skkn TĂNG CƯỜNG vận DỤNG các bài TOÁN có nội DUNG THỰC TIỄN vào dạy học đại số 10

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT KIỆM TÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TĂNG CƯỜNG VẬN DỤNG CÁC BÀI TỐN
CĨ NỘI DUNG THỰC TIỄN VÀO DẠY MƠN
TỐN ĐẠI SỐ 10

GIÁO VIÊN : ĐINH VĂN LÊ

Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dc:

ă

Phng phỏp dy hc b mụn: Toỏn

ă

Phng phỏp giỏo dc:

ă

Lnh vc khỏc:

ă

Cú ớnh kốm:
ă Mụ hỡnh

ă Phn mm

ă Phim nh

ă Hiện vật khác

ĐỒNG NAI, THÁNG 4 NĂM 2015

1


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT KIỆM TÂN
------------------------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI

TĂNG CƯỜNG VẬN DỤNG CÁC BÀI TỐN
CĨ NỘI DUNG THỰC TIỄN VÀO DẠY MƠN
TỐN ĐẠI SỐ 10

Người thực hiện: Đinh Văn Lê
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giỏo dc:

ă

Phng phỏp dy hc b mụn: Toỏn

ă

Phng phỏp giỏo dc:

ă

Lnh vc khỏc:

ă

Cú ớnh kốm:
ă Mụ hỡnh

ă Phn mm

ă Phim nh

ă Hin vt khỏc

Nm hc: 2014 2015

2


SƠ YẾU LÍ LỊCH KHOA HỌC
1. THƠNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN.
Họ và tên: Đinh Văn Lê .
Ngày, tháng, năm sinh:14/07/1985.
Giới tính: nam
Địa chỉ: Bạch Lâm – Thống Nhất – Đồng Nai.

Điện thoại: 0982.573.962.
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Kiệm Tân.
2. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO.
Trình độ chun môn: Cử nhân sư phạm.
Năm nhận bằng: 2008.
Chuyên ngành đào tạo: Tốn.
3. KINH NGHIỆM KHOA HỌC.
Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Toán .
Số năm kinh nghiệm: 7 năm.
Các sáng kiến kinh nghiệm trong 5 năm gần đây : Một số sai lầm thường gặp và
phương pháp khử dạng vô định giới hạn hàm số.

MỤC LỤC
3


...............................................................................................................................15

4


TĂNG CƯỜNG VẬN DỤNG CÁC BÀI TỐN CĨ NỘI DUNG THỰC TIỄN
VÀO DẠY HỌC ĐẠI SỐ 10
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục
tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Chính vì
thế vai trị của các bài tốn có nội dung thực tế trong dạy học tốn là khơng thể
khơng đề cập đến.
Vai trị của tốn học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể

hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản
xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, tốn học thúc đẩy mạnh mẽ
các q trình tự động hố trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trở
thành cơng cụ thiết yếu của mọi khoa học. Tốn học có vai trị quan trọng như vậy
khơng phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy
thực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Toán học có
nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại tốn học là
cơng cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên.
Nội dung chương trình tốn lớp 10 là nội dung quan trọng vì nó có vị trí
chuyển tiếp và hồn thiện từ THCS lên THPT và có nhiều cơ hội để đưa nội
dung thực tiễn vào dạy học.
Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ tập
trung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học tốn ở kỹ năng vận dụng tư duy
tri thức trong nội bộ mơn tốn là chủ yếu cịn kĩ năng vận dụng tri thức trong
tốn học vào nhiều môn khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và
thường xun.
Những bài tốn có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất
cịn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình tốn phổ thơng.
Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và ý
thức ứng dụng, toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi ứng
dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường xuyên,
qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho tốn học khơng
trừu tượng khô khan và nhàm chán. Học sinh b iết vận dụng kiến thức đã học để
giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại. Qua đó càng làm
thêm sự nổ i bật nguyên lý: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động
sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia
đình và giáo dục xã hội”. Chính vì vậy tơi chọn đề tài: Tăng cường vận dụng các
bài tốn có nội dung thực tiễn vào dạy học nội dung mơn tốn Đại số 10 -THPT.

5

II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.1. Tính thực tiễn và phổ dụng của tốn học
2 .1.1. Tính thực tiễn và tính ứng dụng của tốn học.
Trong khoa học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường phải xây dựng
số phấn tử của tập hợp. Nếu số phần tử khơng nhiều thì ta có thể đếm trực tiếp số
phần tử của nó bằng cách liệt kê, tuy nhiên nếu số phần tử của một tập hợp là rất
lớn thì cách đếm trực tiếp là không khả thi hoặc phải tính tốn xem khả năng này
có xảy ra hay khơng? Nhưng những khả năng này không phải do bẩm sinh và
khơng phải tự nó thấm vào nhận thức của con người, nó là sản phẩm của sự
phát triển trong hàng thế kỉ của tư duy con người, xuất phát từ hoạt động thực
tiễn của họ.
Tóm lại tính thực tiễn của toán học thể hiện qua ứng dụng của toán học và
thực tiễn đời sống. Điều này không những chỉ để nâng cao kiến thức của học
sinh mà còn nhằm thực hiện nguyên lý giáo dục học đi đôi với hành, lý thuyết
gắn liền với thực tiễn, nhà trường gắn liền với xã hộ i.
2.1.2. Vai trị của tốn học trong nhiều lĩnh vực của khoa học khác
Toán học nghiên cứu những mố i quan hệ số lượng và hình dạng không
gian của thế giới khách quan. Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn của hai đại
lượng là mối quan hệ cơ bản thường gặp trong thực tiễn khoa học và đời
sống.. Điều đó nói lên vai trị tốn học được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực
của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, văn
học…
Những thành tựu to lớn trong thời đại của chúng ta ngày nay như năng
lượng điện tử, động cơ phản lực , vô tuyến điện tử… đều gắn liền với sự phát
triển của những ngành toán học như đại số tổ hợp, xác suất thống kê, hàm số
phức, giải tích hàm hình học Ơ-clít, hình học Aphin…
Cơ học và vật lý học không thể phát triển được nếu khơng có tốn học.
Những điều đáng chú ý nhất trong giai đoạn cách mạng kỹ thuật mới là bên cạnh

những ứng dụng của toán học vào kỹ thuật và sản xuất thơng qua vật lý và cơ
học thì những ứng dụng thông qua điều kiện học tăng lên không ngừng và ngày
càng quan trọng.
2.1.3. Lý luận và thực tiễn trong dạy học toán tại trường THPT
Trong học tập và nghiên cứu toán học. Để đạt được hiệu quả tốt đều cần có
sự hài hồ giữa lý luận và thực tiễn.
Lý luận là những chỉ dẫn giúp hoạt động thực tiễn của con người đi đúng
hướng. Ngược lại hoạt động thực tiễn cũng giúp lý luận có ý nghĩa hơn. Động
lực phát triển của toán học dựa vào mâu thuẫn giữa lý luận và thực tiễn như
ngơn ngữ tốn học chứa đúng hai mặt ngữ nghĩa và cú pháp.
Ngữ nghĩa xem xét những quan hệ giữa các kí hiệu và được biểu đạt qua kí
hiệu. Cú pháp nghiên cứu quan hệ giữa c ác kí hiệu.
Khi vận dụng vào tốn học cả hai mặt của ngơn ngữ tốn học thì đều quan
trọng như nhau. Nếu chỉ chú trọng về mặt cú pháp thì kiến thức tốn học của
học sinh sẽ mang tính chất hình thức, khơng vận dụng vào được thực tế.
Ví Dụ: Đo khoảng cách.
Hãy xác định chiều rộng của một khúc sông và v iệc đo đạc chỉ tiến hành
bên một bờ sông.
6


