầu
Chơng I: Một số khái niệm cơ bản về nhóm.

3

Đ1. Nhóm và nhóm con.

3

Đ2. Đồng cấu nhóm.

11

Đ3. Nhóm con sinh bởi một tập hợp và nhóm chuẩn tắc.

15

Đ4.Nhóm hữu hạn.

21

Chơng II : Nhóm phép dời.

24

Đ1. Các khái niệm về phép dời.

24

Đ2. Phép dời trên một đờng thẳng.

27

Đ3. Phép dời trong một mặt phẳng.

28

Đ4. Phép dời trong không gian và nhóm phép dời của một hình.

32

Kết luận.

35

Phụ lục: Mô tả cấu trúc đại số của S4 .

36

Tài liệu tham khảo

39


3

Chơng I

Một số khái niệm cơ bản về nhóm
Đ1.Nhóm và nhóm con.
I. Nhóm.
1.1. Định nghĩa:
Tập G trên đó có phép toán hai ngôi "." đợc gọi là nhóm nếu các điều
kiện sau đợc thoả mãn:
(G1) Tập G ổn định đối với phép toán : x, y G x.y G.
(G2) Phép toán có tính chất kết hợp:
x,y,z G ( x.y).z = x.(y.z )
(G3) Có phần tử đơn vị e G sao cho: x.e = e.x = x, x G
(G4) Có phần tử nghịch đảo: x G , x, G: x.x, = x,.x = e
1.2. Nhận xét:
i) Nếu phép toán ở trên G là phép nhân thì phần tử đơn vị e, ký hiệu là e
hoặc là 1, phần tử nghịch đảo của x ký hiệu là x-1 .
ii) Nếu phép toán trên G là phép toán cộng thì phần tử đơn vị e ký hiệu
là 0 và gọi là phần tử 0, phần tử nghịch đảo của x ký hiệu là -x và gọi là phần
tử đối của x.
iii) Số phần tử của x đợc gọi là cấp của G, ký hiệu là |G| hoặc 0rd(G).
Nếu G là tập hữu hạn, |G| = n thì G đợc gọi là nhóm hữu hạn. Nếu |G| = thì
G đợc gọi là nhóm vô hạn.
iv) Nếu phép toán trên G có tính chất giao hoán, x,y G : xy = yx
thì G đợc gọi là nhóm giao hoán ( còn gọi là nhóm aben ).
Ví dụ:

1) (,+) là nhóm aben vô hạn


4

* x, y, z (x + y) + z = x + ( y + z )
( do tính chất kết hợp của phép cộng các số nguyên )
* x z x + 0 = 0 + x = x 0 là phần tử đơn vị của (,+ ) là nhóm.
* || = ( , + ) là nhóm vô hạn.
Do phép cộng các số nguyên có tính chất giao hoán.
x, y x+y = y + x ,nên (, + ) là nhóm aben



Tơng tự, ta có các ví dụ: ( Q , + ), ( R, + ), ( C, + ) là các nhóm aben đối
với các phép cộng. Với Q là tập các số hữu tỉ; R là tập các số thực; C là tập
các số phức.
2) Tập hợp Sn các phép thế của {1, 2..., n} cùng với phép nhân (hoặc
hợp thành) các phép thế là một nhóm hữu hạn, cấp n! không giao hoán với
mọi n 3.
3) Nửa nhóm các số tự nhiên N không phải là một nhóm đối với phép toán
cộng vì với mọi phần tử x N không tồn tại phần tử đối với x.
1.3.Tính chất:
Từ định nghĩa nhóm ta dễ dàng chứng minh đợc một số tính chất sau:
i) Phần tử đơn vị của G là duy nhất.
ii) Nếu (G, .) là nhóm thì với x G phần tử nghịch đảo của x là duy nhất.
iii) Nếu (G, .) là nhóm thì trong G thực hiện đợc luật giản ớc, nghĩa là
x, y, z G: xy = xz ( yx = zx ) y = z.
Ví dụ:
A, B, C GL ( n, k ): AB = AC B = C.

Thật vậy: A, B, C GL(n, k) |A| 0, |B| 0, |C| 0 ,
nên A-1, B-1, C-1 GL
Từ AB = AC nhân bên phải của đẳng thức ( ở 2 vế ) với A-1 ta có:
A-1(AB) = A-1(AC) (A-1A)B = (A-1A)C I.B = IC với I là ma trận
đơn vị của GL(n, k) B = C
iv) Trong một nhóm phơng trình xa = b ( ax = b ) có nghiệm duy nhất


5

x = ba-1 ( x = a-1b).
v) x, y G (xy)-1 = y-1x-1
Tổng quát: {xi}

i I

G, khi đó: (x1,x2...xn)-1 = xn-1 x-1n-1...x2-1 x1-1l aa =

a + , (a) = a, , .
Cấu trúc nhóm có thể có trong các tập mà các phân tử không phải là số.
Ví dụ:
1) Nhóm phép quay trong hình học, phân tử là phép quay, phép toán là sự thực
hiện liên tiếp các phép quay.
2) Nhóm các phép đối xứng, phần tử là các phép đối xứng, phép toán là sự
thực hiện liên tiếp các phép đối xứng.
3) Nhóm cộng các ma trận, phần tử là các ma trận cùng cỡ, phép toán là
phép cộng các ma trận.
4) Nhóm nhân các ma trận, phần tử là các ma trận cấp n không suy biến, phép
toán là phép nhân
các ma trận.

