He thong kien thuc 10

TÀI LIỆU LỚP 10 CƠ BẢN.
CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ TẬP HP.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. MỆNH ĐỀ:
1. Mệnh đề là một khẳng đònh đúng hoặc sai. Mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Ví dụ: i) 2 + 3 = 5 là mđề đúng.
ii)
2
là số hữu tỉ. Là mđề sai.
iii) Mệt quá ! Không phải là mđề
2. Mệnh đề chứa biến:
Ví dụ: Cho mđề 2 + n = 5. với mỗi giá trò của n thì ta được một đề đúng hoặc sai. Mệnh đề như trên được
gọi là mđề chứa biến.
3. Phủ đònh của mđề:
Phủ đònh của mđề P kí hiệu là
P
. Nếu mđề P đúng thì
P
sai, P sai thì
P
đúng.
Ví dụ: P: “3 là số nguyên tố”

P
: “3 không là số nguyên tố”
4. Mệnh đề kéo theo:
Mệnh đề “nếu P thì Q” dglmđề kéo theo. Kí hiệu
P Q⇒
.
Mệnh đề
P Q⇒

chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Ví dụ: Mệnh đề “
2 2
3 2 ( 3) ( 2)− < − ⇒ − < −
” sai
Mệnh đề “ 3 2 3 4< ⇒ < ” đúng
Trong mđề
P Q⇒
thì:
P: giả thiết ( điều kiện đủ để có Q )
Q: kết luận (điều kiện cần để có P)
Ví dụ: Cho hai mđề:
P: “Tam giác ABC có hai góc bằng 60
0
”
Q: “Tam giác ABC là tam giác đều”.
Hãy phát biểu mđề
P Q⇒
dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
i) Điều kiện cần: “Để tam giác ABC có hai góc bằng 60
0
thì điều kiện cần là tam giác ABC là tam
giác đều”
ii) Điều kiện đủ: “Để tam giác ABC là tam giác đều thì điều kiện đủ là tam giác ABC có hai góc
bằng 60
0
”
5. Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương.
Mệnh đề đảo của mệnh đề
P Q⇒

là mệnh đề
Q P⇒
.
Chú ý: Mệnh đề
P Q⇒
đúng nhưng mđề đảo
Q P⇒
chưa chắc đúng.
Nếu hai mđề
P Q⇒
và
Q P⇒
đều đúng thì ta nói P và Q là hai mđề tương đương nhau. Kí hiệu
⇔P Q
6. Kí hiệu
∀ ∃,
∀
: Đọc là với mọi
∃
: Đọc là tồn tại
7. Phủ đỉnh của
∀
và
∃
:
Phủ đònh của
∀
là
∃
.

Phủ đònh của
∃
là
∀
.
Phủ đònh của = là
≠
.
Phủ đònh của > là
≤
.
Phủ đònh của < là
≥
.
Ví dụ: P: “
0
∃ ∈ <
:n Z n
”

0∀ ∈ ≥:" : "P n Z n
II. TẬP HP:
Cho tập hợp A. Phần tử a thuộc tập A ta viết
∈a A
. Phần tử a không thuộc tập A ta viết
∉a A
.
1. Cách xác đònh tập hợp:
a) Cách liệt kê: Là ta liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp.
Ví dụ:

{ }
1 2 3 4 5= , , , ,A
b) Cách nêu tính chất đặc trưng: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập đó.
Ví dụ:
{ }
2
2 5 3 0= ∈ − + =:A x R x x
Ta thường minh hoạ tập hợp bằng một đường cong khép kín gọi là biểu đồ Ven.
2. Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu
∅
.
Vậy :
≠ ∅ ⇔ ∃ ∈
:A x x A
3. Tập con:
⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈( )A B x x A x B
Chú ý: i)
⊂ ∀,A A A
ii)
∅ ⊂ ∀,A A
iii)
⊂ ⊂ ⇒ ⊂
,A B B C A C
4. Hai tập hợp bằng nhau:
= ⇔ ∀ ∈ ⇔ ∈( )A B x x A x B
III. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HP
1. Phép giao:
{ }
∩ = ∈ ∈/A B x x A va x B
Ngược lại:

∈

∈ ∩ ⇔

∈

x A
x A B
x B
2. Phép hợp:
{ }
∪ = ∈ ∈/A B x x A hoac x B
Ngược lại:
∈

∈ ∪ ⇔

∈

x A
x A B
x B
3. Hiệu của hai tập hợp:
{ }
= ∈ ∉\ /A B x x A va x B
Ngược lại:
∈

∈ ⇔


∉

\
x A
x A B
x B
4. Phần bù: Khi
⊂B A
thì A\B gọi là phần bù của B trong A. Kí hiệu C
A
B
.
Vậy: C
A
B
= A\B khi
⊂B A
.
IV. CÁC TẬP HP SỐ:
Tập số tự nhiên:
{ }
0 1 2 3 4= , , , , ,...N

{ }
1 2 3 4=
*
, , , ,...N
Tập số nguyên:
{ }
2 1 0 1 2= − −...., , , , , ,...Z

Tập các số hữu tỉ:
0
 
= = ∈ ≠
 
 
/ , ,
m
Q x m n Z n
n
Tập số thực: kí hiệu R, gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ. Tập số thực được biểu diễn bằng trục số.
A
-
+∞
0
Quan hệ giữa các tập số:
⊂ ⊂ ⊂N Z Q R
.
+ Các tập con thường dùng của R:
* Khoảng:
i)
( ) { }
= ∈ < <; /a b x R a x b
ii)
( ) { }
+∞ = ∈ >; /a x R x a
iii)
( ) { }
−∞ = ∈ <; /b x R x b
* Đoạn:

i)
[ ]
{ }
= ∈ ≤ ≤; /a b x R a x b
* Nửa khoảng:
i)
[
) { }
= ∈ ≤ <; /a b x R a x b
ii)
(
]
{ }
= ∈ < ≤; /a b x R a x b
iii)
[
) { }
+∞ = ∈ ≥; /a x R x a
iv)
[
) { }
−∞ = ∈ ≤; /b x R x b
Chú ý: i) R =
( )
−∞ +∞;
ii) Cách tìm hiệu (a ;b) \ (c ;d): Tô đậm tập (a;b) và gạch bỏ tập (c ;d). Phần tô đậm không bò gạch
bỏ là kết quả cần tìm.
B. BÀI TẬP:
I. MỆNH ĐỀ:
Bài 1: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mđề chứa biến.

