Một số vài ứng dụng của các tập mờ trực giác g đóng trong không gian tôpô mờ trực giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - - - o0o - - - - - - -

NGUYỄN ĐỨC ÁNH

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC
TẬP MỜ TRỰC GIÁC g -ĐÓNG TRONG
KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH-2007


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - - - o0o - - - - - - -

NGUYỄN ĐỨC ÁNH

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC TẬP MỜ TRỰC GIÁC
g -ĐÓNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01

Cán bộ hướng dẫn khoa học
PGS. TS. TRẦN VĂN ÂN

VINH-2007


MỤC LỤC

Mục lục

1

Lời nói đầu

2

Chương 1. Tập mờ trực giác và không gian tôpô mờ trực
giác

4
1.1. Tập mờ trực giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Không gian tôpô mờ trực giác

. . . . . . . . . . . . . 9

Chương 2. Một vài ứng dụng của các IFS g-đóng trong
không gian tôpô mờ trực giác

13

2.1. Các không gian tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Không gian IFg-Chính qui . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Không gian IFg-chuẩn tắc

. . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4. Một vài định lí bảo tồn . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Kết luận

31

Tài liệu tham khảo

32

1


LỜI NÓI ĐẦU

Năm 1965 L. A. Zadeh đưa ra khái niệm tập mờ (fuzzy set), đến
năm 1968 C. L. Chang đã xây dựng khái niệm không gian tôpô mờ. Sau
đó đã có rất nhiều học giả nghiên cứu và mở rộng các khái niệm này.
Năm 1983 khái niệm tập mờ trực giác (intuitionistic fuzzy set) được K.
Atanassov công bố như là một sự mở rộng của khái niệm tập mờ. Từ đó
nhiều khái niệm toán học mờ khác nhau đã được định nghĩa và nghiên
cứu dựa trên tập mờ trực giác. Vào năm 1997 D. Coker [2] giới thiệu
khái niệm không gian tôpô mờ trực giác. Việc nghiên cứu các tính chất
tôpô của loại không gian này được các nhà toán học trên thế giới quan
tâm nhiều trong những năm gần đây. Nhiều kết quả đạt được là một sự
tổng quát các kết quả của tôpô đại cương.
Năm 1970, khái niệm tập đóng suy rộng trong không gian tôpô
(generalized closed sets in topology) được N. Levine giới thiệu nhằm mở

rộng khái niệm tập đóng trong tôpô . Trong bài báo Some applications
of generalized closed sets in fuzzy topological spaces, M. E. El-Shafei [3]
đã ứng dụng khái niêm tập đóng suy rộng trong trường hợp không gian
tôpô mờ để xây dựng nên khái niệm không gian F T 1 - một sự mở rộng
2

tương tự và khái quát cho không gian T 1 được đề xuất bởi W. Dunham.
2

Trong bài báo này tác giả cũng đã xây dựng có hệ thống các không gian
tách F T1 , F T2 , F T3 , . . . và các mối quan hệ giữa chúng.
Với suy nghĩ mở rộng các kết quả của M. E. El-Shafei trong trường
hợp không gian tôpô mờ trực giác, chúng tôi đã chọn đề tài này. Mục
đích của luận văn này là hệ thống lại các khái niệm tập mờ trực giác,
không gian tôpô mờ trực giác và các tính chất của chúng; nghiên cứu
các ứng dụng của tập mờ trực giác đóng suy rộng trong việc xây dựng
các không gian tôpô mờ trực giác "tách" và các liên hệ giữa chúng.
2


3

Với mục đích trên luận văn được chia làm hai chương
Chương 1. Tập mờ trực giác và không gian tôpô mờ trực
giác. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm về các
tập tập mờ trực giác, không gian tô pô mờ trực giác và các tính chất cơ
bản của chúng đã được giới thiệu trong [2].
Chương 2. Một vài ứng dụng của các tập IFS g-đóng trong
không gian tô pô mờ trực giác. Trong chương này đầu tiên chúng tôi
định nghĩa khái niệm hai tập mờ trực giác tựa trùng. Đây là khái niệm

cơ bản để xây dựng nên các khái niệm các không gian tôpô mờ trực giác
"tách" IF T1 , IF T2 , IF T3 , IF T4 . Chúng tôi cũng đưa ra các khái niệm
tập mờ trực giác đóng suy rộng, mở suy rộng. Từ đó xây dựng các không
gian tôpô mờ trực giác IF T 1 , không gian IF G-chính qui, IF G-chuẩn
2

tắc.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS. Trần Văn Ân. Tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành
cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học,
các thầy giáo, cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình
công tác và học tập tại trường. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích khoa Toán, trường Đại
học Vinh đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận
văn. Tác giả xin cảm ơn các bạn học viên Cao học khoá 13, đặc biệt là
Cao học 13 Giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành
nhiệm vụ trong suốt thời gian học tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn ngày được hoàn thiện
hơn.
Vinh, tháng 12 năm 2007
Tác giả


CHƯƠNG 1

TẬP MỜ TRỰC GIÁC VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ
MỜ TRỰC GIÁC

1.1. TẬP MỜ TRỰC GIÁC
Lí thuyết tập mờ (fuzzy set) là một sự mở rộng của lí thuyết tập hợp
cổ điển. Theo lí thuyết tập hợp của Cantor mối quan hệ thành viên của
các phần tử trong một tập hợp được đánh giá theo một điều kiện rõ
ràng-một phần tử hoặc thuộc hoặc không thuộc tập hợp. Mối quan hệ
này được mô tả bởi một hàm đặc trưng χA
χA (x) =

nếu x ∈ A
nếu x ∈
/ A.

1
0

Ngược lại, lí thuyết tập mờ cho phép đánh giá từ từ về quan hệ thành
viên giữa một phần tử và một tập hợp. Quan hệ này được đặc trưng bởi
một hàm liên thuộc (membership function) µ nhận giá trị trong đoạn
[0; 1]. Một tập mờ A trên một tập cổ điển X được đồng nhất với một
hàm liên thuộc µA : X → [0; 1],

x → µA (x).

Từ lí thuyết tập mờ K. Atanassov đã phát triển lên lí thuyết tập mờ
trực giác. Trong lí thuyết tập mờ trực giác, mối quan hệ thành viên giữa
một phần tử và một tập hợp được đặc trưng bởi hai hàm số nhận giá trị
trong đoạn [0; 1] - hàm liên thuộc µ lượng giá mức độ sự có mặt của phần
tử trong tập hợp và hàm không liên thuộc (nonmembership function) γ
lượng giá mức độ sự không có mặt của phần tử trong tập hợp.

