Trạng thái kết hợp của dao động tử paraboson biến dạng ĝ (LV00815)

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan,
người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền
tảng để tôi hoàn thành bài luận văn này. Cô cũng là người đã giúp tôi ngày
càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc
cùng cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau
Đại Học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư,
Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về
chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân
trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi
trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả

Bùi Thị Thu Phương


LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Bùi Thị Thu Phương, học viên cao học khóa 2010 – 2012
chuyên nghành Vật lý lý thuyết và vật lý toán – Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan đề tài: “Trạng thái kết hợp của dao động tử
paraboson biến dạng gˆ ”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi. Các
luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác
giả khác. Nếu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu
trách nhiệm trước hội đồng khoa học.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Bùi Thị Thu Phương


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................ 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc luận văn........................................................................................... 2
NỘI DUNG....................................................................................................... 3
Chương 1: Dao động tử biến dạng gˆ ............................................................ 3
1.1 Dao động tử biến dạng gˆ ............................................................................ 3
1.1.1 Mở rộng lý thuyết biến dạng q thành lý thuyết biến dạng gˆ ............. 3
1.1.2 Hệ dao động tử biến dạng gˆ và các tính chất .................................... 5
1.2 So sánh dao động tử biến dạng gˆ và dao động tử biến dạng q .................. 7
1.2.1 Định nghĩa và tính chất ...................................................................... 7
1.2.2 Tính nhân quả của biến trường biến dạng gˆ ..................................... 8
Chương 2: Dao động tử paraboson biến dạng gˆ ....................................... 15
2.1 Dao động tử paraboson biến dạng gˆ ......................................................... 15
2.1.1 Dao động tử paraboson...... .............................................................. 15
2.1.2 Dao động tử paraboson biến dạng gˆ ............................................... 20
2.2 Phân bố thống kê của dao động tử paraboson biến dạng gˆ ...................... 21
2.2.1 Thống kê para – bose ....................................................................... 21
2.2.2 Phân bố thống kê của dao động tử paraboson biến dạng gˆ ............ 24
Chương 3: Trạng thái kết hợp của dao động tử paraboson biến
dạng gˆ ........................................................................................................... 26

3.1 Trạng thái kết hợp của các dao động tử lượng tử ..................................... 26


3.1.1 Định nghĩa trạng thái kết hợp........................................................... 26
3.1.2 Các tính chất của trạng thái kết hợp................................................. 27
3.2 Trạng thái kết hợp của dao động tử có thống kê para............................... 35
3.3 Trạng thái kết hợp của dao động tử paraboson biến dạng q tổng quát ..... 40
3.3.1 Dao động tử paraboson biến dạng q và phân bố thống kê ............. 40
3.3.2 Trạng thái kết hợp của dao động tử paraboson biến dạng q
tổng quát .......................................................................................................... 42
3.4 Trạng thái kết hợp của dao động tử paraboson biến dạng gˆ .................... 44
KẾT LUẬN .................................................................................................... 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 47


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong lịch sử vật lý, các nhà khoa học đã nhiều lần biến dạng các quy
luật vật lý cơ bản để tạo nên các lý thuyết mới đáp ứng nhu cầu nghiên cứu.
Lý thuyết mới đã biến dạng là tổng quát hơn và chứa lý thuyết ban đầu như
một trường hợp giới hạn khi tham số biến dạng tiến đến một giá trị đặc biệt.
Lý thuyết biến dạng được các nhà vật lý đặc biệt quan tâm bởi những ứng
dụng của nó trong vật lý rất đa dạng, như nghiên cứu nghiệm của phương
trình Yâng-Bascter lượng tử, lý thuyết trường conformal hữu tỉ, lý thuyết
trường hai chiều với những thống kê phân số, lý thuyết siêu đối xứng, ...
Những năm gần đây, một hướng phát triển mới của biến dạng lượng tử trong
vật lý lượng tử thu hút sự quan tâm nghiên cứu của các nhà vật lý là lý thuyết
biến dạng khi tham số trở thành toán tử. Lý thuyết biến dạng mới này có

nhiều ưu thế hơn so với lý thuyết biến dạng khi tham số là c-số.
Trong thời gian gần đây, sự nghiên cứu về dao động tử điều hòa biến
dạng được quan tâm nhiều do tầm quan trọng của việc nghiên cứu các thống
kê trung gian. Đồng thời từ những năm 50, Green đã quan sát được nhiều loại
hạt không tuân theo thống kê Fermi hay Bose thông thường và chúng lập nên
một số lượng lớn các thống kê gọi là thống kê para. Dao động tử có thống kê
para-bose gọi là dao động tử paraboson, nó được xem như sự biến dạng của
dao động tử boson. Trong lý thuyết biến dạng lượng tử khi tham số trở thành
toán tử, hệ các dao động tử biến dạng gˆ , tức là các hạt guon như dao động tử
paraboson biến dạng gˆ đang được quan tâm nghiên cứu.
Trạng thái kết hợp có vai trò quan trọng trong quang học, vật lý chất
rắn, vật lý hạt cơ bản cũng như trong lý thuyết lượng tử. Do đó việc mở rộng
tìm hiểu trạng thái kết hợp cho các thống kê khác hai thống kê đã biết là cần


