Hình học cầu n chiều luận văn thạc sỹ toán học

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THANH TÙNG

HÌNH HỌC CẦU N – CHIỀU

Chuyên ngành: HÌNH HỌC – TÔPÔ
Mã số: 60.46.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY BÌNH

VINH, 2011


2

MỤC LỤC
Mở đầu……………………………………………………………………
Chương 1. KHÔNG GIAN CẦU n – CHIỀU………………………….
§1. Không gian cầu n chiều………………………………………...
§2. Phép đẳng cự cầu……………………………………………….
§3. Trắc địa cầu…………………………………………………….
§4. Độ dài cung trên mặt cầu……………………………………….
§5. Thể tích cầu…………………………………………………….
Chương 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC CẦU………….
§1. Tam giác cầu…………………………………………………...

§2. Một số tính chất của tam giác cầu……………………………...
§3. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác cầu…..…………...
Kết luận…………………………………………………………………..
Tài liệu tham khảo…………………………………………………….....

Trang
2
4
4
10
14
23
27
31
31
34
37
40
41

LỜI NÓI ĐẦU
Hình học phi Ơclit được được bắt đầu bằng những công trình nghiên cứu
của Lobachevsky (được Lobachevsky gọi là hình học trừu tượng) và phát triển
bởi Bolyai, Gauss, Riemann…Trong các hình học đó hình học cầu được xem như


3
là sự phát triển song song của hình học hyperbolic. Mục đích của bản luận văn
này nghiên cứu các tính chất chung, cơ bản nhất của hình học cầu n chiều.
Với mục đích đó, chúng tôi đã xây dựng khái niệm không gian cầu n chiều

với metric nội tại trên đó. Từ đó, chúng tôi nghiên cứu các tính chất hình học trên
mặt cầu, đồng thời trình bày một cách chi tiết và có hệ thống các kiến thức về các
phép biến đổi trên mặt cầu, đường trắc địa trên mặt cầu và một số yếu tố hình
học trên mặt cầu n chiều. Luận văn này cũng đề cập đến một yếu tố cơ bản của
hình học cầu là tam giác cầu trên mặt cầu 2 chiều.
Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương 1: KHÔNG GIAN CẦU n – CHIỀU
Trong chương này chúng tôi xây dựng không gian cầu n - chiều, trình bày
các tính chất tôpô trên mặt cầu n - chiều ở mục §1. Không gian cầu n chiều.
Trình bày phép đẳng cự trên không gian Ơclit, từ đó xây dựng phép đẳng cự trên
mặt cầu và xem xét mối quan hệ giữa chúng ở mục §2. Phép đẳng cự cầu. Ở mục
§3. Trắc địa cầu, chúng tôi đưa ra các khái niệm về cung trắc địa, đường trắc địa
trong không gian Ơclit và không gian cầu, khẳng định đường trắc địa trên mặt
cầu là đường tròn lớn. Chúng tôi trình bày các yếu tố độ dài cung trên mặt cầu
theo metric cầu và thể tích cầu trong hai mục §4. Độ dài cung trên mặt cầu và §5.
Thể tích cầu.
Chương 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC CẦU
Chương này gồm các mục sau:
§1. Tam giác cầu
Trong mục này chúng tôi xây dựng một cách chi tiết khái niệm tam giác
cầu.
§2. Một số tính chất của tam giác cầu
Trình bày các tính chất về góc, cạnh của tam giác cầu, các định lí sin, định
lí cosin của tam giác cầu. Ở mục này chúng tôi cũng xét diện tích của tam giác
cầu.


4
§3. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác cầu
Trong mục này chúng tôi đưa ra khái niệm hai hình bằng nhau thông qua

phép đẳng cự. Từ đó xét các trường hợp bằng nhau của hai tam giác cầu trên Sn.
Luận văn được hoàn thành vào tháng 11 năm 2011. Tác giả chân thành bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, TS Nguyễn Duy Bình, người đã đặt đề tài và
hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô khoa Sau đại học, các thầy cô khoa
Toán, đặc biệt các thầy trong tổ bộ môn Hình học – Tôpô trường Đại học Vinh,
các thầy cô Phòng Quản lí khoa học trường Đại học Hải Phòng, gia đình, đồng
nghiệp cùng các bạn học viên K17 chuyên ngành Hình học – Tôpô đã nhiệt tình
giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập.
Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót.
Chúng tôi mong nhận được những góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn
được hoàn thiện hơn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Hải Phòng, tháng 12 năm 2011
Tác giả

Chương 1. KHÔNG GIAN CẦU n - CHIỀU
§1. KHÔNG GIAN CẦU n – CHIỀU
Khoảng cách trên không gian Ơclit ¡

n+1

được xác định bởi


5
d E ( x, y ) = x − y , với " x,y Î ¡

Mặt cầu tâm I, bán kính r trong không gian Ơclit ¡

{

S( I,r) = x Î ¡

n+1

n+1

n+1

.

được định nghĩa là

}

: dE ( I,x) = r .

Bằng phép đồng dạng ta dễ dàng chuyển mặt cầu S ( I,r ) về mặt cầu đơn vị

{

Sn = x Î ¡

n+1

}

: x =1 .

Do đó, để nghiên cứu các tính chất liên quan đến khoảng cách trên mặt cầu
tổng quát S ( I,r ) ta chỉ cần nghiên cứu trên mặt cầu Sn. Khoảng cách Ơclit trên Sn
được cho bởi công thức: d E ( x, y ) = x − y , với ∀x, y ∈ Sn . Khoảng cách này thoả
mãn các mục tiêu cần thiết nhưng không có sẵn trong S n, vì nó được định nghĩa
từ các phần tử của cấu trúc không gian véctơ ¡

n+1

. Ta sẽ xác định một khoảng

cách nội tại trên Sn, nhưng trước tiên ta xem xét lại tích có hướng trong ¡ 3 .
1.1 Tích có hướng của hai véc tơ
1.1.1 Định nghĩa. Cho x = (x1; x2; x3) và y = (y1; y2; y3) là các véctơ trong

¡ 3 . Tích có hướng của x và y là một véc tơ, kí hiệu là x × y và được xác định
bởi:
x
x×y = 2
 y2

x3 x3
;
y3 y3

x1 x1
;
y1 y1

x2
y2


÷.


