Chuyên đề số phức tổ hợp luyện thi ĐH

wWw.VipLam.Info
Chuyên đề
SỐ PHỨC−ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I. SỐ PHỨC
A. LÝ THUYẾT
I. Dạng đại số (vẫn còn nhớ)
II. Dạng lượng giác của số phức
z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈ R, z ≠ 0)
* r = a 2 + b 2 là môđun của z.
a

cos ϕ = r
* ϕ là một acgumen của z thỏa 
sin ϕ = b

r

1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , z ' = r ' ( cos ϕ '+ i sin ϕ ' ) thì:
z
r
= cos ( ϕ − ϕ ' ) + i sin ( ϕ − ϕ ' ) 
* z.z ' = r.r ' cos ( ϕ + ϕ ' ) + i sin ( ϕ + ϕ ' ) 
*
z' r'
n

2. Công thức Moivre: n ∈ N * thì  r ( cos ϕ + i sin ϕ )  = r n ( cos nϕ + i sin nϕ )
3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
ϕ
ϕ
ϕ

ϕ


Căn bậc hai của số phức z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) (r > 0) là r  cos + i sin ÷ và − r  cos + i sin ÷
2
2
2
2


B. BÀI TẬP
1. (ĐH_Khối A 2009)
2
2
Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2+2z+10=0. Tính giá trị biểu thức A = z1 + z 2 .
ĐS: A=20
2. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z − 4 z + 11 = 0 . Tính giá trị của biểu thức
2

2

A=

z1 + z2

( z1 + z2 )

2
2

.

ĐS: A=11/4
3. (CĐ_Khối A 2009)
a. Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2−i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.
4 z − 3 − 7i
= z − 2i .
b. Giải phương trình sau trên tập số phức:
z −i
ĐS: a. a=2, b=−3
b. z=1+2i, z=3+i
4. Tìm số phức z thoả mãn: z − 2 + i = 2 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.

(

)

(

)

ĐS: z = 2 − 2 − 1 + 2 i, z = 2 + 2 − 1 − 2 i .
5. (ĐH_Khối B 2009)
Tìm số phức z thỏa mãn z − ( 2 + i ) = 10 và z.z = 25 .
ĐS: z=3+4i hoặc z=5

Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC

1

wWw.VipLam.Info
 z −1
 z −i =1

6. Tìm số phức z thỏa mãn: 
 z − 3i = 1
 z + i
HD: Gọi z=x+yi; (1)⇒x=y, (2)⇒y=1.

( 1)
( 2)

.

ĐS: z=1+i.
4

z+i
7. Giải phương trình: 
÷ = 1.
 z −i 
ĐS: z∈{0;1;−1}
8. Giải phương trình: z 2 + z = 0 .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z.
ĐS: z∈{0;i;−i}
2

9. Giải phương trình: z + z = 0 .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z.

ĐS: z=0, z=−1, z =

1
3
±
i
2 2

z2
10. Giải phương trình: z 4 − z 3 +
+ z + 1 = 0.
2
HD: Chia hai vế phương trình cho z2.
1 1
ĐS: z=1±i, z = − ± i .
2 2
11. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.
HD: Đặt thừa số chung
1
3
1
3
±
i, z = − ±
i.
2 2
2 2
12. Cho phương trình: (z + i)(z2−2mz+m2−2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương
trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức.

b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực.
c. Có ba nghiệm phức.
13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận α làm nghiệm biết:
a. α = 2−5i
b. α = −2−i 3
c. α = 3 - i 2
14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z3−iz2−2iz−2 = 0.
b. z3+(i−3)z2+(4−4i)z−7+4i = 0.
15. (ĐH_Khối D 2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện z − ( 3 − 4i ) = 2 .
ĐS: (x−3)2+(y+4)2=4
16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z − i = z − z + 2i .
ĐS: z = −1, z =

ĐS: y =

x2
.
4

3
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
2
3
9
2
2
*Gọi z=x+yi. z − 2 + 3i = ⇒ … ⇒ ( x − 2 ) + ( y + 3) = .
2

4

17. Trong các số phức thỏa mãn z − 2 + 3i =
HD:

Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC

2


wWw.VipLam.Info
* Vẽ hình ⇒|z|min ⇒z.
ĐS: z =

26 − 3 13 78 − 9 13
+
i.
13
26

18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
(1 + i)10
7
π
π5

9 .
a.
b.  cos − i sin ÷i 1 + i 3 .
3

3
3 +i


(

(

)

)

HD: Sử dụng công thức Moivre.
1
ĐS: a. Phần thực − , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128.
16
19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN.
ĐS: phần thực −210, phần ảo: 210+1.
II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A. LÝ THUYẾT
1. Giai thừa: n!= n.(n−1)!=n.(n−1).(n−2). … .3.2.1,
n≥0.
n!
k
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: An =
( n − k )! , n≥k>0.
n!
k
3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: C n =

,
n≥k≥0.
k!( n − k )!
4. Quy ước n!=0!=1.
n
5. Nhị thức Newton ( a + b ) = C n0 a n + C n1 a n −1b + C n2 a n −2 b 2 +  + C nn − 2 a 2 b n − 2 + C nn −1 ab n −1 + C nn b n .
k n−k k
Công thức số hạng tổng quát: Tk +1 = C n a b ,
B. BÀI TẬP
1. (CĐ_Khối D 2008)

0≤k≤n.

18


1 
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của  2 x + 5  , (x>0).
x

ĐS: 6528
2. (ĐH_Khối D 2004)
7


1 
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của  3 x +
 với x>0.
4
x


ĐS: 35
3. (ĐH_Khối A 2003)
n

 1

n +1
n
Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  3 + x 5  , biết rằng C n + 4 − C n +3 = 7( n + 3) ,
x

k
(n nguyên dương, x>0, ( C n là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 495
4. (ĐH_Khối D 2005)
A 4 + 3 An3
2
2
2
2
Tính giá trị biểu thức M = n +1
, biết rằng C n +1 + 2C n + 2 + 2C n +3 + C n + 4 = 149 (n là số nguyên
( n + 1)!
k
k
dương, An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử)
3
ĐS: M =
4

8

Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC

3


wWw.VipLam.Info
5.

(ĐH_Khối A 2006)
n

 1

Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  4 + x 7  , biết rằng
x

1
2
n
20
k
C 2 n +1 + C 2 n +1 +  + C 2 n +1 = 2 − 1 , (n nguyên dương và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử).
26

ĐS: 210
6. (ĐH_Khối D 2008)
1
3

2 n −1
k
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C 2 n + C 2 n +  + C 2 n = 2048 . ( C n là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: n=6
7. (ĐH_Khối D 2007)
Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1−2x)5+x2(1+3x)10.
ĐS: 3320
8. (ĐH_Khối D 2003)
Với n là số nguyên dương, gọi a3n−3 là hệ số của x3n−3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n.
Tìm n để a3n−3=26n.
ĐS: n=5
9. (ĐH_Khối D 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho Cn0 + 2C1n + 4Cn2 +  + 2n Cnn = 243 .
ĐS: n=5
10. (ĐH_Khối B 2008)
n +1  1
1  1
 k + k +1  = k (n, k là các số nguyên dương, k≤n, C nk là số tổ hợp chập k
Chứng minh rằng
n + 2  C n +1 C n +1  C n
của n phần tử).
11. (ĐH_Khối B 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết:
k
3nCn0−3n−1Cn1+3n−2Cn2−3n−3Cn3+ … +(−1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, C n là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: 22
12. (ĐH_Khối B 2006)
Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2

phần tử của A. Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.
ĐS: k=9
13. (ĐH_Khối B 2003)
2 2 − 1 1 23 − 1 2
2 n +1 − 1 n
k
0
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng C n +
Cn +
Cn +  +
C n , ( C n là số tổ hợp chập
2
3
n +1
k của n phần tử).
3 n +1 − 2 n +1
ĐS:
n +1
14. (ĐH_Khối B 2002)
Cho đa giác đều A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh
là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2…An,
tìm n.
ĐS: n=8
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC

4


wWw.VipLam.Info
15. (ĐH_Khối A 2008)

Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó n∈N* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức
a
a
a 0 + 1 +  + nn = 4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an.
2
2
ĐS: a8=126720
16. (ĐH_Khối A 2007)
1
1
1
1 2n −1 22n − 1 C k
Chứng minh rằng C12 n + C23n + C25n +  +
, ( n là số tổ hợp chập k của n phần
C2 n =
2
4
6
2n
2n + 1
tử).
17. (ĐH_Khối A 2005)
1
2
2
3
3
4
2n
2 n +1

Tìm số nguyên dương n sao cho C 2 n +1 − 2.2C 2 n +1 + 3.2 C 2 n +1 − 4.2 C 2 n +1 +  + ( 2n + 1).2 C 2 n +1 = 2005 , (
C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n=1002
18. (ĐH_Khối A 2004)
Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1−x)]8.
ĐS: 238
19. (ĐH_Khối A 2002)
Cho khai triển nhị thức
n

n

n −1

n −1

n

−x
 x2−1

 −x 
 x −1 
 x −1   − x 
 x −1  − x 
 2 + 2 3  = C n0  2 2  + C n1  2 2   2 3  +  + C nn −1  2 2  2 3  + C nn  2 3 



 












 








3
1
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó C n = 5C n và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.
ĐS: n=7, x=4
20. Cho số phức z=1+i.
a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n.
b. Tính các tổng S1=1−Cn2+Cn4−Cn6+…
S2=Cn1−Cn3+Cn5−…
0
2

4
6
98
21. Chứng minh rằng C100 –C100 +C100 –C100 + … –C100 +C100100=–250.
−o0o−

Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC

5