Vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ luận văn thạc sĩ toán học

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI GIÁP TÝ

VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU
CỦA MÔĐUN HẦU TỰ NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI GIÁP TÝ

VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU
CỦA MÔĐUN HẦU TỰ NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60. 46. 05

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS NGÔ SỸ TÙNG

Nghệ An - 2012

2

MỤC LỤC

Mục lục

2

MỞ ĐẦU

3

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1. Môđun con cốt yếu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Phần bù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Môđun đều

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. Môđun A - nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5. Môđun tự nội xạ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6. Môđun nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Bao nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8. Môđun nội xạ không phân tích được

. . . . . . . . . . . . . . 13

2 Vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ 15
2.1. Vành các tự đồng cấu địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ . . . . . . . . . 21

Kết luận

26

Tài liệu tham khảo

27

MỞ ĐẦU

Việc mở rộng các lớp môđun là một trong những vấn đề đang được các
nhà nghiên cứu về lý thuyết vành và môđun quan tâm. Đặc biệt môđun
nội xạ là một trong những trụ cột chính của lý thuyết môđun, từ đó ứng
dụng để đặc trưng vành. Nhưng điều kiện nội xạ quá mạnh, vì thế một số
lớp vành khó có thể đặc trưng. Vì vậy người ta mới nghiên cứu mở rộng
lớp môđun này. Trong thập kỷ 80 và 90 các nhà toán học đạt được nhiều
kết quả tốt trong việc nghiên cứu các lớp môđun mở rộng của môđun nội
xạ.
Năm 1989, Yoshitomo Baba và Manabu Harada đưa ra khái niệm mới
là môđun hầu nội xạ, cùng với các tính chất cơ bản của chúng. Mặc dù
lớp môđun này đã được đã được nghiên cứu trong hơn thập kỷ qua nhưng
nhiều tính chất thú vị và hữu ích vẫn không được chú ý.
Năm 2009 Adel Alahmadi và S. K. Jain tiếp tục nghiên cứu và mở rộng
lớp môđun này và đã thu được nhiều kết quả. Đó là một số tính chất của
môđun hầu tự nội xạ. Kết quả đã được đăng trên trên tạp chí Mah. J.
Okayama Univ năm 2009.
Dựa trên kết quả chính của bài báo "A note on almost injective modules"
của Adel Alahmadi và S. K. Jain (xem [3]) luận văn nhằm tìm hiểu về vành
các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài
nghiên cứu của luận văn là "Vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội
xạ".
Luận văn ngoài phần mở đầu, phần kết luận, được bố cục thành hai


4

chương nội dung:

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này chúng tôi trình bày những kiến thúc cơ bản về môđun
đều, môđun nội xạ, môđun không phân tích được.
Chương 2. Vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ.
Trong chương này chúng tôi trình bày những kiến thúc cơ bản về vành
địa phương và tìm hiểu về môđun hầu tự nội xạ và tính chất địa phương
của vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ.
Bản luận văn đã được hoàn thành dưới sự làm việc nghiêm túc của bản
thân và sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình của thầy giáo PGS. TS Ngô Sỹ
Tùng. Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS. TS Ngô Sỹ
Tùng, các thầy cô giáo trong bộ môn Đại số, Ban chủ nhiệm khoa Toán,
Phòng Đào tạo Sau đại học trường Đại học Vinh, cùng các thầy cô giáo
phản biện đã quan tâm dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý
báu, tạo mọi điều kiện để giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên
cứu.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, đồng nghiệp bạn bè
đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập của mình.
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, mặc dù đã cố
gắng nỗ lực, song vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên có thể còn
nhiều thiếu sót. Kính mong sự góp ý của thầy cô và các bạn để bản luận
văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 9 năm 2012
Tác giả


CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả đã

biết về môđun nội xạ, bao nội xạ môđun con cốt yếu,. . . Ta quy ước viết
môđun M mà không nói gì thêm, ta hiểu đó là môđun phải M . Trên vành
cố định R nào đó, các vành đều được giả thiết là có đơn vị, các môđun đều
là unita (nghĩa là x.1R = x với mọi x ∈ MR ).

1.1

Môđun con cốt yếu

Khái niệm môđun con cốt yếu được sử dụng nhiều trong luận văn.
1.1.1 Định nghĩa. 1) Môđun con A của môđun M được gọi là môđun con
cốt yếu của M nếu với mọi môđun B ⊂ M thoả mãn A ∩ B = 0 thì B = 0.
Kí hiệu A⊂∗ M .
Ta còn gọi A là môđun con lớn của M .
2) Đồng cấu α được gọi là đồng cấu cốt yếu nếu Im α⊂∗ M .
1.1.2 Mệnh đề. M là R môđun, A ⊂ B ⊂ M . Khi đó, A⊂∗ M khi và chỉ
khi A⊂∗ B và B⊂∗ M .
1.1.3 Mệnh đề. Giả sử A là môđun con của M . Khi đó A⊂∗ M khi và chỉ
khi ∀m ∈ M, m = 0, ∃r ∈ R, mr = 0 mà mr ∈ A.
1.1.4 Mệnh đề. Cho họ Ai các môđun con của M .
n

1) Ai ⊂∗ M, ∀i = 1, ..., n ⇒ ∩ Ai ⊂∗ M .
1


6

n

2) M = ⊕ Mi , Mi ⊂ M, Ai ⊂∗ Mi , ∀i.
i∈I

n

Khi đó, A =

n

Ai = ⊕ Ai và A⊂∗ M .
1

1

1.2

Phần bù

1.2.1 Định nghĩa. Giả sử A là môđun con của M .
1) Môđun con A∗ của M được gọi là phần bù cộng tính đối với A trong
M nếu và chỉ nếu A + A∗ = M và A∗ là môđun con tối tiểu có tính chất
A + A∗ = M .
2) Môđun con A của M được gọi là phần bù theo giao (hay ∩-bù ) nếu
A ∩ A = 0 và A là môđun con tối đại có tính chất A ∩ A = 0.
1.2.2 Mệnh đề. Mọi môđun con của môđun M đều có bù giao.
1.2.3 Mệnh đề. 1) Nếu A ⊂ M, B ⊂ M và A

B = 0. Khi đó

B = A ⇔ (A + B) /B⊂∗ M/B.

2) Nếu B = A và A = B thì A’ bù giao đối với A trong M.
3) Nếu A ⊂ A thì A⊂∗ A .

1.3

Môđun đều

Tính chất đều quan hệ chặt chẽ với tính chất nội xạ và các dạng suy
rộng của tính chất nội xạ.
1.3.1 Định nghĩa. Môđun con M được gọi là môđun đều nếu mỗi môđun
con khác không của M đều là môđun con cốt yếu của M . (Nói cách khác,
M là đều nếu mọi môđun con khác không A và B ta có A ∩ B = 0).


7

1.3.2 Ví dụ. a) Mỗi R môđun đơn là môđun đều .
b) Mỗi môđun con khác không của một môđun đều là môđun đều .
Thật vậy, giả sử N ⊂ M, N = 0. Mọi B ⊂ M mà N ∩ B = 0 nên B = 0.
Vì nếu B = 0 thì do giả thiết M là đều ta sẽ có:N ∩ B = 0 (mâu thuẫn với
giả thiết N ∩ B = 0).
Vậy N ⊂∗ M .
1.3.3 Nhận xét. Mỗi R môđun M chứa một môđun con đều N , N cốt
yếu trong M thì M là môđun đều .
Chứng minh. Giả sử N ⊂∗ M , N đều thì M đều 0 = U, V ⊂ M (vì N ⊂∗ M ⇒
N ∩ U = 0 và N ∩ V = 0). Khi đó
(N ∩ U ) ∩ (N ∩ V ) = 0
suy ra
N ∩ (U ∩ V ) = 0
hay

U ∩ V = 0.
Vậy M là môđun đều.
1.3.4 Mệnh đề. M là R môđun khác không, M không chứa một tổng trực
tiếp vô hạn các môđun con khác không. Khi đó M chứa một môđun con
đều.
1.3.5 Mệnh đề. Giả sử N ⊂∗ M , với
N = U1 ⊕ U2 ⊕ ... ⊕ Un ,
trong đó Ui là đều trong M , ∀i = 1, n. Thế thì mỗi môđun con K = 0 của
M là cốt yếu trong M khi và chỉ khi K ∩ Ui = 0 ∀i = 1, n.


8

n

1.3.6 Mệnh đề. Giả sử M là một R - môđun và ⊕ Ui ⊂∗ M , trong đó mọi
i=1

Ui là môđun đều. Khi đó:
1) Mọi tổng trực tiếp những môđun con khác 0 của M có nhiều nhất n
hạng tử.
k

2) Nếu ⊕ Vi ⊂∗ M , với Vi là những môđun đều thì k = n.
i=1

Chứng minh. 1) Giả sử tồn tại trong M tổng trực tiếp:
K1 ⊕ K2 ⊕ ... ⊕ Kn+1 , Ki = 0, (i = 1, ..., n + 1), Ki ⊂ M.
Thế thì
K2 ⊕ ... ⊕ Kn+1 ⊂∗ M

(vì có K1 = 0, sao cho K1 ∩ (K2 ⊕ ... ⊕ Kn+1 ) = 0).
Theo Mệnh đề 1.3.5 tồn tại Ui (i = 1, ..., n) sao cho
(K2 ⊕ K3 ⊕ ... ⊕ Kn+1 ) ∩ Ui = 0.
Giả sử Ui = U1 , ta có tổng trực tiếp trong M
U1 ⊕ K2 ⊕ ... ⊕ Kn+1 .
Ta lại có
U1 ⊕ K3 ⊕ ... ⊕ Kn+1 ⊂∗ M
(Vì (U1 ⊕ K3 ⊕ ... ⊕ Kn+1 ) ∩ K2 = 0 ).
Do đó tồn tại Uj sao cho
Uj ∩ (U1 ⊕ K3 ⊕ ... ⊕ Kn+1 ) = 0 với (j = 1)
Chẳng hạn Uj = U2 , khi đó ta có tổng trực tiếp
U1 ⊕ U2 ⊕ K3 ... ⊕ Kn+1 .


9

Sau n bước như vậy ta có tổng trực tiếp
U1 ⊕ U2 ⊕ ... ⊕ Un ⊕ Kn+1 .
Suy ra (U1 ⊕ ... ⊕ Un ) ∩ Kn+1 = 0.
Vì U1 ⊕ ... ⊕ Un ⊂∗ M nên Kn+1 = 0 (Trái với giả thiết Kn+1 = 0).
2) Nếu V1 ⊕ ... ⊕ Vk ⊂∗ M . Theo 1) k ≤ n. Mặt khác thay đổi vai trò của
Vi thành Ui và lại áp dụng 1) ta có n ≤ k. Vậy n = k.
Như vậy với môđun M = 0 ta có môđun M không chứa một tổng trực
tiếp vô hạn các môđun con khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một số nguyên
dương n sao cho M chứa một môđun cốt yếu dạng
U1 ⊕ U2 ⊕ ... ⊕ Un ,
trong đó Ui đều (i=1,. . . ,n).
1.3.7 Định nghĩa. Số n bất biến với môđun M trong Mệnh đề 1.3.6 gọi
là chiều đều của môđun M . Kí hiệu UdimM.
1.3.8 Mệnh đề. Cho M và N là các R – môđun,N là môđun con của M

1) N ⊂∗ M khi đó UdimM hữu hạn khi và chỉ khi UdimN hữu hạn và trong
trường hợp này UdimM = UdimN.
2) Giả sử N và M/N có chiều đều hữu hạn thì M cũng có chiều đều
hữu hạn và UdimM = UdimN + UdimM/N.

1.4

Môđun A - nội xạ

1.4.1 Định nghĩa. Cho A và M là các R - môđun. Môđun M được gọi
là A - nội xạ nếu và chỉ nếu với môđun con X của A và với mỗi đồng cấu
ϕ : X → M , ϕ có thể mở rộng đến đồng cấu ψ : A → M .
/

X ❇❇

❇❇
❇
ϕ ❇❇❇!

M

~

ψ

A


10

α

β

1.4.2 Mệnh đề. Giả sử 0 → A →
− B →
− C → 0 là một dãy khớp ngắn.
Nếu M là B - nội xạ thì M cũng là A - nội xạ và C - nội xạ.
1.4.3 Mệnh đề. M là môđun A - nội xạ và B ⊂ A. Khi đó M là B - nội
xạ và A/B - nội xạ.
1.4.4 Mệnh đề. Cho A và M là các R - môđun. M là A - nội xạ khi và
chỉ khi M là aR - nội xạ với mỗi a ∈ A.
1.4.5 Mệnh đề. M là R - môđun, M là ⊕ Ai - nội xạ khi và chỉ khi M
i∈I

là Ai - nội xạ, với mọi i ∈ I
1.4.6 Mệnh đề. . Giả sử môđun M là A - nội xạ, N ⊂∗ M . Khi đó các
điều kiện sau tương đương:
(i) N là A - nội xạ;
(ii) α (A) ⊂ N , ∀α ∈ Hom(A, M ).
Mi là A - nội xạ khi và chỉ khi Mi là A - nội

1.4.7 Mệnh đề. Môđun
i∈I

xạ với mỗi i ∈ I.
1.4.8 Định lý. Đối với các R - môđun A và M các mệnh đề sau tương
đương:
(i) M là A - nội xạ.

(ii) f (A) ⊂ M, ∀f ∈ Hom (E (A) , E (M )).
(iii) Nếu dãy 0 → K → A → B → 0 là dãy khớp ngắn thì dãy 0 →
Hom (B, M ) → Hom (A, M ) → Hom (K, M ) → 0 cũng là dãy khớp ngắn;
(iv) M là K nội xạ với mọi môđun xyclic K ⊂ A.

1.5

Môđun tự nội xạ

Khái niệm môđun tự nội xạ được Johson-Wong đưa ra.


11

1.5.1 Định nghĩa. Một môđun M được gọi là tự nội xạ nếu và chỉ nếu
M là M - nội xạ.
1.5.2 Hệ quả. Mọi môđun nội xạ đều là môđun tự nội xạ.
1.5.3 Hệ quả. M là tự nội xạ ⇔ f (M ) ⊂ M với mọi f ∈ End (E (M )).
1.5.4 Mệnh đề. Cho các môđun M1 và M2 . Khi đó M1 ⊕ M2 là tự nội xạ
khi và chỉ khi Mi là Mj - nội xạ (i, j = 1, 2).
1.5.5 Hệ quả. Giả sử M = ⊕ Mi , khi đó M là tựa nội xạ khi và chỉ khi
i∈I

Mi là Mj - nội xạ với i, j = 1, n.
1.5.6 Định nghĩa. Cho R - môđun M và N là một môđun con của M
thì N được gọi là môđun con hoàn toàn bất biến của M nếu và chỉ nếu
f (N ) ⊂ N, ∀f ∈ End (M ).
1.5.7 Mệnh đề. Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi nó là môđun con
hoàn toàn bất biến của môđun E (M ).

1.6

Môđun nội xạ

Như đã giới thiệu trong phần mở đầu, môđun nội xạ là điểm xuất phát
đi đến những vấn đề nghiên cứu của luận văn. Mặc dù không là đối tượng
nghiên cứu chính nhưng tính chất nội xạ có ý nghĩa quan trọng trong các
nghiên cứu của chúng tôi.
1.6.1 Định nghĩa. Môđun Q được gọi là môđun nội xạ nếu và chỉ nếu
với mọi đơn cấu α : A → B và mọi đồng cấu β : A → Q, tồn tại đồng cấu
γ : B → Q thoả mãn γα = β.
0

/

A

β

 

α /

B

γ

Q

Khi đó ta nói γ là một mở rộng của β theo đơn cấu α.

12

1.6.2 Định lý. Đối với môđun Q các mệnh đề sau tương đương:
i) Q là môđun nội xạ;
ii) Mỗi đơn cấu α : A → Bđều cảm sinh một toàn cấu:
α∗ : Hom(B, Q) → Hom(A, Q)
xác định bởi α ∗ (f ) = f α, với f ∈ Hom (B, Q).
iii) Mỗi đơn cấu α : Q → M đều chẻ ra.
1.6.3 Định lý. (Tiêu chuẩn Baer). Một R - môđun E là nội xạ khi và chỉ
khi mỗi R đồng cấu I → E từ một iđêal I của R (xem như R - môđun) vào
E luôn mở rộng được thành một đồng cấu R → E.
1.6.4 Định lý. Giả sử E là R môđun. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) E là nội xạ.
(ii ) Mỗi dãy khớp Im α = Kerβ các R - môđun đều chẻ ra.
ϕ

(iii) Mỗi dãy khớp 0 → E →
− M → M → 0 các R - môđun, với M là
môđun xyclic đều chẻ ra.
α

(iv) Nếu dãy các R - môđun 0 → N →
− N → N → 0 là khớp thì dãy
0 → Hom (N , E) → Hom (E, N ) → Hom (N , E) → 0
là khớp.

1.7

Bao nội xạ

Khái niệm bao nội xạ có liên quan chặt chẽ với môđun nội xạ và mở
rộng cốt yếu của nó.
1.7.1 Định nghĩa. Cho M là một R - môđun. Một R - môđun E được gọi
là bao nội xạ của M và kí hiệu là E (M ) nếu và chỉ nếu E là R - môđun
nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M .


13

1.7.2 Định lý. Cho E là một R - môđun. Khi đó các mệnh đề sau tương
đương:
(i) E là R - môđun nội xạ;
(ii) E không có mở rộng cốt yếu thực sự nào, tức là nếu E là một mở
rộng cốt yếu của E thì E ∼
=E.
1.7.3 Hệ quả. Cho E là một mở rộng của R - môđun M . Khi đó các mệnh
đề sau là tương đương:
(i) E là một bao nội xạ của M ;
(ii) E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M .
1.7.4 Định lý. Mỗi R - môđun M luôn có ít nhất một bao nội xạ. Hơn
nữa, giả sử E và E là những bao nội xạ của M thì tồn tại một R đẳng cấu
f : E → E sao cho f (x) = x với mọi x ∈ M .

1.8

Môđun nội xạ không phân tích được

Một trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết môđun là vấn đề phân

tích một môđun thành tổng trực tiếp các môđun con.
1.8.1 Định nghĩa. 1) Một R môđun khác không M được gọi là không
phân tích được nếu và chỉ nếu M chỉ có duy nhất hai hạng tử trực tiếp là
0 vàM .
2) Một R môđun con N của M được gọi là bất khả quy nếu và chỉ nếu
không tồn tại hai môđun con N1 và N2 của M chứa thực sự N sao cho
N = N1 ∩ N2 .
1.8.2 Định lý. Cho E là một R - môđun nội xạ khác không. Khi đó các
mệnh đề sau là tương đương:
(i) E là không phân tích được;
(ii) E là bao nội xạ của mọi R - môđun con khác không của E;


14

(iii) Môđun không của E là bất khả quy;
(iv) Mỗi môđun con trong E là thuần nhất;
(v) E là bao nội xạ của một môđun con thuần nhất khác không nào đó.
1.8.3 Hệ quả. .Cho R - môđun M và N là một R - môđun con của M .
Khi đó bao nội xạ là không phân tích được khi và chỉ khi N là môđun con
bất khả quy của M .
1.8.4 Hệ quả. Bao nội xạ của một R - môđun đơn là môđun không phân
tích được.


CHƯƠNG 2

VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN HẦU
TỰ NỘI XẠ

2.1

Vành các tự đồng cấu địa phương

2.1.1 Định nghĩa. Cho vành R và một phần tử r của R.
(i) Phần tử r được gọi là khả nghịch phải nếu và chỉ nếu tồn tại phần
tử r của R sao cho rr = 1. Phần tử r được gọi là nghịch đảo phải của r.
(ii) Phần tử r được gọi là khả nghịch trái nếu và chỉ nếu tồn tại phần
tử r của R sao cho r r = 1. Phần tử r được gọi là nghịch đảo trái của r.
(iii) Phần tử r được gọi là khả nghịch nếu và chỉ nếu tồn tại phần tử u
của R sao cho ru = ur = 1. Phần tử u được gọi là nghịch đảo của r.
2.1.2 Hệ quả. Nếu r có nghịch đảo phải và trái thì chúng bằng nhau và là
nghịch đảo của r.
2.1.3 Định lý. Cho vành R, gọi A là tập hợp tất cả các phần tử không khả
nghịch của R. Khi đó các điều kiện sau là tương đương.
(i) A đóng kín đối với phép cộng;
(ii) A là iđêan hai phía của R;
(iii) A là iđêan trái thực sự lớn nhất;
(iv) A là iđêan phải thực sự lớn nhất;
(v) Trong R tồn tại iđêan trái lớn nhất;
(vi) Trong R tồn tại iđêan phải lớn nhất;


16

(vii) ∀r ∈ R thì hoặc r hoặc 1 − r khả nghịch trái;
(viii) ∀r ∈ R thì hoặc r hoặc 1 − r khả nghịch phải;
(ix) ∀r ∈ R thì hoặc r hoặc 1 − r khả nghịch.
2.1.4 Định nghĩa. Một vành được gọi là vành địa phương nếu và chỉ nếu
tập hợp các phần tử không khả nghịch của nó đóng kín đối với phép cộng.

2.1.5 Hệ quả. Một vành nếu thoã mãn một trong các mệnh đề của Định
lý 2.1.3 thì nó là vành địa phương.
2.1.6 Định lý. (Định lý phân tích vành tổng quát) (a) Cho vành R thoả
mãn R = ⊕ Ai với Ai
i∈I

R R,

thì:

(i) Tập I hữu hạn (I = I0 = {1, 2, ...,n})
(ii) Ai = Rei ∀i ∈ I0
+e2i = ei ∀i ∈ I0
+ ei ej = 0∀i, j ∈ I0 , i = j (*)
+ e1 + e2 + ... + en = 1.
(b) Ngược lại: nếu vành R có họ luỹ đẳng {e1 , e2 , ..., en } thoả mãn điều
kiện (*) thì R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ... ⊕ Ren . Hơn nữa nếu các ei là luỹ đẳng tâm
(∀i = 1, n) thì các Rei là iđêan hai phía.
Chứng minh. a) Do 1 ∈ R nên từ giả thiết R = ⊕ Ai ta có
i∈I

1 = e1 + e2 + ... + en , ei ∈ Ai (∗∗)
.∀r ∈ R ⇒ r = re1 + re2 + ...ren ∈ Re1 ⊕ Re2 ⊕ ... ⊕ Ren , Rei ∈ Ai
⇒ R ⊆ Re1 ⊕ Re2 ⊕ ... ⊕ Ren
⇒ R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ... ⊕ Ren
∀ai ∈ Ai (i = 1, n) ta có
ai = ai e1 + ai e2 + ... + ai en


17

Do R = ⊕ Ai là tổng trực tiếp (trong) nên biểu diễn là duy nhất
i∈I

⇒ ai ej = 0(∀j = 1, n, j = i)
⇒ ai = ai ei ∈ Rei
⇒ Ai ⊆ Rei
⇒ Ai = Rei .
Vậy R = A1 ⊕ A2 ⊕ ... ⊕ An suy ra (i) được chứng minh
Từ (**) ta có ei = ei e1 + ei e2 + ...ei ei + ... + ei en Lý luận tương tự như
trên suy ra
ei = ei ei = ei 2
nên ei là luỹ đẳng và ei ej = 0, ∀i = j = 1, n.
b) ∀r ∈ R, do 1 = e1 + e2 + ... + en
⇒ r = re1 + re2 + ...ren
⇒ R = Re1 + Re2 + ... + Ren
n

∀k ∈ 1, n ta chứng minh Rek ∩

Rei = 0
i=1
i=k

n

Thật vậy: giả sử a ∈ Rek ∩

Rei
i=1

i=k

⇒ a = rk ek (1)
n

⇒a=

ri ei (2)
i=1
i=k

(1) ⇒ aek = rk ek ek = rk ek = a
n

(2) ⇒ a = aek =

ri e i e k = 0
i=1
i=k

⇒a=0


18

Do đó R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ... ⊕ Ren
Nếu ei thuộc tâm: ei x = xei , ∀x ∈ R, i = 1, n
⇒ rei x = rxei ∈ Rei , ∀r, x ∈ R
⇒ Rei

RR ⇒ Rei

R

2.1.7 Hệ quả. Cho vành R các điều kiện sau đây là tương đương:
(i) R không phân tích được bên trái;
(ii) R không phân tích được bên phải;
(iii) R chỉ có hai luỹ đẳng 0 và 1.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii): Điều này tương đương với Mệnh đề: Nếu R phân
tích được bên trái suy ra R phân tích được bên phải. Ta chứng minh Mệnh
đề trên như sau:
Giả sử R phân tích được bên trái:
R = A1 ⊕ A2 , (0 = A1 , A2

R R),

khi đó theo phần (a) của Định lý thì
A1 = Re1 , A2 = Re2 ,
là iđêan hai phía của R suy ra R phân tích được bên phải.
Tương tự (ii) ⇒ (i).
(i) ⇒ (iii): Giả sử R có luỹ đẳng e ∈
/ {0, 1} khi đó 1 − e cũng là luỹ
đẳng và 1 − e ∈
/ {0, 1}
Ta có 1 = e + (1 − e), e(1 − e) = e − ee = 0.
Suy ra R có sự phân tích bên trái:
R = Re ⊕Rf, f = 1 − e.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy R chỉ có hai luỹ đẳng là 0,1.

19

(iii) ⇒ (i): Giả sử R có sự phân tích bên trái
R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ... ⊕ Ren ,
trong đó ei là các luỹ đẳng và ei ej = 0, i = j. Vì R chỉ có hai luỹ đẳng là
0,1 nên ei = 0 hoặc ei = 1. Suy ra Rei = 0 hoặc Rei = R. Vậy không tồn
tại sự phân tích bên trái.
2.1.8 Bổ đề. End(M ) tập tất cả các tự đồng cấu của môđun M là một
vành. Vành này được gọi là vành các tự đồng cấu của môđun M .
2.1.9 Định lý. Môđun M không phân tích được khi và chỉ khi S = End(M )
chỉ có hai luỹ đẳng là 0 và 1.
Chứng minh. Điều kiện cần: Gọi e là phần tử luỹ đẳng của S. Ta có:M =
e(M ) ⊕ (1 − e)M .
Thật vậy: + M = e(M ) + (1 − e)M . + e(M ) ∩ (1 − e)M = 0 do
ker(e) = (1 − e)M , ta sẽ chứng ming điều này:
.x ∈ ker(e) ⇒ e(x) = 0 ⇒ x − e(x) = x ⇒ (1 − e)x = x ⇒ x ∈ (1 − e)M

.x ∈ (1 − e)M ⇒ ∃y ∈ M : x = (1 − e)y ⇒ x = y − e(y) ⇒ e(x) = e(y) − e2 (y) = o ⇒
Do M không phân tích được nên:
+ Hoặc
e(M ) = 0 ⇒ e = 0
+ Hoặc (1 − e)M = 0 ⇒ 1 − e = 0 ⇒ e = 1.
Điều kiện đủ: Giả sử M = A ⊕ B. Đặt
e:M →M
x = a + b → a(a ∈ A)
Suy ra e ∈ End(M ).
Ta có: e2 = e


20

Thật vậy: ∀x ∈ M, x = a + b(a ∈ A), e2 (x) = e(e(x)) = e(a) = a = e(x)
Theo giả thiết điều kiện đủ ta có: + Hoặc e = 1 ⇒ A = M ⇒ B = 0
+ Hoặc e = 0 ⇒ A = 0
Từ đó M không phân tích được.
2.1.10 Định lý. Cho môđun M khác không. Nếu M không phân tích được
và có độ dài hữu hạn thì vành các tự đồng cấu của M là vành địa phương
và các phần tử không khả nghịch của nó là luỹ linh.
Chứng minh. Để chứng minh Định lý này ta sẽ sử dụng Mệnh đề nêu dưới
đây
Mệnh đề. Cho môđun M có độ dài hữu hạn và ϕ là tự đồng cấu của M
Khi đó ta có: ∃no ∈ N, ∀n ≥ no : M = Im(ϕn ) ⊕ ker(ϕn ) .
Theo giả thiết của Định lý, M có độ dài hữu hạn nên theo Mệnh đề trên
∃no ∈ N, ∀n ≥ no : M = Im(ϕn ) ⊕ ker(ϕn )(ϕ ∈ End(M ))
Do M không phân tích được nên:
+ Hoặc Im(ϕn ) = 0 ⇒ ϕn = 0 ⇒ ϕ luỹ linh suy ra 1 − ϕ khả nghịch
+ Hoặc ker(ϕn ) = 0 ⇒ kerϕ = 0 ⇒ ϕ là đơn cấu và M actin (do M có
độ dài hữu hạn) suy ra ϕ là đẳng cấu suy ra ϕ khả nghịch
Vậy End(M ) là vành địa phương.
Nếu ϕ ∈ End(M ) không khả nghịch suy ra Im(ϕn ) = 0 ⇒ ϕn = 0 ⇒ ϕ
luỹ linh.
2.1.11 Định lý. Cho M là môđun nội xạ không phân tích được. Khi đó
vành các tự đồng cấu M là địa phương.
Chứng minh. Cho ϕ ∈ End(M )và ϕ là đơn cấu. Do M nội xạ, ϕ ∈ End(M ) ⇒
Im(ϕ) nội xạ ⇒ Im(ϕ)⊂⊕ M , M không phân tích được nên Im(ϕ) = M ⇒ ϕ
là đẳng cấu⇒ ϕ khả nghịch. Từ đó ta có nhận xét: Với môđun M như giả
thiết ở Địnhlý, ϕ ∈ End(M ) khả nghịch khi và chỉ khi ϕ là đơn cấu hay
ker(ϕ) = 0, suy ra ϕ ∈ End(M ) không khả nghịch khi và chỉ khi ker(ϕ) = 0.

21

Cho ϕ1 , ϕ2 ∈ End(M ), ϕ1 , ϕ2 không khả nghịch nên ker(ϕ1 ), ker(ϕ2 ) =
0. Mặt khác M là môđun nội xạ không phân tích được nên M bất khả quy
suy ra 0 = ker(ϕ1 ) ∩ ker(ϕ2 ) ⊂ ker(ϕ1 + ϕ2 ) ⇒ ϕ1 + ϕ2 không khả nghịch.
Theo Định nghĩa 2.1.4 End(M ) địa phương.

2.2

Vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ

2.2.1 Định nghĩa. Giả sử M và N là hai R - môđun. M được gọi là môđun
hầu N - nội xạ nếu và chỉ nếu với mỗi môđun con X của N và mỗi đồng
cấu f : X → M thì hoặc là tồn tại một đồng cấu g : N → M sao cho biểu
đồ (1) sau đây giao hoán hoặc tồn tại một hạng tử trực tiếpN1 = 0 của N
và một đồng cấu h : M → N1 sao cho biểu đồ (2) sau đây giao hoán:
/

0

i

X
f
 ~

/

N

(1)

N1 ⊕ N2

(2)

g

M
0

/X
f

i/

p


M

h

/



N1

Trong đó i, p lần lượt là phép nhúng và phép chiếu chính tắc.

Nếu M là hầu M - nội xạ thì ta nói M là môđun hầu tự nội xạ.
Vành R được gọi là vành hầu tự nội xạ nếu nó là R - môđun hầu tự nội
xạ.
2.2.2 Mệnh đề. Mỗi môđun hầu tự nội xạ và không phân tích được đều là
môđun tựa liên tục, do đó là môđun đều.
Chứng minh. Ta có M là hầu tự nội xạ không phân tích được nên M chỉ
có hai hạng tử trực tiếp là 0 và M .
Giả sử M1 , M2 là hai môđun con của M mà M1 ∩ M2 = 0.


22

Khi đó các phép chiếu chính tắc
pi : M1 ⊕ M2 → Mi
đều mở rộng thành tự đồng cấu của M .
Thật vậy, nếu có một Mi = 0, chẳng hạn M1 = 0. Khi đó
p1 = 0, p2 = 1M2 .
Thế thì mở rộng của p1 là đồng cấu 0, mở rộng của p2 là 1M . Giả sử
M1 = 0, M2 = 0 và pi không mở rộng được thành tự đồng cấu của M .
Vì M là môđun hầu tự nội xạ nên tồn tại đồng cấu h : M → M sao cho
hp1 = 1M1 . Suy ra p1 là đơn cấu.
Nhưng p1 không phải là đơn cấu vì Kerp1 = M2 = 0.
Mâu thuẫn này chứng tỏ p1 mở rộng được thành tự đồng cấu của M .
Tương tự đối với p2 .
Vậy M là môđun tựa liên tục. Do đó mỗi môđun con khác không của
M là môđun con cốt yếu của M . Do đó là môđun đều.
2.2.3 Mệnh đề. Giả sử M và N là các môđun đều. Thế thì M là môđun
hầu N - nội xạ khi và chỉ khi với mỗi f : E (N ) → E (M ) ta có f (N ) ⊆ M
hoặc f là một đẳng cấu và f −1 (M ) ⊆ N .
Chứng minh. Giả sử M là hầu N - nội xạ. Cho f ∈ Hom(E(M ), E(N )) và

X = {n ∈ N |f (n) ∈ M }. Khi đó f |X : X → M . Vì M là hầu N - nội xạ,
theo sơ đồ (1) và (2) đã chỉ ra.
Nếu (1) xảy ra, khi đó tồn tại g : N → M sao cho g |X = f |X . Chúng
ta nhận thấy rằng M ∩ (g − f )(M ) = 0. Thật vậy : Lấy m ∈ M sao cho
m = (g − f )(n), với n ∈ N .Khi đó f (n) = g(n) − m ∈ M . Do đó n ∈ X
suy ra f (n) = g(n) − m = 0 nhưng M ⊆∗ E(M ) nên (g − f )(N ) = 0. Suy ra
f (N ) ⊆ M .


23

Nếu (2) xảy ra thì sẽ tồn tại h : M → N sao cho hf = 1X . Khi đó
f là song ánh. Do đó f là đẳng cấu vì E(M ) là nội xạ và E(M ) không
phân tích được rõ ràng h

f (X)

= f −1

f (X) .

Chúng ta nhận thấy rằng N ∩

(f −1 − h)(M ) = 0. Thật vậy, lấy n ∈ N sao cho n = (f −1 − h)(m ) với
m ∈ M . Khi đó f −1 (m ) = h(m ) + n ∈ N . Tác động f cả hai vế ta được
m = f (f −1 (m )) = f (h(m ) + n ) với m ∈ f (X). Do n = (f −1 − h)(m ) =
0,Bởi vì h

f (X) =
−1

N ⊆∗ E(N ), (f

f −1

f (X) và

m ∈ f (X) .Kết quả chứng minh đúng vì

− h)(M ) = 0. Do đó f −1 (M ) = h(M ) ⊆ N .

Chiều ngược lại chứng minh tương tự.
2.2.4 Mệnh đề. Giả sử R là một vành không có phần tử luỹ đẳng không
tầm thường. R là vành hầu tự nội xạ phải khi và chỉ khi với mỗi phần tử
c ∈ E (RR ) thì c ∈ R hoặc tồn tại một r ∈ R sao cho cr = 1.
Chứng minh. Giả sử R là hầu nội xạ phải. khi đó RR là đều bởi Bổ đề
2.2.2. Cho c ∈ E(RR ) và lc : R → E(RR ) là phép nhân trái đồng cấu. Khi
đó tồn tại f : E(RR ) → E(RR ) sao cho lc |R = f |R . Bởi Mệnh đề 2.2.3 thì
f (R) ⊆ R hoặc f là đẳng cấu và f −1 (R) ⊆ R. Nếu f (R) ⊆ R thì c ∈ R. Nếu
f −1 (R) ⊆ R thì tồn tại r ∈ R sao cho f (r) = 1 nên cr = lc (r) = f (r) = 1.
Giả sử mỗi c ∈ E(RR ) hoặc c ∈ R hoặc tồn tại r ∈ R sao cho cr = 1.
Chúng ta đã có E(RR ) là đều. Nếu e ∈ End(E(RR )) là luỹ đẳng khi đó
hoặc e(1) ∈ R hoặc tồn tại r ∈ R sao cho e(1)r = 1. Nếu e(1) ∈ R thì e(1)
là luỹ đẳng trong R và theo giả thiết e(1) = 0 hoặc e(1) = 1. Do đó e = 0
hoặc e = 1E(R) , bởi vì R⊆∗ E(RR ). Nếu e(1)r = 1 với mỗi r ∈ R khi đó
e(1) = 1 vì thế e(1) = e(e(r)) = e2 (r) = e(r) = 1. Vì vậy e |RR = 1RR .
Chúng ta tiếp tục chứng tỏ rằng e = 1E(RR ) . Giả sử ngược lại tồn tại
x ∈ E(RR ) sao cho e(x) = x. Khi đó e(x) − x = 0. Vì R⊆∗ E(RR ) nên tồn
tại r ∈ R sao cho (e(x) − x)r = 0 và (e(x) − x)r ∈ R. Vì (e(x) − x)r ∈ R
nên (e(x) − x)r = e(e(x) − x)r = 0. Mâu thuẫn với (e(x) − x)r = 0. Bởi

vậy e = 1E(RR ) . Điều này chứng minh được E(RR ) không phân tích được và


24

RR đều. Bây giờ cho f ∈ End(E(RR )). Khi đó bằng giả sử khác f (r) ∈ R
hoặc f (r) = 1 với mỗi r ∈ R. Nếu f (r) ∈ R kéo theo f (R) ⊆ R. Nếu
f (r) = 1 với mỗi r ∈ R thì f |rR : rR → R là đẳng cấu. Bởi vì E(RR ) là
nội xạ , f là một đẳng cấu trên E(RR ) và f −1 (R) = rR ⊆ R. Theo Mệnh
đề 2.2.3, R là hầu tự nội xạ.
Tính chất địa phương của vành các tự đồng cấu của một môđun ảnh
hưởng sâu sắc đến sự phân tích môđun thành tổng trực tiếp đồng thời có
quan hệ chặt chẽ với tính chất nội xạ.
2.2.5 Bổ đề. Cho M là môđun hầu tự nội xạ không phân tích được. Khi
đó với mỗi f, g ∈ S = End(M )
(i) Nếu Ker(f ) ⊆ Ker(g) và Ker(f ) = Ker(g) thì Sg ⊆ Sf và Sg =
Sf .
(ii) Nếu Ker(f ) ⊆ Ker(g) thì Sg ⊆ Sf hoặc Sg ⊆ Sf .
Chứng minh. Định nghĩa φ : f (M ) → g(M ) bởi φ(f (M )) = g(M )φ là R đồng cấu
(i) . Chúng ta có Ker(f ) ⊆ Ker(g) và Ker(f ) = Ker(g), khi đó φ không
là ánh xạ một một. Giả sử φ có thể mở rộng trên M . Do đó tồn tại ψ ∈ S
sao cho ψ(f (m)) = φ(f (m)) mỗi m ∈ M . Khi đó g(m) = (ψ ◦ f )(m) với
mọi m ∈ M . Kết quả Sg ⊆ Sf và Sg = Sf .
(ii). Cho Ker(f ) = Ker(g). Trong trường hợp này φ là một một. Do đó
φ có thể mở rộng thành tự đồng cấu ψ ∈ S hoặc tồn tại η ∈ S sao cho
η ◦ φ = 1f (m). Nếu φ = ψ rộng thành tự đồng cấu ψ ∈ S hoặc tồn tại
η ∈ S sao cho η ◦ φ = 1f (m). Nếu φ = ψ trên f (M ) thì Sg ⊆ Sf nên
η ◦ φ = 1f (m) thì f (m) = (φ ◦ ψ)f (m) = η(g(m)) = (η ◦ g)(m) với mỗi
m ∈ M . Do đó Sf ⊆ Sg.
2.2.6 Định nghĩa. Môđun M được gọi là môđun chuỗi nếu tập hợp các

môđun con của nó là tập sắp thứ tự tuyến tính theo quan hệ bao hàm.