hinh hoc 12 dang 4

Dạng 4: Thể tích hình lăng trụ : V =đường cao  diện tích đáy
 Stp = Sxq + 2.S đáy
Đặc biệt : + Lăng trụ đứng :  chiều cao h = cạnh bên AA’ =BB’ ..
 Sxq = chu vi đáy  cạnh bên
Ví du ï22: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A/ B/ C/ . Đáy ABC là tam giác vuông
cân tại A . Cạnh AB=AC = a ; Cạnh bên AA/=BB/= CC/ = 2a
a)Tính diện tích toàn phần của khối lăng trụ
b) Tính thể tích khối lăng trụ

C

Giải : +BC= AC2  AB2 =a 2

B
a

+ Chu vi đáy : AB+AC+BC = 2a+a 2
+ Diện tích xung quanh :

a

A

2a

Sxq= Chu vi đáy x cạnh bên => Sxq = (2a+a 2 )2a
+ Diện tích đáy : Sđáy =

1 2
a
2

B’

C’

+ Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + 2. Sđáy

A’

= (2a+a 2 )2a + a2
b) Thể tích khối lăng trụ : V= h. Sđáy = 2a.

1 2 3
a =a
2

Ví dụ 23: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
cạnh bên bằng a 3 . Tính Sxq; Stp; Vlt ?
Giải : Chu vi đáy = 3a

A
2

+ Diện tích xung quanh : Sxq = 3a.a 3 =3a

3

a

B

a

C
a 3
1 2
a 3
0
+ Diện tích đáy : Sđáy = a .sin60 =
2
4
B’
A’
+ Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + 2. Sđáy
2
2
a 3 7a 3
= 3a2 3 +2.
=
C’
4
2
a 2 3 3a 3
+ Thể tích khối lăng trụ : V= h. Sđáy = a 3 .
=
4
4
Ví dụ24: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Đáy ABC là tam giác đều cạnh
a, A’A=A’B=A’C =a 5 . Tính Sxq; Stp; Vlt ?
Giải : Vì A’A=A’B=A’C và tam giác ABC đều => A’.ABC là hình chóp đều
+ Gọi H là hình chiếu của A’ lên mp(ABC)

Hay A’H  (ABC) , thì H là trực tâm tam giác ABC
a2 3
+ đáy là tam giác đều Sđáy =
4
2


+ Ta có AH =

B’

C’

a 3
3

a

A’

=>A’H= AA2  AH 2 = 5a2 

3a2 a 14
=
9
3

a 5

Thể tích lăng trụ : Vhình trụ= h. Sđáy

a 14 a2 3
a3 14
=
.
.=
4
4
3

B

C
H
A

N

+ Sxq =SABB’A’ +SACC’A’+ SBCC’B’
Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, AC
Ta có :  A’AB cân tai A’ => A’M  AB .

M
A’

a2 a 19
=
4
2
2

a 19
a 19
=> SABB’A’ = A’M.AB =
.a=
2
2

a 5

a 5

2
Do đó : A’M= AA2  AM 2 = 5a 

A

B’

M

B

2

a 19
a 19
.a=
2
2
Mặt khác : BC  AH ; BC  A’H => BC  (A’AH) => BC  AA’

Mà AA’ // BB’ . Suy ra BC  BB’ => BCC’B’ là hình chữ nhật

Tương tự : => SACB’A’ = A’N.AC =

 SBCC’B’ = BC.BB’ = a. a 5 = a 2 5
a2 19 a2 19
+
+ a2 5
2
2
+ Diện tích toàn phần Stp = SABB’A’ +SACC’A’+ SBCC’B’ +2.Sđáy

Sxq =

2

a 3
a2 19 a2 19
Vậy Stp =
+
+ a2 5 +
2
2
2
Ví dụ25: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi cạnh a và
 =600, cạnh bên AA’ =2a. Tính Vlt và VA.B’C’D’ ?
góc ABC
A
Giải:
B

 =600
0
Vì ABC
B

60

Và ABCD là hình thoi
Suy ra ABC là tam giác đều ;
C
cạnh AC=a ; BD = 2 đường cao tam giác ABC

D

A

2a

=> BD = a 3

a

C
D

B’

C’

2

+ Diện tích đáy Sđáy =

1
a 3
BD.AC =
2
2

A’

D’


+ Đường cao bằng cạnh bên bằng 2a
a2 3
+ Thể tích lăng trụ : V= h. Sđáy =2a.
=a3 3
2
Ta có hình chóp A.B’C’D’ có đường cao là AA’ , đáy là  B’C’D’
1
a2 3
SB’C’D’ = SABCD =
2
4
1
1
a 2 3 a3 3
Thể tích hình chóp : VA.B’C’D’ = AA’.SB’C’D’ = 2a.
=

3
3
4
6
Ví dụ 26: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ . Gọi M là trung điểm BB’. N là
trung điểm BM . Tính tỉ số VLt : VN.ABCD ?
C’
B’
Giải : Gọi h là chiều của lăng trụ
Và S đáy = SABCD
A’
D’
Thể tích lăng trụ Vlt = h.Sđáy
*
M
h
+ Hình chóp N.ABCD có đường cao là NB =
*N
4
C
Và đáy là ABCD
B
1 h
Thể tích hình chóp : VN.ABCD = . .Sđáy
A
D
3 4
Vlăngtrụ
h.Sđáy
Tỉ số :

=
= 12
1
h
VN.ABCD
. .Sđáy
3 4
Ví dụ27: Cho lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a 3 , đáy là

 = 1200. Tính thể tích của lăng trụ , diện tích xung
hình thoi cạnh a, góc ABC
B
quanh và diện tích toàn phần ?
C
B a
0
Giải:
120
 =600
 =1200 => BAD
C
A
Vì ABC
A

Và ABCD là hình thoi
Suy ra ABD là tam giác đều ; cạnh BD =a D
AC = 2 đường cao tam giác ABD
=> AC = a 3

B’

1
a2 3
+ Diện tích đáy Sđáy = BD.AC =
2
2
+ Đường cao bằng cạnh bên bằng a 3
a 2 3 3a
+ Thể tích lăng trụ : V= h. Sđáy =a 3 .
=
2
2
+ Chu vi đáy : 4a

D

a 3

A’
2

C’
D’


+ Diện tích xung quanh : Sxq = 4a.a 3 =4a2 3
+ Diện tích toàn phần : Stp = Sxq +2.sđáy = 4a2 3 +a2 3 =5a2 3
Ví dụ 28: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a 3 , đáy là hình
vuông cạnh a và A’A=A’B=A’C=A’D. Tính thể tích của lăng trụ , diện tích

B’
xung quanh và diện tích toàn phần ?
Giải : Vì A’A=A’B=A’C=A’D và
D’
A’
ABCD là hình vuông
=> A’.ABCD là hình chóp đều
+ Gọi H là hình chiếu của A’ lên mp(ABCD)
a 3
H là tâm của hình vuông
Hay A’H  (ABCD)
+ đáy là hình vuông Sđáy =a2
B
C
a 2
+ Ta có AH =
2
H

A

D

2a2 a 10
=>A’H= AA  AH = 3a 
=
4
2
a 10 2 a3 10
+ Thể tích lăng trụ : V lăng trụ = A’H.Sđáy =

.a =
A’
2
2
+ Sxq =SABB’A’ +SADD’A’+ SBCC’B’ +SCDD’C’
Và SABB’A’ = SCDD’C’ ; SADD’A’ = SBCC’B’
a 3
a 3
  A’AB =  A’AD => 2.SA’AB =2. SA’AD
=> SABB’A’ = SADD’A’
Suy ra : Sxq = 4.SABB’A’
A
B
Gọi M là trung điểm AB ta có
M
Ta có :  A’AB cân tai A’ => A’M  AB .
2

2

C’

2

a2 a 11
=
4
2
2
a 11

a 11
=> SABB’A’ = A’M.AB =
.a=
2
2
2
a 11
Vậy Sxq =4.
=2a2 11
2
+ Stp = Sxq +2.Sđáy =2a2 11 +2a2

Do đó : A’M= AA2  AM 2 = 3a2 

B’