Tổng trực tiếp các môđun baer đối ngẫu và điều kiện cấu xạ luận văn thạc sĩ toán học

ệ ệ
r

ệ ệ
ị
é

ữỡ tự ỡ s


ỵ ỗ
P tỷ ụ
õ tỷ
ổ q q
ổ tố
s
ổ
ổ ỷ ỡ ỷ ỡ
ổ A ở
ữỡ ờ trỹ t ổ r ố

ờ trỹ t ổ r ố
ố ỳ r





✷

❈⑩❈ ❑Þ ❍■➏❯
❈→❝ ❦þ ❤✐➺✉ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ r❛ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤õ ②➳✉ ❞ü❛ t❤❡♦ ❉✳ ❑✳ ❚✉✲
t✉♥❝✉ ❛♥❞ ❘✳ ❚r✐❜❛❦ ❬✶✶❪✱ ❲✳ ❑✳ ◆✐❝❤♦❧s♦♥ ❛♥❞ ❙❛♥❝❤❡③ ❈❛♠♣♦s ❬✻❪✱ ❬✼❪✳
m

A⊆B

✿A ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ ❇✳

Rad(M ) ✿❈➠♥ ❏❛❝♦❜s♦♥ ❝õ❛ M ✳
n

⊕ Mi

✿❚ê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ Mi , i ∈ I ✳

lM (I)

✿▲✐♥❤ ❤â❛ tû tr→✐ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ M tr➯♥ I ✳

A⊂⊕ B

✿A ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ B ✳

i=1

✿❑➳t t❤ó❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✸

▼Ð ✣❺❯
❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔♥❤ ❇❛❡r ①✉➜t ❤✐➺♥ tø sü ❦➳t ❤ñ♣ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤
❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ C ∗ ✲ ✤↕✐ sè ✈➔ ✤↕✐ sè ❱♦♥ ✲ ◆❡✉♠❛♥♥✳ ❚r♦♥❣ t❤➟♣ ♥✐➯♥
✺✵ ❝õ❛ t❤➳ ❦✛ ✷✵✱ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔♥❤ ❇❛❡r ✤÷ñ❝ ✤÷❛ r❛ ❜ð✐ ❤❛✐ t→❝ ❣✐↔ ■✳
❑❛♣❧❛♥s❦② ✈➔ ❙✳ ❑✳ ❇❡r❜❡r✐❛♥✳ ◆➠♠ ✶✾✻✼✱ ❏✳ ❈❧❛r❦ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠
✈➔♥❤ ❇❛❡r ✈➔ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔♥❤ tü❛ ❇❛❡r✳ ▲î♣ ✈➔♥❤ ❇❛❡r ✈➔ tü❛
❇❛❡r ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❧þ t❤✉②➳t ✈➔♥❤ ✈➔ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ sü q✉❛♥
t➙♠ ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔✳ ◆➠♠ ✷✵✵✹✱ ❙✳ ❚✳ ❘✐③✈✐ ✈➔ ❈✳ ❙✳ ❘♦♠❛♥ ✤➣ ✤÷❛
r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠æ✤✉♥ ❇❛❡r ✈➔ tü❛ ❇❛❡r ✭①❡♠ ❬✽❪✮✱ ✤➦t ♥➲♥ ♠â♥❣ ❝❤♦ ✈✐➺❝
❝❤✉②➸♥ ❤÷î♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tø ❝➜✉ tró❝ ✈➔♥❤ s❛♥❣ ❝➜✉ tró❝ ♠æ✤✉♥✳ ◆➠♠
✷✵✶✵✱ ❤❛✐ t→❝ ❣✐↔ ❉✳ ❑✳ ❚✉t✉♥❝✉ ✈➔ ❘✳ ❚r✐❜❛❦ ✤➣ sû ❞ö♥❣ t÷ t÷ð♥❣ ✤è✐
♥❣➝✉ ✤➸ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠æ✤✉♥ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉ ✭①❡♠ ❬✶✵❪✮✳
❱➔♥❤ ❝➜✉ ①↕ ①✉➜t ❤✐➺♥ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ tr♦♥❣ ♠ët ❜➔✐ ❜→♦ ♥➠♠ ✶✾✼✻ ❝õ❛
●✳ ❊r❧✐❝❤ ✭①❡♠ ❬✹❪✮✳ ◆➠♠ ✷✵✵✹✱ ❲✳ ❑✳ ◆✐❝❤♦❧s♦♥ ✈➔ ❙✳ ❈❛♠♣♦s ✤÷❛ r❛
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈➔ ♥❤í ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✈➔♥❤ ❝➜✉ ①↕ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❤ì♥ ✭①❡♠ ❬✻❪✮✳ ❙❛✉ ✤â ♥➠♠ ✷✵✵✼✱ ❲✳ ❑✳ ◆✐❝❤♦❧s♦♥
✈➔ ❱✳ ❈❛♠✐❧❧♦ ♠ð rë♥❣ t❤➔♥❤ ✈➔♥❤ tü❛ ❝➜✉ ①↕✭①❡♠ ❬✷❪✱❬✸❪✮✱ ✈➔ ♠ët sè t→❝
❣✐↔ ❦❤→❝ ❝ô♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ❝➜✉ ①↕ ♥❤÷ ◗✳ ❍✉❛♥❣ ✈➔
❏✳ ▲✳ ❈❤❡♥ ✭①❡♠ ❬✺❪✮✱ ❍✳ ❩❤✉ ✈➔ ◆✳ ❉✐♥❣ ✭①❡♠ ❬✶✶❪✮✳ ❚r÷î❝ ✤â ♥➠♠ ✷✵✵✺✱
❤❛✐ t→❝ ❣✐↔ ❲✳ ❑✳ ◆✐❝❤♦❧s♦♥ ✈➔ ❙✳ ❈❛♠♣♦s ❝❤✉②➸♥ tø ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔♥❤
s❛♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠æ✤✉♥ ✈➔ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠æ✤✉♥ ❝➜✉ ①↕ ✭①❡♠ ❬✼❪✮✳
❚r♦♥❣ ❙❡♠✐♥❛r t↕✐ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❱✐♥❤✱ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ▲➯ ❱➠♥ ❆♥✱ ❚r➛♥


