Giải một số bài toán điện động lực bằng phương pháp ảnh điện và phương pháp ảnh từ

Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
1

I. mở đầu
Điện động lực là một môn học nghiên cứu các hiện tợng điện từ và giải
thích hiện tợng điện từ dạ vào hệ phơng trình Mắcxoen.
Trong Điện động lực học, cũng nh trong các môn học khác của khoa học
Vật lý, việc giải bài tập là hết sức quan trọng, nó giúp cho học sinh, sinh viên
nắm vững hơn về lý thuyết, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức một cách
tốt hơn, ...
Nhng muốn giải đợc bài tập, cần phải có phơng pháp giải. Với một dạng
bài tập, có một hoặc nhiều phơng pháp giải. Vì thế việc xây dựng và lựa chọn
phơng pháp giải hợp lý cho mỗi dạng bài tập là rất cần thiết.
Trong phần trờng tĩnh điện cũng nh trong phần từ trờng của dòng điện
không đổi của điện động lực học có ba loại bài toán cơ bản sau:


1. Cho biết trờng ( E , ) hoặc ( B, A ), xác định sự phân bố điện tích ( ,

) hoặc ( j , im ) tơng ứng gây ra chúng.


2. Cho biết sự phân bố ( , ) hoặc ( j , im ) xác định trờng ( E , ) hoặc (

B, A ) gây ra bởi sự phân bố đó.

3. Xác định lực tơng tác F giữa các điện tích hoặc giữa các dòng điện
trong trờng cũng nh năng lợng của trờng.
Để giải quyết các bài toán trên có thể vận dụng nhiều phơng pháp chẳng
hạn:

- Phơng pháp tính trực tiếp từ định nghĩa. Đây là một phơng pháp tổng
quát nhất, song gặp rất nhiều khó khăn trong tính toán.
- Phơng pháp tính tích phân phơng trình Poátxông - Laplatxơ. Đây là một
phơng pháp khá tổng quát, áp dụng đợc cho nhiều trờng hợp.
Đối với những trờng đợc đặc trng bởi nhiều biến số độc lập, khi đó việc
lấy tích phân đợc tiến hành theo phơng pháp tách biến của Phurie-Lame.
- Phơng pháp dùng định lý Gauxơ hoặc định lý về dòng toàn phần đợc sử
dụng để tính trờng ở một số bài toán có tính chất đối xứng.
- Phơng pháp dùng biến hình bảo giác trong trờng số phức: thay trờng
thực bằng một trờng phức thuận tiện hơn trong tính toán...
Vậy là tùy từng bài toán cụ thể mà ta có thể vận dụng phơng pháp này hay
phơng pháp khác để giải sao cho thuận tiện nhất.
Trong 3 loại bài toán trên thì loại bài toán thứ hai là thông dụng và th ờng
gặp nhất. Tuy nhiên cũng có trờng hợp yêu cầu tính trờng mà chúng ta không
thể biết đầy đủ những thông tin về sự phân bố. Chẳng hạn: bài toán xác định
trờng do một điện tích điểm hay một dòng điện gây ra trong trờng hợp điện
tích đặt cạnh một vật dẫn nối đất hay cô lập hoặc đặt cạnh một khối điện môi
và trờng hợp dòng điện đặt cạnh một khối từ môi nào đó.
Đối với loại bài toán đặc biệt này thì các phơng pháp trên không thể giải
quyết đợc. Để giải quyết đợc một cách nhanh chóng, trọn vẹn loại bài toán đã
nêu thì có thể dùng phơng pháp khác - đó là phơng pháp ảnh trong trờng điện


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
2

từ. Đây là phơng pháp giải các bài tập điện động lực ít đợc phổ biến trong khi
vai trò của nó lại không nhỏ.
Mặt khác, điện động lực học (đợc đa vào giảng dạy cho sinh viên năm thứ

3 Khoa Vật lý của các trờng Đại học S phạm) là một môn học có khối lợng
kiến thức lớn. Vì điều kiện về thời gian và chơng trình nên các sinh hoặc
không đợc giới thiệu, hoặc đợc giới thiệu không kỹ về phơng pháp ảnh.
Vì những lý do trên cùng với niềm say mê nghiên cứu môn Điện động lực
học, nên tôi đã chọn đề tài: Giải một số bài toán điện động lực bằng phơng
pháp ảnh điện và phơng pháp ảnh từ để trình bày trong cuốn luận văn này.
Hy vọng rằng, nó sẽ giúp các sinh viên vật lý giải quyết đợc các dạng bài tập
Điện động lực một cách nhanh chóng và trọn vẹn nhất.
Bằng những kiến thức về điện đại cơng, điện động lực, giải tích, ... bằng
cách thu thập các tài liệu tiếng Việt, tài liệu tiếng Nga có liên quan, bằng
cách học hỏi ở các anh chị khoá trớc và đặc biệt là học hỏi ở thầy giáo hớng
dẫn Nguyễn Huy Công, tôi đã hoàn thành cuốn luận văn này với những nội
dung chính sau:
Sau phần mở đầu, luận văn trình bày cơ sở lý thuyết của phơng pháp ảnh
trong điện từ trờng và đặc biệt là định lý về tính duy nhất nghiệm của hệ phơng trình Mắcxoen (mục II). Mục III là mục tóm tắt nội dung phơng pháp
ảnh trong điện trờng. Sau đó, ở mục IV, chúng tôi tuyển chọn một số bài tập
giải theo phơng pháp ảnh điện với các dạng:
+ Xác định điện thế, cờng độ điện trờng
+ Xác định mật độ điện tích cảm ứng
+ Xác định năng lợng, lực tác dụng (lực điện).
Tiếp theo, ở mục V và mục VI, chúng tôi trình bày tóm tắt nội dung phơng pháp ảnh từ, đồng thời tuyển chọn một số bài tập giải theo phơng pháp
ảnh từ gồm các dạng:


+ Xác định thế vectơ A , cảm ứng từ B
+ Xác định lực tác dụng (lực từ).
Đây là giai đoạn đầu của ngời mới tập sự làm nghiên cứu khoa học, với
vốn kiến thức cha thật nhiều, với vốn kinh nghiệm còn ít, với quỹ thời gian
có hạn, ... chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong
đợc sự quan tâm và đóng góp ý kiến của các bạn học sinh, sinh viên, của các

thầy cô giáo. Cuối cùng, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn
Huy Công - Thầy đã giúp đỡ tôi rất nhiều cả về kiến thức, cả về phơng pháp
nghiên cứu và giới thiệu, cung cấp cho tôi nhiều tài liệu quý giá.
Vinh, tháng 5 năm 2002
Ngời thực hiện
Trịnh Ngọc Hoàng