Chuẩn bị dụng cụ: Êke đạc, giác kế, thước cuộn, máy tính bỏ túi hoặc bảng
lượng giác.
Hướng dẫn học sinh thực hiện:
Coi hai bờ sông song song với nhau. Chọn một điểm B bên kia sông, lấy
một điểm A bên này sơng sao cho AB vng góc với các bờ sơng. Dùng Êke kẻ
đường thẳng Ax phía bên này sơng sao cho Ax vng góc với AB. Lấy một
điểm C trên Ax và đo AC. Giả sử đo AC = a, dùng giác kế đo góc ACB, dùng
máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác để tính tan ·ACB . Vậy chiều rộng của
khúc sông là:

AB = a. tan ·ACB
B

x
A

a

C

Nội dung giáo dục phổ thơng phải đảm bảo tính phổ thơng cơ bản, tồn
diện, hướng nghiệp và hệ thống, gắn bó thực tiễn cuộc sống, phù hợp với tâm
sinh lý lứa tuổ i của học sinh. Đáp ứng được mục tiêu giáo dục ở mỗi bậc học,
cấp học. Do tính tồn diện của nộ i dung giáo dục phổ thơng, của mục đích đang
học mơn tốn mà trong dạy học mơn tốn rất cần những phương pháp để thể
hiện được phương pháp luận của khoa học cùng với những kỹ thuật hoạt động,
thực tiễn, những ý tưởng về sự phản ánh thực tế vào toán học và những khẳng
định vai trị của tốn học trong thực tế.
Ví Dụ : Giá bán lẻ điện sinh hoạt được cho trong bảng sau ( chưa bao gồm thuế giá trị
gia tăng) :
Số kWh
0-50
51-100 101-200
201-300
301-400
Từ 401
trở lên
Giá(đ/ kWh)
1484
1533

1786
2242
2503
2587
Gia đình ơng A sử dụng hết 452 kWh. Hỏi ông A phải trả tiền điện bao
nhiêu ?
Biết thuế giá trị gia tăng là 10%.
Giải: Số tiền điện chưa bao gồm thuế gtgt là:
50.1484+50.1533+100.1786+100.2242+100.2503+52.2587=938474 (đ)
Số tiền điện ông A phải trả là: 938474.110%=1032321,4 (đ)
Ví Dụ : Khi học phần thống kê trong đại số lớp 10. Học sinh nắm được
7


thống kê là khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày, phân tích
và xử lý số liệu. Qua ví dụ sau:
Một cửa hàng bán quần áo thống kê số áo sơ mi nam đã bán trong một q
theo các cỡ khác nhau và có được bảng tần số sau:
Cỡ áo

36

37

38

39

40

41

42

Số áo bán được(n)

13

45

110

184

126

40

5

Điều mà cửa hàng quan tâm đến là cỡ áo nào được khách hàng mua nhiều
nhất. Bảng thống kê cho thấy cỡ áo bán được nhiều nhất là 39 (tức là giá trị 39
có tần số lớn nhất). Giá trị 39 chính là mốt của mẫu số liệu trên. Như vậy ý nghĩa
của khái niệm tần số và mốt đã rõ. Nó giúp cho người kinh doanh điều chỉnh
mặt hàng kinh doanh của mình để bán được nhiều hàng và thu lãi về nhiều nhất.
2.2. Tính thực tiễn trong nội dung tốn học Phổ thơng.
2.2.1. Mối liên hệ giữa thực tiễn và tốn
học.
Như ta đã biết, toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá những đối tượng vật
chất khác nhau. Toán học có quan hệ mật thiết với thực tiễn, những mối quan hệ

có tính qui luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng, những điều mà con người chưa
biết, cần phải tìm tịi và giải quyết. Tốn học là một dạng phản ánh thực tế khách
quan, cụ thể là:
+ Phản ánh nguồn gốc của toán học: Nhận thấy toán học là xuất phát từ
thực tiễn lao động của con người, do nhu cầu của con người trong quá trình lao
động sản xuất, khám phá tự nhiên. Số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm, hình học
xuất hiện do nhu cầu đo đạc…
+ Phản ánh thực tiễn của toán học, sự phân tích những điều kiện cụ thể của
q trình phát triển của đối tượng và ý nghĩa của toán học đã chỉ ra rằng thực
tiễn không những chỉ là nguồn gốc và động lực của sự phát triển toán học mà
còn là tiêu chuẩn chân lý của mỗi một lý thuyết toán học. Mỗi lý thuyết toán học
đều trực tiếp hay gián tiếp phản ánh những hiện tượng, những đại lượng, những
qui luật, những mố i quan hệ có trong thực tiễn. Khái niệm tập hợp phản ánh
một nhóm hữu hạn hay vô hạn các vật, các đối tượng trong thực tế, hàm số y
= ax phản ánh mối quan hệ giữa số tiền phải trả với lượng hàng hoá cần mua,
trong hình học khái niệm véc tơ phản ánh những đại lượng đặc trưng không
chỉ về hướng, độ dài mà còn phản ánh về độ lớn, vận tốc, lực…
+ Phản ánh ứng dụng thực tế trong toán học thực tế là nguồn gốc của mọi
lý thuyết toán học, nhưng sau khi ra đời các lý thuyết toán học lại quay lại phục
vụ con người trong hoạt động thực tiễn, là công cụ đắc lực giúp con người giải
quyết các vấn đề khó khăn trong lao động xã hội và trong kỹ thuật. Ứng dụng
thực tế trong toán học cho học sinh thấy được rằng trong phần giải tam giác của
chương trình hình học lớp 10 đã vận dụng lượng giác để cho những khoảng cách
không tới được như khoảng cách của bờ sông bên này đến bờ sông bên kia,
khoảng cách của một toà nhà cao, ứng dụng thống kê để tính sản lượng cao thu
lãi lớn… Muốn vậy cần tăng cường cho học sinh tiếp cận với những bài tốn có
nội dung thực tế. Xuất phát từ những nhu cầu trong thực tiễn để giải thích các
hiện tượng trong khi học lý thuyết cũng như làm bài tập.
8