2

thiết. Đề tài: “Trạng thái kết hợp của dao động tử paraboson biến dạng gˆ ”
nghiên cứu một cách có hệ thống lý thuyết biến dạng gˆ , đặc biệt là dao động
tử paraboson biến dạng gˆ và trạng thái kết hợp của chúng.
2. Mục đích nghiên cứu
- Trên cơ sở lý thuyết biến dạng q, xây dựng lý thuyết biến dạng gˆ .
- Xây dựng phân bố thống kê para-bose biến dạng gˆ .
- Tính được số hạt trung bình, xác suất để trạng thái kết hợp của các dao
động tử paraboson gˆ biến dạng ở trạng thái n hạt.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu dao động tử paraboson biến dạng gˆ , chỉ ra hệ thức giao
hoán, hàm phân bố và trạng thái kết hợp cho dao động tử paraboson biến dạng gˆ .
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Dao động tử paraboson.

- Dao động tử paraboson biến dạng khi tham số biến dạng là c-số trở
thành toán tử.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng
- Phương pháp giải tích toán học
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử
6. Cấu trúc luận văn.
Luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Dao động tử biến dạng gˆ .
Chương 2: Dao động tử paraboson biến dạng gˆ .
Chương 3: Trạng thái kết hợp của dao động tử paraboson biến
dạng gˆ .


3

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG gˆ
Trong chương này sẽ giới thiệu khái niệm về dao động tử biến dạng gˆ ,
nhu cầu mở rộng biến dạng q thành biến dạng gˆ và các hệ thức giao hoán của
lý thuyết biến dạng gˆ . So sánh dao động tử biến dạng gˆ và dao động tử biến
dạng q cho thấy rõ hơn ưu thế của lý thuyết biến dạng gˆ so với lý thuyết biến
dạng q trong vật lý lượng tử.
1.1 Dao động tử biến dạng gˆ
1.1.1 Mở rộng lý thuyết biến dạng q thành lý thuyết biến dạng gˆ
Từ lý thuyết biến dạng q cho các dao dộng tử boson và fermion đơn
mode (gọi các hạt này là các hạt quon) [8, 9], ta mở rộng cho hệ thống các hạt
quon đa mode được xác định bởi hệ thức giao hoán:
a ia +j - qa +j a i = dij

(1.1)

Hệ thức (1.1) được gọi là đại số quon. Hệ thức này có thể xem như là một
phép nội suy giữa thống kê Bose và Fermi khi q chạy từ 1 đến -1 trên trục
thực. Thật vậy:
- Khi q = 1 : phương trình (1.1) trở thành
a ia +j - a +j a i = dij

Khi đó thống kê biến dạng q trở về thống kê Bose-Einstein.
- Khi q = -1 : phương trình (1.1) trở thành
a ia +j + a +j a i = dij

Khi đó thống kê biến dạng q trở về thống kê Fermi-Dirac.
Hệ các hạt quon đơn mode đã được phát triển trong lý thuyết nhóm
lượng tử biến dạng SU(2) và lần đầu được đề cập đến bởi Biedenharn và


4

Macfarlane [7]. Khi nghiên cứu lý thuyết biến dạng q, thấy rằng có sự khác
biệt giữa hệ các hạt quon đơn mode và đa mode. Thật vậy, trong trường hợp
các hạt quon đơn mode tức các dao động tử boson (fermion) biến dạng q thì
các mode khác nhau ( i ¹ j ) sẽ giao hoán (phản giao hoán) với nhau. Trong khi
đó hệ hạt quon đa mode sẽ chỉ giao hoán với nhau theo “kiểu q” tức là chúng
thỏa mãn (1.1). Hơn nữa trong trường hợp của đại số quon thì không có một
quy luật giao hoán nào có thể áp đặt đối với a i , a j và a i+ , a +j của các mode
khác nhau. Tức là trong thống kê biến dạng q không có sự liên quan giữa toán
tử a ( a + ) của các mode khác nhau trong hệ đa mode, tức không thể biểu diễn
chúng bằng một hệ thức giao hoán kiểu q nào.
Thật vậy, giả sử ta có hệ thức giao hoán:

a i+ a +j - ba +j a i+ = 0

(1.2)

Trong đó b là một hằng số nào đó. Khi đó trạng thái s được xác định bởi hệ
thức:
s = ( a i+ a +j - ba +j a i+ ) 0 = 0

(1.3)

Vì a i , a j là toán tử hủy dao động nên:
a i 0 = 0, a j 0 = 0.