1.1.1 Định nghĩa ([2]). Cho X là tập cố định khác rỗng. Một tập mờ
trực giác A (viết tắt là IFS A) là tập hình thức:
A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X},
4

(1.1)


5

trong đó các hàm µA : X −→ I = [0, 1] và γA : X −→ I = [0, 1] lần lượt
là các hàm chỉ mức độ sự có mặt và mức độ sự không có mặt của phần
tử x ∈ X trong tập A và 0 ≤ µA (x) + γA (x) ≤ 1.
1.1.2 Nhận xét ([2]). Một tập mờ trực giác A = { x, µA (x), γA (x) :
x ∈ X} trong X có thể đồng nhất với một cặp sắp thứ tự (µA , γA ) trong
I X × I X hay một phần tử trong (I × I)X .
Để đơn giản, chúng tôi dùng kí hiệu A = x, µA , γA thay cho IFS
A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X}.
1.1.3 Ví dụ ([2]). Mỗi tập mờ µA trong tập X khác rỗng rõ ràng là
một IFS có dạng A = { x, µA (x), 1 − µA (x) : x ∈ X}.
Sau đây là một số định nghĩa các quan hệ và các phép toán giữa các
IFS:
1.1.4 Định nghĩa ([2]). Cho X là tập khác rỗng và A, B là các IFS có
dạng A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X}, B = { x, µB (x), γB (x) : x ∈
X}. Khi đó:
a) A ⊆ B khi và chỉ khi µA (x) ≤ µB (x) và γA (x) ≥ γB (x), ∀x ∈ X.
b) A = B khi và chỉ khi A ⊆ B và B ⊆ A.
c) Ac = { x, γA (x), µA (x) : x ∈ X}.
d) A ∩ B = { x, µA (x) ∧ µB (x), γA (x) ∨ γB (x) : x ∈ X}.
e) A ∪ B = { x, µA (x) ∨ µB (x), γA (x) ∧ γB (x) : x ∈ X}.

f) 0∼ = { x, 0, 1 : x ∈ X} ; 1∼ = { x, 1, 0 : x ∈ X}.
g) [ ]A = { x, µA (x), 1 − µA (x) : x ∈ X}.
h)

A = { x, 1 − γA (x), γA (x) : x ∈ X}.

Chú ý là các phép toán ∧ và ∨ được hiểu như sau:
µA (x)∧µB (x) = min{µA (x), µB (x)} , γA (x)∨γB (x) = max{γA (x), γB (x)},
Ac gọi là phần bù của A.


6

Chúng ta có thể mở rộng các phép toán giao và hợp trong Định nghĩa
1.1.4 một họ tuỳ ý các IFS như sau:
1.1.5 Định nghĩa ([2]). Cho {Ai : i ∈ J} là một họ tuỳ ý các IFS trong
X. Khi đó:
Ai = { x,

a)
i∈J

Ai = { x,

b)
i∈J

γAi (x) : x ∈ X};

µAi (x),

i∈J

i∈J

γAi (x) : x ∈ X},

µAi (x),
i∈J

i∈J

µAi (x) = inf{µAi (x) : i ∈ J}

trong đó
i∈J

µAi (x) = sup{µAi (x) : i ∈ J}.

và
i∈J

Dưới đây là một số tính chất cơ bản của các bao hàm thức và phần
bù:
1.1.6 Hệ quả ([2]). Cho A, B, C là các IFS trong X. Khi đó:
a) Nếu A ⊆ B và C ⊆ D thì A ∪ C ⊆ B ∪ D và A ∩ C ⊆ B ∩ D;
b) Nếu A ⊆ B và A ⊆ C thì A ⊆ B ∩ C;
c) Nếu A ⊆ C và B ⊆ C thì A ∪ B ⊆ C;
d) Nếu A ⊆ B và B ⊆ C thì A ⊆ C;
e) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c , (A ∩ B)c = Ac ∪ B c ;
f) Nếu A ⊆ B thì B c ⊆ Ac ;

g) (Ac )c = A;
h) 1c∼ = 0∼

,

0c∼ = 1∼ .

1.1.7 Định nghĩa ([4]). Giả sử X là một tập khác rỗng và c ∈ X là
một phần tử cố định trong X. Nếu α, β ∈ [0, 1] là hai số thực cố định
sao cho α + β ≤ 1, thì IFS
c(α, β) = x, cα , 1 − c1−β

(1.2)

được gọi là một điểm mờ trực giác (IFP) trong X, trong đó cα và c1−β
là các điểm mờ trong X, xác định bởi:


7

α nếu x = c
1 − β nếu x = c
; c1−β (x) =
0 nếu x = c
0
nếu x = c.
c được gọi là giá của c(α,β) , α, β lần lượt được gọi là giá trị và phi giá
cα (x) =

trị của c(α,β) .

1.1.8 Định nghĩa ([4]). Một điểm mờ cα được gọi là thuộc vào một tập
mờ µ và kí hiệu cα ∈ µ, nếu α ≤ µ(c).
1.1.9 Định nghĩa ([4]). Một IFP c(α,β) được gọi là thuộc vào một IFS
A = x, µA , γA của X và kí hiệu c(α,β) ∈ A, nếu α ≤ µA (c) và β ≥ γA (c).
1.1.10 Định lý ([4]). Giả sử A = x, µA , γA

là một IFS của X. Khi

đó c(α,β) ∈ A khi và chỉ khi cα ∈ µA và c1−β ∈ 1 − γA .
1.1.11 Định lý ([4]). Giả sử A = x, µA , γA và B = x, µB , γB là các
IFS của X. Khi đó A ⊆ B khi và chỉ khi c(α,β) ∈ A kéo theo c(α,β) ∈ B
với mọi IFP c(α,β) của X.
1.1.12 Định lý ([4]). Giả sử A = x, µA , γA

là một IFS của X. Khi

đó
A=

{c(α,β) c(α,β) ∈ A}.

