He thong kien thuc ĐÃ BẺ KHÓA

Đã bị bẻ khóa

Năm học
2010 - 2011

Hệ thống kiến thức cơ
bản

Môn : Hình Học - THCS

Website:
1. Điểm - Đờng thẳng
- Ngời ta dùng các chữ cái in hoa A,
B, C, ... để đặt tên cho điểm
- Bất cứ hình nào cũng là một tập
hợp các điểm. Một điểm cũng là
một hình.
- Ngời ta dùng các chữ cái thờng a,
b, c, ... m, p, ... để đặt tên cho các
đờng thẳng (hoặc dùng hai chữ
cái in hoa hoặc dùng hai chữ cái
thờng, ví dụ đờng thẳng AB, xy, ...
)
- Điểm C thuộc đờng thẳng a (điểm
C nằm trên đờng thẳng a hoặc đờng thẳng a đi qua điểm C), kí
hiệu là: C a
- Điểm M không thuộc đờng thẳng a
(điểm M nằm ngoài đờng thẳng a
hoặc đờng thẳng a không đi qua
điểm M), kí hiệu là: M a

2. Ba điểm thẳng hàng
- Ba điểm cùng thuộc một đờng
thẳng ta nói chúng thẳng hàng
- Ba điểm không cùng thuộc bất kì
đờng thẳng nào ta nói chúng không
thẳng hàng.
3. Đờng thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song
- Hai đờng thẳng AB và BC nh
hình vẽ bên là hai đờng thẳng
trùng nhau.
- Hai đờng thẳng chỉ có một điểm
chung ta nói chúng cắt nhau, điểm
chung đó đợc gọi là giao điểm
(điểm E là giao điểm)
- Hai đờng thẳng không có điểm
chung nào, ta nói chúng song song
với nhau, kí hiệu xy//zt
4. Khái niệm về tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông


Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng
- H×nh gåm ®iĨm O vµ mét phÇn ®êng th¼ng bÞ chia ra bëi ®iĨm O ®ỵc gäi lµ mét tia gèc O (cã hai tia
Ox vµ Oy nh h×nh vÏ)
- Hai tia chung gèc t¹o thµnh ®êng
th¼ng ®ỵc gäi lµ hai tia ®èi nhau
(hai tia Ox vµ Oy trong h×nh vÏ lµ
hai tia ®èi nhau)

- Hai tia chung gèc vµ tia nµy n»m
trªn tia kia ®ỵc gäi lµ hai tia trïng
nhau
- Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng
nhau
5. §o¹n th¼ng, ®é dµi ®o¹n th¼ng
- §o¹n th¼ng AB lµ h×nh gåm
®iĨm A, ®iĨm B vµ tÊt c¶ c¸c ®iĨm
n»m gi÷a A vµ B
- Hai ®iĨm A vµ B lµ hai mót - Mçi ®o¹n th¼ng cã mét ®é dµi. §é
(hc hai ®Çu) cđa ®o¹n th¼ng dµi ®o¹n th¼ng lµ mét sè d¬ng
AB.
6. Khi nµo th× AM + MB = AB ?
- NÕu ®iĨm M n»m gi÷a hai ®iĨm
A vµ B th× AM + MB = AB. Ngỵc
l¹i, nÕu AM + MB = AB th× ®iĨm
M n»m gi÷a hai ®iĨm A vµ B
7. Trung ®iĨm cđa ®o¹n th¼ng
- Trung ®iĨm M cđa ®o¹n th¼ng
AB lµ ®iĨm n»m gi÷a A, B vµ c¸ch
®Ịu A, B (MA = MB)
- Trung ®iĨm M cđa ®o¹n th¼ng
AB cßn gäi lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa
®o¹n th¼ng AB
8. Nưa mỈt ph¼ng bê a, hai nưa mỈt ph¼ng ®èi nhau
- H×nh gåm ®êng th¼ng a vµ mét
phÇn mỈt ph¼ng bÞ chia ra bëi a ®ỵc gäi lµ mét nưa mỈt ph¼ng bê a
- Hai nưa mỈt ph¼ng cã chung bê ®ỵc gäi lµ hai nưa mỈt ph¼ng ®èi
nhau (hai nưa mỈt ph¼ng (I) vµ (II)
®èi nhau)

9. Gãc, gãc bĐt

Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u


Đã bị bẻ khóa
- Góc là hình gồm hai tia chung
gốc, gốc chung của hai tia gọi là
đỉnh của góc, hai tia là hai cạnh
của góc
ã
à
- Góc xOy kí hiệu là xOy
hoặc O
hoặc xOy
- Điểm O là đỉnh của góc
- Hai cạnh của góc : Ox, Oy
- Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai
tia đối nhau
10. So sánh hai góc, góc vuông, góc nhọn, góc tù.
- So sánh hai góc bằng cách so
sánh các số đo của chúng
- Hai góc xOy và uIv bằng nhau đã
ã
ợc kí hiệu là: xOy
= uIv
- Góc xOy nhỏ hơn góc uIv, ta viết:
ã
ã
ã

