Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Lời nói đầu
Chúng ta đang sống trong thời đại mới, thời đại của ngành công nghệ
thông tin đang ở đỉnh cao của sự phát triển. Có thể nói công nghệ thông tin
đã đóng một vai trò quan trọng trong đời sống của chúng ta. Đất nớc càng
phát triển thì đòi hỏi sự đóng góp của ngành công nghệ thông tin càng cao.
Ngành công nghệ thông tin đã đóng góp rất lớn vào các ngành kinh tế, khoa
học, giáo dục,. Nhằm giúp con ngời ngày càng chinh phục đợc đỉnh cao
của thế giới.
Chúng ta đang sống trong thời đại của nền kinh tế công nghiệp hoá hiện đại hoá. Đời sống của con ngời ngày càng đợc nâng cao. Nh vậy nhu
cầu về vui chơi giải trí của con ngời ngày càng đợc đòi hỏi. Và những trò
chơi đợc thiết kế bằng máy tính đã ra đời và đang trên đà phát triển để đáp
ứng những nhu cầu đòi hỏi đó của con ngời. Có thể nói để lập trình đợc một
trò chơi thì lý thuyết trò chơi đóng một vai trò hết sức quan trọng. Nó quyết
định đến sự thành công hay thất bại của trò chơi. Vì lý do đó tôi đã mạnh dạn
chọn đề tài: Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi làm khoá luận tốt nghiệp
đại học.
Để hoàn thành khoá luận, tôi đã nhận đợc sự hớng dẫn nhiệt tình của Cô
giáo, Tiến sĩ Phan Lê Na. Nhân dịp này cho phép tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến cô giáo Phan Lê Na. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy
cô giáo trong khoa CNTT và các bạn sinh viên trong lớp đã giúp đỡ tôi rất
nhiều trong thời gian làm khoá luận.
Tác giả

Mục Lục
Chơng I.

Lời nói đầu

Trò chơi ma trận
1.1. Giới thiệu chung
1.2. Khái niệm về trò chơi ma trận
1.3. Điểm yên ngựa
1

Trang
1
2
2
2
6


Khoá luận tốt nghiệp

Chơng II.

Chơng III.

Chơng IV.

Chơng V.

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

1.4. Các chiến thuật hỗn hợp
1.5. Định lý Minimax
1.6. Các điểm yên ngựa trong các chiến thuật hỗn hợp
1.7. Các chiến thuật tối u và các tính chất của chúng

1.8. Chiến thuật u thế và rút gọn trò chơi
1.9. Cách giải các ma trận trò chơi 2x2
1.10. Giải trò chơi 2xn và mx2
1.11. Giải trò chơi 3x3
Các trò chơi liên tục
2.1. Trò chơi vô hạn có tổng bằng 0
2.2. Các chiến thuật hỗn hợp
2.3. Các trò chơi liên tục
2.4. Các tính chất của các chiến thuật tối u
2.5. Một ví dụ về trò chơi thời gian
Các trò chơi không hợp tác n ngời
3.1. Khái niệm trò chơi không hợp tác n ngời
3.2. Các yếu tố của trò chơi không hợp tác n ngời
3.3. Giải pháp chiến thuật hỗn hợp
3.4. Sự tồn tại của điểm cân bằng
3.5. Các điểm cân bằng của trò chơi 2x2
Các trò chơi hợp tác n ngời
4.1. Khái niệm trò chơi hợp tác n ngời
4.2. Tính chất hàm dặc trng của trò chơi
4.3. Xung lợng
4.4. Chiến thuật tơng đơng và tiêu chuẩn hoá (0, 1)
4.5. Các trò chơi hợp tác 2 ngời
xây dựng trò chơi bằng gambit

5.1. Giới thiệu về phần mềm Gambit
5.2. Môi trờng cài đặt Gambit
5.3. Xây dựng trò chơi Đỏ- Đen bằng Gambit
5.3.1. Mô tả trò chơi Đỏ - Đen gồm hai ngời chơi
5.3.2. Xây dựng trò chơi Đỏ- Đen bằng Gambit
5.3.3. Giải thích trò chơi ở dạng hình cây

5.4. Chơng trình xây dựng trò chơi Đỏ- Đen bằng
GCL
Kết luận
Tài liệu tham khảo

2

7
10
12
12
15
17
19
22
29
29
30
31
32
35
39
39
40
41
42
43
49
49
51

52
54
57
61
61
61
61
61
62
63
64
66
69


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Chơng I

Trò chơi ma trận

1.1. Giới thiệu chung
Khi nghiên cứu một số bài toán thực tế trong các lĩnh vực kinh tế xã hội
hay trong chiến tranh ngời ta thờng gặp những tình huống trong đó có các
bên với quyền lợi đối lập nhau. Mỗi bên đều tìm cách hành động sao cho
mình có lợi nhất. Những tình huống nh thế gọi là các tình huống xung đột.
Có rất nhiều ví dụ về các tình huống nh thế: xung đột vũ trang giữa các quốc
gia, giữa hai phe phái, cạnh tranh giữa các công ty..

Việc nghiên cứu, phân tích những tình huống nh thế nhằm nắm đợc bản
chất của nó và để đề ra những giải pháp tốt nhất đối với mỗi bên tham gia đã
dẫn đến sự ra đời của một môn toán học mới: Lý thuyết trò chơi. Lý thuyết
trò chơi là lý thuyết toán học về các tình huống xung đột.
Lý thuyết trò chơi là một thành phần quan trọng trong ngành toán học.
Vấn đề nghiên cứu trong lý thuyết trò chơi là: Có hai hoặc nhiều ngời tham
gia và đợc gọi là các ngời chơi, các ngời chơi đa ra cách giải quyết trong một
tình huống đối lập hay cạnh tranh, mỗi ngời chơi với mục đích là thu đợc kết
quả có lợi nhất sau mỗi lần tham gia.
Một trò chơi đợc tiến hành theo những quy tắc nhất định. Tập hợp những
quy định, những điều kiện mà các bên tham gia đều phải thuân theo gọi là
quy tắc chơi (hoặc luật chơi). Nh vậy một trò chơi bao gồm các ngời chơi,
các chiến thuật và kết quả của các ngời chơi sau khi trò chơi kết thúc.
1.2. Khái niệm về trò chơi ma trận
3


