Công thức baker campbell hausdorff trong lý thuyết lie luận văn thạc sỹ toán học

1
Bộ giáo dục và đào tạo
trờng đại học vinh

Hoàng đức viƯt

C«ng thøc Baker – Campbell – Hausdorff
Trong lý thut lie

Ln văn Thạc sĩ

Ngời hớng dẫn:

PGS. TS Nguyễn Việt Hải

Vinh 2011


2

Mục Lục
MụC Lục................................................................................................................1
Lời nói đầu..........................................................................................................2

Chơng I. Đại số Lie - Toán tử ad
Đ1. Nhóm Lie ma trận.......................................................................................5
Đ2. Đại số Lie ma trận. .11
Đ3. Đại số Lie tổng quát. Đồng cấu, đẳng cấu, toán tử ad.............................14
Chơng II. Công thức BCH - Các trờng hợp đặc biệt
Đ1. Công thức BCH - Chuỗi Hausdorff log(e x e y ) ..........................................18
Đ2. Công thức BCH cho một số đại số Lie cụ thể...........................................20

Đ3. Một số tính chất của chuỗi Hausdorff......................................................25

Chơng III. Công thức BCH tổng quát
Đ1. Công thức BCH dạng tích phân.................................................................30
Đ2. Công thức BCH dạng chuỗi...32
Đ3. Công thức BCH ẩn trong phơng trình vi phân...........................................34

Kết luận..39
Tài liệu tham khảo.....................................................................................40


3

Lời nói đầu
I. Lí do chọn đề tài
Công thức Baker Campbell Hausdorff (BCH) là công thức rất quan
trọng và cơ bản trong Đại số Lie và nhóm Lie trong hình học không giao hoán.
Công thức BCH cho mối quan hệ tự nhiên giữa nhóm Lie và đại số Lie, công thức
do ba nhà toán học Baker, Campbell, Hausdorff tìm ra một cách đồng thời. Công
thức BCH còn có thể gọi tắt là chuỗi Hausdorff. Về mặt lịch sử chuỗi Hausdorff
H = log ( e X eY ) đợc sử dụng để xác định một quy tắc nhân trong nhóm Lie ứng

với một đại số Lie cho trớc, công thức này thể hiện đặc trng của hình học không
giao hoán, ai muốn nghiên cứu về nhóm Lie và Đại số Lie đều phải biết về công
thức BCH. Tất cả các sách về lý thuyết Lie đều viết về công thức BCH nhng rất ít
chứng minh vì chứng minh công thức BCH rất phức tạp, ta thờng chứng minh công
thức cho một số trờng hợp cụ thể, sử dụng các tính chất của số Phức. Điểm mới
của luận văn là xem chuỗi này là nghiệm của một phơng trình vi phân.
Với bản thân em khi học học phần này ban đầu cũng cảm thấy khó khăn.
Qua sự giúp đỡ của thầy cô, bạn bè và qua tài liệu, giáo trình em đà hiểu kĩ hơn và

thấy say mê khi tìm hiểu công thức BCH trong Đại số Lie. Công thức BCH và một
số tính chất của chuỗi Hausdorff đà đợc trình bày trong giáo trình tuy nhiên trong
quá trình học tập em vẫn cha đợc học sâu về phần này. Vừa để thoả mÃn niềm say
mê của bản thân cũng nh giúp các bạn sinh viên ở các trờng Đại học có cái nhìn
sâu sắc về Nhóm Lie và Đại số Lie, em đà chọn đề tài: Công thức Baker
Campbell Hausdorff trong lý thuyết Lie làm luận văn tốt nghiệp của mình,
trong đó đa ra các dạng của công thức BCH, phát biểu một số tính chất liên quan,
và đặc biệt là xác định một phơng trình vi phân nhận chuỗi đó làm nghiệm.
II. Mục đích, yêu cầu:
Đề tài đi sâu nghiên cứu các vấn đề sau:


4
- Giới thiệu công thức BCH trong nhóm Lie và Đại số Lie, đa ra một cách
chứng minh công thức BCH dựa vào số phức.
X Y
- Phát biểu và chứng minh các tính chất của chuỗi Hausdorff log ( e e )

- Tìm công thức BCH ở các nhóm Lie đặc biệt
- Chứng minh công thức BCH ẩn trong phơng trình vi phân.
Mục đích chính của đề tài là tạo ra một tài liệu tơng đối hoàn chỉnh về công
thức BCH trong đại số Lie, phơng pháp chứng minhvà các tính chất của chuỗi
Hausdorff giúp các bạn Sinh viên, Học viên chuyên ngành Toán làm tài liệu học
tập và nghiên cứu.
III. Bố cục, nội dung đề tài
Đề tài gồm 3 chơng, trong mỗi chơng lại đợc chia thành các phần nhỏ với
bố cục nh sau:
Chơng I. Đại số Lie. Toán tử ad
Đ1. Nhóm Lie ma trận
Đ2. Đại số Lie ma trận

Đ3. Đại số Lie tổng quát. Đồng cấu, đẳng cấu, toán tử ad
Chơng II. Công thức BCH. Các trờng hợp đặc biệt
Đ1. Công thức BCH. Chuỗi Hausdorff log(e x e y )
Đ2. Công thức BCH cho một số đại số Lie cụ thể
Đ3. Một số tính chất của chuỗi Hausdorff
Chơng III. Công thức BCH tổng quát
Đ1. Công thức BCH dạng tích phân
Đ2. Công thức BCH dạng chuỗi
Đ3. Công thức BCH ẩn trong phơng trình vi phân
Trong giáo trình Đại số Lie đà đa ra cách chứng minh công thức BCH cùng
các tính chất của chuỗi Hausdorff nhng tính chất còn ít và cha chứng minh cặn kẽ.
Trong luận văn này em đà su tầm bổ sung các tính chất và chøng minh chi tiÕt,


