Chuẩn Monge Ampere đối với hàm Delta đa điều hòa dưới

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

BOUNTHOUNG SALILACK

CHUẨN MONGE-AMPERE ĐỐI VỚI
HÀM DELTA ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

BOUNTHOUNG SALILACK

CHUẨN MONGE-AMPERE ĐỐI VỚI
HÀM DELTA ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ
công trình nào.
Tác giả

Bounthoung SALILACK

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

ii
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán,
các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán
học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng sư phạm Saravan-CHDCND
Lào cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá
trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất

mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên
để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 6 năm 2015
Tác giả

Bounthoung SALILACK

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii
MỤC LỤC ..........................................................................................................iii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................. 1
3. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2
4. Bố cục của luận văn ..................................................................................... 2
Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................... 3
1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị ....................................... 3
1.2. Hàm điều hòa dưới ................................................................................... 7
1.3. Hàm đa điều hoà dưới............................................................................... 9
1.4. Toán tử Monge- Ampère phức ............................................................... 11
1.5. Các lớp Cegrell trong £ n ...................................................................... 23
Chƣơng 2. CHUẨN MONGE-AMPERE ĐỐI VỚI HÀM d - ĐA ĐIỀU

HOÀ DƢỚI ................................................................................................................... 25
2.1. Định nghĩa chuẩn .................................................................................... 25
2.2. Tô pô của dF ........................................................................................ 29
2.3. Không gian đối ngẫu .............................................................................. 31
2.4. So sánh với các hàm d - điều hoà dưới ................................................ 36
KẾT LUẬN....................................................................................................... 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 42

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lớp các hàm d - đa điều hoà dưới và toán tử Monge-Ampere từ lâu đã
được nghiên cứu bởi Arsove (năm 1953), tiếp theo bởi Kiselman (năm 1977),
Cegrell (năm 1977). Đó là lớp các hàm có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của hai
hàm đa điều hoà dưới. Ký hiệu lớp này là dPSH (W) . Cegrell (năm 1978) [5] đã
chỉ ra rằng trên miền giả lồi W mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
dPSH (W) được mang bởi tập compact đa cực đều có thể viết được dưới dạng

hiệu của hai phiếm hàm dương. Gần đây Cegrell đã xét hiệu của các hàm đa
điều hoà dưới trong lớp năng lượng F . Giả sử W là miền siêu lồi trong £ n ,
khi đó F = F (W) là một nón lồi trong không gian tuyến tính L1loc (W) . Ký hiệu

dF = dF (W) là tập hợp tất cả các hàm u Î L1loc (W) có thể viết được dưới
dạng u = u1 - u 2 , ở đó u1 Î F (W) . Khi đó dF (W) làm thành không gian
tuyến tính và có thể trang bị cho không gian này một chuẩn phụ thuộc vào toán
tử Monge-Ampere tổng quát để nó trở thành không gian Banach dF . Theo

hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: "Chuẩn Monge-Ampere đối với
hàm delta- đa điều hòa dưới".
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả gần đây của U. Cegrell
và J.Wiklund. Xét các hiệu của các hàm đa điều hòa dưới trong lớp năng lượng
F như là không gian tuyến tính và trang bị cho không gian này một chuẩn phụ

thuộc vào toán tử Monge-Ampere phức tổng quát, biến không gian tuyến tính
thành không gian Banach dF . Trình bày một số vấn đề tôpô cơ bản đối với

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

2
không gian này và chứng minh dF không là không gian tách. Đồng thời
nghiên cứu không gian đối ngẫu của nó.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về Dạng vi phân và dòng
trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm điều hoà dưới, hàm đa điều hoà
dưới, toán tử Monge-Ampère, giới thiệu về các lớp Cegrell trong £ n .
- Trình bày các kết quả gần đây của U. Cegrell và J.Wiklund về chuẩn
Monge-Ampere đối với các hàm d - đa điều hoà dưới và toán tử MongeAmpere.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp
của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 40 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương

nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về Dạng vi phân
và dòng trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm điều hoà dưới, hàm đa
điều hoà dưới, toán tử Monge-Ampère, giới thiệu về các lớp Cegrell trong £ n .
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày một số kết quả về
chuẩn Monge-Ampere đối với các hàm d - đa điều hoà dưới. Phần đầu của
chương trình bày việc trang bị một chuẩn cho dF để nó trở thành không gian
Banach, và nghiên cứu một số tính chất tô pô của dF . Tiếp theo là nghiên cứu
không gian đối ngẫu (dF )¢ của dF . Phần cuối cùng của chương trình bày các
nghiên cứu so sánh với các hàm d - điều hoà dưới trên các miền trong  n .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