Tóm lại: Mố i quan hệ tốn học và thực tiễn gồm bao hàm tất cả các tính
phổ dụng, tính tồn bộ, tính nhiều tầng.
2. 2.2. Tình hình ứng dụng của tốn học trong nhà trường phổ thơng.
Quan điểm và làm rõ mạch toán ứng dụng và ứng dụng toán học đã được
nhấn mạnh trong dự thảo chương trình mơn toán cải cách giáo dục. Tuy vậy,
việc quán triệt tinh thần của quan điểm đó trên thực tế vẫn cị n những tồn tại ,
cần có những phương hướng cụ thể và biện pháp tích cực để khắc phục. Việc
dạy học tốn ở nhà trường phổ thơng hiện nay đang rơi vào tình trạng bị coi nhẹ
thực hành và ứng dụng toán học vào đời sống. Mối liên hệ toán học với thực tế
là cịn yếu, học sinh ít được về mặt tốn học hố các tình huống bắt đầu từ
những vấn đề trong cuộc sống thực tiễn.
- Trong quá trình đánh giá, thơng qua các kỳ thi, chẳng hạn kỳ thi tốt
nghiệp phổ thông hay tuyển s inh vào các trường chuyên nghiệp, vào các trường
đại học hầu như các ứng dụng ngồi tốn học đều khơng được đề cập đến. Điều
đó khiến cho học sinh, thậm chí cả giáo viên coi nhẹ vấn đề học và dạy ứng
dụng toán học vào thực tế. Ảnh hưởng của sách giáo khoa và tài liệu tham khảo,
lối dạy phục vụ cho thi cử ( chỉ chú ý những nội dung để học sinh đi thi ) như
hiện nay là một nguyên nhân góp phần tạo ra tình trạng này.
- Trong q trình dạy học mơn tốn phải làm cho học sinh nhận thức được
đúng và đầy đủ rằng mơn tốn là một khoa học nghiên cứu về tương quan số
lượng và hình dạng trong khơng gian của thế giới khách quan.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN VÀ CÁC GIẢI PHÁP
Mơn tốn có liên hệ chặt chẽ với khoa học toán học, toán học đang phát
triển như vũ bão, ngày càng xâm nhập vào các lĩnh vực khoa học công nghệ và
đời sống. Tốn học phản ánh ở trong nhà trường phổ thơng là cơ bản là nền tảng
được sắp xếp thành một hệ thống và đảm bảo tính khoa học, tính tư tưởng để
tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào
cuộc sống lao động.
Việc đảm bảo chất lượng phổ cập xuất phát từ yêu cầu khách quan của xã

hội và từ khả năng thực tế của học sinh học khẳng định rằng mọi học sinh có sức
học bình thường đều có thể tiếp thu một nền văn hố phổ thơng, trong đó có học
vấn tốn học phổ thơng.
Sau đây là nộ i dung vắn tắt giới thiệu chương trình tốn trung học phổ
thơng ở lớp 10 phần đại số.
Chương I. Mệnh đề- Tập hợp
Chương II. Hàm số bậc nhất và bậc hai
Chương III. Phương trình - Hệ phương trình
Chương IV. Bất đẳng thức - Bất phương
trình Chương V. Thống kê
Chương VI. Cung và góc lượng giác. Công thức lượng gi ác
3.1. Phương pháp chung để giải các bài tốn có nội dung thực tiễn.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những ý khác nhau về
phương pháp dạy học: Đảm bảo được trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc
với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Kết quả của lời giải phải đáp ứng do
nhu cầu thực tế đặt ra.
Ta đã biết rằng khơng có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán, ngay
9


cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp
khơng có thuật giải. Bài toán thực tiễn trong cuộc sống là rất đa dạng, phong phú
xuất phát từ những nhu cầu khác nhau trong lao động sản xuất của con người.
Do vậy càng không thể có một thuật giải chung để giải quyết các bài toán thực
tiễn. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tịi,
phát hiện cách giải bài tốn lại là có thể và cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với cách thức giải bài toán đã
được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, kết hợp với những đặc thù riêng
của bài toán thực tiễn, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài tốn có
nội dung thực tiễn như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài tốn. Tốn học hố bài tốn, chuyển bài
tốn với những ngơn ngữ, những sự kiện trong cuộc sống thực tế thành bài tốn
với ngơn ngữ toán học, các dữ kiện được biểu thị bằng các ẩn số, các con
số,…Các ràng buộc giữa các yếu tố trong bài toán thực tiễn được chuyển thành
các biểu thức, các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình tốn học…
Bước này có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc giải quyết một bài tốn có
nội dung thực tiễn, đồng thời nó cũng phản ánh khả năng, trình độ của người
học đối với việc hiểu và vận dụng các tri thức tốn học.
Bước 2: Tìm cách giải cho bài tốn đã được thiết lập. Tìm tịi, phát hiện
cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đốn: Biến đổi cái phải tìm hay
phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết,
liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một
bài tốn tổng qt hơn hay một bài tốn nào đó có liên quan, sử dụng những
phương pháp đặc thù với những dạng toán.
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan…
Bước 3: Trình bày lời giải. Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các
việc phải làm thành một chương trình gồm các bước thực hiện theo một trình tự
thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Đưa ra kết luận cuối cùng cho yêu cầu của bài toán thực tiễn,
thường là một kết quả đo đạc, một phương án, một kế hoạch sản xuất… Do thực
tiễn đặt ra. Đồng thời cần có sự nghiên cứu sâu lời giải, nghiên cứu khả năng
ứng dụng của kết quả của lời giải. Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng
hay lật ngược vấn đề. Đây là hoạt động nhằm phát huy khả năng tư duy, tìm tịi
sáng tạo học sinh.
Để trang bị cho HS tri thức phương pháp giải bài tốn có nội dung thực tiễn
như đã nêu trên và cần tăng cường rèn luyện cho học sinh khả năng và thó i quen
ứng dụng kiến thức, kỹ năng và phương pháp toán học vào những tình huống cụ
thể khác nhau ( trong học tập, trong lao động sản xuất, trong đời sống…)
3.2. Xây dựng hệ thống các ví dụ và bài tốn có nội dung thực tiễn

trong dạy học đại số 10
3.2.1. Chương1: Mệnh đề - Tập hợp
A. Tóm tắt kiến thức cơ bản chương I: Mệnh đề - tập hợp.
+ Một mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
Một câu khẳng đ ịnh đúng gọi là một mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi
là một mệnh đề sai.
+ Cho mệnh đề P. Mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định
10


của P và kí hiệu là P
+ Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “Nếu P thì Q” được gọi là
mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P ⇒ Q
+ Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “ P nếu và chỉ nếu Q” được
gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q .
+ Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A ∩ B
+ Hiệu của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A\ B
B. Các ví dụ và các bài tập có nội dung thực tế được ứng dụng trong lí
thuyết và bài tập.
Trong chương I: Mệnh đề - tập hợp phần đại số lớp 10 cung cấp cho học
sinh kiến thức mở đầu về lơ gíc tốn và tập hợp . Các khái niệm và các phép toán
về mệnh đề và tập hợp sẽ giúp chúng ta d iễn đạt các nội dung tốn học thêm rõ
ràng và chính xác, đồng thời giúp chúng ta hiểu đầy đủ hơn về suy luận và
chứng minh trong toán học. Bởi vậy chương này có ý nghĩa quan trọng đối với
việc học tập hợp mơn tốn.
Ta sẽ minh chứng điều đó qua một bài số học thể hiện được tính ứng dụng
rộng rãi của mệnh đề để củng cố.
*Ứng dụng trong dạy lí thuyết
Chẳng hạn:
1. “Pari là thủ đơ của nước Pháp” là mệnh đề đúng.

