20 bài PT Lượng giác có lời giải

ma
th

1 Giải phương trình: cos3 x + sin3 x + 2 sin2 x = −1
Giải:
Ta có −1 ≤ sin3 x + cos3 x ≤ 1 và 0 ≤ 2 sin2 x ≤ 2
cos3 x + sin3 x = −1
Vậy ta có pt ⇔
⇔ cos x = −1
2 sin2 x = 0

.vn

TỔNG HỢP 20 BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRÊN MATH.VN

2 Giải phương trình: 4 cos x − 4 sin2 x + cos 4x = 5
Giải:
2
cos 4x = 2 cos2 2x − 1 = 2(2 cos2 x − 1) − 1 = 8 cos4 x − 8 cos2 x + 1 −4sin2 x = −4(1 − cos2 x)
PT ⇔ 4 cos x + 4cos2 x − 4 + 8 cos4 x − 8 cos2 x + 1 − 5 = 0 ⇔ 8 cos4 x − 4 cos2 x + 4 cos x − 8 = 0
cos x − 1 = 0 ⇔ cos x = 1 ⇒ x = k2π (k ∈ Z)
⇔ (cos x − 1)(8 cos3 x + 8 cos2 x + 4 cos x + 8) = 0 ⇔
8 cos3 x + 8 cos2 x + 4 cos x + 8 = 0 (V N)

htt

p:/

/w

ww

.

3 Giải phương trình: tan x + tan2 x + tan3 x + cot x + cot2 x + cot3 x = 6
Giải:
1
2
tan x + cot x =
=
sin(x). cos(x) sin 2x
sin2 x cos2 x cos4 x + sin4 x 4 − 2sin2 2x
2
2
+
=
=
tan x + cot x =
cos2 x sin2 x
cos2 x.sin2 x
sin2 2x
3
6
3
6
sin x cos x cos x + sin x 8 − 6sin2 2x
tan3 x + cot3 x =
+
=
=
cos3 x sin3 x
cos3 x.sin3 x

sin3 2x
2
2
2
8 − 6sin 2x 4 − 2sin 2x
PT ⇔
+
+
= 6 ⇔ −8sin3 2x − 4sin2 2x + 4 sin 2x + 8 = 0
3
2
sin 2x
sin 2x
sin 2x
π
sin 2x − 1 = 0 ⇔ sin 2x = 1 ⇒ x = + kπ(k ∈ Z)
2
4
⇔ (sin 2x − 1)(−8 sin 2 − 12 sin 2x − 8) = 0 ⇔
−8 sin2 2 − 12 sin 2x − 8 = 0 (V N))
π
−1
4 Giải phương trình: (tan x. cot 2x − 1) sin 4x +
(sin4 x + cos4 x)
=
2
2
Giải:
Đk: sin x = 0, cos x = 0
cos 2x

−1
(1) ⇔
− 1 (2 cos2 2x − 1) =
(cos2 2x + 1)
cos 2x + 1
4
⇔ cos3 2x − 7 cos2 2x + cos 2x + 5 = 0
⇔ (cos 2x − 1)(cos 2x − 5 cos 2x − 6) = 0
√
√
⇔ cos 2x = 0 ∨ cos 2x = 3 − 14 ∨ cos
2x
=
3
+
14 (loại)
√
arccos(3 − 14)
⇒ x = kπ ∨ x = ±
+ kπ
2
5 Giải phương trình: 32 cos6 x + π4 − sin 6x = 1
Giải:
PT
⇔ 4(1 + cos(2x + π2 ))3 − (3 sin 2x − 4 sin3 2x) = 1
⇔ 4(1 − sin 2x)3 − (3 sin 2x − 4 sin3 2x) = 1
⇔ 12 sin2 2x − 15 sin 2x + 3 = 0
1
⇔ sin 2x = 1 ∨ sin 2x =
4

4x
6 Giải phương trình: cos2 x = cos
3
Giải:
1 + cos 2x
4x
2x
2x
PT
⇔
= cos
⇔ 1 + cos 3
= 2 cos 2
2
3
3
3

1


2x
2x
2x
2x
2x
2x
− 3 cos = 4cos2 − 2 ⇔ 4 cos3 − 4cos2 − 3 cos + 3 = 0
3
3

3
3
3
3
√
√
2x
2x
3
2x
⇔ cos − 1
cos −
4 cos + 2 3 = 0
3
3
2
3

2x
⇒ x = k3π
(k ∈ Z)
 cos 3 = 1√

2x
3
π

⇔  cos =
⇒ x = ± + k3π (k ∈ Z)


3
2√
4

2x
5π
3
cos = −
⇒ x = ± + k3π (k ∈ Z)
3 √ 2
4
7 Giải phương trình: sin 3x + sin x = 3(cos x − 1)
Giải:
π
π
Đặt x + = t ⇒ 3x = 3t − Phương trình tương đương với
6 √
2√
√
√
π
⇔ sin 3x = 3 cos x − sin x − 3 ⇔ sin(3t − ) = 2 cost − 3 ⇔ − cos 3t + 2 cost + 3 = 0
√ 2
√
√
√
3
3
⇔ 4 cos3 t − cost + 3 = 0 ⇔ cost −
4 cos2 x + 2 3 cos x + 2 = 0 ⇔ cost =

2
2

ma
th

.vn

⇔ 1 + 4 cos3

x = 2kπ
π
x = − + 2kπ
3
8 Giải phương trình: cos2 x − 4 cos x − 2x sin x + x2 + 3 = 0
Giải:

ww
.

π
⇔ t = ± + 2kπ ⇔
6

p:/

/w


sin x = x

2
2
2
2
cos x − 4 cos x − 2x sin x + x + 3 = 0 ⇔ 2(cos x − 1) + (sin x − x) = 0 ⇔
⇔x=0
cos x = 1
√
9 Giải phương trình: tan2 x − 2 + 2 − tan x = 0
Giải:
√
√
√
tan x = 2 − tan x
√
ĐK: tan x ≤ 2. PT ⇔ (tan x − 2 − tan x)(tan x + 2 − tan x − 1) = 0 ⇔
tan x + 2 − tan x − 1 = 0
√
+ Với tan x = 2 − tan x ≥ ta có pt ban đầu tương đương:
tan x = 1
π
tan2 x + tan x − 2 = 0 ⇔
⇔ tan x = 1 ⇔ x = + kπ
4
tan x = −2
√
+ Với tan x + 2 − tan x − 1 = 0 (∗)
√ ta có pt ban đầu tương đương:
1± 5
tan2 x − tan x − 1 = 0 ⇔ tan x =

2
√
√
1− 5
1− 5
Thử lại vào (∗) ta nhận nghiệm tan x =
⇔ x = arctan
+ kπ
2
2
√
π
1− 5
+ kπ (k ∈ Z)
KL: PT đã cho có nghiệm x = + kπ; x = arctan
4
2
10 Giải phương trình:

2 cos x
+
3

2 − 2 cos x 2
1
= sin x +
3
3
2 sin x

htt

Giải:
Có cos x ≥ 0 và 1 − cos x ≥ 0
Cauchy
√
2 √
2 1
1
1
Vậy nên V T =
cos x + 1 − cos x ≤
cos x + + (1 − cos x) +
3
3 2
2
2
√
2 √
Vì V P = V T =
cos x + 1 − cos x > 0 ⇒ sin x > 0
3
2
1 Cauchy 4
Vậy nên V P = sin x +
≥
3
2 sin x
3
2

=

4
3


htt

p:/

/w

ww
.

ma
th

.vn


1

cos x =
4
π
2
√
Vì V P ≥

≥ V T nên đẳng thức xảy ra ⇔
⇔ x = + 2kπ

3
3
sin x = 3
2
√
5
5
11 Giải phương trình: cos x + sin x + sin 2x + cos 2x = 1 + 2
Giải:
sin5 x ≤ | sin5 x| ≤ sin2 x
Có:
⇒ sin5 x + cos5 x ≤ 1
cos5 x ≤ | cos5 x| ≤ cos2 x
√
√
√
π
Lại có: sin 2x + cos 2x = 2 sin(2x + ) ≤ 2, Nên V T ≤ 2 + 1 = V P
4

5
2


sin x = sin x



⇔x∈Ø
Đẳng thức xảy ra ⇔ cos5 x = cos2 x


π

sin 2x +
=1
4
11π x
x π
11π
+ cos
−
+ sin
−
=0
12 Giải phương trình: cos x −
5
10
2
2 10
Giải:
x π
Lúc đó pt đã cho trở thành: cos(2t − 2π) + cos(π − t) + sint = 0
Đặt t = −
2 10
⇔ cos 2t − cost + sint = 0 ⇔ (cost − sint) (cost + sint − 1) = 0 ⇔ cost − sint = 0 ∨ cost + sint = 1
π
7π

+Với cost − sint = 0 ⇔ tant = 1 ⇔ t = + kπ ⇒ x =
+ k2π, k ∈ Z
10
√4
π
2
π
π
6π
+Với cost + sint = 1 ⇔ sin t +
=
⇔ t = k2π ∨t = + k2π ⇒ x = + k4π ∨ x =
+ k4π, k ∈ Z
4
2
2
5
5
√
x π
5x π
3x
−
− cos
−
= 2 cos
13 Giải phương trình: sin
2
4
2 4

2
Giải:
√
√
5x π
x π
3x
π
3x
3x
PT ⇔ sin
−
− sin
+
= 2 cos
⇔ 2 cos sin x −
= 2 cos
2
4
2 4
2
2
4
2

π
3x
π

= + kπ

3x
x = + k 2π

3
2
2
cos = 0
3


π
π

π
2


⇔
(k ∈ Z)
π
1 ⇔  x − 4 = 4 + k2π ⇔  x = + k2π
2
sin x −
=√

π
3π
4
2
x = π + k2π

x− =
+ k2π
4
4
sin10 x + cos10 x
sin6 x + cos6 x
14 Giải phương trình:
=
4
4 cos2 2x + sin2 2x
Giải:
sin6 x + cos6 x
1 − 3 sin2 x cos2 x 1
=
=
VP =
4
4 sin2 2x + cos2 2x
4 − 3 sin2 2x
1
Ta có : cos10 x ≤ cos2 x; sin10 x ≤ sin2 x; ⇒ V T ≤ ⇔ V P = V T
4
10
2
cos x = cos x
cos x = 0 ∨ cos x = ±1
⇔
⇔ cos x = 0; sin x = 0 ⇔ sin 2x = 0 ⇔ x = k π2
10
2

sin x = sin x
sin x = 0 ∨ sin x = ±1
cos2 x.(cos x − 1)
15 Giải phương trình:
= 2(1 + sin x)
sin x + cos x
Giải:
(1 − sin x)(1 + sin x)(cos x − 1)
Điều kiện : sin x + cos x = 0. PT ⇔
= 2(1 + sin x)
sin x + cos x
cos x − sin x. cos x + sin x − 1
⇔ (1 + sin x)
−2 = 0
sin x + cos x
−π
) sin x = −1 ⇒ x =
+ k2π (k ∈ Z)
2

3


cos x − sin x. cos x + sin x − 1
− 2 = 0 ⇔ sin x + cos x + sin x. cos x + 1 = 0
sin x + cos x
√
t2 − 1
t2 − 1
Đặt sin x + cos x = t, điều kiện |t| ≤ 2; sin x. cos x =

⇒ t +1+
= 0 ⇔ t 2 + 2t + 1 = 0
2
2
√
− 2
π
π
⇒ t = −1 ⇔ sin x + cos x = −1 ⇔ cos(x − 4 ) =
= cos 3π
4 ⇒ x = k2π, x = 2 + k2π
2
So với điều kiện sin x + cos x = 0, vậy phương trình đã cho có nghiệm :x = k2π, x = π2 + k2π

.vn

)

htt

p:/

/w

ww
.

ma
th

16 Giải phương trình: tan2 x − tan2 x. sin3 x + cos3 x − 1 = 0
Giải:
PT ⇔ tan2 x(1 − sin3 x) + (cos3 x − 1) = 0 ⇔ sin2 x(1 − sin3 x) + cos2 x(cos3 x − 1) = 0
⇔ (1 − cos x)(1 + cos x)(1 − sin x)(1 + sin x + sin2 x) − (1 − cos x)(1 − sin x)(1 + sin x)(1 + cos x + cos2 x) = 0
⇔ (1 − cos x)(1 − sin x)(sin2 x − cos2 x + sin2 x. cos x − sin x.cos2 x) = 0
⇔ (1 − cos x)(1 − sin x)(sin x − cos x)(sin x + cos x + sin x. cos x) = 0
Với cos x = 1 ⇒ x = k2π
π
Với sin x = 1 ⇒ x = + k2π
2
π
Với sin x = cos x ⇒ tan x = 1 ⇒ x = + kπ
4
√
Với sin x + cos x + sin x. cos x = 0; Đặt sin x + cos x = t, điều kiện |t| ≤ 2
t2 − 1
⇔ t 2 + 2t − 1 = 0
sin x. cos x =
2
√
√
√
−1 + 2
π
Khi t = −1 + 2 ⇔ sin x + cos x = −1 + 2 ⇔ cos(x − ) =
4
2
√
π
−1 + 2

⇒ x = ± arccos
+ k2π
4
2
√
Khi t = −1 − 2 (loại)
So với điều kiện cos x = 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm :
√
π
π
−1 + 2
π
+ k2π (k ∈ Z)
x = k2π, x = + k2π, x = + kπ, x = ± arccos
2
4
4
2
2 cos 2x + 4
= 14
(1)
17 Giải phương trình: tan2 x + 9 cot2 x +
sin 2x
Giải:
Đk: tan x = 0
9
(1) ⇔ tan2 x + 2 + (tan x + cot x)(2 cos2 x + 1) = 14
tan x
9
tan2 x + 1

tan2 x + 3
⇔ tan2 x + 2 +
= 14
tan x
tan x
tan2 x + 1
⇔ tan4 x + tan3 x − 14 tan2 x + 3 tan x + 9 = 0
⇔ (tan x − 1)(tan x − 3)(tan2 x + 5√
tan x + 3) = 0
√
−5 − 13
13 − 5
⇔ tan x = 1 ∨ tan x = 3 ∨ tan x =
∨ tan x =
2
2
6 cos3 2x + 2 sin3 2x
18 Giải phương trình:
= cos 4x
3 cos 2x − sin 2x
Giải:
Điều kiện: 3 cos 2x − sin 2x = 0;
Đặt t = 2x; Phương trình tương đương:
6 cos3 t + 2 sin3 t
= cos 2t
3 cost − sint
⇔ 6 cos3 t + 2 sin3 t = (3 cost − sint) cos 2t
Xét cost = 0, phương trình vô nghiệm.
4

ma
th

.vn

Xét cost = 0, chia 2 vế cho cos3 t = 0
6 + 2 tan3 t = (3 − tant) 1 − tan2 x
⇔ tan3 t + 3 tan2 t + tant + 3 = 0
⇔ (tant + 3) (tan2 t + 1) = 0
Vì (tan2 t + 1) > 0 ∀t
nên phương trình tương đương: tant + 3 = 0 ⇔ t = arctan(−3) + kπ ⇔ x = 12 arctan(−3) + k π2
Thử lại thấy đúng điều kiện, vậy phương trình có 1 họ nghiệm là x = 12 arctan(−3) + k π2
√
19 Giải phương trình: 4 sin3 x − 4 = 3 cos 3x
Giải:

htt

p:/

/w

ww
.

20 Giải phương trình: 4 sin3 x − 3 cos3 x − 3 sin x − sin2 . cos x = 0
Giải:
Nhận thấy cos x = 0 không là nghiệm của phương trình.
Với cos x = 0, chia cả 2 vế cho cos3 x ta được:

4 tan3 x + 3 − 3 tan x(1 + tan2 x) − tan2 x = 0
⇔ tan3 x − tan2 x − 3 tan x + 3 = 0
√
√
⇔ tan x = 3 ∨ tan x = − 3 ∨ tan x = 1
⇔ x = π3 + kπ ∨ x = π4 + kπ

5