3
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị
Giả sử ¡

n

là không gian vector n chiều với cơ sở chính tắc

e j = (0, ..., 0,1, 0, ..., 0) , ở đó 1 ở vị trí thứ j . Giả sử với mỗi 1 £ j £ n kí hiệu
n
f : ¡14444
´ 42

...4444
´ ¡ 4n3 ® £ gọi

u j là hàm tọa độ thứ j : u j (x ) = x j . Một ánh xạ

p

là p - tuyến tính nếu nó là tuyến tính theo từng biến khi các biến khác cố định.
Một ánh xạ p - tuyến tính sao cho f (v1, ..., v p ) = 0 khi v j = v j + 1,1 £ j < n
gọi là ánh xạ p - tuyến tính thay dấu. Tập các ánh xạ p - tuyến tính thay dấu
n
´ 42
...4444
´ ¡ 4n3 tới £ kí hiệu
từ ¡14444

Ùp ( ¡

n

,£).

p

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử WÐ ¡
ánh xạ a :U ®

Ùp ( ¡

n

là tập mở. Một p - dạng vi phân trên W là

n

,£ ).

Nếu đặt dx k (x ) = uk ,1 £ k £ n , x Î W thì ta có thể viết mỗi p - dạng vi phân
a trên W dưới dạng:

a (x ) =

å

' a I (x )dx I

I

ở đó I = (i1, ..., i p ),1 £ i1 < ... < i p £ n , dx I = dx i Ù ... Ù dx i , a I (x ) là các
1

p

hàm trên W.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

4

Giả sử a =

å

' a I dx I là p - dạng và b =

I

å

' bJ (x )dx J là q - dạng, ở đó

J

1 £ i1 < ... < i p £ n và 1 £ j1 < ... < jq £ n khi đó tích ngoài a Ù b là
( p + q) - dạng cho bởi công thức a Ù b =

å

g Ldx L , ở đó gLdx L = 0 nếu

L

ik = jl với 1 £ k £ p,1 £ l £ q và gLdx L = (- 1)s a I bJ dx l Ù ... Ù dx l
1

1 £ l1 < ... < lp+ q £ n

với s

là hoán vị của dãy i1 < i2 < ... < i p và

trong tập hợp

j1 < j 2 < ... < jq

,

p+ q

{1, ..., n }

để tạo thành dãy tăng

1 £ l1 < ... < lp+ q £ n .

Nếu f là một hàm thì f Ù a = f a và ( f a ) Ù b = f ( a Ù b ) .
Mọi p - dạng a với p > n đều bằng 0. Các dạng có bậc cực đại là các dạng
bậc n . Cho a là p - dạng lớp C 1 . Vi phân ngoài (đạo hàm ngoài) của a là
( p + 1) - dạng cho bởi:

da =

å

'd a I Ù dx I

I

Nếu da = 0 ta nói a là dạng đóng. Mọi dạng có bậc cực đại là đóng.

Giả sử a = j dx 1 Ù ... Ù dx n , j Î L1(W) . Khi đó

ò a = ò j dx
W

1

Ù ... Ù dx n =

W

ò j dV

,

W

dV là độ đo Lebesgue trên W.

Định nghĩa 1.1.2. Một dòng bậc p hay có chiều (n - p) trên tập mở WÐ ¡

n

là dạng tuyến tính liên tục T : D (n - p ) (W) ® £ . Nếu a là dạng trong
D (n - p ) (W) , giá trị của T tại a , kí hiệu bởi T ( a ) hay T , a .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

5

Bây giờ giả sử p, q = 0,1,..., n . Ta kí hiệu £ ( p,q ) là tập các dạng phức song
bậc ( p, q) hệ số hằng trên £ n . Khi đó nếu w Î £ ( p,q ) thì w có thể biểu diễn:

å

w=

' wJK dzJ Ù dz K

J = p, K = q

ở đó wJK Î £ , dzJ = dz j Ù ... Ù dz j , dz K = dz k Ù ... Ù dz k tổng lấy theo các
1

p

1

q

bộ đa chỉ số J = ( j1,..., j p ), K = (k1,..., kq ) với 1 £ j1 < ... < j p £ n ,
1 £ k1 < ... < kq £ n .
&hler chính tắc trên £ n cho bởi:
Dạng K a&
2
i
i n
b = ¶ ¶ z = å dz j Ù dz j
2
2 j=1

