PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP CỰC TRỊ VẬT LÝ THCS

MỤC LỤC
Nội dung

Mục
Mục lục

Trang
1,2

Danh mục các từ viết tắt

3

Danh mục các bảng, biểu, sơ đồ, hình vẽ

4

MỞ ĐẦU

5

1

Lý do chọn chuyên đề

5

2

Mục đích nghiên cứu

6

3

Đối tượng nghiên cứu

6

4

Phạm vi nghiên cứu

6

5

Phương pháp nghiên cứu

6

6

Thời gian nghiên cứu

7

Phần I

Phần II NỘI DUNG

7

1

Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn

7

1.1

Cơ sở lí luận

7

1.2

Cơ sở thực tiễn

7

2

Phương pháp giải bài tập cực trị của môn Vật lý cấp THCS

8

2.1

Tóm tắt kiến thức

8

2.1.1

Cơ học

8

2.1.2

Điện học

10

2.1.3

Quang học

11

2.2

Phương pháp giải bài tập cực trị

12

2.2.1

Ôn lại một số kiến thức toán học

12

a

Hàm số bậc hai

12

b

Sử dụng bất đẳng thức Côsi

13

c

Hệ thức lượng trong tam giác

14

d

Một số lưu ý trong quá trình tư duy tìm lời giải

15

2.2.2

Một số bài toán điển hình và cách giải

15

A

Các bài toán cơ

15

B

Các bài toán điện

23

C

Các bài toán quang hình

34

D

Các bài tập tương tự

38
1


3

Kết quả đạt được

Phần III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

47
48

1

Kết luận

48

2

Kiến nghị

48

TÀI LIỆU THAM KHẢO

50

2


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

CHỮ VIẾT TẮT

DIỄN GIẢI

HS

Học sinh

THCS

Trung học cơ sở

KHTN

Khoa học tự nhiên

GD&ĐT

Giáo dục và đào tạo

KSCL

Khảo sát chất lượng

SL

Số lượng

THPT

Trung học phổ thông

HSG

Học sinh giỏi

3


DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU, SƠ ĐỒ, HÌNH VẼ
STT

Tên các bảng, biểu, sơ đồ, hình vẽ

Trang

1

Bảng 1: Kết quả khảo sát chất lượng năm học 2014 - 2015

8

2

Hình vẽ phần quang học

3

Hình vẽ phần hệ thức lượng trong tam giác

4

Hình vẽ bài 1 phần cơ học

15,16

5

Hình vẽ bài 2 phần cơ học

16,17

6

Hình vẽ bài 3 phần cơ học

17

7

Hình vẽ bài 5 phần cơ học

19

8

Hình vẽ bài 6 phần cơ học

20,21

9

Hình vẽ bài 7 phần cơ học

21

10

Hình vẽ bài 8 phần cơ học

23

11

Hình vẽ bài 1 phần điện học

23

12

Hình vẽ bài 2 phần điện học

24

13

Hình vẽ bài 3 phần điện học

25,26

14

Hình vẽ bài 4 phần điện học

27,28

15

Hình vẽ bài 5 phần điện học

28

16

Hình vẽ bài 6 phần điện học

29

17

Hình vẽ bài 7 phần điện học

30,31

18

Hình vẽ bài 8 phần điện học

31,32

19

Hình vẽ bài 9 phần điện học

33

20

Hình vẽ bài 1 phần quang học

34

21

Hình vẽ bài 2 phần quang học

35,36

22

Hình vẽ bài 3 phần quang học

37

23

Bảng 2: Kết quả khảo sát chất lượng năm học 2015 - 2016

47

11,12
14

\

4


PHẦN I. MỞ ĐẦU
1 . LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ :
Trong sự nghiệp đổi mới công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước hiện nay
con người và nguồn nhân lực được coi là nhân tố quan trọng hàng đầu quyết
định sự phát triển nhanh, hiệu quả và bền vững. Vì vậy việc đào tạo nguồn nhân
lực, bồi dưỡng nhân tài vừa là đòi hỏi cấp bách của xã hội đối với ngành giáo
dục, đặc biệt khi Việt Nam đã trở thành một thành viên của tổ chức thương mại
thế giới (WTO).
Do đó công tác giáo dục nói chung đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi nói
riêng đòi hỏi mỗi giáo viên phải tìm tòi, lựa chọn những phương pháp dạy học
không chỉ trang bị cho học sinh những phương pháp học tập và nghiên cứu sao
cho phù hợp để đạt hiệu quả cao trong giảng dạy.
Vật lý là cơ sở của nhiều ngành kỹ thuật quan trọng. Sự phát triển của
khoa học vật lý có tác động to lớn tới sự phát triển của các ngành công nghiệp
trên toàn thế giới. Vì vậy, vật lý có giá trị to lớn trong đời sống và sản xuất, đặc
biệt trong công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước.
Môn vật lý giúp phát huy khả năng tự học, phát triển khả năng tư duy tích
cực, độc lập, sáng tạo cho HS, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề.
Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm,
đem lại hứng thú học tập cho HS. Trong việc phát triển tư duy sáng tạo, môn vật
lý có vị trí nổi bật vì vật lý giúp học sinh rèn luyện bộ óc, rèn luyện cách nghĩ,
rèn luyện phương pháp tìm tòi, vận dụng kiến thức.
Nhiệm vụ chương trình vật lý THCS là: Cung cấp cho học sinh một hệ
thống kiến thức cơ bản, bước đầu hình thành ở học sinh những kỹ năng cơ bản

phổ thông và thói làm quen làm việc khoa học, góp phần hình thành cho các em
năng lực nhận thức và các phẩm chất, nhân cách mà mục tiêu giáo dục THCS đã
đề ra.
Trong số các bộ môn KHTN thì Vật lý là môn khoa học gây nhiều hứng
thú cho học sinh, tuy nhiên nó cũng là một trong những môn khoa học khó nhất
với các em. Vật lý là môn khoa học thực nghiệm trong đó được toán học hoá ở
mức độ cao. Đòi hỏi các em phải có những kiến thức, kỹ năng toán học nhất
định mới có thể tiếp cận và giải quyết tốt các bài tập vật lý.
Giải toán vật lý là một công việc không thể thiếu được trong việc học tập và
nghiên cứu vật lý của người học sinh. Thông qua việc giải toán học sinh thêm một
lần nữa được củng cố kiến thức và khắc sâu lý thuyết. Ngoài ra, còn tạo được
niềm tin say mê môn học khi tự mình giải quyết được những vấn đề khó khăn,
gieo mầm cho việc nghiên cứu khoa học sau này.
Trong chương trình vật lý THCS, tôi có nhận thấy một dạng toán khá hay và
khó - Dạng toán về tìm cực trị. ở dạng toán này tôi nhận thấy các em khá lúng
túng để tìm ra hướng giải mặc dù lý thuyết các em tương đối chắc.
Vậy làm thế nào để giải quyết đươc vấn đề này?