a) 3 + 2 = 7 b) 4 + x = 3 c) x + y > 1 d) 2 - 5 < 0
Bài 2: Xét tính đúng sai của các mđề sau và phát biểu mđề phủ đònh của nó.
a) 1794 chia hết cho 3
b)
2
là một số hữu tỉ.
c)
3 15.
π
<
d)
125 0− ≤
Bài 3: Với mỗi câu sau, tìm hai giá trò thực của x để được một mđề đúng và một mđề sai.
a) 3x
2
+ 2x -1 = 0 b) 4x + 3 < 2x – 1
Bài 4: Cho tam giác ABC. Lập mđề
P Q⇒
và mđề đảo của nó, rồi xét tính đúng sai của chúng với:
a) P: “Góc A bằng 90
0
” Q: “BC
2
= AB
2
+ AC
2
”
b) P: “
µ

µ
A B=
” Q: “Tam giác ABC cân”
Bài 5: Cho các mđề kéo theo
Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c ( a, b, c là những số nguyên )
Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5.
Tam giác cân có hai trung tuyến bằng nhau.
Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.
a) Hãy phát biểu mđề đảo của các mđề trên.
b) Phát biểu mđề trên bằng cách sử dụng điều kiện đủ, điều kiện cần.
Bài 6: Phát biểu thành lời các mđề sau. Xét tính đúng sai và lập mđề phủ đònh của chúng.
a)
2
1/x R x∃ ∈ = − b)
2
2 0/x R x x∀ ∈ + + ≠
c)
1
/x R x
x
∃ ∈ <
d)
2
2/x Q x∃ ∈ =
e)
1/x R x x
∀ ∈ < +
Bài 7: Cho số thực x. Xét các mđề
P: “x là một số hữu tỉ”
Q: “x

2
là một số hữu tỉ”
a) Phát biểu mđề
P Q⇒
và xét tính đúng sai của nó.
b) Phát biểu mđề đảo của mđề trên.
c) Chỉ ra một giá trò của x mà mđề đảo sai.
Bài 8: Cho số thực x. Xét các mđề:
P: “ x
2
= 1” Q: “ x = 1”
a) Phát biểu mđề
P Q⇒
và mđề đảo của nó.
b) Xét tính đúng sai của mđề đảo.
c) Chỉ ra một giá trò của x mà mđề
P Q⇒
sai.
Bài 9: Cho tam giác ABC. Phát biểu mđề đảo của các mđề sau và xét tính đúng sai của chúng.
a) Nếu AB = BC = CA thì ABC là tam giác đều.
b) Nếu AB > BC thì
µ
µ
C A>
c) Nếu
µ
0
90A =
thì ABC là một tam giác vuông.
Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Phát biểu một điều kiện cần và đủ để

a) ABCD là một hình bình hành
b) ABCD là một hình chữ nhật
c) ABCD là một hình thoi.
Bài 11. Xét tính dúng sai của các mệnh đề sau:
a)
2
0/x R x∀ ∈ ≤ b)
2
0/x R x∃ ∈ ≤ c)
2
1
1
1
/
x
x R x
x
−
∀ ∈ = +
−
d)
2
1
1
1
/
x
x R x
x
−

∃ ∈ = +
−
e)
2
1 0/x R x x∀ ∈ + + > f)
2
1 0/x R x x∃ ∈ + + >
Bài 12: Lập mệnh đề phủ đònh và xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Mọi hình vuông đều là hình thoi.
b) Có một tam giác cân không phải là tam giác đều.
II.TẬP HP:
Bài 1: Hãy liệt kê các phần tử của các tập sau:
a)
{ }
20 3/A x N x va x= ∈ < M
b) Tập B là các số chính phương không vượt quá 100.
c) Tập
{ }
1 20/ ( )C n N n n= ∈ + ≤
d)
{ }
3 1 5 3/ ,D k k Z k= − ∈ − ≤ ≤
e)
{ }
10/E x Z x= ∈ <
f)
19
3
2
/F x Z x

 
= ∈ < ≤
 
 
g)
{ }
2
2 5 3 0/G x R x x= ∈ − + =
h)
{ }
2
2 5 3 0/H x Z x x= ∈ − + =
i)
1 1
2 8
/ ,I x Q x voi N x
α
α
 
= ∈ = ∈ ≥
 
 
Bài 2: Xác đònh các tập sau bằng cách nêu ra tính chất đặc trưng.
a)
{ }
2 6 12 20 30, , , ,A =
b)
1 1 1 1 1
2 6 12 20 30
, , , ,B

 
=
 
 
c)
2 3 4 5 6
3 8 15 24 35
, , , ,C
 
=
 
 
d)
3
1
2
,D
 
=
 
 
Bài 3: Cho tập hợp
{ }
, , ,A a b c d=
.
a) Liệt kê các tập con của tập A có 1 phần tử
b) Liệt kê các tập con của tập A có 2 phần tử
c) Liệt kê các tập con của tập A có 3 phần tử
d) Liệt kê các tập con của tập A có 4 phần tử
e) Liệt kê tất cả các tập con của tập A.

Bài 4: Tìm các tập hợp con của mỗi tập sau:
a)
∅
b)
{ }
∅
Bài 5: Xét quan hệ bao hàm của các tập sau:
A là tập hợp các tam giác.
B là tập hợp các tam giác đều.
C là tập hợp các tam giác cân.
Bài 6: Cho hai tập hợp:
{ }
6/A n Z n la uoc cua= ∈
{ }
12 18/B n Z n la uoc chung cua va= ∈
Xét quan hệ của hai tập trên.
Bài 7: Trong hai tập A và B dưới đây, tập nào là con của tập hợp còn lại. Hai tập hợp A và B có bằng nhau
không ?
a) A là tập các hình vuông.
B là tập các hình thoi.
b)
{ }
24 30/A n N n la uoc chung cua va= ∈

{ }
6/A n N n la mot uoc cua= ∈
Bài 8: Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập sau:
A là tập các hình tứ giác
B là tập các hình bình hành
C là tập các hình vuông

D là tập các hình chữ nhật
Bài 9: Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập sau:
A là tập các hình tứ giác
B là tập các hình bình hành
C là tập các hình thang
D là tập các hình chữ nhật
E là tập các hình vuông
G là tập các hình thoi.
III. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HP:
Bài 1: Cho
{ } { } { }
1 2 3 4 2 4 6 1 3 5, , , , , , ,A B C= = =
.
Xác đònh các tập hợp sau:
) ,
) ,
) ,
a A B A B
b A C A C
c B C B C
∩ ∪
∩ ∪
∩ ∪
Bài 2: Cho tập
{ } { } { }
, , , , , , , , ,E a b c d F b c e g G c d e f= = =
.
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )E F G E F E G∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
.

Bài 3: Cho
{ } { }
1 2 3 4 5 2 4 6 8, , , , , , ,A B= =
Tìm A\B, B\A.
Bài 4: Cho
{ } { }
, , , , , , , , , ,A a e i o E a b c d i e o f= =
. Tính C
E
A
Bài 5: Cho

{ }
{ }
{ }
8
1 3 5 7
1 2 3 6
/
, , ,
, , ,
E x N x
A
B
= ∈ ≤
=
=
a) Tìm
, ,
A B A B

E E E E
C C C C∩
b) Chứng minh
A B A B
E E
C C
∪ ∩
⊂
Bài 6: Cho
{ }
{ }
{ }
2
2
5
3 4 0
2 1 2 3 0
/
/
/( )( )( )
E x Z x
A x R x x
B x Z x x x x
= ∈ ≤
= ∈ + − =
= ∈ − + − − =
a) Chứng minh
,A E B E⊂ ⊂
b)Tìm
,

A B A B
E E
C C
∩ ∪
rồi tìm quan hệ giữa hai tập này.
c) Chứng minh rằng:
A B A
E E
C C
∪
⊂
Bài 7: Cho
{ }
{ }
{ }
6
15
30
/
/
/
A x N x
B x N x
C x N x
= ∈
= ∈
= ∈
M
M
M

Chứng minh rằng:
C A B= ∩
Bài 8: Cho tập hợp A. Hãy xác đònh
, , , , ,
A
A A
A A A A A A C C
∅
∩ ∪ ∩∅ ∪∅
Bài 9: Cho hai tập hợp A và B. Xác đònh tính đúng sai của các tập hợp sau:
\
A A B A B B
A B A B A B B
⊂ ∪ ∩ ⊂
∩ ⊂ ∪ ⊂
Bài 10: Cho A và B là hai tập hợp. Hãy xác đònh:
( \ ) ( \ ) ( \ )A B B A B A A B B∩ ∩ ∪
Bài 11: Cho tập hợp A. Có thể nói gì về tập B nếu
\ \
A B B A B A A B A
A B B A B A B A
∩ = ∩ = ∪ =
∪ = = ∅ =
Bài 12: Cho A và B là hai tậpp hợp. Hãy xác đònh các tập hợp sau:
) ( ) ) ( )
) ( \ ) ) ( \ ) ( \ )
a A B A b A B B
c A B B d A B B A
∩ ∪ ∪ ∩
∪ ∩

Bài 13: Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng phân biệt. Xét các mệnh đề nào sau đây là đúng.
) \ )
) ) \
a A B A b A A B
c A B A B d A B A
⊂ ⊂ ∪
∩ ⊂ ∪ ⊂
IV. CÁC TẬP HP SỐ
Bài 1: Xác đònh các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

[
) (
] [
) (
]
3 1 0 4 3 1 0 4) ; ; , ; ;a − ∪ − ∩
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2) ; ; , ; ;b −∞ ∪ +∞ −∞ ∩ +∞
Bài 2: Cho hai tập hợp:
( )
[
)
2 3 1 5; ;A B= − =
. Tìm
, , \ , \A B A B A B B A∪ ∩
Bài 3: Cho hai tập hợp:
{ } { }
2 1 5/ /A x R x B x R x= ∈ > = ∈ − < ≤
. Tìm
, , \ , \A B A B A B B A∪ ∩

Bài 4: Xác đònh các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
[ ]
( ) ( )
( )
( )
0 1 2 3 3 5 4 6
2 7 1 3 1 2 3 5 1 4
) \ ; ; ) \ ; ;
) ; \ ; ) ; ; \ ;
a R b R
c d
∪ ∩
− − ∪
CHƯƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI.
I.HÀM SỐ:
1. Tập xác đònh của hàm số:
Cho hàm số y = f(x). Tập xác đònh của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trò của x để biểu
thức y = f(x) có nghóa. Kí hiệu: D
Vậy : Tập xác đònh
{ }
/ ( )D x R y f x co nghia= ∈ =
* Tập xác đònh của các hàm số thường gặp:
( )
( )
P x

y
Q x
• =
có nghóa
0( )Q x⇔ ≠
( )y P x• =
có nghóa
0( )P x⇔ ≥
( )
( )
P x
y
Q x
• =
có nghóa
0( )Q x⇔ >
( ) ( )y P x Q x• = +
có nghóa
0
0
( )
( )
P x
Q x
≥

⇔

≥


•
Các hàm đa thức như: y = ax
2
+ bx + c, y = ax + b………… có tập xác đình R.
2. Sự biến thiên của hàm số:
* Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến ( hay tăng) trrên khoảng (a; b) nếu:
( )
1 2 1 2 1 2
, ; : ( ) ( )x x a b x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <
* Hàm số y = f(x) gọi là nghòch biến ( hay giảm) trrên khoảng (a; b) nếu:
( )
1 2 1 2 1 2
, ; : ( ) ( )x x a b x x f x f x∀ ∈ < ⇒ >
.
* Phương pháp khảo sát sự biến thiên của hàm số
B
1
: Lấy
( )
1 2 1 2
, ; , .x x a b x x∀ ∈ ≠
B
2
: Lập tỉ số:
2 1
2 1
( ) ( )f x f x
T
x x
−

=
−
B
3
: Nếu tỉ số T > 0 thì hàm số tăng trên khoảng (a ;b).
Nếu tỉ số T < 0 thì hàm số giảm trên khoảng (a ;b)
3. Tính chẵn lẻ của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên D.
* Hàm số y = f(x) đgl hàm số chẵn nếu
( ) ( )
x D x D
f x f x
∀ ∈ ⇒ − ∈


− =

* Hàm số y = f(x) đgl hàm số lẻ nếu
( ) ( )
x D x D
f x f x
∀ ∈ ⇒ − ∈


− = −

* Phương pháp chứng minh hàm số chẵn, hàm số lẻ.
B
1
: Tìm tập xác đònh D của hàm số.

B
2
: Chứng minh tập D là tập đối xứng ( cần c/m:
x D x D∈ ⇒ − ∈
)
B
3
:Tính f(-x).
Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số là hàm số chẵn.
Nếu f(-x) = - f(x) thì hàm số là hàm số lẻ.
* Lưu ý: Hàm số có thể không chẵn không lẻ.
4. Đồ thò của hàm số chẵn và hàm số lẻ:
* Đồ thò của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.
* Đồ thò của hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ.
II. HÀM SỐ y = ax + b
1. Tập xác đònh D = R.
2. Sự biến thiên:
Nếu a > 0 hàm số đồng biến trên R
Nếu a < 0 hàm số nghòch biến trên R
3. Đồ thò: Đồ thò là đường thẳng không song song, không trùng với hai trục toạ độ và cắt trục Ox tại
0;
b
A
a
 
−
 ÷
 
, Oy tại B(0; b).
4. Hàm số y = b

Tập xác đònh D = R
Hàm số hằng là hàm số chẵn.
Đồ thò là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0; b).
5. Hàm số
y x=
Tập xác đònh D = R.
Hàm số
y x=
là hàm số chẵn. Đồ thò đối xứng qua trục tung.
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0;+∞
và nghòch biến trên khoảng
( )
0;−∞
Bảng biến thiên:
Đồ thò:
III. HÀM SỐ BẬC HAI: y = ax
2
+ bx + c
1. Hàm số y = ax
2

Tập xác đònh D = R
Đồ thò là đường parabol có đỉnh O(0; 0), đối xứng qua trục Oy, bề lõm quay lên khi a > 0, quay
xuống khi a < 0.
2. Hàm số y = ax
2
+ bx + c .
Tập xác đònh D = R

Đồ thò là đường parabol có đỉnh
2 4
;
b
I
a a
∆
 
− −
 ÷
 
, nhận đường thẳng
2
b
x
a
= −
làm trục đối xứng, có
bề lõm quay lên khi a > 0, quay xuống khi a < 0.

x
y
−∞
+∞
0
0
+∞
+∞
a > 0
a < 0

•
•
2
b
a
−
4a
∆
−
•
4a
∆
−
2
b
a
−
a > 0 a < 0
3. Sự biến thiên của hàm số:
Nếu a > 0 thì hàm số nghòch biến trên khoảng
2
;
b
a
 
−∞ −
 ÷
 
và đồng biến trên khoảng
2

;
b
a
 
− +∞
 ÷
 
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến trên khoảng
2
;
b
a
 
−∞ −
 ÷
 
và nghòch biến trên khoảng
2
;
b
a
 
− +∞
 ÷
 
Bảng biến thiên:
x
−∞

2

b
a
−

+∞
y
+∞

+∞

4a
∆
−
x
−∞

2
b
a
−

+∞
y

4a
∆
−

-
∞

-
∞
4. Phương pháp khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = ax
2


+ bx + c.
Tìm tập xác đònh của hàm số.
Tìm toạ độ đỉnh và trục đối xứng.
Lập bảng biến thiên.
Tìm các điểm dặc biệt .
Vẽ đồ thò hàm số.
BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm tập xác đònh của hàm số:
a > 0
a < 0
2
3
2
3 2 1
2 1 3
2 1 2 3
1 2 4
3 5 1
3
2 3
9 1
15
8 20
3

) ) )
) ) )
) )
x x
a y b y c y x x
x x x
x x
d y e y x f y x x
x
x
x
g y h y x
x x
x
− −
= = = + − −
+ + −
− +
= = + − = + −
−
−
+
= = − −
+ −
−
Bài 2: Cho hàm số:
3 8 2
7 2
( )
x voi x

y f x
x voi x

− + ≤

= =

+ ≥


Tính các giá trò f(-3), f(2), f(1), f(9).
Bài 3: Cho hàm số y = 3x
2
-2x + 1. các điểm sau có thuộc đồ thò hàm số không.
a) M(-1; 6) b) N(1; 1) c) P(0; 1)
Bài 4: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a) f(x) = -2x
2
– 7 trên khoảng (-4; 0) và trên khoảng (3; 10)
b) f(x) = x/(x – 7) trên khoảng
( )
7;−∞
và trên khoảng
( )
7;+∞
c) f(x) = 1/(x – 1) trên khoảng
( )
1;−∞
và trên khoảng
( )

1;+∞
.
d) f(x) = x
2
+ 4x – 2 trên khoảng
( )
2;−∞ −
và trên khoảng
( )
2;− +∞
.
Bài 5: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
)a y x=
b) y = (x + 2)
2
c) y = x
3
+ x
d) y = x
2
+ x + 1 e) y = 3x
4
-4x
2
+ 3 f)
2
x
y
x
=

+
2
3
1
)
x
g y
x
=
−
h)
2
1y x= −
i)
2
1
9
y
x
=
−
j)
2 2 2 1 2 1 1 3) )y x x k y x x m y x x= + − − = + + − = + + −
Bài 6: Xác đònh m để hàm số y = x
4
–mx
3
+ 2x
2
+ m là hàm số chẵn.

Bài 7: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thò các hàm số sau:
a) y = 2x – 7 b) y = -3x + 5 c) y = (x + 3)/2 d) y = (5 – x)/3
3 1 2 3 2 1) ) ) )e y x f y x g y x h y x= = − = − = − −
Bài 8: Vẽ đồ thò các hàm số:
2 2 1 1
1 2 2 4 1
) )
x voi x x voi x
a y b y
voi x x voi x
+ > + ≥
 
= =
 
≤ − + <
 
Bài 9: Viết pt đt (d) biết :
a) Đường thẳng (d) qua hai điểm A(4; 3) và B(2; -1).
b) Đường thẳng (d) qua A(1; -1) và song song với đường thẳng y = -2x +1.
c) Đường thẳng (d) qua A(1; -1) và vuông góc với đường thẳng y = 1/2x -3.
d) Đường thẳng (d) qua A(1; -1) và song song với trục Ox.
Bài 10: Xác đinh toạ độ đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol sau:
a) y = x
2
– 3x + 2 b) y = -2x
2
+ 4x – 3 c) y = x
2
– 2x d) y = -x
2

+ 4.
Bài 11: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thò các hàm số sau:
a) y = 3x
2
– 4x + 1 b) y = -3x
2
+ 2x -1 c) y = 4x
2
– 4x + 1
d) y = -x
2
+ 4x – 4 e) y = 2x
2
+ x + 1 f) y = -x
2
+ x – 1.
Bài 12: Xác đònh Parabol y = ax
2
+ bx + 2 biết rằng parabol đó:
a) Đi qua hai điểm M(1; 5) và N(-2; 8)
b) Đi qua điểm A(3; -4) và có trục đối xứng là x = -3/2.
c) Có đỉnh là I(2; -2)
d) Đi qua điểm B(-1; 6) và tung độ đỉnh là -1/4.
Bài 13: Xác đònh hàm số bậc hai y = 2x
2
+ bx + c biết đồ thò của nó:
a) Có trục đối xứng là đường x = 1 và cắt trục tung tại điểm (0; 4).
b) Có đỉnh I(-1; -2).
c) Đi qua hai điểm A(0; -1) và B(4; 0).
d) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua M(1; -2).

Bài 14: Xác đònh hàm số bậc hai y = ax
2
- 4x + c biết đồ thò của nó:
a) Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(2; 3).
b) Có đỉnh I(-2; -1).
c) Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua P(-2; 1).
d) Có trục đối xứng là đường x = 2 và cắt trục hoành tại điểm M(3; 0).
Bài 15: Xác đònh hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c biết đồ thò của nó qua A(8; 0) và có đỉnh I(6; -12).
Bài 16: xác đònh a, b, c biết parabol y = ax
2
+ bx + c
a) Đi qua ba điểm A(0; -1), B(1; -1), C(-1; 1).
b) Có đỉnh I(1; 4) và qua điểm D(3; 0)
c) Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2, có tung độ của đỉnh bằng 9 và cắt trục tung tại điểm M(0; 5).
Bài 17: Biện luận theo m số nghiệm của pt sau:
a) x
2
– 3x + 5 = m b) -5x
2
+ 2x + 1 = m.
CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH
I. Khái niệm phương trình.
1. Phương trình ẩn x là mệnh đề có dạng f(x) = g(x).
Nếu có số x
0
sao cho f(x
0
) = g(x

0
) thì x
0
đgl một nghiệm của pt f(x) = g(x).
Giải pt là ta tìm tất cả các nghiệm của nó.
Pt không có nghiệm ta nói pt vô nghiệm.
2. Điều kiện của pt: Là điều kiện của ẩn x để hai vế của pt có nghóa.
3. Pt chứa tham số: Là pt ngoài ẩn x còn có các chữ số khác xem như là hằng số và đgl tham số.
Ví dụ: x
2
+ 2x – m = 0. Với m là tham số.
4. Pt tương đương: Hai pt đgl tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm (kể cả tập rỗng)
Kí hiệu : “
⇔
”
5. Phép biến đổi tương đương:
Phép cộng (trừ): f(x) =g(x)
⇔
f(x)
±
h(x) = g(x)
±
h(x)
Cộng hoặc trừ vào hai vế của pt với biểu thức h(x) mà không làm thay đổi điều kiện của pt thì ta được pt
mới tương đương.
Phép nhân (chia): f(x) =g(x)
⇔
f(x).h(x) = g(x).h(x)
f(x) =g(x)
⇔

f(x)/h(x) = g(x)/h(x) với h(x)
0
≠
Nhân hoặc chia vào hai vế của pt với biểu thức h(x)
0
≠
mà không làm thay đổi điều kiện của pt thì ta
được pt mới tương đương.
Chú ý: Phép chuyển vế: f(x) + h(x) = g(x)
⇔
f(x) = g(x) –h(x).
6. Pt hệ quả: Cho hai pt: f(x) = g(x) (1) f
1
(x) = g
1
(x) (2)
Pt (2) đgl phương trình hệ quả của pt (1) nếu mọi nghiệm của pt (2) đều là nghiệm của pt (1).
Kí hiệu: (1)
⇒
(2)
7. Lưu ý: i) Khi bình phương hai vế của pt thì ta được pt hệ quả.
ii) Khi giải pt mà dẫn đến pt hệ quả thì phải thử lại nghiệm vào pt ban đầu để loại nghiệm ngoại
lai.
II. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI.
1. Giải và biện luận pt bậc nhất: ax + b = 0 (1)
B
1
: Đưa pt (1) về dạng ax = -b
B
2