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Giả sử đối thủ 1 có m chiến thuật i = 1,., m; đối thủ 2 có n chiến thuật
j=1,., n. cho aij là kết quả mà đối thủ 1 thu đợc từ đối thủ 2 nếu đối thủ 1
chọn chiến thuật i và đối thủ 2 chọn chiến thuật j. Khi đó ma trận kết quả là:
A=( aij ) =

a11 a12 . a1n
a21 a22 ..a2n
..
am1 am2 ..amn

Trò chơi hoàn toàn đợc xác định bởi ma trận trên. Nh vậy, trò chơi này đợc gọi là một trò chơi ma trận.
Ví dụ minh hoạ
Ta hãy thử xây dựng ma trận của một số trò chơi đơn giản thờng ngày.
Ví dụ 1.1: Trò chơi úp bát hay sấp ngửa.
Giả sử chỉ có hai ngời chơi tham gia vào trò chơi, một nhà cái - đối thủ 1
và một nhà con - đối thủ 2. Nhà cái úp một đồng tiền giấu kín trong bát. Nhà
con đặt một đồng tiền vào bên sấp hoặc bên ngửa. Khi mở bát nếu đúng thì
nhà cái phải trả cho nhà con một đồng, trái lại nếu sai thì nhà con phải trả
cho nhà cái.
Các kết quả này có thể đợc liệt kê trong bảng sau:
Đối thủ 2

Đối thủ 1

1 (n)

2 (s)

1 (n)

1

-1

2 (s)

-1

1

Đây là trò chơi hai ngời, mỗi đối thủ đều có hai chiến thuật tơng ứng với
việc chọn mặt sấp hay mặt ngửa. Trò chơi có thông tin không đầy đủ vì đối
thủ 2 không biết đợc sự lựa chọn của đối thủ 1 (đồng tiền bị úp kín trong
bát), đối thủ 1 không biết sự lựa chọn của đối thủ 2 vì khi đối thủ 2 đặt đồng
tiền xuống thì cũng là lúc cuộc chơi kết thúc. Bảng kết quả ở trên có dạng là
một ma trận kết quả. Kết quả là một hàm của các chiến thuật của hai ngời
chơi.

4


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Ví dụ 1.2: Trò chơi Oẳn tù tì .
Đây là trò chơi mà trẻ em thờng chơi. Kéo thắng giấy, giấy thắng búa, và
búa lại thắng kéo. Có hai ngời chơi: đối thủ 1 và đối thủ 2. Mỗi đối thủ có 3
chiến thuật. Các chiến thuật 1, 2, 3 tơng ứng với búa, giấy và kéo. Giả sử
rằng ngời thắng sẽ nhận đợc kết quả là 1 còn ngời thua sẽ bị mất là -1, trờng
hợp hoà là 0, khi đó ma trận kết quả là:
Đối thủ 2

Đối thủ 1

1

2

3

1

0

-1

2

1

0

-1

3

-1

1

0

1

Ví dụ 1.3:
Đối thủ 1 chọn một số trong 4 số p = 0, 1, 2, 3 và không để cho đối thủ 2
biết; đối thủ 2 chọn một số trong 3 số q = 0, 1, 2. Kết quả cho đối thủ 1
(nghĩa là đối thủ 2 trả cho đối thủ 1) đợc xác định bằng hàm

p = p(q p) + q(q+p)
hay
p = q2 p2 + 2pq.
Đây là trò chơi hai ngời. Đối thủ 1 có 4 chiến thuật và đối thủ 2 có 3
chiến thuật. Ma trận kết quả đợc xác định nh sau:
Đối thủ 2
q

0

1

2

0

0

1

4

1

-1

2

7

2

-4

1

8

3

-9

-2

7

p

Đối thủ 1

Trong trò chơi tổng quát trên, đối thủ 1 muốn thu đợc một kết quả là aij là
lớn với khả năng có thể xẩy ra, trong khi đối thủ 2 sẽ cố gắng làm sao để cho
giá trị của aij là nhỏ với khả năng có thể xẩy ra. Trong đó hai đối thủ là hoàn
toàn đối lập.

5


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Nếu đối thủ 1 chọn chiến thuật đầu tiên i=1, thì có thể chắc chắn thu đợc
giá trị nhỏ nhất
min a1j
1 i n
Trong trờng hợp tổng quát, nếu đối thủ 1 chọn chiến thuật i thì kết quả
là:
min a
(1.1)
1 j n ij
là giá trị nhỏ nhất của các phần tử ở hàng thứ i trong ma trận kết quả. Khi đó
đối thủ 1 muốn có kết quả là lớn nhất, thì có thể chọn i để cho (1.1) là lớn
với khả năng có thể. Có nghĩa là, đối thủ 1 có thể chọn i để thu đợc kết quả
là:
max min aij .
(1.2)
1 i m 1 j n
Tơng tự, nếu đối thủ 2 chọn chiến thuật j =1, thì sẽ thua tại giá trị lớn
nhất
max ai1.
1i m
Trong trờng hợp tổng quát, nếu đối thủ 2 chọn chiến thuật j thì bị thua tại
giá trị lớn nhất là:
max aij .
( 1.3)
1i m
là giá trị lớn nhất của các phần tử ở cột thứ j trong ma trận kết quả. Khi đó
đối thủ 2 muốn kết quả bị thua là nhỏ nhất thì phải cố gắng chọn j để làm
cho kết quả bị thua là:

min max a .
(1.4)
1 j n 1i m ij
Trong trờng hợp khác, nếu đối thủ 2 đa ra cách chọn là tốt nhất thì kết
quả mà đối thủ 1 thu đợc không thể lớn hơn (1.4).
Chúng ta thấy rằng đối thủ 1 có thể chọn i để đảm bảo có một kết quả là:
max min aij ,
1i m 1 j n
trong khi đối thủ 2 có thể chọn j để làm cho đối thủ 1 thu đợc kết quả là:
min max a .
1 j n 1i m ij
Vấn đề đặt ra là có mối quan hệ nào giữa hai giá trị này không?. Để giải
thích điều này, chúng ta xét 3 ví dụ đã đa ra ở trên.
Trong Ví dụ 1:
max min aij = max(-1, -1) = -1,
1i m 1 j n
min max aij = min (1, 1) = 1.

1 j n 1i m

Nh vậy
max min aij < min max aij .
1i m 1 j n

1 j n 1i m

Trong Ví dụ 2:
max min aij = -1 < 1 = min max aij .
1 j n 1i m
1i m 1 j n

Trong Ví dụ 3:
6


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi
max min aij = max(0, -1, -4, -9) = 0,
1i m 1 j n

min max aij = min (0, 2, 8) = 0.