5


Là một giáo viên dạy môn vật lý tôi luôn luôn suy nghĩ, tìm tòi làm sao tìm
ra phương pháp dạy có hiệu quả nhất, sao cho học sinh giải được dạng toán này
một cách thuận lợi nhất và hứng thú. Mặt khác, hàng năm huyện, tỉnh luôn tổ
chức kỳ thi học sinh giỏi vật lý cho học sinh THCS nhằm phát hiện và bồi dưỡng
các em có năng khiếu. Trong các kỳ thi này dạng toán tìm cực trị của các đại
lượng vật lí thường xuyên xuất hiện và có sức hấp dẫn rất lớn đối với thầy - trò
chúng tôi.
Tuy nhiên, để giải được chúng là chuyện không dễ dàng chút nào. Với suy
nghĩ như vậy, tôi quyết định chọn chuyên đề: “Phương pháp giải bài tập cực trị

của môn Vật lý cấp THCS ” với hy vọng nó sẽ giúp cho các em học sinh có
được cái nhìn tổng quan về phương pháp giải bài tập “cực trị của môn vật lý”
biết vận dụng các kiến thức toán, phương pháp thích hợp để giải bài tập dạng
này, thông qua việc tìm hiểu các bài tập. Bên cạnh đó, tôi cũng hy vọng đây
cũng là một tài liệu tham khảo có ích cho các bậc phụ huynh và các thầy cô giáo
quan tâm đến lĩnh vực này.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
- Trao đổi với đồng nghiệp và học sinh về phương pháp giải bài toán tìm
cực trị trong phần Cơ - Điện - Quang ở môn Vật lí THCS. Đặc biệt là tìm cực trị
của một số đại lượng như vận tốc, quãng đường, thời gian, lực, khối lượng,... ở
phần cơ học và các đại lượng như công suất, giá trị của biến trở, cường độ dòng
điện,… trong phần điện học...
- Giúp học sinh hiểu, nắm bắt được và bước đầu biết vận dụng linh hoạt
phương pháp này để giải quyết được các bài toán tìm cực trị của một số đại
lượng vật lí từ dễ đến khó trong chương trình vật lí THCS và các đề thi học sinh
giỏi các cấp.
- Mặt khác, chuyên đề này nhằm mục đích nâng cao trình độ chuyên môn
và tích lũy thêm kinh nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cho giáo
viên. Mở rộng hiểu biết cho học sinh , giúp các em hiểu sâu sắc hơn và có điều
kiện hoàn thiện về phương pháp giải bài tập vật lí. Qua đó rèn luyện các năng
lực tư duy sáng tạo cho học sinh.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
- Lý thuyết về cơ học, điện học và quang học trong chương trình Vật lý
THCS.
- Phương pháp giải bài tập cực trị trong chương trình Vật lý THCS.
- Nghiên cứu trên đối tượng học sinh khối 8, khối 9 Trường THCS Kim
Xá - Vĩnh Tường - Vĩnh Phúc.
4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
Áp dụng vào giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Vật lý ở trường
THCS Kim Xá và triển khai trao đổi thảo luận trong cụm I thuộc Phòng

GD&ĐT Vĩnh Tường - Vĩnh Phúc.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Nghiên cứu lý luận, thực tiễn và tiến hành khảo sát trên đối tượng cụ thể.
6


- Tổng kết kinh nghiệm của bản thân.
- Nghiên cứu tư liệu, tài liệu, sách giáo khoa, các sách tham khảo
- Điều tra trên đối tượng cụ thể.
- Sử dụng phương pháp tổng hợp.
6. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU:
Chuyên đề này được nghiên cứu trong một năm (từ tháng 11 năm 2014
đến tháng 11 năm 2015)
PHẦN II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn
1.1. Cơ sở lí luận
- Giữa vô vàn các bài tập vật lý hay và khó, việc tìm ra những phương
pháp giải chung và cụ thể là cần thiết và đặc biệt quan trọng giúp học sinh tự tin
chiếm lĩnh tri thức mới.
- Việc phân loại và đưa ra phương pháp giải các dạng bài tập giúp học
sinh tự bồi dưỡng kiến thức nền cho bản thân, chuẩn bị cơ sở tốt cho giai đoạn
luyện tập nâng cao hơn nhằm đáp ứng yêu cầu trong các kỳ thi học sinh giỏi.
- Nắm chắc được phương pháp tìm cực trị của môn vật lý giúp học sinh
vận dụng tốt vào các bài tập cơ bản, bài tập hay và khó.
Vì vậy tôi mạnh dạn xây dựng chuyên đề này với mong muốn trao đổi với
các đồng chí về phương pháp dạy học để nâng cao chất lượng bồi dưỡng cho
học sinh, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi.
1.2. Cơ sở thực tiễn
1.2.1. Đặc điểm tình hình nhà trường:
- Cơ sở vật chất của trường THCS Kim Xá đảm bảo yêu cầu cho việc phục

vụ giảng dạy, phòng học bộ môn Vật lý kiên cố, sạch sẽ đúng quy cách, có
đồ dùng đầy đủ cho các khối lớp, đặc biệt là máy chiếu dành riêng cho
phòng học bộ môn.
- Đa số học sinh ngoan chịu khó trong học tập, các em có đầy đủ sách giáo
khoa, sách bài tập và sách tham khảo dành cho đội tuyển học sinh giỏi.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy môn Vật Lý ở trường đều có trình độ đạt
chuẩn, trên chuẩn có thể đáp ứng cho việc giảng dạy.
1.2.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
- Trường THCS Kim Xá ngoài việc đào tạo học sinh phát triển toàn diện theo
mục tiêu đào tạo chung thì công tác bồi dưỡng học sinh là một trong những
nhiệm vụ hàng đầu. Tuy nhiên qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy:
+ Học sinh khi vận dụng kiến thức toán vào giải các bài tập cực trị vật lý kể
cả những bài tập đơn giản còn gặp nhiều lúng túng và sai sót, đặc biệt là các bài
tập mang tính khái quát cao.
+ Học sinh dễ nhầm lẫn khi vận dụng bất đẳng thức trong toán học hoặc
không hiểu bản chất một số hiện tượng ít gặp dẫn đến đưa ra một biểu thức sai.

7


+ Nếu học sinh gặp những bài tập cực trị thì học sinh dễ quên và gặp khó
khăn ngay cả khi gặp lại bài tập đã làm vì số tiết bài tập ít, giáo viên chưa dạy kỹ
phương pháp giải bài tập cực trị vật lý.
- Qua tìm hiểu, thu thập tư liệu tại trường THCS Kim Xá - Vĩnh Tường -Vĩnh
Phúc, trong những năm học gần đây việc học sinh tiếp thu vận dụng các kiến
thức toán để tìm cực trị vật lý còn nhiều hạn chế, kết quả chưa cao. Sự nhận thức
và áp dụng vào các bài tập còn chưa linh hoạt vẫn còn máy móc. Học sinh
không chủ động trong việc sử dụng các phương pháp để giải bài tập, đa số các
em đều mò mẫm tìm đường đi mà không có định hướng cho một bài toán cụ thể.
Tiến hành khảo sát chuyên đề bài tập cực trị - môn Vật lý ở khối 9 - Trường

THCS Kim Xá năm học 2014 - 2015 cho kết quả như sau:
Bảng 1: Kết quả khảo sát chất lượng
trước khi áp dụng chuyên đề trong giảng dạy
(Khối 9 năm học 2014 - 2015)

Học sinh
khối 9

Số bài
kiểm
tra
131

Kết quả các bài KSCL
Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu - Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

4

3,1

13

9,9

65

49,6

49

37,4

- Nhìn vào kết quả khảo sát dễ dàng nhận thấy tỉ lệ học sinh đạt loại giỏi là
rất thấp. Tỉ lệ đó thể hiện rõ nét vấn đề mà tôi đã nêu lên trong phần mở đầu. Đó
là việc học sinh gặp khó khăn trong việc giải các bài tập cực trị phức tạp và đa
dạng. Đa số các em chỉ dừng lại ở mức độ trung bình và khá, điều đó thể hiện
mức độ nắm bắt kiến thức của các em ở phần kiến thức Toán còn nhiều hạn chế.
Bên cạnh đó, tỉ lệ học sinh yếu cao cho thấy thái độ học tập của các em đối với

mảng kiến thức này là không hứng thú, có thể nói nhiều học sinh sợ và không
quan tâm đến mảng kiến thức này, mà đây là mảng kiến thức vô cùng quan
trọng, là tiền đề cho chương trình vật lý bậc THPT.
Vì vậy tôi viết chuyên đề “Phương pháp giải bài tập cực trị của môn Vật lý
cấp THCS” ra đời nhằm góp phần cải thiện thực trạng học tập như trên, giúp
nâng cao chất lượng học sinh khá giỏi, đồng thời đem lại hứng thú học tập cho
học sinh.
2. Phương pháp giải bài tập cực trị của môn Vật lý cấp THCS
2.1. Tóm tắt kiến thức (những công thức vật lý cơ bản):
2.1.1. Cơ học:
- Công thức tính vận tốc: v =

S
t
8


Trong đó:

S: Quãng đường đi được (m;km)
t: Thời gian.
(s;h)
v: Vận tốc:
(m/s; km/h)
- Công thức tính vận tốc trung bình trong chuyển động không đều:
S
v tb =
t
Trong đó: S: Tổng quãng đường đi được.
(m; km)

t: Tổng thời gian đã đi.
(s; h)
vtb: Vận tốc trung bình:
(m/s; km/h)
- Tính tương đối của chuyển động:
+ Đối với các vật được chọn làm mốc khác nhau vận tốc của một vật là khác
nhau.
+ Phương trình véc tơ:
v13 = v12 + v23
* Hệ quả:
+ Nếu hai chuyển động này cùng chiều: v13 = v12 + v23
+ Nếu 2 vật chuyển động ngược chiều: v13 = v12 - v23
+ Nếu 2 chuyển động có phương vuông góc: v132 = v122 + v 232
Trong đó v12: vận tốc vật 1 so với vật 2
v23: vận tốc vật 2 so với vật 3
v13: vận tốc vật 1 so với vật 3
- Công thức tính áp suất: p =

F
S

Trong đó: p là áp suất (N/m2 hoặc Pa)
F là áp lực tác dụng lên mặt bị ép (N)
S là diện tích mặt bị ép (m2)
- Công thức tính áp suất chất lỏng: p = d.h
Trong đó: d là trọng lượng riêng của chất lỏng (N/m3)
p là áp suất ở đáy cột chất lỏng (N/m2 hoặc Pa)
h là chiều cao của cột chất lỏng (m)
- Công thức tính lực đẩy Ác-si-mét: FA = d.V
Trong đó: d là trọng lượng riêng của chất lỏng (N/m3)

V là thể tích phần chất lỏng bị vật chiếm chỗ (m3)
FA là lực đẩy Ác-si-mét (N)
- Công thức tính công cơ học: A = F.s
9


Trong đó: A là công của lực F (J)
S là quãng đường vật dịch chuyển (m)
F là lực tác dụng vào vật (N)
- Công thức tính công suất: P =

A
t

Trong đó: P là công suất (W)
t là thời gian thực hiện công (s)
2.1.2. Điện học:
- Định luật ôm cho đoạn mạch: I =

U
R

Trong đó: I là cường độ dòng điện (A)
U là hiệu điện thế (V)
R là điện trở ( W )
- Công thức tính điện trở của dây dẫn: R = r .

l
S

Trong đó: r : Điện trở suất của dây dẫn ( W .m )

l : Chiều dài dây dẫn

(m)

S: Tiết diện dây dẫn ( m2 )

- Định luật ôm cho đoạn mạch có các điện trở mắc nối tiếp.
+ Cường độ dòng điện trong đoạn mạch mắc nối tiếp:
I = I1 = I2 = …. = In
+ Hiệu điện thế trong đoạn mạch mắc nối tiếp:
U = U1 + U2 + … + Un
+ Điện trở toàn phần ( tương đương) của đoạn mạch mắc nối tiếp:
R = R1 + R2 + … + Rn
- Định luật ôm cho đoạn mạch có các điện trở mắc song song:
+ Cường độ dòng điện của mạch chính bằng tổng các cường độ dòng điện trong
các đoạn mạch rẽ:
I = I1 + I2 + …+ In
+ Hiệu điện thế của đoạn mạch song song bằng hiệu điện thế của mỗi đoạn mạch
rẽ:
U = U1 = U2 = … = Un
+ Điện trở toàn phần ( tương đương) của đoạn mạch mắc song song:
1
1
1
1
=
+
+ .... +

R R1 R2
Rn

U2
- Công thức tính công suất điện: P = U.I = I .R =
R
2

- Công thức tính điện năng tiêu thụ điện:
A = P.t = U.I.t = I2.R.t =

U2
.t
R

Trong đó : A: Công của dòng điện (J )

10


P: Công suất tiêu thụ điện (W)
t : Thời gian dòng điện chạy qua (s)
- Hệ thức định luật Jun - Lenxơ: Q = I2.R.t
Trong đó: I là cường độ dòng điện chạy qua dây dẫn (A)
R là điện trở của dây dẫn ( W )
t là thời gian dòng điện chạy qua (s)
Q là nhiệt lượng tỏa ra ở dây dẫn (J)
2.1.3. Quang học (Thấu kính):
Đường đi của các tia sáng khi đi qua thấu kính:
* Tất cả các tia sáng song song với trục nào thì tia ló đi qua hoặc có

đường kéo dài đi qua tiêu điểm nằm trên trục đó.
Tia sáng song song
với trục chính

I

S

F

I
S

F/

O

F
Tia sáng song song
với trục phụ

I
S

F1’
O

F

F/

O

I

S
F

F
’

F1

O

F/

Đường truyền của tia sáng có tính chất thụân nghịch
* Tia sáng đi qua hoặc có đường kéo dài đi qua tiêu điểm chính, phụ thì tia
ló song song với trục chính, phụ tương ứng.

S

I

S

I
Với tiêu điểm chính

F
/

O

F/

F

O

F/

/

11


Với tiêu điểm phụ

I
S

F1’

I

S
F

O

F

/

F
’

F/

O

F1

* Tia sáng tới qua quang tâm cho tia ló truyền thẳng.
S

S
F

O

F
F

O

F

* Ba tia sáng đặc biệt qua thấu kính:
- Tia sáng song song với trục chính cho tia ló đi qua hoặc có đường kéo
dài đi qua tiêu điểm chính.
- Tia sáng đi qua hoặc có đường kéo dài đi qua tiêu điểm chính thì tia ló
song song với trục chính.
- Tia sáng đi qua quang tâm cho tia ló truyền thẳng.
* Đường truyền của tia tới bất kì qua thấu kính.
Một tia tới bất kì có thể coi như:
+ Song song với trục phụ, tia ló đi qua hay có phần kéo dài đi qua tiêu
điểm phụ trên trục phụ đó.
+ Đi qua hoặc hướng tới tiêu điểm phụ, tia ló sẽ song song với trục phụ
tương ứng.
Từ tính chất trên ta có thể suy ra nếu biết tia tới ta có thể vẽ được tia ló và
ngược lại.
2.2. Phương pháp giải bài tập cực trị:
Bài toán cực trị là bài toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu của một đại
lượng vật lí nào đó. Muốn có một phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước
hết ta sẽ đi tìm hiểu hệ thống các bài tập điển hình về cực trị trong chương trình
Vật lí THCS sử dụng các công thức toán học đặc biệt như bất đẳng thức Côsi,
tam thức bậc hai, công thức cộng vận tốc, sử dụng định lí hàm sin trong tam
giác. Qua đó rút ra được phương hướng chọn phương pháp giải và các bước để
sử dụng phương pháp đó nhanh nhất, hiệu quả nhất.
2.2.1. Ôn lại một số kiến thức toán học :
2
a. Hàm số bậc hai: y = f (x) = ax + bx + c ( a ¹ 0 ) với a,b,c là hằng số.

- Nếu a > 0 thì y có giá trị nhỏ nhất (ymin) là -

D
b

khi x = - .
4a
2a
12


- Nếu a < 0 thì y có giá trị lớn nhất (ymax) là -

D
b
khi x = - .
4a
2a

với D = b 2 - 4 ac .
- Cho phương trình bậc hai : y = f ( x) = ax 2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0 ) .
+ Nếu D < 0 Û phương trình vô nghiệm.
+ Nếu D = 0 Û phương trình có nghiệm kép x =

-b
.
2a

+ Nếu D > 0 Û phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =

-b+ D
;
2a

x2 =

-b- D
.
2a

* Phương pháp:
Phương pháp sử dụng phương trình bậc hai được dùng khá phổ biến trong
cả chương trình nên học sinh không quá khó khăn khi tiếp cận phương pháp
này. Đặc điểm của phương pháp là yêu cầu tính cẩn thận và các bước làm rõ
ràng:
Bước 1: Biến đổi đại lượng cần tính cực trị về hàm bậc 2 của biến x.
Bước 2: Dùng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm khi tồn tại cực trị (
hoặc dùng dấu hiệu nhận biết của tam thức bậc hai như a > 0 hoặc a < 0 để suy
ra cực trị ).
Bước 3: Tìm giá trị của biến x để đạt giá trị cực trị.
* Phạm vi áp dụng: Thường dùng cho các bài tập về chuyển động cơ học; bài
tập về quang học.
b. Sử dụng bất đẳng thức Côsi
* Bất đẳng thức Côsi
- Nếu a1, a2, ….an là các số không âm thì ta có :
a1 + a 2 + ¼ + a n
³ n a1 .a 2 ....a n
n

(1)

Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 …. = an
- Áp dụng cho 2 số a, b không âm, ta có:

a+b
³ a.b
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
* Phương pháp:
Bước 1: Đại lượng cần tìm giá trị cực trị có thể biến đổi để đưa về dạng phân
số trong đó hoặc tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại
là hằng số.
13


Bước 2: Xét dấu hiệu nhận biết các điều kiện của hàm chứa biến có thỏa mãn
điều kiện sử dụng bất đẳng thức Côsi hay không. Đó là điều kiện các số hạng là
không âm a1,a2, .....,an ³ 0 và tích của chúng là không đổi a1.a2......an = const
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị cực đại ,cực tiểu của bài toán.
Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ của bất đẳng thức xảy ra.
* Phạm vi áp dụng:
Thường áp dụng cho các bài tập phần điện (đặc biệt là bài toán công suất
đạt cực đại) và các bài toán về cơ học, quang học.
c. Hệ thức lượng trong tam giác:
- Xét D ABC vuông tại A .
+ Tỉ số lượng giác của góc nhọn: Cho góc nhọn a, ta có:
AB
BC
AB
tga =
AC

sina =

AC
BC
AC
; cotga =
AB

; cosa =

+ Định lý Pitago : BC2 = AB2 + AC2
- Định lý hàm Sin trong tam giác :
Với mọi tam giác ABC, ta có
a
b
c
=
=
SinA SinB SinC

trong đó BC = a, AC = b, AB = c.
- Bất đẳng thức tam giác:
“Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ
dài cạnh còn lại’’.
* Phương pháp:
Phương pháp vận dụng công thức tính vận tốc, quãng đường, thời gian kết
hợp các công thức lượng giác là một cách giải quyết vấn đề khá nhanh gọn đối
với bài toán chuyển động thay cho cách làm lập phương trình chuyển động
thông thường. Phương pháp này có nét đặc trưng chính hình thành các bước
giải cụ thể như sau :
Bước 1 : Tính quãng đường mà vật đi được trong cùng thời gian t