Khi đó dạng thể tích trên £ n @ ¡
dV =

2n

cho bởi:

1 n
1
i
i
i
b =
b14442
Ù ...4443
Ù b = dz 1 Ù dz 1 Ù dz 2 Ù dz 2 Ù ... Ù dz n Ù dz n
n!
n!
2
2
2
n
i
= ( )n dz 1 Ù dz 1 Ù ... Ù dz n Ù dz n
2

Nếu w Î £ ( p, p ) có thể biểu diễn w =

i

i
i
w1 Ù w1 Ù w2 Ù w2 Ù ... Ù w p Ù w p
2
2
2

với w j Î £ (1,0) thì w gọi là dạng dương sơ cấp.
Mệnh đề 1.1.3. Không gian các dạng song bậc ( p, p) được sinh ra bởi các
dạng dương sơ cấp.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

6
Chứng minh. Giả sử w Î £ ( p, p ) . Khi đó có thể viết:
w=

i
w J ,K ( )p dz j Ù dz k Ù ... Ù dz j Ù dz k
1
1
p
p
2
J = p, K = p

å

Vậy chỉ cần biểu diễn dz j Ù dz k là tổ hợp tuyến tính của các dạng dương sơ
cấp. Thật vậy,
1 4 s
dz j Ù dz k = å i (dz j + i sdz k ) Ù (dz j + i sdz k ) .
4 s= 1



Giả sử WÐ £ n là tập mở. Tập các dạng vi phân song bậc ( p, q) với hệ số
, ) (tương ứng C 0 (W£
, ) ) được kí hiệu D ( p,q ) (W) (tương ứng
thuộc C 0¥ (W£
D0( p,q ) (W) ).

Định nghĩa 1.1.4. Mỗi phần tử T Î ( D (n - p,n - p ) (W))¢ gọi là một dòng song bậc
( p, q) hay ( p, q) - dòng (tương ứng song chiều (n - p, n - q) ). Những phần tử

của ( D0(n - p,n - q ) (W))¢ gọi là dòng cấp 0 , song bậc ( p, q) (hay ( p, q) - dòng cấp 0 ).
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử T là ( p, p) - dòng trên tập mở WÐ £ n . T được gọi
là dương nếu với mỗi dạng sơ cấp
a =

i
i
i
a 1 Ù a 1 Ù a 2 Ù a 2 Ù ... Ù a n - p Ù a n - p Î C ( n - p,n - p )
2
2
2

ta có T Ù a là phân bố dương, nghĩa là một độ đo Borel trên W.
Định lí 1.1.6. Mọi dòng dương có cấp 0 , nghĩa là có hệ số là các độ đo Borel phức.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

7

Mệnh đề 1.1.7. Giả sử T =

å

T j ,k

j ,k

i
dz Ù dz k là (1,1) - dòng. Khi đó T là
2 j

(1,1) - dòng dương nếu " j Î D(W), j ³ 0 và mọi b = (b1,..., bn ) Î £ n ta có:

å

T j ,k (j )bjbk ³ 0 .

j ,k

Chứng minh. Giả sử j Î D(W), j ³ 0,

Với

e > 0, T * c e =

å

å

T j ,k (j )bjbk ³ 0 .

i
T j ,k * c e dz j Ù dz k
2

là

(1,1) - dạng

trơn

và

limT * c e = T theo nghĩa dòng. Để chứng minh T dương, cần chứng minh
e® 0

với j Î D(W), j ³ 0 và a 1, ..., a n - 1 Î £ (1,0) thì
i
T , j ( )n - 1 a 1 Ù a 1 Ù ... Ù a n - 1a n - 1 ³ 0 .
2

Nhưng
i
T , j ( )n - 1 a 1 Ù a 1 Ù ... Ù a n - 1a n - 1
2

i
= lim T * c e , j ( )n - 1 a 1 Ù a 1 Ù ... Ù a n - 1 Ù a n - 1
e® 0
2
n

=

å

T j ,k (j )M j M k ³ 0 .

j ,k = 1

Vậy T là dòng dương.
1.2. Hàm điều hòa dƣới
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u : X ® éêë- ¥ , + ¥

) gọi

là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi a Î ¡ tập
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

8
X a = {x Î X : u (x ) < a }

là mở trong X . Hàm v : X ® (- ¥ , + ¥ ù
ú
û gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu

- v là nửa liên tục trên X .
Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau:
Giả sử u : X ® éêë- ¥ , + ¥ ). Ta nói hàm u là nửa liên tục trên tại x Î X nếu
" e > 0 tồn tại lân cận U x của x 0 trong X sao cho " e Î U x ta có:
0

0

u (x ) < u (x 0 ) + e nếu u (x 0 ) ¹ - ¥
u (x ) < -

1
nếu u (x 0 ) = - ¥ .
e

Giả sử E Ð X và u : E ® éêë- ¥ , + ¥

) là hàm trên E . Giả sử x 0 Î

E . Ta

định nghĩa
lim sup u (x ) = inf {sup{u(y ) : y Î V }}

x ® x0 x Î E

ở đó inf lấy trên các V chạy qua các lân cận của x 0 . Khi đó có thế thấy rằng hàm
u : X ® éêë- ¥ , + ¥

) là nửa liên tục trên tại x 0 Î

X nếu lim sup u (x ) £ u (x 0 ).
x ® x0

Ta có kết quả sau.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử W là tập mở trong £ . Hàm u : W®

é- ¥ , + ¥
êë

) gọi

là điều hòa dưới trên W nếu nó nửa liên tục trên trên W và thỏa mãn bất đẳng
thức dưới trung bình trên W, nghĩa là với mọi w Î W tồn tại d > 0 sao cho với
mọi 0 £ r £ d ta có
u ( w) £

1
2p

ò

2p

u ( w + re it )dt .

(1.1)

0

Kí hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên W là SH (W) .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

9
Mệnh đề 1.2.3. Nếu f : W® £ là hàm chỉnh hình trên W thì log f là hàm
điều hòa dưới trên W.
Mệnh đề 1.2.4. Giả sử u, v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở W trong £ .
Khi đó:
(i ) m ax(u, v ) là hàm điều hòa dưới trên W.
(ii ) Tập các hàm điều hòa dưới trên W là một nón, nghĩa là nếu
u, v Î SH (W) và a , b > 0 thì a u + b v cũng thuộc SH (W) .

Định lý 1.2.5. Giả sử {u n } là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập mở W
trên £ và u = lim u n . Khi đó u là hàm điều hòa dưới trên W.
n® ¥

Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh u nửa liên tục trên trên W. Với mỗi

a Î R, tập

{z Î

W: u (z ) < a } =

¥

U{z Î

W: u n (z ) < e}.

n

Do đó nó là tập mở. Vậy u nửa liên tục trên trên W. Do mỗi u n thỏa mãn
bất đẳng thức dưới trung bình nên dùng định lý hội tụ đơn điệu suy ra u
cũng thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên W. Do đó u là hàm điều
hòa dưới trên W.

W

1.3. Hàm đa điều hoà dƣới
Địng nghĩa 1.3.1. Giả sử WÐ £ n là tập mở, u : W® éêë- ¥ , + ¥

) là hàm nửa

liên tục trên, không đồng nhất bằng - ¥ trên moi thành phần liên thông của
W. Hàm u gọi là đa điều hoà dưới trên W (viết u Î PSH (W) ) nếu với mọi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

10
a Î W và b Î £ n , hàm l a u(a + l b) là điều hoà dưới hoặc bằng - ¥ trên

mọi thành phần liên thông của tập {l Î £ : a + l b Î W}.
Định lý sau đây cho một đặc trưng của tính đa điều hoà dưới đối với các
hàm lớp C 2 trên tập mở WÐ £ n .
Định lý 1.3.2. Giả sử WÐ £ n là tập mở và u Î C 2(W) . Khi đó u Î PSH (W)
¶ 2u
khi và chỉ khi Hessian H u (z ) = (
) của u tại z xác định dương, nghĩa là
¶ z j ¶ zk

với mọi w = ( w1, w2,..., wn ) Î £ n ,
H u (z )( w, w) =

¶ 2u
å ¶ z ¶ z (z )wj wk ³ 0
j ,k = 1
j
k
n

Dưới đây là một số kết quả liên quan tới tính đa điều hoà dưới khi qua
giới hạn và tính lồi của họ các hàm đa điều hoà dưới.
Định lý 1.3.3. Giả sử W là tập mở trong £ n .
i ) Nếu u, v Î PSH (W) thì m ax{u, v} Î PSH (W) và nếu a , b ³ 0 thì
a u + b v Î PSH (W) . Nghĩa là PSH (W) là nón lồi.

ii ) Nếu {u j }j ³ 1 Ð PSH (W) là dãy giảm thì u = lim u j hoặc là hàm đa điều

hoà dưới trên W hoặc º - ¥ .
iii ) Nếu dãy {u j } Ð PSH (W) là dãy hội tụ đều trên mọi tập compact của W

tới hàm u : W® ¡ thì u Î PSH (W) .
iv ) Giả sử {u a }a Î I Ð PSH (W) sao cho u = sup {u a : a Î I } là bị chặn trên

địa phương. Khi đó chính quy hoá nửa liên tục trên u * Î PSH (W) .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

11
Chng minh. Cỏc khng nh i ) , ii ) , iii ) suy ra t nh ngha 1.2.1. v nh lý
hi t n iu hay nh lý qua gii hn di du tớch phõn trong trng hp
dóy hi t u. Ta chng minh iv ) . Ch cn chng t a ẻ W, b ẻ Ê n sao cho
{a+ l b:l ẻ Ê , l Ê 1} é W thỡ

1
u (a ) Ê
2p
*

2p

ũu

*

(a + e i qb)d q

0

D thy vi mi z ẻ W, b ẻ Ê n sao cho {z + l b, l Ê 1} é W ta cú
1
u (z ) Ê
2p

2p

ũu

*

(z + e i qb)d q

0

Vi a ẻ W, chn dóy {z n } é W sao cho z n đ a v u (z n ) đ u *(a ) . T
{z + l b, l Ê 1} é W nờn vi n ln {z n + l b, l Ê 1} é W. Khi ú

1
u (z n ) Ê
2p

2p

ũu

*

(z n + e i qb)d q

0

B Fatou cho ta
1
u (a ) = lim sup u (z n ) Ê
2p
n
*

2p

ũ limnsup u

*

(z n + e i qb)d q

W

0

nh ngha 1.3.4. Hm u : Wđ ộởờ- Ơ , + Ơ ự
ỳ c gi l d - a iu ho di
ỷ
trờn W nu u = u1 - u 2 , vi u1, u 2 ẻ PSH (W) .
1.4. Toỏn t Monge- Ampốre phc
Cho u l a iu ho di trờn min Wé Ê n . Nu u ẻ C 2 (W) thỡ toỏn t:

S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN

/>

12

c

n

(dd u )

ộ ảu ự
ỳ
:= (dd u ) ... (dd u ) = 4 n !det ờờ
dV ,
ỳ
1444444442 444444443
ả
z
ả
z
ờở j k ỳ
n
ỷ1Ê j ,k Ê n
c

c

n

vi dV l yu cú th tớch trong C n gi l toỏn t Monge-Ampốre. Toỏn t ny
cú th xem nh o Radon trờn W, tc l phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn
khụng gian cỏc hm liờn tc vi giỏ compact C 0(W) trờn W
c n
ũ j (dd u ) .

C 0 (W) ' j a

W

Bedford v Taylor ó chng minh rng nu u l a iu ho di b chn
a phng trờn W thỡ tn ti dóy

un ]

ùớ
u v ỡ dd cu n
ùợù

(

{un }n > 1 é

P SH h
(W) ầ C Ơ

sao cho

n ùỹ

) ùýùỵù hi t yu ti o Radon trờn W tc l:

lim ũ j (dd cun ) =
n

n

W

ũ j d m, " j

ẻ C 0 (W) .

W

Hn na khụng ph thuc vo vic chn dóy un nh trờn, ta ký hiu:

(dd cu )n = m
v gi l toỏn t Monge-Ampốre ca u .
Sau õy l mt vi tớnh cht c bn ca toỏn t toỏn t Monge-Ampốre.
Mnh 1.4.1. Nu y ẻ C (Ơp, p ) l (p, p ) - dng lp C Ơ trờn tp m Wé n
v T l (q, q) - dũng vi p + q = n - 1 thỡ

(

)

y dd cT - dd c y T = d y d cT - d c y T .

Chng minh. Ta cú
S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN

/>

13

(

)

d y Ù d c T - d c y Ù T = d y Ù d cT + y Ù dd cT - dd cy ÙT + d c y Ù dT

Nhưng p + q + 1 = n nên
d y Ù d cT = i(¶ y + ¶ y ) Ù ( ¶ T - ¶ T )

= i (¶ y Ù ¶ T - ¶ y Ù ¶ T + ¶ y Ù ¶ T - ¶ y Ù ¶ T )
= i(¶ y Ù ¶ T - ¶ y Ù ¶ T ) = - d c y Ù dT .

Do đó
d(y Ù d c y T - d c y ÙT ) = y Ù dd cT - dd cy ÙT .

Từ mệnh đề trên và dùng công thức Stokes đối với dòng ta có:
¥
nếu T là một (q, q) - dòng trên tập mở WÐ  n và y Î C 0,(
W là
n - q - 1,n - q - 1) ( )

ò y Ù dd T - ò dd y ÙT
c

W

c

=

W

ò d(y Ù d T
c

- d c y ÙT )

W

=

ò y Ùd T
c

- d c y ÙT = 0.

¶W

Vậy
dd cT , y =

ò y Ù dd T
c

=

W

Giả sử T

ò dd y ÙT
c

= T , dd c y

(1.2)

W

là một dòng dương có bậc (q, q) trên tập mở WÐ  n và

u Î PSH (W) . Khi đó T =

å

T
J , K JK

q

( ) dz
i
2

J

Ù dz K với T JK là các độ đo phức

trên W. Vậy từ u Î PSH (W) Ç L¥loc (W) nên hàm u khả tích đối với các T JK .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

14

å

Do đó uT =

uT JK
J ,K

q

( ) dz Ùdz
i
2

K

là (q, q) - dòng với hệ số độ đo. Ta đưa

ra định nghĩa sau:
dd cu ÙT = dd c (uT ).

Từ (1.2) ta có

ò dd u ÙT
c

Ù y = dd cu ÙT , y = dd c (uT ), y

W

= uT , dd c =

ò uT

Ù dd c y

(1.3)

W
¥
đúng cho mọi y Î C 0,(
W.
n - q - 1,n - q - 1) ( )



Ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 1.4.2. Nếu T là (q, q) - dòng dương, đóng thì dd cu ÙT là

(q + 1, q + 1)-

dòng dương, đóng với mọi u Î PSH (W) Ç L1loc (W) .

Chứng minh. Ta chứng minh dd cu ÙT là (q + 1, q + 1) - dòng dương, đóng.
Ta có d(dd cu ÙT ) = ¶ (dd cu ÙT ) + ¶ (dd cu ÙT ) . Vậy chỉ cần chứng minh
¶ (dd cu ÙT ) = ¶ (dd cu ÙT ) = 0 . Chỉ cần chứng minh ¶ (dd cu ÙT ) = 0 .

Tương tự ta cũng có ¶ (dd cu ÙT ) = 0 . Lấy y Î C 0,¥ (n - q- 1,n - q- 2) (W) . Khi đó

(

2q + 3

)

¶ dd cu , y = (- 1)

dd cu ÙT , ¶ y

2q + 3

uT , dd c (¶ y )

2q + 3

uT , 2i ¶ ¶ (¶ y ) = 0 .

= (- 1)

= (- 1)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

15
Bây giờ ta chứng minh dd cu ÙT là dương. Giả sử u £ M . Khi đó với e > 0
đủ bé, u e £ M , u e = u * c e . Theo định lí hội tụ và bị chặn của Lebegue u eT
hội tụ yếu tới uT . Do đó dd c (u eT ) hội tụ yếu tới dd c (uT ) vì với mọi
y Î C 0,¥ (n - q- 1,n - q- 1) (W) ta có

dd c (u eT ), y = u eT , dd c y ® uT , dd c y = dd c (uT ), y .

Nhưng do u e là hàm trơn trên W nên dd c (u eT ) = dd cu e ÙT theo nghĩa thông
thường. Nhưng u e Î PSH (We ) Ç C ¥ (We ) nên dd cu e là (1,1) - dòng thực dương.
Vậy ta có dd cu e ÙT ³ 0 . Do đó dd cu ÙT là (q + 1, q + 1) - dòng dương.
Do đó bằng quy nạp ta có thể xác định (p + q, p + q) - dòng dương đóng
dd cu1 Ù ... Ù dd cu p ÙT , với u1, u 2..., u p Î PSH (W) Ç L¥loc (W) và T là (q, q) -

dòng dương, đóng, p + q £ n . Đặc biệt nếu T = dd cv, v Î PSH (W) Ç L¥loc (W)
thì ta xác định được (p + 1, p + 1) - dòng dương, đóng dd cu1 Ù ... Ù dd cu p Ù dd cu v .
Trường hợp nếu u Î PSH (W) Ç L¥loc (W) thì dd cu là (1,1) - dòng dương, đóng.

(

Do đó xác định được dd cu

n

)

là (n , n ) - dòng dương, đóng trên W. Vậy

(dd cu )n độ đo Borel chính quy trên W. Sau này do bất đẳng thức Chern-

Levine-Nirenberg, (dd cu )n là độ đo Radon trên W vì với tập con compact K

(

trong W ta có dd cu

n

) (K ) < + ¥

.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN



/>

16
Bổ đề 1.4.3. Giả sử {mj } là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÐ  n hội tụ
yếu tới độ đo Radon m. Khi đó
a ) Nếu G Ð W là tập mở thì m(G ) £ lim infj ® ¥ mj (G ) .
b) Nếu K Ð W là tập compact thì m(K ) ³ lim sup j ® ¥ mj (K ) .

c)

Nếu E

compact tương đối trong W sao cho m(¶ E ) = 0 thì

m(E ) = lim j ® ¥ u j (E ) .

Chứng minh.
a ) Ta có m(G ) = sup {m(K ) : K Ð G }. Giả sử K Ð G là tập compact. Lấy
j Î C 0(G ), 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó

m(K ) £ m(j ) = lim mj (j ) £ lim inf mj(G ) .
j® ¥

j® ¥

Từ đó
m(G ) £ lim inf mj(G ) .
j® ¥

b) Ta có m(K ) = inf { m(V ) : V É K ,V Ð W là tập mở}. Giả sử V là một lân

cận mở của K và j Î C 0 (V ), 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó
m(V ) ³ m(j ) = lim mj (j ) ³ lim sup mj (K ) .
j® ¥

j® ¥

Từ đó

m(K ) ³ lim sup mj (K ) .
j® ¥

c ) Viết E = IntE È ¶ E . Khi đó

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

17
m(E ) = m(Int E ) £ lim inf mj(Int E ) £ lim inf mj ( E ) .
j® ¥

j® ¥

Mặt khác
m(E ) ³ lim sup mj(E ) ³ lim sup mj (E ) .
j® ¥

j® ¥

Từ đó
m(E ) ³ l imsup j® ¥ mj (E ) . Vậy m(E ) = lim mj (E ).
j® ¥

Bổ đề 1.4.4. Nếu {f j } là dãy giảm các hàm nửa liên tục trên hội tụ tới hàm f
và {mj } là dãy độ đo borel dương hội tụ yếu tới m . Nếu f j mj hội tụ yếu tới độ
đo v thì v £ fu .

{ } là dãy giảm các hàm liên tục hội

j

Chứng minh. Cố định j 0 ³ 1 và giả sử gk 0

j

tụ tới f j . Khi đó với j ³ j 0 ta có f j u j £ f j mj £ gk 0 mj .
0

0

j

Do đó v £ gk 0 mj . Định lí hội tụ đơn điệu cho ta v £ f j m. Cho j 0 ® ¥

và

0

dùng định lí hội tụ đơn điệu ta đi đến v £ fu .
Mệnh đề 1.4.5. Giả sử WÐ C n là miền bị chặn và u, v Î PSH (W) Ç L¥loc (W)
sao cho

(n -

u, v £ 0

trên

W và

lim z ® ¶ W u (z ) = 0 . Giả sử

T

là

1, n - 1) - dòng dương, đóng trên W. Khi đó

ò vdd u ÙT
c

W

Đặc biệt, nếu lim v (z ) = 0 thì
z® ¶W

£

ò udd v ÙT
c

.

W

ò vdd u ÙT
c

W

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

=

ò udd v ÙT .
c

W

/>

18
Chứng minh. Chú ý rằng dd cu ÙT và dd cv ÙT là các độ đo Borel dương trên
W. Với e > 0 , đặt me = m ax {m,-e}. Khi đó me < 0 và là hàm điều hòa dưới

trên W và me tăng tới 0 khi e giảm về 0 . Từ định lí hội tụ đơn điệu Lebesgue
ta có

ò udd v ÙT

= lim ò (u - u e )dd cv ÙT và

c

e® 0

W

W

ò (u -

u e )dd cv ÙT = lim ò (u - u e ) * c 1dd cv ÙT .
j® ¥

j

W

Do lim z ® ¶ W u e (z ) = 0 nên

{u -

Lấy miền W¢Ð W sao cho

{u -

(u -

u e ¹ 0} là tập compact tương đối trong W.
u e ¹ 0} Ð W¢Ð W. Khi đó với j đủ lớn,

u e ) * c 1 Î C 0¥ (W) và từ (1.3) ta có
j

ò (u -

u e ) * c jdd cv ÙT =

W

=

u e ) * c 1 ) ÙT

c

j

W

ò vdd ((u c

ò vdd (u * c

c

j

c

W

ò vdd ((u -

u e ) * c 1 ) ÙT +

W

³

ò vdd ((u -

1
j

u e ) * c 1 ) ÙT
j

W\ W¢

ÙT .

Nhưng dd c (u * c 1 ) ÙT = dd c (u * c 1T ) hội tụ yếu tới dd cu ÙT . Khi đó
j

j

vdd c (u * c 1 ) ÙT hội tụ yếu tới vdd cu ÙT . Vậy
j

ò vdd u ÙT
c

£ lim inf ò vdd c (u * c 1 ) ÙT £
j® ¥

W

Từ đó cho e  0 ta được

ò (u -

j

W¢

ò vdd u ÙT
c

W¢

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

£

u e )dd cv ÙT .

W

ò udd v ÙT
c

.

W

/>

19
Cho W¢ W ta được bất đẳng thức cần chứng minh.



Định lí 1.4.6. Giả sử WÐ C n là tập mở, u1, u 2,..., u p Î PSH (W) Ç L¥ (W) và
T là (q, q) - dòng dương, đóng với p + q £ n . Khi đó với mọi K Ð W ta có

dd cu1 Ù ... Ù u p ÙT

K

£ C (K , W) u1

L¥ (W)

... u p

L¥ (W)

T

W

.

Chứng minh. Có thể coi p = 1 . Lấy j Î Dd (W) sao cho 0 £ j £ 1 và

j = 1 trên K . Khi đó tồn tại C ¢> 0 không phụ thuộc vào n và q sao cho
dd cu ÙT

K

£ C ¢ò dd cu ÙT Ù b n - q- 1 £
K

ò j dd u ÙT
c

Ù b n - q- 1 ,

W

n

trong đó

b=

i
2

å

dz j Ù dz

j

là dạng Kahler chính tắc. Mặt khác

j=1

dd c (j b n - q- 1) = dd cj Ù b n - q- 1 và từ (1.3) ta có

ò j dd u ÙT
c

Ù b n - q- 1 =

W

ò dd u ÙT
c

Ù j b n - q- 1

W

=

ò uT

Ù dd c (j b n - q - 1 )

W

£C u

L¥ (W)

T



W

Định lí về tính liên tục của toán tử Monge-Ampère phức sau thuộc về
Bedford-Taylor và là một trong những định lí cơ bản trong lí thuyết toán tử
Monge-Ampère phức.
Định lí 1.4.7. Giả sử u 0j , u1j ..., u pj Î PSH (W) Ç L¥loc (W), 0 £ p £ n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

20
j = 1, 2,... l cỏc dóy gim cỏc hm a iu hũa di hi t im trờn W ti

u 0, u1..., u p ẻ PSH (W) ầ LƠloc (W) tng ng. Gi s T l (q, q) - dũng dng

úng, p + q Ê n . Khi ú
u 0jdd cu1j dd cu 2j ... dd cu pj T đ u 0dd cu1 dd cu 2 ... dd cu j T

theo ngha s hi t ca dũng.
Chng minh. Do bi toỏn l a phng nờn ta cú th gi s u kj v T c xỏc
nh trong lõn cn ca B = B (z 0, r ) l hỡnh cu úng tõm z 0 , bỏn kớnh r ,
B = B (z 0, r ) é B é W. Do gi thit cú th gi s cú M > 1 sao cho

- M Ê ukj Ê - 1 v - M Ê uk Ê - 1 vi mi k = 0,1,... , mi j 1 trong lõn
2

cn ca B . Ly B Âé B v t y (z ) = z - z 0 - r 2 v chn A > 0 ln
sao cho max{uk , A y }= ukj , m ax{uk , A y }= uk
trờn B Â v max{ukj , A y }= A, m ax{u k , A y }= A y trong lõn cn c nh ca ả B
(vỡ lim z đ ả B A y (z ) = 0 ). Vy cú th thay u kj bi max{ukj Ay } v u k bi
max{uk , Ay } v do ú cú th gi thit ukj = uk = Ay trong lõn cn ca ả B .

c bit ukj = uk = 0 trờn ả B .
Ta chng minh nh lớ bng quy np theo p . nh lớ ỳng cho p = 0 do nh lớ
hi t n iu Lebesgue. Gi s p 1 v gi s nh lớ cho p - 1 . Khi ú
S j = dd cu1j dd cu 2j ... dd cu pj T đ dd cu1 dd cu 2 ... dd cu j T = S

yu

ũS

trờn
j

y =

W.

Tht vy, gi s

ũ u dd u
j
1
W

c

j
2

y ẻ D

(n -

p - q, n - p - q )

(W).

Khi ú

... dd cu pj T dd c y

W

S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN

/>