2. “Việt Nam nằm ở Châu Âu” là mệnh đề sai.
3. “20 là số chẵn” là mệnh đề đúng.
4. “15 lớn hơn 30” là mệnh đề sai.
5. Các câu sau: “Cuốn sách này giá bao nhiêu
tiền?”. “Bao giờ lớp mình đi thăm quan Hà Nộ i?”.
“Tất cả hãy anh dũng tiến lên”
đều không phải là mệnh đề.
- Mệnh đề phủ định.
Ví Dụ : Nếu C = “Chuyến tàu TN1 hơm nay bãi bỏ” thì mệnh đề phủ đ ịnh
C có thể diễn đạt như sau: “Chuyến tàu TN1 hôm nay không bãi
bỏ”.
Nếu qua xác minh mệnh đề C đúng thì mệnh đề phủ định C sẽ sai và ngược lại.
+ Mệnh đề kéo theo.
Mệnh đề kéo theo thường được diễn tả dưới hình thức khác, chẳng hạn:
“a suy ra b”.
“Nếu a thì b”.
“Có a khi có b”.
Ví Dụ : “Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 600 thì tam giác ABC là một
tam giác đều.”
Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn tả như
sau:
“ Bao giờ bánh đúc có xương,
Bấy giờ gì ghẻ mới thương con chồng”.
Hoặc “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa,
Bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”.
11


* Áp dụng mệnh đề - tập hợp vào phần bài tập
+Sử dụng biểu đồ Ven đề giải bài toán tập

hợp.
Bài 1: Trong một buôn làng của người dân tộc, cư dân có thể nói được
tiếng dân tộc, có thể nói được tiếng kinh hoặc nói được cả hai thứ tiếng. Kết quả
của một đợt điều tra cơ bản cho biết.
- Có 912 người nói tiếng dân tộc;
- Có 653 người nói tiếng kinh;
- Có 435 người nói được cả hai thứ tiếng.
Hỏi bn làng có bao nhiêu cư dân?
Giải.
Ta vẽ hai hình trịn. Hình A kí hiệu cho số cư dân nói tiếng dân tộc. Hình B
kí hiệu cho số cư dân nói tiếng kinh. Ta gọi số phần tử của một tập hữu hạn A
bất kỳ là n(A).

A
912

435

B
653

Như vậy:
n(A) = 912; n(B) = 653; n( A ∩ B ) =435.
Ta cần tìm số phần tử của tập hợp A hợp B. Trước hết, ta cộng các số n(A)
và n(B). Nhưng như vậy thì những phần tử thuộc vào giao của A và B được kể
làm hai lần. Do vậy từ tổng n(A) + n(B) ta phải trừ đi n( A ∩ B ) và được: n
( A ∪ B ) = n(A) + n(B) –n( A ∩ B ) (1)
Thay các giá trị này của n(A); n(B); n( A ∩ B ) ta được
n ( A ∪ B ) = 912 + 653 – 435 =1130.
Đáp số: Cư dân của bn làng 1130 người.

Từ bài tốn trên cơng thức (1) đúng với mọi tập hợp A, B bất kỳ.
Bài 2:
Trong số 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp loại học lực giỏi, 20
bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa học giỏi, vừa có hạnh kiểm
tốt. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen
thưởng bạn đó phải có học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt.
Giải:
Ta vẽ hai hình trịn. Hình A kí hiệu cho số học sinh xếp loại học lực giỏi.
12


Hình B kí hiệu cho s ố h ọ c s i n h c ó h ạ n h k i ể m t ố t .

A
15

10

B
20

Như vậy:
n(A) = 15; n(B) = 20; n( A ∩ B ) =435.
Ta cần tìm số phần tử của tập hợp A hợp B. Trước hết, ta cộng các số n(A)
và n(B). Nhưng như vậy thì những phần tử thuộc vào giao của A và B được kể
làm hai lần. Do vậy từ tổng n(A) + n(B) ta phải trừ đi n( A ∩ B ) và được:
n ( A ∪ B ) = n(A) + n(B) –n( A ∩ B ) (1)
Thay các giá trị này của n(A); n(B); n( A ∩ B ) ta được:
n ( A ∪ B ) = 15 + 20 – 10 =25.
Đáp số: Có 25 bạn được khen thưởng.

3.2.2. Chương II: Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai
A. Tóm tắt kiến thức cơ bản chương II
+Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b với a ≠ 0 , tập xác
định R. Khi a >0, hàm số y = ax + b đồng biến trên R.
Khi a < 0, hàm số y = ax + b nghịch biến trên R.
Đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳng, có hệ số góc a.
2
+ Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax +bx +c, trong đó a,b.c là các
hằng
số và a ≠ 0 .
−b −∆



Đồ thị hàm số bậc hai là một parabol có đỉnh I  ; ÷, có trục đối xứng là đường
 2a 4a 

thẳng x =

−b
, có bề lõm quay lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0.
2a

B. Các ví dụ và bài tốn có nội dung thực tế được ứng dụng trong lí thuyết và
bài tập.
*Ứng dụng trong lí thuyết
+ Hàm số bậc nhất.
Trong cuộc sống và trong tự nhiên có rất nhiều các sự vật, hiện tượng có
quan hệ với nhau theo mối tương quan hàm số chẳng hạn để củng cố khái niệm
hàm số, ta cho học sinh biết về một số hàm số tốn học và thể hiện hàm số đó

trong thực tiễn, hoặc các em tự tìm ra những mối quan hệ giữa các sự vật, hiện
tượng xung quanh thể hiện là mối tương quan hàm số.
13


Chú trọng qua các ví dụ và bài tập sát với thực tiễn cuộc sống và gắn bó
với các mơn học khác. Chẳng hạn có nhiều câu hỏi, bài tập liên quan đến luật
giao thơng, liên quan đến kinh tế…
Ví dụ: Thông qua thực tế khái niệm về hàm số theo tình hình kinh tế và
xã hội của đất nước như: Theo thơng báo của ngân hàng AGRIBANK, ta có
bảng dưới đây về lãi suất gửi tiết kiệm kiểu bậc thang với số tiền gửi tiết kiệm
VND, được áp dụng từ ngày 30/6/2014.
Kì hạn (số tháng)

1

2

3

6

12

15

Lãi suất (% tháng)

