LUYEN THI 12

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012 
  1 
 
 
 
 
 
 
§ 1 – PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 

            ThS. HỒ LỘC THUẬN 

A. Kiến thức cơ bản:   
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) 
¾ Hệ số góc của tiếp tuyến là giá trị đạo hàm tại hòanh độ tiếp điểm.   ktt = f / (x0) 
¾ Tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) ∈ (C):  y – y0 = f /(x0).(x – x0) 
¾ ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC của 2 đồ thị (C) y=f(x) và (C’) y=g(x) LÀ   ⎧⎨

f ( x) = g ( x)

/
/
⎩ f ( x) = g ( x)

 (*) CÓ NGHIỆM 

Nghiệm x của hệ (*) là hòanh độ tiếp điểm. 

B. Dạng toán cơ bản 
1 – Tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) ∈ (C) y = f(x) 
  + y0 = f(x0) 

  + ktt = f/ (x0) 
+ PTTT  y – y0 = f /(x0).(x – x0) 
 
2 – Tiếp tuyến có hệ số góc  ktt  cho trước 
 
Cách 1 
+ Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. 
+ Ta có   ktt = f/(x0) → x0  →y0 = f(x0) 
      + PTTT (d)  y – y0 = ktt.(x – x0) 
   
3 – Tiếp tuyến kẻ từ (đi qua) điểm A (xA; yA) 
 
Cách 1 
+ Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. 
+ Ta có   ktt = f/(x0) ; y0 = f(x0) 
      + PTTT  (d) : y – y0 = f /(x0).(x – x0) 
      + (d) qua A →  yA – y0 = f /(x0).(xA – x0)  
       → x 0 → (d)  
 

Cách 2 (ĐKTX) 
+  (d) có hệ số góc ktt:  y = ktt.x + m  
⎧⎪ f ( x) = ktt .x + m (1)
+ ĐKTX :  ⎨
có nghiệm 
/
(2)
⎪⎩ktt = f ( x)
+ Giải (2) → x → thế vào (1) → m → (d) 

Cách 2 (ĐKTX) 
+  (d) qua A , có hệ số góc k:  y = k.(x‐xA) + yA   
⎪⎧ f ( x) = k .( x − x A ) + y A (1)
+ ĐKTX :  ⎨
có nghiệm 
/
(2)
⎪⎩k = f ( x)
+ Thế  (2) vào (1) → x → thế vào (2) → k → (d) 

C. Một vài kiến thức bổ sung 
1 – Hệ số góc của đường thẳng AB là  k AB =

yB − y A
 
xB − x A

2 ‐ Đường thẳng (d) hợp với trục hoành 1 góc ϕ → hệ số góc (d) là   kd = ± tan φ  
3 ‐  Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại A và trục Oy  tại B →  hệ số góc (d) là    kd = ±
4 ‐  Phương trình đường thẳng qua A(xA; yA) có hệ số góc k là : y = k(x – xA) + yA.  
5 – Cho hai đường thẳng (d) y = k.x + b ; (d’) y =k’.x + b’ 
   
(d) // (d’) ⇔ k = k’ và b ≠ b’   
   
(d) ⊥ (d’)  ⇔ k.k’ = –1 
kk '+ 1
k −k'
   
Gọi α = góc (d ; d’) →  tanα =
;  cos α =

 
1 + k .k '
1 + k 2 . 1 + k '2
6 – Phương pháp chung để giải bài toán liên quan đến tiếp tuyến: 
+ Gọi tiếp điểm M(m;f(m)) 
+ Viết PTTT tại điểm M  
+ Dựa vào giả thiết tìm m 
 

OB
 
OA


BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012 

  2 

 

 

            ThS. HỒ LỘC THUẬN 

D. Bài tập áp dụng: 
Bài 1:  Phương trình tiếp tuyến tại điểm 
1.1) (TN‐07) Viết PTTT của (C)  y = x 3 − 3 x + 2  tại điểm A(2;4) 
1.3) (TN‐04) Viết PTTT của (C)  y = x 3 − 3 x2 + 4 tại điểm có hoành độ x = 1. 
1.4) (TN‐07) Viết PTTT của (C)  y = 3 x + 4  tại điểm có tung độ bằng –7 
2x − 3

 
 

Bài 2: Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trước 
2x + 1
2.1) (TN‐09) Viết PTTT của (C)  y =
, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5 
x −2
2.2) (B1‐02) Viết p.t.t.t của (C)  y = 1 x3 + 1 x 2 − 2 x − 4  biết tiếp tuyến đó song song với  d : y = 4x+2. 
3

2

3

2
2.3) (B‐06) Viết p.t.t.t  của (C)  y = x + x − 1 , biết tiếp tuyến vuông góc với  (d) y= x–1.  
x+2

 

Bài 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước 
3.1) (TN‐05) Viết PTTT của (C)  y = 2 x + 1 , biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(–1;3) 
x +1

3.2) (TN‐04) Viết PTTT của (C)  y =

1 3
x − x2 biết tiếp tuyến đi qua điểm A(3; 0) 

3

2
3.3) (B2‐05) Cho y= x + 2 x + 2 (C ) . CMR  không có tiếp tuyến nào của (C) qua  điểm I(–1;0). 

x +1

 

E. Bài tập tự luyện cơ bản:  
Bài 4 :  

3x − 2
tại điểm có tung độ bằng  –2 
x +1
x+2
4.2)  Viết PTTT của (C)  y = f ( x) =
tại điểm có hoành độ bằng –5 
1− x
4.3) (TN‐06) Viết PTTT của (C)  y = x 3 − 6 x2 + 9 x  tại điểm có hoành độ là nghiệm của y// =0. 

4.1) Viết PTTT của (C)  y =

4.4) (TN‐07) Viết PTTT của (C)  y = x 4 − 2 x2 + 1  tại điểm có hoành độ là nghiệm của y/ =0 
2
4.5) (TN‐07) Viết PTTT của (C)  y = x + 1 −
tại giao điểm của (C) và trục tung 
2x − 1
4.6) Viết PTTT của (C)  y = x( x − 2)2 tại giao điểm của (C) và trục hoành. 
4.7) Viết PTTT của (C)  y = − x 4 + 2 x2 + 3 tại giao điểm của(C) và đường thẳng y = 3 biết giao điểm 

ấy có hoành độ âm. 
4.8) Viết PTTT của (C)  y = x 3 − 3 x2 + 3 x − 1  tại giao điểm của (C) và (d)  y = 3 x − 1  
3x + 1
4.9) (D1‐08) Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ  và tiếp tuyến của (C)  y =
 tại  
x +1
điểm M(–2;5) 
 
 
 
 
 
Bài 5 :  
5.1) (D‐10) Viết PTTT của (C)  y = − x 4 − x2 + 6 biết tiếp tuyến vuông góc với  (d)  y = 1 x − 1  

6
2
x
+
x
+
4
5.2) (D1‐04) Viết PTTT của (C)  y =
 biết tiếp tuyến đó vuông góc với d : x–3y+3=0. 
x +1

5.3) (TN‐07) Viết PTTT  có hệ số góc lớn nhất của (C)  y = − x 3 + 3 x2 − 2 . 
1
5.4) (B‐04) Viết PTTT   Δ của (C)  y = x 3 − 2 x 2 + 3 x   biết  tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất  
3

2
5.5) (CĐĐL_06) Tìm M∈ (C)  y = x + 3x + 6 sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với (d): y=  1 x 

x +1

3


BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012 
Bài 6 :  

  3 

 

 

            ThS. HỒ LỘC THUẬN 

1
6.1) (A2‐04) Viết p.t.t.t  của (C) y= x+ , biết tiếp tuyến đi qua M(–1;7) 
x
6.2) (CĐSPMGTW3‐06) Viết  pttt  của (C) y= x3 –3x2 +2, biết tiếp tuyến qua A(2,–7) 
6.3) Cho (C) y= f(x) = x3 –4x2 +4x. Viết PTTT của  (C) biết tiếp tuyến qua B(3;3). Tìm tiếp điểm.  
6.4) (B‐08) Viết PTTT của (C) y = 4 x 3 − 6 x2 + 1 biết tiếp tuyến đi qua M(–1 ;–9)  

 
 
 

6.5) Tìm m để đường thẳng  (d) y = 8x + m tiếp xúc với (C)  y = − x 4 − 2 x2 + 3   
6.6) (D‐2000)Cho  (Cm) y= x3 –3x2 +3mx +3m +4. Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành.   

F. Bài tập tự luyện nâng cao:  
1) D‐05) Gọi M∈(Cm)  y = 1 x 3 − m x 2 + 1  có hòanh độ bằng –1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M song 
3

2

3

song với đường thẳng (D): 5x–y=0. 
 
 
 
 
 
ĐS : m = 4 
3
2
2) A1‐08) Tìm m để tiếp tuyến của (C)  y = x + 3mx + ( m + 1) x + 1 tại điểm có hoành độ x = –1 đi qua 
5
điểm A(1;2). 
 
 
 
 
 
 
 

 
ĐS:  m =  
8
3
2
3) Tìm m để tiếp tuyến của (Cm)  y = x − 3 x + m  tại điểm có hoành độ bằng 1 tạo với hai trục tọa độ 
3
một tam giác có diện tích bằng  . 
 
 
 
 
 
ĐS : m=2 ;m=–4  
2
2
5
4) Tìm a,b biết (C)  y = ax − bx  đi qua A(–1 ;  ) và tiếp tuyến của (C) tại O(0 ;0) có hệ số góc bằng –3.  

x −1

2

ĐS : a= –2 ; b= –3 
5) D‐2007) Cho  y = 2 x  (C). Tìm M ∈ (C) sao cho tiếp tuyến tại  M cắt Ox, Oy tại A, B và  ΔOAB có 
x +1
1
ĐS : M(1;1); M(– ; –2)  
2
4

2
x
−
3
6) Tìm các điểm M∈ (C) y = 
 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại 2 điểm A, B sao 
1
diện tích bằng       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x −2

cho AB ngắn nhất.  

 

ĐS : M(1; 1), M(3; 3)) 

2

7) Tìm m để  tại giao điểm của (C)  y = (3m+1)x −m +m với Ox, tiếp tuyến song song với (d) y= x–10 
x +m

ĐS : m = − 1 ; m = −1  
8)  Gọi M ∈ (C)  y = x + 1 ; tiếp tuyến (Δ) của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại A, B 
x −1
a) Chứng minh M là trung điểm của AB. 
b) Δ IAB có diện tích không đổi (I là giao điểm hai tiệm cận) 
c) *Tìm M sao cho  chu vi Δ IAB nhỏ nhất. 
 
 
 

5

ĐS: M (1 ± 2;1 ± 2 )  

2x − 1
biết (d) cắt trục hoành tại A và trục tung tại B sao cho OA=4OB.  

x −1
ĐS : x+4y–5=0 ; x+4y–15=0 
2
(3m − 1) x + m + m
10)  Gọi (d) là tiếp tuyến của (Cm)  y =
tại giao điểm của (Cm) và trục hoành. Tìm m 
m−x
để (d) tạo với trục hoành một góc 450.   
 
 
 
 
ĐS :  m = 1; m = 1  

9) Viết PTTT (d) của (C)  y =

5

11) D2‐07) Viết PTTT (d) của  (C) y =

x

 sao cho d tạo với trục Ox một góc 450 .   ĐS: y= –x; y= –x+4) 

x −1
12) A‐09) Viết  PTTT  (d) của (C)  y = x + 2 biết tiếp tuyến (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.  
2x + 3


BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012 

13) B2‐03) Cho hàm số   y=
vuông góc với IM.  

  4 

 

 

            ThS. HỒ LỘC THUẬN 
ĐS: y = –x +2  

2x − 1
(C). Gọi I (1; 2). Tìm M ∈ (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm M 
x −1
 
 
 
 
 
 
 
ĐS : M(0; 1); M(2, 3) 

2
14) Tìm m ≠ –1  để đồ thị (Cm) y=  x + m  tiếp xúc với đường thẳng y = –x+7.    

ĐS :m=1 

x −1

(2m − 1) x − m2
15) D‐02)  Tìm m để (Cm)  y =
tiếp xúc với đường thẳng y = x. 
x −1

ĐS :   m ≠ 1  

16) D1‐05)  Tìm m để (Cm) y= –x3+(2m+1)x2–m–1 tiếp xúc với (d) y= 2mx–m–1.  ĐS : m=0 ; m=1/2 
17) A2‐08) Tìm m để y = mx –9 tiếp xúc với (C)  y = x 4 − 8 x2 + 7    
 
ĐS : m=0 
2
18) Gọi A, B là hai điểm thuộc (C)  y = x − 2x + 2  có hoành độ xA, xB thỏa xA+ xB =2. CMR tiếp tuyến 
x −1
của (C) tại A và B song song nhau. 
19) Tìm m để y = 2x +m cắt (C) y =  x + 1 tại 2 điểm phân biệt  A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B 
B

B

x −1

song song nhau.   
 
 
 
 
 
 
 

ĐS :  
3
2
20) Cho (Cm)  y = x −(m + 1)x + (m −1)x +1 . CMR với mọi m khác 0, (Cm) luôn cắt trục hoành tại 3 
điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc m. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại B 
và  C song song nhau. 
 
 
 
 
 
 
 
ĐS :m=2 
 
* 
3
2
21) Tìm 2 điểm A, B∈ (C) y = x  –3x  +1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song nhau và 
AB= 4 2     
 
 
 
 
 
 
 
 
ĐS:  (3; 1), (–1; –3)  
x

+
2
22) Tìm a để từ A(0; a)  kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C) y = 
sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 
x −1

phía trục Ox. 

 

 

 

 

 

 

 

 

ĐS:  − 2 < a ≠ 1  
3

23) HSG Thanh Hóa)* Với mỗi điểm M∈ (C) y = x3 –3x2 +2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C)?  
ĐS: M(a; a3 –3a2 +2) → a = 1: 1 tiếp tuyến; a ≠ 1: 2 tiếp tuyến 
24) Tìm m để (Cm) y =

x 2 + mx − 8
x−m

  

a) CMR  nếu (Cm) cắt Ox  tại điểm có h.đ xo thì tiếp tuyến tại  điểm đó có hệ số góc k = 

2 xo + m
.  
xo − m

b) Tìm m để (Cm) cắt Ox  tại 2 điểm phân biệt  A, B sao cho tt  của (Cm) tại A và tại B vuông góc 
nhau.    
 
 
 
 
 
 
 
 
ĐS:  m = ±2 10  
1
x

25) Tìm k để (d) y = k cắt (C) y = x –2 +  . tại 2 điểm A, B mà tại đó 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc 
nhau.  
 
 

 
 
 
 
 
 
 
ĐS: k = −2 ± 5  
3
2
26) Tìm m để (C)  y = x + 3 x + mx + 1  cắt y =1 tại 3 điểm A(0 ;1), B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B 
và C vuông góc nhau. 

 

 

 

 

 

 
3

 

ĐS :  m = 9 ± 65  
8

2

27) Tìm m để đt (d) qua M (3 ;4) có hệ số góc m cắt (C)  y = x − 3 x + 4 tại 3 điểm M, A, B sao cho tiếp 
tuyến tại A và B vuông góc nhau.  

 

 

 

 

 

ĐS :  m = 18 ± 3

35

9

 

2
28) Tìm m để 2 tiếp tuyến của (Cm)   y = x − mx + m kẻ từ O(0;0) vuông góc nhau.   ĐS : m=  2 ± 3  

x −1
2x − 1
29) Tìm M ∈ (C)  y =

 sao cho khoảng cách từ I(–1 ;2) đến tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.  
x +1

ĐS :  M ( −1 ± 3 ; 2 ∓ 3 )  

30) Viết PTTT  của (C)  y =

x
biết khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. 
x −1
ĐS : y = –x ; y = –x +4