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
3

II. Cơ sở lý thuyết của phơng pháp ảnh
trong trờng điện từ
Nếu nh ngời ta xây dựng cơ học Niutơn dựa trên cơ sở của 3 định luật
Niutơn, thì tơng tự nh vậy, điện động lực học đợc xây dựng trên cơ sở hệ phơng trình Mắcxoen. Hệ phơng trình Mắcxoen là hệ phơng trình cơ bản của
điện động lực. Có thể có nhiều phơng pháp khác nhau để giải hệ phơng trình
này, tuy nhiên các phơng pháp khác nhau ấy vẫn cho cùng một kết quả.
Cơ sở của kết luận này là dựa vào định lý về tính duy nhất nghiệm của
một bài toán điện động lực:
Hệ phơng trình Mắc xoen luôn luôn có một nghiệm duy nhất tại một thời
điểm bất kỳ, ở một vị trí bất kỳ trong không gian chứa trờng.
Để chứng minh tính đơn trị của các nghiệm của hệ các phơng trình
Mắcxoen, chúng ta xét 2 trờng hợp sau đây:
1. Trờng hợp không gian khảo sát là hữu hạn:
Xét một khoảng không gian hữu hạn đợc bao bọc bởi một mặt S khép kín
và chứng minh rằng hệ các phơng trình Mắcxoen cho ta một nghiệm duy
nhất với những điều kiện ban đầu và điều kiện biên cho trớc. Điều đó có
nghĩa là trờng điện từ là hoàn toàn xác định tại bất kỳ một thời điểm nào và
tại bất kỳ một điểm nào trong khoảng thời gian và không gian đã cho khi giá

trị của trờng tại thời điểm ban đầu và trên biên là xác định.
Để làm đợc điều này chúng ta dùng phơng pháp chứng minh phản chứng,
tức là ta giả thiết ngợc lại:
Giả thiết rằng hệ các phơng trình Mắcxoen có hai nghiệm khác nhau (


E1 , H1 ) và ( E 2 , H 2 ) cùng thoả mãn các điều kiện ban đầu và điều kiện biên.
Do các phơng trình là tuyến tính nên hiệu của các nghiệm:


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
4






E3 = E1 E2 và H 3 = H 1 H 2 cũng phải thoả mãn các phơng trình
Mắcxoen với các điều kiện bổ sung sau đây:
a) Trờng lạ bằng không.
Khi này ta có



j 1 = E1 ; j 2 = E2
Suy ra

j 3 = j 1 - j 2 = E3


b) ở thời điểm t = 0 tại mọi điểm của thể tích V các đại lợng E 1 và E 2,


H 1 và H 2 có các giá trị nh nhau. Nghĩa là tại thời điểm t = 0 tại mọi điểm


của V ta có E 3 = 0 và H 3 = 0.
c) Trong toàn bộ thời gian từ t = 0 đến t = t1 tại mọi điểm của mặt S các


thành phần tiếp tuyến của vectơ E 3 hoặc của vectơ H 3 đều bằng không (do
cùng một nguyên nhân).
Bây giờ chúng ta áp dụng định lý Pointing:
Từ định lý Pointing:



ED + BH
dv
=

j
E
dv

E

ì H dS
t V
2
V
S
với V là thể tích đợc bao bởi diện tích S.

áp dụng cho trờng E 3, H 3 :





E3 D3 + B3 H 3
dv
=

j
E
dv

E
ì
H
(1)
3 3 3 3 dS
t V
2
V

S
Kết hợp (1) với điều kiện c, ta suy ra rằng trong toàn bộ thời gian từ t = 0


E
ì
H
3
3 dS = 0

đến t = t1:
(2)

[

]

[

[

]

]

Do vậy tại một thời điểm bất kỳ trong khoảng thời gian đó:


E3 D3 + B3 H 3
j32

(3)
dv = - dv
t V
2

V
Vì tích phân ở vế phải của (3) là một đại lợng không âm, nên


E3 D3 + B3 H 3
dv 0
t V
2


E3 D3 + B3 H 3
dv
Nghĩa là năng lơng: W3 =
(4)
2
V
có thể giảm hoặc không đổi.
Giả sử W3 không đổi, nhng khi t = 0 theo điều kiện b), năng lợng W3 của

trờng E3 , H 3 là bằng không nên nó phải bằng không trong toàn khoảng thời


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
5

gian từ t = 0 đến t = t1 (năng lợng W3 cũng không thể giảm; vì nếu giảm thì
theo điều kiện b), năng lợng W3 sẽ mang giá trị âm, trái với (4)).
Năng lợng W3 = 0 trong toàn bộ khoảng thời gian từ t = 0 đến t = t1 chỉ có


thể xảy ra khi E3 và H 3 bằng không tại mọi điểm của thể tích V. Điều đó có


nghĩa là hai hệ nghiệm E1 , H1 và E 2 , H 2 của bài toán ban đầu đã giả thiết là
khác nhau phải đồng nhất với nhau.
2. Trờng hợp không gian khảo sát là vô hạn.
Để xét không gian vô hạn chúng ta nhận thấy rằng chứng minh ở trờng
hợp 1 có thể đợc lặp lại tơng tự chỉ cần thay điều kiện c) bằng điều kiện vô
hạn:
Điều kiện đó là:

1
[ E ì H ] giảm nhanh hơn 2 khi R
(5)
R
Khi (5) đợc thoả mãn thì ta có (2), tức là:


E
ì
H
3 3 dS = 0 và suy ra tại một thời điểm bất kỳ trong khoảng thời

[

]

gian từ t = 0 đến t = t1:


E
D
+
B

j32
3 3
3H3
(theo điều kiện (3))
dv = - dv
t V
2

V
Lập luận tơng tự nh trên ta suy ra đợc tính đơn trị của các nghiệm của hệ
phơng trình Mắcxoen.
Tuy nhiên điều kiện (3) chỉ có thể dùng cho trờng hợp trờng điện từ không
đổi. Nó không ứng dụng đợc cho trờng điện từ biến thiên.
Nh vậy là định lý về tính duy nhất nghiệm của hệ phơng trình Mắcxoen
đã đợc chứng minh.
Từ đây chúng ta có thể suy ra hệ quả quan trọng.
*Hệ quả. Khi giải một bài toán điện động lực chúng ta có thể dự đoán
nghiệm của nó dựa vào các dữ kiện đã cho ban đầu. Nếu chứng minh đợc
nghiệm đó thoả mãn các yêu cầu bài toán đặt ra (nghiệm đó thoả mãn các

phơng trình Mắcxoen và các điều kiện biên, điều kiện ban đầu) thì đồng thời
ta đã chứng minh đợc đó là nghiệm duy nhất cần tìm của bài toán.