14


Bước 2 : Tìm sự phụ thuộc đại lượng tìm cực trị dựa vào định lý hàm số sin
Bước 3. Tìm cực trị của một đại lượng vật lý thông qua hàm số sin
*Chú ý rằng: -1 £ s ina £ 1 nên (sina)max = 1 Û a = 900 .
* Phạm vi áp dụng: Thường sử dụng cho các bài toán cơ học.
Những kiến thức toán học trên là công cụ chủ yếu để giải các bài toán cực
trị trong vật lý THCS.
d. Một số lưu ý trong quá trình tư duy tìm lời giải:
Bài toán: Cho một đại lượng vật lý x nào đó biến đổi. Tìm giá trị cụ thể
của x để đại lượng vật lý y ( x và y có mối liên hệ với nhau) đạt giá trị lớn nhất
hoặc giá trị nhỏ nhất ?
Hướng chung để giải
Bước 1: Xác định (lựa chọn) một đại lượng vật lý nào đó có mặt trong bài
toán làm ẩn nếu đề bài chưa nói rõ. Với bài toán ta đặt ra ở đây ta chọn x làm ẩn.
Bước 2: Dựa vào đề bài tìm mối quan hệ giữa x và y dưới dạng:
y = f(x)
trong đó x là ẩn, y là hàm của x.
Bước 3: Dựa vào kiến thức toán ( bất đẳng thức Côsi, điều kiện phương
trình bậc hai có nghiệm ...) để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của y.
2.2.2. Một số bài toán điển hình và cách giải:
A. CÁC BÀI TOÁN CƠ.
Bài 1 : Có hai chiếc ô tô chạy theo hướng quỹ đạo
(như hình vẽ).
Xe 1 đi từ M (MO = 20km) về O với vận tốc V1 = 40km/h .
Xe 2 đi từ N (NO = 40km/h) về O với vận tốc V2 = 60km/h.
Hai xe xuất phát cùng lúc. Tìm khoảng cách nhỏ nhất của
2 xe và thời gian để hai xe đạt khoảng cách đó.

V1
O
M

N V2
Giải:
- Giả sử trong thời gian t xe 1 đi được quãng đường là :
MA= V1 t = 40t (km)
Xe 2 đi được quãng đường là
NB = V2 t = 60t (km)
15


V1

A

Lúc này 2 xe cách nhau 1 khoảng là AB
M
O
Trong tam giác AOB vuông tại O.
Áp dụng định lý Pitago, ta có: AB2 = AO2 + BO2
2
2
2
Û d = AB = (MO – MA) + (NO – NB)
B
= (20 – 40t)2 + (40 – 60t)2
= 400 – 1600t + 1600t2 + 1600 – 4800t + 3600t2
N

Vậy: d2 = AB2 = 5200t2 - 6400t + 2000 (*)
V2
Cách 1: Ta thấy (*) là hàm bậc hai của t. Ta áp dụng tính chất của hàm số bậc 2
f(t) = 5200t2 – 6400t + 2000.
Nhận thấy hệ số a = 5200 >0 ® f(t) có 1 cực tiểu tại
t= -

b
6400
= - () » 0,61(s)
2a
25200

Vậy với tmin = 0,61 thì f(t)min = 5.200. 0,612 + 6400.0,61 + 2000 = 30(km)
dmin = 30,7 » 5,5(km)
Cách 2: Từ (*) ta có thể dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để
tìm dmin như sau :
Đặt x = d2 = 5200t2 – 6400t + 2000
2
Û 5200t – 6400t + 2000 - x = 0 (1)
Để (1) có nghiệm ta cần có D’ ³ 0
2
5
Û 3200 – 104.10 + 5200x ³ 0 ® x ³ 30,7 ® xmin = 30,7
Vậy dmin = xmin = 30, 7 » 5,5km
Nhận xét: Để giải được bài toán này học sinh cần phải hiểu được hiện
tượng khoảng cách của hai xe bị thay đổi theo thời gian. Vậy ta có thể gọi d là
khoảng cách của 2 xe là d với (d = f(t) ). Từ đó lập biểu thức khoảng cách của 2
xe bị phụ thuộc vào thời gian sau đó áp dụng kỹ năng tìm cực trị trong toán học
để giải.

Bài 2: Ô tô ở B chuyển động thẳng đều với vận tốc V1 = 54 km/h. Một hành
khách đứng ở A cách ô tô đoạn a = 500 m và cách đoạn đường d = 90m (như
hình vẽ), muốn đón ô tô hỏi người ấy phải chạy theo hướng nào với vận tốc nhỏ
nhất là bao nhiêu để đón được ô tô ?
A
a

B

d

V1

H

16


Giải:
A

Theo đề bài ta có hình vẽ :

x

a v2

Để người đó đón được ô tô thì người đó
phải chạy theo hướng AC hợp với AB một
b

·
B
v1
H
góc a, điều kiện 0 < a < BAx .
- Giả sử người đó đón được ô tô tại C. Khi
đó thời gian người đó chạy từ A đến C bằng thời gian ô tô đi từ B đến C.
Ta có : AC = V2t ; BC = V1t
Áp dụng định lý hàm sin trong tam giác ABC ta có :
BC
AC
=
Sina Sinb

«

V1t
Vt
= 2
Sina Sinb

® V2 =

Trong tam giác vuông AHB ta có: Sin b =
Thay (2) vào (1) ta được : V2 =

C

V1Sinb
(1)

Sina

AH d
=
(2)
AB a

V1a
(*)
dSina

Từ (*) ta thấy đến V2 đạt giá trị nhỏ nhất khi sina phải lớn nhất. Mà ta biết Sina
có giá trị lớn nhất bằng 1, suy ra góc a = 90o
Vậy V2(min) =

V1a 54.90
=
= 9,72(km / h)
d
500

Kết luận : Người đó chạy với vận tốc nhỏ nhất là Vmin = 9,72km/h và hợp với
AB góc 90o thì đón được ô tô.
Nhận xét : Ở bài toán này học sinh phải lập được biểu thức tính vận tốc
của người chạy để đón ô tô. Sau đó dựa vào biểu thức để tìm giá trị nhỏ nhất
của vận tốc.
Bài 3: Từ hai bến A, B trên cùng một
V2
bờ sông có hai canô cùng khởi hành.
Khi nước sông chảy, do sức đẩy của

động cơ, chiếc canô từ A chạy song
A
V1
song với bờ theo chiều từ A đến B có
V
vận tốc V1 = 24 km/h. Còn chiếc canô chạy từ B chạy vuông góc với bờ có vận
tốc V2 = 18 km/h. Quãng đường AB là 1km. Hỏi khoảng cách nhỏ nhất giữa hai
canô trong quá trình chuyển động là bao nhiêu nếu nước chảy từ A đến B với
vận tốc V3 = 6 km/h (sức đẩy của các động cơ không đổi).
Giải
Cách 1:
H
Theo đề bài ta có hình vẽ.
V21
V2 V’2
Do dòng nước chảy từ từ A ®B với
vận tốc là 6km/h nên khi canô 1
a
A

