Giáo án BD HSG lớp 6 chi tiết

Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

BUỔI 1:
CHUYÊN ĐỀ 1: TẬP HỢP, CÁCH GHI SỐ TỰ NHIÊN.
I, Mục tiêu:
- HS được hệ thống tổng quát các khái niệm về tập hợp và bổ sung thêm một số
kháI niệm về tập hợp
- Hiểu sâu về tập hợp số tự nhiên và cách ghi số tự nhiên
- HS làm thành thạo các bài tập trên tập hợp đặc biệt là cách ghi số tự nhiên
trong hệ thập phân
- HS tư duy thành thạo và làm các bài tâp thay số và điền số
II, Nội dung
Bài toán1. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của tập hợp đó.
a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8: x = 2.
b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5.
c) Tập hợp C các số tự nhiên x mà x – 2 = x + 2.
d)Tập hợp D các số tự nhiên mà x + 0 = x
Hưỡng dẫn:
a, A = { 4} ; b, B = { 1; 2}
c, C = ∅ ; d, D = N
Bài toán 2. Cho tập hợp A = { a,b,c,d}
a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử.
b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử.
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử? có bốn phần tử?
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con?
Hưỡng dẫn:
a, Các tập hợp con của A là:
{ a} ; { b} ; { c} ; { d } ; { a; b} ; { a; c} ; { a; d } ; { b; c} ; { b; d } ; { c; d } ;

{ a; b; c} ;{ a; b; d } ;{ a; c; d } ; { b, c; d } ; { a; b; c; d }
b, { a; b} ; { a; c} ; { a; d } ; { b; c} ; { b; d } ; { c; d }

c, có 4 tập hợp con của A có 3 phần tử, có 1 tập hợp con của A có 4 phần tử
d, tập hợp A có 15 tập hợp con
Bài toán 3. Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong
các trường hợp sau.
a, A={1;3;5}, B = { 1;3;7}
b, A= {x,y}, B = {x,y,z}
c, A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự
nhiên chẵn.
hưỡng dẫn:
a, A ⊄ B
; b, A ⊂ B c, A ⊄ B
(vì A có phần tử 0)
Bài toán 4. Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu A ⊂ B ; A ≠ B . Hãy viết các
tập con thực sự của tập hợp B = {1;2;3}.
3


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
Hưỡng dẫn:

{ 1} ;{ 2} ; { 3} ;{ 1; 2} ; { 1;3} { 2;3}

Bài toán 5. Cho tập hợp A = {1;2;3;4} và B = {3;4;5}. Hãy viết các tập hợp
vừa là tập con của A, vừa là tập con của B.
Hưỡng dẫn:

{ 3} ;{ 4} ; { 3; 4}

Bài toán 6. Chứng minh rằng nếu A ⊂ B, B ⊂ C thì A ⊂ C

Hưỡng dẫn:
Lấy x ∈ A => x ∈ B (vì mọi phần tử của A dều thuộc B) => x ∈ C (vì mọi
phần tử của B đều thuộc C
=> A ⊂ C
Bài toán 7. Có kết luận gì về hai tập hợp A,B nếu biết.
a, ∀x ∈ B thì x ∈ A
b, ∀x ∈ A thì x ∈ B , ∀x ∈ B thì x ∈ A .
Hưỡng dẫn:
a, B ⊂ A
b, A = B
Bài toán 8. Cho H là tập hợp ba số lẽ đầu tiên, K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu
tiên.
a, Viết các phần tử thuộc K mà không thuộc H.
b,CMR H ⊂ K
c, Tập hợp M với H ⊂ M , M ⊂ K .
- Hỏi M có ít nhất bao nhiêu phần tử? nhiều nhất bao nhiêu phần tử?
- Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thỏa mãn điều kiện trên?
Hưỡng dẫn
a, { 0; 2; 4}
b, Vì H = { 1;3;5} và K = { 0;1; 2;3; 4;5} => H ⊂ K
c, M có ít nhất là 3 phần tử , Nhiều nhất là 6 phần tử
có 3 tập hợp M thỏa mãn điều kiện trên (yêu cầu HS viết cụ thể)
Bài toán 9. Cho a ∈ { 18;12;81} , b ∈ { 5;9} . Hãy xác định tập hợp M = {a - b}.
Hưỡng dẫn:
M = { 13;9;7;3;76;72}
Bài toán 10. Cho tập hợp A = {14;30}. Điền các ký hiệu ∈, ⊂ vào ô trống.
a, 14
A ; b,{14}
A;
c,

{14;30} A.
Hưỡng dẫn:
a, ∈
b, ⊂
c, ⊂
Bài 11: Thay các chữ bởi các số thích hợp
a, abc + acb = cba
b, abcd . 9 = a0bcd
c, (ab . c + d) . d = 1977
========================================================
4


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

BUỔI 2-3
CHUYÊN ĐỀ 2 : CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
I, Mục tiêu:
- Hệ thống và khác sâu các kiến thức về các phép toán trên tập hợp số tự nhiên
- HS tính toán thành thạo, rèn kỹ năng tính toán
- hình thành và phát triển kỹ năng suy luận, lập luận
II. Nội dung
Bài toán 1. Viết tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số trong đó mỗi số:
a, Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục.
b, Chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 4.
c, Chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục.
HD HS tự làm:
a, A = { 24;36; 48;12}
b , B = { 40;51;62; 73;84;95}
c , C = { 12;13...;19; 23; 24;...29;34...39; 45...;89}

Tập hợp này có tất cả : 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (phần tử)
Bài toán 2. Cho một số có 3 chữ số là abc (a,b,c khác nhau và khác 0). Nếu đỗi
chỗ các chữ số cho nhau ta được một số mới. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3
chữ số như vậy? (kể cả số ban đầu).
HD HS:
Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm ( Hoặc a , hoặc b, hoặc c) . Sau khi chọn chữ
số hàng trăm thì chỉ còn 2 cách chọn chữ số hàng chục. Sau khi chọn chữ số
hàng trăm và hàng chục rồi chỉ còn 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vởy có tất
cả 3.2.1 = 6 số
abc , acb , bac , bca , cab , cba
Bài toán 3. Cho 4 chữ số a,b,c và 0 (a,b,c khác nhau và khác 0).Với cùng cả 4
số này có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số?
Giải :
Chữ số 0 không thể đứng đầu nên chỉ có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn, ba
cách chọn chữ số hàng trăm, hai cách chọn chữ số hàng chụcvà 1 cách chọn
chứ số hàng đơn vị. Vậy có tất cả 3.3.2.1 = 18 (Số)
Bài toán 4. Cho 5 chữ số khác nhau. Với cùng cả 5 chữ số này có thể lập được
bao nhiêu số có 5 chữ số?
HD HS:
- Trường hợp không có chữ số 0 thì có : 5.4.3.2.1 = 120 ( số)
- Trường hợp có chữ số 0 thì có : 4.4.3.2.1 = 96 (số)
Bài toán 5. Quyển sách giáo khoa Toán 6 có tất cả 132 trang.Hai trang đầu
không đánh số. Hỏi phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của
quyển sách này?
5


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
Giải :
Từ trang 3 đén trang 9 có : 9-3+1 = 7 trang có 1 chữ số