18.0

18.15

18.30

18.35

18.40

17.90

Bảng này thể hiện sự phụ thuộc giữa lãi suất % theo tháng ( kí hiệu là y)
là hàm số của kì hạn x (tính theo tháng).
+ Hàm số bậc hai: Thấy được ý nghĩa của hàm số và đồ thị hàm số bậc hai
trong đời sống thực tế, đó là đường parabol.
Trong cuộc sống hàng ngày chúng ta thường gặp những hình ảnh của
đường parabol. Như khi ta ngắm các đài phun nước, hoặc được chiêm ngưỡng
cảnh bắn pháo hoa muôn màu, mn sắc. Nhiều cơng trình kiến trúc cũng được
tạo dáng theo hình parabol, như cây cầu, vịm nhà, cổng ra vào… Điều đó khơng
chỉ đảm bảo tính bền vững mà cịn tạo nên những vẻ đẹp của cơng trình.
*Ứng dụng trong bài tập
Bài tập 1: Một hãng taxi qui đ ịnh giá thuê xe đ i mỗ i kilômét là 6
nghìn đồng đối với 10 km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng với các km tiếp theo. Một
hành
khách thuê taxi đ i quãng đường x kilômét phải trả số tiền là y nghìn đồng. Trong
đó y là một hàm số của x.
a) Hãy biểu diễn y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng [0;10] và
khoảng
(10; +∞ )
b) Tính f(8), f(10) và f(18).
Gợi ý

a) Khi 0 ≤ x ≤ 10 , số tiền phải trả là f(x) = 6x.
Khi x > 10, số tiền phải trả là f(x) = 6.10 +2,5.(x -10)= 2,5x + 35
khi 0 ≤ x ≤ 10
 6x
2.5 x + 35 khi x > 10

Vậy ta có hàm số: f ( x) = 

b) Từ công thức trên suy ra:
f(8) = 6.8 = 48; f(10) = 6.10 = 60; f(18) = 2,5. 18 + 35 = 80.
+Hàm số bậc hai
Bài tốn bóng đá:
Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống.
Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với toạ độ
0 t.h, trong đó t là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng được đá lên, h
14


là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ
cao 1,2m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ
cao 6 m.
a) Hãy tìm hàm số bậc hai b iểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ
thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.
b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng
c) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên
Gợi ý:
2
a) Giả sử h = f(t) = at + bt +c. Ta cần tìm các hệ số a, b và
c. Theo giả thiết, quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2m, nghĩa
là:

f(0) = c= 1,2.
Sau đó 1 giây, nó đạt được độ cao 8,5m nên:
f(1) = a + b + 1,2 = 8,5.
Sau khi đá 2 giây, quả bóng ở độ cao 6m, nghĩa là:
f(2) = 4a + 2b + 1,2 = 6.
Thu gọn các hệ thức trên, ta có hệ phương trình bậc nhất.
 a + b = 7.3
a = −4.9
⇔

2a + b = 2.4
 b = 12.2

Vậy hàm số cần tìm là: f (t ) = −4.9t 2 + 12.2t + 1.2

b) Độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh parabol, cụ thể là:
 −b 
f  ÷ ≈ 8.794
 2a 
c) Giải phương trình: −4.9t 2 + 12.2t + 1.2 = 0 , ta được hai nghiệm gần đúng
là: t1 = -0,09 và t2 = 2,58 (loại giá trị âm), ta được kết quả là: Quả bóng chạm đất sau
gần 2,58 giây.

Bài toán về cổng Ác – xơ (Asch).
Khi du lịch đến thành phố Lui (Mĩ) ta sẽ thấy một cái cổng lớn dạng Parabol bề
lõm quay xuống dưới. Đó là cổng Acxơ ( hình vẽ ) .

15

Làm thế nào để tính chiều cao của cổng (khoảng cách từ điểm cao nhất của cổng
đến mặt đất)
Vấn đề đặt ra:

y

Tính chiều cao của cổng khi ta khơng thể dùng dụng cụ đo đạc để đo trực tiếp.

Cổng dạng Parabol có thể xem là đồ thị của hàm số bậc hai, chiều cao của cổng
tương ứng với đỉnh của Parabol. Do đó vấn đề được giải quyết nếu ta biết hàm số bậc
hai nhận cổng làm đồ thị
Đơn giản vấn đề : chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng một chân
M vẽ)
của cổng (như hình
Dựa vào đồ thị ta thấy chiều cao chính là tung độ của đỉnh Parabol.
Như vậy vấn đề được giải quyết nếu ta biết hàm số bậc hai nhận cổng Acxơ làm
đồ thị .
Phương án giải quyết đề nghị:

B

x

O biết hàm số bậc hai có dạng: y = ax 2 + bx + c . Do vậy muốn biết được đồ thị
Ta
hàm số nhận cổng làm đồ thị thì ta cần biết ít nhất tọa độ của 3 điểm nằm trên đồ thị
chẳng hạn O, M, B
Rõ ràng O(0,0); M(x,y); B(b,0). Ta phải tiến hành đo đạc để nắm số liệu cấn
thiết.
Đối với trường hợp này ta cần đo: khoảng cách giữa hai chân cổng, và môt điểm

M bất kỳ chẳng hạn b = 162, x = 10, y = 43

16


Ta viết được hàm số bậc hai lúc này là : y =

− 43 2 3483
x +
x
1320
700

Đỉnh S(81m;185,6m)
Vậy trong trường hợp này cổng cao 185,6m. Trên thực tế cổng Acxơ cao 186m.
3.2.3. Chương III. Phương trình và hệ phương trình.
Chương IV. Bất đẳng thức và bất phương trình
-

A. Tóm tắt kiến thức cơ bản của chương III và chương IV
Các phép biến đổi tương đương các phương trình
Phép biến đổi cho phương trình hệ quả
Giải và b iện luận phương trình ax + b = 0
2
Giải và b iện luận phương trình bậc hai ax + bx + c =0 (a ≠ 0)

- Giải và b iện luận phương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Định Vi-ét (thuận và đảo)
- Giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn
- Các tính chất của bất đẳng thức. Bất đẳng thức Cơ-si và bất đẳng thức chứa