1 j n 1i m

Hai kết quả này bằng nhau.
min aij và min max aij có thể là bằng hoặc không bằng
Chúng ta thấy max
1 j n 1i m
1i m 1 j n
nhau.
Nhận thấy
max min aij min max aij .
(1.5)
1 j n 1i m
1i m 1 j n
Thật vậy:
i chúng ta có:
min a aij ,
j = 1,.,n;

1 j n ij
và j chúng ta có:
aij max
1i m aij ,

i = 1,,m.

min
max

i,j.
1 j n aij 1 i m aij ,
Khi đó phía bên trái của bất đẳng thức phụ thuộc vào j. Lấy giá trị nhỏ
nhất đối với j trên cả hai vế chúng ta đợc
min a min max aij .
1 j n ij
1 j n 1 i m
Nh vậy
max min aij min max aij
.
1 j n 1i m
1i m 1 j n
1.3. Điểm yên ngựa
Nếu các phần tử của ma trận ( aij ) của một trò chơi ma trận thoả mãn
max min aij = v = min max aij
(1.6)
1 j n 1i m
1i m 1 j n
v đợc gọi là giá trị của trò chơi. v là giá trị chung của (1.2) và (1.4).
Nếu (1.6) đúng, thì sẽ tồn tại một i* và j* để cho

min ai*j = max min aij = v
1i m 1 j n

1 j n

và

max aij* = min max aij = v.
1 j n 1i m

1 j m

Khi đó
min ai*j = max aij* .
1 j m

1 j n

Mặt khác
min a ai*j* max aij*.. max aij* = ai*j* = v = min ai*j .
1 j n i*j
1 j n
1i m
1 i m
Vậy i,j chúng ta có
aij* ai*j* = v aij* .

(1.7)

Điều này nói rằng, nếu đối thủ 1 chọn chiến thuật i*, thì khi đó có kết

quả không thể nhỏ hơn v nếu đối thủ 2 không chọn chiến thuật j*; nếu đối
7


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

thủ 2 chọn chiến thuật j* thì khi đó có kết quả không thể vợt qúa v nếu đối
thủ 1 không chọn chiến thuật i*.
Chúng ta gọi i* và j* là các chiến thuật tối u tơng ứng với đối thủ 1 và
đối thủ 2. Điểm (i*, j*) đợc gọi là điểm yên ngựa của trò chơi. Và i = i*, j
=j* là một lời giải của trò chơi.
Mối quan hệ (1.7) chỉ ra rằng kết quả tại điểm yên ngựa (i*, j*) là giá trị
của trò chơi. Với điều kiện là đối thủ 1 dựa vào chiến thuật tối u i*, ngời đó
có thể hi vọng tăng kết quả đạt đợc nếu đối thủ 2 không chọn chiến thuật tối
u j*. Tơng tự, nếu đối thủ 2 dựa vào chiến thuật tối u j* thì kết quả của đối
thủ 1 có thể giảm nếu ngời đó không chọn chiến thuật tối u i*.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1.4:

Xét trò chơi với ma trận kết quả
1 -1 0
A = -2 -3 -1
2
2 3

3
-3
4

Dễ dàng xác định đợc (3, 1) và (3, 2) đều là điểm yên ngựa. Đó là:
a31 = a32 =v = 2.
Từ định nghĩa của một điểm yên ngựa (1.7), giá trị a i*j* là một phần tử
trong ma trận kết quả ( aij ) mà đồng thời là giá trị nhỏ nhất của hàng và là
giá trị lớn nhất của cột tại phần tử đó.
Trong Ví dụ 1.3, i* = 1, j* = 1 là một điểm yên ngựa của trò chơi. a 11 = 0
là phần tử nhỏ nhất trong hàng đầu tiên và đồng thời là phần tử lớn nhất
trong cột thứ nhất.Trong Ví dụ 1.4, a 31 = a32 = 2 là hai phần tử nhỏ nhất ở
hàng thứ 3 và đồng thời là hai phần tử lớn nhất ở cột thứ nhất và cột thứ hai tơng ứng.
Khi số các điểm yên ngựa của một trò chơi ma trận vợt quá 1, chúng ta
có định lý sau:
Định lý 1.1
Cho (i*, j*) và (i0, j0) là các điểm yên ngựa của một trò chơi ma trận (a ij ).
Khi đó (i*,j0) và (i0, j*) là các điểm yên ngựa của ma trận đó, và giá trị tại
tất cả các điểm yên ngựa là bằng nhau, tức là:
ai*j* = ai0j0 = ai*j 0 =ai0j* .
(1.8)
Chứng minh
Khi (i*,j*) là một điểm yên ngựa, thì
aij* ai*j* ai*j i,j ,
và khi (i0,j 0) là một điểm yên ngựa, thì
8

(1.9)


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

aij0 ai0j0 aij0
, i,j .
(1.10)
0
0
0
0
Từ (1.9) và (1.10) ai*j* ai*j ai j ai j* ai*j*
(1.8) đợc chứng minh.
Kết hợp (1.8), (1.9) và (1.10), suy ra
aij0 ai*j0 ai*j ,i,j .
Vậy (i*,j 0) là một điểm yên ngựa.
Hoàn toàn tơng tự ta cũng chứng minh đợc (i0, j*) là một điểm yên ngựa.
1.4. Các chiến thuật hỗn hợp
Khi một trò chơi ma trận không có điểm yên ngựa, nghĩa là nếu
max min aij < min max aij
1 j n 1i m
1i m 1 j n
thì chúng ta không thể giải quyết trò chơi nh ở mục trớc đợc. Chẳng hạn trờng hợp ở ma trận kết quả của trò chơi Oẳn tù - tì trong mục 1.2 là:
A=

0
1
-1

-1
0
1

1
-1
0

Chúng ta thấy:
max min aij = -1< 1 = min max aij .
1 j n 1i m
1i m 1 j n
Đối thủ 1 có thể chắc chắn thu đợc giá trị nhỏ nhất là -1, đối thủ thứ 2 có
thể đảm bảo rằng kết quả thất bại tại giá trị lớn nhất là 1. Trong giải pháp
này, đối thủ 1 sẽ cố gắng thu đợc một kết quả lớn hơn 1, đối thủ 2 sẽ cố
gắng làm cho kết quả của đối thủ nhỏ hơn 1. Với các giả định đó, mỗi ngời
chơi tìm cách ngăn cản đối thủ của mình từ việc tìm ra cách lựa chọn chiến
thuật thực sự. Để làm đợc điều này, đối thủ 1 có thể dựa vào một vài phơng
sách ngẫu nhiên để xác định chiến thuật đang chọn. Tơng tự, đối thủ 2 cũng
sẽ lựa chọn chiến thuật của mình dựa vào một vài phơng pháp ngẫu nhiên.
Một chiến thuật hiểu theo nghĩa nh thế gọi là một chiến thuật hỗn hợp.
Định nghĩa
Cho ma trận kết quả của một trò chơi ma trận là A= (aij ) trong đó i=1,
,m; j=1,.,n. Một chiến thuật hỗn hợp của đối thủ 1 là tập các số x i 0,
i=1,.,m thoả mãn
m

x
i =1

i

=1.