: Biện luận:
Nếu a
≠
0 thì pt (1) có nghiệm duy nhất x = -b/a
Nếu a = 0:
0b
≠
thì pt VN
b = 0 thì pt nghiệm đúng với mọi x
R∈
.
2. Giải và biện luận pt bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (
0a ≠
)
B
1
: Tính biệt thức
∆
= b
2
– 4ac
B
2
: Biện luận:
Nếu
∆
> 0 thì pt có hai nghiệm phân biệt
1 2

2
,
b
x
a
− ± ∆
=
Nếu
∆
= 0 thì pt có nghiệm kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
Nếu
∆
< 0 thì pt VN.
Chú ý : Ta có thể dùng
∆
’
3. Đònh lí Viet:
Cho pt bậc hai có hai ax
2
+ bx + c = 0 (
0a ≠
) có hai nghiệm x
1
, x

2
. Khi đó
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

+ = −




=


Ngược lại nếu có hai số u và v mà có tổng u + v = S, tích u.v = P thì u và v là các nghiệm của pt:
X
2
– SX + P = 0
Phương trình trùng phương: ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (
0a ≠
) có thể đưa về pt bậc hai bằng cách đặt t = x

2
(
0t ≥
)
4. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trò tuyệt đối:
Các dạng cơ bản: i)
A B=
, ii)
A B=

Cách Giải 1: Dùng đònh nghóa trò tuyệt đối để bỏ trò tuyệt đối:
0
0
A neu A
A
A neu A
≥

=

− <

Cách Giải 2: Bình phương hai vế dẫn đến pt hệ quả. Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm
ngoại lai.
Cách Giải 3: Dùng công thức:
A B
A B
A B
=


= ⇔

= −

0B
A B
A B
A B
≥


= ⇔
=




= −


5. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn:
Các dạng cơ bản: i)
A B=
, ii)
BA =
Cách Giải 1: Bình phương hai vế dẫn đến pt hệ quả. Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm
ngoại lai.
Cách giải 2: Dùng công thức:
0 0A B
A B hoac

A B A B
≥ ≥
 
= ⇔
 
= =
 
2
0
B
B
A
A B
≥

= ⇔

=

III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN.
1. Pt bậc nhất hai ẩn: ax + by + c = 0 (2). Trong đó a, b, c là các hệ số, a và b không đồng thời bằng 0.
Cặp (x
0
;y
0
) được gọi là nghiệm của pt (2) nếu chúng nghiệm đúng pt (2).
2. Hệ hai pt bậc nhất hai ẩn:
1 1 1
2 2 2
a x b y c

a x b y c
+ =


+ =

.
Cách Giải: Dùng pp cộng hoặc là pp thế đã học ở lớp 9.
3. Hệ ba pt bậc nhất ba ẩn:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =


+ + =


+ + =

Cách Giải:Khử dần từng ẩn số để đưa hệ pt trình về dạng tam giác:
1 1
2 2 2
3 3 3 3
a x d
a x b y d
a x b y c z d

=


+ =


+ + =

(pp Gausse)
BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm điều kiện của pt sau:
2
2
2
2
2
1 1
1 3 3
2 1
2
4 2
1 2 3 3 1 3 2
1
2
3 5 4
2 1 2
9
3 6 11
x x
a) x b) x c) x

x x
x
x
d) x e) x x x f) x
x
x
x x
g) x h) x
x
x x
+
= − − = = +
− −
−
+
= − − − = + − − + =
+
−
+ +
= + = +
−
+ +
Bài 2: Giải các pt sau:
2
2
2
2 2 2
9
3 3 1 2 2 2
1 1

3 1
1 2 3 3 4 3 4
2
3 1 4
1 3 1 5 2 5
1 1
3 4 3 2 4 3
4 3 2 2 3
1 1
4 3 2
x
a) x x x b) x x x c)
x x
x
d) x x x e) x f) x x x
x
x
g) x x x h) x x x i)
x x
x x x x x
l) x m) x n) x
x x
x x
− + = − + + = − = − + =
− −
+
− − = − + = − − − = + −
− +
+
+ + = + + − − = + − =

− −
+ + − − +
= + = − + + =
− −
+ −
Bài 3: Giải các pt sau:
2 2
2
2
2
2
3 3 2 2 5 3 3
1 2
1 1 3 3 1 1
4 2 2 3 2 1 2
2 2 3
2 2 3 3 3
2 8 2 2
3 1
1 1 1 3
2 1
2 3
1
4
x x x x
a) b) x c) x
x(x ) x x x x x x
x x x x x x
d) x e) x f)
x x x x

x x x
g) h) x x i)
x x x x
x
x
l) x
x
+ − +
+ = + + = + =
− − + + − −
− − − − + +
= − = − =
− − − −
+
= = + + =
+ + − +
+
+
= +
−
Bài 4: Cho pt (x + 1)
2
= 0 (1) và pt chứa tham số a: ax
2
– (2a + 1)x + a = 0 (2).
Tìm giá trò của a sao cho pt (1) tương đương pt (2).
Bài 5: Xác đònh m để mỗi cặp pt sau tương đương.
a) 3x – 2 = 0 và (m + 3)x – m + 4 = 0
b) x + 2 = 0 và m(x
2

+ 3x + 2) + m
2
x + 2 = 0.
c) 2x -3 = 0 và
2
2 1 0
2
mx
m
x
+ + =
−
.
d) x
2
-4 = 0 và 3x
2
+ (m + 3)x + 7m + 9 = 0
e) x
2
-1 = 0 và 2mx
2
+ (m
2
– 4 )x – m
2
= 0
f) 3x -1 = 0 và
3 1
2 1 0

2
mx
m
x
+
+ − =
−
g) x
2
+ 3x – 4 = 0 và mx
2
– 4x – m + 4 = 0
Bài 6: Giải các pt sau:
2
2
2
2 2
2
2 2
1 2 1 1 2 3
3 3 2 0
1 1 2 2
1 4 3
1 2 0 2 1
2 2 1 1
3 2 1 2 6 3 5 3
2 3 1
1 1 2 2 2 3 2 3
4 2 3 2 2
1

3 2 3 2 2 3
x x
a) x b) x c) x (x x )
x x x x
x x x
d) x (x x ) e) x f) x
x x x x
x x x x x
g) x h) x i)
x x x x x x x x
x x x
j) k)
x x x x x
− −
+ = + = − − + =
− − − −
− +
+ − − = = − − = + +
− − + +
− − −
− + = − + − = = +
+ + − − + + + +
− + +
= − =
− + − − + − +
2
5 2 3 4 24
2
4 3 3 9
x x

l)
x x x
− +
− = +
− + −
Bài 7: Giải các pt sau:
2
2
2 2 1 1 2 1
1 2 2 1 2 2 2 1
2
2
1 1 1 1 2 2
1
1
3 2 1 2 3 2
2 2
3 2 2 3 2 1 5 2 2 5 5 1
5 6 6 2 5 2 3 2 1
4
a) x x b) x x c) x x
d) x x e) x x f) x x
x x x
x x x
g) h) i)
x x x x x x
x
x
j) l) x x m) x x
x x

n) x x p) x x q) x x x
u) x x v) x x r) x x
t) x
− = + = − − = +
+ = − − = + − = −
−
−
= = =
− − − − − −
−
−
= − = + − = −
− −
− = + − = − − + = + +
+ = − + = + − − + =
2 2
2 10 3 1 7 10 3 1x x z) x x x+ + = + − + = −
Bài 8: Giải và biện luận pt theo m:
a) m(x – 2) = 3x + 1 b) m
2
x + 6 = 4x + 3m c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2
d) m
2
(x + 1) – 1 = (2 – m)x e) m(m – 6)x + m = -8x + m
2
– 2
f) m(x – 1) = 2x + 1 g) m
2
x + 2 = x + 2m h) (m
2

+ 2)x – 2m = x – 3 i)
m(x – m) = x + m – 2 j) m
2
(x – 1) + m = x(3m – 2)
k)
2 3
2 1
1
(m )x
m
x
− +
= −
+
l)
2 1
1
( m )x m
x m
x
+ −
= +
−
m)
3 2 5
3
( m )x
x m
− −
= −

−

n)
1 2
3
(m )x m
m
x
+ + −
=
+
p)
2x m x m+ = − +
q)
1x m x− = +
u)
4 3 2x m x m− = +
Bài 9: Cho pt 3x
2
– 2(m + 1)x +3m -5 = 0. Xác đònh m để pt có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các
nghiệm trong trường hợp đó.
Bài 10: Cho pt bậc hai: x
2
+ (2m - 3)x + m
2
-2m = 0.
a) Xác đònh m để pt có hai nghiệm phân biệt.
b) Với m nào thì pt có hai nghiệm và tích của chung bằng 8. Tìm các nghiệm trong trường hợp đó.
Bài 11: Cho pt: mx
2

+ (m
2
- 3)x + m = 0.
a) Xác đònh m để pt có nghiệm kep. Tìm nghiệm kép đó.
b) Với m nào thì pt có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả:
1 2
13
4
x x+ =
Bài 12: Cho pt: (m + 2)x
2
+ (2m + 1)x + 2 = 0.
a) Xác đònh m để pt có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng -3.
b) Với m nào thì pt có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
Bài 13: Cho pt: 9x
2
+ 2(m
2
-1)x + 1 = 0.
a) Chứng tỏ rằng với m > 2 pt có 2 nghiệm phân biệt âm.
b) Với m nào thì pt có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả:
1 2

4x x+ = −
Bài 14: Cho pt: (m + 1)x
2
– (m - 1)x + m = 0.
a) Xác đònh m để pt có 1 nghiệm -3 và tính nghiệm kia.
b) Với m nào pt có 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Bài 15: Cho pt: 3x
2
+ 5x + 2m + 1 = 0.
a) Với m nào pt có hai nghiệm trái dấu.
b) Với m nào pt có hai nghiệm âm phân biệt, hai nghiệm dương phân biệt.
c) Với m nào thì pt có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả
3 3
1 2
10x x+ =
. Tính nghiệm trong trường hợp đó.
Bài 16: Cho pt: 3x
2
+ 2(3m – 1)x + 3m
2
– m + 1 = 0.
a) Với giá trò nào của m thì pt vô nghiệm.
b) Giải pt khi m = -1.
Bài 17: Cho pt (m + 1)x
2
+ (3m -1)x + 2m – 2 = 0. Xác đònh m để pt có hai nghiệm x

1
, x
2
mà
1 2
3x x+ =
.
Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Bài 18: Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả
ở rổ thứ hai bằng 1/3 của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mổi rổ lúc ban đầu là
bao nhiêu ?
Bài 19: Hai bạn Vân và Lan đi mua trái cây. Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17800. Lan
mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18000. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt , quả cam.
Bài 20: Có hai dây chuyền may áo sơ mi. Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền may được 930 áo. Ngày thứ hai
do dây chuyền thứ nhất tăng năng suất 18%, dây chuyền thứ hai tăng năng suất 15% nên cả hai dây
chuyền may được 1083 áo. Hỏi trong ngày thứ nhất mỗi dây chuyền may được bao nhiêu áo.
Bài 21: Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường. Sau khi người thứ nhất làm được 7 giờ và người
thứ hai làm được 4 giờ thì họ sơn được 5/9 bức tường. Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ nữa thì
chỉ còn lại 1/18 bức tưòng chưa sơn. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sau bao nhiêu giờ mỗi người mới sơn
xong bức tường.
Bài 22: Ba phân số đều có tử số là 1 và tổng của ba phân số đó bằng 1. Hiệu của phân số thứ nhất và phân
số thứ hai bằng phân số thứ ba. Còn tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng 5 lần phân số thứ
ba. Tìm các phân số đó.
Bài 23: Một phân xưởng được giao sản xuất 360 sản phẩm trong một số ngày nhất đònh. Vì phân xưởng
tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được 9 sản phẩm so với đònh mức, nên trước khi hết hạn 1 ngày thì
phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là 5%. Hỏi nếu vẫn tiếp tục làm việc với năng suất đó thì
khi đến hạn phân xưởng làm được tất cả bao nhiêu sản phẩm.
Bài 24: Hai người quét san. Cả hai người cùng quét sân hết 1 giờ 20 phút, trong khi nếu chỉ quét 1 mình thì
người thứ nhất quét hết nhiều hơn 2 giờ so với người thứ hai. Hỏi mỗi người quét sân một mình thì hết mấy
giờ.

Bài 25: Tìm 2 cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật trong hai trường hợp:
a) Chu vi là 94,4m và diện tích là 494,55m
2
.
b) Hiệu của hai cạnh là 12,1m và diện tích là 1089m
2
.
Bài 26: Giải các hệ pt sau:
2 1 2
2 3 1 3 4 5
3 2 3
2 3 4 2 2 1 3 1
3 4 2
1
3 2 1
2 2
3 2 8
2
3
4 3 2 3 5 2 2 2 6
2
4 7 4 3 6
2 3
3 2 7
2 4 3 8
3
x y
x y x y
a) b) c)
x y x y

x y
x y z
x y z
x y z
d) y z e) x y z f) x y z
x y z x y z
z
x y z
g) x y z
x y z

+ =

− = + =
 

  
+ = − =
 

− =



+ − = −
 + + =

+ + =




 
+ = + + = − + + =
  
  
− − + = − + + =

=
 


− + = −
− + + =
+ −
4 2 1
2 3 6
5 3 8 12
x y z
h) x y z
x y z
+ − =
 
 
− + + = −
 
 
= + − =
 
CHƯƠNG IV: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
I. Bất Đẳng Thức:

1. Bất đẳng thức có dạng: A > B, A < B,
A B,A B≥ ≤
.
2. Bất đẳng thức hệ quả: Nếu mệnh đề
A B C D
< ⇒ <
đúng thì ta nói bđt C < D là bđt hệ quả của bđt A
< B.
3. Bất đẳng thức tương đương: Nếu bđt A < B là hệ quả của bđt C < D và ngược lại thì ta nói hai bđt
tương đương nhau. Kí hiệu:
A B C D< ⇔ <
.
4. Các tính chất:
a) Tính chất bắc cầu:
A B<
và
B C<

A C⇒ <
.
b) Cộng hai vế của bđt với một số:
A B A C B C
< ⇔ + < +
c) Nhân hoặc chia hai vế bđt với một số:
A B A.C B.C< ⇔ <
với C > 0 (Nhân hoặc chia với số âm thì bđt đổi chiều)
A B A.C B.C< ⇔ >
với C < 0 (Nhân hoặc chia với số dương thì bđt không đổi chiều)
d) Cộng hai bđt cùng chiều:
A B

A C B D
C D
<

⇒ + < +

<

(Không được áp dụng cho phép trừ)
e) Nhân hai bđt cùng chiều:
0
0
A B
A.C B.D
C D
< <

⇒ <

< <

(Không được áp dụng cho phép chia)
f) Nâng luỹ thừa hai vế của bđt:
Nâng luỹ thừa lẻ:
2 1 2 1n n
A B A B
+ +
< ⇔ < (n là số nguyên dương)
Nâng luỹ thừa chẵn:
2 2

0
n n
A B A B< < ⇔ < (n là số nguyên dương)
g) Khai căn hai vế của một bđt:
3 3
A B A B< ⇔ <
0 A B A B< < ⇔ <
5. Bất đẳng thức Côsi: Cho hai số a và b không âm: ta có
2a b ab+ ≥ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
6. Các hệ quả:
1
2 0i) a , a
a
+ ≥ ∀ >
ii) Cho hai số x > 0, y > 0. Nếu x + y không đổi thì x.y lớn nhất khi và chỉ khi x = y.
iii) Cho hai số x > 0, y > 0. Nếu x.y không đổi thì x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.
7. Bất đẳng thức chứa giá trò tuyệt đối:
0
0
0
i) x , x x, x x
ii) x a a x a, a
iii) x a x a x a, a
iv) a b a b a b
≥ ≥ ≥ −
≤ ⇔ − ≤ ≤ ∀ >
≥ ⇔ ≤ − ∪ ≥ ∀ >
− ≤ + ≤ +
8. Các phương pháp chứng minh bđt:
i) Dùng đònh nghóa: Muốn chứng minh A > B thì ta cần chứng minh: A – B > 0.

ii) Phương pháp chứng minh tương đương:
1 1 2 2 n n
A B A B A B ...... A B> ⇔ > ⇔ > ⇔ ⇔ >
.
Trong đó: A > B là bđt cần chứng minh
A
n
> B
n
là bđt đúng đã biết.
iii) Dùng các bất đẳng thức đã biết: Bđt Côsi, Bđt chứa giá trò tuyệt đối…
II. Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn.
1. Khái niệm bất phương trình một ẩn: