chuyen de gioi han 11

GIỚI HẠN DÃY SỐ
A / Lý thuyết:
•Nếu un < vn∀n, lim vn = 0 ⇒ lim un = 0
• lim c = c
• lim un = L ⇒ lim un = L

3
• limun = L ⇒ lim 3 un = L ;

• lim un = L, un > 0∀n ⇒ L > 0, lim un = L
lim un = +∞ ⇒ lim
lim

2
• S = u1 + u1q + u1q + ... =

u1
•
1− q

1
=0
un

1
1
= 0; lim
= 0;
n
n

1
= 0;
3
n
1
lim k = 0, k ∈ N *
n

lim n = +∞; lim n = +∞;

lim

lim q n = 0 nếu q < 1
c
=0
nk
lim un = ±∞ , lim vn = ±∞
lim vn = 0

lim 3 n = +∞;

lim q n = +∞ nếu q > 1 ;
lim n k = +∞, k ∈ N *

lim

lim un = ±∞ , lim vn = L ≠ 0

lim un

lim vn

lim un .vn

lim un

+∞
+∞
−∞
−∞

+∞
−∞
+∞
−∞

+∞
−∞
−∞
+∞

+∞
+∞
−∞
−∞

B/ Bài Tập:
Bài 1 tìm các giới hạn sau:
2n + 1
1. lim

n +1
−3n 2 + 4n + 1
2. lim 2
2n − 3n + 7
n3 + 4
3. lim 3
5n + n + 8

Dấu của
L
+
−
+
−

4.
lim

(
lim (

+∞
−∞
−∞
+∞

( 6n + 1)

3

8. lim

n +1
n2 + 2
n+4
6. lim 2
n − 3n + 2

4. lim
5. lim

)

9.
lim

n −2
ds0
n + n +1
3

n 2 + 5n + 1 − n 2 − n ds3

3.

3n 2 + 2n − 1 − 3n 2 − 4n + 8 ds

)

3

-1-

n3 + 2
n +1

3

n3 + 1 − 1
n2 + 3 − 2

7.
lim

2

2

(

3

( 6n + 1)

n 2 + 3 n3 + 1 + n n

( n − 4n − n ) ds-2
lim ( n − n + 3 ) ds0

6. lim

( 6n + 1)

n ( 2n + 1) ( 3n 2 + 2 )

6. lim

n3 + n + 2
ds1
n+2

5.

un
vn
+∞
−∞
−∞
+∞

lim

n ( 2n + 1)

3

4. lim

2. lim

Dấu của

vn
+
−
+
−

7. lim

n ( 2n + 1) ( 3n + 2 )

n +1
3. lim
ds1
n +1
Bài 3 tìm các giới hạn sau:
1. lim n + 1 − n ds0

)

Dấu của
L
+
+
−
−

lim un .vn

5. lim

Bài 2 tìm các giới hạn sau:
n2 + 1
1. lim
2n + 3
2 n +1
2. lim
ds2
n+2 +2

(

lim un = L ≠ 0 ,

n +1 + n

)

n n2 + 1 + 3


7. lim
8. lim

(
(

)

3

n 2 − n3 + n ds1/3

3

n − n + 1 ds0
3

)

9. lim
10. lim

Bài 4 tìm các giới hạn sau:
1 − 4n
3n − 4n + 5n
1. lim
3.
lim
1 + 4n
3n + 4n − 5n
3n − 4n +1
2n + 6n − 4n +1
2. lim n + 2
4.
lim
3 + 4n
3n + 6n +1
Bài 5 tìm các giới hạn sau:
sin nπ
sin10n + cos10n

1. lim
2. lim
n +1
n 2 + 2n
Bài 6 tìm các giới hạn sau:
1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1)
1. lim
ds1/3
4.
3n 2 + 4
1 + 2 + 3 + ... + n
2. lim
ds1/2
5.
n2 − 3
2
2
2
2
1 + 2 + 3 + ... + n
3. lim
ds1/3
n(n + 1)(n + 2)
Bài 7 Tính các tổng sau:
1 1
3.
1. S = 1 + + + ...
2 4
4.
1 1 1

2. S = 1 − + − + ...
3 9 27
Bài 8:đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:
1. 1,1111….
3. 0,2222…
2. 2,3333…
4. 0,212121….

n + 3 1 − n3

(

n2 + 1 − n
3

n3 − 3n 2 + 1 − n 2 + 4n

5. lim

)

−3n 2 + 4n + 1
n 2 2n

 1
1
1 
lim  +
+ ... +
ds1

n(n + 1) 
1.2 2.3
 1

1
1
lim  +
+ ... +
(2n − 1)(2n + 1) 
1.3 3.5

S = 1 + 0,1 + (0,1) 2 + (0,1)3 + ....
S = 2 + 0,3 + (0,3) 2 + (0,3)3 + ....

5. 0,23111…

GIỚI HẠN HÀM SỐ
A/Lý thuyết :
 +∞ ,k = 2l
1
x k = +∞ lim x k = 
= 0 xlim
k
→+∞
x →−∞
x →±∞ x
 −∞ ,k = 2l + 1
lim f ( x ) = L ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L
lim x = x0 lim C = C lim 1 = 0
x → x0

x →±∞ x

x → x0

x → x0

lim f ( x )

x → x0

L>0
L>0

x → x0

lim g ( x )

x → x0

+∞
−∞
+∞
−∞

lim

x → x0

lim f ( x ) .g ( x )

x → x0

+∞
−∞
−∞
+∞

lim f ( x )

x → x0

L
L>0
L<0

B/ Bài tập:
Bài 1:Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau:
-2-

lim g ( x )

x → x0

±∞
0

Dấu của g(x)
Tuỳ ý
+
+

-

lim

x → x0

f ( x)
g ( x)

0
+∞
−∞
−∞
+∞


1. lim
x →3

x2 − 9
x −3

3. lim
x →3

x2 − 9
x+4

( x 2 + 3x + 1)
2. lim

x →1

4.

2x2 − 9
x →+∞ x 2 + 4

Bài 2 Tìm các giới hạn sau::
x đs2
1. lim
x →2

5.

lim

( x + 3) đs5
2. lim
x →2

( −2 x 2 − 3x + 5) đs-9
3. lim
x →2

6.

( x − 3) ( x + 2 ) đs-6
4. lim
x→0

7.

Bài 3:Tìm các giới hạn sau:
3
1. lim ( x + 2 x ) đs +∞

3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

5x + 2
đs7/2
x +1
x 2 + 3x − 1
đs3
lim
x →2
x −1
5 − 2x + x −1
đs2/3
lim
x →2
x +1
x →1

3x 2 + 1

đs0
x →−∞ 2 x 3 + 5
x2 + 2 x + 2
11. lim
đs +∞
x →+∞
x +1
x2 + 2 x + 2
12. lim
đs −∞
x →−∞
x +1
10. lim

x →+∞

2.

lim

lim ( x 3 + 2 x ) đs −∞

x →−∞

5 x 2 + 3x + 1
đs5/2
x →+∞
2x2 + 3
5 x 2 + 3x + 1
đs5/2

lim
x →−∞
2x2 + 3
x4 + 5x2 + 1
đs1/2
lim
x →+∞
2 x4 + 3
x4 + 5x2 + 1
đs1/2
lim
x →−∞
2 x4 + 3
3x + 1
lim 2
đs0
x →+∞ 2 x + 3
3x + 1
lim
đs0
x →−∞ 2 x 2 + 3
3x 2 + 1
đs0
lim 3
x →+∞ 2 x + 5
lim

x2 + 2 x
13. xlim
→+∞

đs +∞

x 2 + 2 x đs +∞
14. xlim
→−∞
4 x2 + 1 ± 2
đs
x →±∞ 3 x − 1
3
3x + x 4 − 5 x 1
16. lim
đs
x →±∞ 2 x 2 + 4 x − 5
2
x2 + 3 + 4 x
17. lim
đs5 , -1
x →±∞
4 x2 + 1 − x
15. lim

18. lim

x →±∞

Bài 4 Tìm các giới hạn sau::
5x + 2
1. xlim
2 đs +∞

→3
( x − 3)

5x + 2
đs +∞
x →3 x − 3
x2 + 5x + 2
5. lim−
đs −∞
x →2
x−2
x2 + 5x + 2
6. lim+
đs +∞
x →2
x−2
4. lim+