Một chiến thuật hỗn hợp của đối thủ 2 là một tập các số y j 0, j=1,.,n
thoả mãn
m

y
i =1

j

=1.

Ngợc lại với các chiến thuật hỗn hợp là các chiến thuật thuần tuý. Chiến
thuật thuần thuý thực chất là một chiến thuật hỗn hợp đặc biệt khi x i =1; xi =
0 nếu i i.
9


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Cho X=(x1,.,xm) và Y=(y1,..,ym) tơng ứng với các chiến thuật hỗn
hợp của đối thủ 1 và 2. Đối thủ 1 chọn chiến thuật i với khả năng xẩy ra là x i
; đối thủ 2 chọn chiến thuật j với khả năng xẩy ra là y j . Nh vậy xiyj là khả
năng mà đối thủ 1 chọn chiến thuật i và đối thủ 2 chọn chiến thuật j với kết
quả là aij .
Nhân mỗi kết quả aij với khả năng xiyj tơng ứng và lấy tổng i,j. Khi đó
kết quả mong muốn của đối thủ 1 là:
m

n

a x y
ij

i =1 j =1

i

j

.

Đối thủ 1 muốn kết quả mong muốn này là lớn nhất, trong khi đối thủ 2
lại muốn kết quả đó là nhỏ nhất.
Cho Sm là tập tất cả X=(x1,,xm) thoả mãn điều kiện
Xi 0 ,i=1,..,m,

m

x =1.
i

i =1

Nếu đối thủ 1 chọn chiến thuật (hỗn hợp) X Sm thì khi đó kết quả mong
muốn tại giá trị nhỏ nhất
m

n

min
YS n

aij xi yj .

(1.11)

i =1 j =1

Trong đó Sn là tập tất cả Y= (y1,,yn ) thoả mãn điều kiện
Yj 0 , j =1,.,n,

n

y
j =1

j

=1.

Đối thủ 1 có thể chọn XSm sao cho (1.11) là lớn nhất, nghĩa là có thể
chắc chắn có một kết quả mong muốn không nhỏ hơn
m

n

min aij xi y j .
v1 = max
X S Y S
n

m

i =1 j =1

Nếu đối thủ 2 chọn chiến thuật Y Sn , thì kết quả mong muốn của đối
thủ 1 là lớn nhất
m

n

max aij xi y j .
X S m

(1.12)

i =1 j =1

Đối thủ 2 có thể chọn Y Sn sao cho (1.12) là một giá trị nhỏ nhất, tức
là có thể ngăn cản đối thủ 1 từ việc thu đợc một kết quả mong muốn lớn hơn
m

n

max aij xi y j .
v2 = min

Y S X S
n

m

i =1 j =1

Chúng ta có định lý 1.2 nh sau:
Định lý 1.2
m

n

max min aij xi y j
X S m Y S n

i =1 j =1

m

n

max aij xi y j
min
Y S X S
n

m

10

i =1 j =1


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Chứng minh
XSm và YSn , chúng ta có
m

n

min aij xi y j
Y S n

i =1 j =1

m

n

a
i =1 j =1

ij

xi y j .

Lấy giá trị lớn nhất XSm trên cả hai phía của bất phơg trình, chúng ta
thu đợc
m

n

m

n

max min aij xi y j max aij xi y j .
X S m Y S n

X S m

i =1 j =1

i =1 j =1

Bất phơng trình này đúng YSn đpcm.
1.5. Địng lý Minimax
Một số cách chứng minh về định lý Minimax đã đợc đa ra trong tài liệu
về lý thuyết trò chơi. ở đây chỉ nêu ra cách chứng minh của Newmann (Đợc
đa ra trong Von Newmann và Morgenstern (1944)).
Định nghĩa 1.1
Cho :
a(1) = (a11, a12, ,am1),
a(2) = (a12, a22,.,am2),
..,
a(n) = (a1n, a2n,..,amn).

Là n điểm trong không gian Eucliden m chiều. Nếu điểm a = (a 1, a2,
..,am) có thể đợc mô tả nh là một tổ hợp tuyến tính lồi của n điểm a (1),
,a(n), tức là, nếu tồn tại
tk 0 , k=1,.,n ,

n

t
k =1

k

=1

sao cho
a = t1a(1) + t2a(2) +.+tna(n).
thì chúng ta nói rằng điểm a bao lồi H của a(1), ,a(n).
H chính là một tập lồi. Điều này có thể dễ dàng chứng minh bằng cách
chứng minh mọi tổ hợp tuyến tính lồi của hai điểm bất kỳ của H cũng H.
Để chứng minh định lý Minimax, chúng ta cần đa ra hai bổ đề sau
Bổ đề 1
Cho H là bao lồi của
a(1) = (a11, a12, ,am1),
a(2) = (a12, a22,.,am2),
..,
a(n) = (a1n, a2n,..,amn).
Giả sử 0 H. Khi đó m số thực s1,..,sm sao cho với mỗi điểm a = (a 1,
a2,..,am) H, chúng ta có
s1a1 + s2a2 + + smam > 0.
11

Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Bổ đề 2
Cho A = (aij ) là một ma trận mìn tuỳ ý. Thì hoặc (1) tồn tại các số y 1,
..,yn với
yj 0 , j = 1,..,n ,
n

a
j =1

ij

n

y
j =1

j

= 1,

y j = ai1y1+ai 2y2++ainyn 0 ,i = 1,..,m ;

hoặc (2) tồn tại các số x1,,xm với
m

x =1,

xi 0 ,i=1,..,m,
m

a
i =1

ij

i =1

i

xi = a1j x1+ a2j x2 ++am j xm > 0 , j = 1,.,n.

Định lý 1.3 (Định lý Minimax)
Cho ma trận kết quả của một trò chơi ma trận là A = (aij ). Thì
m

n

m

n

min aij xi y j = min max aij xi y j = v2.
v1 = max
Y S X S

X S Y S
n

m

n

i =1 j =1

m

i =1 j =1

Chứng minh
Từ Định lý 1.2 chúng ta chứng minh đợc v1 v2. Chúng ta chỉ cần chứng
minh v1 v2.
Từ Bổ đề 2, một trong hai trờng hợp sau phải đúng
(1) y1,..,yn 0 ,
n

a
j =1

ij

n

y
j =1

= 1 . Sao cho

j

y j 0 , i = 1,,m.