(1.3)

1.1.13 Định nghĩa ([2]). Cho X và Y là hai tập khác rỗng và f : X → Y
là một ánh xạ. A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X} là một IFS trong X và
B = { y, µB (y), γB (y) : y ∈ Y } là một IFS trong Y .
a) Tạo ảnh f −1 (B) của B dưới ánh xạ f là một IFS trong X được xác
định bởi:
f −1 (B) = { x, µf −1 (B) (x), γf −1 (B) (x) : x ∈ X},

(1.4)

trong đó µf −1 (B) (x) = µB (f (x)) và γf −1 (B) (x) = γB (f (x)).
b) Ảnh f (A) của A qua ánh xạ f là một IFS trong Y được xác định
bởi
f (A) = { y, µf (A) (y), γf (A) (y) : y ∈ Y },

(1.5)

trong đó:
µf (A) (y) =

sup µA (x), nếu f −1 (y) = ∅

x∈f −1 (y)

0,

nếu ngược lại,

(1.6)


8

inf

γf (A) (y) =

x∈f −1 (y)

γA (x), nếu f −1 (y) = ∅

1,

(1.7)

nếu ngược lại.

1.1.14 Định lý ([2]). Giả sử A và Ai (i ∈ J) là các IFS trong X, B và
Bi (i ∈ J) là các IFS trong Y , f : X → Y là một ánh xạ. Khi đó:
a) Nếu A1 ⊆ A2 thì f (A1 ) ⊆ f (A2 ),
b) Nếu B1 ⊆ B2 thì f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 ),
c) A ⊆ f −1 (f (A)),

(nếu f đơn ánh thì A = f −1 (f (A))),

d) f (f −1 (B) ⊆ B,

(nếu f là ánh xạ lên thì f (f −1 (B)) = B),

e) f −1 ( Bi ) =

f −1 (Bi ),

f) f ( Ai ) =

f (Ai ),

g) f ( Ai ) ⊆

f (Ai ),

f −1 ( Bi ) =

f −1 (Bi ),

(nếu f là đơn ánh thì f ( Ai ) =

h) f −1 (1∼ ) = 1∼ , f −1 (0∼ ) = 0∼ ,
i) f (0∼ ) = 0∼ ,
j) Nếu f là ánh xạ lên thì f (1∼ ) = 1∼ ,
k) f −1 (B)c = f −1 (B c ),
l) Nếu f là ánh xạ lên thì f (A)c ⊆ f (Ac ),
m) Nếu f là đơn ánh thì f (Ac ) ⊆ f (A)c .

f (Ai )),


9

1.2. KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC
1.2.1 Định nghĩa ([2]). Một tôpô mờ trực giác (viết tắt là IFT) trên
tập X khác rỗng là một họ τ gồm các IFS trong X thoả mãn 3 tiên đề
sau
(T1):

0∼ , 1∼ ∈ τ ;

(T2):

G1 ∩ G2 ∈ τ, ∀ G1 , G2 ∈ τ ;

(T3):

Gi ∈ τ với họ tuỳ ý {Gi : i ∈ J} ⊆ τ .

Khi đó cặp (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô mờ trực giác (viết
tắt là IFTS) và mỗi IFS trong τ được gọi là một tập mở mờ trực giác
trong X (viết tắt là IFOS).
Sau đây chúng tôi trình bày một số ví dụ về không gian tôpô mờ
trực giác. Để cho thuận tiện, một IFS A = x, µA , γA trong tập cố
định X = {x1 , x2 , . . . , xn }, với µA (xi ) = ai , γA (xi ) = bi , i = 1, ..., n được
chúng tôi kí hiệu:
A = x,

xn
x1 x2
xn
x1 x2
, ,...,
,
, ,...,
a1 a2
an
b1 b2
bn

.

1.2.2 Ví dụ ([2]). Cho tập X = {a, b, c} và
A = x,

a
b
c
a
b
c
,
,
,
,
,
0, 5 0, 5 0, 4
0, 2 0, 4 0, 4

,

a
b
c
a
b
c
,
,
,
,
,

0, 4 0, 6 0, 2
0, 5 0, 3 0, 3
a
b
c
a
b
c
C = x,
,
,
,
,
,
0, 5 0, 6 0, 4
0, 2 0, 3 0, 3
a
b
c
a
b
c
D = x,
,
,
,
,
,
0, 4 0, 5 0, 2
0, 5 0, 4 0, 4

B = x,

,
,
.

Khi đó họ τ = {0∼ , 1∼ , A, B, C, D} là một IFT trên X.
1.2.3 Ví dụ ([2]). Cho tập X = {1, 2} và các IFS Gn (n ∈ N+ ) như
sau:
Gn =

x,

1
n
n+1

,

2
n+1
n+2

Khi đó họ τ = {0∼ , 1∼ } ∪ {Gn : n ∈

,

1

,

2

1
1
n+2 n+3
N+ } là một

.
IFT trên X.


10

1.2.4 Mệnh đề ([2]). Cho (X, τ ) là một IFTS. Khi đó chúng ta có thể
xây dựng nhiều IFT trên X theo cách sau:
a) τ0,1 = {[ ]G : G ∈ τ };
b) τ0,2 = {

G : G ∈ τ }.

1.2.5 Định nghĩa ([2]). Giả sử (X, τ1 ), (X, τ2 ) là hai IFTS trên X. Khi
đó ta nói τ1 bị chứa trong τ2 (kí hiệu τ1 ⊆ τ2 ) nếu với mỗi G ∈ τ1 thì
G ∈ τ2 . Trong trường hợp này chúng ta cũng nói τ1 yếu hơn τ2 .
1.2.6 Mệnh đề ([2]). Cho {τi : i ∈ J} là một họ các IFT trên X. Khi
đó

τi là một IFT trên X. Hơn nữa,

τi là IFT yếu nhất chứa trong

các τi .
1.2.7 Định nghĩa ([2]). Phần bù Ac của một IFOS A trong một IFTS
(X, τ ) được gọi là tập đóng mờ trực giác trong X (viết tắt là IFCS).
1.2.8 Định nghĩa ([2]). Giả sử (X, τ ) là một IFTS và A = x, µA , γA
là một IFS trong X. Khi đó bao đóng mờ và phần trong mờ của A được
xác định bởi:
cl(A) =

{K : K là IFCS trong Xvà A ⊆ K},

int(A) =

{G : G là IFOS trong Xvà G ⊆ A}.

1.2.9 Nhận xét ([2]). Có thể chỉ ra rằng cl(A) là một IFCS và int(A)
là một IFOS trong X, và
a) A là một IFCS trong X khi và chỉ khi cl(A) = A;
b) A là một IFOS trong X khi và chỉ khi int(A) = A.
1.2.10 Ví dụ ([2]). Xét IFTS (X, τ ) trong Ví dụ 1.2.2. Nếu
F = x,
thì int(F ) = x,

a
b
c
a
b
c
,

,
,
,
,
0, 55 0, 55 0, 45
0, 3 0, 4 0, 3

b
c
a
b
c
a
,
,
,
,
,
0, 4 0, 5 0, 2
0, 5 0, 4 0, 4

,

và cl(F ) = 1∼ .