Khi đó bằng tính toán trực tiếp ta có định lí sau
1.1.2 Định lí. Cho x, y, z là các véctơ trong ¡ 3 . Khi đó ta có:
(1)

x × y = – y × x,

(2)

x1 x 2
(x × y).z = y1 y 2
z1 z 2

(3)

(x × y) × z = (x . z)y – (y . z)x,

(4)

(x × y) . (z × w) =

x3
y3 ,
z3

x.z x.w

.
y.z y.w


6
Cho x, y, z là các véctơ trong ¡ 3 . Số thực (x × y).z được gọi là tích hỗn
tạp của x, y, z. Từ Định lí 1.1.2 (2) ta có (x × y).z = (y × z ).x = (z × x). y. Nên
giá trị của tích hỗn tạp của ba véc tơ x, y, z không đổi khi các véc tơ được hoán
vị một cách tuần hoàn. Do đó, ta có (x×y).x = (x×x).y = 0 và (x×y).y = (y×y).x =
0.
Hơn nữa, từ Định lí 1.1.2 (4), khi x ≠ 0, y ≠ 0 ta có
(x × y).(x × y) =

x.x x.y
2
2
2
2
= x . y − ( x . y .cosθ ( x, y ) ) = ( x . y .sin θ ( x, y ) ) .
x.y y.y

Vì vậy, ta có hệ quả
1.1.3 Hệ quả. Với mọi x, y thuộc ¡ 3 , ta có:

a) x × y vuông góc với cả x và y.
b) Nếu x ≠ 0, y ≠ 0 thì |x × y| = |x|.|y|.sinθ(x,y), ở đây θ(x, y) là góc Ơclit
giữa x và y.
1.2 Metric cầu
Cho x, y là hai véc tơ trong Sn và θ ( x, y ) là góc Ơclit giữa x và y.
Đặt

dS ( x, y ) = θ ( x, y ) (rad).

Ta

dễ

thấy

0 ≤ dS ( x, y ) ≤ π

và

dS ( x, y ) = π ⇔ x = − y
Với x, y thuộc Sn, khi x = – y ta nói x và y là xuyên tâm đối.
1.2.1

Định lí. Hàm dS là một metric trên Sn.

Chứng minh
Ta có dS là một hàm không âm, không suy biến và đối xứng với mọi x, y
thuộc Sn. Thật vậy:
n
+ dS ( x, y ) = θ ( x, y ) ≥ 0, ∀x, y ∈ S ,

 x, y ∈ Sn
+ dS ( x, y ) = 0 ⇔ x, y cùng hướng


⇔ x = y,

+ dS ( x, y ) = θ ( x, y ) = θ ( y, x ) = d S ( y, x ) .


7
Hơn

nữa

dS thoả

mãn

bất

đẳng

thức

tam

giác,

tức

là:

dS ( x,z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y,z ) , ∀x, y,z ∈ Sn . Thật vậy, vì với ba véc tơ x, y, z tạo
nên một không gian con của ¡

n+1

có số chiều lớn nhất bằng 3 nên ta có thể giả sử

x, y, z nằm trong một không gian con của ¡

n+1

sinh bởi e1, e2, e3. Nói cách khác

ta có thể giả sử n = 2. Do đó ta xét các trường hợp sau:
π

θ
x,
y
≥
(
)

2
Nếu 
thì hiển nhiên θ ( x, y ) + θ ( y,z ) ≥ θ ( x,z ) .
π
θ ( y,z ) ≥

2
Nếu θ ( x, y ) + θ ( y,z ) < π thì
cos ( θ ( x, y ) + θ ( y,z ) ) = cos θ ( x, y ) cos θ ( y,z ) − sin θ ( x, y ) sin θ ( y,z )
= (x . y)(y . z) – |x × y|.|y × z|

≤ (x . y)(y . z) – (x × y).(y × z)
= (x . y)(y . z) – ((x . y)(y . z) – (x . z)(y . y))
= x.z
= cosθ ( x,z ) .
Suy ra θ ( x, y ) + θ ( y,z ) ≥ θ ( x,z ) .
Vì vậy: dS ( x,z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y,z ) . □
1.2.2 Định nghĩa. Cho x, y là hai véc tơ trong Sn và θ ( x, y ) là góc Ơclit

giữa x và y. Metric dS xác định bởi dS ( x, y ) = θ ( x, y ) , được gọi là metric cầu.
n
1.2.3 Mệnh đề. Với mọi x, y Î S ta có

d E ( x, y )
d ( x, y )
.
= sin S
2
2

Chứng minh
Với mọi x, y Î Sn ta có x.y = x y cosq( x, y) = cosq( x, y) .
2

Lại có ( d E ( x, y) ) = x - y = x 2 + y 2 - 2xy = 2 - 2xy .
2


8

2

Do ú ( d E ( x, y) ) = 2( 1 - xy) = 2( 1 - cosq(x, y) ) = 4sin 2
M 0 Ê

q(x, y)
.
2

q( x, y) p
q( x, y)
Ê ị sin
0.
2
2
2

Vy

d E ( x, y )
( x, y )
d ( x, y )
= sin
= sin S
.
2
2
2

1.3 Khụng gian cu
1.3.1 nh ngha. Khụng gian metric Sn vi mờtric cu dS c gi l

n
khụng gian cu n chiu ( S ,d S ) , ta kớ hiu l Sn.

1.3.2 nh ngha. ng trũn ln ca Sn l giao ca Sn v mt khụng gian

con hai chiu ca Ă

n+1

.

Do Mnh 1.2.3, ta cú tụpụ ca Sn xỏc nh bi mờtric dS trựng vi tụpụ
ca Sn xỏc nh bi metric dE.
1.3.3 Mnh . Sn l mt khụng gian tụpụ compact.

Chng minh
Ta cú Sn l mt khụng gian con ca khụng gian tụ pụ Ă
Vi M bt kỡ thuc Ă

n+1

n+1

.

\ Sn , O l tõm mt cu Sn, gi N l giao im

ca ng thng OM v mt cu S n. t = d ( M , N )
ổ eử
ỡùù

ữ
Bỗ
M, ữ
=
ỗ
ữ ớù X ẻ Ă
ỗ
ữ
ố 2ứ
ợù



B M , ữ Ă
2


n+1

n+1

ù
eỹ


: d( M, X ) < ùý . D thy B M , ữ l tp m cha M v
2
2ùỵ

ù

\ Sn . Do ú Ă

n+1

\ Sn l tp m hay Sn l tp úng trong Ă

Hn na, d thy Sn l b chn trong Ă
Ă

> 0. Gi

n+1

.

n
. Do ú S l compact trong khụng gian

n+1

n+1

.
Vy Sn l mt khụng gian tụpụ compact.


9
1.3.4 Mệnh đề. Sn là không gian liên thông tuyến tính.