Khi đó, với mỗi X = (x1,,xm) Sm , ta có:
n

aij y j xi 0 .



i =1 j =1

m

Nh vậy

m

n

max aij xi y j 0.
X S m

i =1 j =1

m

n

max aij xi y j 0 .
v2 = min
Y S X S
n

(2) x1,,xm 0 ,
m

a
i =1

ij

m

i =1 j =1
m

x =1, sao cho
i =1

i

xi 0 , j = 1,.,n.

Khi đó, với Y=(y1,,yn ) Sn , ta có:

12

(1.13)


Khoá luận tốt nghiệp


n

m

a
j =1

i =1

Nh vậy
m

ij

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi


xi y j 0 .


n

min aij xi y j 0.

Y S n

i =1 j =1

m

n

min aij xi y j 0.
v1 = max
X S m Y S n

(1.14)

i =1 j =1

Từ (1.13) và (1.14) hoặc là v 1 0 hoặc là v2 0. Nghĩa là, không bao giờ
xẩy ra v1 < 0 < v2.
Thay ma trận A = (aij ) bằng
a11-k a12-k..a1n-k
(aij k) = a21-k a22-k..a2n-k

am1-k am 2-kamn-k
Trong đó k là một số tuỳ ý. Và chúng ta thấy:
Không bao giờ tồn tại v1- k < 0 < v2 - k ,
hay không bao giờ tồn tại v1 < k < v2 .
(1.15)
Nh vậy, không tồn tại v1 < v2, mặt khác nếu k thoả mãn v1 < k < v2, dẫn
đến mâu thuận với (1.15).
Nh vậy định lý Minimax đợc chứng minh.

1.6. Các điểm yên ngựa trong các chiến thuật hỗn hợp
Cho A = (aij ) là ma trận kết quả của một trò chơi ma trận mìn.
Nếu X = (x1,,xm) Sm và Y=(y1,,yn ) Sn tơng ứng với các chiến
thuật hỗn hợp của đối thủ1 và đối thủ 2 thì khi đó kết quả mong muốn
m

n

a
i =1 j =1

ij

xi y j có thể đợc viết bằng ký hiệu ma trận
m

n

a
i =1 j =1

ij

xi y j = XAYt .

Trong đó Yt là hoán vị của Y.
Định nghĩa 1.2
Giả sử X* Sm ,Y* Sn . (X*,Y*) đợc gọi là một điểm yên ngựa(trong các
chiến thuật hỗn hợp ) của ma trận trò chơi A = (aij) nếu
XAY*t X*AY*t X*AYt .

(1.16)
X Sm và Y Sn.
Định lý 1.5
Điều kiện cần và đủ cho ma trận trò chơi A* = (a ij ) có một điểm yên
ngựa là
13


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

max min XAYt và min max XAYt
X S m Y S n

Y S n X S m

là tồn tại và bằng nhau.
1.7. Các chiến thuật tối u và các tính chất của chúng
Nếu ma trận trò chơi A = (aij ) có một điểm yên ngựa và nếu (X*,Y*) là một
điểm yên ngựa, nghĩa là:
XAY*t X*AY*t X*AYt , X Sm và Y Sn.
thì khi đó chúng ta nói rằng X*,Y* là các chiến thuật tối u tơng ứng của đối
thủ 1 và đối thủ 2, và
X*AY*t
là giá trị của trò chơi. Có nghĩa là, kết quả mong muốn của trò chơi tại điểm
yên ngựa (X*,Y*) là giá trị của trò chơi. Chúng ta cũng nói rằng (X*,Y*) là
một giải pháp của trò chơi. Theo Định lý 1.5 giá trị của trò chơi là giá trị
chung của
min XAYt và v2 = min max XAYt .

v1 = max
Y S X S
X S Y S
Định nghĩa (1.16) của điểm yên ngựa cho thấy, với điều kiện đối thủ 1 đa
ra chiến thuật tối u X*, thì có thể chắc chắn thu đợc kết qủa mong muốn
X*AY*t nhỏ nhất. Tơng tự, với điều kiện đối thủ 2 đa ra chiến thuật tối u Y*,
thì có thể làm cho kết quả mong muốn của đối thủ 1 giảm tại giá trị lớn nhất
X*AY*t mà không ảnh hởng đến đối thủ 1 đa ra cách chọn chiến thuật nh thế
nào.
Các ký hiệu sau sẽ đợc áp dụng. Chúng ta ký hiệu vectơ hàng thứ i của
ma trận A bởi Ai và vectơ cột thứ j bởi Aj . Nh vậy
m

XAj =

m

a
i =1

n

t
ij xi , AiY =

n

n

a

j =1

ij

m

yj .

XAj là kết quả mong muốn khi đối thủ 1 chọn chiến thuật hỗn hợp X và
đối thủ 2 chọn chiến thuật thuần tuý j; AiYt là kết quả mong muốn khi đối
thủ 2 chọn chiến thuật hỗn hợp Y và đối thủ 1 chọn chiến thuật thuần tuý i.
Tính chất của các chiến thuật tối u
Định lý 1.6
Cho A = (aij ) là ma trận kết quả của một ma trận trò chơi m ìn có giá trị
là v.
(1) cho Y* là một chiến thuật tối u của đối thủ 2. Nếu
AiY*t < v,
thì xi* = 0 trong mỗi chiến thuật tối u X* của đối thủ 1.
(2) cho X* là một chiến thuật tối u của đối thủ 1. Nếu
X*Aj > v,
thì yj* = 0 trong mỗi chiến thuật tối u Y* của đối thủ 2.
Chứng minh
Trớc hết chúng ta chứng minh (1).
14


Khoá luận tốt nghiệp

thì

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Khi Y* là một chiến thuật tối u của đối thủ 2, chúng ta có:
AiY*t v , i = 1,..,m.
Cho s1 = { i: AiY*t < v }, s2 = {i: AiY*t = v }
v = X*AY*t =

m



xi*AiY*t =

i =1



=
Khi đó
v( 1-



xi* ) =

is2

Tức là
v i
xi*=

s


is1

2


is1

xi*AiY*t +

is1


is1

xi*AiY*t +



is2



is2

xi*AiY*t
xi*v

xi*AiY*t .

xi*AiY*t hay



is2

(v AiY*t)xi* = 0.

Khi i s1 thì v AiY*t > 0. Nh vậy chúng ta phải có xi* = 0
.
Tơng tự chúng ta cũng chứng minh đợc (2).
Định lý 1.7
Cho A = (aij ) là ma trận kết quả của một ma trận trò chơi mìn có giá trị
là v.
(1) Điều kiện cần và đủ của X* Sm là một chiến thuật tối u của đối thủ
1 là
v X*Aj ,
j = 1,.., n.
(2) Điều kiện cần và đủ của Y* Sn là một chiến thuật tối u của đối thủ
2 là
AiY*t v , i = 1,.,m.
Chứng minh
Chỉ cần chứng minh (1), còn chứng minh (2) tơng tự.
+ Điều kiện cần đợc chỉ ra trực tiếp từ định nghĩa của một điểm yên
ngựa.
+ Điều kiện đủ:
Giả sử rằng
v X*Aj ,

j = 1,.., n.
(1.17)
Cho (X0,Y0) là một điểm yên ngựa của trò chơi, tức là
XAY0t X0AY0t X0AYt , X Sm và Y Sn .
(1.18)
0
Chúng ta sẽ chứng minh (X*, Y ) là một điểm yên ngựa của trò chơi.
Cho Y = (y1,,yn ) Sn là một chiến thuật hỗn hợp bất kỳ của đối thủ
2. Nhân hai vế của (1.17) bởi yj và lấy tổng với j = 1,..,n. Chúng ta thu đợc
v

n



j =1

X*Aj yj = X*A Yt .

Trong trờng hợp đặc biệt
15

(1.19)


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

v X*AY0t .

(1.20)
Từ định nghĩa của điểm yên ngựa (1.18) có
X*AY0t X0AY0t =v.
(1.21)
Từ (1.20) và (1.21) chúng ta có
X*AY0t = X0AY0t = v.
(1.22)
Từ (1.18), (1.22) và (1.19) XAY0t X*AY0t X*AYt .
Vậy chúng ta đã chứng minh đợc (X*,Y0) là một điểm yên ngựa của trò
chơi. Khi đó, X* là một chiến thuật tối u của đối thủ1
.
1.8. Chiến thuật u thế và rút gọn trò chơi
Định nghĩa 1.3
Cho A = (aij ) là ma trận kết quả của một ma trận trò chơi mìn nếu
akj alj ,
j = 1,,n,
(1.23)
thì chúng ta nói rằng chiến thuật k của đối thủ 1 u thế hơn chiến thuật l.
Nếu
aik ail ,i =1,..,m,
(1.24)
thì chúng ta nói rằng chiến thuật k của đối thủ 2 u thế hơn chiến thuật l.
Nếu các bất đẳng thức (1.23) hoặc (1.24) đợc thay thế bởi các bất đẳng
thức đúng, thì chúng ta nói rằng chiến thuật k của đối thủ 1 hoặc 2 hoàn toàn
u thế hơn chiến thuật l.
Khái niệm về tính u thế cho các chiến thuật hỗn hợp là tơng tự.
Ta thấy rằng khi tìm chiến thuật tối u của một trò chơi có thể loại bỏ
không xét các chiến thuật u thế (nghĩa là cả một chiến thuật khác u thế hơn
nó) mà không ảnh hởng gì đến kết quả. Điều này đợc chính xác hoá bởi định
lý sau đây

Định lý1.8
Giả sử G là trò chơi với ma trận là A = (a ij ) có các hàng i0, i1,,ir u
thế.Thế thì tồn tại chiến thuật tối u X* với các thành phần xi0 = xi1 =.= xir .
Hơn nữa, nếu gọi G0 là trò chơi với ma trận là A0 nhận đợc từ A sau khi đã
loại bỏ các hàng u thế nói trên thì mọi chiến thuật X* tối u đối với G0 cũng là
tối u đối với G.
Ta có định lý hoàn toàn tơng tự đối với cột.
Ví dụ rút gọn trò chơi
Cho ma trận kết quả của một trò chơi ma trận là
3
3
4
0

2
4
3
4

4
2
4
0

0
3
2
8

Chiến thuật 1 của đối thủ 1 u thế hơn chiến thuật 3. Nh vậy chúng ta xoá

hàng thứ nhất của ma trận kết quả.

16


Khoá luận tốt nghiệp
3
4
0

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

4
3
4

2
4
0

3
2
8

Chiến thuật 1 của đối thủ 2 u thế hơn chiến thuật 3. Nh vậy cột thứ nhất
đợc xoá
4
3
4

2
4
0

3
2
8

Từ ma trận này ta thấy:
4
3

2


2

1
2

4

3
+

0

1
2

2
8

Khi đó cột thứ nhất của ma trận này đợc xoá
2
4
0

3
2
8

Hàng thứ nhất của ma trận này đợc u thế hơn bởi một tổ hợp tuyến tính
lồi của hàng thứ 2 và thứ 3
(2

3)

1
(4
2

1
2

2) + (8

0).

Khi đó hàng thứ nhất đợc xoá và ta thu đợc

4
0

2
8

Dễ dàng xác định đợc các chiến thuật tối u của trò chơi có ma trận 2ì2 là
ma trận con của ma trận gốc 4ì4 đợc thiết lập bởi hàng thứ 3, thứ 4 và cột
thứ 3, thứ 4 của nó.
Nh vậy:
X* = (0, 0,

4 1
1 2
, ) , Y = (0, 0, , )
5 5
5 5

là các chiến thuật tối u của ma trận trò chơi gốc và có giá trị là 16/5.
1.9. Cách giải các ma trận trò chơi 2ì2
17


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Cho ma trận kết quả của ma trận trò chơi 2ì2 là
a
b

c
d

(1.25)

Ta chỉ xét trờng hợp không có điểm yên ngựa, bằng việc thay đổi các
hàng hoặc các cột của ma trận, nghĩa là, bằng việc đánh số lại hai chiến thuật
của đối thủ 1 hoặc đối thủ 2, có thể thấy rằng chỉ có một trờng hợp sau cần
đợc xét:
a< b, a< c, d< b, d< c .
Trong trờng hợp này, trò chơi phải có một giải pháp chiến thuật hỗn hợp.
Cho X* = (x*, 1-x*), Y* = (y*,1-y*) là các chiến thuật tối u tơng ứng
của đối thủ 1 và đối thủ 2. Trong đó
0 < x*< 1 , 0 < y* <1.
Khi đó
x* > 0 , 1-x* > 0 , y* > 0 , 1-y* > 0.
Theo Định lý 1.6, các phơng trình sau là đúng:
X*A1 = v , X*A2 = v , A1Y*t = v , A2Y*t = v.
Trong đó v là giá trị của trò chơi. Viết các phơng trình này trong miền
giới hạn của các phần tử của ma trận, chúng ta có
ax* + c(1-x*) = v,
bx* + d(1-x*) = v.
ay* + b(1-y*) = v,
cy* + d(1-y*) = v.
Từ hai phơng trình đầu suy ra:
x*=

d c
a+d bc

(1.26)

d b
a+d bc

(1.27)

Từ hai phơng trình sau suy ra:
y* =
Nh vậy:
v=

ad bc
a+d bc

(1.28)

Các phơng trình (1.26), (1.27), (1.28) là các chiến thuật tối u và giá trị
của trò chơi (1.25) khi nó không có điểm yên ngựa trong các chiến thuật
thuần tuý.
Các công thức này cũng thoả mãn cho trờng hợp
a > b , a > c , d > b , d > c.
Ví dụ minh họa
Giải ma trận trò chơi
A= 1

4
18

Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi
3

-2

Đầu tiên, trừ mỗi phần tử của cột thứ hai từ các phần tử tơng ứng của cột
thứ nhất:
14
-3
=
3 (- 2)
5
Lấy giá trị tuyệt đối của hai giá trị khác nhau đó và nghịch đảo chúng để
đợc các giá trị sau:
-3
5

5
3

Tỉ số 5:3 là tỉ số của x1 trên x2 trong chiến thuật tối u của đối thủ 1:
X* = (x1, x2) = (x*, 1-x*).
Chúng ta thu đợc:
5 3
).
8 8

X* = ( ,

Tơng tự, trừ mỗi phần tử của hàng thứ hai từ hai phần tử tơng ứng của
hàng thứ nhất
13
4 (-2)

-2

6

Lấy các giá trị tuyệt đối của hai phần tử đó và nghịch đảo chúng để thu
đợc các giá trị
-2

6

6

2

Tỉ số 6:2 là tỉ số của y1 trên y2 trong chiến thuật tối u của đối thủ 2
Y* = (y1, y2) = (y*,1-y*).
Chúng ta có
3
4

Y* = ( ,

1

).
4

Giá trị của trò chơi dễ dàng tính đợc
v = X*AY*t =

7
.
4

19


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Minh hoạ hình học trò chơi 2ì2
B2

B1

B1
N

M

B1

c

B1

B2

A2

A1

A2

a
A1

1-x*

x*

Hình 1.1: Minh hoạ hình học lời giải trò chơi 2ì2
Trên mặt phẳng dựng hai đờng vuông góc với trục Ox tại các điểm x= 0
và x=1. Chúng ta biểu diễn hai chiến thuật thuần tuý A1, A2. Các đờng thẳng
B1B1 và B2B2 sẽ biểu diễn các chiến thuật B 1, B2 tơng ứng theo nghĩa nh sau.
Giả sử đối thủ 2 chọn chiến thuật thuần tuý B 1. Nếu đối thủ 1 sử dụng chiến
thuật X* = (x*,1-x*) thì số chi trả (trung bình) trong trờng hợp này là ax* +
c(1-x*) chính là tung độ của điểm M. Tơng tự đối với B2. Nh vậy, mức thắng
tối thiểu của đối thủ 1 dù cho đối thủ 2 sử dụng bất cứ chiến thuật nào chính
là đờng gấp khúc tô đậm ở bên dới
V(X*) = min
(ax* + c(1-x*)).
j =1, 2

Ta cần tìm chiến thuật tối u X* của đối thủ 1 theo tiêu chuẩn là làm cực
đại mức thắng V(X*) này. Từ đó thấy ngay rằng lời giải là điểm N sao cho có
tung độ cao nhất trên đờng gấp khúc này (xem Hình 1.1).
1.10. Giải trò chơi 2ìn và mì2
Chúng ta sẽ minh hoạ phơng pháp bằng một ma trận trò chơi 2ì3. Giả sử
ma trận kết quả là:

x

1

1
a

1-x

2

d

20

2
b

3
c

e

f


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Trong đó các chiến thuật thuần tuý của đối thủ 1 là , và các chiến
thuật thuần tuý của đối thủ 2 là 1 , 2 , 3 .
1
e

a

Q
f

B'
3

d

c

2 b
0

2

P

A'
x

1

x

1-x
Hình 1.2

Giả sử rằng đối thủ 1 chọn chiến thuật hỗn hợp
X = (x1, x2 ) = (x, 1-x).
Trong đó 0 x 1. x=1 mô tả chiến thuật thuần tuý , x= 0 mô tả
chiến thuật thuần tuý .
Nếu đối thủ 1 chọn chiến thuật thuần tuý , tức là, khi x = 1 và nếu đối
thủ 2 chọn chiến thuật thuần tuý 1 thì kết quả là a, nh trong Hình 1.2. Nếu
đối thủ 1 chọn , tức là khi x = 0 thì kết quả tơng ứng với 1 là d. Chúng ta có
đờng ad trong hình.
Giả sử rằng đối thủ 1 chọn một chiến thuật hỗn hợp X = (x, 1-x) đợc mô
tả bởi P trong hình. Thì có thể thấy rằng đờng cao PQ mô tả kết quả mong
muốn khi đối thủ 1 sử dụng X và đối thủ 2 sử dụng 1 . Tổng là:
XA1 =

2



ai1xi = ax + d(1 - x).

i =1

Tơng tự, tơng đơng với các chiến thuật 2 và 3 của đối thủ 2 chúng ta có
đờng be và cd. Các đờng cao của các điểm trên các đờng này mô tả các kết
quả mong muốn nếu đối thủ 1 sử dụng X trong khi đối thủ 2 sử dụng 2 và 3
tơng ứng.
Với chiến thuật hỗn hợp X bất kỳ của đối thủ 1, thì kết quả mong muốn
của ngời đó là giá trị nhỏ nhất của 3 tung độ trên các đờng ad, be, cf tại điểm
x, tức là:
2

min AXj = min aij xi .
1 j 3
1 j 3

(1.29)

i =1

21


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Hàm này đợc mô tả bằng đờng đậm trong hình.
Đối thủ 1 muốn chọn một X để đạt giá trị lớn nhất của hàm (1.29).
Chúng ta thấy từ hình trên, ngời đó sẽ chọn chiến thuật hỗn hợp tơng ứng với
điểm A'. tại điểm này kết quả mong muốn là :

2

min aij xi ,
A'B' = max
X S 1 j 3
i =1

2

đây chính là giá trị của trò chơi.
Chú ý rằng điểm B' tronh Hình 1.2 là điểm giao nhau của đờng ad và cf.
Toạ độ x= x* của điểm A' và giá trị của A'B' có thể đợc tìm thấy bằng cách
giải hai phơng trình tuyến tính hai ẩn.
Đồ thị cũng chỉ ra rằng chiến thuật tối u của đối thủ 2 không chứa chiến
thuật thuần tuý 2 . nh vậy, cách giải của ma trận trò chơi 2ì3 có thể suy ra từ
cách giải của ma trận trò chơi 2ì2.
a
d

c
f

Phơng pháp hình học đợc mô tả ở trên có thể đợc áp dụng để giải cho tất
cả các ma trận trò chơi 2ìn.
Phơng pháp hình học của một ma trận trò chơi mì2 cũng tơng tự. Chúng
ta có thể minh hoạ với trờng hợp m = 3 và cho ma trận kết quả A của trò chơi
là:
y
1

a
c

e

1-y
2
b
d
f

Giả sử rằng đối thủ 2 sử dụng chiến thuật hỗn hợp
Y = (y1,y2) = (y, 1-y)
trong đó 0 y 1, y=1 và y= 0 mô tả các chiến thuật thuần tuý 1 và 2 tơng
ứng.
Tung độ của một điểm trên đờng đen đậm trong Hình 1.3 là
3 e
2
t = max
max
a
y
A
Y
.
i

ij j
d
1i 3

1i 3
j =1
a
1
B'
b
2
c
f
02

22
A'

1

y


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Hình 1.3
Đối thủ 2 muốn chọn một Y để giá trị lớn nhất ở trên là nhỏ nhất. ở đây
Y đợc mô tả bằng điểm A'. Kết quả mong muốn tại điểm này là:
max AiYt là giá trị của trò chơi.
A'B' = min
Y S 1i 3
1.11. Giải trò chơi 3ì3

Chúng ta sẽ sử dụng các toạ độ Barycentric cho các điểm
X = (x1,x2,x3) thoả mãn
x1 0, x2 0, x3 0
(1.30)
x1 + x2 + x3 =1.
(1.31)
2

Cho 123 là một tam giác đều có các đờng phân giác vuông góc. Với mỗi
điểm X nằm trong tam giác này, cho x 1, x2, x3 là khoảng cách từ X đến các
cạch của tam giác đối ngợc với các đỉnh 1, 2, 3 tơng ứng. Thì khi đó x1, x2, x3
thoả mãn điều kiện (1.30) và (1.31) (xem Hình 1.4). Chúng đợc gọi là toạ độ
Barycentric của X.
Các toạ độ Barycentric của các đỉnh 1, 2 và 3 là (1,0,0), (0,1,0) và (0,0,1)
tơng ứng. Các phơng trình tơng ứng của 3 cạnh 23, 31, 12 của tam giác là:
x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0.
1

x3
2

X x
2
x1
Hình 1.3.

3

Hình 1.4
Xét ma trận kết quả của ma trận trò chơi 33 bất kỳ

23


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

a11
a21
a31

A=

a12
a22
a32

a13
a23
a33

Giá trị của trò chơi là
XA1
min XAj = max min XA
v = max
X S 1 j 3
X S
2
XA3
3

(1.32)

3

Xét các phơng trình
XA1 = XA2
XA2 = XA3
XA3 = XA1 .

(1.33)
(1.34)
(1.35)

Mỗi phơng trình mô tả một đờng thẳng chia toàn bộ mặt phẳng thành hai
nửa mặt phẳng (các điểm bên ngoài tam giác có thể đợc xem nh là các điểm
thoả mãn điều kiện (1.31) nhng với một hoặc hai trong ba toạ độ x 1, x2, x3 đợc giả sử là âm). Xét phơng trình (1.33), chia toàn bộ mặt phẳng thành hai
phần. Các điểm X trong một nửa mặt phẳng thoả mãn điều kiện
XA1 < XA2 ,
và các điểm đó trong nửa mặt phẳng kia thoả mãn điều kiện
XA1 > XA2 .
Trờng hợp tơng tự cho các phơng trình (1.34) và (1.35).
Ba đờng (1.33), (1.34), (1.35) mỗi đờng giao nhau tại một điểm hoặc là
song song với mỗi đờng khác. Trong hai trờng hợp các đờng này chia toàn bộ
mặt phẳng thành 3 miền R1, R2, R3 (xem Hình 1.5).
Trong miền R1
min XAj = XA1 ;

1 j 3

Trong R2
min XAj = XA2 ;

1 j 3

Trong R3
min XAj = XA3 .
1

1 j 3

Nh vậy, (1.32) có thể đợc viết nh sau:
min XAj = max XA1 , max XA2 , max XA3 .
v = max
X S 1 j 3
X S R
X S R R3 X S R

R2
3

2

3

1

R1 24

3

2

3

3

3


Khoá luận tốt nghiệp

Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Hình 1.5
Để xác định giá trị v, đầu tiên chúng ta tính
max XAj , j = 1, 2, 3.
X S
3

Trong đó mỗi tập S3 Rj , j = 1, 2, 3 là một đa giác lồi (trong trờng hợp
riêng nó có thể là một đoạn thẳng, một điểm hoặc một tập rỗng). Một hàm
tuyến tính XAj trên một đa giác lồi có thể giả sử rằng giá trị lớn nhất của nó
chỉ tại một đỉnh của đa giác. Khi đó nó có khả năng xác định các giá trị của
XAj tại các đỉnh thích hợp và đa ra một sự so sánh giữa các giá trị đó, giá trị
lớn nhất phải là v. Trong quá trình so sánh, các chiến thuật tối u của đối thủ 1
có thể đợc xác định.
Sau khi giá trị v của trò chơi đợc xác định, các chiến thuật tối u của đối
thủ 2 có thể tìm ra bằng cách tơng tự. Chúng ta có:
A1 Yt

max AiYt = min max A Yt
v = min
Y S 1i 3
YS
2
A3 Yt
3

3

{

}

A1Y t , min A2Y t , min A3Y t
= min Ymin
.
S T
Y S T
Y S 3
3

1

3

2

3

1

Trong đó Ti là miền mà hàm tuyến tính AiYt thoả mãn
AiYt = max
AiYt ,i = 1, 2, 3.
1i 3
Có khả năng tính các giá trị của AiYt tại các đỉnh thích hợp và đa ra sự so
sánh giữa chúng. Giá trị nhỏ nhất phải là v, và các đỉnh Y tại giá trị nhỏ nhất
đợc coi là các điểm tơng ứng với các chiến thuật tối u của đối thủ 2.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1.5: Tính giá trị và các chiến thuật tối u của trò chơi có ma trận kết
quả là:
B=

3 5
4 -3

3
2
25