11

1.2.11 Mệnh đề ([2]). Với mỗi IFS A trong IFTS (X, τ ) ta có:
i) cl(Ac ) = (int(A))c ;

ii) int(Ac ) = (cl(A))c .
1.2.12 Định lý ([2]). Cho (X, τ ) là một IFTS và A, B là các IFS trong
X. Khi đó ta có các tính chất sau:
a) int(A) ⊆ A;
b) A ⊆ cl(A);
c) A ⊆ B ⇒ int(A) ⊆ int(B);
d) A ⊆ B ⇒ cl(A) ⊆ cl(B);
e) int(int(A)) = int(A);
f) cl(cl(A)) = cl(A);
g) int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B);
h) cl(A ∪ B) = cl(A) ∪ cl(B);
i) int(1∼ ) = 1∼ ;
j) cl(0∼ ) = 0∼ .
1.2.13 Định nghĩa ([2]). Giả sử f : (X, τ ) → (Y, ∆) là một ánh xạ từ
IFTS (X, τ ) vào IFTS (Y, ∆). Khi đó:
1) f được gọi là liên tục (hay IF -liên tục) nếu f −1 (B) là một IFOS
của X với mọi IFOS B của Y hay nói tương đương, f −1 (B) là một
IFCS của X với mọi IFCS B của Y .
2) f được gọi là mở (hay IF -mở) nếu f (A) là một IFOS của Y với
mỗi IFOS A của X.
3) f được gọi là đóng (hay IF -đóng) nếu f (A) là một IFCS của Y với
mỗi IFCS A của X.
4) f được gọi là đồng phôi nếu f là song ánh, liên tục và mở.


12

1.2.14 Định lý ([2]). Giả sử f : (X, τ ) → (Y, ∆) là một ánh xạ từ IFTS
(X, τ ) vào IFTS (Y, ∆). Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
1) f là ánh xạ liên tục.

2) f (cl(A)) ⊆ cl(f (A)) với mỗi IFS A của X.
3) cl(f −1 (B)) ⊆ f −1 (cl(B)) với mỗi IFS B của Y .
4) f −1 (int(B)) ⊆ int(f −1 (B)) với mỗi IFS B của Y .


CHƯƠNG 2

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC IFS G-ĐÓNG
TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC

2.1. CÁC KHÔNG GIAN TÁCH
Trong bài báo [3] M. E. El-Shafei có nêu lên khái niệm hai tập mờ
tựa trùng. Đây một khái niệm để nói lên sự "giao nhau của hai tập mờ".
Xét hai tập mờ µ và λ trên tập cố định X. Tập mờ µ được gọi là tựa
trùng (quasi-coincident) với λ, kí hiệu µ q λ, nếu tồn tại x ∈ X sao cho
µ(x) + λ(x) > 1, trong trường hợp ngược lại, ta viết µ q λ.
Khái niệm này phù hợp với khái niệm về sự giao nhau của hai tập hợp
cố định. Với A và B là hai tập con của tập hợp cố định X thì A ∩ B = ∅
khi và chỉ khi χA q χB , ngược lại A ∩ B = ∅ khi và chỉ khi χA q χB . Với
mọi tập mờ µ ta luôn có µ q(1 − µ).
Sau đây chúng tôi định nghĩa khái niệm hai tập mờ trực giác tựa
trùng.
2.1.1 Định nghĩa. Giả sử A = x, µA , γA và B = x, µB , γB là các IFS
trên X. Khi đó A được gọi là tựa trùng với B và kí hiệu A q B, nếu tồn
tại x ∈ X sao cho: µA (x)+(1−γB (x)) > 1 hoặc µB (x)+(1−γA (x)) > 1.
Trong trường hợp ngược lại ta viết A q B.
2.1.2 Nhận xét. Giả sử A = x, µA , γA , B = x, µB , γB là hai IFS
trên X và µ, ν là hai tập mờ trên X. Khi đó:
1) A q B khi và chỉ khi tồn tại x ∈ X sao cho µA (x) > γB (x) hoặc
µB (x) > γA (x).

2) A q B khi và chỉ khi với mọi x ∈ X, µA (x) ≤ γB (x) và µB (x) ≤
γA (x).
13


14

3) A q B khi và chỉ khi B q A.
4) A q Ac .
5) µ q ν khi và chỉ khi x, µ, 1 − µ q x, ν, 1 − ν .
Sau đây chúng tôi chứng minh một số bổ đề thường xuyên sử dụng
sau này.
2.1.3 Bổ đề. Giả sử A, B, C là các IFS trên X. Khi đó:
i) Nếu A q B và C ⊆ B thì A q C;
ii) A q B khi và chỉ khi A ⊆ B c ;
iii) c(α,β) ∈ A khi và chỉ khi c(α,β) q Ac .
Chứng minh. i) Vì A q B nên với mọi x ∈ X thì µA (x) ≤ γB (x) và
µB (x) ≤ γA (x). Vì C ⊆ B nên µC (x) ≤ µB (x) và γC (x) ≥ γB (x). Suy
ra µA (x) ≤ γC (x) và µC (x) ≤ γA (x). Do đó A q C.
ii) Ta có A q B khi và chỉ khi với mọi x ∈ X thì µA (x) ≤ γB (x) và
µB (x) ≤ γA (x). Điều này tương đương với A ⊆ B c = x, γB (x), µB (x) .
iii) Rõ ràng iii) là một trường hợp của ii)
2.1.4 Bổ đề. Giả sử (X, τ ) là một IFTS, c(α,β) là một IFP của X và
A = x, µA , γA là một IFS trên X. Khi đó:
i) c(α,β) q cl(A) khi và chỉ khi U q A với mỗi IFOS U chứa c(α,β) ;
ii) Nếu A q U , thì cl(A) q U với mỗi U ∈ τ .
Chứng minh. i) Điều kiện cần. Giả sử c(α,β) q cl(A) và IFOS U chứa
c(α,β) . Ta cần chứng minh U q A. Giả sử ngược lại U q A. Theo bổ đề 2.1.3
suy ra A ⊆ U c = x, γU , µU là IFCS. Điều này kéo theo cl(A) ⊆ U c hay
cl(A) q U . Mà c(α,β) ∈ U suy ra c(α,β) q cl(A). Điều này mâu thuẫn với

c(α,β) q cl(A). Vậy U q A.
Điều kiện đủ. Giả sử với mọi IFOS U chứa c(α,β) thì U q A. Ta cần
chứng minh c(α,β) q cl(A). Giả sử ngược lại c(α,β) q cl(A). Khi đó c(α,β) ⊆
cl(A)c . Đặt U = (cl(A))c = x, γcl(A) , µcl(A) , ta có c(α,β) ∈ U và U là