A V’x V1

B

V3

17


chuyển động xuôi dòng vận tốc của nó là :

Vx = V1 + V3 = 24 + 6 = 30km/h
- Canô 1 xuất phát từ B nhưng do bị nước đẩy ta có hướng của vận tốc V2' như
hình vẽ.
- Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông B V2' V3 ta được :
2

2

V2'2 = V22 + V32 = 18 + 6 = 6 10 km/h

Ta áp dụng tính tương đối của vận tốc cho bài toán này. Canô 1 đi từ A®B với
vận tốc Vx nhưng ta tưởng tượng rằng coi như canô 1 đứng yên và điểm B
chuyển động với vận tốc V 'X với V 'X = Vx còn hướng của V 'X ngược chiều với Vx.
Do đó canô 2 mặc dù chuyển động theo hướng V2' nhưng khi chọn mốc là canô 1
thì hướng chuyển động của canô lúc này là V21 hợp với AB góc a.
Từ đây dễ dàng suy ra khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 canô có độ lớn bằng độ dài
của đoạn AH ^V21
Ta sẽ tính AH trong tam giác vuông AHB có :
sina =

AH
Þ AH = AB. sina
AB

(1)

Mặt khác xét trong tam giác vuông BV2V21 có:
V 221 = V 22 +(VX' - V3 ) 2 = 182 + (30 – 6)2 = 900
Þ V21 = 30km/h và sin a =

V2
18
=
= 0,6
V21 30

(2)

Thay (2) vào (1) ta được AH = AB.sina = 1.0,6 = 0,6(km).
Vậy khoảng cách nhỏ nhất của 2 canô trong quá trình chuyển động trên là
0,6km.
Cách 2:
Lấy vật mốc là dòng nước chảy thì tốc độ chảy
của nước không ảnh hưởng gì đến kết quả tính
toán. Tại lúc t canô A tới C, canô B tới D. Ta
có: AC = v1.t, BD = v2.t
d2 = CB2 + BD2 = (AB - AC)2 + BD2
= (1 - v1.t)2 + (v2.t)2 = (v12 + v22)t2 - 2v1.t + 1
Thay số, ta có: d2 = (242 + 182)t2 - 2.24t + 1 = 900t2 - 48t + 1
d2 là một hàm số bậc hai có hệ số a = 900 > 0 nên d2min có một cực tiểu là
d2min = -

D
= 0,36 Þ dmin = 0,6 km
4a

Nhận xét: Bài này cũng giống bài 1 tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 vật
trong quá trình chuyển động. Tuy nhiên cách giải hoàn toàn khác nhau. Về bản
chất thì cùng giống nhau về hiện tượng đó khoảng cách của 2 vật bị thay đổi
theo thời gian. Đối với bài 1 ta lập biểu thức d (khoảng cách của 2 vật) là 1 hàm

của thời gian t sau đó từ d = f(t) ta tìm được giá trị nhỏ nhất. Còn bài 3 cách

18


giải 2 tương tự như bài 1 nhưng ở đây tôi đưa ra cách giải 1 để học sinh tham
khảo. Cách giải 1 là một sự kết hợp giữa tính tương đối của vận tốc và hình học.
Đó là vật 1 chuyển động nhưng ta coi là đứng yên do đó vật 2 sẽ chuyển động so
với vật 1 còn khoảng cách ngắn nhất giữa hai 2 vật thì dựa vào hình học phải là
đoạn thẳng vuông góc với hướng chuyển động của vật 2.
Bài 4 : Trong bình hình trụ có chiều cao h1 = 30cm, tiết diện S1= 100cm2, chứa
nước có thể tích V = 1,2dm3. Người ta thả vào bình một thanh có tiết diện S2=
40cm2, chiều dài bằng chiều cao của bình. Hãy tìm khối lượng tối thiểu của
thanh để nó chìm đến đáy bình. Cho biết Dnước= 1g/cm3
Giải :
Mực nước trong bình có chiều cao là h khi chưa thả thanh vào
Áp dụng: V = S1. h Þ h=

V
1200
Þ h=
= 12cm
S1
100

Khi thả thanh vào bình thanh chịu 2 lực tác dụng, lực hút của trái đất P hướng
thẳng đứng xuống dưới, lực đẩy Acsimet FA hướng thẳng đứng lên trên
Ta có: P = 10.m (1)
(m: Khối lượng của thanh)
Nếu thanh chìm đến đáy thì lực đẩy Acsimet FA đạt giá trị cực đại. Lúc này thì

mực nước trong bình là :
ho =

V
1200
=
= 20 (cm) Þ
S 2 - S1 100 - 40

FA = 10.Dnước. S2. h0 (2)

Để thanh chìm đến đáy ta phải có P ³ FA
Từ (1), (2) Þ 10. m ³ 10. Dnước. S2. h0
Þ Khối lượng tối thiểu của thanh m = Dnước.S2. h0 = 1000.40.10-4 . 0,2 = 0,8 (kg)
Bài 5 : Trong một cái vại hình trụ tiết diện là S1 = 1200cm2, một cái thớt gỗ tiết
diện S2 = 900cm2 đang nằm ngang dưới đáy vại. Cần phải đổ một mực nước tối
thiểu là bao nhiêu vào vại thì chiếc thớt có thể nổi được. Cho biết Dnước= 1g/cm3,
Dgỗ = 800kg/m3, bề dày của thớt là 6cm
Giải:
FA
Khi thớt gỗ nổi trên nước thì nó chịu hai
lực tác dụng, lực đẩy Acsimet FA thẳng đứng từ
dưới lên, trọng lực P thẳng đứng từ trên xuống.
a
x
Để thớt gỗ nổi thì ta phải có FA ³ P
P
Giá trị nhỏ nhất của FA để có thể làm thớt
nổi là : FA = P
Û x. S2 . d nước = S2 .a .d.g

x là mực nước khi gỗ nổi, a bề dày của thớt
® x=

S 2.a.dg
a.dg
=
= 4,8 (cm)
S 2.dnc'
dnc'

19


Đây là mực nước có trong vại sau khi chứa thớt gỗ, vậy mức nước có trong vại
khi không có thớt ít nhất là:
lmin =

x ( S1 - S 2)
S1

=

4,8(1200 - 900)
= 1,2 (cm)
1200

Nhận xét: ở bài 4 và bài 5 phần kiến thức mấu chốt vật lý để giải là khi
vật nhúng trong chất lỏng, nó chịu hai lực tác dụng là lực hút của trái đất P và
lực đẩy ác si mét FA. Áp dụng cho từng bài ta có :
- Để thanh chìm thì P ³ FA (trong đó FA là lực đẩy ác si mét cực đại)