Chứng minh
Với hai điểm tùy ý p, q ∈ Sn ta luôn có một đường tròn lớn của S n chứa p
và q. Do đó Sn là không gian liên thông tuyến tính.
1.3.5 Định nghĩa đa tạp khả vi
Cho M là không gian Hausdoff.
a. Nếu U là mở trong M, U* là tập mở trong ¡

n+1

và ϕ : U → U * là đồng

phôi thì ( U,ϕ ) được gọi là một bản đồ của M.
n
b. Với p ∈ U thì ϕ ( p ) ∈ R , nên ϕ ( p ) = ( x1; x 2 ;...; x n ) . Khi đó ( x1; x 2 ;...; x n )

được gọi là tọa độ của p đối với ( U,ϕ ) và ( U,ϕ ) gọi là hệ tọa độ địa phương.
c. Hai bản đồ ( U1 ,ϕ1 ) và ( U 2 ,ϕ2 ) của M với U1 ∩ U 2 ≠ ∅ , được gọi là phù
−1
hợp nếu ánh xạ ϕ2 oϕ1 là vi phôi. Khi U1 ∩ U 2 = ∅ ta quy ước ( U1 ,ϕ1 ) và

( U 2 ,ϕ2 ) là phù hợp.

{

d. Họ các bản đồ A = ( U i , ϕi ) i∈I } của M nếu thỏa mãn:
Ui = M,
• ∪
i∈I
•

( Ui ,ϕi ) và ( U j ,ϕ j ) là phù hợp với mọi i khác j,

thì được gọi là một Atlat của M.
Một atlat nếu không bị chứa thực sự trong một atlat nào thì được gọi là
atlat tối đại. Nếu A là một atlat tối đại trên M thì A được gọi là một cấu trúc khả
vi trên M.
e. Một không gian Hausdoff M có cấu trúc khả vi được gọi là đa tạp khả vi.
1.3.6 Mệnh đề. Sn là đa tạp khả vi.

Chứng minh. Trong không gian ¡

n+1

mặt cầu Sn có phương trình:

x12 + x 22 + ... + x n2 + x n2 +1 = 1 .
Ta có Sn là không gian Hausdoff.


10
Ta xét họ { U i } i =1 xác định như sau:
2n + 2

U i = { ( x1 , x 2 ,..., x n +1 ) ∈ Sn : x i > 0} ,i = 1,2,..., n + 1
U i+n +1 = { ( x1 , x 2 ,..., x n +1 ) ∈ Sn : x i < 0} ,i = 1, 2,..., n + 1

Ta chứng minh { U i } i =1 là một Atlat trên Sn.
2n + 2

n

Xét ánh xạ ϕi : ∏ ( −1;1) → Ui = { (x1 , x 2 ,..., x i ,..., x n +1 ) ∈ S : x i > 0} xác định bởi
n

j=1

(

ϕi (x1 , x 2 ,..., x i−1 , x i+1 ,..., x n +1 ) = x1, x 2 ,..., 1 − x12 − ... − x i2−1 − x i2+1 − ... − x n2 +1 ,..., x n +1

)

Khi đó dễ thấy ϕi là một song ánh và ϕi là hàm liên tục.
n

−1
Lại có: ϕi : Ui → ∏ ( −1;1) với
j=1

(

)

ϕi x1 , x 2 ,..., 1 − x12 − ... − x i2−1 − x i2+1 − ... − x n2 +1 ,..., x n +1 = (x1 , x 2 ,..., x i −1, x i +1,..., x n +1 )
cũng là hàm liên tục. Vậy ϕi là ánh xạ đồng phôi, hay ( U i ,ϕi ) là bản đồ trên Sn.
Mặt khác ta cũng có Ui phù hợp với Uj với mọi i, j = 1, 2, …, n+1.
Vậy { Ui , ϕi } i=1

2n + 2

là một Atlat trên Sn, từ đó xác định một Atlat tối đại (cấu

trúc khả vi) nên Sn là một đa tạp khả vi. □
1.3.7 Định nghĩa. Đa tạp khả vi S được gọi là định hướng nếu tồn tại một

atlat khả vi { Ui , ϕi } i∈I trên S sao cho tất cả các định thức Jacobi của các hàm
chuyển đều dương. Một atlat như vậy được gọi là một atlat định hướng.
1.3.8 Định lí. Đa tạp khả vi đối chiều 1 trong không gian Ơclit là định

hướng được khi và chỉ khi tồn tại trường véc tơ pháp tuyến đơn vị khả vi.
Chứng minh. Xem [6].
1.3.9 Mệnh đề. Sn là định hướng được.

Chứng minh. Trong không gian ¡

n+1

mặt cầu Sn có phương trình:

x12 + x 22 + ... + x n2 + x n2 +1 = 1 .


11
2
2
2
2
Phương trình dạng ẩn: F ( x1 , x 2 ,..., x n ) = x1 + x 2 + ... + x n + x n +1 − 1 = 0 .

 ∂F ∂F
∂F 

,
,...,
Do đó Sn có trường pháp tuyến n 
÷ = ( 2x1 ,2x 2 ,...,2x n +1 ) .
∂x n +1 
 ∂x1 ∂x 2
n
Với mỗi p ( x1 , x 2 ,..., x n +1 ) ∈ S thì tồn tại i ∈ { 1,2,...,n + 1} sao cho x i ≠ 0 , do đó

n p ≠ 0, ∀p ∈ Sn . Vậy theo Định lí 1.3.8, suy ra Sn là định hướng được. □

§2. PHÉP ĐẲNG CỰ CẦU
2.1 Phép đẳng cự
2.1.1 Định nghĩa. Ánh xạ φ : X → Y giữa hai không gian metric gọi là
bảo toàn khoảng cách nếu và chỉ nếu d Y ( φ(x), φ(y) ) = d X ( x, y ) với mọi x, y ∈ X
.
Nhận xét: Ánh xạ φ : X → Y bảo toàn khoảng cách giữa hai không gian
metric là một đơn ánh, liên tục.
2.1.2 Định nghĩa. Song ánh φ : X → Y gọi là phép đẳng cự giữa hai
không gian metric X và Y nếu nó là một ánh xạ bảo toàn khoảng cách.
Ta có nghịch ảnh của một phép đẳng cự là một phép đẳng cự và tích của
hai phép đẳng cự là phép đẳng cự. Hai không gian metric X, Y được gọi là đẳng
cự nếu có một phép đẳng cự φ : X → Y . Tập hợp các phép đẳng cự từ không gian
metric X vào chính nó tạo thành một nhóm I(X) và được gọi là nhóm các đẳng
cự của X. Một phép đẳng cự từ En vào chính nó gọi là phép đẳng cự Ơclit.
Ví dụ: Cho a là một điểm của E n. Hàm Ta: ¡

n

® ¡ n , xác định bởi

Ta ( x ) = a + x được gọi là một phép tịnh tiến của ¡ n theo a.
Dễ thấy Ta là một song ánh với ánh xạ nghịch T– a và
Ta (x) − Ta (y) = (x + a) − (y + a) = x − y .
Do đó Ta là một phép đẳng cự trong En.
2.2 Phép biến đổi trực giao


12

2.2.1 Định nghĩa. Một hàm f : ¡

n+1

®¡

n+1

giao nếu và chỉ nếu: φ(x).φ(y) = x.y với mọi x,y Î ¡
Ví dụ: Phép đối xứng xuyên tâm α của ¡

n+1

gọi là phép biến đổi trực
n+1

.