ã
xOy
< uIv
<=> uIv
> xOy

- Góc có số đo bằng 90 0 = 1v, là góc
vuông
- Góc nhỏ hơn góc vuông là góc
nhọn
- Góc lớn hơn góc vuông nhng nhỏ
hơn góc bẹt là góc tù.
ã
ã
ã
11. Khi nào thì xOy
+ yOz
= xOz
- Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox
ã
ã
ã
và Oz thì xOy
.
+ yOz
= xOz
ã
ã
ã
- Ngợc lại, nếu xOy

thì
+ yOz
= xOz

tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz

12. Hai góc kề nhau, phụ nhau, bù nhau, kề bù
- Hai góc kề nhau là hai góc có
một cạnh chung và hai cạnh còn
lại nằm trên hai nửa mặt phẳng
đối nhau có bờ chứa cạnh chung.
- Hai góc phụ nhau là hai góc có
tổng số đo bằng 900
- Hai góc bù nhau là hai góc có
tổng số đo bằng 1800
- Hai góc vừa kề nhau, vừa bù
nhau đợc gọi là hai góc kề bù

13. Tia phân giác của góc

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông

Năm học
2010 - 2011


Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng
- Tia ph©n gi¸c cđa mét gãc lµ tia
n»m gi÷a hai c¹nh cđa gãc vµ t¹o

víi hai c¹nh Êy hai gãc b»ng nhau
·
·
·
·
·
- Khi: xOz
+ zOy
= xOy
vµ xOz
= zOy
=> tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc
xOy
- §êng th¼ng chøa tia ph©n gi¸c
cđa mét gãc lµ ®êng ph©n gi¸c cđa
gãc ®ã (®êng th¼ng mn lµ ®êng
ph©n gi¸c cđa gãc xOy)

14. §êng trung trùc cđa ®o¹n th¼ng
a) §Þnh nghÜa: §êng th¼ng vu«ng gãc
víi mét ®o¹n th¼ng t¹i trung ®iĨm
cđa nã ®ỵc gäi lµ ®êng trung trùc cđa
®o¹n th¼ng Êy
b) Tỉng qu¸t:
a lµ ®êng trung trùc cđa AB
a ⊥ AB t¹i I

 IA =IB

a

B

I

A

15. C¸c gãc t¹o bëi mét ®êng th¼ng c¾t hai ®êng th¼ng
a) C¸c cỈp gãc so le trong:
µ vµ B
µ ; A
µ vµ B
µ .
A
1
3
4
2
b) C¸c cỈp gãc ®ång vÞ:
µ vµ B
µ ; A
µ vµ B
µ ;
A
1
1
2
2
µ vµ B
µ ; A

µ vµ B
µ .
A
3
3
4
4
c) Khi a//b th×:
µ vµ B
µ ; A
µ vµ B
µ gäi lµ c¸c cỈp
A
1
2
4
3
gãc trong cïng phÝa bï nhau

a

A
3 2
4 1
B
3 2
41

16. Hai ®êng th¼ng song song

Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u

b


Đã bị bẻ khóa
a) Dấu hiệu nhận biết
- Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng
thẳng a, b và trong các góc tạo
thành có một cặp góc so le trong
bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng
vị bằng nhau) thì a và b song song
với nhau

Năm học
2010 - 2011

c
a

b

b) Tiên đề Ơ_clít
- Qua một điểm ở ngoài một đờng
thẳng chỉ có một đờng thẳng song
song với đờng thẳng đó

M

b

a

c, Tính chất hai đờng thẳng song song
- Nếu một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì:
Hai góc so le trong bằng nhau;
Hai góc đồng vị bằng nhau;
Hai góc trong cùng phía bù nhau.
d) Quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song
- Hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông
c
góc với đờng thẳng thứ ba thì chúng
song song với nhau
a c
=> a / / b
b c

- Một đờng thẳng vuông góc với một
trong hai đờng thẳng song song thì
nó cũng vuông góc với đờng thẳng
kia

b
a

c

b

c b
=> c a

a / / b

e) Ba đờng thẳng song song
- Hai đờng thẳng phân biệt cùng song
song với một đờng thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau
a//c và b//c => a//b
17. Góc ngoài của tam giác

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông

a

a
b
c


Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng
a) §Þnh nghÜa: Gãc ngoµi cđa mét
tam gi¸c lµ gãc kỊ bï víi mét gãc
cđa tam gi¸c Êy
b) TÝnh chÊt: Mçi gãc ngoµi cđa tam
gi¸c b»ng tỉng hai gãc trong kh«ng
kỊ víi nã
·
µ +B
µ
ACx

=A

A

B

x

C

18. Hai tam gi¸c b»ng nhau
a) §Þnh nghÜa: Hai tam gi¸c b»ng
nhau lµ hai tam gi¸c cã c¸c c¹nh t¬ng øng b»ng nhau, c¸c gãc t¬ng
øng b»ng nhau
∆ABC = ∆A 'B 'C '
 AB = A 'B '; AC = A 'C '; BC = B 'C '
⇔
µ =A
µ '; B
µ =B
µ '; C
µ = C'
µ
A


B

A'