Như vậy nếu tác động ai lên trạng thái s và lưu ý đến công thức (1.1) thì :
0 = a i s = (a i a i+ a +j - ba i a +j a i+ ) 0
= éë(1 + qa i+ a i )a +j - b(qa +j a j )a i ùû 0
= (a +j + qa i+ a i a +j - b qa +j a i a i+ ) 0

(1.4)

= éëa +j + qa i+ (qa +j a i ) - b qa +j (1 + qa i+ a i ) ùû 0
= (1 - b q)a +j 0

Từ đó suy ra:
1 - bq = 0

(1.5)


5

Tương tự ta đem a j tác động lên trạng thái s ta được:
0 = a j s = (q - b)a i+ 0

(1.6)

q -b = 0

(1.7)

Suy ra:

Các phương trình (1.5) và (1.7) chỉ đồng thời được thỏa mãn khi q 2 = 1
tức là q = ±1 . Nhưng khi đó hệ thức giao hoán giữa các toán tử sinh, hủy
không là kiểu q được mà chỉ là giao hoán tử bình thường. Chỉ có một con
đường để vượt qua khó khăn trên [17], đó là thay c-số q bằng toán tử gˆ . Khi
đó từ (1.3) ta có:
b = gˆ 2 = 1,

(1.8)

nhưng điều này không yêu cầu gˆ = ±1 .
Như vậy, khi tham số biến dạng trở thành toán tử quy luật giao hoán
của các toán tử a i+ và a +j hoặc ai và aj cùng thống nhất theo kiểu gˆ .
1.1.2 Hệ dao động tử biến dạng gˆ và các tính chất
Hệ các giao động tử biến dạng gˆ được gọi là các hạt guon, chúng được
định nghĩa thông qua hệ thức:
ˆ +j a i = dij
a i a +j - ga

(1.9)

ˆ +j a i+ = 0
a i+ a +j - ga

(1.10)

Từ phương trình (1.9), nếu ta lấy liên hiệp hecmit thì ta được:
a ja i+ - a i+ a jgˆ + = dij

(1.11)

ˆ i+ a j
a i+ a jgˆ + = ga

(1.12)

Do i, j là bất kỳ nên:

Giả sử gˆ là toán tử hermitic, tức là gˆ = gˆ + . Thì phương trình (1.12) trở thành:


6

ˆ +j a i
a i+ a jgˆ = ga

(1.13)

Þ éëgˆ ,a i+ a j ùû = 0

(1.14)

Do i, j là bất kỳ nên làm tương tự như trên cũng thu được hai khả năng:
ˆ i ] = éëg,a
ˆ i+ ùû = 0
[g,a

(1.15)

ˆ i } = {g,a
ˆ i+ } = 0
{g,a

(1.16)

Hệ thức trên lần đầu tiên được đưa ra bởi Wu và Sun [32].
Ta định nghĩa giao hoán tử kiểu gˆ như sau:
ˆ
[ A,B]gˆ = AB - gBA

(1.17)

Khi đó ta có thể định nghĩa thống kê biến dạng gˆ thông qua các hệ thức
giao hoán kiểu gˆ như sau:
éëa i ,a +j ùû = dij
gˆ

, éëa i+ ,a +j ùû ˆ = 0
g

(1.18)

Trong đó toán tử gˆ là hermitic và unitary:
gˆ = gˆ +

gˆ 2 = 1

(1.19)

ˆ i ] = éëg,a
ˆ i+ ùû = 0
[g,a

(1.20)

,

Và gˆ giao hoán với các toán tử a i , a i+ :

Đặt toán tử N i = a i+ a i , ta tính các hệ thức giao hoán giữa N i và a j ,a +j
Tính hệ thức giao hoán giữa Ni và aj ta có:
éë N i ,a j ùû = éëa i+ a i ,a j ùû = a i+ a ia j - a ja i+ a i

(1.21)

Từ (1.18) ta có:
éëa i ,a j ùû = 0
gˆ

ˆ ja i
Þ a ia j = ga

éëa j ,a i+ ùû = d ji
gˆ

ˆ i+ a j
Þ a ja i+ = d ji + ga

(1.22)


7

Thay (1.22) vào (1.21) thì được:
ˆ ja i - (d ji + ga
ˆ i+ a j )a i
éë N i ,a j ùû = a i+ ga
ˆ i+ a ja i - d jia i - ga
ˆ i+ a ja i
= ga

(1.23)

= -dija j

Khi i = j thì:

[ Ni ,a i ] = -a i
Û [ N,a ] = -a

(1.24)

éë N i ,a +j ùû = dija +j

(1.25)

Tương tự ta tính được:

Khi i = j thì
éë N i ,a i+ ùû = a i+
Û éë N,a + ùû = a +

(1.26)

Từ các công thức (1.24) và (1.26) ta thấy toán tử N i với định nghĩa
N i = a i+ a i thật sự là toán tử số hạt của dao động tử biến dạng gˆ mode i. Các

công thức (1.24) và (1.26) cũng cho thấy khi i = j hệ thức giao hoán giữa toán
tử số N i với các toán tử sinh hạt, hủy hạt lại trở về đúng dạng cho dao động
tử boson đơn mode thông thường.
Như vậy, dao động tử biến dạng gˆ chính là trường hợp biến dạng của
dao động tử boson thông thường.
1.2 So sánh dao động tử biến dạng gˆ và dao động tử biến dạng q
1.2.1 Định nghĩa và tính chất
Từ các định nghĩa và tính chất của dao động tử biến dạng gˆ và dao
động tử biến dạng q, sự so sánh giữa hai dao động tử này được thể hiện như
bảng 1.2.