15

IFOS. Theo giả thiết điều kiện đủ thì U q A. Suy ra tồn tại x ∈ X sao
cho γcl(A) (x) > γA (x) hoặc µcl(A) (x) < µA (x). Điều này mâu thuẫn với
A ⊆ cl(A). Vậy c(α,β) q cl(A).
ii) Giả sử U ∈ τ và A q U . Ta cần chứng minh cl(A) q U . Thật vậy, vì
A q U nên A ⊆ U c là IFCS. Suy ra cl(A) ⊆ U c . Do đó cl(A) q U .
2.1.5 Định nghĩa. IFS A = x, µA , γA được gọi là mở chính qui nếu
A = int(cl(A)).
IFS A = x, µA , γA được gọi là đóng chính qui nếu A = cl(int(A)).
Tập tất cả các IFS mở chính qui của IFTS X kí hiệu là RO(X).
Tập tất cả các IFS đóng chính qui của IFTS X kí hiệu là RC(X).
2.1.6 Bổ đề. Giả sử (X, τ ) là một IFTS, U là một IFS của X. Khi đó:
1) G = int(cl(U )) là IFS mở chính qui;
2) H = cl(int(U )) là IFS đóng chính qui.
Chứng minh. i) Nhờ Định lí 1.2.12 ta có G = int(cl(U )) ⊆ cl(U ) là
IFCS. Suy ra cl(G) ⊆ cl(U ). Điều này kéo theo int(cl(G)) ⊆ int(cl(U ))
hay int(cl(G)) ⊆ G.

(1)

Mặt khác, G ⊆ cl(G). Suy ra int(G) ⊆ int(cl(G)). Điều này kéo theo
G ⊆ int(cl(G)).

(2)

Từ (1) và (2) suy ra G = int(cl(G)). Vậy G là IFS mở chính qui.
ii) Ta có int(U ) ⊆ cl(int(U )) = H. Suy ra int(U ) ⊆ int(H). Điều này
kéo theo cl(int(U )) ⊆ cl(int(H)) hay H ⊆ cl(int(H)).

(3)

Mặt khác, int(H) ⊆ H. Suy ra cl(int(H)) ⊆ cl(H). Điều này kéo theo
cl(int(H)) ⊆ H.

(4)

Từ (3) và (4) suy ra H = cl(int(H)). Vậy H là IFS đóng chính qui.
2.1.7 Định nghĩa. Giả sử A = x, µA , γA là một IFS trong IFTS (X, τ ).
Khi đó:
1) A được gọi là đóng mở rộng (hay g-đóng) nếu cl(A) ⊆ U với U là
IFOS và A ⊆ U ;
2) A được gọi là mở mở rộng (hay g-mở) nếu Ac là g-đóng.


16

2.1.8 Nhận xét. Trong không gian X với tôpô thông thường thì hoặc
tập {x} là tập đóng hoặc X \ {x} là tập g-đóng, với mọi x ∈ X. Tuy
nhiên điều này không đúng trong không gian tôpô mờ trực giác. Ví dụ
sau sẽ chỉ ra rằng tồn tại những điểm mờ trực giác không là IFCS và
phần bù của nó cũng không là IFS g-đóng trong một không gian tôpô
mờ trực giác.
Ví dụ. Giả sử X = {a; b} và τ = {0∼ ; 1∼ ; A; B; C}, trong đó

A=

x,

a b
a b
,
, ,
1 0, 5
0 0, 5

,

B=

x,

a b
a b
, ,
,
0, 5 1
0, 5 0

,

C=

x,

b
a
b
a
,
,
,
0, 5 0, 5
0, 5 0, 5

.

Khi đó (X, τ ) là một IFTS và tập tất cả các IFCS của (X, τ ) là
{0∼ ; 1∼ ; Ac ; B c ; C c = C}.
a b
a b
,
, ,
. Khi đó b(0,6;0,4) không
0 0, 6
1 0, 4
a b
a b
là IFCS. Đặt F = (b(0,6;0,4) )c = x, ,
, ,
thì F ⊆ A,
1 0, 4
0 0, 6
tuy nhiên cl(F ) = 1∼ A. Do đó F không là IFS g-đóng.
Xét IFP b(0,6;0,4) =

x,

2.1.9 Định nghĩa. IFTS (X, τ ) được gọi là IF T 1 -không gian nếu với
2

mỗi IFS g-đóng trong X là một IFCS.
2.1.10 Định nghĩa. Giả sử (X, τ ) là một IFTS. Khi đó:
1) X được gọi là IF T1 -không gian nếu với mỗi IFP x(α,β) của Xthì
x(α,β) là IFCS;
2) X được gọi là IF T2 -không gian nếu với các IFP x(α,β) , y(r,s) mà
x(α,β) q y(r,s) thì tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U, y(r,s) ∈
V và U q V ;
3) X được gọi là IF T2 1 -không gian nếu với IFP x(α,β) , y(r,s) mà
2

x(α,β) q y(r,s) thì tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U, y(r,s) ∈
V và cl(U ) q cl(V );


17

4) X được gọi là IF R2 -không gian (hay IF -chính qui) nếu với IFP
x(α,β) và IFCS F mà x(α,β) q F thì tồn tại các IFOS U và V sao cho
x(α,β) ∈ U , F ⊆ V và U q V ;
5) X được gọi là IF R3 -không gian (hay IF -chuẩn tắc) nếu với các
IFCS F1 và F2 mà F1 q F2 thì tồn tại các IFOS U và V sao cho
F1 ⊆ U , F2 ⊆ V và U q V ;
6) X được gọi là IF T3 -không gian nếu X là IF R2 -không gian và IF T1 không gian;
7) X được gọi là IF T4 -không gian nếu X là IF R3 -không gian và IF T1 không gian.

2.1.11 Định lý. Nếu (X, τ ) là IF T1 -không gian thì (X, τ ) là IF T 1 2

không gian.
Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là IF T1 -không gian và A là một IFS gđóng bất kì của X.
Xét một IFP bất kì x(α,β) ∈ Ac suy ra A ⊆ (x(α,β) )c . Vì X là IF T1
nên x(α,β) là IFCS, suy ra (x(α,β) )c là IFOS. Mà A là IFS g-đóng nên
cl(A) ⊆ (x(α,β) )c . Suy ra x(α,β) ∈ cl(A)c . Từ đó ta có Ac ⊆ cl(A)c . Điều
này kéo theo A = cl(A) hay A là IFCS.
Như vậy với A là IFS g-đóng bất kì của X thì A là IFCS. Do đó (X, τ )
là IF T 1 -không gian.
2

2.1.12 Định lý. IFTS (X, τ ) là IF T1 -không gian khi và chỉ khi với hai
IFP bất kì x(α,β) và y(r,s) của X mà x(α,β) q y(r,s) thì tồn tại các IFOS U
và V sao cho x(α,β) ∈ U , y(r,s) ∈ V và x(α,β) q V , y(r,s) q U .
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X là IF T1 -không gian, x(α,β) và
y(r,s) là hai IFP bất kì của X thoả mãn x(α,β) q y(r,s) .
Vì X là IF T1 nên x(α,β) = cl(x(α,β) ), y(r,s) = cl(y(r,s) ). Đặt U =
cl(y(r,s) )c , V = cl(x(α,β) )c thì U và V là các IFOS. Từ x(α,β) q y(r,s) suy ra
x(α,β) q cl(y(r,s) ). Suy ra x(α,β) ∈ cl(y(r,s) )c = U . Tương tự cl(x(α,β) ) q y(r,s)
suy ra y(r,s) ∈ cl(x(α,β) )c = V . Rõ ràng cl(x(α,β) ) q cl(x(α,β) )c hay x(α,β) q V .
Tương tự cl(y(r,s) ) q cl(y(r,s) )c hay y(r,s) q U .


18

Điều kiện đủ. Giả sử với hai IFP bất kì x(α,β) và y(r,s) của X mà
x(α,β) q y(r,s) thì tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U , y(r,s) ∈ V
và x(α,β) q V , y(r,s) q U . Ta cần chứng minh X là IF T1 -không gian.
Thật vậy, xét x(α,β) là một IFP bất kì của X. Ta sẽ chứng minh x(α,β)

là IFCS hay (x(α,β) )c là IFOS.
Lấy IFP bất kì y(r,s) ∈ (x(α,β) )c . Suy ra y(r,s) q x(α,β) . Theo giả thiết
điều kiện đủ tồn tại các IFOS Uyrs và Vxαβ sao cho y(r,s) ∈ Uyrs , x(α,β) ∈
Vxαβ và y(r,s) q Vxαβ , x(α,β) q Uyrs . Từ x(α,β) q Uyrs suy ra Uyrs ⊆ (x(α,β) )c .
Ta có
(x(α,β) )c
⊆
Do đó (x(α,β) )c =

=

{y(r,s) y(r,s) ∈ (x(α,β) )c }

{Uyrs y(r,s) ∈ (x(α,β) )c }

⊆

(x(α,β) )c .

{Uyrs y(r,s) ∈ (x(α,β) )c } là IFOS. Vậy X là IF T1 -

không gian.
Từ định nghĩa IF T2 -không gian và định lí 2.1.12 ta suy ra ngay hệ
quả sau:
2.1.13 Hệ quả. Nếu X là IF T2 -không gian thì X là IF T1 -không gian.
2.1.14 Định lý. Một IFTS (X, τ ) là IF R2 -không gian khi và chỉ khi với
mỗi IFP x(α,β) trong X và với mỗi IFOS U chứa x(α,β) thì tồn tại một
IFOS V chứa x(α,β) sao cho cl(V ) ⊆ U .
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử (X, τ ) là IF R2 -không gian,
x(α,β) là một IFP của X và U là một IFOS của X thoả mãn x(α,β) ∈ U .

Ta cần chứng minh tồn tại một IFOS V sao cho x(α,β) ∈ V và cl(V ) ⊆ U .
Thật vậy, vì x(α,β) ∈ U suy ra x(α,β) q U c . Vì X là IF R2 và U c là
IFCS nên tồn tại các IFOS V và W sao cho x(α,β) ∈ V , U c ⊆ W và
V q W . Từ V q W theo bổ đề 2.1.4 suy ra cl(V ) q W . Suy ra cl(V ) ⊆ W c .
Mà từ U c ⊆ W suy ra W c ⊆ U . Do đó cl(V ) ⊆ U .
Điều kiên đủ. Giả sử với mỗi IFP x(α,β) trong X và với mỗi IFOS U
chứa x(α,β) thì tồn tại một IFOS V chứa x(α,β) sao cho cl(V ) ⊆ U , ta
cần chứng minh X là IF R2 . Giả sử IFP x(α,β) và IFCS F của X sao cho
x(α,β) q F .


19

Đặt U = F c thì U là IFOS. Từ x(α,β) q F suy ra x(α,β) ∈ F c = U . Theo
giả thiết điều kiện đủ tồn tại IFOS V sao cho x(α,β) ∈ V và cl(V ) ⊆ U .
Đặt W = cl(V )c thì W là IFOS. Từ cl(V ) ⊆ U suy ra U c ⊆ cl(V )c
hay F ⊆ W . Từ W = cl(V )c suy ra W q cl(V ) kéo theo W q V .
Như vậy với mỗi IFP x(α,β) và mỗi IFCS F của X sao cho x(α,β) q F
thì tồn tại các IFOS V và W của X thoả mãn x(α,β) ∈ V , F ⊆ W và
W q V . Do đó X là IF R2 .
2.1.15 Định lý. Một IFTS (X, τ ) là IF R3 -không gian khi và chỉ khi với
mỗi IFCS F và IFOS U thoả mãn F ⊆ U thì tồn tại một IFOS V sao
cho F ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ U .
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử (X, τ ) là một IF R3 -không gian,
F là một IFCS và U là một IFOS của X sao cho F ⊆ U . Khi đó F q U c
là IFCS. Vì X là IF GR3 nên tồn tại các IFOS V và W sao cho F ⊆ V ,
U c ⊆ W và V q W . Từ U c ⊆ W suy ra W c ⊆ U . Từ V q W suy ra
cl(V ) q W kéo theo cl(V ) ⊆ W c . Từ đó suy ra F ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ U .
Điều kiện đủ. Giả sử với mỗi IFCS F và IFOS U thoả mãn F ⊆ U
thì tồn tại một IFOS V sao cho F ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ U , ta cần chứng minh

X là IF GR3 -không gian.
Giả sử F1 và F2 là hai IFCS thoả mãn F1 q F2 . Suy ra F1 ⊆ F2c
với F2c là IFOS. Theo giả thiết điều kiện đủ tồn tại IFOS V sao cho
F1 ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ F2c . Đặt U = cl(V )c thì U là IFOS. Từ cl(V ) ⊆ F2c
suy ra F2 ⊆ cl(V )c = U . Từ V ⊆ cl(V ) suy ra V q cl(V )c hay V q U . Như
vậy tồn tại các IFOS U và V thoả mãn F1 ⊆ V , F2 ⊆ U và V q U . Vậy
X là IF R3 -không gian.


20

2.2. KHÔNG GIAN IFG-CHÍNH QUI
2.2.1 Định nghĩa. IFTS (X, τ ) được gọi là IF g-chính qui (hay IF GR2 )
nếu với mỗi IFS g-đóng F và IFP x(α,β) mà x(α,β) q F , thì tồn tại các
IFOS U và V sao cho F ⊆ U, x(α,β) ∈ V và U q V .
Rõ ràng, mỗi IF GR2 là IF R2 . Ví dụ sau chỉ ra rằng điều ngược lại
nói chung là không đúng.
2.2.2 Ví dụ. Xét tập X = {a; b} và τ = {0∼ ; 1∼ ; A; B}, trong đó
A=

x,

a
b
b
a
,
,
,
0, 2 0, 5

0, 8 0, 5

,

B=

x,

b
b
a
a
,
,
,
0, 8 0, 5
0, 2 0, 5

Dễ dàng nhận thấy A ∩ B = A, A ∪ B = B và A = B c . Do đó (X, τ ) là
một IFTS và tập tất cả các IFCS của (X, τ ) là τ = {0∼ ; 1∼ ; A; B}. Ta
sẽ chứng minh (X, τ ) là IF R2 . Thật vậy, giả sử x(α,β) là một IFP của
X và F là một IFCS của X thoả mãn x(α,β) q F . Đặt U = F c và V = F
thì U , V là các IFOS thoả mãn x(α,β) ∈ U , F ⊆ V , U q V . Vậy (X, τ ) là
IF R2 -không gian.
Tuy nhiên (X, τ ) không là IF GR2 -không gian. Thật vậy, xét IFP
a
b
a
b
a(0,6;0,4) và IFS F = x,

,
,
,
= x, µF , γF . Khi đó
0, 4 0, 6
0, 6 0, 4
vì 1∼ là IFOS duy nhất thoả mãn F ⊆ 1∼ nên cl(F ) ⊆ 1∼ . Suy ra F
là IFS g-đóng. Vì 0, 6 ≤ γF (a) và 0, 4 ≥ µF (a) nên a(0,6;0,4) ∈ F c hay
a(0,6;0,4) q F . Xét tất cả các IFOS U , V ∈ τ = {0∼ ; 1∼ ; A; B} thoả mãn
a(0,6;0,4) ∈ U ,F ⊆ V thì V = 1∼ . Do đó trong tất cả các trường hợp ta
luôn có U q V . Vì vậy (X, τ ) không là IF GR2 -không gian.
2.2.3 Định lý. Một FTS (X, τ ) là IF GR2 khi và chỉ khi nó là IF R2 và
IF T 1 .
2

Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử (X, τ ) là IF GR2 . Ta cần chứng
minh (X, τ ) là IF R2 và IF T 1 .
2

Thật vậy: giả sử IFP x(α,β) và IFCS F của X thoả mãn x(α,β) q F . Vì
F là IFCS nên F là g-đóng. Do X là IF GR2 nên tồn tại các IFOS U và
V sao cho x(α,β) ∈ U, F ⊆ V và U q V . Suy ra (X, τ ) là IF R2 .


21

Để chứng minh (X, τ ) là IF T 1 , ta chứng minh mỗi IFS g-đóng của
2

X là một IFCS. Giả sử A = x, µA , γA là một IFS g-đóng của X. Ta

cần chứng minh A là IFCS tương đương với chứng minh Ac ⊆ cl(A)c .
Xét IFP bất kì x(α,β) ∈ Ac . Khi đó x(α,β) q A. Do X là IF GR2 nên
tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U , A ⊆ V và U q V . Theo bổ
đề 2.1.4 suy ra U q cl(V ) kéo theo x(α,β) q cl(V ). Suy ra x(α,β) ∈ cl(V )c ⊆
cl(A)c . Do đó Ac ⊆ cl(A)c
Điều kiện đủ. Giả sử (X, τ ) là IF R2 và IF T 1 . Ta cần chứng minh
2

(X, τ ) là IF GR2 . Thật vậy, giả sử x(α,β) là một IFP của X và F là một
IFS g-đóng của X thoả mãn x(α,β) q F . Vì X là IF T 1 suy ra F là IFCS.
2

Lại vì X là IF R2 nên tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U, F ⊆ V
và U q V . Do đó (X, τ ) là IF GR2 .
2.2.4 Định lý. Giả sử (X, τ ) là một IFTS. Khi đó các khẳng định sau
là tương đương.
i) (X, τ ) là IF GR2 -không gian;
ii) Với mỗi IFP x(α,β) trong X và với mỗi IFS g-mở U chứa x(α,β) thì
tồn tại một IFOS V chứa x(α,β) sao cho cl(V ) ⊆ U .
Chứng minh. i)⇒ ii). Giả sử (X, τ ) là IF GR2 -không gian, x(α,β) là
một IFP của X và U là một IFS g-mở của X thoả mãn x(α,β) ∈ U . Ta
cần chứng minh tồn tại một IFOS V sao cho x(α,β) ∈ V và cl(V ) ⊆ U .
Thật vậy, vì x(α,β) ∈ U suy ra x(α,β) q U c . Vì X là IF GR2 và U c là
IFS g-đóng nên tồn tại các IFOS V và W sao cho x(α,β) ∈ V , U c ⊆ W và
V q W . Từ V q W theo bổ đề 2.1.4 suy ra cl(V ) q W . Suy ra cl(V ) ⊆ W c .
Từ U c ⊆ W suy ra W c ⊆ U . Do đó cl(V ) ⊆ U .
ii)⇒ i). Giả sử có ii), ta cần chứng minh X là IF GR2 . Xét IFP x(α,β)
và IFS g-đóng F của X sao cho x(α,β) q F .
Đặt U = F c thì U là IFS g-mở. Từ x(α,β) q F kéo theo x(α,β) ∈ F c =
U . Theo giả thiết ii) tồn tại IFOS V sao cho x(α,β) ∈ V và cl(V ) ⊆ U .