C

C

B'
b) C¸c trêng hỵp b»ng nhau cđa hai tam gi¸c
*) Trêng hỵp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh
A
(c.c.c)
- NÕu ba c¹nh cđa tam gi¸c nµy b»ng ba
c¹nh cđa tam gi¸c kia th× hai tam
gi¸c ®ã b»ng nhau
NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
AB = A 'B '

AC = A 'C '  => ∆ABC = ∆A 'B 'C '(c.c.c )
BC = B 'C ' 

B

A'

B'

Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u

C

C'

'


Đã bị bẻ khóa

Năm học
2010 - 2011

A

*) Trờng hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh
(c.g.c)
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam
giác này bằng hai cạnh và góc xen
giữa của tam giác kia thì hai tam
giác đó bằng nhau

B

Nếu ABC và A'B'C' có:
AB = A 'B '
à =B
à ' => ABC = A 'B 'C '(c.g.c )
B

BC = B 'C'


C

A'

C'

B'
*) Trờng hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g)

A

- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam
giác này bằng một cạnh và hai góc
kề của tam giác kia thì hai tam giác
đó bằng nhau
Nếu ABC và A'B'C' có:
à =B
à'
B

BC = B 'C' => ABC = A 'B 'C'(g.c.g )

à = C'
à
C


B

C

A'

C'

B'

c) Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông
Trờng hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này
bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác
vuông đó bằng nhau.

B

B'

A

C A'

C'

Trờng hợp 2: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh
ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc
nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai giác vuông đó
bằng nhau.

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông


Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng

B

B'

A

C A'

C'

 Trêng hỵp 3: NÕu c¹nh hun vµ mét gãc nhän cđa tam gi¸c
vu«ng nµy b»ng c¹nh hun vµ mét gãc nhän cđa tam gi¸c vu«ng
kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

B'

B

C

A

C'

A'

 Trêng hỵp 4: NÕu c¹nh hun vµ mét c¹nh gãc vu«ng cđa tam
gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh hun vµ mét c¹nh gãc vu«ng cđa tam
gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

B

B'

A

C A'

C'
A

19. Quan hƯ gi÷a c¸c u tè trong tam
gi¸c (quan hƯ gi÷a gãc vµ c¹nh ®èi diƯn
trong tam gi¸c)
- Trong mét tam gi¸c, gãc ®èi diƯn víi c¹nh
lín h¬n lµ gãc lín h¬n
µ >C
µ
∆ABC : NÕu AC > AB th× B

B

C

 Trong mét tam gi¸c, c¹nh ®èi diƯn víi gãc lín h¬n th× lín h¬n
µ >C
µ th× AC > AB
∆ABC : NÕu B

20. Quan hƯ gi÷a ®êng vu«ng gãc vµ ®êng xiªn, ®êng xiªn vµ
h×nh chiÕu
 Kh¸i niƯm ®êng vu«ng gãc, ®êng xiªn, h×nh chiÕu cđa ®êng
xiªn
- LÊy A ∉ d, kỴ AH ⊥ d, lÊy B ∈ d vµ B ≠ H. Khi ®ã :

Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u


Đã bị bẻ khóa
- Đoạn thẳng AH gọi là đờng vuông góc
kẻ từ A đến đờng thẳng d
- Điểm H gọi là hình chiếu của A trên đờng thẳng d
- Đoạn thẳng AB gọi là một đờng xiên
kẻ từ A đến đờng thẳng d
- Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của
đờng xiên AB trên đ.thẳng d

Năm học
2010 - 2011

A

B

H

d

Quan hệ giữa đờng xiên và đờng vuông góc:

Trong các đờng xiên và đờng vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một
đờng thẳng đến đờng thẳng đó, đờng vuông góc là đờng ngắn nhất.
Quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu:
Trong hai đờng xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đờng thẳng đến
đờng thẳng đó, thì:
Đờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
Đờng xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
Nếu hai đờng xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngợc
lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đờng xiên bằng nhau.
21. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam
giác
- Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn
độ dài cạnh còn lại.

A

AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB

B

C

- Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn
độ dài cạnh còn lại.
AC - BC < AB
AB - BC < AC
AC - AB < BC
- Nhận xét : Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn

hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
VD: AB - AC < BC < AB + AC

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông


Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng
21. TÝnh chÊt ba ®êng trung tun cđa tam gi¸c
- Ba ®êng trung tun cđa mét tam gi¸c
cïng ®i qua mét ®iĨm. §iĨm ®ã c¸ch mçi
®Ønh mét kho¶ng b»ng

2
3

®é dµi ®êng

F

trung tun ®i qua ®Ønh Êy:

GA = GB = GC = 2
DA
EB
FC
3

G lµ träng t©m cđa tam gi¸c ABC

A
G

B

E
C

D

22. TÝnh chÊt ba ®êng ph©n gi¸c cđa tam gi¸c
- Ba ®êng ph©n gi¸c cđa mét tam
A
gi¸c cïng ®i qua mét ®iĨm. §iĨm
nµy c¸ch ®Ịu ba c¹nh cđa tam
gi¸c ®ã
- §iĨm O lµ t©m ®êng trßn néi
tiÕp tam gi¸c ABC

