Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu

Mục lục
0.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ở trong và ngoài nước: .

4

0.2. Tính cấp thiết của đề tài: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.3. Mục tiêu của đề tài: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.4. Cách tiếp cận: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.5. Phương pháp nghiên cứu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.7. Nội dung nghiên cứu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp
hai tự tham chiếu

7
Chương 2. Ví dụ minh họa

16

Tài liệu tham khảo

19

2


Thông tin kết quả nghiên cứu:
Kết quả nghiên cứu được nhận đăng trên tạp chí quốc tế Note di Matematica, Italy.

3


Mở đầu
0.1.

Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ở trong
và ngoài nước:

Mô hình toán học của hiện tượng di truyền được Miranda và Pascali mô tả như sau:
Au(x, t) = u Bu(x, t), t ,

(0.1)

trong đó, u = u(x, t), (x, t) ∈ R × [0, +∞) là hàm cần tìm thỏa một vài điều kiện đầu tại

t = 0, A và B là các toán tử vi phân hoặc tích phân. Chẳng hạn,
t

Bu(x, t) =

u(x, τ )dτ,

(0.2)

0

và B trong phương trình (0.1) được gọi là toán tử di truyền. Phương trình (0.1) có thể được
xem là phương trình trong di truyền học.
Một vài trường hợp đặc biệt của (0.1) được nghiên cứu đầu tiên bởi Volterra vào đầu thế
kỷ XX (xem [9] và các tài liệu tham khảo trong đó). Trong trường hợp đơn giản, khi B là
toán tử đồng nhất, Eder trong [2] đã chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài
toán
u (t) = u(u(t)).

(0.3)

Sau đó, Si và Cheng trong [8], [10] và [11] đã thu được các định lí tồn tại nghiệm cho các
phương trình tổng quát hơn
u (t) = u(at + bu(t)),

(0.4)

và phương trình
αt + βu (t) = u(at + bu (t)),

(0.5)

trong đó, a = 1 và b = 0 là các số phức, và u : C → C là hàm phức cần tìm.
Nói chung, các phương trình dưới dạng (0.1) đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả.
Nhiều nghiên cứu ta có thể tìm thấy trong [1], [4]-[7] và các tài liệu tham khảo ở trong các
bài báo đó.

4


Mục lục

5

Trong [4], Miranda và Pascali đã chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm địa
phương của phương trình
 2
∂
∂2


 2 u(x, t) = k1 u
u(x, t) + k2 u(x, t), t ,

 ∂t
∂t2
(0.6)
u(x, 0) = α(x),





 ∂ u(x, 0) = β(x),
∂t
trong đó, ki ≡ ki (x, t), i = 1, 2, là các số thực cho trước, α(x) và β(x) là các hàm bị chặn và
liên tục Lipschitz.
Kết quả nghiên cứu trong đề tài này được xem là tổng quát hơn kết quả nghiên cứu trong
[4].

0.2.

Tính cấp thiết của đề tài:

Di truyền học là một bộ môn của sinh học, nghiên cứu về tính di truyền và biến dị của sinh
vật, nó có vị trí và vai trò đặc biệt đối với con người. Các nhà khoa học trên thế giới cũng
đã đưa ra mô hình di truyền học và nghiên cứu hiện tượng này dưới những dạng khác nhau.
Một trong những mô hình thú vị đó là phương trình vi phân đạo hàm riêng ứng dụng trong
di truyền học thuộc dạng tự tham chiếu đã và đang nhận được sự quan tâm của nhiều nhà
toán học trên thế giới.

0.3.

Mục tiêu của đề tài:

Nghiên cứu mô hình toán học trong di truyền học thuộc dạng tự tham chiếu, có định hướng
ứng dụng trong thực tiễn.

0.4.

Cách tiếp cận:

Thông qua việc tìm hiểu lịch sử nghiên cứu vấn đề của mô hình (0.1), cũng như các kết quả
nghiên cứu được trình bày trong [1], [2], [4], [5]-[11] và trong danh mục tài liệu tham khảo
của các bài báo đó, cuối cùng tác giả đã đưa ra kết quả tổng quát hơn bài toán nghiên cứu
trong [4].

0.5.

Phương pháp nghiên cứu:

Trong đề tài này, tác giả sử dụng các công cụ hiện đại của toán học như: giải tích hàm,
phương trình đạo hàm riêng,....

0.6.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Phương trình vi phân đạo hàm riêng tự tham chiếu ứng dụng trong di truyền học.


Mục lục

0.7.

6

Nội dung nghiên cứu:

Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất nghiệm của bài toán giá trị đầu cho phương
trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu.

Chương 1
Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm
riêng cấp hai tự tham chiếu

Trong đề tài này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương của bài toán
 2
2
2

 ∂ u(x, t) = µ1 u ∂ u(x, t) + µ2 u ∂ u(x, t) + µ3 u(x, t), t , t ,


 ∂t2
∂t2
∂t2
(1.1)
u(x, 0) = p(x)




 ∂ u(x, 0) = q(x),
∂t
trong đó, p và q là các hàm cho trước, và µi , i = 1, 2, 3, là các số thực cho trước, x ∈ R và
t ∈ [0, T ], T > 0.
Để nghiên cứu bài toán (1.1), ta xét bài toán

t

τ
∂2
∂2



u(x,
s)
+
µ
u
u(x, s)
u(x,
t)
=
u
(x,
t)
+
µ
u
2
0
1


∂s2
∂s2

0

0





u (x, t) = p(x) + tq(x),
0

+ µ3 u(x, s), s , s dsdτ,

(1.2)

trong đó x ∈ R và t ∈ [0, T ].
Ta có định lí sau:
Định lí 1. Nếu u là nghiệm liên tục của bài toán (1.2), thì nó cũng là nghiệm của bài
toán (1.1).
Vì vậy, ta sẽ nghiên cứu bài toán (1.2). Để đơn giản, ta giả sử |µ1 | = |µ2 | = |µ3 | = 1. Ta
thu được kết quả sau:
Định lí 2. Giả sử p and q là các hàm bị chặn và liên tục Lipschitz trên R. Cho σ là
hằng số Lipschitz của p và σ < 1. Khi đó, tồn tại một số dương T0 sao cho bài toán (1.2) có
duy nhất nghiệm, ký hiệu là u∞ (x, t), trên R × [0, T0 ]. Hơn nữa, hàm u∞ (x, t) cũng liên tục
Lipschitz và bị chặn lần lượt theo từng biến x ∈ R và t ∈ [0, T0 ].
Chứng minh.
Để chứng minh định lí này, ta sử dụng phương pháp lặp. Phép chứng minh bao gồm các
bước sau
7


Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu8

• Bước 1: Dãy lặp các hàm
Chúng ta định nghĩa dãy các hàm thực (un )n xác định với x ∈ R, t ∈ [0, T ], với T > 0,
như sau:
u0 (x, t) = p(x) + tq(x),
τ

t

µ1 u0 µ2 u0 (µ3 u0 (x, s), s), s dsdτ,

u1 (x, t) = u0 (x, t) +
0
τ

0
t

∂2
∂2
u
(x,
s)
+
µ
u
un (x, s)
n
2 n
∂s2
∂s2

µ1 u n

un+1 (x, t) = u0 (x, t) +
0

0

(1.3)

+ µ3 un (x, s), s , s dsdτ.
• Bước 2: Chứng minh tính bị chặn của (un )
Từ tính bị chặn của p, q và bằng qui nạp ta có
|un (x, t)| ≤ eT

p

L∞

+ q

L∞

, n ∈ N, t ∈ [0, T ].

(1.4)

• Bước 3: Chứng minh un Lipschitz theo biến thứ nhất.
Do p và q liên tục Lipschitz nên ta có
|p(x) − p(y)| ≤ σ|x − y|, ∀ x, y ∈ R,

|q(x) − q(y)| ≤ ω|x − y|, ∀ x, y ∈ R,

(1.5)

trong đó 0 < σ, ω là các số thực (với σ < 1 như trong các giả thiết).
Từ (1.5), ta suy ra
|u0 (x, t) − u0 (y, t)| ≤ σ + tω |x − y| := L0 (t)|x − y|,

(1.6)

trong đó L0 (t) := σ + tω.
Và
t

τ

|u1 (x, t) − u1 (y, t)| ≤ L0 (t)|x − y| +

µ1 u0 (µ2 u0 (µ3 u0 (x, s), s), s)
0

0

− µ1 u0 (µ2 u0 (µ3 u0 (y, s), s), s) dsdτ
t

≤

τ

L30 (s)dsdτ

L0 (t) +
0

|x − y|

0

:= L1 (t)|x − y|,
trong đó L1 (t) := L0 (t) +

t
0

τ
0

C0 (s)dsdτ, với C0 (t) := L30 (t).

(1.7)


Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu9
Hơn nữa
∂2
∂2
u
(x,
t)

−
u1 (y, t) ≤ L0 (t) µ2 u0 (µ3 u0 (x, t), t) − µ2 u0 (µ3 u0 (y, t), t)
1
∂t2
∂t2
≤ L20 (t) µ3 u0 (x, t) − µ3 u0 (y, t)
≤ L30 (t)|x − y| := C0 (t)|x − y|.
Qui nạp theo n ta thu được

|un+1 (x, t) − un+1 (y, t)| ≤ Ln+1 (t)|x − y|,
∂2
∂2
u
(x,
t)
−
un+1 (y, t) ≤ Cn (t)|x − y|,
n+1
∂t2
∂t2

(1.8)

trong đó
Cn (t) := Ln (t) + L2n (t) Cn−1 (t) + L3n (t),
t

(1.9)

τ

Cn−1 (s)dsdτ, n ≥ 1.

Ln (t) := L0 (t) +
0

0

Ta định nghĩa: Dãy (vn ) là dãy dừng theo biến x nếu
|vn+1 (x, t) − vn (x, t)| ≤ fn (t),
trong đó (fn ) là dãy các hàm thực không âm, xác định trên [0, T ]. Nếu fn = f với mọi
n, thì ta nói (vn ) là dãy dừng đều theo x.
2

∂
• Bước 4: (un ) và ( ∂t
2 un ) là dãy dừng theo x. Thật vậy, ta có
t

τ

|u1 (x, t) − u0 (x, t)| =

µ1 u0 µ2 u0 (µ3 u0 (x, s), s), s
0
t

τ

≤

p
0
2

=

dsdτ

0
L∞

+t q

L∞

dsdτ

(1.10)

0

t
p
2

L∞

+

t3
q
6

L∞

:= A1 (t),

∂2
∂2
u
(x,
t)
−
u0 (x, t) = µ1 u0 µ2 u0 (µ3 u0 (x, s), s), s
1
∂t2
∂t2
≤ p L∞ + t q L∞ := B1 (t).

(1.11)

Từ (1.10) và (1.11), ta suy ra
t

τ

A1 (t) :=

B1 (s)dsdτ.

0

0

(1.12)


Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu10
Qui nạp đến bước thứ n, ta thu được
|un+1 (x, t) − un (x, t)| ≤ An+1 (t)

(1.13)

và
∂2
∂2
u
(x,
t)
−
un (x, t) ≤ Bn+1 (t),
n+1
∂t2
∂t2

(1.14)

trong đó
τ

t

Bn+1 (s)dsdτ,

An+1 (t) :=
0

0

(1.15)

Bn+1 (t) := 1 + Ln−1 (t) + L2n−1 (t) An (t)
+ Ln−1 (t) + L2n−1 (t) Bn (t), n ≥ 1.
2

∂
Trong bước sau, ta chọn T0 sao cho (un ) và ( ∂t
2 un ) là các dãy dừng đều.

• Bước 5: Sự tồn tại nghiệm địa phương. Vì σ < 1, ta có thể tìm được T0 > 0, 0 <
M < 1, 0 < h < 1 sao cho khi t ∈ [0, T0 ], ta có
σ + tω + M

t2
t2
≤ M < 2M < h; M + 2M 2 ≤ 1; 2M + (1 + 2M ) < h.
2
2

(1.16)

Từ (1.16) bằng qui nạp ta thu được
Cn (t) ≤ M,
Ln+1 (t) ≤ σ + tω + M

(1.17)

t2
≤ M.
2

Khi đó, ta suy ra
B2 (t) ≤ A1 (t)(1 + M + M 2 ) + B1 (t)(M + M 2 )
τ

t

B1 (s)dsdτ + B1 (t)(M + M 2 )

≤ (1 + M + M 2 )
0

0

t2
≤ B1 L∞ (1 + M + M 2 ) + B1
2
t2
∞
≤ B1 L

1 + 2M + 2M
2
≤ B1 L∞ h.

L∞ (M

+ M 2)

(1.18)

Từ (1.18) ta suy ra
B2

L∞

≤ B1

L∞ h.

(1.19)


Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu11
Tương tự, ta có
t2
1 + M + M 2 + B2 L∞ (M + M 2 )
2
t2
≤ B2 L∞
1 + 2M + 2M ≤ B2 L∞ h.

2

B3 (t) ≤ B2

L∞

(1.20)

Suy ra
B3

L∞

≤ B2

L∞ h.

(1.21)

Từ (1.19)-(1.21), qui nạp đến bước thứ n, ta có
Bn+1

L∞

≤ Bn

L∞ h.

(1.22)

Hơn nữa, từ (1.15) ta suy ra
An+1

L∞

≤ Bn+1

L∞

T02
.
2

Từ kết quả (1.22), ta thấy dãy
suy ra tồn tại φ∞ sao cho
∂2
un → φ∞
∂t2
đều trên R × [0, T0 ].

(1.23)
Bn+1 (t) hội tụ tuyệt đối và đều, khi đó từ (1.14) ta
(1.24)

Tương tự, từ (1.13)) và (1.23), ta kết luận
u∞ sao cho

An+1 (t) hội tụ tuyệt đối, đều và tồn tại

un → u∞

(1.25)

đều trong R × [0, T0 ].
Ta chú ý rằng |u∞ (x, t) − u∞ (y, t)| ≤ M |x − y|.
Bây giờ, ta chứng minh u∞ (x, t) là nghiệm của (1.2). Thật vậy,
µ1 u n

∂2
∂2
u
(x,
t)
+
µ
u
un (x, t) + µ3 un (x, t), t , t
n
2 n
∂t2
∂t2

− µ1 u∞ φ∞ (x, t) + µ2 u∞ φ∞ (x, t) + µ3 u∞ (x, t), t , t
≤ u n − u∞
+ µ2 u n

L∞

∂2
un (x, t) − φ∞ (x, t)

∂t2

+M

∂2
un (x, t) + µ3 un (x, t), t − µ2 u∞ φ∞ (x, t)
∂t2

+ µ3 u∞ (x, t), t
≤ un − u∞
+

L∞

1 + M + M2

∂2
un − φ∞
∂t2

L∞

M + M 2 → 0 khi n → ∞.

(1.26)


Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu12
Từ (1.26), ta suy ra
t

τ

u∞ (x, t) = u0 (x, t) +

µ1 u∞ φ∞ (x, s) + µ2 u∞ φ∞ (x, s)
0

0

(1.27)
+ µ3 u∞ (x, s), s , s dsdτ.

Hơn nữa, ta có
∂2
∂2
∂2
∂2
u
(x,
t)
≤
φ
−
u
+
u
(x,
t)
−

u∞ (x, t)
∞
∞
n
n
∂t2
∂t2
∂t2
∂t2
L∞
∂2
∂2
+ un−1 − u∞ L∞ + M
un−1 (x, t)
≤ φ∞ − 2 un
∂t
∂t2
L∞
∂2
∂2
− 2 u∞ (x, t) + µ2 un−1
un−1 (x, t) + µ3 un−1 (x, t), t
∂t
∂t2
(1.28)
∂2
u∞ (x, t) + µ3 u∞ (x, t), t
− µ2 u ∞
∂t2
∂2

φ∞ − 2 un
≤
+ un−1 − u∞ L∞
1 + M + M2
∂t
L∞
→ 0 khi n → ∞.
φ∞ (x, t) −

Khi đó,
t

τ

u∞ (x, t) = u0 (x, t) +

µ1 u ∞
0

0

+ µ2 u ∞

∂2
u∞ (x, s)
∂s2

∂2
u∞ (x, s) + µ3 u∞ (x, s), s , s dsdτ,
∂s2

(1.29)

với mọi x ∈ R, t ∈ [0, T0 ].
Vậy u∞ là một nghiệm của (1.2) trong R × [0, T0 ].
Bước 6: Tính duy nhất của nghiệm địa phương u∞ . Ta giả sử tồn tại một nghiệm


Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu13
Lipschitz khác u (x, t) của (1.2). Khi đó,
|u (x, t) − u∞ (x, t)|
τ

t

≤

u
0

0

− u∞
+ u∞
− u∞

∂2
u (x, s) + u
∂t2

∂2
∂2
u
(x,
s)
+
u
u (x, s) + u (x, s), s , s
∂t2
∂t2
∂2
∂2
u
(x,
s)
+
u
u (x, s) + u (x, s), s , s
∂t2
∂t2
∂2
∂2
u
(x,
s)
+
u
u∞ (x, s) + u∞ (x, s), s , s
∞
∞

∂t2
∂t2
τ

t

u − u∞

≤
0

L∞

+M

0

dsdτ

∂2
∂2
u
(x,
s)
−
u∞ (x, s)
∂s2
∂s2

∂2

∂2
u
(x,
s)
+
u
(x,
s),
s
u∞ (x, s) + u∞ (x, s), s
−
u
∞
∂t2
∂t2

+ u
t

τ

u − u∞

≤
0

L∞

+M

0

dsdτ
(1.30)

∂2
∂2
u (x, s) − 2 u∞ (x, s)
∂s2
∂s

∂2
∂2
u
(x,
s)
+
u
(x,
s),
s
−
u
u (x, s) + u (x, s), s
∞
∂t2
∂t2

+ u
+ u∞

∂2
∂2
u
(x,
s)
+
u
(x,
s),
s
−
u
u∞ (x, s) + u∞ (x, s), s
∞
∂t2
∂t2

t

τ

u − u∞

≤
0

L∞

+M

0

∂2
∂2
u
−
u∞
∂s2
∂s2

+M
t

∂2
∂2
u
−
u∞
∂s2
∂s2

+ u − u∞

L∞

L∞

τ

1 + M + M2

≤
0

∂2
u (x, s) + u (x, s), s , s
∂t2

u − u∞

L∞

0

+ M + M2

∂2
∂2
u
−
u∞
∂s2
∂s2

L∞

dsdτ.

+ u − u∞

L∞

dsdτ

dsdτ

L∞


Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu14
Thêm vào đó,
∂2
∂2
u
(x,
t)
−
u∞ (x, t)
∂t2
∂t2
∂2
∂2
= u
u
(x,
t)
+
u
u (x, t) + u (x, t), t , t
∂t2

∂t2
− u∞

∂2
∂2
u
(x,
t)
+
u
u∞ (x, t) + u∞ (x, t), t , t
∞
∞
∂t2
∂t2

≤ u

∂2
u (x, t) + u
∂t2

∂2
u (x, t) + u (x, t), t , t
∂t2

− u∞

∂2
u (x, t) + u

∂t2

∂2
u (x, t) + u (x, t), t , t
∂t2

+ u∞
− u∞

∂2
u (x, t) + u
∂t2

∂2
u (x, t) + u (x, t), t , t
∂t2

∂2
∂2
u
(x,
t)
+
u
u∞ (x, t) + u∞ (x, t), t , t
∞
∞
∂t2
∂t2

≤ u − u∞

L∞

+M

∂2
∂2
u
(x,
t)
−
u∞ (x, t)
∂t2
∂t2

∂2
∂2
u
(x,
t)
+
u
(x,
t),
t
−
u
u∞ (x, t) + u∞ (x, t), t
∞

∂t2
∂t2

+ u

≤ u − u∞

L∞

+M

∂2
∂2
u
−
u∞
∂t2
∂t2

L∞

∂2
∂2
u
(x,
t)
+
u
(x,
t),

t
−
u
u (x, t) + u (x, t), t
∞
∂t2
∂t2

+ u
+ u∞

∂2
∂2
u
(x,
t)
+
u
(x,
t),
t
−
u
u∞ (x, t) + u∞ (x, t), t
∞
∂t2
∂t2

≤ u − u∞

L∞

+M

∂2
∂2
u
−
u∞
∂t2
∂t2

+ u − u∞
L∞

∂2
∂2
u
(x,
t)
−
u∞ (x, t) + |u (x, t) − u∞ (x, t)|
∂t2
∂t2

+M

≤ u − u∞
+

L∞

1 + M + M2

∂2
∂2
u
−
u∞
∂t2
∂t2

≤ 1 + 2M

u − u∞

L∞
L∞

M + M2

+ 2M

∂2
∂2
u
−
u∞
∂t2
∂t2

L∞

.

L∞

(1.31)


Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu15
Từ (1.31), ta suy ra
∂2
∂2
u
−
u∞
∂t2
∂t2

L∞

≤

1 + 2M
u − u∞
1 − 2M

L∞ .

(1.32)

Từ (1.4), (1.30) và (1.32), ta thu được
|u (x, t) − u∞ (x, t)| ≤

1 + 2M
1 − 2M

T02
u − u∞
2

L∞ .

Điều này suy ra u∞ ≡ u∗ và phép chứng minh kết thúc.

(1.33)


Chương 2
Ví dụ minh họa

Từ bài toán (1.1), chúng ta xét trường hợp p(x) = p0 , q(x) = q0 ; p0 và q0 là các số thực cho
trước. Khi đó, ta có
u0 (x, t) = p0 + tq0 ,

(2.1)

và
t

τ

u1 (x, t) = u0 (x, t) +

u0 (u0 (u0 (x, s), s), s)dsdτ
0

0
t

τ

= u0 (x, t) +

u0 (u0 (p0 + sq0 , s), s)dsdτ
0

0
t

τ

= p0 + tq0 +

(2.2)

(p0 + sq0 )dsdτ
0

0

t2
t3
= p0 + tq0 + p0 + q0
2
6
2
t
t3
= p0 1 +
+ q0 t +
.
2!
3!
Suy ra
∂2
u1 (x, t) = p0 + tq0 = u0 (x, t).
∂t2

(2.3)

Ngoài ra, ta cũng có
t

τ

u2 (x, t) = u0 (x, t) +

u1

0

0

∂2
∂2
u
(x,
s)
+
u
u1 (x, s)
1
1
∂s2
∂s2

+ u1 (x, s), s , s dsdτ
t

(2.4)

τ

s3
s2
= u0 (x, t) +
p0 1 +
+ q0 s +
2!

3!
0
0
4
3
5
2
t
t
t
t
= p0 1 + +
+ q0 t + +
.
2! 4!
3! 5!
16

dsdτ


Chương 2. Ví dụ minh họa

17

Bằng cách qui nạp đến bước k ta thu được
k

uk (x, t) = p0
i=0

t2i
+ q0
(2i)!

k

i=0

t2i+1
.
(2i + 1)!

Từ đó, ta cớ
p0

uk+1 (x, t) = u0 (x, t) +
0
k

= p0 1 +
i=0

k

τ

t
0

i=0

s2i
+ q0
(2i)!

t2i+2
+ q0 t +
(2i + 2)!

k

i=0

k

i=0

t2i+1
dsdτ
(2i + 1)!
(2.5)

t2i+3
.
(2i + 3)!

Từ (2.1) − (2.5) ta suy ra
n

un (x, t) = p0
i=0

t2i
+ q0
2i!

n

i=0

t2i+1
,
(2i + 1)!

(2.6)

∂2
un+1 (x, t) = un (x, t).
∂t2

(2.7)

Cho n → ∞, với mọi t ∈ [0, T ], T > 0, ta có
u (x, t) =

Cet , p0 = q0 = C
t2n
p0 ∞
n=0 2n! + q0

∞
t2n+1
n=0 (2n+1)!

= p0 cosh t + q0 sinh t, p0 = q0 .

(2.8)

Ta dễ dàng chứng minh được u∗ là nghiệm của (1.1). Các hàm u∗ là nghiệm của phương trình
vi phân u¨(t) = u(t).


Kết luận và kiến nghị
Việc nghiên cứu đề tài này giúp tăng cường năng lực nghiên cứu khoa học của chủ nhiệm đề
tài. Kết quả nghiên cứu có thể ứng dụng vào hoạt động nghiên cứu và đào tạo.

18


Tài liệu tham khảo
[1] P. K. Anh, N. T. T. Lan, N. M. Tuan: Solutions to systems of partial differential equations
with weighted self-reference and heredity Electron. J. Diff. Eqns. Vol. 2012(2012), No.
117, pp. 1-14. ISSN: 1072-6691.
[2] E. Eder: The functional-differential equation x (t) = x(x(t)), J. Differ. Equ. 54, 390–400
(1984).
[3] N. T. T. Lan: On an initial-value problem for second order partial differential equations
with self-reference, Note di Matematica, Italy (2014).
[4] M. Miranda, E. Pascali: On a class of differential equations with self-reference, Rend.
Mat., serie VII, 25, Roma 155-164 (2005).

[5] M. Miranda, E. Pascali: On a type of evolution of self-referred and hereditary phenomena,
Aequationes Math. 71, 253–268 (2006).
[6] E. Pascali: Existence of solutions to a self-referred and hereditary system of differential
equations, Electron. J. Diff. Eqns. Vol. 2006 No. 07, pp. 1–7 (2006).
[7] N. M. Tuan, N.T.T. Lan: On solutions of a system of hereditary and self-referred partialdifferential equations, Numer. Algorithms 55, no. 1, 101-Ờ113 (2010).
[8] J. G. Si, S. S. Cheng: Analytic solutions of a functional-differential equation with state
dependent argument, Taiwanese J. Math. 4, 471–480 (1997).
[9] V. Volterra: Opere Matematiche: Memorie e note, Vol. V, 1926-1940, Accad. Naz. Lincei.
Roma (1962).
[10] X. P. Wang, J. G. Si: Smooth solutions of a nonhomogeneous iterative functional differential equation with variable coefficients, J. Math. Anal. Appl. 226, 377–392 (1998).
[11] X. Wang, J. G. Si, S. S. Cheng: Analytic solutions of a functional differential equation
with state derivative dependent delay, Aequationes Math. 1, 75–86 (1999).

19


Phụ lục

20


Note di Matematica, manuscript, pages 1–18.

On an initial-value problem for second order
partial differential equations with
self-reference
Nguyen T.T. Lan
Faculty of Mathematics and Applications, Saigon University, 273 An Duong Vuong Str.,
Ward 3, district 5, Ho Chi Minh City, Viet Nam.
;

Received: . . . . . . ; accepted: . . . . . .

Abstract. In this paper, we study the local existence and uniqueness of the solution to an
initial-value problem for a second-order partial differential equation with self-reference.

Keywords: Cauchy problem, second-order partial differential equation, self-reference
MSC 2010 classification: primary 35R09, secondary 35F55 45G15

1

Introduction

In [1], Eder obtained the existence, uniqueness, analyticity and analytic dependence of solutions to the following equation of an one-variable unknown
function u : I ⊂ R → R :
u (t) = u (u(t)) .
(1.1)
This is so-called a differential equation with self-reference, since the right-hand
side is the composition of the unknown and itself. This equation has attracted
much attention. As a more general case than (1.1), Si and Cheng [4] investigated
the functional-differential equation
u (t) = u (at + bu(t)) ,

(1.2)

where a = 1 and b = 0 are complex numbers; the unknown u : C → C is
a complex function. By using the power series method, analytic solutions of
this equation are obtained. By generalizing (1.2), in [9] Cheng, Si and Wang
considered the equation
αt + βu (t) = u at + bu (t) ,
c 2014 Universit`a del Salento

2
where α and β are complex numbers. Existence theorems are established for
the analytic solutions, and systematic methods for deriving explicit solutions
are also given.
In [11], Stanek studied maximal solutions of the functional-differential equation
u(t)u (t) = ku (u(t))
(1.3)
with 0 < |k| < 1. Here u : I ⊂ R → R is a real unknown. This author showed
that properties of maximal solutions depend on the sign of the parameter k for
two separate cases k ∈ (−1, 0) and k ∈ (0, 1). For earlier work of Stanek than
(1.3), see [16]–[21].
For a more general model than the above, in [6], Miranda and Pascali studied
the existence and uniqueness of a local solution to the following initial-valued
problem for a partial differential equation with self-reference and heredity

t
 ∂ u(x, t) = u
u(x, s)ds, t , x ∈ R, a.e. t > 0,
∂t
0

u(x, 0) = u0 (x), x ∈ R,

(1.4)

by assuming that u0 is a bounded, Lipschitz continuous function. With suitable
weaker conditions on u0 , namely u0 is a non-negative, non-decreasing, bounded,
lower semi-continuous real function, in [3], Pascali and Le obtained the existence

of a global solution of (1.4).
In [22], T. Nguyen and L. Nguyen, generalizing [7], studied the system of
partial differential equations with self-reference and heredity

t

 ∂ u(x, t) = u αv(x, t) + v
u(x, s)ds, t t ,

∂t
0
(1.5)
t
∂


 v(x, t) = v βu(x, t) + u
v(x, s)ds, t t ,
∂t
0
associated with initial conditions
u(x, 0) = u0 (x), v(x, 0) = v0 (x),

(1.6)

where α and β are non-negative coefficients. By the boundedness and Lipschitz
continuity of u0 and v0 , we obtained the existence and uniqueness of a local
solution to this system. We also proved that this system has a global solution,
provided u0 and v0 are non-negative, non-decreasing, bounded and lower semicontinuous functions.

3
In [5], Pascali and Miranda considered an initial-valued problem for a secondorder partial differential equation with self-reference as follows:
 2
∂2
∂



u(x,
t)
=
k
u
u(x, t) + k2 u(x, t), t ,
1

 ∂t2
∂t2
(1.7)
u(x, 0) = α(x),




 ∂ u(x, 0) = β(x).
∂t
These authors proved that if α(x) and β(x) are bounded and Lipschitz continuous functions, k1 and k2 are given real numbers, this problem has a unique local
solution. It is noted that this result still holds when ki ≡ ki (x, t), i = 1, 2, are
real functions satisfying some technical conditions.

Motivated from problem (1.7) and related questions in [5], in this paper
we establish the existence and uniqueness of a local solution to the following
Cauchy problem of an partial differential equation with self-reference:
 2
∂
∂2
∂2



u(x,
t)
=
µ
u
u(x,
t)
+
µ
u
u(x, t) + µ3 u(x, t), t , t ,
1
2

 ∂t2
∂t2
∂t2
(1.8)
u(x, 0) = p(x)





 ∂ u(x, 0) = q(x),
∂t
where p and q are given functions, µi , i = 1, 2, 3, given real numbers x ∈ R
and t ∈ [0, T ] for some T > 0. It is clear that this problem is a non-trivial
generalization of (1.7). Let us specify some reasons as follows:
• The operator
∂2
u(x, t) + µ2 u
∂t2

∂2
u(x, t) + µ3 u(x, t), t
∂t2

is actually a doubly self-reference form, which is more complicated than
that of (1.7);
• If k2 = µ2 = 0, problem (1.8) coincides with problem (1.7). This is the
only coincidence of these two problems. This means that the problem we
study in this paper is not a “natural” generalization of (1.7), not including
(1.7) as a special case.
Finally we present the problem (1.8) in the case that p(x) = p0 and q(x) =
q0 , where p0 and q0 are two given constants and we remark a particular strange
situation.


4

2

Existence and uniqueness of a local solution

By integrating the partial differential equation in (1.8), we obtain the following integral equation:
t

τ

∂2
∂2
u(x,
s)+µ
u
u(x, s)+µ3 u(x, s), s , s dsdτ,
2
∂s2
∂s2
0
0
(2.1)
where u0 (x, t) = p(x) + tq(x) and x ∈ R and t ∈ [0, T ].
µ1 u

u(x, t) = u0 (x, t)+

The following theorem is so clear that its proof is omitted.
Theorem 2.1. If u is a continuous solution of problem (2.1), then it is also a
solution of problem (1.8).
This theorem allows us to consider problem (2.1) only in the rest of this

paper. For simplicity, we assume that |µ1 | = |µ2 | = |µ3 | = 1. Now we state our
main result.
Theorem 2.2. Assume that p and q are bounded and Lipschitz continuous on
R. Let σ be the lipschitz constant of p and assume that σ < 1. Then there exists
a positive constant T0 such that problem (2.1) has a unique solution, denoted
by u∞ (x, t), in R × [0, T0 ]. Moreover, the function u∞ (x, t) is also bounded and
Lipschitz continuous with respect to each of variables x ∈ R and t ∈ [0, T0 ].
Proof. To prove this theorem, we use an iterative algorithm. The proof includes
some steps as below.
Step 1:An iterate sequence of functions. We define the following sequence of real
functions (un )n defined for x ∈ R, t ∈ [0.T ] for T > 0 :
u0 (x, t) = p(x) + tq(x),
t

τ

u1 (x, t) = u0 (x, t) +

µ1 u0 µ2 u0 (µ3 u0 (x, s), s), s dsdτ,
0
t

0
τ

un+1 (x, t) = u0 (x, t) +

µ1 un
0

0

∂2
∂2
un (x, s) + µ2 un
un (x, s)
2
∂s
∂s2

(2.2)

+ µ3 un (x, s), s , s dsdτ.
Step 2: Proof of the boundedness of (un ). With simple calculations, taking into
account the boundedness of p and q, we get
|u0 (x, t)| ≤ |p(x)| + t|q(x)| ≤ p

L∞

+t q

L∞ ,


5
t

τ

|u1 (x, t)| ≤ |u0 (x, t)| +

µ1 u0 (µ2 u0 (µ3 u0 (x, s), s), s) dsdτ
0

0
t

≤ p

+t q

L∞

L∞

p
0

= 1+

t2
2!

p

t

τ

L∞

τ

+

+ t+

0
t3

3!

q

L∞

+s q

L∞

dsdτ

L∞ .

Moreover,

|u2 (x, t)| ≤ |u0 (x, t)| +

µ1 u1
0

0

∂2
∂2
u
(x,
s)
+
µ
u
u1 (x, s)
1
2
1
∂s2
∂s2

+ µ3 u1 (x, s), s , s dsdτ
t

≤ p

L∞

= 1+

+t q

t2 t4

+
2! 4!

τ

s3
s2
p L∞ + s +
2!
3!
0
0
3
5
t
t
p L∞ + t + +
q L∞ .
3! 5!

L∞

+

1+

q

L∞ dsdτ

By induction on n we find
|un (x, t)| ≤ eT

p

L∞

+ q

L∞

, n ∈ N, t ∈ [0, T ].

(2.3)

Step 3: Every un is lipschitz with respect to the first variable. From the Lipschitz
continuity of p and q
|p(x) − p(y)| ≤ σ|x − y|, ∀ x, y ∈ R,
|q(x) − q(y)| ≤ ω|x − y|, ∀ x, y ∈ R.

(2.4)

where 0 < σ, ω are real numbers (with σ < 1 as in the hypotheses).
Using (2.4), we derive
|u0 (x, t) − u0 (y, t)| ≤ |p(x) − p(y)| + t|q(x) − q(y)|
≤ σ + tω |x − y| := L0 (t)|x − y|,
where L0 (t) := σ + tω.

(2.5)

6
In addition,
t

τ

|u1 (x, t) − u1 (y, t)| ≤ L0 (t)|x − y| +

µ1 u0 (µ2 u0 (µ3 u0 (x, s), s), s)
0

0

− µ1 u0 (µ2 u0 (µ3 u0 (y, s), s), s) dsdτ
t

≤

τ

L30 (s)dsdτ

L0 (t) +
0

(2.6)

|x − y|

0

:= L1 (t)|x − y|,
t τ
0 0

where L1 (t) := L0 (t) +
Moreover

C0 (s)dsdτ, with C0 (t) := L30 (t).

∂2
∂2
u
(x,
t)
−
u1 (y, t) ≤ L0 (t) µ2 u0 (µ3 u0 (x, t), t) − µ2 u0 (µ3 u0 (y, t), t)
1
∂t2
∂t2
≤ L20 (t) µ3 u0 (x, t) − µ3 u0 (y, t)
≤ L30 (t)|x − y| := C0 (t)|x − y|.
Similarly, we have
|u2 (x, t) − u2 (y, t)|
t

τ

≤ L0 (t)|x − y| +

0

+ µ2 u1

∂2
∂2
u
(x,
s)
−
u1 (y, s)
1
∂s2
∂s2

L1 (s)

∂2
∂s2

0

u1 (x, s) + µ3 u1 (x, s), s
− µ2 u1
t

L1 (s)

L30 (s)|x

− y|

0

+ L1 (s) L30 (s)|x − y| + L1 (s)|x − y|
t

≤

L1 (s) + L21 (s) C0 (s) + L31 (s) dsdτ
0
t

:=

dsdτ

τ

L0 (t) +
0

τ

L0 (t) +

C1 (s)dsdτ
0

dsdτ

τ

≤ L0 (t)|x − y| +
0

∂2
u1 (y, s) + µ3 u1 (y, s), s
∂s2

|x − y| := L2 (t)|x − y|,

0

where

t

τ

L2 (t) := L0 (t) +

C1 (s)dsdτ,
0

0

|x − y|

(2.7)