5) Nhóm cộng vec tơ, phần tử là các vec tơ, phép toán là phép cộng các vec tơ.
6) ở phụ lục khoá luận ta có nhóm S4 , có các phần tử là các phép thế bậc 4.
1.4. Cấp của phần tử của nhóm:
Giả sử G là một nhóm với đơn vị là e a G nếu am e với mọi m > 0 ,
thì ta nói a có cấp vô hạn. Nếu trái lại, thì số nguyên dơng nhỏ nhất m, sao cho
am = e đợc gọi là cấp của a.
1.5. Mệnh đề:
Cho (G, ) là một nhóm, a là phần tử của G, khác e sao cho a n = e. Khi
đó n chia hết cho cấp của a.
Chứng minh:
G là một nhóm với phân tử đơn vị là e, a G, a e, giả sử a có cấp là k
ak = e
Từ an = e q : n = kq + r (0 r < k ) an = akq + r = akqar =(ak)qar
= eqar = ear = ar mà an = e ar = e r = 0 n = kq, q .
Tức là: n k hay n Ord(a)


6

1.6. Mệnh đề:
Cho (G, ) là nhóm giao hoán a, b G có ( |a|, |b| ) = 1 khi đó |ab| = |a|. |b|
Chứng minh:
Giả sử a, b là hai phần tử của một nhóm có đơn vị là e. Giả sử Ord(a)=r,
Ordb = s và (r, s) = 1 do ab = ba nên ta có:
(ab)rs = arsbrs (vì ab = ba (ab)n = anbn) = (ar)s(bs)r = eser = e Ord(ab) \ rs
Giả sử: Ord(ab) = t (ab)t = e. Khi đó rs t

(1)

(ab)t = e mà ab = ba (ab)t = atbt atbt = e at = b-t

Nâng luỹ thừa hai vế của đẳng thức at = b-t lên mũ r ta đợc:
art = b-n = e ( vì ar = e ) rt s t s vì ( r, s ) = 1

(2)

Cũng từ at = b-t nâng cả 2 vế lên luỹ thừa mũ s ta đợc:
(at)s = (b-t)s = e = ar ts r t r vì (s, r) = 1

(3)

Từ (2) và (3) t rs.
Vậy (|a|, |b| ) = 1; ab=ba |ab| = |a| |b|
1.7. Mệnh đề:
Cho (G, ) là một nhóm giao hoán a, b G có cấp tơng ứng là m, n. Khi
đó, trong G tồn tại phần tử có cấp bằng bội chung bé nhất của m, n.
Chứng minh:
Giả sử nhóm G có đơn vị là e, Ord(a) = m, Ord(b) = n
Nếu (m, n) =1 thì ta luôn có |ab| = mn.
ab G có cấp là bội số chung bé nhất của m, n.
Nếu (|a|, |b|) 1 UCLN (m, n) = d (

m n
, ) =1
d d

Khi đó, trong G c G: Ord(c) là bội số chung bé nhất của m và n
II. Nhóm con:
1.8. Định nghĩa:
(G, .) là một nhóm, A là tập con khác rỗng của G. A đợc gọi là nhóm
con của G nếu A cùng với phép toán trên G lập thành một nhóm.

Có nghĩa là: (A, .) thoả mãn định nghĩa nhóm.
x, y A x.y A.


7

x, y, z A: ( x. y). z = x. (y. z ).
x A, e A: x. e = e. x = x.
x A, x-1 A: x. x-1 = x. x-1 = e.
Ví dụ:
1) GL ( n, k ) L( m, k ) nếu n m.
Thật vậy: GL ( n, k ) vì luôn luôn có G (n, k) là ma trận gồm
các phần tử bằng 0 và là phần tử đơn vị của GL (n, k)
GL (n, k) là tập con của GL (m, k).
A, B, C GL(n, k) (A+ B) + C = A + ( B + C ).
( vì phép cộng các ma trận có tính chất kết hợp ).
A GL (n, k), A-1 ma trận nghịch đảo: A.A-1 = A-1.A = I.
(GL (n, k), + ) là nhóm và (GL(n, k), + ) (GL(n, k), +), ( n m ).
2) Ta dễ dàng chứng minh đợc:
( , + ) ( Q, + ) ( R, + ) ( C, + ).
3) G là nhóm thì G có ít nhất 2 nhóm con là {e} và G gọi là 2 nhóm con tầm
thờng của G. Nếu G = {e} thì G chỉ có một nhóm con.