Đặt W = cl(V )c thì W là IFOS. Từ cl(V ) ⊆ U suy ra U c ⊆ cl(V )c
hay F ⊆ W . Từ W = cl(V )c suy ra W q cl(V ) kéo theo W q V .


22

Như vậy với mỗi IFP x(α,β) và mỗi IFS g-đóng F của X sao cho
x(α,β) q F tồn tại các IFOS V và W của X thoả mãn x(α,β) ∈ V , F ⊆ W
và W q V . Do đó X là IF GR2 .
2.2.5 Định lý. Một IFTS (X, τ ) là IF GR2 khi và chỉ khi với mỗi IFS
g-đóng F trong X và với mỗi IFP x(α,β) với x(α,β) q F , thì tồn tại các
IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U , F ⊆ V và cl(U ) q cl(V ).
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử F là một IFS g-đóng trong X và
x(α,β) q F . Vì X là IF GR2 nên tồn tại các IFOS W và V trong X sao
cho x(α,β) ∈ W, F ⊆ V và W q V . Theo bổ đề 2.1.4 ta có W q cl(V ) kéo
theo x(α,β) q cl(V ).
Mặt khác, từ X là IF GR2 và x(α,β) q cl(V ) suy ra tồn tại các IFOS
G và H trong X sao cho x(α,β) ∈ G, cl(V ) ⊆ H và G q H.
Từ đó đặt U = W ∩ G thì U và V là các IFOS trong X thỏa mãn
x(α,β) ∈ U, F ⊆ V và cl(U ) q cl(V ).
Điều kiện đủ. Hiển nhiên.
2.2.6 Định nghĩa. Một IFTS (X, τ ) được gọi là IF -đối xứng (IF symmetric) khi và chỉ khi từ x(α,β) q cl(y(r,s) ) kéo theo y(r,s) q cl(x(α,β) )
với mọi IFP x(α,β) , y(r,s) trong X.
2.2.7 Định lý. Một IFTS (X, τ ) là IF -đối xứng khi và chỉ khi từ
x(α,β) q F kéo theo cl(x(α,β) ) q F với mọi IFCS F trong X.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử (X, τ ) là IF -đối xứng, x(α,β) là
một IFP và F là một IFCS của X thoả mãn x(α,β) q F . Ta cần chứng
minh cl(x(α,β) ) q F .
Thật vậy, xét một IFP bất kì y(r,s) ∈ F . Vì F là IFCS nên cl(y(r,s) ) ⊆
F . Điều này kéo theo x(α,β) q cl(y(r,s) ). Vì X là IF -đối xứng nên y(r,s)

q cl(x(α,β) ). Suy ra y(r,s) ∈ cl(x(α,β) )c là IFOS. Vì y(r,s) lấy bất kì nên
F ⊆ cl(x(α,β) )c . Do đó cl(x(α,β) ) q F .
Điều kiện đủ. Giả sử với mọi IFP x(α,β) và IFCS F của X mà
x(α,β) q F ta có cl(x(α,β) ) q F . Xét hai IFP x(α,β) và y(r,s) của X thoả mãn
x(α,β) q cl(y(r,s) ). Đặt F = cl(y(r,s) ). Khi đó F là IFCS. Theo giả thiết


23

điều kiện đủ suy ra cl(x(α,β) ) q F . Mà y(r,s) ∈ F nên cl(x(α,β) ) q y(r,s) . Do
đó X là IF -đối xứng.
2.2.8 Hệ quả. Một IFTS (X, τ ) là IF -đối xứng khi và chỉ khi x(α,β) là
g-đóng với mỗi IFP x(α,β) trong X.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X là IF -đối xứng, x(α,β) là một
IFP của X. Ta cần chứng minh x(α,β) là một IFS g-đóng.
Xét V là một IFOS bất kì của X sao cho x(α,β) ∈ V , suy ra x(α,β) q V c
và V c là IFCS. Theo định lí 2.2.7 ta có cl(x(α,β) ) q V c . Kéo theo cl(x(α,β) ) ⊆
V . Do đó x(α,β) là một IFS g-đóng.
Điều kiện đủ. Giả sử với mọi IFP x(α,β) của X thì x(α,β) là IFS g-đóng.
Ta cần chứng minh X là IF -đối xứng.
Thật vậy, xét x(α,β) và y(r,s) là hai IFP bất kì của X thoả mãn x(α,β) q
cl(y(r,s) ). Suy ra x(α,β) ∈ cl(y(r,s) )c và cl(y(r,s) )c là IFOS. Vì x(α,β) là IFS
g-đóng nên cl(x(α,β) ) ⊆ cl(y(r,s) )c . Suy ra cl(x(α,β) ) q cl(y(r,s) ). Từ đó ta
có cl(x(α,β) ) q y(r,s) . Do đó X là IF -đối xứng.
2.2.9 Nhận xét. Hiển nhiên là mỗi IF T1 -không gian là không gian
IF -đối xứng. Ví dụ sau chỉ ra rằng điều ngược lại nói chung là không
đúng.
Ví dụ. Xét X = {a} và τ = {0∼ ; 1∼ ; a(0,5;0,5) }. Khi đó (X, τ ) là một
IFTS và tập tất cả các IFCS của nó là τ . Ta chứng minh (X, τ ) là IF -đối
xứng. Thật vậy, giả sử a(α;β) là một IFP bất kì của X và U là một IFOS

trong X thoả mãn a(α;β) ∈ U . Vì U cũng là IFCS và a(α;β) ∈ U nên
cl(a(α;β) ) ⊆ U . Do đó a(α;β) là một IFS g-đóng. Nhờ Hệ quả 2.2.8 suy ra
(X, τ ) là IF -đối xứng.
Tuy nhiên (X, τ ) không là IF T1 . Thật vậy, xét IFP a(0,4;0,6) thì
a(0,4;0,6) không là IFCS. Do đó (X, τ ) không là IF T1 -không gian.
2.2.10 Định nghĩa. Một IF GR2 và IF -đối xứng được gọi là IF G3 không gian.
2.2.11 Định lý. Nếu một IFTS (X, τ ) là IF G3 -không gian, thì nó là
IF T2 1 -không gian.
2