5
luận văn còn nêu lên Công thức BCH dới dạng đợc nén trong phơng trình vi phân
và một số ứng dụng .
Thực hiện đề tài này, tác giả luận văn đà nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp và
sự quan tâm giúp đỡ từ thầy cô, gia đình, bạn bè.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Khoa Toán-Tin trờng Đại học
Vinh và Đại học Hải Phòng đà truyền đạt cho em những kiến thức quý báu, đặc
biệt xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với Thầy giáo, Phó giáo s, Tiến Sĩ
Nguyễn Việt Hải ngời đà tận tình hớng dẫn, chỉ bảo, dẫn dắt em trên con đờng
nghiên cứu khoa học.
Trong quá trình thực hiện đề tài của mình em đà cố gắng học tập và nghiên
cứu song chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong đợc sự chỉ bảo
và giúp đỡ của thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Tác giả

Hoàng Đức Việt


6
Chơng I

đại số Lie - Toán tử ad
Đ1 Nhóm Lie ma trận
1.1. Nhóm Lie
1.1.1. Định nghĩa: Nhóm Lie G là một đa tạp ( khả vi lớp C k ) đồng thời là một
nhóm sao cho ánh xạ tích ( x, y ) a x y và ánh xạ lấy phần tử ngịch đảo
x a x 1 đều khả vi lớp C k .
1.1.2. Định lý:
Cho GL(n, Ă ) là tập các ma trận khả nghịch cấp n, phần tử thực. Khi đó
GL(n, Ă ) là một nhóm Lie.
Chứng minh
- Ta chøng minh GL(n, ¡ ) cã cÊu tróc đa tạp khả vi. Thật vậy:
Với (aij ) ẻ GL( n, Ă ) , đặt xi + n ( j- 1) = aij
ánh xạ (aij ) a ( xk ) là một đơn ánh từ GL(n, Ă ) vào Ă
Ta ®· nhóng GL(n, ¡ ) vµo ¡

n2

n2

.

nghÜa lµ GL(n, ¡ ) là một tập con của Ă

Xét hàm định thức det : GL( n, Ă ) è Ă

n2

n2

đ Ă là hàm đa thức nhiều biến

khả vi vô hạn lần.
Suy ra GL(n, ¡ ) @det - 1 ( ¡ * ) víi ¡ * = ¡ \ { 0}
VËy GL(n, ¡ ) là tập con mở của Ă

n2

nên GL(n, Ă ) là một đa tạp khả vi.

- Kiểm tra hai phép toán trên GL(n, Ă )
Giả sử (aij ),(bij ) ẻ GL(n, ¡ ) ta cã:
n

PhÐp nh©n: (aij ).(bij ) = (ồ aik bkj ) là ma trận với các phần tử là đa thức
k =1

nên phép nhân khả vi.


7
- 1
Phép lấy nghịch đảo: (aij ) = (cij ) với cij =

1

(- 1)i+ j det Aij là đa
det( aij )

thức nên phép lấy nghịch đảo khả vi.
Vậy GL(n, Ă ) là một nhóm Lie.
1.1.3. Định lý . GL(n, Ê ) cịng lµ mét nhãm Lie
1.2. Nhãm Lie ma trËn.
1.2.1. Định nghĩa Cho G là tập con của GL(n, Ê ) . Khi đó G là nhóm Lie con
của GL(n, £ ) nÕu d·y c¸c ma trËn A1 , A2 ,..., An ,... trong G héi tơ vỊ A th× A ẻ G .
Đây là trờng hợp riêng, đợc gọi là nhóm Lie ma trận.
Định nghĩa này (thực ra là hệ quả của định nghĩa trên về nhóm Lie) cho ta cách
kiểm tra nhóm Lie đơn giản hơn.
Ví dụ:
ỡ
ù
ù
ù
Cho tập H 3 = ù
ớ
ù
ù
ù
ù
ợ

ỹ
ổ a bử
ù
ữ
ù

ỗ1
ữ
ỗ
ù
ỗ0 1 cữa, b, c ẻ Ă ù
ữ
|
ý
ỗ
ữ
ỗ
ù
ỗ0 0 1ữ
ữ
ù
ữ
ỗ
ù
ố
ứ
ù
ỵ

Tập H 3 gọi là nhóm Heisenberg
H 3 lµ mét nhãm Lie ma trËn, thËt vËy:
ỉ a bữ
ử
ỗ1
ữ
ỗ

ữ
=
+ Có H 3 è GL(3, Ê ) do det ỗ0 1 cữ 1 ạ 0
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ0 0 1ữ
ữ
ỗ
ố
ứ
ổ a1 b1 ử
ổ a2
ữ
ỗ1
ỗ1
ữ
ỗ
ữ B = ỗ0 1
ỗ
,
Gia sử A = ç0 1 c1 ÷
ç
ç
÷
ç
ç
÷
ç0 0 1 ÷

ç0
÷
ç
ç
è
ø
è 0

b2 ư
÷
÷
÷
c2 ÷ H 3
ẻ
ữ
ữ
ữ
ữ
1ứ

Khi đó:

ổ a1 + a2 b1 + a1c2 + b2 ử
ữ
ỗ1
ữ
ỗ
ỗ0
ữ
A.B =ỗ

1
c1 + c2 ữ H 3
ẻ
ữ
ỗ
ữ
ỗ0
ữ
ữ
ỗ
0
1
ố
ứ
ổ - a1 a1c1 - b1 ử
ữ
ỗ1
ữ
ỗ
- 1
ỗ0 1
ữ
A =ỗ
- c1 ữ H 3
ẻ
ữ
ỗ
ữ
ỗ0 0
ữ

ữ
ỗ
1 ứ
ố


8
Nên H 3 là một nhóm con của GL(n, Ê ) .
ổ ai
ỗ1
ỗ
+ Lấy Ai =ỗ0 1
ỗ
ỗ
ỗ0 0
ỗ
ố
ổ ai
ỗ1
ỗ
Khi đó lim Ai = ilim ỗ0 1
ỗ
i đƠ
đƠ ỗ
ỗ0 0
ỗ
ố

bi ử
ữ

ữ
ữ
ci ÷ H 3 víi i = 1,2,..n,...
Ỵ
÷
÷
÷
÷
1ø
bi ư ỉ a bử
ữ ỗ1
ữ
ữỗ
ữ ỗ0 1 gữ H
ữ
ữ 3
ci ữ ỗ
=
ẻ
ữỗ
ữ
ữỗ
ữ
ữ ỗ0
ữ
ữ
ữ
1 ø è 0 1ø

víi lim ai = a , ilim bi = b, ilim ci = g

i đƠ
đƠ
đƠ
Vậy H 3 lµ mét nhãm Lie ma trËn.
1.2.2. Mét sè nhãm Lie ma trận
1.2.2.1. Nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n, Ă ) và SL(n, Ê )
SL(n, Ă ) ={ A ẻ GL(n, ¡ ) | det A = 1}
SL(n, £ ) ={ A Ỵ GL(n, £ ) | det A = 1}
Nhãm SL(n, ¡ ) lµ nhãm Lie ma trËn, thËt vËy:
+ Cã SL(n, ¡ ) Ì GL ( n, £ ) do víi mäi A Ỵ SL ( n, ¡ ) thì det A = 1 ạ 0
Giả sử A, B Î SL ( n, ¡ ) , khi ®ã det A = det B = 1 vµ
det A.B = det A.det B = 1 ịẻ A.B

SL ( n, Ă )

det A- 1 = 1 ( Do det A. A- 1 = det I = 1 Û det A.det A- 1 = 1 Û det A- 1 = 1 )
Þ A- 1 ẻ SL ( n, Ă )
Nên SL(n, Ă ) lµ mét nhãm con cđa GL ( n, £ ) .
+ LÊy d·y A1 , A2 , A3 ... An Î SL ( n, ¡ ) , ta cã det Ai = 1 víi i = 1,2,..., n .
lim
Gi¶ sư nđƠ An = A , ta chứng minh det A = 1 . Do hàm det là hàm liên tục, khả vi

(

)

lim
lim
lim1
nên det A = det nđƠ An = nđƠ det An = nđƠ = 1 ịẻ A SL ( n, ¡ )

VËy SL(n, ¡ ) lµ mét nhãm Lie ma trËn
Ta cịng cã SL(n, £ ) lµ nhãm Lie ma trận
1.2.2.2. Nhóm trực giao O(n) và trực giao đặc biÖt SO(n)


9
Một ma trận thực cấp n A đợc gọi là ma trận trực giao nếu các vectơ cột
của A là trùc giao, nghÜa lµ
n

∑a a

ij ik

i =1

0 , k ≠ j
= δ jk = 
1, k = j

A lµ ma trận trực giao khi A bảo toàn tích vô hớng
Ax, Ay = x, y
⇔ At A = I
⇔ At = A−1
VËy nÕu A trùc giao th× det A = ±1
SO ( n ) = { A ∈ O ( n ) det A = 1}
Ta cã O ( n ) và SO ( n ) là các nhóm Lie ma trận.
1.2.2.3. Nhóm Unita và nhóm Unita đặc biệt, U ( n ) vµ SU ( n )
A lµ ma trËn phức cấp n, A - Unita nếu các vectơ cột cña A trùc giao theo
nghÜa

n

∑a a
i =1

ij ik

= δ kj

A lµ Uni ta khi

Ax, Ay = x, y

" x, y Î £ n

Û A* A = I
Û A* = A- 1
*
( Lu ý: x, y = ∑ xi yi vµ A* là liên hợp của A , ( a ) ij = a ji )
n

i =1

Vì định thức của A* b»ng det A
⇒ det ( A* A ) = ( det A ) = det I = 1
2

⇒ NÕu A ∈U ( n ) th× det A = ±1
SU ( n ) = { A ∈U ( n ) det A = 1}
Ta cã U ( n ) vµ SU ( n ) là các nhóm Lie ma trận.

1.2.2.4. Nhóm Symplectic Sp ( n, ¡ ) , Sp ( n, £ ) vµ Sp ( n )


10
-Xét dạng song tuyến tính phản xứng B trong Ă

2n

, xác định nh sau:

n

B [ x, y ] = xi yn+1 xn +i yi
i =1

Tập hợp các ma trận A đợc bảo toàn qua B , nghĩa là:
B [ Ax, Ay ] = B [ x, y ]

" x, y ẻ Ă

2n

Tạo thành một nhóm, đó là nhóm symplectic (thùc)
 0
Gäi J = 
 −I

I
lµ ma trËn kÝch thớc 2n ì 2n , với I là ma trận đơn vị.
0ữ

Khi đó B [ x, y ] = x, Jy
A Ỵ Sp ( n, ¡ ) Û At JA = J , suy ra ( det A ) det J = det J ⇔ det A = ±1
2

t
VËy Sp ( n, ¡ ) = { A Ỵ GL ( n, Ă ) A JA = J }

- Xác định dạng song tuyến tính B [ x, y ] trên £ ta cã
Sp ( n, £ ) = { A Î GL ( n, £ ) At JA = J } ,

det A = ±1 " A Ỵ Sp ( n, £ )

Sp ( n) = Sp ( n, £ ) ầ U ( 2n) đợc gọi là nhóm Symplectic compact.
C¸c nhãm Sp ( n, ¡ ) , Sp ( n, Ê ) và Sp ( n ) là các nhóm Lie ma trận.
1.2.2.5 Nhóm biến đổi affin trên đờng th¼ng thùc:
Aff ( ¡ ) = { x a ax + b a, b ẻạ Ă , a