, xác định bởi a ( x ) =- x, là một

phép biến đổi trực giao, vì a ( x ) .a ( y) = ( - x ) .( - y) = x.y, " x, y Î ¡
2.2.2 Định nghĩa. Cơ sở

{ v1 , v2 ,..., v n +1}

của ¡

n+1

n +1

.

gọi là cơ sở trực

chuẩn nếu vi v j = δij , ∀i, j .
2.2.3 Định lí. Hàm f : ¡

n +1

®¡

n +1

là một phép biến đổi trực giao nếu

và chỉ nếu nó là một ánh xạ tuyến tính và nó biến một cơ sở trực chuẩn của ¡
thành một cơ sở trực chuẩn của ¡

n+1

n+1

.

Chứng minh
Điều kiện đủ: Giả sử rằng f : ¡

{ e1 , e2 ,..., en+1 }

và

( e ) = ee

ff( ei )

j

i j

Ta lại có ff( e1) ,
n +1

å c f ( e ) = 0.
i =1

i

i

là

hệ

cơ

n +1

sở

®¡

n +1

trực

là một phép biến đổi trực giao

chuẩn

của

¡

n+1

.

Khi

đó

= dij .

( e ) ,..., f ( e )
2

n +1

là độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử rằng

Nhân vô hướng hai vế của đẳng thức này với f ( ej ) ta được

c j = 0 với mọi j = 1, 2, …, n+1.

{

Vậy ff( e1) ,
Lấy

( e ) ,..., f ( e ) }
2

n +1

x ( x1,x2,..., xn+1) Î ¡
n +1

{

n+1

f ( x ) = å cif ( ei ) . Vì ff( e1) ,
i=1

¡

n+1

, nên ta có c j =ff( x )

là hệ cơ sở trực chuẩn của của ¡

n+1

.

, khi đó có các số thực c 1, c2, …, cn+1 sao cho

( e ) ,..., f ( e ) }
2

( e j ) = xe j = x j .

n +1

là hệ cơ sở trực chuẩn của của


13

n +1
æn+1
ö
÷
ç
Do đó f ç
å x iei ø÷
÷= å x if ( ei ) . Vì vậy f là tuyến tính.
ç
èi=1
i=1

Điều kiện cần: Giả sử f : ¡
sở trực chuẩn

n +1

{ e1 , e2 ,..., en+1 }

®¡

n +1

là ánh xạ tuyến tính và biến hệ cơ

n+1

thành hệ cơ sở trực chuẩn

của ¡

{ ff( e ) , ( e ) ,..., f ( e ) } . Khi đó
1

2

n +1

æn+1
ö
æn+1
ö
ç
÷
ç
÷
ff( x ) ( y) = ffçå x iei ÷
y je j ÷
ç
å
÷
÷
ç
ç i=1
÷
è
ø ç
è j=1
ø
æn+1

ö
æn+1
ö
÷
ç
÷
ç
÷
= çå x iff( ei ) ÷
y
e
ç
(
)
å
j
j ÷
÷
ç
ç
÷
èi=1
øç
è j=1
ø
n +1 n +1

=å

å

x i y jff( ei )

( e j)

i=1 j=1

n +1 n +1

=å

å

x i y jdij = x.y .

i=1 j=1

Vậy f là phép biến đổi trực giao. □
2.2.4 Hệ quả. Mọi phép biến đổi trực giao đều là đẳng cự Ơclit.
Chứng minh. Giả sử j : ¡

n+1

®¡

n+1

là phép biến đổi trực giao.

Ta có ϕ ( x ) = ϕ ( x ) .ϕ ( x ) = x.x = x ⇒ ϕ ( x ) = x , ∀x .

2

2

Do đó ϕ ( x ) − ϕ ( y ) = ϕ ( x − y ) = x − y , ∀x, y .
Hơn nữa từ Định lí 2.2.3 ta suy ra j là song ánh.
Vậy ϕ là đẳng cự Ơclit. □
2.2.5 Định nghĩa. Một ma trận A thực cấp n được gọi là ma trận trực
giao nếu ánh xạ tuyến tính tương ứng A: ¡

n

® ¡ n , A(x) = Ax, là ánh xạ trực

giao.
Tập hợp các ma trận trực giao cấp n cùng với phép nhân ma trận tạo thành
một nhóm O(n), gọi là nhóm ma trận trực giao.


14
2.3 Phép đẳng cự cầu
2.3.1 Định nghĩa. Phép đẳng cự từ Sn vào chính nó được gọi là phép
đẳng cự cầu.
Ví dụ: Phép đối xứng xuyên tâm α của Sn, xác định bởi α ( x ) = − x là một
phép đẳng cự cầu.
Theo Mệnh đề 1.2.3 ta có d E ( x, y) = d E ( x ', y') Û dS ( x, y ) = d S ( x ', y') nên
hàm φ :Sn → Sn là một phép đẳng cự trên Sn với metric dS khi và chỉ khi nó là
một phép đẳng cự trên Sn với metric dE.
2.3.2 Định lý. Mọi phép biến đổi trực giao của ¡

n+1

hạn chế thành một

phép đẳng cự trên Sn và ngược lại mọi phép đẳng cự của Sn đều mở rộng duy
nhất thành một phép biến đổi trực giao trên ¡

n+1

.