III. Phơng pháp ảnh điện


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
6

Khi đặt một điện tích gần một vật dẫn nối đất hay cô lập thì trong vật dẫn
xảy ra hiện tợng cảm ứng tĩnh điện. Kết quả là trong vật dẫn xuất hiện các
điện tích cảm ứng đợc sắp xếp theo một trật tự nhất định. Lúc đó, việc tính trờng tạo bởi điện tích đã cho và vật dẫn không thể áp dụng đợc các phơng
pháp thông thờng vì ta cha biết đợc sự phân bố các điện tích cảm ứng trên vật
dẫn. Trong trờng hợp này ta có thể xác định trờng bằng phơng pháp ảnh (phơng pháp ảnh điện).
Phơng pháp ảnh điện là phơng pháp duy nhất để xác định điện trờng và
các đặc điểm của nó trong trờng hợp cha biết rõ sự phân bố các điện tích.
Theo phơng pháp này, thay vì xác định trờng do hệ điện tích và vật dẫn gây
ra, ta đi xác định trờng tạo bởi điện tích đó và ảnh của nó qua vật dẫn (điện
tích ảnh) .
Khi vận dụng phơng pháp giải này, ta tiến hành theo lôgic sau:
1. Chọn hệ tọa độ thích hợp (dựa vào hình dạng của vật dẫn và các dữ
kiện của bài toán).
2. Dựa vào các dữ kiện đã cho để xác định độ lớn và vị trí của các điện
tích ảnh (hoặc đoán nghiệm).
3. Tính trờng do điện tích đã cho và các điện tích ảnh gây ra theo nguyên
lý chồng chất điện trờng (hoặc chứng minh nghiệm dự đoán là nghiệm duy
nhất cần tìm).
Sau đây chúng ta sẽ vận dụng phơng pháp này để giải một số bài tập phần
tĩnh điện.

IV. Một số bài tập điện động lực
giải theo phơng pháp ảnh điện

Bài IV.1: Cho một điện tích điểm q và một mặt phẳng dẫn có thế = 0.
Tính trờng tạo bởi hệ đó? Biết khoảng cách giữa điện tích và mặt phẳng là
d.
Giải :
y
Xét trờng trong hệ toạ độ Đềcác, mặt
phẳng x = 0 trùng với mặt phẳng dẫn; trục Ox
đi qua điện tích q.
Gọi q là điện tích ảnh của q.
Giả sử q đối xứng với q qua mặt phẳng
x = 0. Khi đó thế vô hớng tại điểm P(x, y, z)
là:

P(x, y, z)
q d 0

d q

1
q
q'
+
P =
4 0 ( x d ) 2 + y 2 + z 2
( x + d )2 + y 2 + z 2

x

(*)

trong đó r1 = ( x d ) 2 + y 2 + z 2 , r2 = ( x + d ) 2 + y 2 + z 2 lần lợt là khoảng
cách từ điện tích đã cho và điện tích ảnh của nó đến điểm khảo sát.
Mặt khác, tại mặt phẳng x = 0 thì thế = 0, do đó:


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
7

p

x =0

=

1
q
q'
+
4 0 d 2 + y 2 + z 2
d 2 + y2 + z2

=0



q = - q
thay vào (*) ta đợc
q
1
1

p =
4 0 ( x d ) 2 + y 2 + z 2
( x + d )2 + y 2 + z 2
Từ đây ta thấy P thoả mãn
2 2 2
+ p = 2 + 2 + 2 = 0, p (d, 0, 0); (-d, 0, 0)
x
y
z






+ Tại x = 0 : p = 0
+ Khi r1, r2 : = 0
Nh vậy điều giả sử ở trên là đúng và nghiệm vừa tìm đợc chẳng những
đúng mà còn là duy nhất nữa (theo định lý về tính duy nhất nghiệm).

Và do vậy ta tính đợc cờng độ điện trờng:



+j
+k

E = - grad = i

x

y

z



E =



xd
x+d

+

i
3
3
2

2
2
2
2
2
( x d ) + y + z 2
( x + d ) + y + z 2


y
y
+
+ j

( x d )2 + y 2 + z 2 32 ( x + d )2 + y 2 + z 2 32



q
4 0

[

[


z
+ k
( x d )2 + y 2 + z 2

[

]

[

]

]

3

]

[

2

]




3
2
2
2 2
(x + d ) + y + z

[

z

]



.



Bài IV.2: Cho vật dẫn choán đầy nửa không gian, có thế = 0 và một
điện tích điểm q nằm trong chân không. Xác định trờng tạo bởi hệ đó? Biết
điện tích q cách mặt phẳng phân cách một khoảng bằng d.
Giải :
y
Ta khảo sát trờng trong hệ toạ độ
Đềcác:
P(x,y,z)
Mặt phẳng x = 0 trùng với mặt
phẳng giới hạn; trục Ox đi qua điện
tích q.
-q d O d q
x
+ Đối với nửa không gian bên trái
(x < 0) không có điện tích, thế của trờng phải thoả mãn phơng trình
Laplac.

Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
8

Mặt khác ở miền này thế đồng nhất bằng 0. Do đó nghiệm duy nhất của
phơng trình Laplac là = 0.
Suy ra
E = 0 (x < 0)
+ ở nửa không gian bên phải (x > 0):
Từ vị trí của điện tích q và điều kiện biên nh vậy, tơng tự bài số 1 ta thấy
rằng: Trờng trong miền này tơng đơng với trờng do điện tích q tại (d, 0, 0) và
điện tích - q tại (-d, 0, 0) gây ra:
1 q q

P =
4 0 r1 r2
q
1
1

hay
P =
4 0 ( x d ) 2 + y 2 + z 2
( x + d )2 + y 2 + z 2
Và từ đó suy ra rằng cờng độ điện trờng trong miền x > 0:


+j
+k

E = - grad = i
y
z
x
q
=
4 0








xd
x+d

+

i
3
3
2
2
2 2
2
2
2 2

( x d ) + y + z
(x + d ) + y + z



y
y

+
+ j

3
3
( x d )2 + y 2 + z 2 2 ( x + d )2 + y 2 + z 2 2




z
z
.
+ k

3
3
2
2
2
2

2
2
(x d ) + y + z 2 (x + d ) + y + z 2



[

]

[

[

[

]

]

[

]

]

[

]

Bài IV.3: Cho một vật dẫn choán đầy 3/4 không gian, có thế = 0 và một
điện tích q đặt trong chân không.
Xác định trờng tạo bởi hệ đó? Biết rằng vật dẫn có hai mặt phẳng giới hạn
vuông góc nhau và điện tích q cách đều 2 mặt phẳng đó một khoảng a.
Giải:
y
Ta xét trong hệ toạ độ Đềcác:
M(x,y,z)
Mặt phẳng xOz và yOz trùng với hai
r3
r1
nửa mặt phẳng giới hạn; điện tích q nằm
ở góc phần t thứ nhất.
-q
+q
Từ các bài tập trớc ta nhận thấy rằng:
r4 a r2
Khi bề mặt vật dẫn là các mặt phẳng thì
a
x
sự phân bố các điện tích ảnh tơng tự nh
ảnh của điện tích đã cho qua gơng phẳng
+q
-q
(là mặt phẳng dẫn).
Do vậy trong bài này ta có thể dự đoán sự phân bố các điện tích ảnh nh là
ảnh của điện tích đã cho khi hai mặt phẳng dẫn xOz và yOz là hai gơng
phẳng.

Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
9

Khi đó thế vô hớng tại điểm M(x, y, z) bất kì thuộc góc phần t thứ nhất là:
1 q q q q
+
M =
4 0 r1 r2 r3 r4
Trong đó:

r1 =

( x a) 2 + ( y a) 2 + z 2

r2 =

( x a) 2 + ( y + a) 2 + z 2

r3 =

( x + a) 2 + ( y a) 2 + z 2

r4 = ( x + a ) 2 + ( y + a ) 2 + z 2
(x > 0, y > 0)
là khoảng cách từ điểm khảo sát đến điện tích đã cho và các ảnh của nó.
Ta thấy rằng: M = 0, M trừ điểm (a, a, 0)
Do đó điều phỏng đoán ở trên là đúng và nghiệm ở trên là nghiệm duy
nhất (theo định luật về tính duy nhất nghiệm).
Biết thế M ta có thể tính đợc cờng độ điện trờng thông qua công thức:

E = - grad.
+ ở miền còn lại thì đồng nhất bằng không, và do đó cờng độ điện trờng cũng đồng nhất bằng không.
Bài IV.4: Cho một quả cầu dẫn nối đất có bán kính a và một điện tích q
nằm cách tâm quả cầu một khoảng ( > a). Xác định trờng tạo bởi hệ đó?
Giải:
Ta nhận thấy trờng do hệ này tạo ra
M(r,)
có tính chất đối xứng qua trục nối tâm
r
r1
O và điện tích q. Vì thế ta chọn hệ toạ
a
r2
độ cực có gốc tại O.

+ Đối với miền r < a:
O q

q
Bên trong quả cầu không có điện
tích nên phơng trình của thế là phơng
trình Laplace. Nghiệm duy nhất của phơng trình này thoả mãn điều kiện đã
cho (quả cầu nối đất) là = 0, và do đó cờng độ điện trờng trong miền này
cũng bằng 0.
+ Đối với miền r > a:
Nếu gọi q tại điểm (, 0) là điện tích ảnh của q thì thế vô hớng:

M =
trong đó

r1 =

1 q
q'
+
4 0 r1
r2

r 2 + 2 2rcos

r2 = r 2 + '2 2r' cos
là khoảng cách từ điểm khảo sát đến q và ảnh q.
Ta sẽ xác định q dựa vào định lí Green:
n

qk
k =1

'
k

=

n

qk' k
k =1

Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
10

ở đây k và k' lần lợt là thế của vật dẫn khi chúng tích điện qk và qk'
Khi tại M có điện tích q và quả cầu nối đất, ta có:
q1 = q , 1 = 0 ; q2 = q , 2 = 0
Khi tại M không có điện tích và quả cầu không nối đất tích điện q* ta có
q
q
'
'
'
'
*
q1 = 0 , 1 =
; q2 = q , 2 =
4 0
4 0 a
Theo định lý Green ta có:
qq
q' q
+
= 0
4 0 4 0 a
a
Suy ra
q = - q

qa
1
q



Do đó
M =
2
2
2
2

4 0
r + ' 2r' cos
r + 2rcos
Mặt khác, thế tại mặt cầu bằng 0:

qa
1
q
M


r =a = 4 a 2 + 2 2acos a 2 + '2 2a' cos = 0
0

2
a
Từ đó ta đợc

=
.

Nh vậy ở bên ngoài hình cầu trờng cần xác định tơng đơng với trờng do
điện tích q tại (, 0) và điện tích ảnh q tại (, 0) gây ra:




a
q
1
q



M =
, với r > a
4
2
4 0 r 2 + 2 2rcos
a
a
2

r + 2 2r cos

Từ đây ta có thể xác định đợc cờng độ điện trờng theo công thức:

E = - grad.
Bài IV.5: Giải bài tập IV.4 với trờng hợp vật dẫn là quả cầu cô lập về
điện?
Giải:
Do vật dẫn là quả cầu cô lập về
M(r,)
điện nên tổng điện tích trên quả cầu là
r
r1
a
r2
không đổi và bằng 0.
Vì thế nếu thay quả cầu dẫn bằng
O
các điện tích ảnh của q thì các điện
q '2 q 1'
q
tích ảnh đó phải gồm 2 điện tích trái


dấu nhau và bằng nhau về độ lớn để tổng của chúng không đổi bằng 0.


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
11

Gọi q 1' và q '2 là hai điện tích ảnh của q. Bằng cách sử dụng nguyên lý tơng hỗ

nh ở bài 4 ta có:

q 1' = - q
Thế tại điểm M(r, ) là:

a
;


q '2 = q

a


1 q q1' q2'
+ +
M =
4 0 r1 r2 r
1 q
a q
a q
=


+
4 0 r1
r2
r

Vận dụng kết quả bài IV.4 ta đợc:

M





q
1
a
1
a q

+
=

2
2
2
4 0
2 a4
r
r
+


2
r

cos

a


r + 2 2r cos





với r > a.
Bài IV.6: Một điện tích điểm q đặt tại điểm A cách mặt phẳng phân chia 2 môi
trờng điện môi đồng chất vô hạn một khoảng a, hằng số điện môi của các môi trờng là 1, 2.
Xác định trờng do hệ đó tạo ra? Biết q nằm ở môi trờng 1.

Giải:
y
Chọn hệ toạ độ Đềcác: Mặt phẳng
x = 0 trùng với mặt phẳng phân cách.
M(x,y,z)
Trục Ox đi qua điện tích q và hớng về
môi trờng 1. Điện trờng gây bởi hai
O
A q
môi trờng điện môi đợc thay thế bằng
trờng tạo bởi 2 điện tích ảo là ảnh của q a
a
q
điện tích q ở trong môi trờng 1 và 2:

2
1
q ; q.
Khi đó thế phải tìm có dạng
q
q'

x>0
1 = 4 r + 4 r

11
1 2
M =
2 = q"
x<0

4 2 r1
trong đó: r1 = ( x a) 2 + y 2 + z 2 ; r2 = ( x + a) 2 + y 2 + z 2

x

là khoảng cách từ điện tích đã cho và điện tích ảnh đến điểm khảo sát.
Mặt khác, theo điều kiện liên tục của thế : 1 x = 0 = 2 x =0 và theo

điều kiện của vectơ D : D2n - D1n = 0


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
12

2
1
- 2 x
+ 1 x
= 0
x=0
x=0
Ta có hệ phơng trình:

q
q'
q"

+
=
41 a 2 + y 2 + z 2
41 a 2 + y 2 + z 2
4 2 a 2 + y 2 + z 2

q" ( x a)
q( x a)

1

2
3
3
2
2

2 2 x=0
2
2
2 2 x=0
41 ( x a) + y + z
4 2 ( x a) + y + z

q' ( x + a)

1
= 0
3

2
2
2 2 x=0
41 ( x + a) + y + z



q"
q' = 1 2 q
q q'

+
=
1 + 2

2


1
1
2 2
q" + q q' = 0
q" =
q


1 + 2
Do vậy


q
1
1 2
( x > 0)
1 =
+
2
2
2
2
2
2

41

( x a) + y + z
(1 + 2 ) ( x + a) + y + z

M =
q

2 =
( x < 0)

2
2
2
2 (1 + 2 ) ( x a ) + y + z

Từ đây ta có thể xác định đợc cờng độ điện trờng:

E 1 = - grad1

E 2 = - grad2
Bài IV.7: Xác định mật độ điện tích cảm ứng trên bề mặt vật dẫn cho ở
bài IV.2 và độ lớn của điện tích cảm ứng trên toàn vật dẫn?
Giải:
* Từ điều kiện biên: D1n- D2n=
và phơng trình liên hệ: D = E
Suy ra 2E1n - 1E2n =
0E1n - 0 =


= 0E1n = 0

x x = 0
với đã đợc xác định ở bài IV.2 theo phơng pháp ảnh điện:

q
1
1


=
2
2
2
2
2
2

4 0 ( x d ) + y + z
( x + d ) + y + z


[

]

[

[

]

]


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
13

q
xd
= 0.
4 0 ( x d ) 2 + y 2 + z 2


[

]

3

2




3
( x + d )2 + y 2 + z 2 2 x = 0

[

x+d

]

q.d

=

3 .
2 ( d 2 + y 2 + z 2 ) 2
* Điện tích cảm ứng trên mặt nguyên tố dS:
q dS d
dS = . 2 .
(r = d 2 + y 2 + z 2 )
2 r r
q dS
q
=
. 2 cos =
d
2 r
2
(d là gốc khối mà từ điện tích q nhìn vào mặt nguyên tố dS).
Độ lớn điện tích cảm ứng trên toàn vật dẫn:
q 2
qc. =
d = -q
2 0

Bài IV.8: Xác định mật độ điện tích cảm ứng trên bề mặt vật dẫn cho ở
bài IV.3 và độ lớn của điện tích cảm ứng trên các mặt phẳng dẫn?

Giải:
y
Dựa vào điều kiện biên và phơng trình
liên hệ tơng tự nh bài IV.7 ta xác định đợc
+q
mật độ các điện tích cảm ứng trên các mặt -q
phẳng dẫn nh sau:
x
+ Trên nửa mặt phẳng x = 0
+q
-q


1 = 0
x x = 0
+ Trên nửa mặt phẳng y = 0


2 = 0

y

y=0
trong đó đợc tính theo bài số IV.3 theo phơng pháp ảnh điện:
1 q q q q
+
=
4 0 r1 r2 r3 r4
ở đây

r1 =

( x a) 2 + ( y a) 2 + z 2

r2 =

( x a) 2 + ( y + a) 2 + z 2

r3 =

( x + a) 2 + ( y a) 2 + z 2

r4 = ( x + a ) 2 + ( y + a ) 2 + z 2
Trên cơ sở đó ta tính đợc


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
14



1
1



3
3
2

2
2
2
2
2
a + ( y a) + z 2 a + ( y + a) + z 2



aq
1
1



2 =
2 ( x a) 2 + y 2 + z 2 3 2 ( x + a ) 2 + y 2 + z 2 3 2


Điện tích toàn phần trên các mặt phẳng là
+ +
+ +
q
(1)
( 2)
qc. = qc. = 1dydz = 2 dxdz =
2
0
0
aq

1 =
2

[

]

[

[

]

[

]

]

Bài IV.9: Xác định mật độ điện tích cảm ứng trên mặt cầu cho ở bài IV.4
và độ lớn của điện tích cảm ứng trên toàn vật dẫn?
Giải:
Phơng pháp tuyến tại mặt vật
dẫn là phơng bán kính r.
a
R
Do đó mật độ các điện tích cảm
ứng tại mặt cầu là:
O

q

q


= 0.
r r = a
trong đó đã đợc xác định ở bài số IV.4 bằng phơng pháp ảnh điện




q
1
a
1


=

4 0 r 2 + 2 2rcos 2 a 4
a2

r + 2 2r cos




Suy ra
3

q 1 2
2
2

a
+


2
a

cos

.( 2a 2cos ) +
= - 0.

4 0 2

(

)

3

4
2
2
2
+ 1 a a 2 + a 2a a cos .(2a 2 a cos )

2


2


q
(2 a 2 )
3

=
4a (a 2 + 2 2acos ) 2
q
(2 a 2 )

=
3
4aR
trong đó R là khoảng cách từ điện tích q đến điểm khảo sát trên mặt cầu.
Từ đó ta tính đợc điện tích cảm ứng trên toàn vật dẫn:
a
qc. = dS = . q

(Kết quả này phù hợp với định lý Green).


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
15

Bài IV.10: Xác định lực tác dụng giữa điện tích điểm q và mặt phẳng dẫn
cho ở bài IV.1?
Giải:
Vì điện trờng do điện tích q và mặt phẳng dẫn gây ra hoàn toàn tơng
đơng với điện trờng do điện tích q tại (d, 0, 0) và điện tích ảnh -q tại
(d,0,0) gây ra.
Do đó lực tác dụng giữa điện tích q và mặt phẳng dẫn cũng bằng lực tác
dụng giữa điện tích q và điện tích ảnh - q theo định luật Culông
1
q2
F =
4 0 (2d ) 2
q2
F=
16 0 d 2

hay

Bài IV.11: Tính lực tác dụng lên điện tích điểm q đã cho trong bài số
IV.6?
Giải:
Theo phơng pháp ảnh điện: Điện trờng do hệ điện môi 1, 2 và điện tích
điểm q tạo ra tơng đơng với điện trờng do điện tích điểm q và điện tích ảnh
q gây ra.
Do đó lực tác dụng lên điện tích q chính bằng lực do điện tích ảnh q tác
dụng lên điện tích q theo định luật Culông:
1
qq'
.
F=

4 0 (2a ) 2
Trong đó q đã đợc xác định ở bài số IV.6 nhờ phơng pháp ảnh điện

q = 1 2 .q
1 + 2

q. 1 2 .q
Do vậy
F= 1
1 + 2
.
41
( 2a ) 2


1 2
q2
F=
.
.
1 + 2 161a 2

Bài IV.12: Tìm năng lợng U và lực F tác dụng giữa điện tích q và quả
cầu dẫn điện bán kính a nối đất (đã cho ở bài IV.4). Điện tích cách tâm quả
cầu một khoảng . Hệ đợc đặt trong chân không.
Giải:
* Khi tăng điện tích q một lợng dq
thì năng lợng tơng tác của nó với quả
a

cầu tăng lên một lợng
O
q
F q
dU = dq
ở đây là điện thế của điện tích


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
16

hởng ứng trên quả cầu tại vị trí đặt
điện tích q.
Nhng bản thân điện thế này tỷ lệ với q: = const.q. Vì vậy
q

U = dU
0

=

const 2
q
2

=

1

'. q
2

Nếu đại lợng không phụ thuộc q (trờng hợp điện thế của trờng ngoài)
thì năng lợng tơng tác lớn gấp đôi (U = .q). Nhng trong trờng hợp này:
1
U = .q
2
Trong đó theo phơng pháp ảnh điện thì các điện tích liên kết trên mặt cầu
đợc thay thế bằng điện tích ảnh của q là:
2
a
a
q = .q tại vị trí =
.


aq
1

Do đó
= 4 .
a2
0

a.q
= 4 0 (2 a 2 )
Do vậy

q 2 .a

U=8 0 (2 a 2 )

* Và lập luận tơng tự bài IV.10, IV.11, theo phơng pháp ảnh điện lực tác
dụng lên điện tích q chính bằng lực tơng tác giữa điện tích q và điện tích ảnh
q theo định luật Culông:
a
q. q
1

F = 4 .
2
0
a2



Suy ra

q 2 .a
F=
.
4 0 (2 a 2 ) 2

Bài IV.13: Tính lực tác dụng lên điện tích q trong bài IV.5?
Giải:
Điện trờng do vật dẫn và điện tích
a
q tạo ra hoàn toàn tơng đơng với điện
trờng do điện tích q và các điện tích

ảnh q 1' , q '2 tạo ra. Vì thế lực do vật
'
q2
q 1'
dẫn tác dụng lên điện tích q chính



q


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
17

bằng lực do các điện tích ảnh q 1' , q '2
tác dụng lên điện tích q theo
định
luật
Culông:
F = F1 + F2
+ Lực do q 1' tác dụng lên q có độ lớn:
q.q1'

1
F1 = 4 ( ' ) 2
0

=

a
q. q
1

2
4 0
a2




q 2 a
F1 =
là lực hút.
4 0 (2 a 2 )
+ Lực do q '2 tác dụng lên q có độ lớn
a
q. q
'
F2 = 1 q.q2

. 2
=
4 0
4 02


q 2a
F2 =

là lực đẩy.
4 03

2
a
a
; q '2 = q.
; = a đã đợc xác định ở bài IV.5



bằng phơng pháp ảnh điện.
Do vậy điện tích q bị hút bởi một lực có độ lớn:
q 2a

1
F = F1 - F2 =


4 0 (2 a 2 ) 2 3

Trong đó q 1' = - q.



aq 2 4 (2 a 2 ) 2

.
F =
4 0 3 (2 a 2 ) 2

Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
18

V. Phơng pháp ảnh từ
Khi đặt một dòng điện gần mặt giới hạn của hai môi trờng (từ môi) thì
trong từ môi có hiện tợng từ hoá xảy ra. Kết quả là trong từ môi có sự sắp
xếp lại các dòng điện nguyên tử sao cho các mô men từ của các dòng điện
này đợc sắp xếp lại theo phơng của trờng ngoài. Lúc đó, việc tính trờng tạo
bởi dòng đã cho khi có mặt khối từ môi không thể áp dụng đợc các phơng
pháp thông thờng vì ta không thể biết đợc sự phân bố các dòng nguyên tử
trong khối từ môi. Trong trờng hợp này ta có thể xác định trờng bằng phơng
pháp ảnh (phơng pháp ảnh từ).
Cũng tơng tự nh phơng pháp ảnh điện, phơng pháp ảnh từ là phơng pháp
duy nhất để xác định từ trờng trong trờng hợp cha biết các thông tin về sự
phân bố. Theo phơng pháp này, thay vì xác định trờng do hệ dòng điện và từ
môi gây ra, ta đi xác định trờng do dòng điện đã cho và các dòng điện ảnh
gây ra. Khi vận dụng phơng pháp này, ta tiến hành theo lôgic sau:
1. Chọn hệ tọa độ thích hợp (dựa vào dạng hình học của khối từ môi và
các dữ kiện của bài toán).
2. Dựa vào các dữ kiện đã cho để xác định vị trí và cờng độ của các dòng
điện ảnh (hoặc dự đoán nghiệm).
3. Tính trờng do dòng điện đã cho và dòng điện ảnh gây ra theo nguyên lý
chồng chất từ trờng (hoặc hợp lý hoá nghiệm vừa đoán và chứng tỏ nó là
nghiệm duy nhất cần tìm).
Sau đây chúng ta sẽ vận dụng phơng pháp này để giải một số bài tập phần
từ trờng của dòng điện không đổi.
VI. Một số bài tập điện động lực

giải theo phơng pháp ảnh từ


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
19

Bài VI.1: Cho khối từ môi có độ từ thẩm à chiếm đầy nửa không gian. ở
nửa không gian bên kia có một dòng điện thẳng dài vô hạn cờng độ I đặt
song song và cách mặt phẳng biên một khoảng a. Dòng điện đặt trong chân
không có độ từ thẩm à0.
Xác định trờng do dòng điện này và khối từ môi tạo ra?
Giải:
Ta khảo sát trờng trong hệ toạ độ
y
Đềcác: Chọn mặt phẳng x = 0 trùng
với bề mặt khối từ môi, trục x hớng
à
à0
M(x,y)
về môi trờng à0 và vuông góc với
R
R1
dòng, trục z song song với dòng
2
I
(nh hình vẽ).
I a
O a
I

x
Từ cách chọn hệ toạ độ nh vậy,
ta thấy:
Ax = Ay = 0
A = Az
Thế A = Az phải thoả mãn:
+ Trong miền x > 0: Thế phải thoả mãn phơng trình Laplace
A1 = 0 với mọi x > 0 trừ điểm (a, 0)
+ Trong miền x < 0: Thế phải thoả mãn phơng trình Laplace:
A2 = 0 với mọi x < 0
Theo phơng páhp ảnh từ:
+ Từ trờng trong miền x > 0 tơng đơng với từ trờng do dòng I và ảnh I tạo
ra.
+ Từ trờng trong miền x < 0 tơng đơng với từ trờng do dòng ảnh I tạo ra.
(Lu ý: Dòng ảnh không nằm trong miền không gian khảo sát)
Mặt khác, chúng ta đã biết thế vectơ do dòng điện thẳng dài vô hạn cờng
độ I gây ra tại một điểm cách nó một đoạn r có dạng:
àI
A=
lnr + C
(C = const)
2
Do đó ta suy ra nghiệm cần tìm có dạng:
à0 I
à0 I '

( x > 0)
A1 = 2 ln R1 2 ln R2

A2 = àI " ln R1

( x < 0)

2
Trong đó R1 = ( x a ) 2 + y 2 và R2 = ( x + a ) 2 + y 2 là khoảng cách từ
dòng đã cho và ảnh của nó đến điểm khảo sát của trờng và
I = k1I; I = k2I
Ta xác định k1, k2 dựa vào các điều kiện:
+ Điều kiện liên tục của thế A tại mặt giới hạn:
= A2
x=0
x=0
+ Điều kiện biên của vectơ cờng độ từ trờng:
A1

(1)


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
20
H1t - H2t = 0
(2)

àkI
à0 I

ln ( x a ) 2 + y 2 0 1 ln ( x a) 2 + y 2
(1)
=
2

2
x=0
àk I

= 2 ln ( x a ) 2 + y 2
2
x=0
à0(1 + k1) = àk2
(1)
B1t
B2t
=
(2)
à0
à
Trong toạ độ Đềcác:
A A A A A A

B = [ A] = i z y + j x z + k y x
z z
x x
y
y
mà Ax = Ay = 0
Az Az


B
=i
j

= i Bn + j Bt.
y
x

A
Bt = x (thành phần tiếp tuyến của B )
x
Suy ra

A1
à0 I
B1t =
=
x x = 0 2

=

( x a)

(

2

( x a) + y

2

)

+ k1

2

(



2
( x + a ) 2 + y 2 x = 0
( x + a)

)

à 0 Ia
(-1 + k1)
2 (a 2 + y 2 )



A2
àk 2 I
( x a)
àk 2 Ia

B2t =
=
=
2

x x = 0 2 ( x a) 2 + y 2
2 (a 2 + y 2 )

x=0
Từ đây suy ra:
à 0 Ia
1
1 àk 2 Ia


(

1
+
k
)
=
1
à 0 2 (a 2 + y 2 )
à 2 (a 2 + y 2 )

(

)


-1 + k1 = - k2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra hệ:
à0(1 + k1) = àk2

- 1 + k1 = - k2



Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
21

à à0

k1 = à + à

0

k = 2à 0
2 à + à 0
Do đó ta viết đợc dạng tờng minh của thế vectơ:
à0 I
à à0 à0 I

2
2
2
2
A
=

ln
(
x

a
)
+
y

.
ln
(
x
+
a
)
+
y
( x > 0)
1

2
à + à 0 2


A = 2 à 0 . àI ln ( x a ) 2 + y 2
( x < 0)
2
à + à 0 2

Từ đây xác định đợc trờng B theo biểu thức:
Az Az

i
j
B = [ A ] =
y
x
Ta đợc:


à 0 I
à à0
y
y


i
+
B1M =

2
2
2
2
2

à
+
à
(
x

a
)
+
y
(
x
+
a
)
+
y

0






xa
à à0
x+a


- j
+
.

2

2
2
2
à
+
à
(
x

a
)
+
y
(
x
+
a
)
+
y
0







y
xa

B2 M = 2 à 0 àI i


j
2
2
2
2


à + à 0 2 ( x a) + y
( x a) + y
Từ biểu thức của cảm ứng từ trên ta thấy nó thoả mãn phơng trình
Mắcxoen:

B
1M = 0

và
B2 M = 0
Theo định lý về tính duy nhất nghiệm, ta khẳng định biểu thức tìm đợc ở
trên là nghiệm duy nhất xác định trờng cần tìm.
Bài VI.2: Từ các giả thiết của bài VI.1 ở trên. Hãy xác định lực tơng tác
giữa dòng điện đã cho và khối từ môi?
Giải:
Do từ trờng trong miền x > 0 tạo ra bởi hệ (dòng I, khối từ môi) và hệ
(dòng I, ảnh I) là tơng đơng nhau.
Nên lực tơng tác giữa dòng I và khối từ môi chính là lực tơng tác giữa
dòng I và dòng I:
à I I'

F= 0
là lực tơng tác trên một đơn vị độ dài
2 2a
à0 I à à0
.
I

F =
4a à + à 0


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
22

F =

à à0 à0 I 2
.
à + à 0 4a

Bài VI.3: Cho một khối từ môi có dạng một hình trụ thẳng dài vô hạn
bán kính a, độ từ thẩm của nó là à. Môi trờng xung quanh là chân không.
Một dòng điện thẳng dài vô hạn chạy trong chân không song song với trục
hình trụ và cách nó một khoảng . Xác định từ trờng tạo bởi hệ?
Giải:
Ta khảo sát trờng trong hệ toạ
M(r,)
r
R1

độ trụ (r,, z). Chọn trục z trùng
R2
với trục khối từ môi (nh hình vẽ).
Trong trờng hợp này:
a


I
Vì trong khối từ môi không có
I I
I
dòng nên dòng ảnh thay thế phải
à
à0
gồm 2 dòng thoả mãn:
I + I = 0
(1)
Từ cách chọn hệ toạ độ nh trên ta thấy: Ar = A = 0 ; A = Az.
Do đó thế A = Az có dạng:
à0 I
à0 I '
à0 I "

A
=

ln
R

ln

R

ln r
(r > a )
1
1
2

2
2
2

A2 = àI ' " ln R1
(r < a)

2
trong đó: R1 = r 2 + 2 2rcos ; R2 = r 2 + '2 2r' cos
I = k1I ; I = k2I ; I = k3I.
a2
=

Từ (1)
k1I + k2I = 0 k1 + k2 = 0
(1)
Mặt khác, các dòng ảnh phải thoả mãn các điều kiện biên:
A1

= A2
r=a
r=a

H1t = H2t

(2)
(3)

Từ điều kiện (2):

à 0 I
a4
a2
2
2
2
A1
=
ln a + 2acos + k1 ln a + 2 2a cos + k 2 ln a

r=a
2




à0 I
a 2

2
2
a + 2 2acos + k 2 ln a .
ln a + 2acos + k1 ln

2


Kết hợp với (1) ta đợc:

=


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
23

A1

r=a

à0 I
à I
ln a 2 + 2 2acos (1 + k1 ) + k1 0 ln
2
2

=

àI
k3 ln a 2 + 2 2acos
r=a
2

Do tính chất của thế vectơ: Có vô số thế vectơ A sai khác nhau một gradien

của một hàm vô hớng bất kỳ cùng xác định một từ trờng B .
Nên để đơn giản ta có thể chọn:
à I
A1' = A1 k1 0 ln
2
' =A .
2
A2
*

=

A2

Khi đó điều kiện biên của thế vectơ trở thành: A1'

r=a

= A2'

r=a

à0 I
àI
ln a 2 + 2 2acos (1 + k1 ) =
k3 ln a 2 + 2 2acos
2
2
à0(1 + k1) = àk3

(2)
B1t B2t
=
* Đối với điều kiện (3):
à0
à
Trong toạ độ trụ:
1 A A A A 1
A
A = z er + r z e + (rA ) r ez
r
z
r
r r

z


[

]

mà Ar = A = 0
Suy ra:

+)

[

]

1 Az Az


B = A =
er
e = er Bn + e Bt
r
r

A
Bt = z là thành phần tiếp tuyến của vectơ B
r
A
B1t = 1
=
r r = a
=

à0 I
r cos
r ' cos
1
+ k1 2
+ k2
2 2
2
2 r + 2rcos
r r = a
r + ' 2r' cos

a2
vào biểu thức trên ta đợc:

à I
a cos
B1t = 0 2
.(1 k1 )
2 a + 2 2acos

Thay k2 = - k1 là =


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
24

A2
àI
r cos
= k3
r r = a
2 r 2 + 2 2rcos r = a
àI
a cos
= k3
2 a 2 + 2 2acos

+) B2t =

Do đó:

B1t
B2t
=
(1 - k1) = k3
(3)
à0
à
Từ (1), (2), (3) ta đợc hệ
k1 + k2 = 0
à0(1 + k1) = àk3

1 - k1 = k3


à à0
k1 = à + à
0


à à0
k2 =
à + à0


2à0
k3 =
à + à0

Từ đây ta có dạng tờng minh của thế vectơ. Và từ đó xác định đợc B :



B = rotA = ì A

[

]

Bài VI.4: Cho các giả thiết nh bài VI.3 ở trên. Hãy xác định lực tơng tác
giữa dòng đã cho và khối từ môi trên một đơn vị độ dài.
Giải:
Vì từ trờng do dòng I và khối từ môi tạo ra trong miền r > a tơng đơng với từ
trờng do dòng I và các dòng ảnh I, I tạo ra trong miền đó.
Nên lực tơng tác giữa I và khối từ môi cũng chính là lực tơng tác giữa I, I
với I:
F = FI,I + FI, I
à0 I ' I
à0 I 2
à à0
à 0 I 2 à à0
=
.
=
2
2
FI, I = 2 ( ' )

a 2 à + à 0 2 ( a ) à + à 0

2


FI, I
Suy ra

à0 I " I
à0 I 2 à à0
=
=
.
2
2 à + à 0

F=

à 0 I 2 à à 0
à0 I 2 à à0

2 à + à 0
2 (2 a 2 ) à + à 0


Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng
pháp ảnh từ
25

à0 I 2 a 2 ( à à0 )
F=
2(2 a 2 )( à + à 0 )

Bài VI.5: Một khối từ môi chiếm toàn bộ không gian. Trong đó có một
khoang rỗng hình trụ dài vô hạn bán kính a. Trong khoang đó đặt một dòng điện
mảnh cờng độ I song song và cách trục hình trụ một khoảng ( < a). Biết độ
từ thẩm của khối từ môi là à. Hãy xác định từ trờng do hệ này tạo ra?
Giải:
Ta khảo sát trờng trong hệ toạ
M(r,)
độ trụ (r,,z). Chọn trục z trùng
r
R2
với trục khoang trụ (nh hình vẽ).
R1
Do trong khoang rỗng có dòng
I

I nên các dòng ảnh thay thế phải
a
I I
I
thoả mãn:
I + I = I
(1)
à0
à
với cách chọn hệ toạ độ nh trên thì ta thấy: Ar = A = 0
A = Az .
Thế A = Az có dạng:
à0 I
à0 I '

A
=

ln
R

ln R
(r < a )
1
1

2
2

A2 = àI " ln R1 àI " ' ln R
(r > a)

2
2
Hay
A = Az =
à0 I
à0 I

2
2
2
2
A1 = 2 ln r + 2rcos k1 2 ln r + ' 2r' cos , ( r < a)
=

A2 = k 2 àI ln r 2 + 2 2rcos k3 àI ln r
(r > a)

2
2
a2
trong đó =
.

Từ điều kiện (1) k2I + k3I = I k2 + k3 = 1
(1)
Mặt khác, các dòng ảnh phải thoả mãn điều kiện ở biên:
A1

= A2
r=a
r=a
H1t = H2t

(2)
(3).

* Xét điều kiện (2):
à 0 I
a4
a2
2
2
2
=

A1
ln a + 2acos + k1 ln a + 2 2a cos
r=a
2