O
C

B
23. TÝnh chÊt ba ®êng trung trùc cđa tam gi¸c
- Ba ®êng trung trùc cđa mét tam
A
gi¸c cïng ®i qua mét ®iĨm. §iĨm
nµy c¸ch ®Ịu ba ®Ønh cđa tam gi¸c
®ã
- §iĨm O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp

tam gi¸c ABC

O
B

C

24. Ph¬ng ph¸p chøng minh mét sè bµi to¸n c¬ b¶n
(sư dơng mét trong c¸c c¸ch sau ®©y)
a) Chøng minh tam gi¸c c©n
1. Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau
2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau
3. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®êng trung tun võa lµ ®êng cao
4. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®êng cao võa lµ ®êng ph©n gi¸c ë
®Ønh
b) Chøng minh tam gi¸c ®Ịu
1.
Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau
2.
Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng nhau
3.
Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lµ 600
c) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh
1. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi song song lµ h×nh b×nh hµnh
2. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh
3. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau lµ h×nh b×nh
hµnh
4. Tø gi¸c cã c¸c gãc ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh
5. Tø gi¸c cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng lµ
h×nh b×nh hµnh

Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u


Đã bị bẻ khóa

Năm học
2010 - 2011

11

d) Chứng minh một tứ giác là hình thang:
Ta chứng minh tứ giác đó có hai cạnh đối song song
e) Chứng minh một hình thang là hình thang cân
1. Chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
2. Chứng minh hình thang có hai đờng chéo bằng nhau
f) Chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật
1. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
2. Hình thanh cân có một góc vuông là hình chữ nhật
3. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật
4. Hình bình hành có hai đờng chéo bằng nhau là hình chữ nhật
g) Chứng minh một tứ giác là hình thoi
1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
3. Hình bình hành có hai đờng chéo vuông góc với nhau
4. Hình bình hành có một đờng chéo là đờng phân giác của một góc
h) Chứng minh một tứ giác là hình vuông
1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau
2. Hình chữ nhật có hai đờng chéo vuông góc
3. Hình chữ nhật có một đờng chéo là đờng phân giác của một góc

4. Hình thoi có một góc vuông
5. Hình thoi có hai đờng chéo bằng nhau
25. Đờng trung bình của tam giác, của hình thang
a) Đờng trung bình của tam giác
Định nghĩa: Đờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối
trung điểm hai cạnh của tam giác
Định lí: Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ
ba và bằng nửa cạnh ấy

A

DE là đờng trung bình của tam giác

D

DE / /BC, DE = 1 BC
2

B

Tài liệu Ôn thi vào Trung
học Phổ
11
thông

E
C


Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng

b) §êng trung b×nh cđa h×nh thang
 §Þnh nghÜa: §êng trung b×nh cđa h×nh thang lµ ®o¹n th¼ng nèi
trung ®iĨm hai c¹nh bªn cđa h×nh thang
 §Þnh lÝ: §êng trung b×nh cđa h×nh thang th× song song víi hai
®¸y vµ b»ng nưa tỉng hai ®¸y
B
A
EF lµ ®êng trung b×nh cđa
h×nh thang ABCD
E
F
EF//AB, EF//CD, EF = AB + CD
2

D

C

26. Tam gi¸c ®ång d¹ng
a) §Þnh lÝ Ta_lÐt trong tam gi¸c:
- NÕu mét ®êng th¼ng song song víi mét c¹nh cđa tam gi¸c vµ c¾t hai
c¹nh cßn l¹i th× nã ®Þnh ra trªn hai c¹nh ®ã nh÷ng ®o¹n th¼ng t¬ng
øng tØ lƯ

A

B 'C '/ /BC => AB ' = AC' ;
AB
AC
AB ' = AC ' ; B 'B = C 'C

B 'B
C'C AB
AC

B'

a

C'

B

C

b) §Þnh lÝ ®¶o cđa ®Þnh lÝ Ta_lÐt:
- NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai c¹nh cđa mét tam gi¸c vµ ®Þnh ra trªn
hai c¹nh nµy nh÷ng ®o¹n th¼ng t¬ng øng tØ lƯ th× ®êng th¼ng ®ã song
song víi c¹nh cßn l¹i cđa tam gi¸c
VÝ dơ: AB ' = AC ' => B 'C '/ /BC ; C¸c trêng hỵp kh¸c t¬ng tù
AB

AC

c) HƯ qu¶ cđa ®Þnh lÝ Ta_lÐt
- NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai c¹nh cđa mét tam gi¸c vµ song song víi
c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi cã ba c¹nh t¬ng øng tØ lƯ
víi ba c¹nh cđa tam gi¸c ®· cho. HƯ qu¶ cßn ®óng trong trêng hỵp ®êng
th¼ng song song víi mét c¹nh cđa tam gi¸c vµ c¾t phÇn kÐo dµi cđa hai
c¹nh cßn l¹i ( B 'C '/ /BC => AB ' = AC ' = B 'C ' )
AB

AC

BC

A

C'

B'

a

A
B

C
a

B'

C'