giá trị tuyệt đối.
Bất phương trình tương đương
- Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, định lí về dấu của nhị
thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
- Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc hai.
- Một số phương trình và bất phương trình qui về bậc hai.
B. Các ví dụ và bài tốn có nội dung thực tế được ứng dụng trong lí
thuyết và bài tập.
Rèn luyện cho HS khả năng sử dụng những b iểu thức chứa biến để b iểu thị
những tình huống thực tế đó là trong dạy học cần chú trọng cho HS lập phương trình
là tập luyện cho họ biểu thị những tình huống thực tế bằng những biểu thức có chứa
những biến đại diện cho những đại lượng chưa biết. Cần tập cho HS một mặt b iết
chuyển từ những tình huống thực tế sang những biểu thức biểu thị chúng và mặt khác
biết chuyển từ những biểu thức sang những tình huống thực tế phù hợp với chúng
chính vì thế ta nên tiến hành theo từng bước sau:
a/ Đặt ấn số. Ẩn số là cái chưa biết, cái phải tìm. Thơng thường bài tốn
u cầu tìm cái gì thì ta đặt cái đó làm ẩn. Cũng có khi ta đặt những bài toán và
với cách đặt ẩn như thế mà phương trình lập nên q phức tạp hoặc khó khăn thì
cần thay đổi cách chọn ẩn hoặc chọn thêm ẩn. Ẩn mà ta chọn phải liên quan đến cái
cần tìm và cho phép ta lập phương trình dễ dàng hơn.
b/ Lập phương trình. Sau khi đặt ẩn ( nêu đ iều kiện cho ẩn nếu có ) ta tiến hành
b iểu thị các đại lượng qua các số đã biết và ẩn số. để lập được phương trình (các
phương trình) ứng với bài tốn cần giải, ta cố gắng hình dung thật cụ thể và rõ ràng đ
iều kiện của bài tốn ( quan hệ giữa cái cần tìm, cái chưa b iết và những cái đã cho).
Trong những trường hợp phức tạp, ta phải phân tích, tách ra từng phần, phiên d ịch
mỗi phần theo ngôn ngữ đại số, sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí, sau đó kết
hợp những phần đã nó i để có thể biểu d iễn cùng một đại lượng bằng hai cách khác
nhau thành một đẳng thức. Như vậy ta sẽ có phương trình.
17

Thơng thường ở mỗi bài tốn ta đưa ra bao nhiêu ẩn, cần thiết lập bấy nhiêu
phương trình. Cũng có những trường hợp ngoại lệ: ta đưa thêm ẩn phụ vào và sau
đó khử được ẩn đó đi hoặc có trường hợp dẫn đến PT nghiệm nguyên.
Chú ý: trong những bài tốn thực tế giải bằng cách lập phương trình (hệ
phương trình, bất phương trình) có những đại lượng liên quan chặt chẽ với nhau khi
nó i đến đại lượng này ta phải nghĩ ngay đến đại lượng kia dù trong bài tốn khơng
nói đến đại lượng quan hệ đó.
c/ Trình tự các bước trong lời giải bài tốn bằng cách lập phương trình
(HPT, BPT)
- Chọn ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn (nếu có)
- Biểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho
- Lập phương trình (HPT, BPT)
- Chọn nghiệm thích hợp trả lời.
Vai trò PT, HPT, BPH đối với đời sống thực tiễn được thể hiện rất phong
phú, đa dạng ở nhiều lĩnh vực, Giúp con người giải quyết các bài toán trong cuộc
sống như về kinh tế, kỹ thuật,..Thông qua một số ví dụ sau:
+ Tốn tìm số.
Bài tốn 1. Số trứng ở rổ thứ nhất gấp đôi số trứng ở rổ thứ hai. Nếu bớt đi
20 quả ở rổ thứ nhất và bỏ thêm 10 quả vào rổ thứ hai thì số trứng ở rổ thứ nhất gấp

4
3

Lần số trứng ở rổ thứ hai. Tính số trứng ban đầu ở mỗi rổ ?
Trước những bài toán thực tế trên, điều quan trọng là phải hướng dẫn học sinh phân
tích bài tốn để biết được trong bài tốn có những đại lượng nào ?
quan hệ giữa chúng ra sao ? toán học hoá các đại lượng và các mối quan hệ ấy ?
Trong ví dụ của bài tốn trên, ta gặp các đại lượng. Số trứng ở rổ thứ nhất
(chưa biết) gấp đơi số trướng ở rổ thứ hai (chưa biết) chính vì thế cần chọn ẩn là các

đại lượng chưa biết.
Ta gọi số trứng ở rổ thứ nhất và ở rổ thứ hai theo thứ tự là x và y (x>y>0)
Theo bài ra quan hệ giữa số trứng thêm, bớt ở rổ thứ nhất và rổ thứ hai là bước
tiếp theo là toán học hoá các đại lượng và mố i quan hệ giữa chúng thì tỉ số giữa số
trứng ở hai rổ sau khi thêm bớt là:

x − 20 4
=
y + 10 3

Gọi số trứng ở rổ thứ nhất và ở rổ thứ hai theo thứ tự xvà y (x>y và x,y
nguyên dương).
 x − 20 4
=

Theo đầu bài ta có phương trình:  y + 10 3
 x = 2y


Giải ra tìm được x=100; y=50. Thoả mãn điều kiện đầu bài, Vậy rổ trứng thứ
nhất có 100 quả, rổ trứng thứ hai có 50 quả.
Bài tốn 2.Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng các bình phương của chúng là 157.
 x + y = 17
2
2
 x + y = 157

Nếu ta đặt ẩn với cả hai số là x và y thì ta có ngay hệ phương trình 

18

Bài toán trên cố thể sử dụng kiến thức đơn giản hơn, phù hợp với đa phần học
sinh, có thể chuyển sang chỉ tìm một số rồi từ đó tìm số kia sau. Vì lẽ đó ta sắp xếp
và viết bài toán dưới dạng:
Số thứ nhất là x số
thứ hai là 17-x
Tổng các bình phương của chúng là 157. Khi đó ta có phương trình:
x 2 + (17 − x ) 2 = 157

Giải phương trình ta có hai số là 6 và 11
Bài toán 3.(bài toán cổ)
Quýt, cam mười bảy quả tươi
Đem chia cho một trăm người cùng vui
Chia ba mỗi quả quýt rồi.
Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh
Trăm người trăm miếng ngọt lành
Quýt, cam mỗi loại tính rành là sao?
Hướng dẫn giải:
Gọi x là số quả quýt và y là số quả cam. điều kiện: x,y <17; x, y ∈ ¥
Theo đề bài ta có: x+y=17
Chia ba mỗi quả quýt và chia mười mỗi quả cam được một trăm miếng,
nghĩa là: 3x+10y=100
 x + y = 17
Ta có hệ phương trình : 
3 x + 10 y = 100
Giải hệ phương trình ta được: x=10; y=7
Hai số x và y tìm được thoả mãn điều kiện của bài tốn.
Vậy có 10 quả qt và 7 quả cam.
+Tốn năng suất

Bài tốn 1. Hai cơng nhân cùng làm một cơng việc thì sau 5giờ 50 phút sẽ hồn
thành. Sau khi làm chung được 5 giờ thì một người phải đ iều đi làm việc khác nên
người kia phải làm tiếp trong 2 giờ nữa mới xong công việc. Hỏi nếu một mình thì
mỗi người phải làm trong bao lâu ?
Gợi ý.
Gọi x, y là số giờ mà mỗ i người phải làm một mình sẽ xong cơng việc, thì
trong một giờ người thứ nhất làm được

1
1
cơng việc, người thứ hai làm được
công
y
x

việc (x, y > 0 ).
Cả hai người cùng làm xong công việc trong 5giờ 50 phút bằng

35
giờ, do đó trong một
6

1
6
1 1 6
=
giờ cả hai người cung là được 35 35 cơng việc. Ta có phương trình + =
(1)
x y 35
6

19


1 1
Trong 5 giờ làm chung cả hai người làm được 5  + ÷ cơng việc. Người thứ hai làm
x y
2
1 1 2
tiếp trong hai giờ được . Ta có phương trình 5  + ÷+ = 1 (2)
y
x y y
 1 1 6
 x + y = 35

Từ (1) và (2) ta có hệ pt : 
5  1 + 1  + 2 = 1
  x y ÷
 y
Giải ra tìm được x=10, y=14 thoả mãn điều kiện bài tốn.
Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất phải làm hết 10 giờ;
Người thứ hai phải làm 14 giờ mới làm xong cơng việc.
Bài tốn 2. Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu
đồng, kể cả thuế gía trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và
8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì
người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người
đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng ?
Giải:
Giả sử không kể thuế VAT, người mua hàng phải trả x (triệu ) đồng cho
loại hàng thứ nhất; y (triệu) đồng cho loại hàng thứ hai.
- Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể cả thuế VAT 10%) là

10 x 110 x
x+
=
triệu đồng, cho loại hàng thứ hai (kể cả thuế VAT 8%) là
100 100
8 y 108 y
=
triệu đồng, cho loại hàng thứ hai . Ta
100 100
110 x 108 y
+
= 2.17 ⇔ 1.1x + 1.08 y = 2.17
100
100
y+

có

phương

trình

Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là
9( x + y )
x+ y+
= 2.18 ⇔ 1.09 x + 1.09 y = 2.18
100
 1.1x + 1.08 y = 2.17
 x = 0.5
⇔

Từ đó ta có hệ phương trình 
1.09 x + 1.09 y = 2.18
 y = 1.5
Vậy nếu khơng kể thuế VAT thì người mua hàng phải trả 0,5 triệu đồng cho loại
hàng thứ nhất và 1,5 triệu đồng cho loại hàng thứ hai.

20


Áp dụng vào bài toán kinh tế
Bài toán: Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm kí
hiệu là I và II.
Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu
đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1 trong 3 giờ và
máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại II cần dùng máy M1
trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng
thời hai loại sản phẩm. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy M2
một ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ. Hãy đặt kế hoạch sản xuất sao cho tổng số
tiền lãi cao nhất.
- Đại lượng cần quan tâm: sản lượng (tính bằng tấn) sản phẩm loại I và II sản
xuất được.
- Tổng tiền lãi thu được: 2 triệu x lượng sản phẩm loại I + 1,6 triệu x lượng
sản phẩm loại II.
- Để có 1 tấn sản phẩm loại I cần : máy M1 làm 3giờ + máy M2 làm 1 giờ.
- Để có 1 tấn sản phẩm loại II cần: Máy M1 làm 1 giờ + Máy M2 làm 1 giờ.
- Như vậy ta có thể biết được thời gian làm việc của từng máy để làm ra được
sản lượng của sản phẩm theo kế hoạch nào đó.
Khi đó học sinh sẽ nhận ra rằng: Bắt đầu bằng việc đặt ẩn số cho hai đại
lượng chưa biết là Sản phẩm loại I, II. Các yếu tố khác sẽ được biểu thị qua hai ẩn số
này. Cụ thể là:

Gọi sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất theo kế hoạch trong một ngày
lần lượt là x, y ( x ≥ 0, y ≥ 0) . Số tiền lãi thu được mỗi ngày là: L= 2x +1,6y
Để có được số tiền lãi như trên, máy M1 cần làm việc trong
3x+y (giờ) và máy M 2 cần làm việc trong x+y (giờ)
Máy M1 làm không quá 6 giờ trong một ngày nên: 3 x + y ≤ 6
Máy M2 làm không quá 4 giờ trong một ngày nên: x + y ≤ 4
Ta có mối quan hệ ràng buộc giữa x, y cho bởi hệ bất phương trình sau:

3 x + y ≤ 6
 x+ y≤4


 x≥0
 y ≥ 0


Bài tốn trở thành giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, tìm nghiệm ( x0 ; y0 ) sao
cho L = 2x + 1,6y lớn nhất. Biểu thức L = 2x + 1,6y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các
đỉnh của tứ giác OAIC. Tính giá trị của biểu thức tại tất cả các đỉnh của tứ giác OAIC, ta
thấy L lớn nhất khi x=1 và y=3.
Vậy để có lãi suất cao nhất, mỗi ngày cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 3 tấn
sản phẩm loại II.
3.2.4. Chương V. Thống kê
A.Tóm tắt kiến thức cơ bản
- Các khái niệm: Tần số, tần suất, bảng phân bố tần số - tần suất, bảng phân bố tần
số - tần suất ghép lớp.
- Các biểu đồ tần số, tần suất hình cột, tần suất hình quạt, đường gấp khúc tần số,
tần suất.
- Cơng thức tính số trung bình, số trung vị, mốt phương sai và độ lệch
chuẩn của mẫu số liệu.

B. Các ví dụ và bài tốn có nội dung thực tế được ứng dụng trong lí thuyết và
bài tập .
Ngay từ trường THCS học sinh đã được làm quen với một số tốn ứng dụng:
Tính gần đúng, sơ đồ, biểu đồ, một số bài tập về giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất,
Nó có vị trí rất quan trọng trong đời sống ngày nay, thống kê đang ngày càng trở nên
thân thiết và quan trọng đối với mọi ngành kinh tế xã hội. Thống kê giúp ta phân tích
các số liệu một cách khách quan và rút ra được nhiều thông tin ẩn chứa trong các số
liệu trên cơ sở phân tích các số liệu chúng ta mới có thể đưa ra được những dự báo và
quyết định đúng đắn. Vì thế thống kê cần thiết cho mọi lực lượng lao động, đặc biệt rất
cần cho các nhà quản lí, hoạch định chính sách.
*Ứng dụng trong lí thuyết: Thống kê là khoa học về các phương pháp thu
thập, tổ chức, trình bày, phân tích và xử lí số liệu. Thống kê có vai trị rất quan trọng
trong thực tiễn, chúng ta tìm thấy các ứng dụng của thống kê qua các hoạt động được
thơng qua các bài tốn trong thực tiễn rất gần gũi với các em như sau:
Ví dụ: Để chuẩn bị may đồng phục cho HS vào năm học mới, người ta đo chiều
cao của 38 HS trong một lớp học và thu được các số liệu thống kê như sau:
Chiều cao của 36 HS (đơn vị :cm)
158 152 156 158 168 160 170 166 161 172 173 160
150 167 165 163 158 162 169 159 163 161 160 164
164 159 163 155 163 165 154 161 164 164 152 151
Hãy xác định số lượng quần áo may cho mỗi “kích cỡ” từ 150cm đến
156cm, từ 156cm đến 162cm, từ 162cm đến 168cm, từ 168cm đến 174cm và
tính % từng số lượng đó.
Nhận thấy: Ở bài tốn trên học sinh có sẵn số liệu và HS cần làm xử lý số liệu
đó.
Thống kê có vai trị rất quan trọng trong mọ i lĩnh vực của cuộc sống thể hiện
như kinh tế, chính trị, xã hội…
Thống kê là một trong những cơng cụ quản lí vĩ mơ quan trọng cung cấp các
thơng tin, thống kê trung thực khách quan chính xác đầy đủ kịp thời trong việc đánh

giá, dự báo tình hình, hoạch định chiến lược, chính sách xây dựng kế hoạch phát triển
kinh tế, xã hộ i và đáp ứng được nhu cầu thông tin thống kê của các tổ chức cá nhân.
*Ứng dụng trong bài tập
Các khái niệm khác liên quan đến khoa học thống kê như tần số, tần suất, biểu
đồ, số trung bình, số trung vị, mốt , phương sai và độ lệch chuẩn đều có ý nghĩa rất
thực tế trong cơng tác nghiên cứu, sử lí số liệu, chúng ta có những điều chỉnh, những
định hướng cần thiết trong học tập, trong cơng tác quản lí, kinh doanh …Qua một
số bài tập sau học sinh sẽ thấy rõ điều này.
Bài toán 1: Người ta chọn một số bút bi của hai hãng sản xuất A và B và thử
xem một bút sau bao nhiêu giờ thì hết mực kết quả như sau (đơn vị giờ):
Loại bút A: 23
25 27 28
30
35
Loại bút B: 16 22 28 33 46
a/ Tính số trung bình và độ lệch chuẩn về thời gian của mỗi loại bút.
b/Giả sử hai loại bút A và B có cùng một giá. Dựa vào sự khảo sát trên, ta nên
qui đ ịnh mua loại bút nào?
Nếu tính trung bình của từng loại bút thì A và B loại nào tốt hơn.
Nhận thấy khái niệm về phương sai, độ lệch chuẩn sẽ cho ta câu hỏi đó. Nghĩa là
phương sai độ lệch chuẩn là đại lượng đo mức chênh lệch giữa các giá trị của
mẫu số liệu so với số trung bình.
Sau khi tính tốn có loại bút A: số trung bình 28 giờ, độ lệch chuẩn 3,83. Sau khi
tính tốn có loại bút B: số trung bình 29 giờ, độ lệch chuẩn 10,24 . Loại bút B có
thời gian sử dụng trung bình lâu hơn, tuy nhiên độ lệch chuẩn của loại B lớn hơn
nên chất lượng của bút B không đồng đều.
Nếu khơng may bạn có thể mua phải chiếc bút có thời gian sử dụng rất thấp. Tóm
lại: Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu
quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán

càng cao.
Nói chung, số trung bình thường hay được sử dụng để làm đại diện cho mẫu
số liệu. Tuy nhiên, tuỳ từng yêu cầu cụ thể mà người ta quan tâm tới việc dùng đại
diện nào. Trong một số tình huống, dùng mốt hay số trung vị làm đại diện thì hợp lí
hơn.
Bài tốn 2: Một cửa hàng đồ điện tử gia dụng bán năm loại ti vi với giá
tiền mỗ i chiếc tương ứng là 1; 2; 3; 4; 5 (triệu đồng). Trong năm vừa qua có
1285 lượt khách mua các mặt hàng trên với bảng số liệu sau:
Giá tiền

1

2

3

4

5

Số chiếc bán được

256

350

500

104

75

Số trung vị xấp xỉ là 2,527 triệu đồng, mốt là 3 triệu đồng.
Qua ví dụ trên một chiếc ti vi ở cửa hàng được bán với giá trung bình
2,527 triệu đồng. Cụm thuế thì quan tâm nhất tới giá trị này để xác định doanh thu
của cửa hàng . Song điều mà người chủ hàng quan tâm lại là: loại ti vi nào nhiều
người mua nhất? Đó là loại ti vi giá 3 triệu đồng. Như vậy, điều mà người chủ hàng
quan tâm nhất là mốt của số liệu trên.
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Đề tài đã làm sáng tỏ tầm quan trọng của toán học, vai trị của tốn học đối với


đời sống thực tiễn, đối với khoa học kĩ thuật và với khoa học khác.
- Nêu bật được ứng dụng và vận dụng toán học trong giảng dạy toán học ở trường
THPT, cụ thể là môn đại số 10. Đề ra được phương pháp chung thực hiện cách giải
các bài tập toán trong ứng dụng thực tế gắn liền với kiến thức đã được học trong
mơn tốn.
- Qua các phần đã được học xây dựng được mối liên hệ giữa toán học với thực
tiễn trong hoạt động dạy và học qua các khái niệm, định lí, dạy học bài tập.
- Soạn một số giáo án cụ thể theo tinh thần vận dụng qua đó làm sáng tỏ phân
tích nội dung toán học với thực tiễn và nguồn gốc thực tiễn của tốn học có tác động
qua lại với nhau.
- Dạy thử nghiệm những bài toán trên đố i với những học sinh ở trường mình
cơng tác, đề ra được phương hướng có tính khả thi để thực hiện tốt việc gắn liền dạy
học toán với đời sống thực tiễn. Qua đó có những nhận xét được ưu, nhược của việc
thực hiện.
V. ĐỀ XUẤT
- Chương trình học cịn nặng đối với học sinh lớp 10, phân phối hợp lí hơn với
chương trình mơn tốn, một số bài học cịn q dài nên ít khai thác được trong bài
học chỉ ra tính thực tiễn của bài học đó.

- Cần có ý thức hơn việc dạy và học gắn liền toán học với thực tiễn, cụ thể là đáp
ứng thêm bài tốn có nội dung thực tiễn trong sách giáo khoa, sách tham khảo vào
từng phần cụ thể. Đặc biệt chú trọng hơn trong các kì thi tốt nghiệp THPT, kì thi
vào trường chuyên nghiệp, vào Đại học.
- Cần trang bị thêm dụng cụ, phương tiện dạy học cho các trường để giờ học
thêm sinh động kết hợp với giáo viên, cần tự tìm tịi, tích cực học hỏi và phát huy
dụng cụ dạy học, có những chun đề và ngoại khố về tốn học để thấy tốn học
thật sự ln gắn với đời sống con người mà cụ thể thực tại nhất là trong nhà trường
THPT.
Thống Nhất , Ngày 10 tháng 04 năm 2015
Người viết sáng kiến
Đinh Văn Lê


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đại số 10 – Nxb Giáo Dục - 2006
2. Bài tập Đại số 10 – Nxb Giáo Dục - 2006
3. Sách giáo viên Đại số 10 – Nxb Giáo Dục -2006
4. Doãn Quỳnh (chủ biên); Đại số nâng cao 10; Nxb Giáo Dục - 2006
5. Nguyễn Bá Kim; Phương pháp dạy học mơn tốn – Nxb Đại học sư phạm Hà
Nội - 2007
6. Nguyễn Huy Đoan (chủ biên); Bài tập đại số nâng cao 10; Nxb Giáo
Dục - 2006
7. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên); Hình học 10 – Nxb Giáo Dục - 2000
8. Trần Diên Hiển; các bài tốn về suy luận lơgíc – Nxb Giáo Dục -2000

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trường THPT Kiệm Tân

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc