Một số PP CM hình học thường dùng

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP
1. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau :
- Chỉ rõ chúng là những yếu tố tương ứng (cạnh, trung tuyến, đường cao, phân
giác…) trong các hình bằng nhau (tam giác, tứ giác).
- Chỉ rõ chúng là các cạnh bên của tam giác cân, chúng là đường trung tuyến thuộc
cạnh huyền trong tam giác vuông
- Chỉ rõ chúng là những cạnh đối trong một HBH, HCN, HV, hình thoi, các đường
chéo của hình thang cân, HCN, HV.
- Chỉ rõ chúng là những khoảng cách từ một điểm nằm trên đường phân giác của
một góc đến hai cạnh của góc ấy.
- Chỉ rõ chúng là những dây cung trương các dây bằng nhau hoặc là những tiếp
tuyến vẽ từ một điểm đến một đường tròn
- Chỉ rõ chúng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba.
2. Chứng minh các góc bằng nhau :
- Chỉ rõ chúng là các góc tương ứng trong các tam giác, tứ giác bằng nhau (hoặc
đồng dạng với nhau.
- Chỉ rõ chúng là các góc đáy của một hình thang cân, tam giác cân, các góc đối của
1 HBH, Hình thoi.
- Chúng cùng bằng hoặc cùng bù hoặc cùng phụ với một góc thứ ba hoặc với những
góc bằng nhau.
- Chúng là các góc nhọn hoặc tù có các cạnh tương ứng vuông góc hoặc song song ,
chúng là các góc đối đỉnh, so le trong, so le ngoài, đồng vò.
- Chúng là các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.
- Chúng có các tỉ số lượng giác bằng nhau(sin, cos, tg, cotg)
3. Chứng minh hai đoạn thẳng song song :
- Tạo với một cát tuyến các góc so le trong(ngoài), đồng vò bằng nhau hoặc góc
trong cùng phía bằng nhau.
- Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba .
- Đường trung bình của một tam giác, hình thang đối với cạnh đáy
- Các cạnh đối của 1 HBH, HCN, HV, Hình thoi .
- Hai đường thẳng đònh trên hai cạnh của một góc những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

thì song song nhau.
4. Chứng minh hai đoạn thẳng vuông góc :
- Chỉ rõ chúng là những đường phân giác của hai góc kề bù.
- Các cặp cạnh tương ứng còn lại của hai góc nhọn(hoặc tù)bằng nhau mà đã có một
cặp cạnh vuông góc .
- Chỉ rõ đường này song song với một đường thẳng vuông góc với đường kia.
- Chỉ rõ chúng là đường chéo của hình vuông, hình thoi.
- Chỉ rõ chúng là 2 cạnh của một góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, là tiếp tuyến
của một đường tròn với bán kính đi qua tiếp điểm .
- Sử dụng tính chất của tam giác vuông(tổng 2 góc nhọn bằng 1V) hoặc các cạnh
của nó thỏa mãn tính chất của đònh lý Pitago.
- Sử dụng tính chất của trực tâm trong một tam giác
5. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

1


Chứng minh rằng đường thẳng thứ ba cũng đi qua giao điểm của hai đường kia .
Chứng minh chúng là những đường đặc biệt trong tam giác (đường cao, trung
tuyến, trung trực , phân giác …)
- Ba đường thẳng đònh ra trên 2 đường thẳng song song những đoạn tương ứng tỉ lệ
thì chúng đồng quy
6. Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng
- Chứng minh góc AOB = 1800
- Chứng minh AB đường kính của đường tròn tâm O (Dùng góc nội tiếp chắn nửa
đương tròn)
- Chứnh minh OA, OB cùng song song với một đường thẳng.
- Sử dụng tính chất của góc đối đỉnh .
- Chứng minh chúng có những tính chất chung để thuộc về một đường thẳng (đường
trung bình trong tam giác , đường trung trực của một đoạn thẳng, đường phân giác

của một góc…..) .
7. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
- Chứng minh tổng hai góc đối bằng 2V
- Chứng minh 2 đỉnh C, D nhìn đáy AB dưới những góc bằng nhau( Trường hợp C, D
nhìn AB dưới những góc vuông thì tứ giác ABCD nội tiếp trong nửa đường tròn
đường kính AB)
- Kéo dài AB, CD cắt nhau tại P ta đi chứng minh PA.PB =PC .PD
-

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ CẠNH, GÓC, DIẾN TÍCH
1. Tính độ dài đọan thẳng:Ta dựa vào các đònh lý về đọan thẳng tỉ lệ, đònh lý Pitago
các tỉ số lượng giác của góc nhọn
2. Tính độ lớn các góc : Ta dựa vào tính chất tổng các góc trong tam giác, tứ giác ,
đònh lý về góc ngòai hoặc sử dụng các đònh lý liên quan đến góc nội tiếp và góc ở
tâm , số đo của góc nội tiếp và cung bò chắn, góc có đỉnh nằm ở trong và ngòai đường
tròn tính chất về
3. Tính diện tích của các hình.

CÁC BÀI TẬP VỀ TỨ GIÁC
Bài 1 : Cho hình thang ABCD. Phân giác góc A cắt cạnh BC tại E
a)
Chứng minh AB = BE
b)
Phân giác góc B Cắt AE tại F . Chứng minh góc BFE = 90o
c) Gọi M là điểm giữa của AB .Chứng minh MF kéo dài cắt cạnh CD tại điểm
giữa N của nó.
Bài 2 : Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm M ở trong tam giác ta vẽ các nửa đường thẳng song
song với BC cắt AB tại D . Song song với AC cắt BC tại E , song song với AB cắt AC tại F.Chứng
minh rằng :
a)Tứ giác BDME, CFME, ADMF là những hình thang cân

b) Góc DME =EMF =FMD
c) MA+MB+MC =chu vi tam giác DEF

2


Bài 3: Cho hình bình hành ABCD . Trên đường chéo AC ta lấy 2 điểm E và F sao cho AE= EF=
FC
a)Chứng minh tứ giác BFDE là hình bình hành
b)BF kéo dài cắt CD tại M. Chứnh minh BF = 2FM
Bài 4 : Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G . Gọi E và F là các điểm
giữa của BG và CG
a)Chứng minh tứ giác ENMF là hình bình hành
b)Nếu tam giác ABC cân thì tứ giác ENMF là hình gì ? Tại sao ?
Bài 5 : Cho hình thang ABCD vuông góc tại A . Đáy AD bằng 2 lần đáy BC . Đường chéo AC
chia đôi góc A. Vẽ CE//AB. Chứng minh rằng :
a)Tứ giác ABCE là hình vuông.
b)Tứ giác BCDE là hình bình hành.
c) Tam giác CAD vuông cân.
Bài 6 : Cho tam giác đều ABC. Gọi D, E, F là các điểm giữa của các cạnh AB, A BC . Qua A vẽ
một đường thẳng song song với BC gặp EF kéo dài tại H . Chứng minh rằng :
a)Tứ giác ABEH là hình bình hành .
b )Tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
c)Tứ giác BDFC là hình thang cân và AE là trục đối xứng của nó.
Bài 7 : Cho tam giác ABC, gọi E, F là các điểm nằm giữa của hai cạnh BC và AC . kéo dài EF
một đoạn FD = FE.
a)Chứng minh tứ giác AECD là hình bình hành .
b)Tam giác ABC phải có những điều kiện gì (về cạnh và góc)để tứ giác AECD là
- Hình chữ nhật
- Hình thoi

- Hình vuông
Bài 8 : Cho hình chữ nhật ABCD. Nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD và kéo dài
CE một đọan EF = EC . Từ F kẻ FG⊥ AB và FH ⊥ AD. Chứng minh rằng.
a)Tứ giác AGFH là hình chữ nhật
b)AF // BD
c)Ba điểm H, G, E thẳng hàng
CÁC BÀI TẬP VỀ TAM GIÁC, GÓC, ĐỌAN THẲNG , GÓC, SONG SONG, VUÔNG GÓC
Bài 1 : Trên các cạnh Ox, Oy của góc xOy lấy các điểm A, B sao cho OA =OB . Tia phân giác
của góc xOy cắt AB tại C. Chứng minh rằng
a)
C là trung điểm của AB
b)
AB vuông góc với OC.
Bài 2 : Cho tam giác ABC(Â <900) . Vẽ tia Ax ⊥ AC , trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AC
(D và B nằm khác phía đối với A,C). Vẽ tia Ay ⊥ AB trên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AB (E
và C nằm khác phía đối với AB ). Chứng minh rằng

3


a)∆ BAD = ∆ EAC.
b) BD = EC
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên AB, E trên AC sao cho AD=AE. Gọi K là
giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng :
a) BE = CD
b) ∆ KBD = ∆ KCE
Bài 4 : Trên các cạnh AB, AC của tam giác cân ABC lấy hai điểm D, E sao cho BD = CE . Gọi
I làa giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng :
a) ID= IE
b)AI là tia phân giác của góc A.

Bài 5 : Tam giác ABC có 3 góc nhọn , đường cao AH. Vẽ các điểm D và E sao cho AB là đường
trung trực của HE. Gôi I và K là giao điểm của DE với AB và AC.Chứng minh HA là tia phân
giác của góc IHK
Bài 6 : Các điểm D và E nằm trên các cạnh của tam giác ABC sao cho BD = CE . Các đường
trunbg trực của BD và CE cắt nhau tại K . Chứng minh rằng D Bˆ K = E Kˆ C
Bài 7 : Về một phía của đọan thẳng BC vẽ tam giác cân ABC có đáy BC, góc ở đáy là 50 0 và
tam giác đều EBC. Tính số đo góc CAE và ACD
Bài 8 : Cho đọan thẳng AB, d là đường trung trực của AB . Người ta lấy trên d hai điểm tùy ý.
Nối A với B, C với D
a) Chứng minh rằng CÂD = C Bˆ D
b)Gọi E = AC  BD, F = AD  BC. Chứng minh rằng AB // EF
Bài 9 : Cho đọan thẳng BC, về hai phía của BC vẽ các đọan thẳng BD và CA bằng nhau sao cho
B Cˆ A=C Bˆ D. Chứng minh rằng CD // AB.
Bài 10 : Cho tam giác ABC. Xác đònh các điểm D và E sao cho C là trung điểm chung của AD
và CE. Chứng minh rằng AB // DFE
Bài 11: Cho xÔy = 700 , A nằm trên Ox , B∈ Oy. Qua A vẽ đường thẳng song song với OB , qua
B vẽ đường thẳng song song với OA chúng cắt nhau tại C. Tính số đo góc ACB
Bài 12 : Hai đọan thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đọan. Chứng minh DÂC+A
Cˆ B = 1800
Bài 13 : Cho tam giác ABC, trung tuyến AM vẽ đoạn AD vuông góc và bằng AB (D,C nằm
1
khác phía đối với AC). Chứng minh rằng AM = DE
2
Gợi ý : Trên tia đối của tia MA lấy MK = AM. CMR A Bˆ K = DÂE.

4


Bài 14 :Cho tam giác ABC có Bˆ =1100 , Cˆ =300 . Đường thẳng chứa tia phân giác của góc ngoài
Bˆ − Cˆ

đỉnh A cắt đường thẳng BC tại E. Chứng minh rằng AÊB =
2
Bài 15 : Cho tam giác ABC ( Bˆ > Cˆ ). Đường thẳng chứa tia phân giác của góc ngoài đỉnh A
cắt đường thẳng BC tại E. Tính số đo góc AEB
Bài 16 : Cho tam giác ABC có Bˆ - Cˆ = α đường phân giác AD Tính số đo các góc ADB và
ADC

Bài 17 : Cho ∆ ABC có Bˆ nhọn có Bˆ - Cˆ = α . Vẽ d8ường cao AH và đường phân giác AD .
α
Chứng minh rằng HÂD =
2
Bài 18 : Cho hai đọan AB và CD cắt nhau tại E, các tia phân giác của các góc ACE và DBE cắt
1
nhau ở K. Chứng minh rằng BKˆ C = (CAˆ E + BDˆ E )
2
Bài 19: Trong ∆ ABC có các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi H, K là các trung
điểm của GB và GC. Chứng minh rằng Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên AB, E
trên AC sao cho AD=AE. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng :
a) ∆ DGE = ∆HGK
1
b) GD = BG
2
Bài 20 : Cho ∆ ABC, gọi Bx và Cy là các đường thẳng chứa các tia phân giác của góc ngoài
đỉnh B và C . Vẽ AD ⊥ Bx, AE ⊥ Cy ( D thuộc Bx, E thuộc Cy ). Chứng minh rằng :
a) DE //BC
1
b) DE =
(AB + AC + BC) . Gợi ý : Gọi M, N là giao điểm của AD và AE với BC
2
Bài 21 : Cho ∆ ABC(Â <90O) có D, E, F lần lượt là các trung điểm các cạnh BC, AC,và AB. Vẽ

ra ngoài ∆ ABC các đọan FK, EG sao cho FK ⊥ FA(FK=FA) và EG ⊥ EA(EG = EA)..Chứng
minh
a) ∆ KFD = ∆ DEG
b) KD = DG
c) KD ⊥ DG
Bài 22 : Cho ∆ ABC có Â = 700 , AC > AB. Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm D và E sao
cho BD = CE. Gọi M, N, I lần lượt là các trung điểm của BC, DE và DC.
a) ∆ MNI là tam giác gì ? Chứng minh.
b) Gọi F là giao điểm của MN và AC. Tính số đo góc MIC
Bài 23 : Cho tam giác ABC, AC >AB. Gọi D, E, F là trung điểm các cạnh BC, Ac, AB. Trên AC
1
lấy đỉem M sao cho CM = (AB +AC). Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc EDF.
2

5


Bài 24 : Cho ∆ ABC, từ trung điểm D của BC kẻ đường vu6ông góc với đường phân giác của
góc A cắt AB, AC tại M, N .
a) Chứng minh rằng BM = CN.
b) Gọi AB = c, AC = b. Tính AM, BM theo b, c

6