Về các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian 2 mêtric

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1

4

Không gian mêtric và không gian 2-mêtric

1.1. Không gian mêtric và ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Không gian 2-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Định lý điểm bất động cho các ánh xạ co trong không gian
2-mêtric

17

2.1. Định lý điểm bất động cho các ánh xạ co trong không gian
2-mêtric

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng trong không
gian 2-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


2

MỞ ĐẦU

Không gian mêtric và sự tồn tại các định lý điểm bất động đối với
ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ là các đối tượng nghiên cứu
cơ bản của toán Giải tích. Có rất nhiều hướng nghiên cứu tìm cách mở
rộng khái niệm không gian mêtric và các ứng dụng của nó. Các hướng
nghiên cứu này đã thu được nhiều lớp không gian tổng quát hơn không
gian mêtric hoặc là các lớp không gian có cấu trúc tương tự. Các định
lý điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian mêtric được nghiên
cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, trên nhiều loại không gian mêtric
khác nhau. Các định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực của toán học như Giải tích, Phương trình vi tích phân...

Năm 1963, S. G¨ahler (xem [4]) đã đưa ra một lớp không gian tương
tự không gian mêtric là không gian 2-mêtric. Sau đó, các vấn đề hội tụ,
liên tục của ánh xạ, sự tồn tại điểm bất động cho ánh xạ co,... trên lớp
không gian này đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học khác (xem
[5], [6],...).
Nhằm tìm hiểu một cách chi tiết và có hệ thống về không gian 2mêtric và sự tồn tại điểm bất động cho một số lớp ánh xạ co suy rộng
trên không gian này, tôi chọn đề tài cho khoá luận là:
Về các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian
2- mêtric.
Chúng tôi sẽ trình bày khái niệm, tính chất cơ bản về không gian
2-mêtric và đưa ra một số dạng định lý điểm bất động đối với ánh xạ co
suy rộng cho đối với không gian 2-mêtric. Với nội dung trên, khoá luận


3

được viết thành 2 chương:
Chương 1. Không gian mêtric và không gian 2-mêtric.
Chương 2. Định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian 2mêtric.
Các kết quả chính của khoá luận được trình bày từ bài báo [3].
Khoá luận được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng
dẫn chu đáo, tận tình của Thầy giáo Th.S . Kiều Phương Chi. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy. Đồng thời tác giả xin gửi
lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong khoa
Toán đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng
xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, các bạn sinh viên lớp 47AToán và tất cả bạn bè đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận. Mặc dù đã
có rất nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên khoá luận không
thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những lời
chỉ bảo quý báu của các thầy cô và những góp ý của bạn đọc để khoá

luận được hoàn thiện hơn.

Vinh, tháng 05 năm 2010

Hoàng Thị Thuỷ


4

CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN MÊTRIC VÀ KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC

Chương này trình bày một số vấn đề cơ bản của không gian mêtric và
không gian 2-mêtric.
1.1. Không gian mêtric và ánh xạ co
Trong mục này, chúng tôi trình bày lại một số kết quả cơ bản về không
gian mêtric và các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian
mêtric.
1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. Hàm d : X × X → R
được gọi là một mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1) d(x, y)

0, với mọi x, y ∈ X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.

2) d(x, y) = d(y, x), với mọi x, y ∈ X.
3) d(x, y)

d(x, z) + d(z, y) ,với mọi x, y, z ∈ X.

Khi đó, (X, d) được gọi là một không gian mêtric.

1.1.2 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric. Dãy {xn } ⊂ X
được gọi là hội tụ tới x ∈ X và ký hiệu là xn → x,(x được gọi là giới hạn
của dãy {xn }), nếu lim d(xn , x) = 0.
n→∞

Trong không gian mêtric giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất.
1.1.3 Định nghĩa. Không gian mêtric X được gọi là compact nếu mọi
dãy thuộc X đều có dãy con hội tụ trong X.
1.1.4 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric.


5

Dãy {xn } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu

lim d(xm , xn ) = 0.

m,n→∞

Không gian (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy của X đều
hội tụ trong X.
1.1.5 Định nghĩa. Cho (X, d), (Y, ρ) là các không gian mêtric và ánh
xạ f : X → X.
1) ánh xạ f được gọi là liên tục nếu với mọi dãy {xn } ⊂ X và xn → x
thì f (xn ) → f (x).
2) ánh xạ f được gọi là liên tục đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε)
sao cho:
ρ(f x, f y) < ε, ∀x, y ∈ X, d(x, y) < δ.
Ta chứng minh được mọi ánh xạ liên tục đều là liên tục. Mệnh đề
ngược lại là không đúng.

1.1.6 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric. ánh xạ f :
X → X được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho:
d f x, f y

qd(x, y), ∀x, y ∈ X.

Dễ dàng kiểm tra được mọi ánh xạ co là liên tục đều.
1.1.7 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric và ánh xạ
f : X → X. Điểm a ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f a = a.
1.1.8 Định lý. (Banach, [1]) Mọi ánh xạ co trên không gian mêtric đầy
đủ đều có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Cố định x0 ∈ X và xác định dãy {xn } bằng quy nạp như
sau
xn+1 = f xn , n = 0, 1, 2, . . .
Ta có

d(x1 , x2 ) = d(f x0 , f x1 )

qd(x0 , x1 )

d(x2 , x3 ) = d(f x1 , f x2 )

qd(x1 , x2 )

q 2 d(x0 , x1 ).


6

Do đó bằng quy nạp ta chứng minh được

q n d(x0 , x1 ), ∀n = 1, 2, . . .

d(xn , xn+1 )
Từ đó suy ra
d(xn , xn + p)

d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + · · · + d(xn+p−1 , xn+p )
(q n + q n+1 + · · · + q n+p−1 )d(x0 , x1 )
qn
d(x0 , x1 )
1−q

với mọi n, p ∈ N∗ . Vì 0

q < 1 nên lim d(xn , xn+p ) = 0, tức là {xn } là
n→∞

dãy Cauchy trong không gian mêtric đầy đủ X. Đặt
a = lim xn .
n→∞

Do tính liên tục của ánh xạ f , ta có
a = lim xn+1 = lim f xn = f ( lim xn ) = f a.
n→∞

n→∞

n→∞

Vậy a là điểm bất động của f .

Bây giờ, giả sử b là điểm bất động của f . Từ bất đẳng thức
d(a, b) = d(f a, f b)

qd(a, b)

và q ∈ [0, 1) ta suy ra d(a, b) = 0 hay a = b. Vậy f có duy nhất điểm bất
động.
Ví dụ sau cho thấy trong nguyên lý ánh xạ co của Banach nếu thay
điều kiện ánh xạ co bởi điều kiện
d(f x, f y)

d(x, y), ∀x, y ∈ X

thì kết luận là không đúng.
1.1.9 Ví dụ. Trên tập số tự nhiên N ta xét mêtric

0
nếu m = n
d(m, n) =
1
1 +
nếu m = n.
m+n

(1.1)


7

Dễ dàng kiểm tra được (N, d) là không gian mêtric đầy đủ.

Xét ánh xạ f : N → N được cho bởi f n = n + 1. Rõ ràng f không có
điểm bất động. Tuy nhiên
d(f m, f n) < d(m, n), ∀m = n.
Thật vậy, nếu m = 0 thì
d(f m, f 0) = d(m + 1, 1) = 1 +

1
1
<1+
= d(m, 0).
m+2
m

Nếu m = n và mn = 0 thì
d(f m, f n) = d(m + 1, n + 1) = 1 +

1
1
<1+
= d(m, n).
m+n+2
m+n

Nếu X là không gian mêtric compact thì điều kiện (1.1) là chấp nhận
được. Ta thu được nguyên lý ánh xạ co của Brower cho không gian mêtric
compact.
1.1.10 Định lý. (Brower, [1]) Cho X là một không gian mêtric compact
và ánh xạ f : X → X. Nếu
d(f x, f y) < d(x, y), ∀x, y ∈ X và x = y

(1.2)

thì f có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Từ điều kiện (1.2) dễ dàng suy ra f là ánh xạ liên tục. Bây
giờ xét hàm thực
ϕ(x) = d(f x, x), x ∈ X.
Vì f và d liên tục nên ϕ là hàm liên tục. Từ X là không gian mêtric
compact nên ϕ đạt giá trị nhỏ nhất tại a ∈ X. Giả sử f a = a. Khi đó
d(f 2 a, f a) < d(f a, a).
Do đó ϕ(f a) < ϕ(a). Mâu thuẫn với ϕ đạt giá trị bé nhất tại a. Vậy
f a = a hay a là điểm bất động của f .


8

Bây giờ, giả sử b = a là điểm bất động của f . Khi đó
d(a, b) = d(f a, f b) < d(a, b).
Ta nhận được sự mâu thuẫn. Vậy f có duy nhất một điểm bất động.
1.2. Không gian 2-mêtric
1.2.1 Định nghĩa. Cho X là tập hợp gồm ít nhất 3 điểm. Một 2-mêtric
trên X là một ánh xạ :
ρ:X ×X ×X →R
thoả mãn các điều kiện sau:
i) Với mỗi cặp điểm a, b ∈ X mà a = b, tồn tại một điểm c nào đó
thuộc X thoả mãn
ρ(a, b, c) = 0.
Nếu có ít nhất 2 điểm bằng nhau thì ρ(a, b, c) = 0.
ii) ρ(a, b, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b), ∀a, b, c ∈ X.
ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(d, b, c), ∀a, b, c, d ∈ X.

iii)ρ(a, b, c)

Khi đó, (X, ρ) được gọi là một không gian 2-mêtric.
1.2.2 Chú ý. Dễ dàng thấy ρ không âm.Thật vậy, trong iii) cho a = c
ta được
ρ(a, b, a)

ρ(a, b, d) + ρ(a, a, d) + ρ(d, b, a), ∀a, b, d ∈ X

⇔

0

2ρ(a, b, d), ∀a, b, d ∈ X.

⇔

0

ρ(a, b, d), ∀a, b, d ∈ X.

1.2.3 Ví dụ. Cho X = (a, b, c, d). Ta xác định ánh xạ ρ : X ×X ×X → R
như sau
ρ(a, b, c) = 2, ρ(a, c, d) = 3,
ρ(b, c, d) = 5, ρ(a, b, d) = 6,


9

và ρ(x, y, z) = 0 nếu x, y, z có ít nhất 2 phần tử bằng nhau.

Khi đó, (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. Thật vậy, X là tập hợp
nhiều hơn 3 điểm thoả mãn:
i) Với mỗi cặp điểm (x, y) ∈ X mà x = y, tồn tại một điểm z nào đó
thuộc X thoả mãn:
ρ(x, y, z) = 0.
Mặt khác ρ(x, y, z) = 0, ∀x, y, z ∈ X (do không tồn tại 2 điểm nào
bằng nhau).
ii) ρ(x, y, z) = ρ(y, z, x) = ρ(z, x, y), ∀x, y, z ∈ X
iii) Bất đẳng thức ρ(x, y, z)

ρ(x, y, t) + ρ(x, z, t) + ρ(t, y, z) luôn

đúng với ∀x, y, x, t ∈ X.
1.2.4 Ví dụ. Trên tập số tự nhiên N ta xét mêtric:
ρ(a, b, c) =

1 nếu a, b, c khác nhau đôi một
0 nếu có ít nhất 2 điểm bằng nhau.

i) Lấy a, b ∈ N ; a = b thì luôn tồn tại c ∈ N, c = a, c = b sao cho:
ρ(a, b, c) = 1 = 0.
Nếu có ít nhất 2 điểm bằng nhau thì ρ(a, b, c) = 0.
ii) Với mọi a, b, c ∈ N thì
ρ(a, b, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b).
iii) Lấya, b, c, d ∈ X
- Nếu có ít nhất 2 trong 3 điểm a, b, c bằng nhau thì hiển nhiên
0 = ρ(a, b, c) + ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(b, c, d).
- Nếu a, b, c khác nhau đôi một thì
ρ(a, b, c) = 1

ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(b, c, d), ∀a, b, c, d ∈ N,

(do (a, b, d), hoặc (a, c, d), hoặc(b, c, d) khác nhau đôi một). Vậy (N, ρ) là
một không gian 2-mêtric.


10

1.2.5 Ví dụ. (R2 , ρ) là một không gian 2-mêtric, với ρ(x, y, z) là diện
tích tam giác tạo bởi 3 đỉnh x, y, z ∈ R2 . Thật vậy, xét ánh xạ:
ρ : R2 × R2 × R2 →

R

(A, B, C) → SABC .
i) Lấy (A, B) ∈ R2 × R2 là hai điểm phân biệt. Khi đó: ∃C ∈ R2 sao
cho A, B, C không thẳng hàng thì:
ρ(A, B, C) = SABC > 0.
Khi có ít nhất 2 điểm trong 3 điểm A, B, C trùng nhau thì

ABC suy

biến nên SABC = 0. Tức là ρ(A, B, C) = 0.
ii) Rõ ràng ta luôn có:
SABC = SBCA = SCAB , ∀(A, B, C) ∈ R2 × R2 × R2 .
iii) Lấy (A, B, C) ∈ R2 × R2 × R2 .
Trường hợp 1: Nếu SABC = 0 thì hiển nhiên
0 = SABC

SABD + SACD + SBCD , ∀D ∈ R2 .

Trường hợp 2: Nếu SABC > 0 : LấyD bất kỳ, D ∈ R2 , có 3 khả năng sau
xảy ra:
KN1: D không nằm miền ngoài tam giác ABC (D nằm miền trong
hoặc nằm trên các cạnh, Hình 1) thì
SABC = SABD + SACD + SBCD .
KN2: D nằm ở miền (1),(3),(5) như Hình 2. Không mất tính tổng
quát, giả sử D ∈ miền (1). Khi đó
SABC = SCBD − SCDA − SBAD < SABD + SACD + SBCD .
KN3: D nằm ở miền (2),(4),(6) và biên như Hình 3. Không mất tính
tổng quát, giả sử D ∈ miền (2). Khi đó
SABC = SABD + SACD − SBCD < SABD + SACD + SBCD .


11

Vậy (R2 , ρ) là không gian 2-mêtric.
D

(1)

A

A
(2)

(6)

A

D

B
B
C

(3)

(5)

B

Hình 1

C

C

(4)

Hình 2

Hình 3

D

1.2.6 Định nghĩa. Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric.
Dãy {xn } ⊂ X được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu lim ρ(xn , x, a) = 0,
n→∞

với mọi a ∈ X.
1.2.7 Mệnh đề. Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. Khi đó
1)Nếu dãy {xn } ⊂ X hội tụ tới x ∈ X và {xn } ⊂ X hội tụ tới y thì
x = y.
2) Nếu dãy {xn } hội tụ tới x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ tới x.
Chứng minh. 1) Giả sử x = y. Khi đó, tồn tại z ∈ X sao cho
ρ(x, y, z) = 0.
Mặt khác, ta có
ρ(x, y, z)

ρ(xn , x, z) + ρ(xn , y, z) + ρ(xn , x, y),

với mọi n = 0, 1, 2 . . . Vì xn hội tụ tới x và xn hội tụ tới y nên
lim ρ(xn , x, z) = lim ρ(xn , y, z) = lim ρ(xn , x, y) = 0.

n→∞

n→∞

n→∞

Do đó ρ(x, y, z) = 0. Ta nhận được sự mâu thuẫn. Từ đó suy ra điều
phải chứng minh.


12

2) Giả sử dãy {xn } hội tụ tới x trong không gian 2-mêtric (X, ρ) và
{xnk } ⊂ {xn }. Ta chứng minh
xnk → x khi k → ∞.

Thật vậy, do {xnk } là một dãy con của {xn } nên ta có thể chọn cách
đánh số sao cho nk > k, ∀k ∈ N. Vì xn → x nên: ∀ε > 0, ∃ no ∈ N :
ρ(xk , x, a) < ε, ∀ k > no .
Khi đó,với nk > k, ∀ k ∈ N ta có
ρ(xnk , x, a) < ε, ∀ k > no , ∀ a ∈ X.
Từ đó suy ra
lim ρ(xnk , x, a) = 0, ∀ a ∈ X.

n→∞

Tức là ta có

xn k → x ∈ X.

Như vậy, tương tự không gian mêtric, giới hạn của dãy trong không
gian 2-mêtric nếu có là duy nhất.
1.2.8 Mệnh đề. Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. Nếu {xn } ⊂ X
hội tụ tới x thì ρ(xn , a, b) → ρ(x, a, b) khi n → ∞, với mọi a, b ∈ X.
Chứng minh. Giả sử xn hội tụ tới x. Khi đó ρ(xn , x, a) → 0 khi n → ∞
với mọi a ∈ X. Với mọi a, b ∈ X ta có
ρ(xn , a, b)

ρ(xn , x, a) + ρ(xn , x, b) + ρ(x, a, b)

⇔ ρ(xn , a, b) − ρ(x, a, b)

ρ(xn , x, a) + ρ(xn , x, b).

(1.3)

Tương tự, ta có
ρ(x, a, b)

ρ(xn , x, a) + ρ(xn , x, b) + ρ(xn , a, b)

⇔ −ρ(xn , x, a) − ρ(xn , x, b)

ρ(xn , a, b) − ρ(x, a, b).

Từ (1.3) và (1.4) ta suy ra
|ρ(xn , a, b) − ρ(x, a, b)|

ρ(xn , x, a) + ρ(xn , x, b).

Cho n → ∞ ta nhận được điều cần chứng minh.

(1.4)


13

1.2.9 Định nghĩa. Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric.
Dãy {xn } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu

lim ρ(xm , xn , a) = 0, với

m,n→∞

mọi a ∈ X.
1.2.10 Nhận xét. Sử dụng Mệnh đề 1.2.8 ta dễ dàng chứng minh được

dãy hội tụ trong không gian 2-mêtric là dãy Cauchy. Thật vậy, giả sử xn
hội tụ tới x ∈ X, ta luôn có
lim ρ(xn , x, a) = 0, ∀a ∈ X.

n→∞

Khi đó theo tính chất của không gian 2-mêtric ta có
0

ρ(xm , xn , a)

ρ(xn , x, a) + ρ(xm , x, a) + ρ(xm , xn , x), ∀a ∈ X.

Lấy giới hạn hai vế của bất đẳng thức trên khi m, n → ∞ ta được
lim ρ(xm , xn , a) = 0.

m,n→∞

Do đó, {xn } là dãy Cauchy trong không gian 2-mêtric X.
1.2.11 Định nghĩa. Không gian 2-mêtric (X, ρ) được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy Cauchy đều hội tụ.
1.2.12 Ví dụ. (R2 , ρ), trong đó ρ(x, y, z) là diện tích tam giác với các
đỉnh x, y, z là không gian 2-mêtric đầy đủ.
Chứng minh. Gọi ρ1 là mêtric khoảng cách trong mặt phẳng. Giả sử
x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) thì
ρ1 (x, y) =

|x1 − y1 |2 + |x2 − y2 |2 .

Kí hiệu xy là đường thẳng qua hai điểm x, y ∈ R2 và d(a/xy) là

khoảng cách từ điểm a ∈ R2 đến đường thẳng xy. Ta có:
1
ρ(x, y, a) = d(a/xy).ρ1 (x, y), ∀a ∈ R2 .
2


14

Giả sử {xn } là dãy Cauchy trong (R2 , ρ). Khi đó, với mọi a ∈ R2 ta
có
ρ(xn , xm , a) → 0 khi m, n → ∞.
Do đó
1
d(a/xn xm ).ρ1 (xn , xm ) → 0 khi m, n → ∞.
2
Vì a là tuỳ ý nên
ρ1 (xn , xm ) → 0 khi m, n → ∞.
Từ đó suy ra: {xn } là một dãy Cauchy trong (R2 , ρ1 ).
Mặt khác ρ1 là một mêtric đầy đủ trong R2 nên khi n → ∞ ta suy ra
x n → x ∈ R2
theo mêtric ρ1 . Khi đó, dễ dàng kiểm tra được xn → x theo 2-mêtric ρ.
Vậy (R2 , ρ) là không gian 2-mêtric đầy đủ.
1.2.13 Định nghĩa. Cho (X, ρ), (Y, d) là các không gian 2-mêtric.
1).ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mọi dãy
{xn } ⊂ X hội tụ tới x thì dãy f (xn ) hội tụ tới f (x) trong Y .
2)ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục nếu f liên tục tại mọi x ∈ X.
Trong định nghĩa trên ta có thể thay (Y, d) là không gian mêtric.
1.2.14 Định nghĩa. Không gian 2-mêtric (X, ρ) được gọi là compact
theo dãy nếu mọi dãy {xn } ⊂ X đều chứa dãy con hội tụ trong X.
1.2.15 Ví dụ. Cho X = (a, b, c, d). Ta xác định ánh xạ ρ : X ×X ×X →

R như sau
ρ(a, b, c) = 2, ρ(a, c, d) = 3,
ρ(b, c, d) = 5, ρ(a, b, d) = 6,
và ρ(x, y, z) = 0 nếu x, y, z có ít nhất 2 phần tử bằng nhau.


15

Khi đó, dễ dàng chứng minh được (X, ρ) là một không gian 2-mêtric
đầy đủ. Ngoài ra, X compact theo dãy. Tổng quát, nếu X hữu hạn thì
(X, ρ) compact theo dãy với mọi 2-mêtric ρ.
1.2.16 Định lý. Mọi ánh xạ liên tục từ không gian 2-mêtric compact
theo dãy (X, ρ) vào R (với mêtric thông thường) đều có giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất.
Chứng minh. Giả sử (X, ρ) là không gian 2-mêtric compact theo dãy và
f : X → R là ánh xạ liên tục. Đầu tiên, ta chứng minh f (X) là tập bị
chặn.
Giả sử ngược lại f (X) không bị chặn. Khi đó, tồn tại dãy {xn } ⊂ X
sao cho yn = f (xn ) → ∞.Vì X là compact theo dãy nên tồn tại dãy
con {xnk } của {xn } sao cho xnk hội tụ tới x ∈ X. Vì f liên tục nên
f (xnk ) → f (x). Từ đó suy ra: f (x) = ∞.Ta nhận được sự mâu thuẫn.
Vậy f (X) là tập bị chặn. Gọi m = inf f (X) và M = sup f (X). Khi đó:
tồn tại các dãy {yn }, {zn } ⊂ f (X) sao cho
yn → m ∈ f (X);
zn → M ∈ f (X).
Do f là ánh xạ nên tương ứng tồn tại các dãy {xn }, {xn } ⊂ X sao cho
f (xn ) = yn ; f (xn ) = zn .
Vì X là không gian 2-mêtric compact theo dãy nên tồn tại các dãy
con {xnk } ⊂ {xn }; {xnk } ⊂ {xn } sao cho
x nk → x 0 ,

x nk → x 0 .

Do f liên tục nên
f (xnk ) → f (x0 ); f (xnk ) → f (x0 ).

(1.5)


16

Mặt khác
f (xnk ) = ynk → m; f (xnk ) = znk → M.

(1.6)

Từ (1.5) và (1.6) suy ra
f (x0 ) = m; f (x0 ) = M.
Vậy, m và M tương ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f trên X.


17

CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO CÁC ÁNH XẠ CO
TRONG KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC

Chương này trình bày một số kết quả về định lý điểm bất động đối
với các ánh xạ co trong không gian 2-mêtric.
2.1. Định lý điểm bất động cho các ánh xạ co trong không gian

2-mêtric
Mục này trình bày các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong
không gian 2-mêtric. Đây là sự tương tự của các nguyên lý ánh xạ co đối
với không gian mêtric.
2.1.1 Định nghĩa. Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. ánh xạ
f : X → X được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho
ρ(f x, f y, a)

qρ(x, y, a), ∀x, y, a ∈ X.

(2.1)

Định lý sau là một tương tự của nguyên lý ánh xạ co Banach trong
không gian mêtric.
2.1.2 Định lý. Nếu (X, ρ) là không gian 2-mêtric đầy đủ và f : X → X
là một ánh xạ co thì f có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Lấy x0 ∈ X và lập dãy
x1 = f x 0
x2 = f x 1 , . . . ,
xn = f xn−1 = f n x0 , . . .


18

Ta chứng minh ρ(xn+2 , xn+1 , xn ) = 0 với mọi n. Thật vậy
0 ρ(xn+2 , xn+1 , xn ) = ρ(f xn+1 , f xn , xn )
qρ(xn+1 , xn , xn ) = 0
Từ đó suy ra
ρ(xn+2 , xn+1 , xn ) = 0 với mọi n = 0, 1, 2 . . .

(2.2)

Tiếp theo, với mọi a ∈ X ta có
ρ(xn , xn+1 , a) = ρ(f xn−1 , f xn , a)

qρ(xn−1 , xn , a), ∀n

1.

Từ đây suy ra
ρ(xn , xn+1 , a)

q n ρ(x0 , x1 , a), ∀n

1.

Với m = n + p > n, từ tính chất của 2-mêtric suy ra
ρ(xm , xn , a) = ρ(xn+p , xn , a)
ρ(xn , xn+1 , a) + ρ(xn+1 , xn+2 , a) + · · · + ρ(xn+p−1 , xn+p , a)
(q n + q n+1 + · · · + q n+p )ρ(x0 , x1 , a)
qn
ρ(x0 , x1 , a).
<
1−q
Từ 0

q < 1 suy ra ρ(xm , xn , a) → 0 khi m, n → ∞.Vậy {xn } là dãy

Cauchy. Vì X là không gian 2-mêtric đầy đủ nên xn hội tụ tới x ∈ X.
Từ đó suy ra

xn+1 → x khi n → ∞.
Ta chứng minh x là điểm bất động của f . Với mọi a ∈ X, ta có
0 ρ(x, f x, a) = lim ρ(xn+1 , f x, a) = lim ρ(f xn , f x, a)
n→∞

n→∞

q lim ρ(xn , x, a) = 0.
n→∞

Ta nhận được ρ(x, f x, a) = 0 với mọi a ∈ X, tức là f x = x.
Để kết thúc chứng minh, ta chỉ ra x là điểm bất động duy nhất của
f . Giả sử y là điểm bất động của f . Khi đó, với mọi a ∈ X ta có
ρ(x, y, a) = ρ(f x, f y, a)

qρ(x, y, a).

Từ q ∈ [0, 1) ta suy ra ρ(x, y, a) = 0 với mọi a ∈ X, tức là x = y.


19

Định lý sau là một tương tự của Định lý điểm bất động của Brower.
2.1.3 Định lý. Cho (X, ρ) là không gian 2-mêtric compact theo dãy. Nếu
f : X → X thoả mãn
ρ(f x, f y, a) < ρ(x, y, a), ∀x, y ∈ X, x = y
thì f có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh f là ánh xạ liên tục. Ta cần chứng
minh, nếu xn → x thì f xn → f x. Thật vậy:
0

ρ(f xn , f x, a)

ρ(xn , x, a) → 0, ∀a ∈ X.

Ta được điều cần chứng minh.
Bây giờ, với mỗi a ∈ X xét hàm thực
ϕa (x) = ρ(x, f x, a), x ∈ X.
Từ f liên tục và áp dụng Mệnh đề 1.2.8 suy ra ϕa là hàm liên tục. Do
đó, theo Định lý 1.2.16, ϕ đạt giá trị nhỏ nhất trên X. Khi đó, tồn tại
xa ∈ X sao cho ϕ(xa ) = min ϕ(x).
x∈X

Ta chứng minh xa là điểm bất động của f . Thật vậy, giả sử f xa = xa .
Khi đó
ϕa (xa )

ϕa (f xa ).

Từ đó suy ra
ρ(xa , f xa , a)

ρ(f xa , f 2 xa , a)

ρ(xa , f xa , a).

Ta nhận được sự mâu thuẫn. Vậy f xa = xa .
Để chứng minh f có duy nhất điểm bất động, ta cần chứng minh
xa = xb với mọi a, b ∈ X. Thật vậy, nếu xa = xb thì tồn tại c ∈ X sao
cho:

0 < ρ(xa , xb , c) = ρ(f xa , f xb , c) < ρ(xa , xb , c).
Ta nhận được sự mâu thuẫn. Định lý được chứng minh.


20

2.2. Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng trong không
gian 2-mêtric
Trong mục này, chúng tôi đưa ra một số định lý điểm bất động đối với
ánh xạ co suy rộng dựa trên một ánh xạ khác trong không gian 2-mêtric
đầy đủ.
2.2.1 Định nghĩa. Cho (X, ρ) là một không gian 2- mêtric.
1) ánh xạ T : X → X được gọi là dãy hội tụ nếu với mọi dãy {yn }
sao cho dãy {T yn } hội tụ thì dãy {yn } cũng hội tụ.
2) ánh xạ T : X → X được gọi là dãy con hội tụ nếu với mọi dãy
{yn } sao cho dãy {T yn } hội tụ thì dãy {yn } có dãy con hội tụ.
2.2.2 Mệnh đề. Cho T : X → X là một song ánh. Khi đó:
1) Nếu T liên tục và dãy hội tụ thì T −1 liên tục.
2) Nếu T −1 liên tục thì T dãy hội tụ.
Chứng minh. 1) Giả sử T là dãy hội tụ. Lấy {yn } là một dãy trong
X sao cho yn → y ∈ X. Vì T là song ánh nên tồn tại duy nhất dãy
{xn } ⊂ X, x ∈ X sao cho T (xn ) = yn , ∀n = 1, 2 . . . và T (x) = y.
Vì T liên tục và dãy hội tụ nên xn → x. Do đó T −1 (yn ) → T1 (y). Điều
này chứng tỏ T −1 liên tục.
2) Giả sử T −1 liên tục và T (xn ) → y ∈ X. Khi đó, tồn tại duy
nhất x ∈ X sao cho y = T (x). Do T −1 liên tục nên ta kết luận được
T −1 T (xn ) → T −1 T (x) hay xn → x. Điều này chứng tỏ T là dãy hội
tụ.
2.2.3 Ví dụ. Xét không gian 2-mêtric (R2 , ρ), với ρ(x, y, z) là diện tích
tam giác tạo bởi các đỉnh x, y, z ∈ R2 .

1) Lấy X = X1 ∪ X2 ⊂ R2 xác định bởi
X1 = {(x, 1) : x

1}; X2 = {(1, y) : y

1}.


21

Khi đó, X là không gian 2-mêtric đầy đủ với 2-mêtric cảm sinh từ R2 .
Ta xác định ánh xạ T : X → X như sau
T (x, 1) = (lnx + 1, 1), ∀(x, 1) ∈ X1 ,
T (1, y) = (1, lny + 1), ∀(1, y) ∈ X2 .
Dễ dàng chứng minh được T liên tục và dãy hội tụ.
2) Lấy Y = Y1 ∪ Y2 ⊂ R2 xác định bởi
Y1 = {(x, 0) : x

0}; Y2 = {(0, y) : y

0}.

Khi đó, Y là không gian 2-mêtric đầy đủ với 2-mêtric cảm sinh từ R2 .
Ta xác định ánh xạ T : Y → Y như sau
T (x, 0) = (e−x , 0), ∀(x, 0) ∈ Y1 ,
T (0, y) = (0, e−y ), ∀(0, y) ∈ Y2 .
Dễ dàng chứng minh được T liên tục nhưng không phải là dãy hội tụ.
Thật vậy, ta thấy rằng T (n, 0) → (0, 0) khi n → ∞ nhưng (n, 0) không
hội tụ.
Định lý sau đây đưa ra một kết quả về sự tồn tại điểm bất động đối

với lớp ánh xạ co suy rộng. Đây là sự mở rộng thực sự một kết quả Lai
và Singh (xem [7]).
2.2.4 Định lý. Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric đầy đủ và ánh xạ
T : X → X là song ánh, liên tục và dãy hội tụ. Nếu φ1 , φ2 : X → X là
hai ánh xạ thoả mãn với ∀x, y, a ∈ X,
ρ T Φ 1 x , T Φ2 y , T a

a1 ρ T x, T Φ1 x , T a + a2 ρ T y, T Φ2 y , T a
+ a3 ρ T x, T Φ2 y , T a + a4 ρ T y, T Φ1 x , T a
+ a5 ρ T x, T y, T a ,
(2.3)


22
5

với a1 , a2 , a3 , a4 , a5 là các số thực không âm thỏa mãn

ai < 1 và
i=1

(a1 − a2 )(a3 − a4 )

0. Khi đó, φ1 và φ2 có một điểm bất động chung duy

nhất.
Chứng minh. Với mỗi số thực x, kí hiệu [x] là phần nguyên của x. Đặt
a1 + a3 + a5
,
1 − a2 − a3

a2 + a4 + a5
.
β :=
1 − a1 − a4
α :=

Ta có
1 − αβ = 1 − (

a1 + a3 + a5 a2 + a4 + a5
)(
)
1 − a2 − a3 1 − a1 − a4
5

ai + [1 − (a1 + a2 + a3 + a4 )]

(a1 − a2 )(a3 − a4 ) − a5
i=1

=

(1 − a2 − a3 )(1 − a1 − a4 )
5

4

0 − a5

ai + 1 −

ai
i=1

i=1

(1 − a2 − a3 )(1 − a1 − a4 )
5

1−
>
Từ đó suy ra

ai
i=1

(1 − a2 − a3 )(1 − a1 − a4 )

> 0.

αβ < 1.

Lấy xo bất kỳ thuộc X và xác định các dãy như sau
x2n+1 = φ1 x2n , x2n+2 = φ2 x2n+1 , n = 0, 1, 2, . . .
và
yn = T xn , n = 0, 1, 2, . . .
Đầu tiên, ta sẽ chứng minh {yn } là dãy Cauchy. Với bất kỳ số nguyên


23

không âm n, áp dụng (2.3) ta có
ρ(y2n , y2n+1 , y2n+2 ) = ρ T φ1 x2n , T φ2 x2n+1 , T x2n
a1 ρ T x2n , T φ1 x2n , T x2n
+ a2 ρ T x2n+1 , T φ2 x2n+1 , T x2n
+ a3 ρ T x2n , T φ2 x2n+1 , T x2n
+ a4 ρ T x2n+1 , T φ1 x2n , T x2n
+ a5 ρ T x2n , T x2n+1 , T x2n
= a2 ρ T x2n+1 , T φ2 x2n+1 , T x2n .
Do đó:
ρ(y2n , y2n+1 , y2n+2 )

a2 ρ T x2n+1 , T φ2 x2n+1 , T x2n
= a2 ρ y2n , y2n+1 , y2n+2 .

5

Từ giả thiết 0

a2 <

ai < 1, ta suy ra
i=1

ρ(y2n , y2n+1 , y2n+2 ) = 0.
Chứng minh tương tự ta có
ρ(y2n+1 , y2n+2 , y2n+3 ) = 0.
Mặt khác, vì T là một song ánh nên với mỗi a ∈ X, tồn tại duy nhất
b ∈ Xsao cho T b = a. Vì vậy, với mỗi a bất kỳ thuộcX ta có
ρ(y2n+1 , y2n+2 , a) = ρ T x2n+1 , T x2n+2 , T b

= ρ T Φ1 x2n , T Φ2 x2n+1 , T b
a1 ρ T x2n , T Φ1 x2n , T b + a2 ρ T x2n+1 , T Φ2 x2n+1 , T b
+ a3 ρ T x2n , Φ2 x2n+1 , T b + a4 ρ T x2n+1 , T Φ1 x2n , T b
+ a5 ρ T x2n , T x2n+1 , T b


24

= a1 ρ(y2n , y2n+1 , a) + a2 ρ(y2n+1 , y2n+2 , a) + a3 ρ(y2n , y2n+2 , a)
+ a4 ρ(y2n+1 , y2n+1 , a) + a5 ρ(y2n , y2n+1 , a)
a1 ρ(y2n , y2n+1 , a) + a2 ρ(y2n+1 , y2n+2 , a)
+ a3 ρ(y2n , y2n+1 , a) + ρ(y2n , y2n+1 , y2n+2 )+
ρ(y2n+1 , y2n+2 , a) + a5 ρ(y2n , y2n+1 , a).
Kết hợp với ρ(y2n , y2n+1 , y2n+2 ) = 0, ta có
(1 − a2 − a3 ).ρ(y2n+1 , y2n+2 , a)

(a1 + a3 + a5 ).ρ(y2n , y2n+1 , a).

Từ đó suy ra
ρ(y2n+1 , y2n+2 , a)

(a1 + a3 + a5 )
ρ(y2n , y2n+1 , a),
(1 − a2 − a3 )

tức là
ρ(y2n+1 , y2n+2 , a)

αρ(y2n , y2n+1 , a).

(2.4)

Bằng tính toán tương tự và sử dụng ρ(y2n+1 , y2n+2 , y2n+3 ) = 0 ta có
ρ(y2n+2 , y2n+3 , a)

βρ(y2n+1 , y2n+2 , a).

(2.5)

Từ (2.4) và (2.5) suy ra
ρ(y2n+1 , y2n+2 , a)

(1 + α)(αβ)[

ρ(y2n+2 , y2n+3 , a)

(1 + α)(αβ)[

2n+1
]
2

ρ(y0 , y1 , a)

và
2n+2
]
2

ρ(y0 , y1 , a).

Do đó
ρ(ym , ym+1 , a)

m

(1 + α)(αβ)[ 2 ] ρ(yo , y1 , a),

(2.6)

với mọi m = 1, 2, . . . Ta sẽ chỉ ra
ρ(y0 , y1 , ym ) = 0, ∀m = 0, 1, 2 . . .

(2.7)

Thật vậy, khi m = 0, m = 1 thì khẳng định trên hiển nhiên đúng. Giả
sử công thức (2.7) đúng với mọi 0

m

k − 1, tức là ta cần chứng minh

ρ(yo , y1 , yk ) = 0.


25

Ta có
ρ(y0 , y1 , yk )

ρ(y0 , y1 , yk−1 ) + ρ(y0 , yk−1 , yk ) + ρ(yk−1 , yk , y1 )
(1 + α)(αβ)[

k−1
]
2

ρ(y0 , y1 , y0 ) + ρ(y0 , y1 , y1 ) = 0.

Từ đó suy ra
ρ(y0 , y1 , yk ) = 0.
Như vậy (2.7) đã được chứng minh. Bây giờ, từ
m

(1 + α)(αβ)[ 2 ] ρ(y0 , y1 , yn ),

ρ(ym , ym+1 , yn )
ta suy ra

ρ(ym , ym+1 , yn ) = 0, ∀m, n = 1, 2 . . .

(2.8)

Từ đó suy ra
ρ(ym , yn , a)

ρ(ym , ym+1 , a) + ρ(ym , ym+1 , yn ) + ρ(ym+1 , yn , a)
= ρ(ym , ym+1 , a) + ρ(ym+1 , yn , a), ∀a ∈ X, ∀m < n

Từ(2.6), (2.8) và điều kiện iii) mục 1.2.1, ta có

ρ(ym , yn , a)

ρ(ym , ym+1 , a) + ρ(ym+1 , ym+2 , a) + · · · + ρ(yn−1 , yn , a)
m

m

m

(1 + α) (αβ)[ 2 ] + (αβ)[ 2 ] + · · · + (αβ)[ 2 ] ρ(y0 , y1 , a).
Vì αβ < 1 nên vế phải của bất đẳng thức trên hội tụ tới 0 khi m, n →
∞. Từ đó suy ra {yn } là dãy Cauchy. Vì X là không gian 2-mêtric đầy
đủ nên yn hội tụ tới y ∈ X. Tức là
lim yn = lim T xn = y.
Vì T là ánh xạ dãy hội tụ nên xn hội tụ tới x ∈ X. Từ T liên tục nên ta
suy ra được
T x = y.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh x là điểm bất động chung duy nhất của