- Còn bài 5 để thớt gỗ nổi thì cần FA ³ P ( trong đó FA là giá trị nhỏ nhất
để làm thớt gỗ nổi được)
Qua 5 bài tập và nhận xét trên ta có những bài tập tương tự sau:
Bài 6 :
Hai người ban đầu ở các vị trí A và B trên hai con đường thẳng song song
với nhau và cách nhau một khoảng l = 540 m, AB vuông góc với hai con đường.
Giữa hai con đường là một cánh đồng. Người I chuyển động trên đường từ A
với vận tốc v1 = 4 m/s. Người II chuyển động từ B cùng lúc với người I và muốn
chuyển động đến gặp người này. Vận tốc chuyển động của người II khi đi trên
cánh đồng là v2 = 5 m/s và khi đi trên đường là v2’ = 13 m/s.
a) Người II đi trên cánh đồng từ B đến C và gặp người I tại C như Hình 1a. Tìm
thời gian chuyển động của hai người khi đi đến C và khoảng cách AC.
b) Người II đi trên đường từ B đến M, đi trên cánh đồng từ M đến D gặp người I
tại D như Hình 1b sao cho thời gian chuyển động của hai người đến lúc gặp
nhau là ngắn nhất. Tìm thời gian chuyển động này và các khoảng cách BM, AD.
C

A

B

A

B

Hình 1a

D

M

Hình 1b

Giải:
a) Gọi t là thời gian chuyển động thì: AC = v1t (1) và BC = v2t (2)
Theo đề bài ta có: AB2 + AC2 = BC2 Þ l 2 + v12 t 2 = v 22 t 2
Suy ra: t =

l
2
2

2
1

v -v

=

540
5 -4
2

2

= 180s

Thay vào (1): AC = v1t = 4.180 = 720m

20

b) Người I đi trên AD hết t1(s); người II đi trên BM hết t’(s) và đi trên MD hết
t(s).
Ta có: t1 = t + t’

A

N

B

M
Hình 1b

D

(3)

Trong tam giác vuông MND ta có:
MD2 = MN2 + ND2

Þ v 22 t 2 = l 2 + (v1t1 - v,2 t , ) 2
Û 25t 2 = 5402 + (4t1 - 13t , ) 2

(4)

Từ (3) rút ra: t = t1 – t’ rồi thay vào (4) và biến đổi ta được:

-16t ,2 + 6t , t1 + t12 - 32400 = 0

(5)

(5) là phương trình bậc hai đối với t’. Để phương trình này có nghiệm thì:
D , = 25t12 - 518400 ³ 0 Þ t1 ³ 144 (vì t1 > 0)
Vậy t1 nhỏ nhất bằng 144(s)
Khi đó t’ = 27(s)
Vậy BM = 13.27 = 351m; AD = 4.41 = 576m.
A

Bài 7 (HSG Vĩnh Phúc 2009 - 2010)
Một ôtô xuất phát từ điểm A trên cánh
a
đồng để đến điểm B trên sân vận động
N
y B’
D
x
(hình vẽ). Cánh đồng và sân vận động
O
A’
M
b
được ngăn cách nhau bởi con đường
B
thẳng D, khoảng cách từ A đến đường D
là a = 400m, khoảng cách từ B đến đường
D là b = 300m, khoảng cách AB = 2,8km. Biết tốc độ của ôtô trên cánh đồng là
v=3km/h, trên đường D là 5v/3, trên sân vận động là 4v/3. Hỏi ôtô phải đi đến
điểm M trên đường cách A’ một khoảng x và rời đường tại N cách B’ một
khoảng y bằng bao nhiêu để thời gian chuyển động là nhỏ nhất ? Xác định

khoảng thời gian nhỏ nhất đó?
Giải:
a
b

Xét hai tam giác vuông: D AOA’ ~ D BOB’ ® =
®

AO
BO

a + b AO + OB
0, 7 2,8
=
®
=
® OB = 1, 2km, OA = 1, 6km
b
OB
0,3 OB

A ' O = 1, 62 - 0, 42 = 0, 4 15 üï
ý Þ A ' B ' = 0, 7 15 km
B ' O = 1, 22 - 0,32 = 0,3 15 ïþ

Giả sử người phải đi theo đường AMNB. Đặt A’M = x, B’N = y, A’B’ = c

21

® điều kiện 0 £ x, y và (x + y) £ c.
Thời gian đi theo đường AMNB là:
x2 + a 2
3
3
+
y 2 + b 2 + ( c - x - y ) , (với v = 3km/h)
v
4v
5v
3x
1
y
Đặt: P(x ) = x 2 + a 2 - (1) và Q(y) = y 2 + b 2 - (2)
5
4
5
P 3Q 3C
® Ta có: T = x + y +
(3)
v
v
5v
T=

Từ (3) ta thấy để Tmin thì P(x)min và Q(y)min
(1) Þ P +

3x
= x 2 + a 2 ( P ³ 0; x ³ 0 ) ® 16x 2 - 30Px + 25 ( a 2 - P 2 ) = 0 (4)

5

Để (4) có nghiệm thì D’ ³ 0 « D ' = 225P 2 - 16.25 ( a 2 - P 2 ) ³ 0
Hay P 2 ³

16 2
4
a Þ Pmin = a (5)
25
5

Giá trị của Pmin ứng với nghiệm kép của (4) là: x =
Tương tự ta có: Q min =

30 P 3a
=
32
4

3b
4b
®y=
(6)
20
3

Thay (5) và (6) vào (3) ta được : Tmin =

(16a + 9b + 12c )
49 9b 3c

+
+
Þ Tmin =
50 20v 5v
20v

3a
= 0,3km = 300m ,
4
4b
y=
= 0, 4km = 400m
3

Thay số ta có: x =

Tmin = 0,6939h = 41ph38s.

Bài 8. Minh và Nam đứng ở hai điểm M, N cách nhau 750m trên một bãi sông.
Khoảng cách từ M đến sông là 150m, từ N đến sông là 600m. Tính thời gian
ngắn nhất để Minh chạy ra sông múc một thùng nước mang đến chỗ Nam. Cho
biết đoạn sông thẳng, vận tốc chạy của Minh không đổi là 2m/s, bỏ qua thời gian
múc nước.
Giải
Vì vận tốc của Minh không đổi nên để tốn ít thời gian nhất cần phải tìm ra
đường đi ngắn nhất.
Giả sử Minh đi theo đường MFN, ta có: MFN = MF + FN
Gọi N/ là điểm đối xứng với N qua bờ sông AB, ta có:
MFN = MF + FN/

22


Nối M với N/ cắt AB tại E.

N

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác MFN/ ta có:
MF + FN/ ³ MN/ = ME + EN
Þ MFN ³ ME + EN

Như vậy đường đi ngắn nhất là đường

M

C
B

MEN = MN/

A

E

F

Tính NC = NB – BC = NB – MA
NC = 600 – 150 = 450 m.
Tính MC: Xét tam giác vuông MCN có:
MC = MN 2 - NC2 = 750 2 - 4502 = 600m

N/

Tính N/C = N/B + BC = NB + MA =600 + 150 = 750 m
Tính MN/ =

MC2 + N / C2 = 6002 + 7502 = 150 41(m)

Thời gian ngắn nhất là: t =

150 41
» 480s = 8phút .
2

B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỆN.
Bài 1 : Cho mạch điện như hình vẽ, biết:
UAC = 10V, Ro = 4 W , R1 = 12 W , Rx là một
biến trở có giá trị thay đổi được từ 0 đến 12 W .
Bỏ qua điện trở các dây nối.
a)Xác định Rx để công suất tiêu thụ trên Rx đạt cực đại ?
Tìm giá trị cực đại này ?
b)Tìm Rx để công suất trên đoạn MC đạt cực đại và tìm giá trị này?
Giải:
a)Ta có sơ đồ mạch điện là : R0 nt ( R1 // Rx )
Điện trở tương đương của đoạn mạch AC là :
RAC = Ro +

R1.Rx
12 Rx
16 Rx + 48

=4+
=
R1 + Rx
12 + Rx
12 + Rx

Cường độ dòng điện qua toàn mạch là :
I=

U AC
R AC

=

10(12 + Rx)
16 Rx + 48
10(12 + Rx)
16 Rx + 48
10(12 + Rx) 12 Rx
120 Rx
=
.
=> Ux =
16 Rx + 48 (12 + Rx)
16 Rx + 48

Áp dụng tính chất của mạch nối tiếp ta được: IMC = I =
Vậy Ux = UMC = IMC .RMC

23

Vậy công suất tiêu thụ trên Rx là : Px =

U 2x
Rx

900
120 + R 2 x
1400 Rx
=
=
(1)
2
2
144
256 R x + 1536 Rx + 2304
(16 Rx + 48) Rx
16 Rx + 96 +
Rx
144
Từ (1) để Px (max) thì mẫu phải đạt min tức là (16Rx +
) đạt min.
Rx
144
Do 16Rx > 0;
> 0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
Rx
144
144

16Rx +
³ 2 16 Rx
= 96
Rx
Rx
144
Dấu bằng xảy ra khi: 16Rx =
Þ Rx = 3W ® Px = 4,68 w ( thỏa mãn điều kiện 0
Rx
< Rx £ 12W )

Px =

Kết luận: Khi Rx = 3 W thì công suất tiêu thụ trên Rx đạt giá trị cực đại là
4,68W.
b)Đặt điện trở của đoạn mạch MC là y khi đó công suất tiêu thụ trên MC là
PMC = I2MC . y =

U2y
10 2 y
100 y
100
=
= 2
=
2
2
16
( y + Ro)
( y + 4)

y + 8 y + 16
y +8+
y

(2)

Xét biểu thức (2) để PMC cực đại thì mẫu phải cực tiểu.
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương, ta có: y +
Dấu bằng xẩy ra khi y =

16
16
³ 2 y. = 8
y
y

16
Þ y=4
y
100
100
25
=
=
(W)
4+8+4
16
4

Vậy ta có

PMC (max) =

Mặt khác :

1
1
1
=
+
Þ Rx = 6 W < 12 W (thỏa mãn)
R1
RMC
Rx

Vậy với Rx = 6 W thì PMC(max) =

25
(W)
4

Bài 2: Cho mạch điện như hình vẽ, biết:
UMN = 18V (không đổi), Rx là một biến trở r = 4 W ,
Ro = 6 W , R1 = 6 W . Bỏ qua điện trở các dây nối.
Hãy tìm Rx để công suất tiêu thụ trên đoạn MK
đạt giá trị cực đại và tính giá trị này ?

24

Giải:
Theo đề bài ta có sơ đồ mạch điện: r nt [Ro // (R1 nt R2)]
Để đơn giản ta đặt điện trở đoạn mạch HK là y, khi đó ta có đoạn mạch HK
gồm r nối tiếp y.
Vậy công suất tiêu thụ trên y là: Py = Iy2.y =
Þ Py =

18 2 . y
U 2 .y
=
( y + r) 2
( y + 4) 2

324 y
324
=
(*)
16
y + 8 y + 16
y +8+
y
2

Xét biểu thức (*) Để Py đạt cực đại thì mẫu y + 8 +
đạt cực tiểu. Ta thấy y > 0 và
dương ta được: y +

16
> 0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số
y

16
16
16
³ 2 y. = 8. Dấu bằng xẩy ra khi y =
Þ y=4 W
y
y
y

Þ RHK = 4 W . Lúc này Py (max) =

Mặt khác :

16
16
đạt cực tiểu Û y +
y
y

324

= 20,25(W)

16
4+8+
4
1
1
1

1
1
1
=
+
Û
= +
Þ R1 + Rx = 12 W
RHK Ro
R1 + Rx
4
6
R1 + Rx

Vậy Rx = 12 – R1 = 12 – 6 = 6 W
Kết luận : Với Rx = 6 W thì công suất tiêu thụ trên đoạn MK đạt cực đại và giá
trị đó là PMK (max) = 20,25(W)
Nhận xét : Bài toán 1, 2 là dạng toán tìm công suất cực đại trên một điện
trở hoặc trên một đoạn mạch, thực tế có nhiều cách giải bài toán này nhưng tôi
thường hướng cho học sinh của tôi cách lập hàm P = f(x)
Sau đó đưa vào đặc điểm của P = f(x) mà có thể áp dụng trực tiếp bất đẳng
thức côsi hoặc biến đổi khéo léo, sau đó đặt ấn phụ rồi tiếp tục áp dụng bất
đẳng thức côsi để tìm cực trị như hai ví dụ trên.
Bài 3: Cho mạch điện như hình vẽ, biết:
U = 18V, Ro = 2 W , bóng đèn Đ có hiệu điện thế
định mức là 6V; biến trở MC có điện tổng cộng
là R. Bỏ qua điện trở dây nối và Ampe kế.
Điều chỉnh con chạy P sao cho dòng điện qua
Ampe kế là 1A và là giá trị nhỏ nhất, lúc này đèn
sáng bình thường. Tính công suất định mức của

đèn.

25