Cấu trúc siêu symplectic trên đại số lie luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯƠNG TUẤN ANH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CẤU TRÚC SIÊU SYMPLECTIC TRÊN ĐẠI SỐ LIE

Khóa: 17 – Khoa Toán, Trường Đại học Vinh
Chuyên ngành: Hình học Tôpô
Mã số: …………………

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS Nguyễn Việt Hải

Vinh - 2011


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU...................................................................................

2

CHƯƠNG 1 - CÁC CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT TRÊN ĐẠI SỐ LIE
§ 1. Liên thông, liên thông xoắn tự do, phẳng ..................................... 4
§ 2. Cấu trúc phức, tích phức trên đại số Lie g ................................... 5
§ 3. Cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lie g ................................... 6
§ 4. Liên thông xoắn tự do,
phẳng symplectic trên đại số Lie 2 chiều.............................................. 7
CHƯƠNG 2 - ĐẠI SỐ LIE 4 CHIỀU MANG CẤU TRÚC SIÊU
SYMPLECTIC

§ 1. Trường hợp A: u = ¡ 2 và v = ¡ 2 ..................................................15
§ 2. Trường hợp B: u = aff( ¡ ) và v = ¡ 2 ...........................................18
§ 3. Trường hợp C: u = ¡ 2 và v = aff( ¡ ) ..........................................21
§ 4. Trường hợp D: u = aff( ¡ ) và v = aff( ¡ ).....................................23
CHƯƠNG 3 - ĐẠI SỐ LIE 4n CHIỀU MANG CẤU TRÚC SIÊU
SYMPLECTIC
§ 1. Cấu trúc nhóm trên ¡

4n

..................................................................25

§ 2. Cấu trúc symplectic bất biến trên ¡
§ 3. Hình học cảm sinh trên ¡

4n

4n

.............................................30

...........................................................32

§ 4. Cấu trúc siêu symplectic trên ¡ 8 ....................................................36
KẾT LUẬN......................................................................................

40

TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................

41

2


LỜI NÓI ĐẦU
Hình học vi phân là bộ môn toán học sử dụng phương pháp của
phép tính vi phân và tích phân để nghiên cứu các vấn đề của hình học.
Các định lý về mặt phẳng, các đường cong trong không gian, các mặt
trong không gian Euclid 3 chiều là cơ sở ban đầu cho sự phát triển của
bộ môn này từ thế kỷ thứ XVIII và XIX. Ứng dụng của hình học vi
phân trong Vật lý, dạng vi phân có ích cho việc nghiên cứu các hiện
tượng điện tử, cơ học Lagrangian và cơ học Hamilton. Hình học
Symplectic là công cụ đặc biệt để nghiên cứu cơ học Hamilton. Trong
Kinh tế học, Hình học vi phân có ứng dụng trong các thuộc toán kinh
tế. Trong thiết kế, xây dựng hình học vi phân có thể ứng dụng để giải
quyết các vấn đề về xử lý tín hiệu số.
Có thể nói, lý thuyết nhóm Lie ra đời là sự kết hợp của các ngành
Hình học - Tôpô, giải tích và Đại số. Vì vậy nhóm Lie là một phần
quan trọng của Toán học và nó rất cần thiết đối với những người đi sâu
vào nghiên cứu Hình học - Tôpô.
Vào cuối thế kỷ XIX đã xuất hiện sự kết hợp lý thuyết nhóm và hình
học Riemann trong các công trình chủ yếu của Phêlix Klein (18491925) và Sophus Lie (1842-1899). Các cống hiến của Ph.Klein là các
nghiên cứu về nhóm rời rạc và sự phân loại của Hình học theo các
nhóm biến đổi. Còn S. Lie, các nghiên cứu của ông chủ yếu về nhóm
liên tục, ông đã cho một phương pháp tổng quát để tìm các bất biến qua
một nhóm hữu hạn các phép biến đổi liên tục. Điều này đã làm nhóm
Lie trở thành một công cụ gần như cho tất cả các ngành toán học hiện
đại và vật lý hiện đại, đặc biệt là trong lý thuyết hạt cơ bản. Và chính
nhà toán học người Nauy này là một trong những người sáng lập ra lý

thuyết nhóm Lie.

3


Việc phân loại các đại số Lie là bài toán phức tạp. Riêng đại số
Lie 4 chiều số lượng là hàng chục, đại số Lie 5 chiều số lượng hàng
trăm... với 1 đại số Lie ta đưa thêm cấu trúc phụ ví dụ cấu trúc
Symplectic, cấu trúc phức, cấu trúc siêu phức để việc phân loại đại số
Lie trở thành một phân loại con mà có thêm cấu trúc mới trên đó. Với ý
tưởng như thế ta cũng đưa thêm cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lie
nhằm 2 mục đích sau: Một là phân loại đại số Lie có cấu trúc siêu
symplectic 4 chiều. Hai là tìm thêm và xây dựng các ví dụ về đại số Lie
có cấu trúc symplectic. Để làm được điều này, hướng nghiên cứu của ta
là: Phân loại đại số Lie 2 chiều, sau đó xây dựng đại số Lie với cấu trúc
symplectic 2 chiều, 4 chiều, 4n chiều.
Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 với sự hướng
dẫn tận tình của PGS. TS. Nguyễn Việt Hải. Nhân dịp này, tác giả xin
chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người đã hướng dẫn tác giả
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các
thầy cô giáo trong bộ môn Hình học - Tôpô, các thầy cô giáo trong
khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh, đã nhiệt
tình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học
tập và thực hiện luận văn.
Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia
đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn.

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

4


CHƯƠNG 1
CÁC CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT TRÊN ĐẠI SỐ LIE
§1. Liên thông, liên thông xoắn tự do, phẳng
1.1. Liên thông
1.1.1. Định nghĩa: - Một không gian tôpô gọi là liên thông nếu không
thể biểu diễn dưới dạng hợp của 2 tập mở khác rỗng rời nhau.
- Một không gian tôpô E gọi là liên thông cung (liên thông đường) nếu
với mọi cặp hai điểm x,y trên E đều có thể xác lập một ánh xạ liên tục f
từ đoạn thẳng đơn vị [0,1] vào E sao cho f(0)=x , f(1)=y.
1.2. Liên thông xoắn tự do, phẳng
Chúng ta nhắc lại định nghĩa một số khái niệm sau. Cho tùy ý 1
liên thông ∇ trên đa tạp M, độ xoắn T và bán kính cong R được xác định
như sau
T ( X , Y ) = ∇ X Y − ∇ Y X − [ X , Y ] ; R ( X , Y , Z ) = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X ,Y ] Z