8

1.9. Nhận xét:
(G, ) là nhóm thì (G, ) có ít nhất 2 nhóm con, đó là nhóm {e} và G.
Nhóm chỉ có 2 nhóm con đó ngời ta gọi là nhóm đơn.
Ví dụ:

Nhóm E2 = {0, 1}với phép cộng và nhóm M ={-1, 1}với phép toán
nhân. Ta có bảng toán:
+ 0
1
.
-1 1
0
0
1
-1 1
-1
1
1
0
1
-1 1
Do tính đơn giản của bảng toán của nhóm này nên nó đợc ứngdụng
trong việc lặp đặt mạng điện. Ví dụ ta có thể lắp sơ đồ điện cho bảng toán
trên.
0 - đèn tắt ;
1 - đèn đỏ ;
Với công tắc thì : 0 là hở .
1 là kín .
1.10. Định lý ( tiêu chuẩn nhóm con):
A là một bộ phận khác rỗng của nhóm G. A là một nhóm con của G khi
và chỉ khi các điều kiện sau đây thoả mãn:
i) x, y A xy A.
ii) e A với e là phần tử đơn vị của G.
iii) x A, x-1 A.
1.11 Hệ quả:

A là tập con khác rỗng của nhóm G. Các điều kiện sau đây là tơng đơng:
i) A là một nhóm con của G .
ii) Với x, y A, xy A và x-1 A.
iii) Với x, y A, xy-1 A.
Chứng minh:
Theo định lý 1.10 ta có i) ii) và ii iii) là hiển nhiên.
Ta chứng minh iii ii)


9

Vì A nên luôn có x A theo giả thiết iii) e = x. x-1A thoả mãn
điều kiện ii) của định lý 1.10. Giả sử x, y A, vì y-1 A theo iii) có
x.(y-1)-1 = xy A thoả mãn điều kiện i) của định lý 1.10
A là nhóm con của G
Ví dụ:
m = {mx / x } (m, +) (, +).
Thật vậy: Giả sử my, mx m mx - my = m(x-y) m.
Theo điều kiện iii) của hệ quả ta có: (m, +) (, +).
1.12. Định lý:
Cho (G, ) là một nhóm A, B là các nhóm con của G. Khi đó:
AB = {ab| a A, b B}là nhóm con khi và chỉ khi AB = BA.
Chứng minh:
A G, B G, AB = {ab / aA, bB}
Giả sử: AB G abAB, a A, b B.
Khi đó: ab = c1 AB và ba = c2 BA.
Nếu: AB G a AB, b AB và a, b G ab AB G,
ba AB G, a A, b B AB = BA.
Nếu AB = BA { ab / a A, b B} = { ba / a A, b B },
x, y AB x = a1b1 ,a1 A, b1 B.

y-1 = ( a2,, b2 )-1, a2 A, b2 B xy-1 = a1b1(a2b2)-1 = a1b1b2-1a2-1
Khi đó a3 A, b3 B, (a2b2)-1 = b3a3
xy-1 = a1b1b3a3 = a1 (b1b3)a3 = a1b4a3 , với b1b3 = b4B
với b4a3 BA, a4 A và b B: b4a3 = a4b
xy-1 = a1(b1a3) = a1(a4b) = (a1a4) b = ab với a = a1a4 A
xy-1 = ab AB với a A, b B vậy: AB G
Do đó: AB G AB = BA


10

Đ2. Đồng cấu nhóm.
2.1. Định nghĩa: Cho G và G là hai nhóm bất kì, một ánh xạ f từ một nhóm
G đến một nhóm G sao cho f( ab) = f(a) f(b), a, b G.
Chú ý :
+ Trong định nghĩa 2.1 thì G và G là hai nhóm cùng với phép toán
nhân: f(ab) = f(a)f(b).
+ Nếu (G, +) và (G, .) khi đó f: G G là một đồng cấu, a, b G:
f(a+b) = f(a)f(b).
+ Nếu (G, +) và (G, +) , f: G G là một đồng cấu :
f(a+b) = f(a) + f(b) ), a, b G.
+ Nếu (G, .) và (G, +) thì f: G G là một đồng cấu :
f(ab)= f(a) + f(b), a, b G.
Nhận xét: Một ánh xạ f: G G đợc gọi là đồng cấu nhóm nếu nó bảo tồn
phép toán trên G và G.
Ví dụ: f1:(Q, .) ( R, .)
ab f1(ab) = f1(a) f1(b), a, b Q* là một đồng cấu.
f2: (, +) (R, +)
x+y f(x) + f(y), x, y b là một đồng cấu.
2.2. Định nghĩa: Cho G và G là các nhóm, f là đồng cấu từ G đến G.