B

C

d) TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c cđa tam gi¸c:
- §êng ph©n gi¸c trong (hc ngoµi) cđa mét tam gi¸c chia c¹nh ®èi
diƯn thµnh hai ®o¹n tØ lƯ víi hai c¹nh kỊ cđa hai ®o¹n ®ã

Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u


Đã bị bẻ khóa

Năm học
2010 - 2011

13

A

A

B

C

D

C

B

D'

DB = AB
DC
AC

D 'B = AB
D'C
AC

ABC

S

e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng :
- Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có các góc tơng ứng bằng
nhau và các cạnh tơng ứng tỉ lệ
à =A
à '; B
à =B
à '; C
à =C
à'

A

A 'B 'C ' <=> AB
AC
BC
A 'B ' = A 'C ' = B 'C ' = k( tỉ số đồng dạng )

f) Định lí về hai tam giác đồng dạng:
- Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với
cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác
đã cho

S

MN / /BC => AMN

A

ABC

*) Lu ý: Định lí cũng đúng đối với trờng
hợp đờng thẳng cắt phần kéo dài hai
cạnh của tam giác và song song với
cạnh còn lại

M

a

N

C

B

g) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác
*)Trờng hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam
giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

A'

A

B

C

B'

C
S

Nếu ABC và A'B'C' có:
AB = AC = BC => ABC
A 'B '
A 'C '
B 'C'

'

A 'B 'C'(c.c.c )

*)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của
tam giác kia và hai góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau thì hai tam
giác đồng dạng

Tài liệu Ôn thi vào Trung
học Phổ
13
thông

Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng

A'

A

C

B

B'

C'

S

NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
AB = BC 
A 'B '
B 'C '  => ∆ABC
µ =B
µ'

B

∆A 'B 'C '( c.g.c )

*)Trêng hỵp 3: NÕu hai gãc cđa tam gi¸c nµy lÇn lỵt b»ng hai gãc cđa
tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ång d¹ng;

A'

A

C

B

B'

C

'

S

NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
µ =A
µ '
A

 => ∆ABC ∆A 'B 'C '(g.g )
µB = B
µ '


h) C¸c trêng hỵp ®ång d¹ng cđa hai tam gi¸c vu«ng
*)Trêng hỵp 1: NÕu hai tam gi¸c vu«ng cã mét gãc nhän b»ng nhau th×
chóng ®ång d¹ng.

S

NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
µ =A
µ ' = 900 
A

 => ∆ABC ∆A 'B 'C '
µC = C'
µ


B'

B

A

C

A’

C'

*)Trêng hỵp 2: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cđa tam gi¸c vu«ng nµy tØ lƯ
víi hai c¹nh gãc vu«ng cđa tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång
d¹ng.

Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u

Đã bị bẻ khóa

Năm học
2010 - 2011

15

B'
B

C

A

C'

A'
S

Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' có:
AB = AC => ABC A 'B 'C '
A 'B '
A 'C '

*)Trờng hợp 3: Nếu cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông
này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia
thì hai giác đó đồng dạng.

S

Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' có:
AB = BC => ABC A 'B 'C '
A 'B '
B 'C '

S

27. Tỉ số hai đờng cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng
dạng
- Tỉ số hai đờng cao tơng ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số
đồng dạng
- Tỉ sô diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phơng tỉ số
đồng dạng
- Cụ thể : A 'B 'C ' ABC theo tỉ số k
S
2
=> A 'H ' = k và A 'B 'C ' = k
AH

SABC

28. Diện tích các hình

h

b
a

a

S = a. b

h

a
2

S=a

a

S = 1 ah
2

S = 1 ah
2

b
h

E
a
S = 1 ah
2

F

h

a
S = 1 (a + b)h = EF.h
2

Tài liệu Ôn thi vào Trung
học Phổ
15
thông


Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng

h

a
S = a. h

d2

d1

S = 1 d1 ×d2
2

29. Häc sinh cÇn n¾m v÷ng c¸c bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n
(dïng thíc th¼ng, thíc ®o ®é, thíc cã chia kho¶ng, compa, ªke)
a) Dùng mét ®o¹n th¼ng b»ng mét ®o¹n th¼ng cho tríc;
b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tríc;
c) Dùng ®êng trung trùc cđa mét ®o¹n th¼ng cho tríc, dùng trung ®iĨm

cđa mét ®o¹n th¼ng cho tríc;
d) Dùng tia ph©n gi¸c cđa mét gãc cho tríc;
e) Qua mét ®iĨm cho tríc, dùng ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®êng
th¼ng cho tríc;
f) Qua mét ®iĨm n»m ngoµi mét ®êng th¼ng cho tríc, dùng ®êng th¼ng
song song víi mét ®êng th¼ng cho tríc;
g) Dùng tam gi¸c biÕt ba c¹nh, hc biÕt hai c¹nh kỊ vµ gãc xen gi÷a,
hc biÕt mét c¹nh vµ hai gãc kỊ.

Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u


Đã bị bẻ khóa

Năm học
2010 - 2011

17

30. Hệ thức lợng trong tam giác vuông (lớp 9)
a) Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông






2

b = ab'

2

c = ac '

2
2
2
a = b + c (Pi_ta_go)

bc = ah
2

h = b' c '
1
1
1
2 + 2 = 2
b
c
h

A
c
c'

B

b

h

b'
a

H

b) Tỉ số lợng giác của góc nhọn
Định nghĩa các tỉ số lợng giác của góc nhọn
cạnh đối
cạnh huyền
cạnh đối
tg =
cạnh kề

sin =

cạnh kề
cạnh huyền
cạnh kề
cot g =
cạnh đối
cos =



Một số tính chất của các tỉ số lợng giác
+) Định lí về tỉ số lợng giác của hai góc phụ nhau
Cho hai góc và phụ nhau. Khi đó:
sin = cos;
tg = cotg;

cos = sin;
0
0
+) Cho 0 < < 90 . Ta có:
2

cotg = tg.

2

0 < sin < 1; 0 < cos < 1; sin + cos = 1
tg = sin ; cot g = cos ; tg.cotg = 1
cos
sin

So sánh các tỉ số lợng giác
0

0

0 < 1 < 2 < 90 => sin 1 < sin 2 ;cos 1 > cos 2 ;tg1 < tg2 ;cotg1 > cotg 2

c) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Tài liệu Ôn thi vào Trung
học Phổ
17
thông

C

Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng

b = a.sinB;
b = a.cosC;
b = c.tgB;
b = c.cotgC;
=> a =

c = a.sinC
c = a.cosB
c = b.tgC
c = b.cotgB

b = c
= b = c
sinB
sinC
cosC
cosB

31. §êng trßn, h×nh trßn, gãc ë t©m, sè ®o cung
- §êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R lµ h×nh
gåm c¸c ®iĨm c¸ch O mét kho¶ng b»ng
R, kÝ hiƯu (O ; R).
- H×nh trßn lµ h×nh gåm c¸c ®iĨm n»m
trªn ®êng trßn vµ c¸c ®iĨm n»m bªn
α
trong ®êng trßn ®ã.

0
0
0 < α < 180
- Trªn h×nh vÏ:
+) C¸c ®iĨm A, B, C, D n»m trªn (thc)
®êng trßn; OA = OB = OC = OD = R.
+) M n»m bªn trong ®êng trßn; OM < R
+) N n»m bªn ngoµi ®êng trßn; ON > R
+) §o¹n th¼ng AB lµ d©y cung (d©y)
+) CD = 2R, lµ ®êng kÝnh (d©y cung lín
nhÊt, d©y ®i qua t©m)
¼
+) AmB
lµ cung nhá ( 00 < α < 1800 )
¼
+) AnB
lµ cung lín
+) Hai ®iĨm A, B lµ hai mót cđa cung
- Gãc cã ®Ønh trïng víi t©m ®êng trßn ®·
ỵc gäi lµ gãc ë t©m ( AOB
lµ gãc ë t©m
ch¾n cung nhá AmB)
- Gãc bĐt COD ch¾n nưa ®êng trßn
- Sè ®o cung:
+) Sè ®o cđa cung nhá b»ng sè ®o cđa
gãc ë t©m ch¾n cung ®ã
0
0
¼
s® AmB

= α ( 0 < α < 180 )
+) Sè ®o cđa cung lín b»ng hiƯu gi÷a
3600 vµ sè ®o cđa cung nhá (cã chung
hai mót víi cung lín)
¼ = 360 − α
s® AnB
0

+) Sè ®o cđa nưa ®êng trßn b»ng 1800,
sè ®o cđa c¶ ®êng trßn b»ng 3600

32. Quan hƯ vu«ng gãc gi÷a ®êng kÝnh vµ d©y

0

α = 180

Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u


Đã bị bẻ khóa

19

- Trong một đờng tròn, đờng kính vuông
góc với một dây thì đi qua trung điểm
của dây ấy
AB CD tại H => HC = HD
- Trong một đờng tròn, đờng kính đi qua
trung điểm của một dây không đi qua

tâm thì vuông góc với dây ấy
33. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Định lí 1: Trong một đờng tròn
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
AB = CD => OH = OK
OH = OK => AB = CD
Định lí 2: Trong hai dây của một đờng tròn
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
AB < CD => OH > OK
OH > OK => AB < CD

34. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn
a) Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau (có
hai điểm chung)
- Đờng thẳng a gọi là cát tuyến của (O)
d = OH < R và HA = HB = R2 OH2
b) Đờng thẳng và đờng tròn tiếp xúc
nhau (có một điểm chung)
- Đờng thẳng a là tiếp tuyến của (O)
- Điểm chung H là tiếp điểm
d = OH = R
*) Tính chất tiếp tuyến: Nếu một đờng thẳng
là tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vuông
góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
a là tiếp tuyến của (O) tại H => a OH
c) Đờng thẳng và đờng tròn không giao
nhau (không có điểm chung)
d = OH > R

35. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn

Tài liệu Ôn thi vào Trung
học Phổ
19
thông

Năm học
2010 - 2011


Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng
- §Ĩ chøng minh mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tun cđa mét ®êng trßn ta thêng dïng hai c¸ch sau:
 C¸ch 1: Chøng minh ®êng th¼ng vµ ®êng trßn chØ cã mét ®iĨm
chung (®Þnh nghÜa tiÕp tun)
 C¸ch 2: Chøng minh ®êng th¼ng ®i qua mét ®iĨm cđa ®êng trßn
vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iĨm ®ã
H ∈ ( O)


 => a lµ tiÕp tun cđa (O)
a ⊥ OH t¹i H

36. TÝnh chÊt cđa hai tiÕp tun c¾t nhau; ®êng trßn néi tiÕp,
bµng tiÕp tam gi¸c
a) §Þnh lÝ: NÕu hai tiÕp tun cđa
mét ®êng trßn c¾t nhau t¹i mét ®iĨm
th×:
 §iĨm ®ã c¸ch ®Ịu hai tiÕp ®iĨm

 Tia kỴ tõ ®iĨm ®ã ®i qua t©m lµ
tia ph©n gi¸c cđa gãc t¹o bëi
hai tiÕp tun
 Tia kỴ tõ t©m ®i qua ®iĨm ®ã lµ
tia ph©n gi¸c cđa gãc t¹o bëi
hai b¸n kÝnh ®i qua c¸c tiÕp
®iĨm.
·
·
·
·
; AOB
AB = AC;OAB
= OAC
= AOC
b) §êng trßn nét tiÕp tam gi¸c
- §êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cđa
tam gi¸c ®ỵc gäi lµ ®êng trßn néi tiÕp
tam gi¸c, khi ®ã tam gi¸c gäi lµ tam
gi¸c ngo¹i tiÕp ®êng trßn
- T©m cđa ®êng trßn néi tiÕp tam
gi¸c lµ giao ®iĨm cđa c¸c ®êng ph©n
gi¸c c¸c gãc trong cđa tam gi¸c
c) §êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c
- §êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cđa
mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi c¸c phÇn
kÐo dµi cđa hai c¹nh kia gäi lµ ®êng
trßn bµng tiÕp tam gi¸c
- T©m cđa ®êng trßn bµng tiÕp lµ
giao ®iĨm cđa hai ®êng ph©n gi¸c

c¸c gãc ngoµi t¹i hai ®Ønh nµo ®ã
hc lµ giao ®iĨm cđa mét ®êng ph©n - Víi mét tam gi¸c cã ba ®êng
gi¸c gãc trong vµ mét ®êng ph©n gi¸c
trßn bµng tiÕp (h×nh vÏ lµ ®gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh
êng trßn bµng tiÕp trong gãc
A)

Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u


Đã bị bẻ khóa

21

Năm học
2010 - 2011

37. Vị trí tơng đối của hai đờng tròn, tiếp tuyến chung của hai
đờng tròn.
a) Hai đờng tròn cắt nhau
(có hai điểm chung)
- Hai điểm A, B là hai giao điểm
- Đoạn thẳng AB là dây chung
R - r < OO' < R + r

- Đờng thẳng OO là đờng nối tâm,
đoạn thẳng OO là đoạn nối tâm
*) Tính chất đờng nối tâm: Đờng nối
tâm là đờng trung trực của dây chung
b) Hai đờng tròn tiếp xúc nhau

(có một điểm chung)
- Điểm chung A gọi là tiếp điểm
+) Tiếp xúc ngoài tại A:
OO' = R + r

+) Tiếp xúc trong tại A:
OO' = R r

c) Hai đờng tròn không giao nhau
(không có điểm chung)
+) ở ngoài nhau:
OO' > R + r

+) Đựng nhau:
OO' < R r

+) Đặc biệt (O) và (O) đồng tâm:
OO' = 0

d) Tiếp tuyến chung của hai đờng
tròn
- Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn là
đờng thẳng tiếp xúc với cả hai đờng
tròn đó

Tài liệu Ôn thi vào Trung
học Phổ
21
thông

Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng
- TiÕp tun chung ngoµi kh«ng c¾t
®o¹n nèi t©m
- TiÕp tun chung trong c¾t ®o¹n nèi
t©m

38. So s¸nh hai cung trong mét ®êng trßn hay trong hai ®êng
trßn b»ng nhau.
- Hai cung ®ỵc gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã sè ®o b»ng nhau
- Trong hai cung, cung nµo cã sè ®o lín h¬n ®ỵc gäi lµ cung lín h¬n
» = CD;
»
» > GH
¼ <=> GH
¼ < EF
»
- KÝ hiƯu: AB
EF
39. Liªn hƯ gi÷a cung vµ d©y.
*) §Þnh lÝ 1:
Víi hai cung nhá trong mét ®êng trßn hay trong
hai ®êng trßn b»ng nhau:
a) Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau
b) Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau
» = CD
» => AB = CD ; AB = CD => AB
» = CD
»
AB

*) §Þnh lÝ 2:
Víi hai cung nhá trong mét ®êng trßn hay trong
hai ®êng trßn b»ng nhau:
a) Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n
b) D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n
» > CD
» => AB > CD ; AB > CD => AB
» > CD
»
AB

40. Gãc néi tiÕp
a) §Þnh nghÜa:
- Gãc néi tiÕp lµ gãc cã ®Ønh n»m trªn ®êng
trßn vµ hai c¹nh chøa hai d©y cung cđa ®êng trßn ®ã.
- Cung n»m bªn trong gãc ®ỵc gäi lµ cung
bÞ ch¾n
b) §Þnh lÝ:
Trong mét ®êng trßn, sè ®o cđa gãc néi
tiÕp b»ng nưa sè ®o cđa cung bÞ ch¾n

·
lµ gãc néi tiÕp ch¾n
BAC

cung nhá BC(h×nh a) vµ
ch¾n cung lín BC(h×nh b)
1
·

»
BAC
= s® BC
2

c) HƯ qu¶: Trong mét ®¬ng trßn
+) C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau
+) C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hc ch¾n c¸c cung b»ng
nhau th× b»ng nhau
+) Gãc néi tiÕp (nhá h¬n hc b»ng 90 0) cã sè ®o b»ng nưa sè ®o cđa
gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung
+) Gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn lµ gãc vu«ng.
41. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tun vµ d©y cung

Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u


Đã bị bẻ khóa

Năm học
2010 - 2011

23

a) Khái niệm:
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc
có đỉnh nằm trên đờng tròn, một cạnh là một
tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của
đờng tròn
- Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn

- Hình vẽ:
ã
BAx
chắn cung nhỏ AmB
ã
BAy
chắn cung lớn AnB
b) Định lí:
- Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
cung bằng nửa số đo của cung bị chắn
c) Hệ quả:
Trong một đờng tròn, góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn
một cung thì bằng nhau.

ã
ẳ
BAx
= 1 sđ AmB
2
ã
ẳ
BAy
= 1 sđ AnB
2

1
ã
ã
ẳ

= ACB
= sđ AmB
BAx
2

42. Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài
đờng tròn.
a) Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn.
d m a
- Góc có đỉnh nằm bên trong đờng tròn đợc gọi
là góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn
e
ã
- Hình vẽ: BEC
là góc có đỉnh ở bên trong đẳ
ẳ
ờng tròn chắn hai cung là BnC
, AmD
o
- Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn
c
bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
ẳ
ẳ
ã
BEC
= sđBnC + sđ AmD
2

Tài liệu Ôn thi vào Trung

học Phổ
23
thông

b

n


Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng
b) Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn.
- Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn lµ gãc cã
®Ønh n»m ngoµi ®êng trßn vµ c¸c c¹nh ®Ịu cã
®iĨm chung víi ®êng trßn
- Hai cung bÞ ch¾n lµ hai cung n»m bªn trong
·
gãc, h×nh vÏ bªn: BEC
lµ gãc cã ®Ønh ë bªn
ngoµi ®êng trßn, cã hai cung bÞ ch¾n lµ

E
Am

O

¼
¼
AmD
vµ BnC

B

- Sè ®o cđa gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn
b»ng nưa hiƯu sè ®o hai cung bÞ ch¾n

n

C

¼
¼
·
BEC
= s®BnC − s® AmD
2

43. KÕt qu¶ bµi to¸n q tÝch cung chøa gãc
a) Bµi to¸n: Víi ®o¹n th¼ng AB vµ gãc α (
0
0
0 < α < 180 ) cho tríc th× q tÝch c¸c ®iĨm M
·
tháa m·n AMB
= α lµ hai cung chøa gãc α
dùng trªn ®o¹n th¼ng AB

- Hai cung chøa gãc α dùng trªn ®o¹n th¼ng
AB ®èi xøng víi nhau qua AB

- Khi α = 900 th× hai cung chøa gãc lµ hai nưa

®êng trßn ®êng kÝnh AB, suy ra: Q tÝch c¸c
®iĨm nh×n ®o¹n th¼ng AB cho tríc díi mét gãc
vu«ng lµ ®êng trßn ®êng kÝnh AB (¸p dơng
kiÕn thøc nµy ®Ĩ chøng minh tø gi¸c néi tiÕp)

D

2
3
1

Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u


Đã bị bẻ khóa

25

Năm học
2010 - 2011

b) Cách vẽ cung chứa góc
- Vẽ đờng trung trực d của đoạn thẳng AB.
ã
- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc ( BAx
= )
- Vẽ tia Ay vuông góc với tia Ax . Gọi O là giao
điểm của Ay với d
- Vẽ cung AmB, tâm O bán kính OA sao cho
cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không

chứa tia Ax.
c) Cách giải bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính
chất T là một hình H nào đó, ta chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất T là hình H
44. Tứ giác nội tiếp
a) Khái niệm tứ giác nội tiếp
- Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng
tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn (gọi tắt
là tứ giác nội tiếp)
b) Định lí:
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc
Tứ giác ABCD nội
đối diện bằng 1800
tiếp (O), suy ra:
à +C
à =B
à +D
à = 1800
A

c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800

Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối
diện

Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định đợc). Điểm đó là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác

Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại
dới một góc
Lu ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng
minh tứ giác đó là một trong các hình : Hình chữ nhật, hình vuông,
hình thang cân.

Tài liệu Ôn thi vào Trung
học Phổ
25
thông