với mọi X , Y là các trường véctơ trên M
Ta có: T ( X , Y ) = −T ( Y , X ) ; R ( X , Y , Z ) = − R ( Y , X , Z )
Liên thông được gọi là xoắn tự do khi T=0 và phẳng khi R=0.
Trên đại số Lie g , liên thông ∇ là xoắn tự do khi ∇ X Y = ∇Y X và
phẳng khi ∇ X ∇Y = ∇Y ∇ X với mọi X , Y ∈ g.
Cho G là 1 nhóm Lie với đại số Lie g và giả sử rằng ∇ là liên
thông bất biến trái đối với G nghĩa là nếu mọi X , Y ∈ g là 2 trường
véctơ bất biến trái thì ∇ X Y ∈ g cũng là bất biến trái.
Cho G là một nhóm Lie với đại số Lie g, Lie G = g và giả sử
rằng G chấp nhận 1 liên thông trái bất biến ∇ . Điều này có nghĩa rằng

nếu mọi X , Y ∈ g là hai trường véctơ bất biến trái trên G thì ∇ X Y ∈ g
cũng là một bất biến trái.

5


§2. Cấu trúc phức, tích phức trên đại số Lie g
2.1. Cấu trúc phức trên đại số Lie g
Một cấu trúc hầu phức trên đại số Lie g một tự đẳng cấu tuyến
tính J : g → g thỏa mãn J 2 = -1 . Nếu J thỏa mãn thêm điều kiện
J [ X , Y ] = [ JX , Y ] + [ X , JY ] + J [ JX , JY ]

với mọi X , Y ∈ g

(1)

thì ta nói J là một cấu trúc phức trên g. Chú ý rằng chiều của đại số Lie
có cấu trúc hầu phức phải là số chẵn.
Tiếp theo ta xét cấu trúc khác tương tự cấu trúc phức. Một cấu
trúc hầu tích trên g là một đẳng cấu tuyến tính E : g → g thỏa mãn
E 2 = 1 (không bằng ±1 ). Nếu E thỏa mãn thêm điều kiện
E [ X , Y ] = [ EX , Y ] + [ X , EY ] − E [ EX , EY ] với mọi X , Y ∈ g.

(2)

thì ta nói E là một cấu trúc tích. Khi dim g+= dim g- , trong đó g ± là
các không gian riêng của g ứng với các giá trị riêng ±1 của E thì cấu
trúc tích E được gọi là một cấu trúc song phức . Trong trường hợp này,
g cũng có số chiều chẵn.
2.2. Cấu trúc tích phức trên đại số Lie g

Một cấu trúc tích-phức trên đại số Lie g là cặp { J , E} của một
cấu trúc phức J và một cấu trúc tích E thỏa mãn JE = − EJ .
Điều kiện JE = − EJ kéo theo các không gian riêng ứng với các giá trị
riêng +1 và -1 của E có chiều như nhau, chứng tỏ khi đó E là một cấu
trúc song phức trên g .
Sau đây chúng ta đưa ra một phương pháp để xây dựng đại số
Lie mang cấu trúc siêu symplectic bắt đầu đối với 2 đại số Lie được
trang bị các liên thông tương thích xoắn tự do, phẳng và các dạng
symplectic.

6


§3. Cấu trúc siêu symplectic
3.1. Định nghĩa: Cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lie g là bộ

{ J , E , g} mà g ± là đại số con của g sao cho

g = g + ⊕ g − và g − = J g +

3.2. Định lý: Giả sử ta có các điều kiện sau đây:
a) u là 1 đại số Lie được trang bị 1 liên thông xoắn tự do, phẳng và một
dạng symplectic ω sao cho ∇ω = 0 .
b) v là đại số Lie được trang bị 1 liên thông ∇' xoắn tự do, phẳng và
một dạng symplectic ω ' sao cho ∇'ω ' = 0 .
c) Tồn tại 1 đẳng cấu tuyến tính ϕ : u → v sao cho
(i) Biểu diễn ρ : u → gl (v ) và µ : v → gl ( u )
−1
−1 '
được xác định bởi ρ ( x ) a = ϕ∇ xϕ ( a ) , µ ( a ) x = ϕ ∇ aϕ ( x )

thỏa mãn với tất cả x,y ∈u và a,b ∈v
ρ ( x ) [ a, b ] −  ρ ( x ) a, b  −  a, ρ ( x ) b  + ρ ( µ ( a ) x ) b − ρ ( µ ( b ) x ) a = 0

µ ( a ) [ x, y ] −  µ ( a ) x, y  −  x, µ ( a ) y  + µ ( ρ ( x ) a ) y − µ ( ρ ( y ) a ) x = 0
'
(ii) ω ( x, y ) = ω ( ϕ ( x ) , ϕ ( y ) ) với mọi x,y ∈u .

Khi đó không gian véctơ g = u ⊕ v chấp nhận 1 mở rộng Lie trên u
và v có 1 cấu trúc siêu symplectic trên g sao cho g+ = u và g− = v .
(xem [6]).
Điều kiện (i) ở trên có nghĩa là ( u , v, ρ , µ ) là 1 bộ đôi của đại số
Lie g. Do đó 1 móc Lie trên g được cho bởi

( x, a ) , ( y , b )  = ( [ x, y ] + µ ( a ) y − µ ( b ) x, [ a, b ] + ρ ( x ) b − ρ ( y ) a )
với x, y ∈ u và a, b ∈ v thỏa mãn đồng cấu đồng nhất Jacobi, g với cấu

trúc đại số Lie được ký hiệu g:= u ⋈ v và được gọi là tích bricoss của
u và v. Quan sát thấy rằng u và v là các đại số con Lie của g. Nếu
chúng ta để ý tới định nghĩa của ρ và µ , chúng ta sẽ thấy rằng móc Lie
giữa 1 phần tử của u và 1 phần tử của v được cho bởi
( x, 0 ) , ( 0, a )  = ( −ϕ −1∇ 'aϕ ( x ) , ϕ∇ xϕ −1 ( a ) ) với x ∈u và a ∈v

7

(3)


§4. Liên thông xoắn tự do, phẳng sympletic trên đại số Lie 2 chiều
2

4.1. Định lý: Cho ¡ = span { e1 , e2 } biểu thị đại số Lie giao hoán 2 chiều

và cho ω = e1 ∧ e2 là dạng symplectic cổ điển trên ¡ 2 . Liên thông ∇ xoắn
tự do, phẳng khác 0 trên ¡ 2 sao cho ∇ω = 0 như sau
( a) ∇e1 e1 = ( 0, λ ) ; ∇e1 e2 = ∇e2 e1 = ∇e2 e2 = ( 0, 0 )

với λ ≠ 0

(b) ∇e1 e1 = ∇e1 e2 = ∇e2 e1 = ( 0, 0 ) ; ∇e2 e2 = ( λ , 0 )

với λ ≠ 0

(c) ∇ e1 e1 = ( λ , µ ) ; ∇ e1 e2 = −

λ
λ2
( λ , µ ) = ∇ e2 e1; ∇ e2 e2 = 2 ( λ , µ )
µ
µ

với λµ ≠ 0

Chứng minh: Chúng ta biểu thị
∇ e1 e1 = ae1 + be2
∇ e1 e2 = ce1 + de2 = ∇ e2 e1
∇ e2 e2 = ge1 + he2

với a, b, c, d , g , h ∈ ¡ . Khi đó ∇ là phẳng và chúng ta có ∇ e ∇ e = ∇ e ∇ e .
1

2

2

1

Từ điều kiện này chúng ta nhận được
∇ e1 ∇ e2 e1 = ∇ e2 ∇ e1 e1

∇ e1 ∇ e2 e2 = ∇ e2 ∇ e1 e2

và chúng ta có được phương trình
bg − cd = 0

2
bc − bh + d − ad = 0
ag − dg + ch − c 2 = 0


(1)

Điều kiện ∇ω = 0 ⇔ ω ( ∇ x y, z ) = ω ( ∇ x z, y )

với mọi x, y, z ∈ ¡

Từ đó chúng ta nhận được

(
(

)
)

(
(

)

ω ∇ e e1 , e2 = ω ∇e e2
1
1

d = − a

⇒
ω ∇ e2 e2 , e1 = ω ∇ e2 e1 , e2
h = −c

8

)

2


bg = −ac
 2
Thay vào (1) ta được a = −bc
c 2 = ag


(2)

c = 0
bg = 0

Nếu a = 0 thì 

b ≠ 0

Do ∇ ≠ 0 nên 
g ≠ 0
Nếu b ≠ 0 thì g=0 và ∇ có kiểu (a) là
Nếu g ≠ 0 thì b=0 và ∇ có kiểu (b) là ∇e e2 = ge1 ( g ≠ 0 )
2

−a
a
; g= 2
Nếu a ≠ 0 thì bcg ≠ 0 , từ (2) chúng ta có được c =
2

b

3

b

Do đó ∇ có kiểu (c)


(a, b ∈ R )
∇ e1 e1 = ae1 + be2

−a 2
a

∇
e
=
e1 − ae2 = − ( ae1 + be2 ) = ∇ e2 e1
 e1 1
b
b

3
2

a
a
a2
∇ e2 e2 = 2 e1 + e2 = 2 ( ae1 + be2 )
b
b
b


4.2. Mệnh đề: Cho ∇ là 1 liên thông xoắn tự do phẳng khác 0 trên ¡

2

và ω là một dạng symplectic ∇ song song trên ¡ 2 . Khi đó ( ∇, ω ) là
' 1
2
tương đương symplectic với ( ∇ , e ∧ e ) mà { e1 , e2 } là cơ sở tương thích
1
2
của ¡ 2 , { e , e } là cơ sở đối ngẫu và ∇' được cho bởi

∇'e1 e1 = ( 0,1) ; ∇'e1 e2 = ( 0, 0 ) ; ∇'e2 ≡ 0

Đây là liên thông xoắn tự do phẳng trên ¡

2

đầy đủ.

Chứng minh: Tồn tại 1 cơ sở { e1 , e2 } của ¡ 2 mà ω = e1 ∧ e2 . Từ ∇ω = 0 nên
∇ phải là 1 trong các liên thông trong Định lý 4.1. Đầu tiên chúng ta giả

sử rằng ∇ phải là kiểu (a) trong Định lý 4.1 . Các đẳng cấu tuyến tính

9


của ¡ 2 trong đó thỏa mãn sự tương đương symplectic giữa ∇ và ∇' được
biểu diễn bởi:
 13
λ
ξ =
 0




0 ÷
1 ÷
−
{ e1 , e2 }
λ 3÷
 trong cơ sở

Bây giờ ta giả sử rằng liên thông ∇ ở dạng (b) trong Định lý 4.1.
Các đẳng cấu tuyến tính của ¡ 2 cung cấp sự tương đương symplectic

 0
'
giữa ∇ và ∇ được cho bởi ξ =  1
 λ −3



−λ ÷
÷ trong cơ sở { e1 , e2 } . Cuối cùng
0 ÷

1
3

nếu ∇ có kiểu (c) trong Định lý 4.1 , chúng ta có thể lấy đẳng cấu trong

¡

2

 13
µ
như sau ξ = 
 0


−λµ

µ

−

−

1
3

2
3


÷
÷
÷


Chúng ta sẽ kiểm tra xem liên thông ∇' có đầy đủ không. Để làm

g

được điều này, chúng ta sẽ sử dụng phương trình x ( t ) = −∇ x( t ) x ( t )
Cho x ( t ) = a1 ( t ) e1 + a2 ( t ) e2 là phương trình đường cong trên g thỏa mãn
g

x ( t ) = −∇ x( t ) x ( t )
g

x ( t ) = −∇ x( t ) x ( t )

Từ

g

g

g

g

a t e + a t e 
2( ) 2÷
 1( ) 1
a1 ( t ) e1 + a 2 ( t ) e2 


⇔ a1 ( t ) e1 + a 2 ( t ) e2 = −∇ '

⇔ a1 ( t ) e1 + a 2 ( t ) e2 = 0.e1 − a12 ( t ) e2

Từ đó chúng ta có được hệ các phương trình vi phân sau

10


g
 a1 ( t ) = 0
g
 a 2 ( t ) = −a12 ( t )


Kết quả của hệ phương trình vi phân trên được xác định với mỗi
t ∈ ¡ và do đó ∇' là đầy đủ.

Vậy các liên thông xoắn tự do phẳng trên ¡ 2 với hệ số khác 0
bảo toàn dạng symplectic chỉ có 1 loại ∇' .
Nhận xét: Liên thông xoắn tự do phẳng ∇' trong mệnh đề trên thuộc về
phân loại lớp A4 .
Trong phần tiếp theo chúng ta nghiên cứu đại số Lie 2 chiều trên
aff ( ¡ ) . Nhắc lại đại số Lie g = aff ( ¡

) được mô tả như sau. Cho nhóm

Lie Aff ( ¡ ) của biến đổi affine x ∈ ¡ a ( η x + υ ) ∈ ¡ với các thông số
η ,υ ∈ ¡ ,η ≠ 0 là nhóm Lie 2 chiều mà đẳng cấu với các nhóm ma trận
η υ 

Aff ( ¡ ) ≅ 
÷ η , υ ∈ ¡ ,η ≠ 0 

 0 1 


Chúng ta xem xét thành phần liên thông của nó
η υ 

1 0
G = Aff 0 ( ¡ ) ≅ 
÷ η ,υ ∈ ¡ ,η > 0  chứa phần tử đơn vị 
÷, đại số
0 1
 0 1 

 α

β



Lie của nó là: g = aff ( ¡ ) ≅  0 1 ÷ α , β ∈ ¡ 



với 1 cơ sở của 2 phần tử sinh khác 0 mà [ e1 , e2 ] = e2
g = aff ( ¡ ) ≅ { α e1 + β e2 [ e1 , e2 ] = e2 , α , β ∈ ¡ }
4.3. Định lý: Cho ω = e1 ∧ e2 là dạng symplectic cổ điển trên aff ( ¡ ) . Khi
đó chỉ có một liên thông xoắn tự do phẳng trên aff ( ¡ ) mà ∇ω = 0 như
sau

11

 −1 λ 
÷
 0 0

;

0 1
∇ e1 e2 = 
÷ ;
 0 0

∇ e2 ≡ 0 , λ ∈ ¡

 1

−
λ÷

(b) ∇ e1 e1 =  2 ÷ ;
 0 0

1

0

∇ e1 e2 =
2÷ ;


÷
0 0 

1

0 − ÷

∇ e2 e1 =
2

÷
0 0 

(a) ∇ e e1 = 
1

∇ e2 e2 = 0 , λ ∈ ¡
∇ e1 e1 = ae1 + be2

Chứng minh: Đặt: ∇ e e2 = ce1 + de2

với a, b, c, d , g , h ∈ ¡

1

∇ e2 e2 = ge1 + he2

Từ ∇ xoắn tự do chúng ta có
∇ e2 e1 − ∇ e1 e2 − [ e1 , e2 ] = 0 ⇒ ∇ e2 e1 − ce1 − de2 − e2 = 0 ⇒ ∇ e2 e1 = ce1 + ( d + 1) e2

d = −a
 h = −c

Với ∇ω = 0 ⇒ 
Ta có

∇ e1 ∇ e2 e1 − ∇ e2 ∇ e1 e1 − ∇[ e1 ,e2 ] e1 = 0

∇ e1 ∇ e2 e2 − ∇ e2 ∇ e1 e2 − ∇[ e1 ,e2 ] e2 = 0

Từ đó ta có được các phương trình sau:
c ( a + 2 ) + bg = 0

2
 g ( 2a − 1) − 2c = 0

c ( a + 2 ) − cg = 0
2bc + a + 1 2a + 1 = 0
(
)(
)


(1)
(2)
(3)
(4)

Từ (1) và (3) ta có bg = −cg
+) Nếu g ≠ 0 thì b = −c ≠ 0 , thay vào (I) ta được

2

 g ( 2a − 1) = 2c = ( a + 1) ( 2a + 1)


 g = ( a + 2)
⇒ ( 2a − 1) ( a + 2 ) = ( a + 1) ( 2a + 1)

⇒ 2a 2 + 3a − 2 = 2a 2 + 3a + 1
⇒ −2 = 1 (Vô lý)

12

(I)


Do đó g = 0 và chúng ta có c = 0 , b ∈ ¡ , a=-1 hoặc a = −

1
2

- Trong trường hợp đầu tiên với a = −1; b ∈ ¡ ; c = 0; d = −1; g = 0; h = 0 chúng
ta có được liên thông kiểu (a).
1
2

1
2

- Trong trường hợp thứ hai với a = − ; b ∈ ¡ ; c = 0; d = ; g = 0; h = 0 chúng

ta có được liên thông kiểu (b).
Trong mệnh đề tiếp theo chúng ta có được sự tương đương của liên
thông có trong Định lý 4.3.
4.4. Mệnh đề: Cho ∇ là liên thông xoắn tự do phẳng trên aff ( ¡ ) và ω là
một dạng symplectic ∇ song song trên aff ( ¡ ) . Khi đó ( ∇, ω ) là tương
1 1
2
2
1
2
đương symplectic với ( ∇ , e ∧ e ) hoặc ( ∇ , e ∧ e ) mà { e1 , e2 } là 1 cơ sở
1
2
tương thích của aff ( ¡ ) , { e , e } là 1 cơ sở đối ngẫu và ∇1 , ∇ 2 được xác

định như sau:
 −1 0 
÷
 0 0

1
+) ∇ e e1 = 
1

 1
−
+) ∇ e =  2
 0



0÷
÷
0

2
e1 1

;

 0 1
∇1e1 e2 = 
÷ ;
 0 0

∇1e2 ≡ 0

;

1

0

∇ e e2 =
2÷ ;
1

÷
0 0 

1


0 − ÷

∇ e =
∇e22 e2 = 0
2

÷ ;
0 0 

2

2
e2 1

Cả hai liên thông ∇1 và ∇ 2 trên aff ( ¡ ) là không đầy đủ.

{ }



Chứng minh: Cho e , e là 1 cơ sở của aff ( ¡ ) mà e , e  = e . Tồn tại


~

~

1

~

2

~

1

~

2

2

 ~1 ~2 
~
~
λ ≠ 0 sao cho ω = λ  e ∧ e ÷ . Đặt e1 := e 1 ; e2 := λ e 2 . Chúng ta có [ e1 , e2 ] = e2




~

~



1
2

1
−1 2
1
2
và ω = λ  e ∧ e ÷ = λ ( e ∧ λ e ) = e ∧ e





13


1
2
Chúng ta có ∇ ( e ∧ e ) = ∇ω = 0 và ∇ phải là một trong các liên

thông xoắn tự do phẳng trong Định lý 4.3.
Đầu tiên chúng ta giả sử rằng ∇ là 1 liên thông kiểu (a) trong
Định lý 4.3. Các đẳng cấu tuyến tính của aff ( ¡ ) là tương đương
 1 0
÷
symplectic giữa ∇ và ∇ được cho bởi ξ =  1
λ 1÷
2

1

trong cơ sở { e1 , e2 }

Nếu ∇ là liên thông kiểu (b) trong Định lý 4.3. Các đẳng cấu
tuyến tính của aff ( ¡ ) là tương đương symplectic giữa ∇ và ∇ 2 được cho
 1

0

bởi ξ = 
÷ trong cơ sở { e1 , e2 }
.
 2λ 1 
Tiếp theo, chúng ta quan sát thấy rằng ∇1 và ∇ 2 không tương
1
đương. Thật vậy, họ các không gian con W1 = { x ∈ aff (¡ ) : ∇ x ≡ 0} và

W2 = { x ∈ aff (¡ ) : ∇ 2x ≡ 0} của aff ( ¡

) sẽ đẳng cấu với nhau. Tuy nhiên, rõ

ràng là dimW1=1 trong khi W2 = { 0} . Do đó có 2 liên thông không tương
đương.
* Cuối cùng chúng ta chỉ ra rằng liên thông là không đầy đủ. Cho
x ( t ) = a1 ( t ) e1 + a2 ( t ) e2

là 1 đường cong trong

aff ( ¡ ) thỏa

g

x ( t ) = −∇ 2x( t ) x ( t ) , chúng ta có hệ sau:

1 2
g
a 1 ( t ) = 2 a1 ( t )

ag t = 0
 2( )

Từ phương trình đầu tiên trong hệ trên chúng ta có được

14

mãn


a1 ( t ) không xác định trong trường số thực. Do đó ∇1 là không đầy đủ.

Tương tự nếu x ( t ) = a1 ( t ) e1 + a2 ( t ) e2 là 1 đường cong trong aff ( ¡ ) thỏa

g

mãn

x ( t ) = −∇ 2x( t ) x ( t )

, chúng ta có hệ sau:

1 2
g
a 1 ( t ) = 2 a1 ( t )


ag t = 0
 2( )

Chúng ta cũng có được a1 ( t ) không xác định trong trường số
thực. Do đó ∇ 2 là không đầy đủ.
Chúng ta thấy rằng liên thông xoắn tự do phẳng khác 0 trên
aff ( ¡

) mà bảo toàn dạng symplectic chỉ có 2 loại

∇1 , ∇ 2 và 2 liên thông

này là không tương đương.
Chúng ta cũng có thể chỉ ra 1 cấu trúc đại số Lie mới bắt đầu với
2 đại số Lie trang bị liên thông xoắn tự do phẳng và dạng symplectic.
Như thế trong chương 1 chúng ta liệt kê tất cả các liên thông
xoắn tự do phẳng bảo toàn dạng symplectic trên các đại số Lie 2 chiều,
cụ thể bài toán được xét trên các đại số ¡

2

và aff( ¡ ) có đúng hai kiểu

liên thông như vậy. Các kết quả quan trọng này sẽ được sử dụng vào các
trường hợp 4 chiều: Mô tả đại số Lie 4 chiều có cấu trúc siêu symplectic.

15


CHƯƠNG 2

ĐẠI SỐ LIE 4 CHIỀU MANG CẤU TRÚC SIÊU SYMPLECTIC
Trong phần này chúng ta sẽ xây dựng một cách rõ ràng tất cả
các đại số Lie 4 chiều mang cấu trúc siêu symplectic bằng cách sử dụng
định lý về các điều kiện tương đương. Để làm được điều này chúng ta
phải xác định hai bộ sau (u, ∇ , ω ), (v, ∇ , ω ' ) và đẳng cấu tuyến tính
ϕ : u → v thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 3.2 về các điều kiện

tương đương. Các đại số Lie
cấu với ¡

2

u

và

v

là 2 chiều và do đó chúng đẳng

hoặc aff ( ¡ ) . Liên thông xoắn tự do, phẳng trên đại số Lie

mà tương thích với dạng symplectic cổ điển. Chúng ta chỉ có thể thành

16


lập đẳng cấu tuyến tính ϕ mà được chấp nhận. Chúng ta sẽ nghiên cứu
vấn đề này trong 4 trường hợp sau.
§1. Trường hợp A: u = ¡ 2 và v = ¡

2

Chúng ta cố định cơ sở { e1 , e2 } của u và liên kết dạng symplectic
1
2
ω = e1 ∧ e 2 mà { e , e

{ f1 , f 2 } của

}

là cơ sở đối ngẫu. Chúng ta cũng cố định 1 cơ sở

v và dạng symplectic liên kết ω ' = f 1 ∧ f 2 , ở đó

{f

1

,f2

}

là

cơ sở đối ngẫu. Trong trường hợp này chỉ có 2 liên thông được xem
xét: tự liên thông 0 và liên thông ∇ a mà xuất hiện trong Mệnh đề 4.2.
2
1

2
2
1
2
1.1. Trường hợp A1 : ( ¡ , ∇ = 0, ω = e ∧ e ) và ( ¡ , ∇ ' = 0, ω ' = f ∧ f )

ở đây g:=u⋈v= ¡

4

là đại số Lie 4 chiều giao hoán.

2
a
1
2
2
1
2
1.2. Trường hợp A2 : ( ¡ , ∇ = ∇ , ω = e ∧ e ) và ( ¡ , ∇ ' = 0, ω ' = f ∧ f )
2
2
ở đây g:=u⋈v = ¡ x¡ . Trong trường hợp này chúng ta có thể giả sử

rằng các đẳng cấu tuyến tính: ϕ : ¡ 2 → ¡ 2 mà thỏa mãn ϕ (ei ) = fi , i = 1, 2
Dễ dàng thấy rằng đẳng cấu này tương thích với ∇ và ∇ ' và
cũng như ω và ω ' . Do đó chúng ta có được 1 cấu trúc siêu symplectic
trên g . Nếu chúng ta biểu thị ei := (ei , 0) và fi := (0, fi ) cho i=1,2. Khi đó

(

e1 , f1  = [ (e1 , 0), (0, f1 ) ] = −ϕ −1∇ ' f1 ϕ (e1 ), ϕ∇ea1ϕ ( f1 )

)

= (0, ϕ∇ea1 e1 ) = (0, ϕ∇ea1 e1 ) = (0, f 2 ) = f 2

Đặt X:=-e2 ; Y:=e1 ; Z:= f1 ; T:=f2 khi đó [ Y , Z ] = T
h
h
Chúng ta biểu thị đại số Lie này bởi t 0 , i.e t 0 = span { X , Y , Z , T }

với [ Y , Z ] = T
2
1
2
2
a
1
2
1.3. Trường hợp A3: ( ¡ , ∇ = 0, ω = e ∧ e ) và ( ¡ , ∇ ' = ∇ , ω ' = f ∧ f )