+ f đợc gọi là đơn cấu nếu f là một đồng cấu và đơn ánh.
+ f đợc gọi là toàn cấu nếu f là một đồng cấu và toàn ánh.
+ f đợc gọi là đẳng cấu nếu f là một đồng cấu và song ánh , kí hiệu là G
G.
Nếu G G thì đợc gọi là tự đồng cấu. Tơng tự ta có khái niệm tự đơn
cấu, tự toàn cấu, tự đẳng cấu.
Ví dụ:
1) iG : G G


11

x x là một đẳng cấu.
2) : G G/H
x x+ H là toàn cấu, gọi là đồng cấu tự nhiên.
2.4. Tính chất của đồng cấu nhóm:
Từ định nghĩa của đồng cấu ta dễ dàng chứng minh đợc các tính chất sau:
i) ánh xạ đồng cấu bảo tồn đơn vị và nghịch ảnh.
ii) Cho ánh xạ f từ G đến G, f đẳng cấu thì f-1 : G G cũng đẳng cấu.
iii) Tích của hai dồng cấu là một đồng cấu.
2.5. Định nghĩa: Cho f từ G đến G là một đồng cấu nhóm. Các phần tử đơn
vị của G và G đợc kí hiệu thứ tự là e và e.
Ta kí hiệu: Imf = f(x)
Kerf = { x G / f(x) = e } = f-1(e).
Imf gọi là ảnh của đồng cấu f, kerf gọi là hạt nhân của đồng cấu f.
2.6. Định lý: Giả sử f: G G là một đồng cấu từ một nhóm G đến nhóm G.
Khi đó:
i) f là toàn ánh nếu và chỉ nếu Imf = G.
ii) f là một đơn cấu nếu và chi nếu kerf = {e }.
Với e là đơn vị của G và e là đơn vị của G.

Chứng minh:
i)Từ định nghĩa Imf ta luôn có f là toàn ánh khi và chỉ khi Imf = G.
ii) Giả sử f là đơn ánh kerf = {e}.
Ngợc lại, kerf = {e}, x1, x2 G sao cho f(x1) = f(x2).
f(x1) [f(x2)]-1 = e. Nhng f(x1)(f(x2))-1 = f(x1)(f(x2))-1 = f(x1.x2-1).
Vậy f(x1.x2-1) =e, tức là x1.x2-1 kerf = {e}. Do đó x1x2-1 = e hay
x1 = x2. f là đơn ánh
2.7. Định lý (về đồng cấu nhóm):
Cho f: G G là một toàn cấu nhóm từ nhóm G vào nhóm G. Khi đó
tồn tại duy nhất đẳng cấu
g: G/ kerf G sao cho biểu đồ sau giao hoán.
Nghĩa là f = gp.


12

Trong đó p là toàn cấu tự nhiên.
p: G G/kerf

G

Chứng minh: Đặt kerf = A

f
p

Xây dựng ánh xạ g: G/A G
x+A f(x)

G'

g
G/kerf

g là ánh xạ:
Nếu x+ A = y+ A x-y A f(x-y) = 0 f(x) = f(y) g(x+A) = g
( x+ A).
g là đồng cấu:
x+A, y+ A G/A: g[(x+A)+(y+A)] = g(x+y+A) = f(x+y)
= f(x) + f(y) (vì flà đồng cấu nhóm).
= g(x+A) + g(y+ A).
g là đơn cấu:
kerg = {x+A G/A / g(x+A) = 0}
= {x+ A G/A / f(x) = 0 }
= { x+ A G/A / x A }
= { A G/A } = 0.
g là đơn cấu.
g là toàn cấu
Lấy y bất kì, y G, do f toàn ánh x G: f(x) = y.
x+A G/A và g(x+A) = f(x) = y.
Biểu đồ giao hoán:
x G : g.p(x) =g(x+A) =f(x) g.p =f.
g là duy nhất:
Nếu có đẳng cấu g: G/A G mà g.p =f, x+A G/A.
g(x+A) = g(p(x)) = g.p(x) = f(x) = g(x+A) g g
Ví dụ:


13

: R[x] R

f(x) ao , f(x) =

n



i =0

aixi, ai R.

là đồng cấu nhóm:
g, h R[x] : (g+h) = (g) + (h).
Ker = { g R[x] / (g) = 0 }
= { g R[x] / ao = 0 }
n

={ ai xi / ai R }
i =0

Im = { (g) / g R[x] } = { ao /

n



i =0

aixi , ai R } = R

R [x] / ker R .

Chú ý : Giả sử A là nhóm con chuẩn tắc của G
p: G G/A là toàn cấu tự nhiên .
kerp = A
Nếu A = {e} G G /{e}
Nếu A = G G G/G = {eG}.