Từ trang 10 đến trang 99 có : 99-10+1 = 90 trang có 2 chữ số
Từ trang 10 đến trang 132 có : 132-100+1 = 33 trang có 3 chữ số
Số chữ số cần dùng là : 7.1 + 90.2 +33.3 = 286 ( Chữ số)
Bài toán 6. Tìm hai số biết tổng là 176 ; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và
số này là số kia viết theo thứ tự ngược lại.
Giải :
Gọi số thứ nhất là ab , thì số thứ hai là ba , Theo đề bài ta có :
ab
ba

176
Từ cột hàng chuch ta thấy a+b > 10, vậy từ cột hàng chục suy ra a + b = 16. Vì
a# b nên a = 9 ; b = 7 hoặc a = 7 ; b = 9
Hai số cần tìm là 97 và 79
Bài toán 7 . Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0.
a) Chứng tỏ rằng có thể lập được 4! số có 4 chữ số khác nhau.
b) Có thể lập được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau trong 4 chữ số đó.
HD HS:
a, Có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn( Hoặc a , hoặc b, hoặc c, hoặc d). Sau khi
chọn chữ số hàng nghìn còn 3 cách chọn chữ số hàng trăm . Sau khi chọn chữ
số hàng trăm thì chỉ còn 2 cách chọn chữ số hàng chục. Sau khi chọn chữ số
hàng trăm và hàng chục rồi chỉ còn 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có tất
cả 4.3.2.1 = 4! (số )
b , Có 4 cách chọn chữ số hàng chục; có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có
tất cả : 4.3 = 12 (số)
Bài toán 8. Tính các tổng sau.
a) 1 + 2 + 3 + 4 +....+ n
b) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2.n
c) 1+ 3 + 5 + 7 + ... + (2.n + 1)
d) 1 + 4 + 7 + 10 + .. + 2005

e) 2 + 5 + 8 + ... + 2006
f) 1+ 5 + 9 + . . + 2001
HD HS:
Tính tổng theo cách tính của Gau-Xơ .Dãy số cách đều
a) 1 + 2 + 3 + 4 +....+ n
S = (1 + n ).n : 2
b) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2.n
S = ( 2 + 2n).n : 2 = (1+n).n
c) 1+ 3 + 5 + 7 + ... + (2.n + 1)
S = (1 + 2n+1 ).(n+1) : 2 = (n+1).(n+1)
d) 1 + 4 + 7 + 10 + .. + 2005
S = [(1+2005).669] : 2 = 1003.669 = 671 007
6


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
Bài toán 9 Tính nhanh tổng sau. A = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + .... + 8192
Bài toán 10 a) Tính tổng các số lẽ có hai chữ số
b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số.
Bài toán 11.
a) Tổng 1+ 2 + 3 + 4 + ... + n có bao nhiêu số hạng để kết quả bằng 190
b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n = 2004
HD HS:
a .Ta có S = (u1 + un).n : 2 Hay 190 = (u1 + un).n :2 từ đó tìm được n =un = 19
b. Không có số n nào để 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n = 2004
Bài toán 12. Tính giá trị của biểu thức.
a) A = (100 - 1).(100 - 2).(100 - 3)...(100 - n) với n ∈ N * và tích trên có đúng
100 thừa số.
b) B = 13a + 19b + 4a - 2b vớ a + b = 100.
HD HS:

a, A = 0 vì tích trên có 100 thừa số , thừa số thứ 100 là 100 – 100 = 0
b, B = 13a + 19b + 4a - 2b = 17a + 17b = 17(a+b) = 17.100 = 1700
Bài toán 13.Tìm các chữ số a, b, c, d biết a.bcd .abc = abcabc
Bài toán 14. Chứng tỏ rằng hiệu sau có thể viết được thành một tích của hai
thừa số bằng nhau: 11111111 - 2222.
HD HS:
Ta có : 11111111 - 2222. = 1111.( 10001 – 2) = 1111.9999
= 1111.3.3333 = 3333.3333 (đccm)
Bài toán 15. Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng số dư, a ≥ b.
Chứng tỏ rằng a - b : m
HD HS:
Gọi số dư là r, Ta có: a = mk1 + r
b = mk2 + r
Vậy a – b = (mk1 + r) – (mk2 + r) = mk1 + r - mk2 – r = mk1 – mk2
= m ( k1 – k2 ) Mm
Bài toán 16. Chia 129 cho một số ta được số dư là 10. Chia 61 cho số đó ta
được số dư là 10. Tim số chia.
HD HS:
Gọi số chia là b theo đầu bài ta có :
129 = b.k1 +10 => bk1 =119 = 119.1 = 17.7
Và 61 = bk2 + 10 => bk2 = 51 = 51.1 = 17.3
Vì b >10 và k1 ≠ k2 nên ta chọn được b = 17
Bài toán 17. Cho S = 7 + 10 + 13 + ... + 97 + 100
a) Tổng trên có bao nhiêu số hạng?
7


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
b) Tim số hạng thứ 22
c) Tính S.

HD HS:
a) Số hạng của tổng là : (100 – 7) : 3 +1 = 32 (Số hạng)
b) Gọi số hạng thứ 22 là x, ta có : (x-7) : 3 +1 = 22
x – 7 =21.3 =63
x = 70
c) S = ( 100+ 7 ) . 32 : 2 = 1712 ( Cách tính tổng của Gau- Xơ)
CHÚ Ý CHO HS CÁCH TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU :
Số số hạng của dãy kí hiệu là n
Các số hạng của dãy lần lượt ký hiệu : u1, u2, u3, ….un
Khoảng cách giữa 2 số hạng là d
Tổng của n số hạng đầu tiên là Sn Ta có :
n =( un – u1) :d +1
un = u1 + (n-1).d
Sn = ( u1 + un ).n : 2
Bai toán 18. Chứng minh rằng mỗi số sau có thể viết được thành một tích của
hai số tự nhiên liên tiếp:
a) 111222 ; b) 444222
HD HS:
a) 111222 = 111000 + 222 =111.(1000+2) = 111.1002 = 111.3.334
= 333.334
b) 444222 = 444000 + 222 = 222.(2000 + 1) = 222.2001 = 222.3.667
= 666.667
Bài toán 19 . Tìm số chia và số bị chia, biết rằng: Thương bằng 6, số dư bằng
3, tổng của số bị chia,số chia và dư bằng 195.
HD HS:
Gọi số bị chia là a số chia là b (a,b ∈ N ; a,b ≠ 0 , b >3) . Ta có
a = b.6 + 3 (1)
a + b + 3 = 195 (2)
Từ (1) và (2) => b = 27 và a = 165
Bài toán 20 . Tìm số chia và số bị chia, biết rằng: Thương bằng 6, số dư bằng

49, tổng của số bị chia,số chia và dư bằng 595.
Tương tự bài 19 HS tự giải
Bài toán 21. Tính bằng cách hợp lý.
a) A =

44.66 + 34.41
3 + 7 + 11 + ... + 79

b) B =

1 + 2 + 3 + ... + 200
6 + 8 + 10 + ... + 34

8


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
c)

C=

1.5.6 + 2.10.12 + 4.20.24 + 9.45.54
1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 9.27.45

Bài toán 22. Tìm kết quả của phép nhân.
{ {
a) A = 33...3.99...9
2005 c. s 2005 c. s

{ {

b) B = 33...3.33...3
2005 c .s 2005 c . s

Bài toán 23.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2009 – 1005 : (999 - x) với x ∈ N
Giải :
Biểu thức A có giá trị NN ⇔ 1005 : (999 - x)có giá trị lớn nhất
⇔ (999 - x)có giá trị lớn nhất
(999 - x)có giá trị lớn nhất ⇔ 999 – x =1 ( Vì số chia khác 0)
⇔ x = 998 . Khi đó A = 2009 – 1005 : 1 = 1004
Bài toán 24.
Trong mọt phép chia có số bị chia là 155; số dư là 12. Tìm số chia và thương
Giải :
Gọi số bị chia, số chia, thương và số dư lần lượt là : a, b, q, r
Ta có : a = b.q + r ( b ≠ 0; r < b )
b.q= a – r = 155 – 12 = 143 = 143.1 = 13.11
Vì b> 12 nên ta chọn b = 143 ; q = 1 hoặc b = 13 ; q = 11
Bài toán 25.:
Để đánh số trang một quyển sách phảI dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách
đó có bao nhiêu trang?
Giải :
99 trang đầu cần dùng 9.1 + 90.2 = 189 ( chữ số)
999 trang đầu cần dùng : 9.1 + 90.2 + 900.3 = 2889 chữ số
Vì 189 < 600 < 2889 nên trang cuối cùng phảI có 3 chữ số
số chữ số dùng để đánh số trang có 3 chữ số là :
600 – 189 = 411 (chữ số)
Số trang có 3 chữ số là : 411 : 3 = 137 (trang)
Số trang của quyển sách là : 99 + 137 = 236 ( Trang)
Bài toán 26.
Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,… Hỏi chữ

số thứ 659 là chữ số nào ?
Giải :
99 số đầu cần dùng 9.1 + 90.2 = 189 ( chữ số)
999 số đầu cần dùng : 9.1 + 90.2 + 900.3 = 2889 chữ số
9


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
Vì 189 < 659 < 2889 nên ta viết đến số có 3 chữ số
số chữ số dùng để viết các số có 3 chữ số là :
659 – 189 = 470
Số có 3 chữ số là : 470 : 3 = 156 (dư 2)
Do đó ta đã viết được 156 số có 3 chữ số , ngoài ra còn viết được đếnỡch số thứ
hai của số tiếp theo. Ta có 99 + 156 = 255 , Số liền sau 255 là số 256, chữ số
thứ hai của số này là số5.
Vậy chữ số thứ 659 là chữ số 5 của số 256
==============================================

BUỔI 4-5-6
CHUYÊN ĐỀ 3 : LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TRÊN TỰ
NHIÊN
I, Mục tiêu:
- Hệ thống và khác sâu các kiến thức,các phép toán về luỹ thừa, cách tìm chữ
số tận cùng của một tích, một luỹ thừa, bước đầu làm quen với số chính
phương
- Học sinh biết được các dạng toán về so sánh luỹ thừa
- Tính toán thành thạo, rèn kỹ năng tính toán
- Rèn kỹ năng suy luận, lập luận
II. Nội dung
A. Kiến thức cơ bản: + a n = a.a...a ( n thừa số a, n ≠ o )

+ Quy ước: a1 = a, a0 = 1.
+ am. an = am+n
(m, n ∈ N*); am: an = am-n (m, n ∈ N*, m ≥ n, a ≠ 0);
- Nâng cao: + Luỹ thừa của một tích: (a.b)n = an.bn
+ Luỹ thừa của luỹ thừa: (am)n = am.n
+ Luỹ thừa tầng: a m = a ( m )
( trong một luỹ thừa tầng ta thực hiện phép luỹ thừa từ trên xuống dưới ).
+ Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên.
- So sánh hai luỹ thừa: + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số ( lớn hơn 1 ) thì luỹ
thừa nào có số mũ lơn hơn sẽ lớn hơn.
n

n

Nếu m > n Thì am > an (a > 1)
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ lớn hơn 0 thì luỹ thừa nào có cơ số lơn hơn
sẽ lớn hơn.
Nếu a > b Thì am > bm (m > o)
B. Bài tâp.
Bài toán 1. Viết các tích sau hoặc thương sau dưới dạng luỹ thừa của một số.
a) 25 . 84 ;
b) 256.1253 ;
c) 6255:257
Giải :
10


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
a) 25 . 84 = 25 .( 23 )4 = 25.212 = 217
b) 256.1253 = (52)6.(53)3 = 512.59 = 521

c) 6255:257 = (54)5:(52)7 = 520: 514 = 56
Bài toán 2: Viết mỗi tích , thương sau dưới dạng một luỹ thừa:
a) 410.230 ;
b) 925.27 4.813 ;
c) 2550.1255 ;
d) 643.48.16 4 ;
e) 38 : 36 ; 210 : 83 ;
127 : 67 ;
215 : 813
f) 58 : 252 ; 49 : 642 ;
225 : 324 ; 1253 : 254
Hướng dẫn HS giảI như bài 1
Bài toán 3. Tính giá trị các biểu thức.
a) A =

310.11 + 310.5
39.24

; B=

11.322.37 − 915
210.13 + 210.65
723.54 2
D
=
C
=
c)
;
d)

(2.314 ) 2
28.104
1084

Giải :
3 .11 + 3 .5 3 (11 + 5)
=
=3
39.24
39.16
78
210.13 + 210.65 210.(13 + 65)
=
b) B =
=
=3
8
10
26
2 .104
2 .26
(23.32 )3 .(2.33 ) 2
29.36.22.36
723.542
=
c) C =
= = 8 12
=8
(22.33 ) 4
1084

2 .3

a) A =

d) D =

10

10

10

3.8
11.322.37 − 915
11.329 − 330
329.(11 − 3)
=
=
=
=6
14 2
(2.3 )
4
22.328
22.328

Bài toán 4: Viết các số sau dưới dạng tổng các luỹ thừa của 10.
213;
421;
2009;

abc ;
abcde
Giải :
Hướng dẫn
213 = 200 + 10 + 3 = 2.102 + 10 + 3.100 = 102 +102 +10 + 100 + 100+ 100
421;
2009; tương tự
abc = a.102 +b. 10 +c.100
Bài toán 5 So sánh các số sau, số nào lớn hơn?
a) 2711 và 818 b) 6255 và 1257
c) 523 và 6. 522 d) 7. 213 và 216
Giải :
11
33
8
32
a) Ta có : 27 = 3 ;
81 = 3
33
32
11
Vì 3 > 3 Nên 27 > 818
b) 6255 = 520
1257 = 521
Vì 520 < 521 Nên 6255 < 1257
c) 523 và 6. 522
523 = 5.522 < 6.522 Nên 523 < 6. 522
d) 7. 213 và 216
216 = 8.213 > 7. 213 Nên 216 > 7. 213
11

Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
Bài toán 6: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) a3.a9 b) (a5)7 c) (a6)4.a12 d) 56 :53 + 33 .32
Học sinh tự làm
Bài toán 7. Tìm n ∈ N * biết.
a) 32.3n = 35 ;

1
9

c) .34.3n = 37 ;

b) (22 : 4).2n = 4;

g) 32 < 2n < 128;

e) 4.52 - 2.32

h) 2.16 ≥ 2n > 4.
Giải :
n

3

a) 3 .3 = 3 ; 3 = 3 n = 3
b) (22 : 4).2n = 4;
n=2
2

n

5

1
3n = 36 n = 6
9
1
d) .27n = 3n ; (9.3)n = 9.3n 9n = 9
9
g) 32 < 2n < 128; 25 <2n < 27 n = 6

c) .34.3n = 37 ;

n=1

h) 2.16 ≥ 2n > 4.
n = {3; 4; 5 }
25 ≥ 2 n > 2 2
∈
Bài toán 8 Tìm x N biết.
a) ( x - 1 )3 = 125 ;
b) 2x+2 - 2x = 96;
c) (2x +1)3 = 343 ;
d) 720 : [ 41 - (2x - 5)] = 23.5.
e) 16x < 1284
Học sinh tự làm
Bài toán 9 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.
A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100

B = 1 + 3 + 32 +33 +...+ 32009
C = 1 + 5 + 52 + 53 +...+ 51998
D = 4 + 42 + 43 +...+ 4n
Giải :
2

3

4

100

A = 2 + 2 + 2 + 2 +...+2
(1)
Nhân cả 2 vế của A với 2 ta được
2A = 22 + 23 + 24 +...+2100 +2101 (2)
Lấy (2) – (1) ta được A = 2101- 2
b) B = 1 + 3 + 32 +33 +...+ 32009 (1)
Nhân cả 2 vế của B với 3 ta được :
3B = 3 + 32 +33 +...+ 32009 + 32010 (2)
Lấy (2) – (1) ta được

B=

32010 − 1
2

Tương tự HS làm 2 phần còn lại
12

1
9

d) .27n = 3n ;


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
C = 1 + 5 + 52 + 53 +...+ 51998
D = 4 + 42 + 43 +...+ 4n
Bài toán 10: Cho A = 1 + 2 + 2 2 + 23 + 24 +...+2200. Hãy viết A + 1 dưới dạng
một luỹ thừa.
Giải :
2
3
4
200
A =1 + 2 + 2 + 2 + 2 +...+2
(1)
Nhân cả 2 vế của A với 2 ta được
2A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100 +2201 (2)
Lấy (2) – (1) ta được A = 2201- 1
Vậy A + 1 = 2201
Bài toán 11. Cho B = 3 +32 +33 +...+ 32005. CMR 2B + 3 là luỹ thừa của 3.
Giải :
2
3
2005
B = 3 +3 +3 +...+ 3
(1)
Nhân cả 2 vế của B với 3 ta được :

3B = 32 +33 +...+ 32009 + 32006 (2)
Lấy (2) – (1) ta được 2B = 32006 - 3 => 2B +3 = 32006
Bài toán 9. Chứng minh rằng:
a) 55-54+53 M 7
b) 76 + 75 − 7 4 M11
c) 109 + 108 + 107 M222
d) 106 − 57 M59
e) 3n + 2 2n + 2 + 3n − 2n M10∀n ∈ N *
f) 817 − 279 − 913 M45
Giải :
5 4
3
3
3
a) 5 -5 +5 =5 (25 – 5 + 1) = 5 .21 M 7
b) 76 + 75 − 7 4 = 74 ( 49 +7 – 1) = 74 .55 = 74.11.5 M 11
c) 109 + 108 + 107 = 107.(100 +10 +1) = 107.111M 111 Và 107.111 M2
=> 107.111M 222 Hay 109 + 108 + 107 M 222
d) 106 − 57 =( 2.5)6 – 57 = 56.( 64 – 5) = 565.59 M 59
f) 817 − 279 − 913 =( 34)7 – (33)9 – (32)13 = 328 – 327 – 326 = 326.(9 – 3 – 1) = 324.9.5
= 324.45 M45
Bài toán 12: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2+22; 2+22+23 ; 2+22+23 +24
b) Chứng minh rằng: A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+22004 chia hết cho 3;7 và 15
Giải :
2
a) 2+2 = 6 = 3.2
2+22+23 = 14 =2.7
2+22+23 +24 = 30 = 2.15
b,
+) A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+22004

= (2 +22) + 22(2 +22) +24(2 +22) + 26(2 +22) +… +22002(2 +22)
=6.(1 + 22+ 24 +26 + ….+22004 ) = 2.3.(1 + 22+ 24 +26 + ….+22004 ) M3
+) A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+22004
= (2 + 22 + 23) + (24 + 25 +26) + ….+ (22002 + 22003 + 22004)
= (2 + 22 + 23).(1 + 23 + 26 +29 +….+ 22001)
= 14. (1 + 23 + 26 +29 +….+ 22001) = 2.7.(1 + 23 + 26 +29 +….+ 22001) M7
13


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
+) A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+22004
= (2 + 22 + 23 +24) + ( 25 +26 +27 + 28) + ….+ (22001 + 22002 + 22003 + 22004)
= (2 + 22 + 23+24).(1 + 24 + 28 +212 +….+ 22000)
= 30. (1 + 24 + 28 +212 +….+ 22000) = 2.15.(1 + 24 + 28 +212 +….+ 22000) M15
Bài toán 13: a) Viết tổng sau thành một tích 34 +35 +36+ 37
b) Chứng minh rằng:
+ A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100 M31
+ B = 1 + 3 +32 +33 +...+ 399 M40
+ C = 165 + 215 M
33
+ D = 53! - 51! M29
Giải :
a)
34 +35 +36+ 37 = 34.( 1 +3 +32 +33) = 34.40
b, + A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100
= (2 + 22 + 23 +24 +25) + (26 +27 + 28 + 29 +210) + ….+(296 +297 +298 +299 +2100)
= (2 + 22 + 23 +24 +25).(1+ 25 +210 +…. +2 95)
= 62. (1+ 25 +210 +…. +2 95) =2.31.(1+ 25 +210 +…. +2 95) M31
+ B = 1 + 3 +32 +33 +...+ 399
= (1 + 3 +32 +33 ) +(34 + 35 + 36 +37) +....+ (396 +397 +398+ 399 )

= 40 + 40.34 + 40.38 +….+40.396
= 40.( 1 + 34 + 38 + 312 +…. +396) M40
+ C = 165 + 215 =( 24)5 + 2 15 = 215.( 25 +1)
= 215.33 M
33
+ D = 53! - 51! M29
= 51!(52.53 – 1) = 51!(2756 – 1) = 51! . 2755
= 51!.29.95 M29
Bài toán 14: Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý:
a) (217+172).(915 - 159)(42- 24)
b) (71997- 71995):(71994.7)
c) (12 + 23 + 34 + 45 ).(13 + 23 + 33 + 43 ).(38 − 812 )
d) (28 + 83 ) : (25.23 )

CÁC BÀI TOÁN VỀ CHỮ SỐ TẬN CÙNG:
* Tóm tắt lý thuyết:
- Tìm chữ số tận cùng của một tích: +Tích của các số lẽ là một số lẽ
+ Tích của một số chẵn với một số bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số
chẵn.
- Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa.
+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì (khác 0)
vẫn giữ nguyên các chữ số tận cùng của nó.
+ Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ 2,4,8 nâng lên luỹ thừa 4n (n ≠ 0)
đều có tận cùng bằng 6.
...24n = ...6
; ...44n = ...6 ; ...84n = ...6
14


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

+ Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ 3,7,9 nâng lên luỹ thừa 4n (n ≠ 0)
đều có tận cùng bằng 1.
...34n = ...1 ; ...74n = ...1 ;...94n = ...1
- Một số chính phương thì không có tận cùng bằng 2,3,7,8.
* Bài tập áp dụng:
Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
22003 ;499 ;999 ;399 ;799 ;899 ;789573 ;8732 ;5833

Giải :
+ 2 = (2 ) .2 = (16) .4 = (….6).4 = ….4
+ 499 = (42)49.4 = 1649.4 = (…6).4 =…4
+ 999 = (92)49.9 = 8149.9 = ( ….1).9 = …9
+ 399 = (34)24.33 = (81)24.27 = (…1).27 = ….7
+ 799 = (74)24.73 = (….1)24.343 = (….1).343 = …3
+ 899 = (84)24.83 = 409624.512 = (….6).512 = ….2
+ 789573 Ta tìm chữ số tận cùng của số 9573 = (94)143.9 =6561143.9 = (….1).9
=…9
+ 8732 = (874)8 = (….1)8 = ….1
+ 5832 = (584)8 = (….6)8 =….6
Bài toán 2: Chứng minh rằng các tổng và hiệu sau chia hết cho 10.
481n + 19991999 ; 162001 - 82000 ; 192005 + 112004 ; 175 + 244 - 1321
Giải :
+ Ta có :
481n có chữ số tận cùng là 1
19991999 = (19992)999.9 = (….1)999.9 = (…1).9 = …9 có chữ số tận cùng là 9.
Vậy 481n + 19991999 có : chữ số tận cùng là …0
nên 481n + 19991999 chia hết cho 10
+ Ta có :
162001 = …6 có chữ số tận cùng là 6
82000 = (84)500 = 4096500 = …6 có chữ số tận cùng là 6

= > 162001 - 82000 Có chữ số tận cùng là 0
Nên 162001 - 82000 chia hết cho 10
Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng: 5 + 52 + 53 +...+ 596
Giải :
Tổng trên có 97 số hạng, mỗi số hạng đều có chữ số tận cùng bằng 5 .
Vậy tổng có chữ số tận cùng là 5 (….5.97 = ….5 )
2003

4 500

2

500

Bài toán 4: Chứng minh rằng A =

1 20042006 9294
.(7
− 3 ) là một số tự nhiên.
10

Bài toán 5: Cho S = 1 + 3 +32 +33 +...+ 330 . Tìm chữ số tận cùng của S.
CMR: S không là số chính phương.
Giải :
15


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
S = 1 + 3 +32 +33 +...+ 330
= (1 + 3 + 9 + 27 ) + (…1 + …3 + …9 + …7 ) + … +(…1 + …3 + …9 + …7 )

+(…1 + …3 + …9 )
= …0 +…0 + …0 +…..+…0 + …3
= ….0.8 + …3 = …0 + …3 = …3
Vậy chữ số tận cùng của S là 3
Vì số chính phương không có chữ số tận cùng là 3 nên S không phảI là số
chính phương
Bài toán 6: Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100
a) Chứng minh A M3
b) Chứng minh A M15 ;
c) Tìm chữ số tận cùng của A.
Giải :
2
3
4
100
2
A = 2 + 2 + 2 + 2 +...+2 = (2+2 ) + (23 + 24 ) +... + (299 +2100)
= 3.(2 +23 +25 +….+299) M3.
Vậy A M3
= (2 + 22 + 23 +24) + (25 + 26 +27 + 28 ) + ….+(297 +298 +299 +2100)
= (2 + 22 + 23 +24 ).(1+ 24 +28 +…. +2 96) = 30.(1+ 24 +28 +…. +2 96)
= 15.2.(1+ 24 +28 +…. +2 96) M
15
Vậy A M15
n

n

Bài toán 7. Chú ý: + x01 = y 01(n ∈ N * ) + x 25 = y 25(n ∈ N * )
+ Các số 320; 815 ; 74 ; 512; 992 có tận cùng bằng 01.

+ Các số 220; 65; 184;242; 684;742 có tận cùng bằng 76.
+ 26n (n >1) có tận cùng bằng 76.
áp dụng: Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau.
99
2100; 71991; 5151; 9999 ; 6666; 14101.16101.
Giải :
100
10 10
10
2 5
2 =(2 ) = 1024 = (1024 ) =(…76)5 =…76
71991 = 71988.73 = (74)497.343 = (…01)497.343 = (…01).343 = …43
5151 =(512)25.51 = (…01)25.51= (…01).51 = …51
99
2k + 1
=(992)k.99 = (…01)k.99 = (…01).99 = …99
9999 = 99
6666 = ( 65)133.6 = (…76)133.6 =(…76).6 = …56
14101.16101 = (14.16)101 = 224101 (2242)50.224 = (…76)50.224 = (…76).224 = …24
Bài toán 8. Tìm chữ số tận cùng của hiệu 71998 - 41998
Giải :
Ta có :
71998 = (74)499.72 = 2401499.49 = …1.49 = ….9 (71998 có chữ số rận cùng là 9)
41998 = (42)999 = 16999 = …6 (41998 có chữ số rận cùng là 6 )
Vậy hiệu 71998 - 41998 có chữ số tận cùng là 3

16


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6

Bài toán 9. Các tổng sau có là số chính phương không?
a) 108 + 8 ; b) 100! + 7 ; c) 10100 + 1050 + 1.

HDHS tìm chữ số tận cùng của tổng rồi kết luận
Bài toán 10. Chứng minh rằng
a) 20022004 - 10021000 M10

b) 1999 2001 + 2012005 M10;

HDHS tìm chữ số tận cùng của tổng rồi kết luận
Bài toán 11. Chứng minh rằng: a) 0,3 . ( 20032003 - 19971997) là một số từ nhiên
b)

2006
1998
1
(1997 2004 − 19931994 )
10

===========================================================

Ngày giảng :

BUỔI 7 – 8:CHUYÊN ĐỀ 3:
CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN
I, Mục tiêu:
- Học sinh ôn luyện các kiến thức về dấu hiệu chia hết trong tập hợp số tự
nhiên. Vận dụng dấu hiệu chia hết để giải một số bài toán nâng cao
- Học sinh biết được các phương pháp chứng minh về chia hết
- Có kỹ năngTính toán thành thạo.

- Rèn luyện kỹ năng suy luận, lập luận
I. KIẾN THỨC BỔ SUNG:
+)TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG.

Tính chất 1:

a  m , b  m , c  m ⇒ (a + b + c)  m

Chú ý: Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu a  m , b  m , ⇒ (a - b)  m
Tính chất 2:

a  m , b  m , c M m ⇒ (a + b + c) M m

Chú ý: Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu. a  m , b M m , ⇒ (a - b) M
mCác tính chất 1& 2 cũng đúng với một tổng(hiệu) nhiều số hạng.
+)DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2, CHO 5.
Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia
hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.
17


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết
cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.
Số chia hết cho 2 và 5 có chữ số tận cùng bằng 0
+)DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 3, CHO 9.

Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết
cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.
Chú y: Số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3.

Số chia hết cho 3 có thể không chia hết cho 9.
2- Sử dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu
1. a Mm ; b Mm ⇒ k1a + k2b Mm
2. a Mm ; b Mm ; a + b + c Mm ⇒ cMm
II. Bài tập:
* CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT.
PP 1: Để chứng minh A Mb (b ≠ 0 ). Ta biểu diễn A = b. k trong đó k ∈ N
PP 2. Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng.
Nếu a ± b Mm và a Mm thì b Mm.

PP 3. Để chứng minh một biểu thức chứa chữ (giã sử chứa n) chia hết cho b(b
khác 0) ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho b.
PP 4. Để chứng minh A Mb. Ta biểu diễn b dưới dạng b = m.n. Khi đó.
+ Nếu (m,n) = 1 thì tìm cách chứng minh A Mm và A Mn suy ra AMm.n hay A Mb.
+ Nếu (m,n) ≠ 1 ta biểu diễn A = a1.a2 rồi tìm cách chứng minh a1 Mm; a2 Mn
thì tích a1.a2 Mm.n suy ra A Mb.
PP 5. Dùng các dấu hiệu chia hết.
PP 6. Để chứng minh A M b ta biểu diễn A = A1 + A2 + ... An và chứng minh các
Ai (i = 1, n) Mb

Bài tập 1: Dùng 4 chữ số 0;1;2;5 có tạo thành bao nhiêu số có 4 chữ số, mỗi
chữ số đã cho chỉ dùng 1 lần sao cho:
a, các số đó chia hết cho 2.
b,Các số đó chia hết cho 5
c.các số chia hết cho 3
Giải:
a. các số có chữ số 0 tận cùng gồm các số: 1520;
1250;2150;1250;5120;5210
18

Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
b. các số có chữ số 2 tận cùng gồm các số:5102; 5012; 1502; 1052
c. các số chia hết cho 3 gồm các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 không
có số nào.
Bài tập 2: Cho A = 12 + 15 + 21 + x với x ∈ N.
Tìm điều kiện của x để A  3, A M 3.

Giải:

- Trường hợp A  3
Vì 12 3,15 3,21 3 nên để A 3 thì x 3.
- Trường hợp A M3.
M3.
Vì 12 3, 15 3, 21 3 nên để A M3 thì x s

Bài tập 3:Khi chia STN a cho 24 được số dư là 10. Hỏi số a có chia hết cho 2
không, có chia hết cho 4 không?

Giải:

Số a có thể được biểu diễn là: a = 24.k + 10.
Ta có: 24.k 2 , 10 2 ⇒ a 2.
24. k 4 , 10 M4

⇒ a M4.

Bài tập 4: Chứng tỏ rằng:
a/ Tổng ba STN liên tiếp là một số chia hết cho 3.
b/ Tổng bốn STN liên tiếp là một số không chia hết cho 4.

Giải:
a/ Tổng ba STN liên tiếp là:
a + (a + 1) + (a + 2 ) = 3.a + 3 chia hết cho 3
b/ Tổng bốn STN liên tiếp là:
a + (a + 1) + (a + 2 ) + (a + 4)= 4.a + 6
không chia hết cho 4.
Bài tập 5
Chứng minh rằng với mọi n ∈ N thì 60n +45 chia hết cho 15 nhưng không chia
hết cho 30.
Giải:
Ta có : 60n +45 = 15.( 40n +3 ) M15
60n M30
45 M30
19


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
=> 60n +45 M30
Bài toán 6: Chứng minh rằng: a) ab + ba M11 b) ab − ba M9 với a>b.
Hưỡng dẫn:
Viết các số ab và ba thành tổng các lũy thừa của 10 sau đó dưa về dạng 11.Q
và 9.Q
ab + ba = 10a + b + 10b +a = 11.( a+b) M11
ab − ba = 10a + b – 10b – a = 9.(a- b) M9
Bài toán 7 : Chứng minh rằng:
a) A =1 + 2 + 22 + 23 + 24 +...+239 là bội của 15
b, T = 1257 -259 là bội của 124
c) M = 7 + 7 2 + 73 + 7 4 + ... + 7 2000 M8
d) P = a + a 2 + a 3 + ... + a 2 n Ma + 1 với a,n ∈ N
gợi ý :

a, nhóm 4 hạng tử liên tiếp với nhau có tổng các hạng tử có thừa số 15
b, đưa về cùng cơ số 5 vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép
trừ
c, d tương tự cách làm câu a
Bài toán 8: CMR: + Tổng của 3 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6
+ Tổng 3 số lẽ liên tiếp không chia hết cho 6.
+ Tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng 5
số lẽ liên tiếp thì chia 10 dư 5
Bài toán 9: Cho a,b ∈ N và a - b M7 . CMR 4a +3b M7.
Gợi ý:
a – b M7  4 (a – b) M7  4a – 4b M7  4a + 3b -7b M7 => 4a + 3b M7 (vì 7b
M7)
Bài toán 10: Tìm n ∈ N để.
a) n + 6 Mn ; 4n + 5 Mn ; 38 - 3n Mn
b) n + 5 Mn + 1 ; 3n + 4 Mn - 1 ; 2n + 1 M16 - 3n
gợi ý:
vận dụng tính chất chia hết của tổng và hiệu
+) n + 6 Mn => 6 Mn => n ∈ Ư(6) = {1; 2 ; 3; 6; -1; -2; -3; -6}
+) 4n + 5 M n => 5 Mn => n ∈ Ư(5) = {1; 5 ; -1; -5}
+) n + 5 Mn + 1 => n + 1 + 4 Mn+1 => ( n+ 1) ∈ Ư(4) = { 1; 2; 4; -1; -2; -4}
n +1 = 1 => n = 0
n + 1 = 2 => n = 1
n +1 = 4 => n = 3
n + 1 = -1 => n = -2
n + 1 = -2 => n = -3
n + 1 = -4 => n = -5
+) 3n + 4 Mn - 1 => 3(n-1) + 7 Mn – 1 => n-1 ∈ Ư(7) = {1; 7; -1; -7}
20

Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
HS làm tiếp
+) 2n + 1 M16 - 3n => (-6n – 3) M16 -3n => 2(16-3n) – 35 M16 - 3n
 16 - 3n ∈ Ư(35) = {1; 5; 7; 35; -1; -5; -7; -35}
HS làm tiếp
Bài toán 11. Chứng minh rằng: (5n)100 M125
Gợi ý:
(5n)100 = 5100. n100 = 53.597.n100 M125
Bài toán 12. Cho A = 2 + 22 + 23 +... + 22004 .
CMR A chia hết cho 7;15;3
Gợi ý:
Nhóm Tương tự bài tập 7
Bài toán 13. Cho S = 3 +32 +33 +...+ 31998 . CMR
a) S M12 ;
b) S M39
Bài toán 14. Cho B = 3 +32 +33 +...+ 31000; CMR B M120
Bài toán 15. Chứng minh rằng:
a) 3636 - 910 M45 ; b) 810 - 89 - 88 M55 ; c) 55 - 54 + 53 M7
d) 76 + 75 − 7 4 M11
e) 109 + 108 + 107 M222
g) 106 − 57 M59
h) 3n + 2 2n + 2 + 3n − 2n M10∀n ∈ N *
i) 817 − 279 − 913 M45
Bài toán 16. Tìm n ∈ N để :
a) 3n + 2 Mn - 1
b) n2 + 2n + 7 Mn + 2
c) n2 + 1 Mn - 1
d) n + 8 Mn + 3
e) n + 6 Mn - 1
g) 4n - 5 M2n - 1

Bài toán 17. CMR:
a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
b) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
c) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.
d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120.
(Chú ý: Bài toán trên được sử dụng trong CM chia hết, không cần CM lại)
Bài toán 18. cho 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 5, khi chia cho 5
được những số dư khác nhau. CMR tổng của chúng chia hết cho 5.
Bài toán 19. Cho số abc không chia hết cho 3. Phải viết số này liên tiếp nhau ít
nhất mấy lần để dược một số chia hết cho 3.
Bài toán 20: Cho n ∈ N, Cmr n2 + n + 1 không chia hết cho 4 và không chia
hết cho 5.
Bài toán 21. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích
các chữ số của nó.
{ M3
Bài toán 22. Cmr a) ∀n ∈ N thì A = 2n + 11...1
n .c / s1
(gợi ý: 111….1 có tổng các chữ số là n => A M3




n
b) ∀a, b, n ∈ N thì B = ( 10 − 1) .a + 11..1
{ − n ÷.b M9



n.c / s1



21


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
Bài toán 23. Hai số tự nhiên a và 2.a đều có tổng các chữ số bằng k. Chứng
minh rằng a M3
Gợi ý:
Mọi số tự nhiên đều viết được dưới dạng tổng các chữ số của nó cộng với số
chia hết cho 9 ( chia hết cho 3)
 a = k + số M3 => 2a = k + số M3 => 2a – a = số M3 – số M3 => a M3
Bài toán 24. CMR: m + 4n M13 ⇔ 10m + n M13. ∀m, n ∈ N
Gợi ý:
m + 4n M13  10(m + 4n) M13  10m + 40 n M13  10m + n + 39n M13
 10m + n M13 (vì 39n M13)
-----------------------------------------------------------Ngày giảng :

BUỔI 9: CHUYÊN ĐỀ 4:
SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ – SỐ CHÍNH PHƯƠNG

I, Mục tiêu :
- Học sinh nắm chắc khái niệm về số nguyên tố, hợp số, số chính phương
- Cách chứng minh một số có phải hay không phải số nguyên tố, hợp số
- Vận dụng biết giải một số các bài toán tổng hợp
II, Nội dung :
A. Kiến thức bổ sung:
+ Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), chỉ cần chứng tốn không chia hết cho
mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a.
+ Để chứng tỏ một số tự nhiên a > 1 là hợp số , chỉ cần chỉ ra một ước khác 1

và a.
+ Cách xác định số lượng các ước của một số:
Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được M = a x . by …cz thì số lượng các
ước của M là ( x + 1)( y + 1)…( z + 1).
+ Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn. Từ đó suy ra.
- Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 22.
- Số chính phương chia hết cho 23 thì phải chia hết cho 24.
- Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 32.
- Số chính phương chia hết cho 33 thì phải chia hết cho 24.
- Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 52.
+ Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố:
Nếu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a Mp hoặc bMp.
Đặc biệt nếu an Mp thì aMp
22


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
+ Ước nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên
không vượt quá nó.
+ Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng: 4n ± 1
+ Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng: 6n ± 1
+ Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị
+ Một số bằng tổng các ước của nó (Không kể chính nó) gọi là ‘Số hoàn
chỉnh’.
Ví dụ: 6 = 1 + 2 + 3 nên 6 là một số hoàn chỉnh
• các dạng bài tập về số nguyên tố – hợp số:
- Dạng 1
B. Bài tập.
Số 1: Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:

a. p+ 2 và p+ 10
b. p+ 10 và p+20
c. p+2 ; p=6 ; p+ 8; p+ 12; p+14
Giải:
a. –Với p = 2 thì : p+12 = 12 ( loại)
-Với p= 3: p+2 = 5 ( thoả mãn)
p+ 10 = 13 ( thoả mãn)
-Với p = 3.k ( k ∈N) thì :
p= 3.k là hợp số ( loại)
-Với p = 3.k + 1 thì:
p+2 = 3.k+1+ 2= 3.(k+ 1) là hợp số (loại).
-Với p = 3.k+ 2 thì:
p+10 = 3.k +2+10 = 3.( k+ 4) là hợp số ( loại)
Vậy p = 3 thì p+ 2 và p+ 10 là số nguyên tố.
b. – Với p= 2 thì p + 10 = 12 là hợp số ( loại)
-Với p = 3 thì p+ 10 = 13
p+ 20 = 23 ( thoả mãn)
-Với p = 3.k ( với k ∈ N) thì : p = 3.k là hợp số ( loại)
-Với p = 3.k+1 thì p+20 = 3.k+1+20= 3(k+7) là hợp số ( loại)
-Với p= 3.k+2 thì :
p+10=3.k+2+10= 3(k+4) là hợp số ( loại)
Vậy số nguyên tố cần tìm là p =3
c. Tương tự như cách làm trên ta tìm được p= 5.
(Xét p dưới các dạng : p= 5; 5.k; 5k+1 ; 5k+ 2 ; 5k+3 ; 5k+4 ) ( k ∈N)
Số 2
Tìm số nguyên tố a sao cho a+10 ; a+ 14 đều là các số nguyên tố.
( Đề thi giáo viên dạy giỏi huyện 2007-2008)
Giải:
23

Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
Bất kỳ số tự nhiên nào cũng có 1 trong các dạng:
3k; 3k+1 ;3k+ 2. ( với k ∈N)
-Với a = 3 thì a+10 = 13 ( thoải mãn)
a+14 = 17 (thoải mãn)
- Với a= 3k ( với k ∈ N)thì a= 3k là hợp số ( loại)
- Với a= 3.k +1 thì: a+14= 3k+15 = 3(k+5) là hợp số ( loại)
- Với a= 3k+ 2 thì: a+ 10 = 3k+12 = 3(k+ 4) là hợp số (loại)
Vậy số cần tìm là a = 3.
Số 3: Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng
là các số nguyên tố.
Giải:
Nếu pq + 11 là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ (vì là số nguyên tố lớn hơn 2).
Suy ra ít nhất 1 trong các số p và q phải chẵn tức là bằng 2.
+, Gỉa sử p = 2 khi đó:
.7p+q = 7.2 +q = 14 + q
.pq + 11 = 2.q + 11
- Nếu q = 2 thì : 7p+q = 14 + 2 = 16 là hợp số ( loại)
- Nếu q = 3 thì : 7p+q = 14 +q = 14+ 3 = 17
pq + 11 = 2q + 11 = 2.3+11=11 (thoả mãn)
- Nếu q =3k+1 (với k ∈ N) thì:
7p+q = 14+q= 14+3k+1= 3(5+k) là hợp số ( loại)
- Nếu q=3k+2 thì : pq+11=2q+11=2(3k+2)+11=6k+15
=3(2k+5) là hợp số (loại)
Vậy p=2 và q=3.
+, Nếu q=2 . Lập luận tương tự như trường hợp trên ta tìm được 1 cặp số: p=3
và q=2 . Đáp số: Số nguyên tố phải tìm là: p=2 và q=3 hoặc p=3 và q=2
Số 4: Tìm 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố.
Giải:

Gọi 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp phải tìm là p ; p+2 ; p+ 4. ( p lẻ)
Số nguyên tố lẻ nhỏ nhất là 3.
-Nếu p=3 thì: p+2 = 5
p+ 4= 7 ( thoả mãn)
-Nếu p = 3k +1 ( với k ∈ N) thì:
p+2=3k+1+2=3(k+1) là hợp số ( loại)
- Nếu p=3k+2 thì:
p+4= 3k+6 = 3( k+2) là hợp số ( loại)
Vậy với p = 3 thì 3 số phải tìm là 3 , 5, 7.
Số 6:
Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng.
Giải:
Gọi 3 số nguyên tố đó là a, b , c. Ta có:
24


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
abc= 5(a+b+c). Suy ra 5 là ước của abc.
Vì a, b, c bình đẳng nên
Gỉa sử 5 là ước của a và a là số nguyên tố nên a= 5
Suy ra: bc= 5+b+c ⇒ (b-1)(c-1) = 6
Do đó : b-1 = 1
b=2
⇒ c-1 = 6
c= 7
b-1 = 2 ⇒ b=3 ( loại)
c-1 = 3 => c= 4
Vậy 3 số nguyên tố phải tìm là 2,5,7.
Số 7: Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm của phương trình:
x2 – 2y2 – 1 =0 (1)

Giải: Ta có :
(1) ⇒ (x-1)(x+1) = 2y2
Vì x, y là số nguyên tố nên chỉ có các khả năng:
+, x+1 = 2y; x-1 =y suy ra : x=3: y=2.
+, x+1=y ; x-1 = 2y suy ra : vô nghiệm
+, x+1= 2y ; x-1 = 1 suy ra : vô nghiệm
+, x+1 = 1 ; x-1 = 2y suy ra vô nghiệm
Vậy (x,y ) =(3,2) là nghiệm duy nhất.
Bài tập tương tự:
Số 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
P+6 ; p+8 ; p+12; p+14.
Số 2:
Tìm hai số tự nhiên mà tổng và tích của chúng đều là số nguyên tố.
Đáp số: 1, 2.
Số 3: tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không?
Số4: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong 3 số đó.
Số 5: Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình sau:
x2- 2y2 =1
Bài tập về nhà
Bài 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601.
Bài 2. Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012.Tìm số nhỏ nhất trong 3 số đó.
Bài 3. Cho A = 5 + 52 + 53 +...+ 5100
a) Số A là số nguyên tố hay hợp số?
b) Số A có phải là số chính phương không?
Bài 4: Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số?
a) 1.3.5.7…13 + 20
b) 147.247.347 – 13
Bài:Tìm số nguyên tố p sao cho
a) 4p + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30.
b) P + 2; p + 4 đều là số nguyên tố.

25


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
c) P + 10; p +14 đều là số nguyên tố.

1 2 3 1 2 3 là hợp số.
Bài 7. Cho n ∈ N*; Chứng minh rằng: A = 111...12111...1
nc / s1
nc / s1

Bài 8. + Cho n là một số không chia hết cho 3. CMR n2 chia 3 dư 1.
+ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p 2 + 2003 là số nguyên tố hay
hợp số?
Bài 9. Cho n ∈ N, n> 2 và n không chia hết cho 3. CMR n 2 – 1 và n2 + 1 không
thể đồng thời là số nguyên tố.
Bài 10. Cho p là số nguyên tố và một trong hai số 8p + 1 và 8p – 1 là số nguyên
tố, số còn lại là số nguyên tố hay hợp số?
Bài 11. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24.
Bài 12. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố (p > 3). CMR: 4p + 1 là hợp số.
=======================================================
Ngày giảng :

BUỔI 10:

CHUYÊN ĐỀ 4:
SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ – SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I, Mục tiêu :
- Học sinh nắm chắc khái niệm về số nguyên tố, hợp số, số chính phương
- Cách chứng minh một số có phải hay không phải số nguyên tố, hợp số

- Vận dụng biết giải một số các bài toán tổng hợp
II, Nội dung :
Dạng 2: Số nguyên tố cùng nhau.
A. Lý thuyết:
Hai số nguyên tố cùng nhau là 2 số có ƯCLN bằng 1.
Nói cách khác chúng chỉ có ước chung lớn nhất là 1
(a,b) = 1
☼ Phương pháp giải:
Muốn chứng minh a, b nguyên tố cùng nhau thoả mãn điều kiện bài toán ta
thường làm như sau:
Gỉa sử: (a, b) = d (d ≥ 1)
Khi đó: a ∶d
b ∶d
Kết hợp với điều kiện bài toán ta suy ra:
Một số n ∶d (n ∈ N)
Ta cần chứng minh : d= 1
B.Bài tập:
Số 1: Cho a+b=p là số nguyên tố. Chứng minh a và b nguyên tố cùng nhau.
Gỉai: Gỉa sử: a và b không nguyên tố cùng nhau. Ta suy ra a và b có ít nhất 1
ước số d > 1. Khi đó: a ∶d; b ∶d ⇒ a+b ∶d ⇒ p ∶d , d >1.
Điều này vô lý vì p là số nguyên tố.
Vậy ( a, b) = 1.
26


Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6
Số 2:
Chứng minh rằng 2 số A= 2n+1 và B= n(n+1) : 2 là hai số nguyên tố cùng
nhau.
Giải: Gọi (A,B) = d với d≥1

Suy ra: A ∶d và B ∶d.
Hay: (2n+1) ∶d
n(2n+1) ∶d
⇒ n(n+1): 2 ∶d
2n(n+1) ∶d
⇒ 2n(n+1)- n(2n+1) ∶d.
⇒ n ∶d.
⇒ 2n ∶d mà 2n+1 ∶d
⇒ 1 ∶d . Suy ra d ≤:1.
Mà d ≥1. ⇒ d = 1.
Vậy (A,B) = 1.
Số 3: Cho a và b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh a+b và ab nguyên tố cùng
nhau.
Gỉai:
Gỉa sử (a+b, ab) không nguyên tố cùng nhau
Do đó a+b và ab có ít nhất 1 ước d>1
Suy ra: a+b ∶d (1)
Và ab ∶d (2)
Từ (2) suy ra a ∶d hoặc b ∶d.
-Nếu a ∶d thì từ (1) ⇒ b ∶d.
Như vậy a và b có 1 ước chung d > 1, trái với giả thiết.
- Nếu b ∶d thì từ (1) ⇒ a ∶ d
Suy ra a, b có ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết
Vậy (a,b) = 1 thì (a+b, ab) = 1.
Số 4: Cho a và b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh :
A=5a +3b và B= 13a+8b nguyên tố cung nhau.
Giải:
Ta có: A= 5a+3b ⇒
a=8A-3B
B=13a+8b

⇒
b=5B-15A
Gỉa sử A và B có ít nhất 1 ước số chung d > 1
Suy ra: A ∶d và B ∶d
Do đó a ∶d và b ∶d.
⇒ a và b có 1 ước chung d > 1, mẫu thuẫn với giả thiết.
Vậy (A, B) =1 nếu (a,b) = 1.
Số 5:
Cho a là 1 số tự nhiên lẻ, b là 1 số tự nhiên. Chứng minh rằng các số a và ab+4
nguyên tố cùng nhau.
Giải:
Gỉa sử (a,ab+4) = d. (d≥1)
Suy ra:
a ∶d
ab ∶d
⇒ ab+4 ∶d
ab+4 ∶d
27