0}

ỡ ổ bử
ỹ
ù a ữ
ù
Aff ( Ă ) @ù ỗ
ữ a, b ẻ Ă , a ạ 0ù
ớỗ
ý
ữ

ù ỗ0 1ữ
ù
ứ
ùố
ù
ợ
ỵ
Nhóm biến đổi Affin trên đờng thẳng thực là nhóm Lie ma trận, thật vËy:
ỉ bư
a ÷
Aff ( ¡ ) Ì GL ( 2, Ă ) do det ỗ
=
ữ aạ 0
+ Có
ỗ
ữ
ỗ0 1ứ
ữ
ố
ổ1 b1 ử
a
ữB = ổ2
ỗa
,
ữ
Giả sử A = ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ0 1 ứ

ỗ
ữ
ố
ố0
ổa
a
A.B = ç 1 2
ç
ç 0
è

b2 ư
÷ Aff ( ¡ ) . Khi đó:
ẻ
ữ
ữ
ữ
1ứ

ử
a1b2 + b1 ữ
ẻ
ữ Aff ( Ă )
ữ
1 ữ
ứ


11

ổ
ỗ1
ỗ
A- 1 = ỗa1
ỗ
ỗ
ỗ0
ỗ
ố

- b1 ử
ữ
ữ
a1 ữ Aff ( Ă )
ẻ
ữ
ữ
ữ
ữ
1 ứ

Nên Aff ( Ă ) là một nhóm con cđa GL ( 2, ¡ )
ỉi bi ư
a
÷ Aff ( Ă ) với i = 1,2,..., n...
ẻ
ữ
+ Lấy Ai = ỗ
ỗ
ữ

ỗ0 1 ứ
ố
ổi bi ử ổ bử
a
ữ ỗa
ữ
=
ữ ỗ
ữ
Khi đó lim Ai = ilim ỗ
ỗ
ữ ố0 1 ứẻ Aff ( Ă )
ữ
ỗ
i đƠ
đƠ ỗ0
ữ
ữ
1ứ
ố
với lim ai = a , lim bi = b
i đƠ

i đƠ

Vậy Aff ( Ă ) là một nhóm Lie ma trận.
1.2.2.6 Nhóm biến đổi Affin trên ®êng th¼ng phøc:
Aff ( £ ) = { x a ax + b a, b ẻạ Ê , a

0}

ỡ ổ bử
ỹ
ù a ữ
ù
Aff ( Ê ) @ù ỗ
ữ a, b ẻ Ê , a ạ 0ù
ớỗ
ý
ữ
ữ
ù ỗ0 1ứ
ù
ùố
ù
ợ
ỵ
Nhóm biến đổi Affin trên đờng thẳng phức là nhóm Lie ma trận.


12

Đ2. Đại số Lie ma trận
2.1. Đại số Lie ma trận
2.1.1. Định nghĩa: Cho G là nhóm Lie ma trận. Đại số Lie của G là tập
tất cả các ma trËn X sao cho etX Ỵ G, " t Ỵ ¡ .
tX
KÝ hiÖu G = LieG ={ X | e Ỵ G , " t Ỵ ¡

}

2.1.2. VÝ dơ:
ì
ï
ï
ï
Cho nhãm Heisenberg H 3 = ù
ớ
ù
ù
ù
ù
ợ

ỹ
ổ a bử
ù
ữ
ù
ỗ1
ữ
ỗ
ù
ỗ0 1 cữa, b, c ẻ Ă ù .
ữ
|
ý
ỗ
ữ
ỗ

ù
ỗ0 0 1ữ
ữ
ù
ữ
ỗ
ù
ố
ứ
ù
ỵ

ỡ ổ a bử
ỹ
ù ỗ0
ù
ữ
ùỗ
ù
ữ
ùỗ
ù
ù 0 0 gữa , b, gẻ Ă ù
ữ
|
Đại số Lie cđa H 3 lµ tËp lieH 3 = h3 = ớ ỗ
ý
ữ
ùỗ
ù

ữ
ù ỗ0 0 0 ứ
ữ
ù
ữ
ỗ
ùố
ù
ù
ù
ợ
ỵ
ổ a bử
ữ
ỗ0
ữ
ỗ
ỗ0 0 gữ lieH 3 . Khi đó:
ữ
ẻ
Thật vậy, ta lấy X = ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ0 0 0 ữ
ữ
ỗ
ố
ứ
0 0

0 0 0
X 2 =  0 0 0 ÷, X 3 = 0 0 0 ữ X là ma trận lũy linh cấp 3.

ữ

ữ
0 0 0 ữ
0 0 0ữ




Do đó:
etX = I + tX +
ổ 0
ỗ1
ỗ
= ỗ0 1
ỗ
ỗ
ỗ0 0
ỗ
ố
ổ
ỗ1 at
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
= ç0 1

ç
ç
ç0 0
ç
ç
ç
è

1 2 2
t X
2

ỉ
ư
ç0 0 ag t 2 ữ
ữ
ỗ
0ử ổ ta t bử ỗ
2 ữ
ữ
ữ ỗ0
ữ ỗ
ữ
ữ ỗ
ữ ç0 0 t g÷ ç0 0
÷ ç
÷
÷ ç
0÷ ç
+

+
0 ÷
÷
÷ ç
÷ ç
÷
÷ ç
÷ ç
÷ è 0 0 ø ç0 0
÷
÷ ỗ0
ữ
ữ
1ứ
0 ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố
ứ
ag 2 ử
bt +
t ữ
ữ
2 ữ
ữ
ữ
ữH

ữ 3
gt
ẻ
ữ
ữ
ữ
ữ
1
ữ
ữ
ữ
ứ


13
2.2. Đại số Lie của một số nhóm Lie ma trận
2.2.1. Đại số Lie của các nhóm GL ( n, ¡ ) vµ GL ( n, £ )
+) GL ( n, ¡ ) = { X det X ¹ 0}
¡
A là ma trận phức thì etA là khả nghịch " t ẻịẻ

etA

GL ( n, Ê )

Suy ra A ẻ LieGL ( n, £ ) . VËy LieGL ( n, £ ) = Mat ( n, £ ) (Ma trËn phøc cÊp n)
+) GL ( n, ¡ ) = { X det X ạ 0}
Ă
A là ma trận thực thì etA là khả nghịch " t ẻịẻ

etA

GL ( n, Ă )

Suy ra A Ỵ LieGL ( n, ¡ ) . VËy LieGL ( n, ¡ ) = Mat ( n, ¡ ) (Ma trận thực cấp n)
2.2.2. Đại số Lie của các nhóm tuyến tính đặc biệt SL ( n, Ê ) vµ SL ( n, ¡

)

SL ( n, £ ) = { A Ỵ Mat ( n, £ ) det A = 1}
det ( e X ) = etraceX = 1 ⇔ traceX = 0 ( traceX lµ vÕt cđa ma trËn X )

⇒ nÕu X cã vÕt b»ng 0 thì det etX = 1 , " t ẻ Ă .
Đại số Lie của nhóm SL ( n, Ê ) lµ tËp
Lie SL ( n, £ ) = sl ( n, £ ) = { X Ỵ Mat ( n, £ ) traceX = 0}
T¬ng tù ta cịng cã Lie SL ( n, ¡ ) = sl ( n, ¡ ) = { X Ỵ Mat ( n, ¡ ) traceX = 0}
2.2.3. Đại số Lie của các nhóm Unita U ( n ) và nhóm Unita đặc biệt
SU ( n )

{

}

*
−1
- Nhãm Unita U ( n ) = U U = U , víi U * lµ ma trận liên hợp của U

Ta có etX U ( n ) ⇔ ( etX ) = ( etX )
*

−1

= e −tX

Mµ ( etX ) = etX ⇒ etX = e tX X * = X
*

*

*

Đại số Lie cđa nhãm Unita lµ tËp
LieU ( n) = { X Ỵ Mat ( n, £ ) X * = - X } = u ( n)
*
T¬ng tù ta cã Lie SU ( n) = { X Ỵ Mat ( n, £ ) X = - X , traceX = 0} = su ( n)


14
2.2.4. Đại số Lie của các nhóm Aff ( Ă ) và Aff ( Ê )
- Nhóm biến đổi Affin trên đờng thẳng thực
ỡ ổ bử
ỹ
ù a ữ
ù
Aff ( Ă ) @ù ỗ
ữ a, b ẻ Ă , a ạ 0ù
ớỗ
ý
ữ
ù ỗ0 1ữ

ù
ứ
ùố
ù
ợ
ỵ
ỡ ổ bử
ỹ
ù a
ù
ữa , b ẻ Ă ù
|
ữ
Có đại số Lie là tập g = aff ( Ă ) @ù ỗ
ớỗ
ý
ữ
ù ỗ0 0 ứ
ù
ố
ù
ù
ợ
ỵ
- Nhóm biến đổi Affin trên đờng thẳng phức Aff ( Ê ) có đại số Lie là tập
ỡ ổ bử
ỹ
ù a
ù
ữa , b ẻ Ê ù

|
ữ
g = aff ( Ê ) @ù ỗ
ớỗ
ý
ữ
ù ỗ0 0 ứ
ù
ố
ù
ù
ợ
ỵ


15

Đ3. Đại số Lie tổng quát. Đồng cấu, đẳng cấu, toán tử ad
3.1. Đại số Lie tổng quát
3.1.1. Định nghĩa: Một không gian vectơ L trên trờng K đợc gọi là một
đại số Lie trên K nếu trong L có phép toán thứ ba:

[ , ]: L Lđ L
( x, y ) a [ x , y ]
Thoả mÃn các điều kiện sau đây:
i)

Song tuyến tính;

ii)

Phản đối xứng: [ x, x ] = 0; " x ẻ L

iii)

Đồng nhất thức Jacobi:
éx, y ] , z ù éy , z ] , x ù éz , x ] , y ù 0; " x, y, z Ỵ L
+ [
+ [
=
[
ë
û ë
û ở
ỷ

3.1.2. Chú ý:
Điều kiện ii) ở trên có thể thay bëi ®iỊu kiƯn:

[ x, y ] =- [ y, x ] ; " x, y ẻ L .
Ví dụ: Giả sử A là một đại số kết hợp trên trờng K, với mọi x, y ẻ L ta định
nghĩa:

[ x, y ] = xy - yx
Khi đó A là một đại số Lie trên K.
3.1.3. Định nghĩa: Giả sử A là một đại số trên trờng K. Đạo hàm (hay vi
phân) của A là ánh xạ tuyến tính:
D :Ađ A
Thoả m·n ®iỊu kiƯn:
D( x, y ) = D( x) y + xD( y ); " x, y Ỵ A

Ký hiƯu Der ( A) là tập hợp các đạo hàm của A.
3.1.4. Mệnh đề: Tập hợp Der(A) là đại số Lie víi tÝch:

[ D, D '] = DD '- D ' D " D, D 'Ỵ Der ( A)
Chøng minh:


16
Tõ tÝnh tun tÝnh cđa D vµ D ' ta suy ra [ D, D '] cịng lµ mét tù ®ång cÊu
tun tÝnh cđa A. Ngoµi ra víi mäi x, y Ỵ A ta cã:

[ D, D '] ( [ x y ] ) =
= ( DD '− D ' D ) ( x y )
= DD ' ( xy ) − D ' D ( xy )
= D ( D ' ( x ) . y + x.D ' ( y ) ) − D ' ( D ( x ) . y + x.D ( y ) )
= D ( D ' ( x ) ) . y + D ' ( x ) .D ( y ) + D ( x ) .D ' ( y ) + x.D ( D ' ( y ) )
− D ' ( D ( x ) ) . y − D ( x ) .D ' ( y ) − D ' ( x ) .D ( y ) − x.D ' ( D ( y ) )
= DD ' ( x ) . y + x.DD ' ( y ) − D ' D ( x ) . y − x.D ' D ( y )
= [ D, D '] ( x ) . y + x.[ D, D '] ( y ) .
Nh vËy [ D, D '] ∈ Der ( A ) ; ∀ D, D '∈ Der ( A )
Hơn nữa từ tính tuyến tính của D và từ tính chất các phép toán của A , ta
suy ra tÝnh song tun tÝnh cđa phÐp to¸n [ ,

[ D, D ] = 0;

]

ta suy ra

∀D ∈ Der ( A ) .

Ngoµi ra ta cã:
[ D, D '] , D '' = [ DD '− D ' D, D '']


= DD ' D ''− D ' DD ''− D '' DD '+ D '' D ' D
[ D ', D ''] , D  = D ' D '' D − D '' D ' D − DD ' D ''+ DD '' D '


[ D '', D ] , D ' = D '' DD '− DD '' D '− D ' D '' D + D ' DD '


Cộng từng vế của 3 đẳng thức trên ta có đồng nhất thức Jacobi.
Mệnh đề đà đợc chứng minh.
3.2. Đồng cấu. Toán tử ad
3.2.1. Định nghĩa Một đồng cấu giữa các đại số Lie L1 , L2 là ánh xạ tuyến
tính f : L1 L2 thoả m·n tÝnh chÊt:
f

( [ x, y ] ) =  f ( x ) , f ( y )  ; ∀x, y ∈ L



1


17
Khi đó tập các đại số Lie trên trờng K là một phạm trù với các cấu xạ là
các đồng cấu đại số Lie.
3.2.2. Định nghĩa Giả sử G là một đại số Lie, với mỗi x G ta định nghĩa

toán tử ad trên G bởi công thức:
ad x ( y ) = [ x, y ]

∀y ∈ G

3.2.2. Mệnh đề
i) ad x là ánh xạ đạo hàm.
ii) ánh xạ x ad x là đồng cấu đại số Lie G vµo Der(G)
Chøng minh
i) Ta cã:
ad x

( [ y , z ] ) =  x, [ y , z ] 



= [ x, y ] , z  + [ z , x ] , y 

 

= [ x, y ] , z  +  y, [ x, z ] 

 


=  ad x ( y ) , z  +  y, ad x ( z )



Nh vậy ad x là ánh xạ đạo hàm.

ii)
ad[ x , y ] ( z ) =
= [ x, y ] , z 



= − [ y, z ] , x  − [ z, x ] , y 

 

=  x , [ y , z ]  −  y , [ x, z ] 

 


= ad x .ad y ( z ) − ad y .ad x ( z )
=  ad x , ad y  ( z ) .


∀x, y, z ∈ G
Do ®ã ad[ x , y ] =  ad x , ad y 


Vµ nh vËy ánh xạ x ad x là đồng cấu đại số Lie. Mệnh đề đà đợc chứng
minh.


18
Nh vậy, Chơng I dùng để giới thiệu về các nhóm Lie, đại số Lie nh: Nhóm
GL(n, Ă ) và GL(n, Ê ) , nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n, ¡ ) vµ SL(n, £ ) , nhãm

Symplectic, nhãm biÕn đổi Affin thực và phức Kiến thức ở ch ơng I là phần cơ
sở, dùng đến cho các chơng sau.


19

Chơng II

Công thức BCH - Các trờng hợp đặc biệt
Đ1. Công thức BCH - Chuỗi Hausdorf log(e x e y )
Ta đều biết trong một đại số giao hoán thì ea eb = ea+ b = ebe a vµ
log ea+ b = a + b . Nhng với đại số Lie vấn đề không phải nh vậy. Phần này giới
thiệu một công thức rất đặc biệt của đại số Lie, một đại số không giao hoán.
1.1. Công thức BCH (Baker Campbell Hausdorff)
Cho G là một đại số Lie; X, Y là hai phần tử sinh của G. Khi ®ã ta cã:
log ( e X eY ) = X + Y +

1
1
1
[ X ,Y ] +  X ,[ X ,Y ]  − Y ,[ X ,Y ]  + ...

 12 

2
12

C«ng thøc Baker – Campbell – Hausdorff cho mối quan hệ tự nhiên giữa
X Y
nhóm Lie và đại số Lie. Về mặt lịch sử chuỗi H = log ( e e ) đợc sử dụng để xác

định một quy tắc nhân trong nhóm Lie ứng với một đại số Lie cho trớc.
1.2. Chuỗi Hausdorff
1.2.1. Định nghĩa Một đại số Lie tự do L có các phần tử sinh X 1 ,..., X k , đợc phân bËc bëi deg ( X i ) = 1 víi i = 1,..., k , deg ( [ A, B ] ) = deg ( A ) + deg ( B ) víi
A, B ∈ L . KÝ hiƯu Ln là không gian con tất cả các phần tử bậc n. Một mở rộng
^

phân bậc là tổng L = =1 Ln , tức là đại số các chuỗi vô hạn các phần tử trong L.
n
1.2.2. Định nghĩa Cho L là đại số Lie, ta định nghĩa logarit và mũ là các

Xn
( Y ) . Chuỗi Hausdorff
chuỗi luỹ thừa hình thức: e = ∑
, log ( 1 + Y ) = −∑
n
n =0 n !
n =1
X

∞

n

lµ H = log ( e X eY ) L . Với các phần tử A1 ,..., Am của đại số Lie L, kí hiệu hoán
^

tử dài [ A1 A2 ... Am1 Am ] =  A1 ,  A2 , ...[ Am−1 , Am ...] , đợc hiểu là móc từ ph¶i

  

20
2
sang trái, tức là X Y = X , [ X , Y ]  . Khi đó chuỗi Hausdorff đợc biểu diễn




nh sau:

[ XY ] +  X 2Y  − [ YXY ] − [ XYXY ] + ...


H = X +Y +
2

12

24

(1)

Không nên băn khoăn về tính phức tạp và dấu ... ở cuối công thức (1) vì
điều quan trọng ở đây là các số hạng trong (1) gồm các hạng tử X, Y, mãc cđa X, Y
vµ mãc cđa mãc X vµ Y... Nó cũng có thể đợc biểu diễn dới dạng
H = X + Y + ∑ cWW , trong ®ã W biểu diễn theo các chữ X, Y.
X Y
Sau đây ta xét chuỗi log ( e e ) đối với một số Đại số Lie cụ thể.

21

Đ2. Công thức BCH cho một số đại số Lie cụ thể
2.1. Chuỗi Hausdorff đối với nhóm Aff ( Ă )
Nhóm Lie Aff ( Ă ) các phép biến đổi affin trên đờng thẳng dạng
x ẻ Ă a ax + b, víi tham sè a, b Ỵ ¡ , a ạ 0.
Đây là nhóm Lie 2-chiều đẳng cấu với nhóm ma trËn
ì ỉ bư
ü
ï a ÷
ï
Aff ( ¡ ) @ï ỗ
|
ữa, b ẻ Ă , a ạ 0ù , có một trong hai thành phần liên thông
ớỗ
ý
ữ
ù ỗ0 1ữ
ù
ố
ứ
ù
ù
ợ
ỵ
ỡ ổ bử
ù a ữ
ù
|

ữa, b
là G = Aff o ( Ă ) @ẻ ỗ
ớỗ
ữ
ữ
ù ỗ0 1ứ
ố
ù
ợ

ỹ
ù
Ă , a > 0ù .
ý
ù
ù
ỵ

ỡ ổ bử
ỹ
ù a
ù
ữa , b ẻ Ă ù , chấp nhận một cơ sở
|
ữ
Đại số Lie của G là g = aff ( Ă ) @ù ỗ
ớỗ
ý
ữ
ữ

ù ỗ0 0 ứ
ù
ố
ù
ù
ợ
ỵ
ổ 0ử
ổ 1ử
1 ữ
0 ữ
X =ỗ
,
ữY = ỗ
ữ
gồm hai phần tử sinh
ỗ
ỗ
ữ
ỗ0 0ứ
ỗ0 ữvới chỉ một móc Lie không triệt
ữ
ữ
ố
ố 0ứ
0 1
=Y
tiªu [ X , Y ] = XY − YX =
0 0ữ

Nói cách khác g = aff ( Ă ) @{ a X + bY |[ X , Y ] = Y , a , b Ỵ ¡ } .
Ta tính đợc X , [ X , Y ]  = [ X , Y ] = Y ; Y , [ X , Y ]  = [ Y , Y ] = 0;





[ XYXY ] =  X Y [ XY ]   =  X ,[ YY ]  = 0; [ XYXYX ] = 0,...



Từ đó ta nhận đợc chuỗi Hausdorff lµ
log ( e X eY ) = X + Y +

1
1
[ X ,Y ] + Y .
2
12

2.2. C«ng thøc BCH và chuỗi Hausdorff đối với nhóm Heisenberg


22
2.2.1. Định lý Giả sử X và Y là các ma trận phức n ì n và giả sử X và Y
giao hoán đợc với hoán tử của chúng: X , [ X , Y ]  = Y , [ X , Y ]  = 0. Khi ®ã ta cã

 


e e =e
X Y

X +Y +

1
[ X ,Y ]
2

. Nói cách khác ta có chuỗi Hausdorff:
1
[ X ,Y ]
2

H = X +Y +

(1)

Chøng minh
Ta sÏ chøng minh ®¼ng thøc sau


t2
e e = exp  tX + tY + [ X ,Y ] ữ,
2


tX

tY

(2)

Và có kết quả nh trong định lý khi t = 1 . Vì log ( e X eY ) = X + Y +

1
[ X ,Y ] . giao
2

hoán đợc với X , Y nên hệ thức (2) tơng đơng với
tX

tY

e e e



t2
[ X ,Y ]
2

(3)

=e(

t X +Y )

Đặt vế trái của (3) là A ( t ) và vế phải là B ( t ) . Mục đích của chúng ta là
chứng minh A ( t ) vµ B ( t ) cïng thoả mÃn phơng trình vi phân nh nhau, với điều

kiện đầu nh nhau. Vế phải sau khi lấy vi phân trở thành:
dB
= B( t) ( X + Y ) .
dt
Còn vế kia, sau khi lấy vi phân theo quy tắc tÝch:
2

2

2

t
t
− [ X ,Y ]
− [ X ,Y ]
dA tX tY − t2 [ X , Y ]
tX tY
tX tY
2
= e Xe e
+ e e Ye
+e e e 2
( −t [ X ,Y ] ) .
dt

(4)

Vì X và Y giao hoán đợc với [ X , Y ] nên chúng cũng giao hoán đợc với e 2 [ X , Y ] .
t2

Nh vËy, h¹ng tư thø hai trong vÕ phải của (4) có thể viết lại là:
tX

tY

e e e



t2
[ X ,Y ]
2

Y.

Hạng tử thứ nhất trong vế phải của (4) phức tạp hơn vì X không nhất thiết giao
hoán víi etY . Tuy nhiªn


23
XetY = etY e −tY XetY

= etY Ad ( e − tY ) ( X )
= etY e −tadY ( X )

Lại vì Y , [ Y , X ]  = − Y , [ X , Y ]  = 0,





e− tadY ( X ) = ( I − tadY ) ( X )

= X − t [ Y , X ] = X + t [ X ,Y ]

Các hạng tử cao hơn đều bằng không. Sử dụng các kết quả đó ta đợc
tX

tY

e Xe e



t2
[ X ,Y ]
2

=e e e
tX tY

−

t2
[ X ,Y ]
2

( X + t [ X ,Y ] )

Thay vµo (4) vµ rót gän:
2

2

2

t
t
− [ X ,Y ]
− [ X ,Y ]
dA tX tY − t2 [ X , Y ]
tX tY
tX tY
2
=e e e
Y +e e e 2
( X + t [ X ,Y ] ) + e e e
( −t [ X ,Y ] )
dt

=e e e
tX

tY

−

t2
[ X ,Y ]
2

( X + Y ) = A( t ) ( X + Y ) .

Nh vËy A ( t ) vµ B ( t ) thoả mÃn cùng một phơng trình vi phân. Hơn nữa điều
kiện đầu: A ( 0 ) = B ( 0 ) = I . Theo kÕt qu¶ về tính duy nhất nghiệm của phơng trình
vi phân thờng ta suy ra:
A( t ) = B ( t )

t

Định lý đợc chứng minh.
2.2.2. Hệ quả Trong đại số Heisenberg của nhóm Heisenberg H 3 (Nhóm
các ma trận 3 ì 3 tam giác trên chặt), chuỗi Hausdorff là
log ( e X eY ) = X + Y +

1
[ X ,Y ] .
2

2.2.3.Định lý Giả sử H 3 là nhóm Heisenberg và h3 = Lie ( H 3 ) là đại sè
Lie cđa nã. G lµ mét nhãm Lie ma trËn và g = LieG. Giả sử ta có ':h a g là
một đồng cấu đại số Lie. Khi đó, tồn tại và duy nhất đồng cấu nhóm Lie

:H 3 a G sao cho φ ( e X ) = eφ '( X ) víi mäi X ∈ h3 .
Chøng minh


24
Nhắc lại rằng nhóm Heisenberg có tính chất rất đặc biệt là ánh xạ mũ của
nó (ánh xạ exponential) là một song ánh, giả sử log là ký hiệu ánh xạ ngợc của
song ánh đó. Xác định : H 3 a G theo c«ng thøc

φ ( A ) = eφ '( log A) víi mäi A ∈ H 3
Ta sẽ chứng minh là một đồng cấu nhóm Lie.
X , Y ∈ h3 th× [ X , Y ] có dạng
0 0 a
0 0 0 ữ

ữ
0 0 0 ữ


giao hoán đợc với cả X và Y . Tức là , X và Y giao hoán đợc với hoán tử của
chúng. Vì ' là một đồng cấu đại số Lie nên ' ( X ) và ' ( Y ) cịng sÏ giao ho¸n
víi ho¸n tư cđa chóng:

(

)

φ ' ( X ) , φ ' ( X ) ,φ ' ( Y )   = φ '  X , [ X , Y ]  = 0






(

)

φ ' ( Y ) , φ ' ( X ) ,φ ' ( Y )   = φ ' Y , [ X , Y ] = 0





Ta muốn chứng minh là một đồng cÊu, tøc lµ φ ( AB ) = φ ( A ) φ ( B ) . ThËt vËy, cã
thÓ viÕt A thµnh e X víi duy nhÊt X ∈ h3 vµ B thµnh eY víi duy nhÊt Y ∈ h3 .
Nh thế theo định lý 2.2.1 ta có
g = LieG
Sử dụng định nghĩa của và giả thiết ' là đồng cấu đại số Lie ta có
X +Y + 1 [ X , Y ] 
2
φ ( AB ) = φ  e
÷


   X +Y + 1 [ X , Y ]   
2
= exp  φ '  log  e
÷÷÷
÷
  
÷
 

 
1

= exp  φ '  X + Y + [ X , Y ] ÷÷

2

 
1


= exp  φ ' ( X ) + φ ' ( Y ) + φ ' ( X ) ,φ ' ( Y ) ữ


2


Cuối cùng bằng cách sử dụng định lý 2.2.1 một lần nữa ta có


25

φ ( AB ) = eφ '( X ) eφ '( Y ) = φ ( A ) φ ( B ) .
Nh vậy, là một đồng cấu nhóm. Dễ kiểm tra đợc rằng là ánh xạ liên tục (bằng
cách kiểm tra log, exp và ' là các ánh xạ liên tục), và là một đồng cấu nhóm
Lie. Hơn nữa, theo định nghĩa có quan hệ phải với ' . Vì ánh xạ mũ là song ánh
nên chỉ có nhiều nhất một ánh xạ φ tho¶ m·n φ ( e

X

) =e

φ '( X )

. Do đó tính duy nhất

của cũng đợc chứng minh.
2.2.4. Nhận xét Kết quả trong định lý 2.2.3 là quan trọng vì nó kéo theo
rằng nếu G là liên thông và đơn liên thì tồn tại tơng ứng 1-1 tự nhiên giữa biểu
diễn của nhóm G và biểu diễn của đại số Lie g = LieG . Trong thực hành đặc
biệt dễ xác định biểu diễn của đại số Lie hơn là xác định trực tiếp biểu diễn của
nhóm Lie tơng ứng.
2.3. Công thức BCH và chuỗi Hausdorff đối với nhóm Tuyến tính đặc biệt
SL ( 2, Ă )
Đại số Lie cđa SL ( 2, ¡ ) lµ sl ( 2, ¡ ) = { X Ỵ Mat ( 2, ¡ ) | traceX = 0}
sl ( 2, ¡

)

0 1
0 0
có hai phần tử sinh là X =
ữ và Y =  1 0 ÷
 0 0



1 0 0 0 1 0
Ta tính đợc [ X , Y ] = XY − YX = 
÷− 
÷= 
÷,
 0 0   1 0   0 −1
 0 −2 
 0 0

 X ,[ X ,Y ]  = 
= −2 X , Y , [ X , Y ]  = 
÷ = 2Y ,

 0 0÷




 2 0
 X , Y , [ X , Y ]   = [ X ,2Y ] = 2 [ X , Y ] ,...

 
Tõ ®ã ta nhËn đợc chuỗi Hausdorff là
log ( e X eY ) = X + Y +

1
1
1
[ X ,Y ] − ( X + Y ) − [ X ,Y ] + ...
2
6
24

Víi chuỗi Hausdorff tổng quát ta xét các tính chất sau.