Đ3. Nhóm con sinh bởi một tập hợp và nhóm chuẩn tắc
3.1. Định nghĩa:
Cho ( G, .) là nhóm, S tập con của G. Khi đó nhóm con G bé nhất chứa
S đợc gọi là nhóm con sinh bởi tập S, ký hiệu G = < S >.
3.2. Mệnh đề:
Cho M là tập con của nhóm G. Khi đó, nhóm con sinh bởi tập M:
< M > = {a11.a22...amm / ai M, i = 1}
Chứng minh:


14

Do i = 1 nên a11.a22...amm M M-1.
Giả sử: A là nửa nhóm con của G sinh ra bởi M M-1, x A, khi đó
có: x1 , x2,... xn M M-1 , x = x1....xn
Vì xi-1 M M-1 A với mỗi i = 1, 2, ..., m nên suy ra x-1 A
A là một nhóm con của G.
Giả sử B là nhóm con sinh bởi M của G vì A là một nhóm con của G, A M
B A. Lại do B là một nửa nhóm con của G chứa M M-1 A B.
Vậy: A = B, tức là < M > = {a1.a2...amm / ai M , 1 = 1 }
Ví dụ: ( , +) = <1>.
(n, +) = < 1(modn)> .
3.3. Mệnh đề:
Cho (G, ) là nhóm S G. Khi đó nhóm con <S> là tồn tại và duy nhất

Chứng minh:
Xét một họ bất kỳ {Ai}iI những nhóm con của G và S Ai ,i I, đặt
G =



Ai

iI

- G , vì e Ai , i I, e là phần tử đơn vị của G.
- x, y G x, y Ai , i I và xy-1 Ai vì Ai là nhóm con của G
xy G theo hệ quả của định lý 1.10 G G
Vì S Ai , i I S G G = < S >.
Giả sử G=< S >, nghĩa là giữa Gvà G không tồn tại một nhóm con
trung gian nào khác G G = G
3.4. Định nghĩa:
Cho G là nhóm, S là tập con của G. Nếu S = {x}. Khi đó, nhóm con
A = < x > đợc gọi là nhóm xyclic sinh bởi x. Nếu G = < x > thì G là nhóm
xyclic sinh bởi x, theo mệnh đề 3.2: G = { xn, n }.


15

3.5. Định nghĩa:
Cho G là nhóm, S G, a G
- Nếu không tồn tại nN*, an = e thì S = < a > gọi là nhóm xyclic cấp vô
hạn, ký hiệu Ord (G) = .
- Nếu tồn tại m N bé nhất am = e S = < a > gọi nhóm xyclic hữu
hạn cấp m, ký hiệu Ord(G) = m.

Ví dụ:
1) Cho V là không gian vectơ n chiều, (V, +) là nhóm sinh bởi một cơ sở.
Thật vậy, do V là không gian vectơ n chiều nên có một cơ sở {e 1, e2, ..., en }
sao cho:
x A thì x =

n



i=n

ai ei , ai K V = {e1, e2, ..., en}.

2) (/4, +) có cấp là 4 và (/4, +) = <1> hoặc ( /4, + ) = < 3 >.
3.6. Mệnh đề:
i) Mọi nhóm xyclic đều là nhóm aben.
ii) Nhóm con của nhóm xyclic là nhóm xyclic.
Chứng minh:
i) Giả sử G = < x > và Ord(G) = n
Lấy g1, g2 G n1, n2 : g1 = x n1 , g2 = x n2 ( n1, n2 < n )
Ta có: g1g2 = x n1 . x n2 = x n1 + n2
( Với phép cộng các số nguyên có tính chất giao hoán )
g1g2 = x n1 +

n2

= x n1 . x n2 = g2 .g1 .

Vậy mọi nhóm xyclic đều là nhóm aben.

ii) Giả sử G là nhóm xyclic và A là nhóm con của G.
Nếu A = {e} thì A là nhóm xyclic.
Nếu A = G thì A là nhóm xyclic.
Nếu A {e}, A G vì A G và G = < x > xyclic x A, a e , x=
ak, k Z, k 0 k > 0 hoặc k > 0. Khi đó tồn tại ak mà k > 0 để ak A


16

{k > 0, ak A } N m bé nhất để am A.
k = mq + r ,( 0 r < m ) . Nếu r 0 r = k mq , ar = ak.a-mq A
a-m A a-mq A xk A k (0, m)
Điều này mâu thuẫn với m là số mũ tự nhiên bé nhất của a trong A
x, x = am = akq = ( ak)q
Nghĩa là: r = 0, m A = < am > là nhóm xyclic
3.7. Mệnh đề :
i) Mọi nhóm xyclic cấp vô hạn thì sinh bởi một phần tử sinh x hoặc x-1.
ii) Một nhóm xyclic cấp hữu hạn thì các phần tử sinh của G là:
xk ( k, n ) = 1 trong đó G = n.
Chứng minh:
i) Giả sử:
G = < xk > = {(xk)n n } q N: x = (xk)q với x G x = xkq
kq = 1 k =1 và q =1 hoăc q = -1 G = < x > hoặc G =<x-1>
ii) Giả sử:
G = <x-k> cấp hữu hạn,G= n xG, q : x= (xk)q = xkq
Vì G là nhóm, x G x-1G x.x-1= xkqx-1 = xkq- 1 e = xkq- 1
(xk)n = e = xkq- 1 xktn = xkq- 1, đặt kt= t xtn = xkq- 1 tn =kq -1
kq - tn = 1 kq + tn = 1, ( t= -t ) ( k, n ) =1
Giả sử:
( k, n ) = 1 u, v: kv + nu = 1 x = xkv + nu = x, x G

x = xkv xnu = ( xk )v ( xn )u = ( xk)v . eu = ( xk )v
Vậy x G ta chứng minh đợc x = (xk)v, v G =< x >
Ví dụ: (, +) có phần tử sinh là 1 hoặc -1
Do đó (, +) = <1> hoặc (, +) = <-1>.
3.8. Mệnh đề:
Cho (G, .) là một nhóm xyclic.


17

i) Nếu G vô hạn thì G đẳng cấu với (, +).
ii) Nếu G hữu hạn thì G đẳng cấu với (n,, +), với n = /n.
Chứng minh:
i) Gọi <a> = G, G có cấp vô hạn, có đơn vị là e. Lập ánh xạ
: G
n (n) = an
là đồng cấu
(m + n) = am+n = am.an = (m) (n).
Im = {(n) / n } = {an / n } = G là toàn cấu.
ker = {n / n , (n) = e } ={n/n : an = 1} = {0}
là đơn cấu G n
3.9. Định nghĩa: Nhóm con H gọi là ớc chuẩn ( hoặc chuẩn tắc ) của G khi
và chỉ khi mọi x G, a H ta có x-1ax H, ký hiệu H G.
3.10. Định nghĩa: Cho G là H G trên G xác định một quan hệ R: x, y H
ta nói xRy x-1y H. Khi đó R là quan hệ tơng đơng ở trên G.
Thật vậy:
Tính phản xạ:
x H ta có: xRx x-1x = e H.
Đối xứng: x, y H, giả sử xRy x-1y H (x-1y) H y-1x
H yRx.

Bắc cầu: x, y, z H, giả sử xRz và zRy xRy.
Thật vậy: xRy x-1y H, yRz y-1z H x-1y(y-1z) H x-1(yy-1)z
H x-1z H R quan hệ tơng đơng trên G.
3.11. Mệnh đề:
Cho G là một nhóm, với x, y G, H là nhóm con của G .
i) xH = yH x-1yH .


18

ii) xH yH = x-1yH .
Chứng minh:
i) Từ xH = yH xRy x-1y H
ii) xH, yH G xH yH = hoặc xH = yH
xH yH = , x, y G x-1y vì H là nhóm con của G nên
H xH yH = xH yH H xRy H x-1y H
3.12. Định lý ( tiêu chuẩn về ớc chuẩn ):
G là nhóm, H là nhóm con của G, H G khi và chỉ khi xhx-1H, h H,
x G ( hoặc là x1hxH, x G, h H ).
Chứng minh:
Giả sử H là ớc chuẩn của G .Ta chứng minh xhx-1 H, h H, x G.
Thật vậy: Vì H G theo định nghĩa, ta có xH = Hx h, h H: xh =
hx xhx = h H.
Vậy H G xhx-1 H.
Ngợc lại, nếu xhx-1 H ta chứng minh H G:
Vì xhx-1 H xh Hx, h H, x G xH Hx.
Từ xhx-1 H x-1hx H hx xH, h H Hx xH H G
+ G là một nhóm, các nhóm con tầm thờng{e}và G là các ớc chuẩn
của G.
3.13. Mệnh đề:

i) Giao của hai ớc chuẩn là ớc chuẩn.
ii) Tích hai ớc chuẩn là ớc chuẩn.
Chứng minh:
Giả sử G là nhóm, H1 và H2 là hai ớc chuẩn của G.
i) Vì H1 G, H2 G H1 G, H2 G H1 H2 = H G.
h H, g G hH1 ghg-1H1 và hH2 ghg-1H2
ghg-1 H H G.
ii) gG, x H1H2 = { h1h2 / h1H1 , h2H2} h1H1 ,


19

h2H2 gxg-1 = g(h1h2)g-1 = gh1(g-1g) h2g-1 = (gh1g-1)g(h2g-1)H1H2
H1H2 G
3.14. Hệ quả:
Mọi nhóm con của nhóm aben đều là nhóm con chuẩn tắc, đều ngợc lại
không đúng.
Chứng minh:
Nếu H G, G aben, h H, x G xhx-1 = (xh)x-1 = (hx)x-1= h H
Vì hx = xh H G.
Ngợc lại:
Ta thấy trong nhóm các phép thế S4, bộ phận A4 gồm các phép thế chẵn là
nhóm con chuẩn tắc của S4 , nhng S4 không phải là nhóm aben
Đ4. Nhóm hữu hạn
4.1. Định nghĩa: Nhóm chỉ có một số hữu hạn phần tử, đợc gọi là nhóm hữu hạn.
Ví dụ: S 4 = 24, là một nhóm hữu hạn.
4.2. Định lý (Định lý Lagrănggiơ):
Cho G là nhóm hữu hạn, A là nhóm con của G. Khi đó cấp của A là ớc
của cấp của G.
Chứng minh:

Giả sử |G| = n, H là nhóm con của G
Vì H G nên H cũng là nhóm hữu hạn. Giả sử H có cấp là m.
Khi đó H = {h1, h2, ..., hm} hi = hj i = j, i, j =1,..., m.
Với x G xH = {xh1, xh2, ..., xhm}
Vì |H| = m |xH| = m và xhi = xhj hi = hj i = j. Khi đó với mỗi x
có tơng ứng một lớp ghép xH vì cấp của G hữu hạn. Do đó số lớp ghép trái xH
là hữu hạn.
Nếu gọi số lớp ghép trái xH là l, mặt khác |xH| = m |G| = n = ml
Ví dụ:


20

1) |Sn| = n! và |An| = n!/2 [ |Sn| : |An| ] = n!: n!/2 = 2
2) Nhóm S4 có 8 nhóm con vì |S4 | = 24, và vì S4 có 8 ớc.
4.3. Hệ quả:
G là nhóm hữu hạn, aG thì cấp của a là ớc của |G|.
Chứng minh:
Giả sử |G| = n |a| = |H| với H = < a >, a G.
Ta có: H G |H| \ |G| theo định lý Lagranggiơ.
4.4. Hệ quả:
Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố đều là xyclic và đợc sinh ra bởi
một phần tử bất kỳ, khác phần tử đơn vị của nhóm.
Chứng minh:
Giả sử G là nhóm hữu hạn và cấp của G là p - nguyên tố, G = < x >, x e
với e là đơn vị của G.
Giả sử X là một nhóm và |X| = p. Lấy G X, G = < x >, x e
Ta chứng minh G X.
G là nhóm con của X theo định lý Lagranggiơ ta có |G| \ |X|.
Giả sử |G| = k p: k k = 1 hoặc k = p, vì G = < x>, x e

G X vậy k = p |G| = |X|
Ví dụ:
1) (5, +) có cấp là 5. Nó đợc sinh bởi 1 hoặc 2 hoặc 3 hoặc 4.
2) Giả sử G = < x > và G có cấp là 12 .
G có các nhóm con là G1 = < x2 >, G2 = < x3 >, G3 = < x4 >,
G4 = < x6 >, G5 = < 1G >
Ta có biểu diễn sau:
G

<x2>

<x3>

<x6>


21

<x4>

<1G>

Phần phụ lục của khoá luận , chúng tôi có trình bày về cấu trúc của nhóm hữu
hạn S4.
4.5. Mệnh đề:
Cho (G, .) là nhóm, A, B là các nhóm con hữu hạn của G, khi đó:
AB =

A B
A B

Chứng minh:
A G, B G AB = BA A AB
Thiết lập : B AB/A
b bA
là đồng cấu: (ab) = (ab)A = (aA)(bA) = (a) (b), a, bB.
Im = {(b), b B } = {bA, bB } = BA = AB.
Ker = {b/ (b) = eAB/A = eA } = { bB / bA = eA }
= {bB / bA} = A B (eA là phần tử đơn vị của A ).
Theo định lý đồng cấu nhóm ta có:
B/A B AB/A

B
AB
=
A B
A

AB =

AB
A B


22
Chơng II.

Nhóm các phép dời
Đ 1. Các khái niệm về phép dời
1.1. Định nghĩa:

Giả sử F là tập tất cả các điểm trên đờng thẳng. Khi đó, mọi phép biến
đổi của F , nghĩa là ánh xạ : F F bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
bất kì đợc gọi là phép dời trên đờng thẳng.
Rõ ràng là một song ánh.
Tơng tự, ta có thể mở rộng định nghĩa trên cho phép dời trong mặt phẳng và
trong không gian.
1.2. Định nghĩa:
Phép dời hình trong mặt phẳng(trong không gian) là phép biến đổi của
mặt phẳng ( hay không gian ) bảo toàn khoảng cách giữa các điểm.
Ví dụ:
+ Phép đối xứng trục.
+ Phép quay
Về sau F ta có thể hiểu là tập các điểm của đờng thẳng, mặt phẳng hoặc
không gian. Và phép dời ta có thể hiểu là phép dời của đờng thẳng, mặt
phẳng hay không gian.
1.3. Phép dời và tích các phép dời
Cho : A B; g: B C là các phép dời. Khi đó, sự thực hiện liên tiếp
hai phép dời và g đợc gọi là tích ( hay hợp thành của hai phép dời).
Kí hiệu là: g 0 .
Rõ ràng tích của hai phép dời g, là phép dời g 0 :A C
Từ định nghiã suy ra:
i) Tích của phép dời thực hiện đợc khi và chỉ khi ảnh của phép dời là tập con

của tạo ảnh của phép dời g.

'
ii) Tích hai phép dời không có tính giao hoán
Ví dụ: xét hai phép dời hình là phép đối xứng trục :
Đ và phép quay góc , tâm O: Q0
Giả sử N là một điểm của mp(P).

1

2

''


23

Gọi N = Đ (N) và Q0(N) = N.
Theo định nghĩa tích của các phép dời hình
ta có: (Q0 . Đ) (N) = N
Gọi N1 = Q0(N) và N2 = Đ (N1)
Theo định nghĩa tích của các phép dời hình ta có:
(Đ . Q0) (N) = N2 .
Nhận thấy N1 N2
(Q0 . Đ) (N) (Đ . Q0) (N).
1.4. Một số tính chất:
i) , g là các phép dời thì : g 0 phép dời.
ii) Tích các phép dời có tính chất kết hợp.
Chứng minh:
Giả sử g, h, G: : M M ; h M M và g: M M .
Ta có g 0 h: M M (g 0 h )0 : M M
Vậy: ( g o h) 0 = g 0 ( h 0 ) .

iii) Gọi e là phép đồng nhất thì:
0 e = f, e o = , G.
Chứng minh:
Rõ ràng, ánh nên luôn có ánh xạ đồng nhất eG thoả mãn : 0 e = e 0
= , G.
iv) Với mọi phép dời có phép dời -1 sao cho -1= e, -1 = e
Trớc khi chứng minh tính chất này ta định nghĩa -1 nh sau:
Định nghĩa:
Trong mặt phẳng cho phép dời hình biến điểm M thành điểm M. Ta có:
(M) = M. Khi đó phép dời hình biến điểm M thành điểm M gọi là phép dời
nghịch đảo của , ký hiệu là -1 và ta có:
-1(M) = M


24

Chứng minh: Vì phép dời hình là song ánh nên với mọi G luôn có -1
G, -1 là phép dời hình đảo ngợc và ta có -1 0 = 0 -1 = e.
1.4. Định lý: Tập các phép dời D lập thành một nhóm không giao hoán đối
với phép .
Sau đây, trên cơ sở những hiểu biết về lí thuyết nhóm chúng tôi nghiên
cứu một số trờng hợp đặc biệt của nhóm đó.
Ví dụ:
Tập tất cả các phép dời biến một tam giác đều thành chính nó là một
nhóm, đợc gọi là nhóm đối xứng của tam giác đều.
A
Thật vậy:
2
3
Nhóm này có 6 phần tử

Phần tử đơn vị là phép đồng nhất e:
e: A A , B B, C C.

C

B

1
1 Tam giác đợc quay một góc 1200 theo chiều kim đồnghồ,
tâm quay

O.
Q1200 : A A, B B, C C .
2 Tam giác đợc quay một góc 2400 theo chiều kim đồng hồ, tâm quay .
Q2400 : A C, B A, C B .
3 Tam giác lấy đối xứng qua trục 1:
Đ1 : A A, B C, C B .
4 Tam giác lấy đối xứng qua trục 2:
Đ2 : A C, B B, C A .
5 Tam giác lấy đối xứng qua trục 3:
Đ3 : A B, B A, C C .
2. Phép dời trên một đờng thẳng.
2.1. Ví dụ:
i) Phép đối xứng qua một điểm.
ii) Phép tịnh tiến.


25

iii) Phép đồng nhất.

2.2. Mệnh đề: Nhóm tất cả các phép dời trên đờng thẳng là nhóm con đẳng
cấu với nhóm cộng các số thực.
Chứng minh:
Gọi là một đờng thẳng. Chọn O làm tâm đối xứng của . Khi đó,
mỗi điểm trên tơng ứng với một số thực r R. Lập ánh xạ
: R D := {Tập tất cả các phép đối xứng qua O}
r OM = r
(r1 + r2) = r1 + r2 = OM 1 + OM 2 = (r1 ) +( r2)
là một đồng cấu .
Im = { (r) / r R }
= { OM / M }
= D.
Ker = { r R / (r) = OO }
= {r R / r = OO } = 0
R D