8

Bảng 1.2: So sánh dao động tử biến dạng q và dao động tử biến dạng gˆ
Dao động tử biến dạng q

Dao động tử biến dạng gˆ

( N0 = a +a )

( N = a +a )

éëa,a + ùû = 1,
q

(a )

[a,a ] = 0,

( b ) [a,a ]gˆ = 0,

( b¢ )

éëa + ,a + ùû = 0,

(c)

( c¢)

[ N 0 ,a ]q = -a,

( d ) [ N,a ] = -a,

( d¢ )

éë N 0 ,a + ùû = a + .
q

(e)

( e¢)

éëa,a + ùû = 1,
gˆ

éëa + ,a + ùû = 0,
gˆ

éë N,a + ùû = a + .

( a¢ )

Nhận xét:
Từ hệ thức (b) và (c) ta thấy đối với dao động tử biến dạng q hệ thức
giao hoán giữa các toán tử hủy (hoặc sinh) dao động đơn mode a và a (hoặc
a + và a + ) không là kiểu q. Từ hệ thức (d), (e) ta thấy toán tử N 0 = a + a không

phải là toán tử số bình thường do nó giao hoán với a và a + theo kiểu q, tức là
hệ thức giao hoán của N 0 với a và a + có chứa tham số biến dạng q.
Đối với dao động tử biến dạng gˆ , các hệ thức giao hoán giữa a và a,
a + và a + , a và a + thống nhất theo kiểu gˆ (xem hệ thức ( a¢ ), ( b¢ ), ( c¢ )). Còn

toán tử N = a + a là toán tử số chân thực (xem ( d¢ ), ( e¢ )).
1.2.2 Tính nhân quả của trường biến dạng gˆ
Trường lượng tử được xây dựng trên cơ sở các dao động tử biến dạng
gˆ được gọi là trường biến dạng gˆ . Trong mục này sẽ nêu ra một số kết quả

cho lý thuyết trường gˆ : dẫn ra các hệ thức giao hoán cho trường gˆ và chỉ ra
rằng chúng không khác nhiều so với các biểu thức của lý thuyết trường không


9

bin dng, [21]. ng thi chng minh trng g tha món tớnh nhõn qu c
in v trng bin dng q ch cú tớnh q - nhõn qu c bo ton, cũn tớnh
nhõn qu chõn thc ch cú c khi q = 1 .
1.2.2.1 Lng t húa trng g
Hm t do tuõn theo phng trỡnh Klein-Gordon

( W- m ) y = 0
2

(1.27)

Nh vy hm trng cú th c biu din bng cụng thc tớch phõn 4 chiu:
ổ 1 ử
y(x) = ỗ ữ
ố 2p ứ

3

2

ũ y ( p )d ( p

2

- m 2 ) e - ipx d 4 p

(1.28)

p 0 >0

trong ú tớch phõn c ly theo mt hyperboloid 3 chiu vi nng lng
dng ( p 2 = m 2 ).
Lu ý ti cụng thc trong gii tớch:
d ộở F ( x ) ựỷ = ồ
i

1
d ( x - xi )
FÂ ( x i )

(1.29)

trong ú x i l nghim ca phng trỡnh F ( x ) = 0 .
Ta cú th chuyn tớch phõn 4 chiu d 4 p thnh tớch phõn 3 chiu dp .
Tỏch phng trỡnh (1.28) ra thnh hai phn cú tn s õm v tn s dng, ta
thu c toỏn t trng di dng:
ổ 1 ử
ya ( x ) = ỗ ữ

ố 2p ứ

3

2

dp

ũ ( 2p )

1

2

ộở A a ( p ) e -ipx + Ba ( p ) eipx ựỷ

(1.30)

0

trong ú tớch phõn c ly theo chớnh paraboloid núi trờn, cũn a l ch s
thnh phn ca trng.
t:
A a ( p ) = ồ a ( p, r ) u a ( p,r )
r

(1.31)


10

Ba ( p ) = ồ b ( p, r ) ua ( p,r )

(1.32)

r

vi tng ly theo tt c r cỏc trng thỏi spin, a, a l toỏn t hy, sinh ca cỏc
ht, cũn b, b l toỏn t hy, sinh ca cỏc phn ht; u, u l cỏc trng thỏi spin
vi nng lng dng v õm.
Nh vy mt trng bt k c phõn thnh:
ộ
ự
y ( x ) = ờ ồ a ( r )f a ( r, x ) + b ( r ) g a ( r, x ) ỳ
ở r
ỷ

(1.33)

ồ =ồ ũ dp ,

(1.34)

trong ú:
r

r

ổ 1 ử 2 u a ( p, r ) - ipx
f a ( r, x ) = ỗ ữ
e ,

1
ố 2p ứ ( 2p 0 ) 2

(1.35)

ổ 1 ử 2 ua ( p, r ) ipx
g a ( r, x ) = ỗ ữ
e .
1
ố 2p ứ ( 2p 0 ) 2

(1.36)

3

3

Tng theo r l tớch phõn theo momen v tng theo cỏc trng thỏi spin.
Ht v phn ht trong tng c ni lin bi liờn hip phc ca hm m v
bi liờn hip in tớch ca hm ph thuc spin, c biu din thụng qua h
thc:
u ( r,p ) = Cu - T = C ( g 0 ) u * ,

(1.37)

u ( r, p ) = Cu- T = C ( g 0 ) u* .