 2x + 3 
−∞
2. lim  −
2  đs
x →3
 ( x − 3) 
5x + 2
3. lim−
đs −∞
x →3 x − 3
Bài 5 Tìm các giới hạn sau::
 2 x 2 + 3 x − 1 ,x ≥ 2

Cho hàm số : f ( x ) = 
,x < 2
3 x + 7
Tìm các giới hạn sau:
-3-

9x2 + 1 − 4x2 + 2x
đs ±1
x +1


f ( x)
1. lim
x →1
Bài 6 Tìm các giới hạn sau::
1 − 2 x 2 ,x < 1
Cho hàm số : f ( x ) = 
5 x + 4 ,x ≥ 1
Tìm các giới hạn sau:
1. lim f ( x )
x→0

Bài 7 Tìm các giới hạn sau::(dạng

f ( x)
2. lim
x →3

f ( x)
3. lim

x →2

f ( x)
2. lim
x →3

f ( x)
3. lim
x →1

0
)
0

1. lim

7. lim (

2.

8.

3.
4.
5.
6.

x 2 + 2 x − 15
đs8
x →3

x−3
x2 + 2x − 3
đs2
lim
x →1
x2 −1
x 2 − 3x + 2
đs1/2
lim 2
x →2
x − 2x
x 2 − 3x + 2
đs1/5
lim 2
x →2 x + x − 6
x3 − x 2 − x + 1
đs0
lim 2
x →1
x − 3x + 2
x4 − a4
đs4a3
lim
x →a x − a

9.
10.
11.

Bài 8 Tìm các giới hạn sau::(dạng

x −1
đs1/2
x −1
x +1 − 2
2. lim
đs1/24
x →3
x2 − 9
2− x+3
3. lim
đs-1/8
x →1
x2 − 1

4 x + 1 − −3
đs1/6
x2 − 4
2x + 5 − 7 + x
5. lim
đs1/12
x →2
x2 − 2 x
3
4x + 2
6. lim
đs1/3
x →−2
x+2
4. lim

x →1

x →2

0
)
0

x −1
đs1/6
x →1 x 2 − 1
x− x+2
2. lim
đs9/8
x →2
4x +1 − 3
1. lim

3

3

6. lim
x →1

Bài 10:Tìm caùc giôùi haïn sau

2.

3

x→0

1− 3 1− x
đs1/9
x→0
3x
3
x +1
4. lim
đs-2/3
2
x →−1
x +3 −2
3
x+7 −2
5. lim
đs1/2
x →1
x −1

( x + x − x)
lim ( 2 x − 1 − 4 x − 4 x − 3 )
lim

x −1
đs2/3
x −1

1+ x − 1− x

đs5/6
x
x +1 + x + 4 − 3
8. lim
x→0
x
x + 9 + x + 16 − 7
9. lim
x→0
x
3 2
3
x − 2 x +1
10. lim
2
x →1
( x − 1)
7. lim

3. lim

1.

2

0
)
0

1. lim

Bài 9Tìm các giới hạn sau:(dạng

x + h ) − x2
đs2x
h →0
h
x 4 − 6 x 2 − 27
đs-36/5
lim 3
x →−3 x + 3 x 2 + x + 3
x5 + 1
đs5/3
lim 3
x →−1 x + 1
xm −1
đsm/n
lim n
x →1 x − 1
4 x 6 − 5 x5 + x
lim
đs10
2
x →1
( 1− x)

2

3.

x →+∞

2

4.

x →+∞

5.
-4-

(
lim (

x2 − x + 1 − x2 + x + 1

lim

x →+∞

x →+∞

3

x3 + 1 − x

)

)

lim ( x − x 2 + 5 x ) (Ñs:-5/2)

x → +∞


6.
7.

lim ( x 2 − x − x 2 + 1 ) (Đs:1/2)

x → −∞

2

lim x .

x →+∞

(

3

x +1 − x
3

8.

)

Bài 11:Tìm các giới hạn sau

1 
 2
−
1. lim

÷
2
x →1 x − 1
x −1 

3 
 1
−
2. lim

÷
x →1 1 − x
1 − x3 


lim

x →+∞

(

3

x3 + 5 x 2 − 3 x3 + 8 x

)

1
1


− 2
3. lim

÷
2
x →1 x − 3 x + 2
x − 5x + 6 


BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0
 x2 − 9
 x −2
khi x ≠ 3

khi x ≠ 4

1. f(x) =  x − 3
tại x0=3
x
+
5
−
3

7. f ( x ) = 
tại x0=4
6
khi x = 3

3
khi x = 4
 2
 x 2 − 25
khi x ≠ 5

2. f(x) =  x − 5
tại x0=5
 x 2 +4
khi x < 2
f
x
=
(
)
8.
tại x0=2

9
khi x = 5

2 x + 1 khi x ≥ 2
 2 − 7 x + 5 x 2 − x3
 x 4 + x 2 − 1 khi x ≤ −1
khi

x
≠
2

9. f ( x ) = 
tại x0= -1
3. f ( x ) =  x 2 − 3 x + 2
3x + 2
khi x > −1

1
khi x = 2

2

khi x < 0
x
tạix0=2
f
x
=
10. ( ) 
tại x0=0

1 − x khi x ≥ 0
 x3 + x + 2
 x 3 + 1 khi x ≠ −1
 x−5
4. f ( x ) = 
tại x0= -1

 2 x − 1 − 3 khi x > 5
4

11. f ( x ) = 
tại x0=5
khi x = −1
 3
3
khi x ≤ 5
 2
1 − 2 x − 3
khi x ≠ 2

x3 + 2 x 2 − 1
5. f ( x ) =  2 − x
tại x0=2
12. f ( x ) =
tại x0=2
1
x−2
khi x = 2

x4 + x +1
 3 3x + 2 − 2
13.
f(x)=
tại x0 = 5
khi x ≠ 2

x

−
5
6. f ( x ) =  x − 2
tại x0=2
3
khi x = 2
 4
14. Chứng minh các hàm số
 x2 + 2x − 3
khi x ≠ 1

a) f ( x ) =  x − 1
liên tục trên R
4
khi x = 1


 x3 + x + 2
 x 3 + 1 khi x ≠ −1
b) f ( x ) = 
liên tục trên R
4
khi x = −1
 3
 x2 + 7 − 4
khi x ≠ 3
 2
x
−
5

x
+
6
c) f ( x ) = 
liên tục trên R \ { 2}
3
khi x = 3
 4
15.
tìm a để hàm số liên tục trên R
 a 2 x 2 khi x ≤ 2
 x2
khi x < 1
f
x
=
(
)
f
x
=
(
)
1)

2)

 2ax − 3 khi x ≥ 1
( 1-a ) x khi x > 2
-5-

 x2 − 4
khi x ≠ 2

3) f ( x ) =  x − 2
a
khi x = 2

 x 3 + 2 x 2 − 5 khi x ≥ 0
16. Cho hàm số f(x) = 
khi x < 0
4 x − 1
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác đònh của nó.(Đs:gián đọan tại x = 0).
17. Tìm a để hàm số liên tục tại x0
 1− x − 1+ x
 x+3 −2
khi x < 1
khi x ≠ 1


a) f ( x ) =  x − 1
tại x0=1
x
−
1
f
x
=
c) ( ) 

tại x0=1
a+1
khi x = 1

a + 4 - x
khi ≥ 1
x+2

 x+2 −2
khi x ≠ 2

 3 3x + 2 − 2
b) f(x) =  x 2 − 4
tại x0=2
khi x > 2

a
2
−
x
khi x = 2

f
x
=
d) ( ) 
tại x0=2
ax + 1
khi x ≤ 2


4

cho các hàm số f(x) chưa xác định tại x=0
x2 − 2 x
x2 − 2 x
a) f ( x ) =
b) f ( x ) =
x
x2
Có thể gán cho f ( 0 ) một giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f ( x ) liên tục tại x=0

18.

ax 2 khi x ≤ 2
19. Cho hàm số f(x) = 
3 khi x > 2
Tìm a để hàm số liện tục tại x=2, vẽ đồ thò hàm số với a tìm được.

20.
21.
22.

Chứng minh rằng phương trình x3 + 3x2 +5x-1= 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0;1)
Chứng minh rằng phương trình x3-3x+1= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Chứng minh rằng phương trình x5-3x4 +5x-2= 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong
khoảng (-2 ;5 )

-6-