2
2
Ở đây g:=u⋈v = ¡ x¡ . Trong trường hợp này chúng ta chỉ

đơn giản là giả sử rằng các đẳng cấu tuyến tính: ϕ : ¡ 2 → ¡

17

2

mà thỏa


mãn ϕ (ei ) = fi , i = 1, 2 . Dễ dàng nhận thấy rằng đẳng cấu này là tương
thích với ∇ và ∇ ' và cũng như ω và ω ' . Do đó chúng ta có được 1 cấu
trúc siêu symplectic trên g . Nếu chúng ta biểu thị ei := (ei , 0) và
f i := (0, f i ) cho i=1,2 khi đó chúng ta có

(

)

e1 , f1  = [ (e1 , 0), (0, f1 ) ] = −ϕ −1∇ af1 ϕ (e1 ), ϕ∇ 'e1ϕ −1 ( f1 ) =
(−ϕ −1∇ af1 , 0) = ( −ϕ −1 ( f 2 ), 0) = ( −e2 , 0) = −e2

[ e1 , f2 ] = [ e2 , f1 ] = [ e1 , e2 ] = [ f1 , f2 ] = 0 .
Đặt X:=f2 ; Y:=e1 ; Z:= f1 ; T:=e2 thì chúng ta có [ Y , Z ] = T , g ≅ t 0h
2
a
1
2
2
a
1
2
1.4. Trường hợp A4: ( ¡ , ∇ = ∇ , ω = e ∧ e ) và ( ¡ , ∇ ' = ∇ , ω ' = f ∧ f )

Chúng ta tìm một đẳng cấu tuyến tính ϕ : ¡ 2 → ¡

2

tương thích

với ∇ và ∇ ' và cũng như ω và ω ' . Sau khi tính toán, chúng ta có được
λ
ϕ phải có dạng ϕ = 
µ

0 
với λ ≠ 0 trong các cơ sở { e1 , e2 } ,
λ −1 ÷


{ f1 , f 2 } .

Do đó chúng ta có 1 cấu trúc siêu symplectic về đại số Lie chéo hóa
g:=u⋈v = ¡ 2 x¡ 2 . Chúng ta có:
ϕ (e1 ) = λ f1 + µ f 2 ; ϕ (e2 ) = λ −1 f 2
ϕ −1 ( f1 ) = λ −1e1 − µe2 ; ϕ −1 ( f 2 ) = λ e2

Chúng ta biểu thị ei := (ei , 0) và fi := (0, f i ) cho i=1,2 với các móc
Lie khác 0 là:

[ e1 , f1 ] = ( e1 , 0 ) , ( 0, f1 )  = ( −ϕ −1∇ af ϕ ( e1 ) , ϕ∇ea ϕ −1 ( f1 ) ) =

( −ϕ

1

)

1

∇ af1 ( λ f1 + µ f 2 ) , ϕ∇ ea1 ( λ −1e1 − µ e2 ) = −λ 2 e2 + λ −2 f 2

−1

Đặt: Y := e1 , Z := λ f1 + µ f 2 , T := − λ 3e2 + λ −1 f 2 , X := −(e2 + λ 2 f 2 )
h
thì móc Lie khác 0 là [ Y , Z ] = T và do đó g ≅ t 0

18


§2. Trường hợp B: u = aff (¡ ) và v = ¡
Chúng ta cố định cơ sở { e1 , e2 } của

u

2

mà [ e1 , e2 ] = e2 và dạng

1
2
symplectic liên kết ω = e1 ∧ e2 với { e , e } là cơ sở đối ngẫu. Chúng ta

cũng cố định cơ sở { f1 , f 2 } của

ω ' = f 1 ∧ f 2 với

{f

1

v

và dạng symplectic liên kết

, f 2 } là cơ sở đối ngẫu. Trong trường hợp này có các

liên thông được xét là liên thông đồng nhất 0, liên thông ∇ a , liên thông
∇b và liên thông ∇ c mà đã nói trong Mệnh đề 4.2 và Mệnh đề 4.4 .
b
1
2
2
1
2
2.1. Trường hợp B1: ( aff ( ¡ ) , ∇ = ∇ , ω = e ∧ e ) và ( ¡ , ∇ ' = 0, ω ' = f ∧ f )

19


Trong trường hợp này, chúng ta có g:=u⋈v = aff ( ¡ ) x¡ 2 .
Chúng ta có thể giả sử rằng đẳng cấu tuyến tính ϕ : aff ( ¡ ) → ¡

2

mà

chúng ta tìm kiếm thỏa mãn ϕ (ei ) = fi với i=1,2.
Dễ dàng thấy rằng đẳng cấu này là tương thích với ∇ và ∇ ' cũng
như với ω và ω ' . Do đó, chúng ta có được một cấu trúc siêu symplectic
trên g . Chúng ta sẽ mô tả đại số Lie này như sau
Nếu biểu thị ei := (ei , 0) và fi := (0, fi ) cho i=1,2 thì các móc Lie khác 0 là

[ e1 , e2 ] = e2 ; [ e1 , f1 ] = − f1 ; [ e1 , f2 ] = f 2 .
Chúng ta sẽ thay đổi cơ sở bằng cách đặt
X = e1 , Y = − f1 , Z = e2 , T = f 2 .

Do đó [ X , Y ] = Y , [ X , Z ] = −Z , [ X , T ] = −T
Chúng ta biểu thị đại số này bởi t1h
2.2. Trường hợp B2:

( aff ( ¡ ) , ∇ = ∇ , ω
b

= e1 ∧ e 2 )

2
a
1
2
và ( ¡ , ∇ ' = ∇ , ω ' = f ∧ f ) .

Chúng ta tìm kiếm 1 đẳng cấu tuyến tính ϕ : aff ( ¡ ) → ¡

2

mà

tương thích với ∇ và ∇ ' cũng như với ω và ω ' . Có thể thấy rằng ϕ phải
λ

0 

e ,e
f , f2} .
có dạng ϕ = 
−1 ÷ với λ ≠ 0 , trong các cơ sở { 1 2 } và { 1
µ λ 

Do đó chúng ta có cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lie g:=u⋈v =
aff ( ¡ ) x¡

2

. Chúng ta biểu thị ei := (ei , 0) và fi := (0, fi ) cho i=1,2 thì các

móc Lie khác 0 là [ e1 , e2 ] = e2

[ e1 , f1 ] = ( −ϕ −1∇ af ϕ ( e1 ) , ϕ∇ be ϕ −1 ( f1 ) ) = −λ 2e2 − f1 − 2 µλ −2 f 2
1

1

[ e1 , f2 ] = ( −ϕ −1∇ af 2ϕ ( e1 ) , ϕ∇be ϕ −1 ( f 2 ) ) =
1

Bây giờ chúng ta sẽ thay đổi cơ sở bằng cách đặt
20

f2


Z := e2 , T := −λ −1 f 2 , X := −e1 +

λ2
λ3
f 2 , Y := − e2 − λ f1 − µ f 2
2
2

Do đó các móc Lie khác 0 là [ X , Y ] = Y , [ X , Z ] = −Z , [ X , T ] = −T
h
và khi đó g ≅ t1

2.3. Trường hợp B3:

( aff ( ¡ ) , ∇ = ∇ , ω
c

= e1 ∧ e 2 )

2
1
2
và ( ¡ , ∇ ' = 0, ω ' = f ∧ f ) .

2
Trong trường hợp này chúng ta có g:=u⋈v = aff ( ¡ ) x¡ . Chúng

ta giả sử rằng đẳng cấu tuyến tính ϕ : aff ( ¡ ) → ¡

2

mà chúng ta tìm kiếm

thỏa mãn ϕ (ei ) = fi với i=1,2. Dễ dàng thấy rằng đẳng cấu này là tương
thích với ∇ và ∇ ' cũng như với ω và ω ' . Chúng ta có được 1 cấu trúc
siêu symplectic trên g . Nếu chúng ta biểu thị ei := (ei , 0) và fi := (0, fi )
cho i=1,2. Khi đó các móc Lie khác 0 là

[ e1 , e2 ] = e2
[ e1 , f1 ] = ( −ϕ −1∇ ' f ϕ ( e1 ) , ϕ∇ ce ϕ −1 ( f1 ) ) =  0, −
1

1



1 
1
f1 ÷ = − f1
2 
2

[ e1 , f 2 ] = ( −ϕ −1∇'f ϕ ( e1 ) , ϕ∇ce ϕ −1 ( f 2 ) ) = ( 0,ϕ∇ce ( e2 ) ) =  0,

2

1

1

[ e2 , f1 ] = ( −ϕ −1∇'f ϕ ( e2 ) , ϕ∇ec ϕ −1 ( f1 ) ) = ( 0, ϕ∇ce ( e1 ) )
1

2

2

1  1
f2 ÷= f2
 2  2
1 
1

=  0, − f 2 ÷ = − f 2
2 
2


Đặt X := 2e1 , Y := e2 , Z := −2 f1 , T := f 2 . Chúng ta có được

[ X , Z ] = −Z , [ X , T ] = T , [ Y , Z ] = T . Chúng ta biểu thị đại số Lie này là

t 2h

2.4. Trường hợp B4:

( aff ( ¡ ) , ∇ = ∇ , ω
c

= e1 ∧ e 2 ) và ( ¡ 2 , ∇ ' = ∇a , ω ' = f 1 ∧ f 2 ) .

Chúng ta tìm kiếm 1 đẳng cấu tuyến tính ϕ : aff ( ¡ ) → ¡

2

mà

tương thích với ∇ và ∇ ' cũng như với ω và ω ' . Khi đó, ϕ phải có dạng

21


λ 0 
e ,e
f , f 2 } . Do đó chúng ta
ϕ =
−1 ÷ với λ ≠ 0 , trong các cơ sở { 1 2 } và { 1
µ λ 
2
có cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lie g:=u⋈v = aff ( ¡ ) x¡ . Chúng

ta biểu thị ei := (ei , 0) và fi := (0, fi ) cho i=1,2 thì các móc Lie khác 0 là

[ e1 , e2 ] = e2 ; [ e1 , f1 ] = −λ 2 f 2 −

[ e1 , f 2 ] =

1
f1 − λ −1µ f 2
2

1
1
f 2 ; [ e2 , f1 ] = − λ 2 f 2
2
2

Chúng ta thay đổi cơ sở bằng cách đặt
Do đó [ X , Y ] = 2Y , [ X , Z ] = −Z , [ X , T ] = T , [ Y , Z ] = T và khi đó g ≅ t 2h

§3. Trường hợp C: u = ¡ 2 và v = aff (¡ )
3.1. Trường hợp C1:

(¡

2

, ∇ = 0, ω = e1 ∧ e2 )

b
1
2
và ( aff (¡ ), ∇ ' = ∇ , ω ' = f ∧ f ) .

2

Trong trường hợp này, chúng tôi có g:=u⋈v = aff ( ¡ ) x¡ . Nếu

chúng ta biểu thị ei := (ei , 0) và fi := (0, fi ) cho i=1,2 thì các móc Lie khác
0 là:

[ e1 , f1 ] = e1 ;[ e2 , f1 ] = −e2 ; [ f1 , f 2 ] = f 2

Chúng ta thay đổi cơ sở bằng cách đặt
X = − f1 ; Y = e1 ; Z = e2 ; T = f 2

22


Do đó [ X , Y ] = Y , [ X , Z ] = −Z , [ X , T ] = −T và khi đó g ≅ t1h
3.2. Trường hợp C2:

(¡

2

, ∇ = ∇ a , ω = e1 ∧ e 2 )

b
1
2
và ( aff (¡ ), ∇ ' = ∇ , ω ' = f ∧ f ) .

Chúng ta tìm kiếm 1 đẳng cấu tuyến tính ϕ : aff ( ¡ ) → ¡

2

mà

tương thích với ∇ và ∇ ' cũng như với ω và ω ' . Khi đó, ϕ phải có dạng
λ 0 
e ,e
f , f 2 } . Do đó chúng ta
ϕ =
−1 ÷ với λ ≠ 0 , trong các cơ sở { 1 2 } và { 1
µ λ 
2
có cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lie g:=u⋈v= aff ( ¡ ) x¡ .Chúng

ta biểu thị ei := (ei , 0) và fi := (0, fi ) cho i=1,2 thì các móc Lie khác 0 là:

[ e1 , f1 ] = ( e1 , 0 ) , ( 0, f1 )  = −e1 − 2λµe2 + λ −2 f 2
[ e2 , f1 ] = ( e2 , 0 ) , ( 0, f1 )  = ( −λ −1λ e2 , 0 ) = ( −e2 , 0 ) = −e2
[ f1 , f 2 ] = f 2
Chúng ta thay đổi cơ sở bằng cách đặt
X :=

λ −2
λ −3
e 2 − f1 , Y := λ −1e1 − µ e2 +
f 2 , Z := e2 , T := λ −1 f 2
2
2

Do đó [ X , Y ] = Y , [ X , Z ] = −Z , [ X , T ] = −T và khi đó g ≅ t1h
3.3. Trường hợp C3:

(¡

2

, ∇ = 0, ω = e1 ∧ e2 ) và ( aff (¡ ), ∇ ' = ∇ c , ω ' = f 1 ∧ f 2 ) .

2
Trong trường hợp này chúng ta có g:=u⋈v= ¡ xaff ( ¡ ) . Nếu

chúng ta biểu thị ei := (ei , 0) và fi := (0, fi ) cho i=1,2 thì các móc Lie khác
0 là:

[ e1 , f1 ] =

1
1
1
e1 , [ e1 , f 2 ] = e2 , [ e2 , f1 ] = − e2 , [ f1 , f 2 ] = f 2
2
2
2

Chúng ta thay đổi cơ sở bằng cách đặt
X := 2 f1 ; Y := f 2 ; Z := 2e1 ; T := −e2

23


Do đó [ X , Y ] = 2Y , [ X , Z ] = −Z , [ X , T ] = T , [ Y , Z ] = T và khi đó g ≅ t 2h

3.4. Trường hợp C4:

(¡

2

, ∇ = ∇ a , ω = e1 ∧ e 2 ) và ( aff (¡ ), ∇ ' = ∇c , ω ' = f 1 ∧ f 2 ) .

Chúng ta tìm kiếm 1 đẳng cấu tuyến tính ϕ : aff ( ¡ ) → ¡

2

mà

tương thích với ∇ và ∇ ' cũng như với ω và ω ' . Khi đó, ϕ phải có dạng
λ 0 
e ,e
f , f 2 } . Do đó chúng ta
ϕ =
−1 ÷ với λ ≠ 0 , trong các cơ sở { 1 2 } và { 1
µ λ 

có cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lie

2
g:=u⋈v = ¡ xaff ( ¡ ) .

Chúng ta biểu thị ei := (ei , 0) và fi := (0, fi ) cho i=1,2 thì các móc Lie khác
0

là:

[ e1 , f1 ] = ( e1 , 0 ) , ( 0, f1 )  = ( −ϕ −1∇ cf ϕ ( e1 ) , ϕ∇ ea ϕ −1 ( f1 ) )
1

1

1
1
 1
=  λ ( λ −1e1 − µ e2 ) − λµ e2 , λ −1λ −1 f 2 ÷ = e1 − λµ e2 + λ −2 f 2
2
2
 2

[ e1 , f 2 ] = ( e1 , 0 ) , ( 0, f 2 )  = ( −ϕ −1∇cϕ ( e1 ) , ϕ∇ aϕ −1 ( f 2 ) ) = ( −ϕ −1∇ c λ −1 f 2 , ϕ∇ a (λe2 ) )

 1
  1
 1
=  −ϕ −1  − λ f 2 ÷, 0 ÷ =  λ 2 e2 , 0 ÷ = λ 2e2
 2
  2
 2



1 −1 

λ f 2 ÷, ϕ ( 0 ) ÷

2



[ e2 , f1 ] = ( e2 , 0 ) , ( 0, f1 )  = ( −ϕ −1∇cf ϕ ( e2 ) , ϕ∇ ea ϕ −1 ( f1 ) ) =  −ϕ −1 
1

2



1
 1
  1

=  − λ −1λ e2 , 0 ÷ =  − e2 , 0 ÷ = − e2
2
 2
  2

[ f1 , f 2 ] = f 2

Chúng ta thay đổi cơ sở bằng cách đặt
4
4
X := − λ −2 e2 + 2 f1 , Y := f 2 , Z := 2λ −1e1 − 2 µ e2 + λ −3 f 2 , T := −λ e2
3
3

Do đó [ X , Y ] = 2Y , [ X , Z ] = −Z , [ X , T ] = T , [ Y , Z ] = T và khi đó g ≅ t 2h

24


§4. Trường hợp D: u = aff ( ¡ ) và v = aff (¡ )
4.1. Trường hợp D1:

( aff ( ¡ ) , ∇ = ∇ , ω = e
b

1

∧ e2 )

b
1
2
và ( aff (¡ ), ∇ ' = ∇ , ω ' = f ∧ f ) .

Chúng ta tìm kiếm 1 đẳng cấu tuyến tính ϕ : aff ( ¡ ) → aff ( ¡ ) mà
tương thích với ∇ và ∇ ' cũng như với ω và ω ' . Khi đó, ϕ phải có dạng
λ 0 
e ,e
f , f 2 } . Do đó chúng ta
ϕ =
−1 ÷ với λ ≠ 0 , trong các cơ sở { 1 2 } và { 1
µ λ 

có cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lie g:=u⋈v = aff ( ¡ ) xaff ( ¡ ) .
Nếu chúng ta biểu thị ei := (ei , 0) và fi := (0, f i ) cho i=1,2 thì các móc Lie

khác 0 là:

[ e1 , e2 ] = e2 ; [ e1 , f1 ] = ( −ϕ −1∇bf ϕ ( e1 ) , ϕ∇be ϕ −1 ( f1 ) ) = e1 − 2λµ e2 − f1 − 2λ −1µ f 2 .
[ e1 , f 2 ] = ( −ϕ −1∇bϕ ( e1 ) , ϕ∇bϕ −1 ( f 2 ) ) = ( 0, ϕ ( λ e2 ) ) = ( 0, f 2 ) = f 2
[ e2 , f1 ] = ( −ϕ −1∇bf ϕ ( e2 ) , ϕ∇be ϕ −1 ( f1 ) ) = ( −λ −1ϕ −1 ( f 2 ) , 0 ) = ( −e2 , 0 ) = −e2
[ f1 , f 2 ] = f 2
1

1

1

2

Chúng ta thay đổi cơ sở bằng cách đặt
Z := λ e2 ; T := f 2 ; X := −

1
1
e1 + λ 2 f1 ) ; Y := 2 ( λ e1 − λ f1 − λ 2 µ e2 − µ f 2 )
(
λ +1
λ +1
2

Do đó, chúng ta có [ X , Y ] = Y , [ X , Z ] = −Z , [ X , T ] = −T và khi đó g ≅ t1h
4.2. Trường hợp D2:

( aff ( ¡ ) , ∇ = ∇ , ω = e

∧ e2 )

( aff ( ¡ ) , ∇ = ∇ , ω = e

∧ e 2 ) và ( aff (¡ ), ∇ ' = ∇b , ω ' = f 1 ∧ f 2 ) .

b

c

1

1

c
1
2
và ( aff (¡ ), ∇ ' = ∇ , ω ' = f ∧ f ) hoặc

Trong trường hợp này không tồn tại bất kỳ 1 đẳng cấu tuyến tính
ϕ : aff ( ¡ ) → aff ( ¡

) mà tương thích với ∇ và ∇ ' cũng như với ω và ω ' .

25