✹

●✐❛♥❣ ◆❛♠✱ ◆❣æ ❙ÿ ❚ò♥❣ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠æ✤✉♥ ❝➜✉ ①↕ ✈➔ ✤÷❛
r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠æ✤✉♥ tü❛ ❝➜✉ ①↕ ✭①❡♠ ❬✶❪✮✳

▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ sû ❞ö♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✶✵❪ ❧➔♠ s→♥❣ tä ♠ët
sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ tê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉ ✈➔ t❤✐➳t ❧➟♣ ♠è✐
❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❇❛❡r ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➜✉ ①↕✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥
✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✳

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔②

❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝â ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✤➲ t➔✐ ♥❤÷✿ P❤➛♥ tû ❧ô② ✤➥♥❣✱ ❧✐♥❤
❤â❛ tû✱ ♠æ✤✉♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ✈➔ ✈➔♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉②✱ ♠æ✤✉♥ ♥û❛ ✤ì♥ ✈➔ ✈➔♥❤
♥û❛ ✤ì♥ ✱ ♠æ✤✉♥ A✲ ♥ë✐ ①↕✳✳✳

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❚ê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉ ✈➔ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ❝➜✉ ①↕✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✷ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ♠ö❝✿
✷✳✶✳ ❚ê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ❣✐î✐
t❤✐➺✉ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉✱
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤❛✐ ♠æ✤✉♥ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉ ❞ ✲ ❧➝♥ ♥❤❛✉ ❝â t➼♥❤ ♥ë✐ ①↕ t❤➻
tê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ❤❛✐ ♠æ✤✉♥ ✤â ❝ô♥❣ ❧➔ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜❛
♠æ✤✉♥ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉ ❞ ✲ ❧➝♥ ♥❤❛✉ ❝â t➼♥❤ ♥ë✐ ①↕ t❤➻ tê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛
❤❛✐ ♠æ✤✉♥ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉ ✈î✐ ♠æ ✤✉♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❞ ✲ ❧➝♥ ♥❤❛✉✳ ❚ø
✤â tê♥❣ q✉→t ❧➯♥ ❝❤♦ n ♠æ✤✉♥ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉✳

✷✳✷✳ ▼è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❇❛❡r ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➜✉ ①↕✳ ▼ö❝

♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ♣❤➛♥
tû ❝➜✉ ①↕✱ ✈➔♥❤ ❝➜✉ ①↕✱ t❤➸✳✳✳✈➔ ✤÷❛ r❛ ✤÷ñ❝ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ✈➔♥❤ ❇❛❡r




tờ qt r t ố

ữủ ú tổ ự tr ỵ ỵ
t q ợ
ữủ tỹ t tứ t ữủ
t ợ sỹ ú ù t ừ ổ ở ổ
số t rữớ ồ ợ tt t ừ t
tọ ỏ t ỡ s s tợ
trữớ ồ Pỏ t ồ
qỵ ổ ở ổ số ồ
ỵ ổ trỹ t ú ù t t
t ủ tr sốt q tr ồ t ự
t õ ồ
t t tọ ỏ t ỡ s s tợ t ữợ
ữớ t t ữợ ự t
t ú ù tữớ q t t t ủ ũ ợ
ỳ ớ ở ú ù t t
t ụ ỷ ớ ỡ t tợ
ồ ồ số ồ tr
trồ ỡ tợ ữớ t ở ú ù t
tr q tr ồ t t
ũ t sự ố ữ ỹ ỏ t
ổ t tr ọ ỳ s sõt t


✻

♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ sü ❝❤➾ ❜↔♦✱ ❣â♣ þ ❝õ❛ q✉þ t❤➛② ❣✐→♦✱ ❝æ ❣✐→♦ ✈➔
❝→❝ ❜↕♥ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳

❚→❝ ❣✐↔

ì é
r ữỡ ú tổ tr ỳ t
t ỡ ộ trủ ữỡ s
t t ỡ ú tổ ỹ t s
s t r
ổ ữủ t ủ õ ỡ ổ
R ổ tr tr R õ ổ õ t

ỵ ỗ

ổ M f ởt tỹ ỗ ừ M t f
= M/Kerf

P tỷ ụ

ổ M ỵ S = End(M ) tỹ ỗ ừ
ổ M P tỷ e ừ S ữủ ồ tỷ ụ tt

t e2 = e

õ tỷ
R ởt t ý
ợ A R t lR (A) = {b R |ba = 0, a A}ữủ ồ õ

tỷ tr t tr ừ A tr R
ợ M R ổ t lR (M ) = {r R |rm = 0, m M }
ồ

õ tỷ tr ừ ổ M tr R

I = {a} t ú t t l(a) tữỡ ự
ởt ố ợ õ tỷ tr ừ
R ữủ ữ s D(N ) = { R |Im N }


✽

✶✳✹✳ ▼æ✤✉♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ✈➔ ✈➔♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉②
✶✮ ▼æ✤✉♥ M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

♠æ✤✉♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ✭r❡❣✉❧❛r ♠♦❞✉❧❡✮ ♥➳✉ ✈î✐

♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝②❝❧✐❝ A ❝õ❛ M t❤➻ A ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳
✷✮ ❱➔♥❤ R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✈➔♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉② ✭r❡❣✉❧❛r r✐♥❣✮ ♥➳✉ RR ✭t÷ì♥❣

ù♥❣ R R✮ ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝❤➼♥❤ q✉②✳

✶✳✺✳ ▼æ✤✉♥ ❝♦♥ tè✐ ✤↕✐

▼æ✤✉♥ ❝♦♥ A ❝õ❛ M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠æ✤✉♥

❝♦♥ tè✐ ✤↕✐ ♥➳✉ A = M ✈➔ ♥â

❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ tr♦♥❣ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ t❤ü❝ sü ♥➔♦ ❝õ❛ M ✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ A = M
m

✈➔ A ⊆ B

M t❤➻ A = B ✳

✶✳✻✳ ❈➠♥ ❏❛❝♦❜s♦♥

❚❛ ❣å✐ ❣✐❛♦ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ♥❤ú♥❣ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ tè✐ ✤↕✐ ❝õ❛ M ❧➔ ❝➠♥ ❏❛❝♦❜s♦♥
✭❤❛② ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❧➔ ❝➠♥✮ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ M ✈➔ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ Rad(M )✳

▼➺♥❤ ✤➲✳ ◆➳✉ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉② t❤➻ Rad(R) = 0✳
✶✳✼✳ ▼æ✤✉♥ ❝♦♥ ❜➨
▼æ✤✉♥ ❝♦♥ N ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ M ❧➔

♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❜➨✱ ❦þ ❤✐➺✉ N << M ♥➳✉

✈î✐ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ B ❝õ❛ M ♠➔ N + B = M t❤➻ s✉② r❛ B = M ✳

✶✳✽✳ ▼æ✤✉♥ ♥û❛ ✤ì♥ ✈➔ ✈➔♥❤ ♥û❛ ✤ì♥

✶✮ ▼æ✤✉♥ M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ✤ì♥ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ A ❝õ❛ M t❤➻ A
❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳

✣à♥❤ ❧þ✳ RR ❧➔ ♠æ✤✉♥ ♥û❛ ✤ì♥ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ RR ❧➔ ♠æ✤✉♥ ♥û❛ ✤ì♥✳
✷✮ ❱➔♥❤ R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛

✤ì♥✳

✤ì♥ ♥➳✉ RR ✭t÷ì♥❣ ù♥❣ RR✮ ❧➔ ♠æ✤✉♥ ♥û❛

✾

✶✳✾✳ ▼æ✤✉♥ A✲ ♥ë✐ ①↕ ✭A✲ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ♠♦❞✉❧❡s✮
✶✳✾✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤♦ A ❧➔ R✲ ♠æ✤✉♥✳ ▼ët ♠æ✤✉♥ N ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
m

A✲ ♥ë✐ ①↕ ♥➳✉ ♠å✐ X ⊆ A t❤➻ ♠å✐ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ϕ : X → N ✤➲✉ ♠ð rë♥❣ tî✐

✤ç♥❣ ❝➜✉ ψ : A → N t❤ä❛ ♠➣♥ ψi = ϕ ✭✈î✐ i : X → A ❧➔ ♣❤➨♣ ♥❤ó♥❣
✤ç♥❣ ♥❤➜t✮✳

✶✳✾✳✷✳ ❇ê ✤➲✳ ❈❤♦ N ❧➔ A✲ ♥ë✐ ①↕✳ ❑❤✐ ✤â ♠å✐ ✤ì♥ ❝➜✉ f : N → A

❧➔ ❝❤➫ r❛✱ tù❝ ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥✿

f

p

0 → N → A → A/f (N ) → 0

t❤ä❛ ♠➣♥ f (N ) ⊂⊕ A✳




ì ĩ P

ĩ P

r ữỡ ú tổ tr ởt số q
ổ r ố t t q tờ trỹ t
ừ ổ r ố tứ õ t ố ỳ ổ r
ố



ổ M ữủ ồ

r ố r ợ

ộ ổ N ừ M tỗ t ụ e ừ S s D(N ) = eS
ổ M ữủ ồ õ SSP tờ ừ tỷ trỹ t
ừ M ởt tỷ trỹ t ừ M
ổ M ữủ ồ õ SSSP tờ ừ ởt ồ ỳ
tỷ trỹ t ừ M ởt tỷ trỹ t ừ M
ổ M ữủ ồ

ổ t ữủ s

0 M ỳ tỷ trỹ t t tr M

t q ừ ử ỵ t r ố
ừ tờ trỹ t ởt ồ ỳ ổ r ố d õ
t ở ự ỵ trữợ t ú t ự
ỵ tữỡ ữỡ ợ ổ
r ố sỷ ử ờ s

ờ N ổ ừ ổ M õ N

tỷ trỹ t ừ

M

tỗ t ụ e ừ

S

s

e(M ) = N

ự sỷ N

tỷ trỹ t ừ M

t M = N N ữ ợ ộ m M m ữủ t ởt
t ữợ m = n + n (n N, n N ) t ỗ
p : M N p(m) = p(n + n ) = n õ p t

i : N M i(n) = n i ỡ õ e = i p
M M, m = n + n n ỗ tọ e2 = e e(M ) = N

ừ ứ e + (1 e) = 1 s r e(M ) + (1 e)(M ) = M
e(M ) (1 e)(M ) = 0 M = e(M ) (1 e)(M ) e(M )

tỷ trỹ t ừ M

ỵ ố ợ ổ M s tữỡ ữỡ

M r ố
ợ ộ t A ừ S Imf = e(M ) ợ e = e2 S
f A
ợ ộ I ừ S Imf = e(M ) ợ e = e2 S
f I
õ P ợ ộ S, Im tỷ trỹ t ừ
ự (i) = (ii) t t A t ừ S t N =
f A

Imf t s ự N = e(M ) ợ e = e2 S f S f

ổ ừ M s r

f A

Imf ụ ổ ừ M A S

N ổ ừ M M ổ r ố tỗ t ụ
e S s D(N ) = eS e eS s r e D(N )


✶✷

e(M ) ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ N ✳ ❱î✐ ♠é✐ f ∈ A t❛ ❝â f ∈ D(N ) = eS ✭❞♦

❝→❝❤ ✤➦t N =

f ∈A

Imf ✮✳ ❙✉② r❛ f ∈ eS ✳ ◆❤÷ ✈➟② ✈î✐ ♠é✐ f ∈ A✱ tç♥ t↕✐

s ∈ S s❛♦ ❝❤♦ f = es✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐ y ∈ M ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ f ∈ A✱ t❛ ❝â
f (y) = es(y) = e(s(y)) ∈ e(M ) ✭❞♦ s(y) ∈ M ✮✳ ❙✉② r❛ N ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥

❝õ❛ e(M )✳ ❱➟② N = e(M ) ✈î✐ e = e2 ∈ S ✳ ❍❛②

f ∈A

Imf = e(M )✳

(ii) =⇒ (iv)✳ ❱î✐ ♠é✐ ϕ ∈ S t❤➻ t❛ ❝â Imϕ = e(M ) ✭✈î✐ e = e2 ∈ S ✮

✭t❤❡♦ ✭✐✐✮✮✳ ❙✉② r❛✱ Imϕ ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✭t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✷✮✳
●✐↔ sû Mi ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✭i ∈ I ✮✱ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

Mi ❧➔
i∈I

❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ Mi ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ♥➯♥
t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✷✱ tç♥ t↕✐ ❧ô② ✤➥♥❣ ei ∈ S s❛♦ ❝❤♦ ei (M ) = Mi (i ∈ I)✳ ❉♦
ei ∈ S (∀i ∈ I) ♥➯♥

Imei = e(M ) ✭✈î✐ e = e2 ∈ S ✮✳ ❙✉② r❛

Mi =
i∈I

i∈I

Mi ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳
i∈I

(iv) =⇒ (iii)✳ ❈❤♦ I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ S ✱ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

Imf = e(M )
f ∈I

✈î✐ e = e2 ∈ S ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈î✐ ♠é✐ f ∈ I ⊆ S ♥➯♥ t❤❡♦ (iv)✱ ■♠❢ ❧➔ ❤↕♥❣
tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ❙✉② r❛ N =

f ∈I

Imf ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✭❞♦

M ❝â ❙❙❙P✮✳ ❚ø N ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ♥➯♥ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✷✱ s✉②

r❛ tç♥ t↕✐ ❧ô② ✤➥♥❣ e ∈ S s❛♦ ❝❤♦ e(M ) = N ✳ ❱➟② t❛ ❝â

Imf = e(M )
f ∈I

✈î✐ e = e ∈ S ✳
2

(iii) =⇒ (i)✳ ❈❤♦ N ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✱ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ D(N ) =
eS ✱ ✈î✐ e = e2 ∈ S ✳ ❉♦ I = D(N ) = {ϕ ∈ S |Imϕ ⊆ N } ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛
S ♥➯♥ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✱

f ∈I

Imf = e(M ) ✈î✐ e = e2 ∈ S ✳ ❱î✐ ♠å✐ f ∈ I ✱

■♠❢ ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ N ♥➯♥ s✉② r❛

f ∈I

Imf ❝ô♥❣ ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ N ✳




e(M ) ổ ừ N e(M ) ổ ừ N
õ e D(N ) õ eS D(N ) t

f I

Imf = e(M ) ợ

ộ f I t ổ ừ e(M ) ỡ ỳ S = eS

(1 e)S

t õ f I : f = es1 + (1 e)s2 (s1 , s2 S) r f (M ) =
es1 (M ) + (1 e)s2 (M ) e(M )

t t õ
e(M ) (1 e)(M ) = 0

es1 (M ) e(M )
(1 e)s2 (M ) (1 e)(M )

es1 (M ) (1 e)s2 (M ) = 0

tứ es1 (M ) + (1 e)s2 (M ) e(M ) t s r (1 e)s2 (M ) = 0
õ f = es1 f eS õ D(N ) eS D(N ) = eS ợ e = e2
S õ M r ố

q ổ r ố ổ t ữủ

ợ ồ S = 0 t
ự sỷ M ổ r ố

õ tỷ trỹ t ừ M ợ ồ S M ổ t
t ữủ = 0 = M = 0 = M
t


ừ rữợ t t ự M ổ r ố

N ổ tỹ sỹ ừ M t t õ D(N ) = { S |Im N } =
0 = 0S ợ 0 ụ ừ S N = M t D(N ) = { S |Im N } =
S = iS i ỗ ỗ t ữ tỗ t i = i2 S tọ


✶✹

D(N ) = iS ✳ ❙✉② r❛ M ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉✳

❇➙② ❣✐í t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ M ❦❤æ♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝✳ ●✐↔ sû M = N ⊕
N ✭N = 0✮✳ ❱➻ N ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ♥➯♥ tç♥ t↕✐ ❧ô② ✤➥♥❣
0 = e ∈ S s❛♦ ❝❤♦ e(M ) = N ✳ ▼➦t ❦❤→❝ 0 = e ∈ S ♥➯♥ e ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ❤❛②
e(M ) = N ✳ ❱➟② N = M ✳ ❉♦ ✤â M ❦❤æ♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝✳

✷✳✶✳✺✳ ❇ê ✤➲✳ ❈❤♦ ♠æ✤✉♥ M ✈➔ N ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ❑❤✐

✤â✿
✭✐✮ ◆➳✉ M ❝â ❙❙P t❤➻ N ❝ô♥❣ ❝â ❙❙P✳
✭✐✐✮◆➳✉ M ❝â ❙❙❙P t❤➻ N ❝ô♥❣ ❝â ❙❙❙P✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆❤➟♥ ①➨t✿ ◆➳✉ A ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ N t❤➻ A ❝ô♥❣
❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ A ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ N ♥➯♥

N = A ⊕ A ✱ ✈➔ N ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ♥➯♥ M = N ⊕ N ✳ ◆❤÷

✈➟② t❛ ❝â M = A ⊕ A ⊕ N ✳ ❤❛② A ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳
(i) ●✐↔ sû A ✈➔ B ❧➔ ❝→❝ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ N ✱ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
A + B ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ N ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈➻ N ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣

❝õ❛ M ♥➯♥ t❤❡♦ ♥❤➟♥ ①➨t t❛ ❝â A ✈➔ B ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ❱➻ M
❝â SSP ♥➯♥ A + B ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ✣➦t M = (A + B) ⊕ C ✳
❑❤✐ ✤â✱ A + B ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ N ♥➯♥ →♣ ❞ö♥❣ ❧✉➟t ▼æ✤✉❧❛ t❛ ❝â✿
N = M ∩ N = ((A + B) ⊕ C) ∩ N = (A + B) ⊕ (C ∩ N )

❙✉② r❛ A + B ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ N ✳ ❍❛② N ❝â SSP ✳
(ii) ❍♦➔♥ t♦➔♥ t÷ì♥❣ tü ❝â t❤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ N ❝â SSSP ✳

✷✳✶✳✻✳ ❍➺ q✉↔✳ ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉✳ ❑❤✐ ✤â ♠é✐

✶✺

❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ❝ô♥❣ ❧➔ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû N ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
N ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈➻ M ❝â SSSP ♥➯♥ t❤❡♦ ❇ê

✤➲ ✷✳✶✳✺ t❤➻ N ❝ô♥❣ ❝â SSSP ✳ ✣➦t M = N ⊕ N ✈➔ ①➨t tü ✤ç♥❣ ❝➜✉
f : N −→ N ✱ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ■♠f ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ N ✳ ❳➨t ✤ç♥❣

❝➜✉ f ⊕ 0N : N ⊕ N −→ N ⊕ N ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ f ⊕ 0N (n + n ) = f (n) + 0✱
t❛ ❝â f ⊕ 0N ∈ S ♥➯♥ ■♠(f + 0N ) ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ❱î✐ ♠å✐
m ∈ M = N ⊕ N t❛ ❝â m = n + n tr♦♥❣ ✤â n ∈ N ✈➔ n ∈ N ✱ s✉② r❛
f ⊕ 0N (m) = f ⊕ 0N (n + n ) = f (n)✳ ❙✉② r❛ f ⊕ 0N (M ) = f (N )✳ ❱➟② t❛

❝â ■♠f ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✈➔ ✤➦t M = Im❢⊕K ✳ ❑❤✐ ✤â ■♠f ❧➔
♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ N ♥➯♥ →♣ ❞ö♥❣ ❧✉➟t ▼æ✤✉❧❛ t❛ ❝â✿
N = M ∩ N = (Imf ⊕ K) ∩ N = Imf ⊕ (K ∩ N )

❱➟② ■♠f ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ N ♥➯♥ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳✸✱ s✉② r❛ N
❧➔ ♠æ✤✉♥ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉✳

✷✳✶✳✼✳ ▼➺♥❤ ✤➲✳ ◆➳✉ M ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉ t❤➻ M

❧➔ ♥û❛ ✤ì♥✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ N

❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M t❛ ❝â N =

xR✳ ❱➻ M
x∈N

❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ♥➯♥ xR ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✈î✐ ♠å✐ x ∈ N ✳
xR ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ❍❛② N ❧➔

❱➻ M ❝â SSSP ♥➯♥ N =
x∈N

❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✈➔ s✉② r❛ M ❧➔ ♠æ✤✉♥ ♥û❛ ✤ì♥✳


✶✻

✷✳✶✳✽✳ ▼➺♥❤ ✤➲✳ ◆➳✉ RR ❧➔ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉ t❤➻ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉②✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ ❜➜t ❦ý ✐✤➯❛♥ ♣❤↔✐ I = aR ❝õ❛ R✱ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

aR ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ R ✳ ❳➨t tü ✤ç♥❣ ❝➜✉ f : RR → RR ①→❝ ✤à♥❤

❜ð✐ f (r) = ar✳ ❑❤✐ ✤â ■♠f = aR = I ✳ ▼➔ RR ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉
♥➯♥ ■♠f ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ RR ✳ ❙✉② r❛ aR ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛
RR ✳ ❱➟② R ❧➔ ✈➔♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉②✳

✷✳✶✳✾✳ ✣à♥❤ ❧þ✳ ✣è✐ ✈î✐ ✈➔♥❤ R✱ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿

✭✐✮ RR ❧➔ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉❀
✭✐✐✮ RR ❧➔ ♥û❛ ✤ì♥❀
✭✐✐✐✮ RR ❧➔ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉❀
✭✐✈✮ RR ❧➔ ♥û❛ ✤ì♥✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ (i) =⇒ (ii)✳ ❱➻ RR ❧➔ ❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉ ♥➯♥ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲
✷✳✶✳✽✱ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉②✱ tù❝ ❧➔ RR ❧➔ ♠æ ✤✉♥ ❝❤➼♥❤ q✉②✱ s✉② r❛ RR ❧➔
♥û❛ ✤ì♥ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✼✳

(ii) =⇒ (i)✳ ❳➨t tü ✤ç♥❣ ❝➜✉ ϕ : RR −→ RR ✳ ❚❛ ❝â ■♠ϕ ❧➔ ♠æ✤✉♥

❝♦♥ ❝õ❛ RR ♥➯♥ ■♠ϕ ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ RR ✭❞♦ RR ❧➔ ♥û❛ ✤ì♥✮✳
●✐↔ sû Mi ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ RR ✈î✐ ♠å✐ i ∈ I ✳ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
Mi ❝ô♥❣ ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ RR ✳ ❱➻ Mi ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛
i∈I

RR ♥➯♥

Mi ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ RR ✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ RR ❧➔ ♠æ✤✉♥ ♥û❛ ✤ì♥
i∈I

♥➯♥

Mi ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ RR ✳ ❉♦ ✤â RR ❝â ❙❙❙P✳ ❱➟② RR ❧➔
i∈I

❇❛❡r ✤è✐ ♥❣➝✉✳
(iii) =⇒ (iv)✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤♦➔♥ t♦➔♥ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr➯♥✳




(ii) = (iv) õ RR ỷ ỡ R R ỷ ỡ

ờ L = xR ổ tr R

õ L ổ r ố L ỷ ỡ
ự
y L õ tỗ t r R s y = xr

t tỹ ỗ f : L L f (x) = y ợ x L
f t ữủ R L ổ
r ố t ỵ s r yR tỷ trỹ t ừ
L t ỵ L õ P ộ ổ ừ L ởt

tỷ trỹ t õ L ỷ ỡ
ừ ỵ

ờ sỷ R R ổ ỷ ỡ M

ổ ổ t ữủ ỗ tỷ x s x / Rad(M )
AnnR(x) = 0 t M ổ ổ r ố
ự ự ữỡ ự
sỷ M ổ r ố x
/ Rad(M ) xR ổ
tr M L ổ tỹ sỹ ừ M s xR + L = M
xR L = 0 t xR = M M
= R AnnR (x) = 0 ứ tt R

r ố R ỷ ỡ t ỵ t
ợ tt ừ ờ xR L = 0
0 = r R s xr L t tỹ ỗ f : M M
f (y) = yr ợ ồ y M q t õ f = 0 f t




f = M
Imf = {f (y) |y M } = {yr |y M } = M r = (xr)R + Lr L

L = M t ợ L ổ tỹ sỹ ừ M
sỷ s M ổ r ố
rữợ ỵ ừ ử t õ s

A B ổ ợ ộ ỗ
: A B Im tỷ trỹ t ừ B t A ữủ ồ d

rt



ợ B

ú t ụ õ ổ A B

ợ A

ợ B B ợ A
ở ừ ỵ

ỵ M1, M2, ..., Mn ổ r ố

ợ n N tt r ợ i, j t ý i = j Mi Mj ổ
n
ợ t ý i < j Mi Mj ở õ M = i=1
Mi
r ố

ự ỵ ữỡ ự tổ q
ự ỵ s

ỵ M1 M2 ổ r ố

sỷ M2 M1 ở M1 M2 ở t M = M1 M2
r ố
ự I = {j |j J } t t ý ừ S K =

Imj ự M õ P ự K
jJ




tỷ trỹ t ừ M
i1 : M1 M i2 : M2 M ú t
2 : M M2 t ợ j J M2 r ố

t õ
Im(2 j i2 ) = 2 (j (M2 )) tỷ trỹ t ừ M2 tr õ 2 j i2
M2 M2

M2 ợ M1 t õ Im(2 j i1 ) = 2 (j (M1 ))
tỷ trỹ t ừ M2 M2 r ố M2 õ P s
r 2 (Imj ) = 2 (j (M2 )) + 2 (j (M1 )) ụ tỷ trỹ t ừ
M2 õ 2 (K) = 2 (

Imj ) tỷ trỹ t ừ M2 ứ õ s

jJ

r 2 (K) + M1 tỷ trỹ t ừ M
õ 2 (K) + M1 = K + M1 t
k + m1 K + M1 tr õ k K m1 M1 õ k = k1 + k2
ợ k1 M1 , k2 M2 s r k + m1 = k1 + k2 + m1 = (k1 + m1 ) + k2 =
(k1 + m1 ) + 2 (K) (M1 + 2 (K)) K + M1 2 (K) + M1

x 2 (K) + M1 r x = + m1 = 2 (k) + m1 ợ k K
2 (k) = t k = + k1 k1 M1 t = k k1 r x = + m1 =
k k1 + m1 = k + (m1 k1 ) (K + M1 ) 2 (K) + M1 K + M1

õ 2 (K) + M1 = K + M1
sỷ L E ổ ừ M s M = (K + M1 ) L
K + M1 = E M1 õ M = E L M1 s r M2
= E L
M2 M1 ở E M1 ở tỗ t K ổ




ừ K s K M1 = K M1 r M = K M1 L õ
K = M K = (K M1 L) K = (K K ) [(M1 L) K] =
K [(M1 L) K] = K (M1 K)

t ỗ j : M M1 ợ : M = K M1 L M1
t M1 r ố M2 rt
ợ M1 Im(j ) = (j (M1 )) + (j (M2 )) tỷ trỹ t
ừ M1 t ỵ M1 õ P

Im(j ) ởt
jJ

tỷ trỹ t ừ M1 ữ t õ

Im(j ) = (
jJ

Imj ) =

jJ

(K) = M1 K õ M1 K tỷ trỹ t ừ M1
K = K (M1 K) ởt tỷ trỹ t ừ M M r

ố

ỵ M1, M2, M3 ổ r ố

tt r M2 M1 ở M1 M2 ở t
(M1 M2 ) M3 ổ
ự : M1 M2 M3 ỗ t ý i1 : M2
M1 M2 i2 : M2 M1 M2 ú t M1 M2

ợ M3 õ Im(i1 ) = (M1 ) Im(i2 ) = (M2 )
tỷ trỹ t ừ M3 M3 õ P tỷ trỹ t
ừ M3
t ỗ t ý : M3 M1 M2 2 : M1 M2 M2
t ý M3 ợ M2 (2 )
tỷ trỹ t ừ M2 õ 2 (Im) ởt tỷ trỹ t ừ

✷✶

M2 ✳ ❙✉② r❛ π2 (Imψ) + M1 ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M1 ⊕ M2 ✳ ◆❤÷♥❣
π2 (Imψ) + M1 = Imψ + M1 ♥➯♥ Imψ + M1 ❧➔ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛
M1 ⊕ M2 ✳

●✐↔ sû L ✈➔ E ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M1 ⊕ M2 s❛♦ ❝❤♦ (Imψ + M1 ) ⊕ L =
M1 ⊕ M2 ✈➔ Imψ + M1 = E ⊕ M1 ✳ ❑❤✐ ✤â (E ⊕ M1 ) ⊕ L = M1 ⊕ M2 ✱ s✉②

r❛ E ⊕ L ∼
= M2 ✳ ❱➻ M2 ❧➔ M1 ✲ ♥ë✐ ①↕ ♥➯♥ E ❧➔ M1 ✲ ♥ë✐ ①↕✱ s✉② r❛ tç♥ t↕✐
F ⊆ Imψ s❛♦ ❝❤♦ F ⊕ M1 = Imψ + M1 ✳ ❉♦ ✤â F ⊕ M1 ⊕ L = M1 ⊕ M2 ✳

❙✉② r❛ Imψ = F ⊕ (Imψ ∩ (M1 ⊕ L)) = F ⊕ [(Imψ ∩ M1 ) ⊕ (Imψ ∩ L)] =
F ⊕ (Imψ ∩ M1 )✳

●✐↔ sû π : F ⊕M1 ⊕L −→ M1 ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳ ❳➨t ✤ç♥❣ ❝➜✉ πψ :
M3 −→ M1 ✳ ❚❛ ❝â Im(πψ) = π(Imψ) = π(F ⊕[Imψ ∩M1 ]) = Imψ ∩M1 ✳

❱➻ M3 ❞ ✲ ❧➝♥ ♥❤❛✉ ✈î✐ M1 ♥➯♥ Imψ ∩ M1 ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M1 ✳ ❱➻
✈➟② Imψ ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M1 ⊕M2 ❤❛② (M1 ⊕M2 ) ✈➔ M3 ❧➔ ♠æ✤✉♥
❞ ✲ ❧➝♥ ♥❤❛✉✳






ữ ú t t ợ r ợ ữủ
rt sỹ q t ự ừ t ụ õ rt

t ự ợ ọ t r
ợ õ ố ợ ổ r ử
ú tổ s tr ớ ởt ọ
t q ừ ử ỵ ỵ
t q ợ ừ



R ữủ ồ

r r r ợ ộ t I

ừ R tỗ t ụ e ừ R s lR (I) = Re tr õ lR (I)
õ tỷ tr ừ I tr R
P tỷ a ừ R ữủ ồ

tỷ tờ qt tr

R/Rb
= l(a)
R ữủ ồ

tờ qt tr

ồ tỷ ừ

õ tờ qt tr

tờ qt ữủ tữỡ tỹ
R ữủ ồ tờ qt R ứ tờ

qt tr ứ tờ qt
P tỷ a ừ R ữủ ồ

tỷ tr t

r t tỗ t số ữỡ n s R/Ran
= l(an )
R ữủ ồ tr t r ồ tỷ


✷✸

❝õ❛ ♥â ❧➔ π ✲ ❝➜✉ ①↕ tr→✐✳
✹✮ P❤➛♥ tû a ❝õ❛ ✈➔♥❤ R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥

❡❧❡♠❡♥t✮

tû ❝➜✉ ①↕ tr→✐ ✭❧❡❢t ♠♦r♣❤✐❝

♥➳✉ R/Ra ∼
= l(a)✱ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ b ∈ R s❛♦ ❝❤♦

Ra = l(b) ✈➔ l(a) = Rb✳

❱➔♥❤ R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✈➔♥❤ ❝➜✉ ①↕ tr→✐ ✭❧❡❢t ♠♦r♣❤✐❝ r✐♥❣✮ ♥➳✉ ♠å✐ ♣❤➛♥

tû ❝õ❛ ♥â ❧➔ ❝➜✉ ①↕ tr→✐✳

❱➼ ❞ö✳ P❤➛♥ tû ❧ô② ✤➥♥❣ e ∈ R ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❝➜✉ ①↕ tr→✐✳

✺✮ ❱➔♥❤ R ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët

t❤➸

♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ a = 0

✤➲✉ ❝â ♣❤➛♥ tû ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳

✷✳✷✳✷✳ ❇ê ✤➲✳ ✣è✐ ✈î✐ ♠ët ♣❤➛♥ tû a tr♦♥❣ ✈➔♥❤ R t❤➻ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

s❛✉ ✤➙② ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
✭✐✮ a ❧➔ ❝➜✉ ①↕ tr→✐✱ tù❝ ❧➔ R/Ra ∼
= l(a)
✭✐✐✮ ❚ç♥ t↕✐ b ∈ R s❛♦ ❝❤♦ Ra = l(b) ✈➔ l(a) = Rb✳
✭✐✐✐✮ ❚ç♥ t↕✐ b ∈ R s❛♦ ❝❤♦ Ra = l(b) ✈➔ l(a) ∼
= Rb✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳(a) =⇒ (b)✳ ●✐↔ sû a ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❝➜✉ ①↕ tr→✐✳ ❑❤✐ ✤â tç♥

t↕✐ ✤➥♥❣ ❝➜✉ α✿ R/Ra → l(a)✳ ✣➦t b = α(1 + Ra)✳ ❈❤ó♥❣ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ Rb = l(a) = Imα ✈➔ Ra = l(b)✳
❚❤➟t ✈➟②✱ ✈î✐ x ∈ Rb t❤➻ x = x1 b = x1 α(1 + Ra) = α(x1 + Ra) ∈ Imα✳
◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ♥➳✉ x ∈ Imα t❤➻ tç♥ t↕✐ x1 ∈ R s❛♦ ❝❤♦ x = α(x1 + Ra) =
x1 α(1 + Ra) = x1 b ∈ Rb✳ ❉♦ ✤â Rb = l(a)✳ ❱î✐ x ∈ Ra t❤➻ xb =
xα(1 + Ra) = α(x + Ra) = 0 ♥➯♥ x ∈ l(b)✱ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ♥➳✉ x ∈ l(b) t❤➻
0 = xb = xα(1 + Ra) = α(x + Ra)✳ ❙✉② r❛ x ∈ Ra✳ ❉♦ ✤â Ra = l(b)✳


✷✹

(b) =⇒ (c)✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥✳
(c) =⇒ (a)✳ ❳➨t ✤ç♥❣ ❝➜✉ f : R → Rb ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ f (x) = xb✳ ❝❤ó♥❣

t❛ ❝â f ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ✈➔ Kerf = {x ∈ R |xb = 0} = l(b) = Ra✳
❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✤ç♥❣ ❝➜✉ t❛ ❝â R/Kerf ∼
= l(a)✳
= l(a)✳ ❉♦ ✤â R/Ra ∼
= Rb ∼

✷✳✷✳✸✳ ❇ê ✤➲✳ ◆➳✉ a ∈ R ❧➔ ❝➜✉ ①↕ tr→✐ t❤➻ ❜❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣

✤÷ì♥❣✿
✭✐✮ l(a) = 0❀
✭✐✐✮ Ra = R❀
✭✐✐✐✮ a ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ tr♦♥❣ R✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳(i) =⇒ (ii)✳ ❱➻ a ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❝➜✉ ①↕ tr→✐ tr♦♥❣ ✈➔♥❤ R ♥➯♥
tç♥ t↕✐ ♣❤➛♥ tû b ∈ R s❛♦ ❝❤♦ Ra = l(b) ✈➔ l(a) = Rb✳

●✐↔ sû l(a) = 0✱ s✉② r❛ Rb = 0✱ ♥➯♥ b = 0✳ ❑❤✐ ✤â l(b) = {x ∈ R |bx = 0} =
R✳ ❉♦ ✈➟② t❛ ❝â Ra = R✳

◆➳✉ Ra = R = l(b) t❤➻ b = 0✳ ❉♦ ✤â l(a) = Rb = 0✳
(ii) =⇒ (iii)✳ ❱➻ Ra = R ♥➯♥ tç♥ t↕✐ ♣❤➛♥ tû x ∈ R s❛♦ ❝❤♦ xa = 1✳

❑❤✐ ✤â axa = a s✉② r❛ (ax − 1)a = 0✳ ❈❤♦ ♥➯♥ ax − 1 ∈ l(a) = 0✳ ❙✉② r❛
ax = xa = 1✳ ❱➟② a ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ tr♦♥❣ R✳
(iii) =⇒ (i)✳ ●✐↔ sû a ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ tr♦♥❣ R✱ t❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ l(a) = 0✳

❳➨t y ∈ l(a) t❛ ❝â ya = 0✳ ❉♦ ✤â y = yaa−1 = 0✳ ❱➟② l(a) = 0✳

✷✳✷✳✹✳ ✣à♥❤ ❧þ✳ ◆➳✉ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❇❛❡r t❤➻ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❝➜✉ ①↕ tê♥❣ q✉→t✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳❱î✐ e ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❧ô② ✤➥♥❣ ❝õ❛ R t❛ ❝â 1 = e + (1 − e) ♥➯♥

R = Re ⊕ R(1 − e)✳ ❙✉② r❛ Re ∼
= R/R(1 − e)✳




õ tỗ t b R s b = 1 e R r t
t õ Re = l(a) õ t õ l(a)
= R/Rb R
tờ qt tr
ự t tữỡ tỹ trữớ ủ tờ
qt
R r t R tờ qt

ỵ R r tr ổ

t ữủ õ R ởt t
ự õ l(a) = Re R r ởt tỷ trỹ
t ừ R R ổ t ữủ l(a) = 0
l(a) = Re = R

ự R ởt t t ự ợ ồ 0 = a R
õ tỷ
t trữớ ủ l(a) = 0 R tr R ụ
tr n = 1 õ t ờ t õ a
tr R R ởt t

t trữớ ủ l(a) = Re = R
õ l(a) = {x R |= 0} = R t ờ s r x = 0
R = {0} t ợ 0 = a R õ trữớ ủ

R ởt t