Chứng minh
Từ định nghĩa dS suy ra mỗi phép biến đổi trực giao của ¡

n+1

thu hẹp trên

Sn là một phép đẳng cự trên Sn.
Ngược lại, giả sử φ : Sn → Sn là một phép đẳng cự trên Sn. Khi đó nó cơ
sở trực chuẩn

{ e1 , e 2 ,..., e n+1 }

'
'
'
chuẩn { e1 , e 2 ,..., e n +1 } của ¡

n+1

của ¡

n+1

, ei ∈ S n ,i = 1,n + 1 thành cơ sở trực

, ei' ∈ S n ,i = 1,n + 1 . Xét ánh xạ f : ¡

n+1

®¡

n+1

xác định bởi f ( ei ) = ei' , " i =1,n +1 . Dễ thấy f là mở rộng duy nhất của φ . □
2.3.3 Hệ quả. Nhóm đẳng cự cầu I(S n) đẳng cấu với nhóm trực giao
O(n+1).
§3. TRẮC ĐỊA CẦU
3.1 Đường trắc địa
3.1.1 Định nghĩa. Một đường cong trong không gian X là một hàm liên
tục γ : [ a, b ] → X , ở đây [ a, b ] là một khoảng đóng trong ¡ , a < b.


15
Cho γ : [ a, b ] → X là một đường cong, ta gọi γ ( a ) là điểm đầu, γ ( b ) là
điểm cuối của đường cong. Ta cũng nói γ là một đường cong trong X đi từ γ ( a )
đến γ ( b ) .
3.1.2 Định nghĩa. Cung trắc địa trong không gian metric X là một hàm
bảo toàn khoảng cách a : [ a,b ] ® X , với a, b Î ¡ , a < b.

Nhận xét: Cung trắc địa a : [ a,b ] ® X là một hàm đơn ánh và liên tục nên
nó cũng là một đường cong.
3.1.3 Ví dụ. Cho x và y là hai điểm phân biệt trong không gian Ơclit E n.
y−x
n
Hàm α : 0, x − y  → E xác định bởi: α ( s ) = x + s.
là một cung trắc địa
y−x
trong En từ x đến y. Thật vậy:
+ Dễ thấy α là một hàm liên tục
α ( 0 ) = x,
α( y − x ) = x + y − x .

y−x
= y.
y−x

+ Với ∀s, t ∈ 0, y − x  ta có:
α ( s ) − α ( t ) = s.

y−x
y−x
y−x
y−x
− t.
= ( s − t) .
= s−t
= s−t.
y−x
y−x

y−x
y−x

Vậy α là một cung trắc địa trong En từ x đến y.
n
3.1.4 Định lí. Cho x, y ∈ En, x khác y và α : [ a,b ] → E là một đường

cong từ x đến y. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
i)

Đường cong α là một cung trắc địa.

ii)

Đường cong α có phương trình: α ( t ) = x + ( t − a ) .

y−x
.
y−x

n
iii) Đường cong α có đạo hàm hằng α ' : [ a,b ] → E với chuẩn bằng 1.

Chứng minh


16
i) => ii) Giả sử α là cung trắc địa và đặt l = b – a. Ta xây dựng đường
n
cong b: [ 0; l ] ® E , s a b(s) = a ( a + s ) - x . Khi đó β là cung trắc địa sao

cho β ( 0) = 0 và b( s) = s, " s Î [ 0; l ]. Do đó:

β ( s ) − β (l ) = ( s − l ) ⇔ β ( s ).β (l ) = s.l = β ( s ) . β (l ) ⇒ cos( β ( s ), β (l ) ) = 1.
2

2

Suy ra β ( s ), β (l ) là phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy có một số k ≥ 0 sao cho

β ( s ) = kβ ( l ) (*). Lấy chuẩn hai vế của (*) ta được
β ( s ) = kβ ( l ) ⇔ s = kl ⇔ k = s.l −1.
s
Do đó β ( s ) = β ( l ) .
l
Đặt t = a + s, ta có β (t − a) =
Từ đó β (t − a ) =

t −a
t−a
β (l ) =
β (b − a ) và β (t − a) = α (t ) − x
l
b−a

t−a
t−a
(α (b) − x ) = (t − a) y − x .
β (b − a) =
b−a

b−a
y−x

Do đó α (t ) − x = (t − a)

y−x
y−x
⇔ α (t ) = x + (t − a )
.
y−x
y−x

ii) => iii) Giả sử đường cong α thoả mãn: α ( t ) = x + ( t − a ) .
Khi đó α ' (t ) =

y−x
.
y−x

y−x
là hằng số và α ' ( t ) = 1.
y−x

iii) => i) Giả sử ta có iii)
Do α : [ a, b] → E n có đạo hàm hằng nên α ' (t ) = α ' (a), ∀t ∈ [ a, b] (**).
Lấy tích phân cả hai vế của (**) từ a đến t ta được α (t ) − α (a) = α ' (a)(t − a).
Tương tự với s ∈ [ a, b] , ta có α ( s ) − α (a ) = α ' (a )( s − a).
Từ đó, với mọi s, t ∈ [ a, b] , ta có

α (t ) − α ( s ) = α ' ( a)(t − s ) = α ' (a) t − s =| t − s | .

Vì vậy α là cung trắc địa. □


17
3.1.5 Định nghĩa. Đoạn trắc địa nối x đến y trong không gian metric X là
ảnh của một cung trắc địa α : [ a,b ] → X mà điểm đầu là x và điểm cuối là y.
Cho x, y là hai điểm phân biệt trong E n, đoạn thẳng trong En nối x và y
được định nghĩa là tập hợp: { x + t(y − x) : 0 ≤ t ≤ 1} .
3.1.6 Hệ quả. Đoạn trắc địa của En là đoạn thẳng.
3.1.7 Định lí. Cho [ x, y ] , [ y,z ] tương ứng là hai đoạn trắc địa nối x với
y và nối y với z trong không gian metric X. Khi đó tập hợp [ x, y ] ∪ [ y,z ] là một
đoạn trắc địa nối x với z khi và chỉ khi d ( x,z ) = d ( x, y ) + d ( y,z ) .
Chứng minh
Nếu

[ x, y] ∪ [ y,z ]

là đoạn trắc địa nối x với z thì hiển nhiên

d ( x,z ) = d ( x, y ) + d ( y,z ) .
Ngược lại, giả sử đẳng thức d ( x,z ) = d ( x, y ) + d ( y,z ) thỏa mãn. Gọi
a : [ a,b ] ® X , b: [ b,c ] ® X tương ứng là các cung trắc địa từ x đến y và từ y đến
z trong X.
α ( t ) , khi a ≤ t ≤ b
Ta xác định ánh xạ γ : [ a,c ] → X , γ ( t ) = 
.
β ( t ) , khi b ≤ t ≤ c
Giả sử rằng a ≤ s ≤ t ≤ c .
Nếu t ≤ b , thì d ( γ ( t ) , γ ( s ) ) = d ( α ( t ) , α ( s ) ) = d ( s, t ) = t − s .
Nếu b ≤ s , thì d ( γ ( t ) , γ ( s ) ) = d ( β ( t ) , β ( s ) ) = d ( s, t ) = t − s .

Nếu s < b < t , thì
d ( γ ( t ) , γ ( s) ) ≤ d ( γ ( t ) , γ ( b) ) + d ( γ ( b) , γ ( s) ) = ( t − b) + ( b − s) = t − s .
Hơn nữa d ( γ ( t ) , γ ( s ) ) ≥ d ( γ ( a ) , γ ( c ) ) − d ( γ ( a ) , γ ( s ) ) − d ( γ ( t ) , γ ( c ) )


18
= d ( x,z ) − (s − a) − (c − t)
= d(x, y) + d(y,z) − (c − a) + (t − s)
= (b − a) + (c − b) − (c − a) + (t − s) = t − s.
Do đó d ( γ ( t ) , γ ( s ) ) = t − s.
Như vậy, γ : [ a,c ] → X là cung trắc địa từ x đến z, có ảnh là tập [ x, y ] ∪ [ y,z ] .
Vậy [ x, y ] ∪ [ y,z ] là đoạn trắc địa nối x và z.
3.1.8 Định nghĩa. Ba điểm phân biệt x, y, z trong E n gọi là cộng tuyến,
với y ở giữa x và z, nếu và chỉ nếu y nằm trên đoạn thẳng nối x và z.
Khi đó, từ Định lí 3.1.7 ta dễ dàng suy ra hệ quả:
Hệ quả. Ba điểm phân biệt x, y, z trong En gọi là cộng tuyến, với y ở giữa x
và z, nếu và chỉ nếu x - z = x - y + y - z .
3.1.9 Định nghĩa. Một hàm f : X ® Y giữa hai không gian metric được
gọi là bảo toàn khoảng cách địa phương nếu với mỗi điểm a trong X có một số
thực r > 0 sao cho f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong B( a;r ) .
Hàm f : X ® Y bảo toàn khoảng cách địa phương thì liên tục tại mỗi điểm
thuộc X, do đó nó là hàm liên tục.
3.1.10 Định nghĩa. Một đường trắc địa trong không gian metric X là một
đường cong bảo toàn khoảng cách địa phương g: J ® X .
Nhận xét
+ Các đường trắc địa trong không gian Ơclit En là các đường thẳng.
+ Một cung trắc địa là một đường trắc địa nhưng một đường trắc địa chưa
chắc đã là một cung trắc địa.
3.1.11 Định lí. Một hàm l : ¡ ® E n là một đường trắc địa nếu và chỉ
nếu l (t ) = l (0) + t ( l (1) - l (0)) với mọi t và l ( 1) - l ( 0) =1 .

Chứng minh


19
ĩ ) Gi s hm l : Ă đ E n tha món l (t) = l (0) + t ( l (1) - l (0)) vi
mi t v

l ( 1) - l ( 0) =1 . Khi ú trờn on [ a;b ] è Ă

bt kỡ ta cú

l '(t) = l (1) - l (0) v l '(t) =1 . Do ú theo nh lớ 3.1.4 ta cú l : Ă đ E n l
hm bo ton khong cỏch a phng. Vy l : Ă đ E n l mt ng trc a.
ị ) Gi s l : Ă đ E n l mt ng trc a. Ly t 0 ẻ Ă bt kỡ. Do
l : Ă đ E n l mt ng trc a nờn tn ti s thc r > 0 sao cho trờn on
ựđ E n l
[ t 0 - r; t 0 + r ] thỡ l l hm bo ton khong cỏch, hay l : ộ
ờ
ỳ
ởt0 - r;t0 + rỷ

cung trc a. Do ú theo nh lớ 3.1.4 thỡ l l hm cú o hm hng vi chun
bng 1. Vỡ vy l ( t ) =a +b.t vi a, b ẻ Ă .
Cho t = 0 ị a = l ( 0) , cho t = 1 ị l ( 1) = l ( 0) +b b= l ( 1) - l ( 0) .
M l '( t ) = b nờn l ( 1) - l ( 0) = b = l '( t ) =1 .
Vy l (t) = l (0) + t ( l (1) - l (0)) vi mi t v l ( 1) - l ( 0) =1 .
3.1.12 nh ngha. Mt khụng gian metric X gi l trc a y nu
mi cung trc a a : [ a;b ] đ X u m rng duy nht thnh ng trc a
l :Ă đ X.
Vớ d: Khụng gian clit n chiu En l trc a y .

3.1.13 nh ngha. Mt khụng gian metric X gi l trc a hon ton
nu vi mi cp im phõn bit x, y ca X cú mt ng trc a ca X cha c
x v y.
Vớ d. Khụng gian clit n chiu En l trc a hon ton, vỡ vi hai im
x, y phõn bit ca En thỡ ng thng xy l ng trc a ca En cha c x v y.
3.2 Trc a cu
Cho x, y l hai im phõn bit ca Sn. Nu x, y l c lp tuyn tớnh thỡ
khụng gian sinh bi hai phn t x, y l mt khụng gian con hai chiu V(x, y) ca
Ă

n+1

n
v vỡ vy tp S ( x, y ) = S V ( x, y ) l mt ng trũn ln duy nht ca S n


20
chứa cả x và y. Nếu x, y phụ thuộc tuyến tính thì x = – y , khi n > 1 thì có một tập
đếm được đường tròn lớn của S n chứa cả x và – x, do đó mọi đường tròn lớn của
Sn đã chứa x thì chứa cả – x .
3.2.1 Định nghĩa. Ba điểm x, y, z của Sn gọi là cộng tuyến cầu nếu và chỉ
nếu có một đường tròn lớn của Sn chứa cả x, y, z.
3.2.2 Bổ đề. Nếu x, y, z ∈ Sn và θ ( x, y ) + θ ( y,z ) = θ ( x,z ) thì x, y, z cộng
tuyến cầu.
Chứng minh. Giả sử x, y, z ∈ Sn. Vì không gian con sinh bởi x, y, z trong
¡

n+1

có số chiều lớn nhất bằng 3, nên để thuận lợi cho việc chứng minh ta có thể

giả sử n = 2. Ta có
cos ( θ(x, y) + θ(y,z) )
= cosθ(x, y)cosθ(y,z) − sin θ(x, y)sin θ(y,z)
= (x.y)(y.z) − x × y . y × z
≤ (x.y)(y.z) − ( x × y ) .( y × z )
= (x.y)(y.z) − ( (x.y)(y.z) − (x.z)(y.y) )
= x.z
= cosθ ( x,z ) .
Mà θ ( x, y ) + θ ( y,z ) = θ ( x,z ) nên ( x × y ) .( y × z ) = x × y y × z .
Do đó ( x × y ) , ( y × z ) là phụ thuộc tuyến tính. Từ đó ( x × y ) × ( y × z ) = 0 .
Mà ( x × y ) × ( y × z ) = ( x.( y × z ) ) y − ( y. ( y × z ) ) x = ( x. ( y × z ) ) y.
Vì y ≠ 0 nên x.( y × z ) = 0 . Do đó x, y, z là phụ thuộc tuyến tính hay x, y, z nằm
trong không gian véc tơ con hai chiều của ¡

n+1

.

Vậy x, y, z là cộng tuyến cầu. 
n
3.2.3 Định lí. Cho α : [ a,b ] → S là một đường cong với b − a < π . Khi đó

các khẳng định sau là tương đương:
i)

Đường cong α là một cung trắc địa.

ii)

Có cặp véc tơ trực giao (x, y) trong Sn thoả mãn:


21
α ( t ) = ( cos(t − a) ) x + ( sin(t − a) ) y
iii) Đường cong α có phương trình vi phân: α "+ α = 0 .
Chứng minh
Với A là một phép biến đổi trực giao của ¡

. Khi đó ta có ( Aα ) ' = Aα ' .

n+1

Do đó đường cong α thoả mãn iii) khi và chỉ khi đường cong Aα cũng thoả
mãn iii). Từ đó ta có thể tác động α bởi một phép biến đổi trực giao.
Để chứng minh định lí ta chứng minh i) ⇔ ii) và ii) ⇔ iii) .
a) Chứng minh i) ⇔ ii)
i) ⇒ ii) Giả sử α là một cung trắc địa. Lấy t ∈ [ a, b ] , ta có

θ ( α (a ),α (b) ) = b − a = ( t − a ) + ( t − b ) =θ ( α (a ),α (t ) ) + θ ( α (t ),α (b) )
Theo Bổ đề 3.2.2 ta có α (a ), α (b), α (t ) là cộng tuyến cầu.
Vì θ ( α (a ),α (b) ) = b − a < π , nên α (a ), α (b) không xuyên tâm đối. Từ đó

α (a ), α (b) nằm trên một đường tròn lớn duy nhất S của S n. Do đó ảnh của α
cũng chứa trong S. Từ đó ta có thể giả sử n = 1. Bằng công thức của phép quay
 cos s − sins 
 sins cos s ÷ ta có thể quay α (a ) đến e1, vì vậy ta có thể giả sử α (a ) = e1.


Khi đó

e1.α (t ) = α ( a).α (t ) = cosθ ( α (a ),α (t ) ) = cos(t - a) .

2
2
Mà ( e1.α (t ) ) + ( e2 .α (t ) ) = 1 , nên e2 .α (t ) = ± sin (t - a) , vì α liên tục và b − a < π

nên dấu + hay dấu – của phương trình luôn đúng với mọi t ∈ [ a, b ] .
Từ đó ta có thể giả sử rằng α ( t ) = ( cos(t − a )e1 + sin(t − a )(±e2 ) ) hay ta có ii)
Vậy có cặp véc tơ trực giao x, y trong Sn thoả mãn:
α ( t ) = ( cos(t − a) ) x + ( sin(t − a) ) y .
ii ) ⇒ i ) Giả sử có cặp véc tơ trực giao x, y trong Sn thoả mãn:
α ( t ) = ( cos(t − a) ) x + ( sin(t − a) ) y .
Lấy s, t sao cho a ≤ s ≤ t ≤ b . Khi đó ta có


22
cosθ ( α ( s ),α (t ) ) = α ( s ).α (t )

= cos ( s − a ) cos ( t − a ) + sin ( s − a ) sin ( t − a )
= cos ( (t − a) − (t − s ) )
= cos ( t − s ) .

Vì t − s < π nên θ ( α ( s ),α (t ) ) = t − s hay d S ( α ( s ),α (t ) ) = t − s .
Vậy α là một cung trắc địa.
b) Chứng minh iii ) ⇔ ii )
ii ) ⇒ iii ) Hiển nhiên.
iii ) ⇒ ii ) Đường cong α có phương trình vi phân: α "+ α = 0 .
Khi

đó

α ( t ) = cos ( t − a ) α ( a ) + sin ( t − a ) α ' ( a ) .

Vì

α : [ a,b ] → Sn

nên

α ( t ) = 1, ∀t ∈ [ a, b ] nên α ( t ) .α ( t ) = 1 . Lấy vi phân hai vế phương trình này ta
được α ' ( t ) .α ( t ) = 0 . Do đó α ' ( t ) , α ( t ) trực giao với ∀t ∈ [ a, b ] . Suy ra

α ' ( a ) , α ( a ) trực giao. Vì vậy ( α ( t ) ) = cos 2 ( t − a ) + sin 2 ( t − a ) ( α ' ( a ) ) .
2

2

n
Vì α ( t ) = 1, ∀t ∈ [ a, b ] nên ta có α ' ( a ) = 1 hay α ' ( a ) ∈ S . Vậy ta có ii). 

3.2.4 Định lí. Một hàm l : ¡ ® Sn là một đường trắc địa nếu và chỉ nếu
có các véc tơ trực giao x, y trong Sn sao cho: λ ( t ) = ( cos t ) x + ( sin t ) y .
Chứng minh
Giả sử có các véc tơ trực giao x, y trong S n sao cho: λ(t) = (cos t)x +
(sin t)y. Khi đó ta có λ’(t) = – (sin t)x + (cos t)y, λ”(t) = – (cos t)x – (sin t)y. Do
đó λ thoả mãn phương trình vi phân λ” + λ = 0. Vì vậy theo Định lý 3.2.3, giới
hạn của λ trong đoạn [a, b] bất kì, với a < b, là cung trắc địa. Vì vậy λ là một
đường trắc địa.
Ngược lại, giả sử rằng λ là một đường trắc địa trên S n. Khi đó theo

Định lý 3.2.3, hàm số λ thoả mãn phương trình vi phân λ ’’ + λ = 0. Do đó


23
λ(t) = (cos t)λ(0) + (sin t)λ’(0). Lập luận tương tự như trong phần chứng minh
của Định lý 3.2.3 chỉ ra rằng λ(0), λ’(0) là các véc tơ trực giao trong Sn. 
3.2.5 Hệ quả. Các đường trắc địa của Sn là các đường tròn lớn của nó.
Chứng minh
Lấy hai véc tơ trực giao x, y bất kì trong S n. Khi đó theo Định lí 3.2.4 các
đường trắc địa trên mặt cầu Sn là l : ¡ ® Sn với λ ( t ) = ( cos t ) x + ( sin t ) y . Suy
ra λ ( t ) thuộc không gian hai chiều sinh bởi hai véc tơ x và y. Vậy l là giao của
giao của Sn và một không gian con hai chiều của ¡

n+1

, hay l là đường tròn lớn

của Sn.
Ngược lại, cho S là đường đường tròn lớn của S n. Theo phần chứng minh
Định lý 3.2.3, ta có thể giả sử rằng n = 1. Khi đó S = S 1 xác định bởi l : ¡ ® S1
với λ(t) = (cos t)e1 + (sin t)e2 . Suy ra λ là đường trắc địa của S 1. Vì vậy S là
đường trắc địa.
Từ hệ quả trên ta suy ra mệnh đề
3.2.6 Mệnh đề. Không gian metric Sn là trắc địa hoàn toàn và trắc địa
đầy đủ.

§4. ĐỘ DÀI CUNG TRÊN MẶT CẦU
4.1 Độ dài cung Ơclit
Cho a, b thuộc R, a < b. Phép phân hoạch P đoạn [a; b] là một dãy hữu hạn
{t0, t1, …, tm } các số thực thoả mãn: a = t 0 < t1 < …< tm = b. Chuẩn của phép

phân hoạch P là số thực P = max { t i − t i−1 : i = 1, 2,..., m} .
Ta kí hiệu ℘[ a,b ] là tập hợp các phép phân hoạch của đoạn [a, b]. Với
P,Q ∈℘[ a,b ] , ta nói Q mịn hơn P khi và chỉ khi mỗi số hạng của P đều là số


24
hạng của Q. Ta định nghĩa sự sắp thứ tự trên ℘[ a,b ] như sau: Q ≤ P ⇔ Q mịn
hơn P.
Cho γ : [ a,b ] → X là một đường cong của không gian metric X và đặt
P = { t 0 , t1 ,...., t m } ∈℘[ a,b ] . Độ dài P-nội tiếp của γ được định nghĩa là:
m

l ( γ ,P ) = ∑ d ( γ ( t i−1 ) , γ ( t i ) ) . Khi đó theo bất đẳng thức tam giác dễ thấy nếu
i =1

Q ≤ P thì l ( γ ,P ) ≤ l ( γ,Q ) .
4.1.1 Định

nghĩa.

Độ

dài

của

đường

cong

γ : [ a,b ] → X

là

γ = sup { l( γ ,P) : P ∈℘[ a,b ] } .
4.1.2 Định nghĩa. Đường cong γ : [ a,b ] → X được gọi là cầu trường
được nếu γ < ∞ .
Ví

dụ:

γ : [ a,b ] → X

Cho

là

một

cung

trắc

địa

và

đặt

P = { t 0 , t1 ,...., t m } ∈℘[ a,b ] . Khi đó:

m

m

m

i =1

i =1

i =1

l ( γ ,P ) = ∑ d ( γ ( t i−1 ) , γ ( t i ) ) = ∑ t i − t i −1 = ∑ ( t i − t i−1 ) = b − a < ∞ .
Do đó γ có độ dài đo được và γ = d ( γ ( b ) − γ ( a ) ) = b − a.
4.1.3 Định lí. Cho γ : [ a,c ] → X là một cung, b ∈ ( a,c ) và α : [ a,b ] → X,
β : [ b,c ] → X là các hạn chế của γ trên các đoạn [a, b] và [b, c]. Khi đó ta có:
γ = α + β . Hơn nữa γ cầu trường được khi và chỉ khi α, β cũng cầu trường
được.
Chứng minh
Giả sử P ∈℘[ a,b ] và Q ∈℘[ b,c] . Khi đó P ∪ Q ∈℘[ a,c ] và
l ( α , P ) + l ( β ,Q ) = l ( γ , P ∪ Q ) .
Do đó ta có α + β ≤ γ .


25
Hơn nữa, giả sử R ∈℘[ a,c ] . Khi đó R ' = ( R ∪ { b} ) ∈℘[ a,c ]

và

R ' = P ∪ Q với P ∈℘[ a,b ] và Q ∈℘[ b,c] .

Ta

có

l ( γ , R ) ≤ l ( γ , R ') = l ( α , P ) + l ( β , Q ) .

Do

đó

γ ≤α +β .

Vậy

γ = α + β . Ngoài ra γ cầu trường được khi và chỉ khi α, β cũng cầu trường
được.
4.1.4 Định nghĩa: Một C1- đường cong trong En là đường cong
γ : [ a; b ] → E n khả vi liên tục trên đoạn [a; b].
n
4.1.5 Định lí: Nếu γ : [ a,b ] → E là C1- đường cong thì γ là cầu trường

b

được và độ dài của γ được cho bởi công thức γ = ∫ γ ' ( t ) dt .
a

Chứng minh
Cho P = { t 0 , t1 ,...., t m } ∈℘[ a,b ] . Khi đó, ta có
m

m ti −1

m ti −1

b

i =1

i =1

i =1 ti

a

l ( γ , P ) = ∑ γ ( ti ) − γ ( ti −1 ) = ∑

∫ γ '( t ) dt ≤ ∑ ∫ γ '( t ) dt = ∫ γ '( t ) dt .
ti

b

Do đó γ cầu trường được và γ ≤ ∫ γ ' ( t ) dt .
a

Khi a ≤ c ≤ d ≤ b , đặt γ c ,d là hạn chế của γ trên [c, d]. Xác định hàm
t

λ , µ : [ a, b ] → R bởi λ ( a ) = 0, λ ( t ) = γ a , t nếu t > a, và µ (t ) = ∫ γ ' ( r ) dr . Khi đó
a

ta có µ '(t ) = γ ' ( t ) .
Giả sử rằng a ≤ t < t + h ≤ b . Khi đó theo Định lí 4.1.3 ta có

γ ( t + h ) − γ ( t ) ≤ γ t , t+h = λ ( t + h ) − λ ( t ) .

γ ( t + h ) − γ ( t ) λ ( t + h ) − λ ( t ) 1 t +h
µ ( t + h) − µ ( t )
≤
≤ ∫ γ ' ( r ) dr =
Do đó
.
h
h
h t
h