Hệ thống kiến thức l7

Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học
Luỹ thừa của một số thực:
Với x, y

R; m, n

N
m n m n
x . x x
m n m n
x : x x (x 0, m n)
m n m.n
(x ) x
n n n
(x.y) x .y
n
n
x
x
(y 0)
n
y
y
+
=

=
=
=
=

ữ

Chú ý : x
1
= x; x
0
= 1 (x 0)
- Luỹ thừa với số mũ chẵn của một số âm là một số dơng, luỹ thừa với số mũ lẻ
của một số âm là số âm
-Với a 0, a 1, nếu a
m
= a
n
thì m = n
2) Giá trị tuyệt đối của số x :
- Giá trị tuyệt đối của một số x là khoảng cách từ điểm x đến gốc O trên trục số.

{
x x 0
x
-x x 0

=
<
nếu
nếu

3) Tỉ lệ thức - Chia tỉ lệ
- Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
a c

b d
=
hoặc a : b = c : d ( b, d 0)
Các ngoại tỉ (số hạng ngoài) : a, d
Các trung tỉ (số hạng trong) : b, c
- Tính chất cơ bản :
1
Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học
Tính chất 1 : Trong tỉ lệ thức, tích hai ngoại tỉ bằng tích hai trung tỉ
a c
ad bc
b d
= =
Tính chất 2 : Nếu ad = bc và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức :
a c d c a b d b
; ; ;
b d b a c d c a
= = = =
Tính ngoại tỉ cha biết bằng tích hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết

b.c
a c
a
b d
d
= =
Tính trung tỉ cha biết bằng tích hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết
a.d
a c

b
b d
c
= =
- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau : Từ dãy tỉ số bằng nhau
a c e

b d f
= =
ta suy
ra :

a c e a c e a c e

b d f b d f b d f
+ + +
= = = =
+ + +
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
- Số tỉ lệ
Khi có dãy số
a b c
= =
2 3 5
ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5
4) Thống kê
- Số trung bình cộng
1 1 2 2 3 3 k k
x n x n + x n +....+ x n

X
N
+
=
Trong đó : x
1
, x
2
, x
3
, ... , x
k
là k giá trị khác nhau của dấu hiệu X.
n
1
, n
2
, n
3
, ..., n
k
là k tần số tơng ứng.
N là số các giá trị.
X
là số trung bình cộng.
2
Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học
Chủ đề (2) Biểu thức đại số
I/ Kiến thức
1/ Đơn thức

- Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, một biến hoặc một tích giữa các số và
các biến
Ví dụ :
1
2 3 4 2
2x y ; xy ; -2x y
3
; 0; x;
1
2
- Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có mặt trong
đơn thức
Ví dụ:
2
2x y
là đơn thức bậc 3
0 là đơn thức không có bậc
1
3
xy
3
là đơn thức bậc 4
x là đơn thức bậc 1
4 2
-2x y
là đơn thức bậc 6
1
2
là đơn thức bậc 0
- Nhân, chia hai đơn thức:

+ Nhân hệ số với hệ số
+ Nhân các biến với nhau (nhân hai luỹ thừa cùng cơ số)
- Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến
Ví dụ:
1
2 2
2x y ; x y
5
- Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng : + Cộng (trừ) phần hệ số
+ Giữ nguyên phần biến
3
Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học
2/ Đa thức
- Đa thức là một tổng của những đơn thức
Ví dụ :
3 2
1
-2x x x 3
2
+ +
- Thu gọn đa thức : cộng, trừ các đơn thức đồng dạng
- Nghiệm của đa thức : tại x = a, đa thức f(x) = 0. Ta nói x = a là một nghiệm của đa
thức f(x)
Chú ý : -Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba
nghiệm ... hoặc không có nghiệm.
-Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức 0) không vợt quá bậc của nó
- Cộng, trừ đa thức một biến :
+ Thu gọn đa thức
+ Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo luỹ thừa giảm (tăng) của biến
+ Đặt phép tính nh trờng hợp cộng (trừ) các số (chú ý đặt các đơn thức

đồng dạng trong cùng một cột)
+ Cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng.
3/ GTLN, GTNN của một biểu thức
(*)Thế nào là GTLN, GTNN của một biểu thức, cách tìm
Cho biểu thức f(x, y..), với A,B là hằng số
* Nếu f(x, y..) A và có ít nhất một bộ số x
o
, y
o
, ... để tại đó
0 0
A
(x ,y )
f =
thì ta nói
biểu thức f(x, y..) có giá trị nhỏ nhất bằng A
* Nếu f(x, y..) B và có ít nhất một bộ số x
o
, y
o
, ... để tại đó
0 0
B
(x ,y )
f =
thì ta nói
biểu thức f(x, y..) có giá trị lớn nhất bằng B.
4
Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học
II) Kĩ năng

Bài tập 1. Tính giá trị của biểu thức sau tại x = 1, y = -1, z = -2.
a) 2xy . (5x
2
y + 3x - z)
Cách 1 : Thay x = 1, y = -1, z = -2 vào biểu thức:
2.1.(-1)[5.1
2
.(-1) + 3.1 - (-2)] = -2.[-5 + 3 + 2]
= 0
Cách 2 : - Sử dụng tính chất phân phối a.(b + c) = a.b + a.c
- Nhân hai đơn thức
b) xy
2
+ y
2
z
3
+ z
3
x
4
Thay x = 1, y = -1, z = -2 vào biểu thức.
Kết quả : -15
---------------------------------------------------------------------
Bài tập 2.
1) Tính tích các đơn thức sau rồi tìm hệ
số và bậc của tích tìm đợc.
( )
( ) ( )
1

2 2
3
a) xy . -2x yz
4
2 3
b) -2x yz . -3xy z
Kết quả
1
3 4 2
a) - x y z
2
. Đơn thức bậc 9, có hệ số
là
1
2

3 4 2
b) 6x y z
. Đơn thức bậc 9, có hệ số là
6.
2) Hai tích tìm đợc có phải là hai đơn
thức đồng dạng không? Tại sao?
Hai tích tìm đợc là hai đơn thức đồng
dạng vì có hệ số khác 0 và có cùng phần
biến.
---------------------------------------------------------------------
5
Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học
Bài tập 3. Cho đa thức:
f(x) = -15x

3
+ 5x
4
- 4x
2
+ 8x
2
- 9x
3
- x
4
+15 -7x
3
g(x) =
1 1 1
3 2 3 2
9x x 3x x x 3x 9x 27 3x
3 3 9
+ + +
a) Thu gọn đa thức trên f(x) = 4x
4
- 31x
3
+ 4x
2
+ 15
g(x) =
8 1 1
3 2
8 x x 9 x 27

9 3 3
+ +
b) Tính f(-1), f(1); g(3), g(-3)
---------------------------------------------------------------------
Bài tập 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
(x - 2)
2
- 1
Bài giải:
Vì (x - 2)
2
0 với mọi x, do đó (x - 2)
2
- 1 -1 với mọi x.
Vậy (x - 2)
2
- 1 có giá trị nhỏ nhất là -1 khi x - 2 = 0, suy ra x = 2.
---------------------------------------------------------------------
Bài tập 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
( )
3
2
x 2 + 5
Bài giải:
Vì (x - 2)
2
0 với mọi x, do đó (x - 2)
2
+ 5 5 với mọi x.
Tử và mẫu của phân số

( )
3
2
x 2 5 +
đều dơng mà tử không đổi
nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Mẫu nhỏ nhất bằng 5 khi và
chỉ khi x = 2.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức
( )
2
3
x 2 + 5
bằng
3
5
chỉ khi x = 2.
6
Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học
Chủ đề (1) : Đờng thẳng vuông góc
đờng thẳng song song
Bài tập 1. Xem hình vẽ rồi điền vào chỗ trống trong các phát biểu sau :
a)
ã
ABC
và
ã
xAB
là một cặp góc ...................... x A y
b)
ã

ABC
và
ã
AMN
là một cặp góc ...................... M N P
c)
ã
BCD
và
ã
ANP
là một cặp góc ......................
d)
ã
MBC
và
ã
NMB
là một cặp góc ......................
e)
ã
AMN
và
ã
BCD
là một cặp góc ...................... B C
f) Một cặp góc so le trong khác là ...................... D
g) Một cặp góc đồng vị khác là ......................
h) Một cặp góc trong cùng phía khác là ......................
Đáp án:

a) So le trong b) Đồng vị
c) So le ngoài d) Trong cùng phía
e) Ngoài cùng phía
f)
ã
PNC
và
ã
NCB
g)
ã
ANM
và
ã
NCB
h)
ã
yAN
và
ã
ANP
--------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 2. Trên hình bên, a A
2
50
cho biết
à
à
2 3
= ; =

o o
A 50 B 130

1
Hai đờng thẳng a và b có song song không? 130 3 2
vì sao? b B
Giải:
Cách 1 : Ta có :
à à
1 2
+ =
o
A A 180
(hai góc kề bù) mà
à
2
=
o
A 50
7
Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học
nên
à
1
o o o
A =180 50 =130
, suy ra
à
à
1 3

=A B
a // b (có hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
Cách 2 : Ta có :
à à
2 3
+ =
o
B B 180
(hai góc kề bù) mà
à
3
=
o
B 130
nên
à
2

o o o
B =180 130 = 50
, suy ra
à
à
2 2
=
o
A B (=50 )
a // b (có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)
--------------------------------------------------------------------
Bài tập 3. Trên hình 1, A x

cho biết Ax // Cy,
t

B
$
ã

o
A 40 , AB BC. BCy ?= =

C y
Giải:
Kẻ tia Bt // Ax, ta có:
$
ã
1
o
B = xAB ( 40 )=
(Cặp góc so le trong)
Vì AB nên
ã
o
BAC = 90
.
Tia Bt nằm giữa hai tia BA và BC,
do đó
ã
ã
ả
o o o o

ABt tBC 90 tBC 90 40 = 50
+ = =
.
Vì Ax // Cy (gt) nên Bt // Cy, ta có
ã
ã
o
BCy = tBC (= 50 )
(Hai góc so le trong).
--------------------------------------------------------------
8
Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học
Chủ đề (2) Tam giác
I/ Kiến thức
1) Tổng ba góc trong một tam giác
- Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180.
- áp dụng vào tam giác vuông
* Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông
* Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau (tổng bằng 90)
- Góc ngoài của một tam giác
* Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác
* Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó
* Góc ngoài của một tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó
2) Hai tam giác bằng nhau
- Định nghĩa : Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác mà ba cạnh của tam giác này
bằng ba cạnh của tam giác kia và ba góc đối diện với ba cạnh ấy của tam giác này
bằng ba góc đối diện với ba cạnh ấy của tam giác kia.
- Kí hiệu :
$
à

$
à
$
à
AB = A'B' , AC = A'C' , BC = B'C'
ABC = A'B'C'
A = A' , B = B' , C = C'




V V
- Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác
Tam giác th ờng Tam giác vuông
- c.c.c
\ // \ //
9
Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học
- c.g.c
\ // \ //
- Hai cạnh góc vuông
- Cạnh huyền - cạnh góc vuông
- g.c.g
\ \
- g.c.g

- cạnh huyền - góc nhọn
Cạnh huyền - góc nhọn
3) Một số dạng tam giác đặc biệt
Tam giác cân Tam giác đều Tam giác

vuông
Tam giác
vuông cân
Định
nghĩa
B C
A
ABC :
AB = AC
A
B
C
ABC :
AB = AC = BC
A
B
C
ABC:
à

o
A = 90
A
B
C
ABC:
à
o
A=90
,

AB = AC
Quan
hệ về
cạnh
AB = AC AB = AC = BC
BC
2
=AB
2
+ AC
2
BC > AB; AC
AB = AC = c
BC =
c 2
10