(1.38)

T

T

S lng t húa trng bin dng g c biu din thụng qua cỏc h
thc giao hoỏn:
ộởa ( r ) , a ( r ) ựỷ g = d ( r, r ) ,

(1.39)

ộở b ( r ) , b ( r ) ựỷ g = d ( r, r ) ,

(1.40)


11
ộởa ( r ) , b ( r ) ựỷ g = 0 ,

(1.41)

ộở b ( r ) , a ( r ) ựỷ g = 0 ,

(1.42)

ộởa ( r ) ,a ( r ) ựỷ g = 0 ,

(1.43)

ộở b ( r ) ,b ( r ) ựỷ g = 0 .

(1.44)

Cỏc gi thit trờn cú th ỏp dng cho tt c cỏc trng, khụng loi tr
cỏc trng vụ hng, trong ú a = b . iu ú cho thy vic s dng lý thuyt
bin dng g cú u th hn so vi vic s dng lý thuyt bin dng q. Bi vỡ
trong trng hp lý thuyt bin dng q, i vi trng vụ hng hai cụng
thc (1.43), (1.44) tr thnh:
ộởa ( r ) ,a ( r ) ựỷ q = 0 ,

(1.45)

ộở b ( r ) ,b ( r ) ựỷ q = 0 .

(1.46)

iu ny dn n giỏ tr ca q phi bng 1 . Nh vy chỳng ta ó lng
t húa c trng bin dng g thụng qua cỏc dao ng t bin dng g .
1.2.2.2 Tớnh nhõn qu ca trng lng t bin dng g
S dng cỏc phng trỡnh (1.33), (1.45), (1.46) tớnh cỏc giao hoỏn t:
ộởy a ( x ) , yb ( x ) ựỷ
= ồ ộởa ( r ) , a ( r ) ựỷ g f a ( r, x ) fb ( rÂ, x ) + ộở b ( r ) ,b ( r ) ựỷ g g a ( r, x ) gb ( rÂ, x )
r

{

}

= ồ{f a ( r, x ) fb ( rÂ, x ) - g a ( r, x ) gb ( rÂ, x )}d ( r, r )

(1.47)

r

ổ 1 ử
=ỗ ữ
ố 2p ứ

3

dp ỡ
ũ 2p ớợồ u ( p,r ) u ( p,r ) e
a

0

b

- ip( x - x )

r

 ỹ
- ồ ua ( p,r ) ub ( p,r ) e- ip( x - x ) ý.
ỵ
r

Gi s rng:
Q(ab+ ) ( p ) = ồ u a ( p, r ) u b ( p, r ) ,

(1.48)

Q(ab- ) ( p ) = ồ ua ( p, r ) ub ( p,r ) .

(1.49)

r

r


12

Khi ú h thc giao hoỏn (1.47) tr thnh:
ổ 1 ử
ộởy a ( x ) , yb ( x ) ựỷ = ỗ ữ
g
ố 2p ứ

3

dp ộ ( + )
- ip( x - x  )
ip x - x Â
- Q(ab) ( p ) e ( ) ựỷ
ởQab ( p ) e

ũ 2p

0

r

ổ 1r ử
- ổ 1 ử
= Q ỗ - ả ữ iD + ( x - x ) - Q(ab) ỗ + ả ữ iD - ( x - x ) .
ố i ứ
ố i ứ

(1.50)

(+)
ab

trong ú hm D ( x ) c xỏc nh bi:
ổ 1 ử
iD ( x ) = ỗ ữ
ố 2p ứ

3

dp

ũ 2p e

m ipx

(1.51)

.

0

Bõy gi ta xột cỏc trng boson v fermion bin dng g .
(i) Xột trng vụ hng bin dng g
Trong trng hp ny cỏc ch s thnh phn ca trng ( a, b ) s
khụng cũn na. Vỡ vy t cụng thc (1.48), (1.49) ta cú:
Q( ) = 1

(1.52)

a (1.51), (1.52) vo (1.50) ta thu c:
ộởy ( x ) , y ( x ) ựỷ g = iD ( x - x )

(1.53)

trong ú:
D ( x ) = D + ( x ) - D - ( x ).

(ii) Xột trng vector cú khi lng bin dng g
S dng cỏc cụng thc cng theo hỡnh chiu spin trong lý thuyt trng
lng t, ta cú:
3

Q(ab) ( p ) = ồ ea ( p,r ) eb ( p, r ) = g ab

1

p a pb
m2

(1.54)

Nh vy giao hoỏn t kiu g ca trng vector cú khi lng bin dng g l:
p p ử
ổ
ộở A a ( x ) , Ab ( x ) ựỷ = i ỗ g ab - a 2b ữ D ( x - x )
g
m ứ
ố

(1.55)


13

(iii) Xột trng vector khụng khi lng bin dng g
Khi trng vector khụng khi lng thỡ m = 0, t (1.55) ta cú h thc
giao hoỏn ca trng:
ảả ử
ổ
ộở A atr ( x ) , Abtr ( x ) ựỷ = i ỗ dij - i 2 j ữ D ( x - x ) .
g
ả ứ
ố

(1.56)

(iv) Xột trng spinor bin dng g
i vi trng spinor, cụng thc cng theo cỏc hỡnh chiu spin cho ta:
Q(ab) ( p ) g 0 = ồ u a ( p, r ) u b ( p,r ) =

1

( m + p )ab ,
2m

(1.57)

Q(ab) ( p ) g 0 = ồ ua ( p, r ) ub ( p, r ) =

1
( -m + p )ab .
2m

(1.58)

+

r

-

r

Vỡ vy cụng thc (1.50) tr thnh:
i
ộởy a ( x ) , y b ( x ) ựỷ =
( m + iả )ab {D + ( x - xÂ) - D - ( x - xÂ)}
g
2m
i
=
( m + iả )ab D ( x - xÂ) .

2m

(1.59)

Nh vy ta ó tớnh c giao hoỏn t kiu g ca trng lng t bin
dng g . Cụng thc (1.53), (1.55), (1.56) v (1.59) cho thy cỏc giao hoỏn t
kiu g ny t l vi hm Schwinger D ( x - x ) .
Bõy gi chỳng ta xột hai i lng cú th quan sỏt c l A(x), B ( x ) .
Nu nh tớnh nhõn qu vi mụ c in c tha món trong trng g thỡ giao
hoỏn t ộở A ( x ) , B ( x ) ựỷ s phi bng khụng vi hai im ng dng khụng
gian tha món ( x - x ) < 0 .
2

Vi nh ngha (1.15) ca giao hoỏn t kiu g , ta cú th d dng chng
minh c cụng thc:

[ AB,C] = A [ B,C]g - [C,A ]g B + [ A,g ] CB ,

(1.60)


14

[ A,BC] = [ A, B] C + B[ A,C] .

(1.61)

Từ lý thuyết trường lượng tử [26], ta biết rằng hàm Schwinger
D ( x - x¢ ) sẽ triệt tiêu khi ( x - x¢ ) < 0. Đồng thời chúng ta cũng lưu ý tới giả
2

thuyết của Wu và Sun về tính giao hoán của toán tử gˆ với các toán tử a, a +
và các đại lượng quan sát được là phụ thuộc song tuyến vào các trường thì từ
các công thức (1.53), (1.55), (1.56), (1.59), (1.60) và (1.61) chúng ta thu được
kết luận:
éë A ( x ) , B ( x¢ ) ùû = 0 khi ( x - x¢ ) < 0
2

(1.62)

Như vậy trong lý thuyết biến dạng q, chỉ tính q - nhân quả được bảo
toàn và tính nhân quả “chân thật” chỉ có được khi q = ±1 . Còn với trường
biến dạng gˆ tuân theo các công thức từ (1.39) đến (1.44) thì thỏa mãn tính
nhân quả vi mô cổ điển. Điều này cho thấy sự thống nhất giữa lý thuyết
trường biến dạng gˆ và lý thuyết trường không biến dạng, đồng thời cho thấy
sự ưu việt của lý thuyết trường biến dạng gˆ so với lý thuyết trường biến dạng
q. Sự tương thích này mở ra một hướng khả thi để xây dựng lý thuyết trường
lượng tử của các hạt với thống kê trung gian.


15

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ PARABOSON
BIẾN DẠNG gˆ
Chương này sẽ nghiên cứu về hệ dao động tử paraboson và xây dựng
thống kê cho hệ dao động tử này. Thống kê đó gọi là thống kê para-bose.
Dao động tử paraboson được xem như sự biến dạng của dao động tử boson
thông thường. Từ các kết quả đó ta mở rộng nghiên cứu hệ dao động tử
paraboson biến dạng gˆ và đưa ra các hệ thức giao hoán giữa các toán tử hủy,
sinh của chúng.

2.1 Dao động tử paraboson biến dạng gˆ
2.1.1 Dao động tử paraboson
Các hạt đồng nhất có spin nguyên thì tuân theo thống kê Bose và chúng
nằm trong trạng thái đối xứng. Nếu biểu diễn trong bảng Young thì tất cả đều
nằm trên một hàng. Các hạt có spin bán nguyên thì tuân theo thống kê Fermi,
chúng nằm trong trạng thái phản đối xứng nên nếu biểu diễn trong bảng
Young thì tất cả các khối đều nằm trên một cột. Một tập hợp các hạt mà có
những hạt có thể nằm trong trạng thái phản đối xứng và có những hạt có thể
nằm trong trạng thái đối xứng thì tuân theo thống kê para. Thống kê para-bose
bậc p là thống kê có thể có nhiều nhất p hạt ở trạng thái phản đối xứng, trên
bảng Young chúng được biểu diễn với nhiều nhất p hàng. Thống kê parafermi bậc p là thống kê có thể có nhiều nhất p hạt ở trạng thái phản đối xứng,
tức chúng được biểu diễn nhiều nhất là p cột trên bảng Young (cả 2 thống kê
vẫn có thể chứa các hạt ở các trạng thái còn lại). Ta gọi p là bậc của thống kê
para. Khi p ® 1 thì thống kê para trở về thống kê Bose - Einstein và thống kê
Fermi - Dirac tương ứng.


16

Trong lí thuyết trường lượng tử những hạt có thống kê Bose, thống kê
Fermi được mô tả bởi hệ thức giao hoán của các toán tử sinh hạt và hủy hạt.
Năm 1953, H.S.Green đã mô tả thống kê para-bose, thống kê para-fermi bằng
cách tổng quát những quy tắc giao hoán của thống kê Bose và thống kê Fermi
[11, 18, 20, 29].
Ta có toán tử hủy, sinh boson a k ,a k+ cho mode k thỏa mãn quy tắc giao
hoán:
éëa k ,a l+ ùû = dkl

(2.1)

[a k ,a l ] = 0

(2.2)

Toán tử số N k cho mode k là:
N k = a k+ a k =

1 +
1
a k ,a k } {
2
2

(2.3)

Những toán tử hủy, sinh hạt fermion thỏa mãn quy tắc giao hoán và toán tử số:

{a

k

,a l+ } = dkl

(2.4)

{a k ,a l } = 0
N k = a k+ a k =

(2.5)
1 +

1
a k ,a k } +
{
2
2

(2.6)

Hệ thức giao hoán cho cả hạt boson và fermion ta có:

[ N k ,a l ] = dkla l

(2.7)

éë N k ,a l+ ùû = dkla l+

(2.8)

[ Nk , Nl ] = 0

(2.9)

Tổng quát những quy tắc giao hoán từ (2.1) đến (2.9) Green đã đưa ra
các hệ thức giao hoán cho các dao động tử paraboson như sau:
é{a +k ,a l } ,a m ù = -2dkm a l
ë
û

(2.10)

éë{a k ,a l } ,a m ùû = 0

(2.11)

éë{a k ,a l } ,a m+ ùû = 2dlm a k ± 2dkm a l

(2.12)


17

Toán tử số N k được xác định bởi hệ thức:
Nk =

1 +
1
a k ,a k } - p
{
2
2

(2.13)

Với p là số nguyên dương và là bậc của thống kê para-bose, khi p = 1 thì
thống kê para-bose trở về thống kê Bose thông thường.
Để đơn giản ta xét hệ dao động tử paraboson đơn mode đặc trưng bởi
các hệ thức giao hoán:
é{a + ,a} ,a ù = -2a ,
ë
û

(2.14)

éë{a,a} ,a ùû = 0 ,

(2.15)

éë{a,a} ,a + ùû = 4a .

(2.16)

Gọi 0 là trạng thái chân không trong không gian Fock, thì nó phải
thỏa mãn các hệ thức sau:
a 0 = 0,

(2.17)

aa + 0 = p 0 .

(2.18)

Toán tử số N của dao động tử paraboson đơn mode được biểu diễn qua
các toán tử sinh, toán tử hủy và bậc của thống kê para như sau:
N=

1 +
1
a ,a} - p
{
2

2

(2.19)

Và toán tử số thỏa mãn hệ thức giao hoán:

[ N,a ] = -a,

(2.20)

éë N,a + ùû = a + .

(2.21)

Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số hạt của dao động tử
paraboson:
N n =n n

(2.22)


18
Với giá trị riêng n = 0,1, 2,... , những trạng thái riêng tương ứng có thể
nhận được bằng cách lặp lại tác dụng của toán tử a + lên trạng thái 0 . Trạng
thái riêng của toán tử số chưa chuẩn hóa có dạng:
n : (a + )n 0 .

(2.23)

Tác dụng các toán tử a, a + lên trạng thái riêng n ta có:

a n = f (n) n - 1 ,

(2.24)

a + n = f (n + 1) n + 1 .

(2.25)

1
f (n) = n + éë1 - (-1) n ùû (p - 1) .
2

(2.26)

Từ đó ta tính được:

Tác động toán tử a + lên (2.24), toán tử a lên (2.25) ta được:
a + a n = f (n) n ,

(2.27)

aa + n = f (n + 1) n .

(2.28)

Thay (2.26) vào (2.27), (2.28) ta được:
1
ì
ü
a + a n = ín + éë1 - (-1) n ùû (p - 1) ý n ,

2
î
þ

(2.29)

1
ì
ü
aa + n = í(n + 1) + éë1 - (-1) n ùû (p - 1) ý n .
2
î
þ

(2.30)

Từ (2.26), (2.29), (2.30) ta thấy trong không gian Fock với cơ sở là các vector
trạng thái riêng n của toán tử số N :
1
a + a = f (N) = N + éë1 - (-1) N ùû (p - 1),
2

(2.31)

1
aa + = f (N + 1) = (N + 1) + éë1 - (-1) N ùû (p - 1).
2

(2.32)

Từ (2.32) và (2.33) suy ra:
aa + - a + a = 1 + (-1) N (p - 1)

(2.33)


19

éëa,a + ùû = 1 + (-1) N (p - 1)

Hay:

(2.34)

Đại số (2.34) được thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là các
vector trạng thái riêng n đã chuẩn hóa của toán tử số N :
n =

trong đó:

1
(a + ) n 0
n (p)!

(2.35)

n (p)! = 1(p).2(p).3(p)...n (p)

(2.36)

Như vậy dao động tử paraboson là dao động tử thỏa mãn hệ thức giao
hoán (2.34) với toán tử số được xác định bởi hệ thức giao hoán (2.20), (2.21).
Lưu ý khi p = 1 , hệ thức (2.34) trở thành:
éëa,a + ùû = 1

Khi đó:
1
1
N = (aa + + a + a) 2
2
1
1
= éëa,a + ùû + 2a + a 2
2
= a +a

(

)

Tức là trở về thống kê Bose thông thường.
Xét toán tử A + có cấu trúc như sau:
A+ = a +

N +1
f ( N + 1)

(2.37)

Khi đó ta thu được các hệ thức giao hoán:

é
N +1 ù
éëa, A + ùû = êa,a +
ú
f ( N + 1) û
ë
N +1
N
= aa +
- a +a
f ( N + 1)
f ( N)
N +1
N
= f ( N + 1)
- f ( N)
f ( N + 1)
f ( N)
= 1.

(2.38)


20

é
ù
N +1
éë A + , N ùû = êa +
, Nú

ë f ( N + 1) û
N +1
= a+
N - NA +
f ( N + 1)
N +1
= ( N - 1) a +
- NA +
f ( N + 1)
+
= ( N - 1) A - NA +
= -A +

(2.39)

Toán tử số N có thể biểu diễn thông qua toán tử A + :
N
N
= aa +
f ( N)
f (N)
N +1
= a+
a
f ( N + 1)
= A+a

N = f ( N)

(2.40)

Như vậy các toán tử a, A + , N tương ứng với các toán tử hủy, sinh và
toán tử số của thống kê Bose thông thường. Công thức (2.37) cho ta mối liên
hệ giữa toán tử sinh A + của dao động tử boson và toán tử sinh a + của dao
động tử paraboson. Từ đó ta thấy dao động tử paraboson là trường hợp biến
dạng của dao động tử boson.
2.1.2 Dao động tử paraboson biến dạng gˆ
Từ việc đưa vào tham số biến dạng là toán tử gˆ , ta xét hệ dao động tử
paraboson biến dạng gˆ được định nghĩa bởi hệ thức giao hoán kiểu gˆ :
ˆ g+ˆ a = 1
aA g+ˆ - gA

(2.41)

trong đó toán tử A g+ˆ liên hệ với toán tử a + của dao động tử paraboson bởi hệ
thức:
A g+ˆ = a +

N +1
f ( N + 1)

(2.42)


21

và toán tử N có dạng:
N = A g+ˆ a

(2.43)

Tìm dạng cụ thể của hệ thức giao hoán cho dao động tử paraboson biến
dạng gˆ . Sử dụng các biểu thức (2.41), (2.42) và (2.43) thu được:
a + a = A g+ˆ

f (N + 1)
f (N) +
f (N)
a=
A gˆ a =
N = f (N),
N +1
N
N

aa + = aA g+ˆ

f (N + 1)
f (N + 1)
ˆ + 1)
= ( gN
.
N +1
N +1

(2.44)
(2.45)

Từ (2.44) và (2.45) ta có:
éëa,a + ùû = aa + - a + a

f (N + 1)
ˆ + 1)
= ( gN
- f (N)
N +1
f (N + 1)
(2.46)
- f (N + 1)
N +1
f (N + 1) f (N + 1)
ˆ
= f (N + 1) - f (N) + gN
+
- f (N + 1)
N +1
N +1
f (N + 1)
= f (N + 1) - f (N) + (gˆ - 1)N
N +1
ˆ + 1)
= f (N + 1) - f (N) + ( gN

Đặt toán tử 0ˆ = gˆ - 1 thì (2.46) trở thành:
N
éëa,a + ùû = f (N + 1) - f (N) + 0ˆ
f ( N + 1)
N +1

(2.47)

Như vậy đã thu được hệ thức giao hoán cho dao động tử paraboson
biến dạng gˆ qua công thức (2.47).
2.2 Phân bố thống kê của dao động tử paraboson biến dạng gˆ
2.2.1 Thống kê para-bose
Hàm phân bố thống kê của một đại lượng vật lý F tương ứng với toán
tử Fˆ chính là trị trung bình của đại lượng vật lý đó và được tính theo công
thức: