Phương pháp giải một số dạng bài tập chuyển động cơ học.

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
MÔN:VẬT LÝ

Người thực hiện: Trần Thị Phượng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Lập Thạch
– huyện Lập Thạch- Vĩnh Phúc
Tên chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng bài tập chuyển
động cơ học.
Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 18 tiết
Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh giỏi lớp 8

1


A- PHẦN MỞ ĐẦU
Qua nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý 8, tôi nhận thấy các em học sinh
gặp nhiều khó khăn trong việc giải bài tập phần chuyển động cơ học. Nhằm tháo gỡ
khó khăn, đồng thời tạo cho các em sự tự tin cũng như hứng thú học tập bộ môn,
tôi mạnh dạn viết chuyên đề “ Phương pháp giải một số dạng bài tập chuyển động
cơ học”. Tôi hy vọng chuyên đề này sẽ giúp đỡ các em trong quá trình ôn tập,
chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi. Dù đã cố gắng nhiều, nhưng chắc chắn không
thể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong được nhiều ý kiến đóng góp để chuyên đề hoàn
thiện hơn.
B- PHẦN NỘI DUNG
DẠNG I: ĐỊNH VỊ TRÍ VÀ THỜI GIAN
CÁC CHUYỂN ĐỘNG GẶP NHAU
1. Lý thuyết:
- Độ lớn của vận tốc cho biết sự nhanh hay chậm của chuyển động. Nó được tính
bằng quãng đường đi trong một đơn vị thời gian.
- Công thức tính vận tốc: v =

s
t

- Nếu hai chuyển động trên một đường thẳng, không đổi hướng và xuất phát ở cùng
một địa điểm thì khi gặp nhau chúng đi được những quãng đường bằng nhau .
- Nếu hai chuyển động xuất phát cùng một thời điểm thì khi gặp nhau chúng đi
được những khoảng thời gian bằng nhau.
2. Phương pháp:
- Xác định vị trí và thời điểm xuất phát của các chuyển động. Xem chúng chuyển
động cùng hay ngược chiều.
- Tính quãng đường s1, s2 ….( hoặc thời gian t1, t2…) của các chuyển động cho tới
khi gặp nhau.
- Tìm mối liên hệ giữa s1, s2…. (hoặc t1, t2…) với các dữ kiện của bài toán để lập
phương trình về quãng đường hoặc phương trình về thời gian.
- Dùng các phép biến đổi toán học để tính toán.
- Biện luận kết quả tìm được ( nếu cần).
* Chú ý: Khi các vật xuất phát vào các thời điểm khác nhau. Để đơn giản ta chọn
mốc thời gian gắn với vật xuất phát đầu tiên → thời gian vật xuất phát đầu tiên là t.
2


Khi đó vật xuất phát ( sau vật đầu tiên thời gan t0 ) sẽ có thời gian là (t - t0 ). Sau đó
ta làm như phương pháp nêu trên.
3. Ví dụ:
VD 1:
Hai người xuất phát cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 100km. Người
1 đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40km/h .Người 2 đi xe máy từ B ngược về A
với vận tốc 10km/h.Sau bao lâu hai người gặp nhau? Xác định chỗ gặp nhau đó?
Coi chuyển động của hai người là đều.

Hướng dẫn:
Gọi t là thời gian hai người đi đến gặp nhau.
- Quãng đường hai người đi được cho đến khi gặp nhau lần lượt là:

Mặt khác:

s1 = v1.t = 40t
s2 = v2 .t = 10t
s1 + s2 = AB
⇔ 40t +10t =100 (km)

→ t=2h

- Vậy sau 2h thì hai người gặp nhau.
- Vị trí gặp nhau cách A: 40.2 =80km
VD2:
Hai xe máy đồng thời xuất phát, chuyển động đều đi lại gặp nhau. Một xe đi
từ thành phố A đến thành phố B, một xe đi từ thành phố B về thành phố A. Sau khi
gặp nhau tại C cách A 30km hai xe tiếp tục hành trình của mình với vận tốc cũ. Khi
đã tới nơi quy định cả hai xe đều quay ngay trở lại và gặp nhau lần hai tại D cách B
36km.Coi AB là thẳng. Tìm AB và tỉ số vận tốc của hai xe.
Hướng dẫn:
Ta lập phương trình về thời gian cho hai lần gặp nhau:
- Gọi v1, v2 lần lượt là vận tốc của xe xuất phát từ A và từ B.
- Thời gian từ khi hai xe xuất phát đến khi hai xe gặp nhau tại C là:
t1 =

30 AB − 30
=
(1)

v1
v2

- Thời gian từ lúc hai gặp nhau tại C đến lúc hai xe gặp nhau tại D là:

AB − 30 + 36 30 + AB − 36
AB + 6 AB − 6
=
↔
=
(2)
v1
V2
v1
v2
v1 5
- Lấy (1) : (2) → AB = 54km , thay vào (1) → v = 4
2
t2 =

VD 3:
Lúc 7 giờ một người đi bộ từ A đến B với vận tốc 4 km/h. Lúc 9 giờ một
người đi xe đạp từ A đuổi theo với vận tốc 12km/h.
a, Tính thời điểm và vị trí họ gặp nhau.
b, Lúc mấy giờ họ cách nhau 2 km?
Hướng dẫn:
Gọi t (h) là thời gian gặp nhau của hai người ( kể từ khi người đi bộ xuất phát ).
3

Vậy thời gian của người đi xe đạp là ( t – 2) (h)
- Quãng đường người đi bộ đi được là: s1 = v1t = 4t
- Quãng đường người đi xe đạp đi được là: s2 = v2 (t − 2) = 12t − 24
- Khi người đi bộ và người đi xe đạp gặp nhau thì:
s1 = s2 → 4t = 12t − 24 → t = 3h

- Vậy hai người gặp nhau lúc 7+ 3 = 10 giờ.
- Vị trí gặp cách A là : x = s1 = 4t = 12km
b, Lúc mấy giờ họ cách nhau 2km.
TH1: Họ cách nhau 2km trước khi gặp nhau:
Gọi t (h) là thời gian kể từ khi người đi bộ xuất phát đến khi hai người cách
nhau 2km, vậy thời gian của người đi xe đạp khi đó là ( t – 2) ( h)
- Quãng đường người đi bộ đi được là: s1 = v1t = 4t
- Quãng đường người đi xe đạp đi được là: s2 = v2 (t − 2) = 12t − 24
- Ta có : s1 − s2 = 2 → t = 2, 75h
Vậy lúc 9 giờ45 phút thì hai người cách nhau 2km.
TH2: Họ cách nhau 2km sau khi gặp nhau:
Tương tự ta có: s1 = v1t = 4t
s2 = v2 (t − 2) = 12t − 24

Dễ thấy: s2 − s1 = 2 → t = 3, 25h = 3h15'
Vậy lúc 10 giờ 15 phút thì hai xe cách nhau 2km.
VD 4:
Người ta rải đều bột của một chất dễ cháy thành một dải hẹp dọc theo một đoạn
thẳng từ A đến B và đồng thời châm lửa đốt từ hai vị trí D 1, D2. Vị trí thứ nhất D1
cách A một đoạn bằng 1/10 chiều dài của đoạn AB, vị trí thứ hai D 2 nằm giữa D1B
và cách vị trí thứ nhất một đoạn l = 2, 2 m. Do có gió thổi theo chiều từ A đến B nên
tốc độ cháy lan của ngọn lửa theo chiều gió nhanh gấp 7 lần theo chiều ngược lại.
Toàn bộ dải bột sẽ bị cháy hết trong thời gian t 1=60 giây. Nếu tăng l lên gấp đôi
giá trị ban đầu thì thời gian cháy hết là t 2=61 giây. Nếu giảm l xuống còn một nửa

giá trị ban đầu thì thời gian cháy hết là t3=60 giây. Tính chiều dài của đoạn AB.
Hướng dẫn:
- Đặt chiều dài AB là L, v là vận tốc cháy của ngọn lửa ngược chiều gió, khi đó vận
tốc cháy theo chiều gió sẽ là 7v.
- Các điểm đốt lửa sẽ chia AB làm 3 phần:
+ phần đầu phía A với chiều dài L/10 sẽ cháy với vận tốc v.
+ phần giữa có chiều dài x cháy với vận tốc 8v (do hai ngọn lửa cháy từ hai đầu lại
với vận tốc tương ứng là v và 7v).
9



+ phần cuối có chiều dài  L-x ÷ cháy với vận tốc 7v.
 10

Thời gian cháy hết đoạn AB là thời gian cháy lâu nhất của một trong ba đoạn trên
đây. Ta xét các khả năng có thể:
a) Trong trường hợp đầu khi x=l
4


- Thời gian cháy lâu nhất không phải là ở đoạn giữa vì nếu như vậy thì khi tăng x
đến giá trị 2l thì thời gian cháy cũng phải tăng gấp đôi, tức là t2=2t1 → mâu thuẫn
gt.
- Thời gian cháy lâu nhất cũng không phải là đoạn phía đầu B vì nếu như vậy thì
khi giảm l xuống đến l/2 thì thời gian cháy phải tăng lên → mâu thuẫn gt.
- Vậy thời gian cháy lâu nhất là ở đoạn đầu và bằng t1: t1 =

L
=60s (1)

10v

b) Khi tăng x đến 2l, tương tự ta xét các khả năng:
- Thời gian cháy lâu nhất không phải là phần đầu A vì đoạn này như cũ nên thời
gian cháy trên đó không thay đổi.
- Thời gian cháy lâu nhất cũng không phải là đầu B vì đoạn này được rút ngắn lại
so với trường hợp trên.
- Vậy thời gian cháy lâu nhất chỉ có thể là đoạn ở giữa: t2 =
Từ (1) và (2) ta tính được chiều dài của đoạn AB: L =

2l
= 61 s (2)
8v

150l
= 5, 4 m
61

4. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Một người đi bộ khởi hành từ C đến B với vận tốc v 1= 5km/h, sau khi đi
được 2h người ấy ngồi nghỉ 30 phút, rồi đi tiếp về B. Một người khác đi xe đạp
khởi hành từ A (AB>CB và C nằm giữa A và B) cũng đi về B với vận tốc v 2
=15km/h nhưng khởi hành sau người đi bộ 1h.
a.Tính quãng đường AB và AC biết 2 người đó đến B cùngmột lúc và khi người đi
bộ bắt đầu ngồi nghỉ thì người đi xe đạp đã đi được ¾ quãng đường AC.
b.Để gặp người đi bộ tại chỗ ngồi nghỉ, người đi xe đạp phải đi với vận tốc bằng
bao nhiêu?
Bài 2: Ba người cùng khởi hành từ A lúc 8h để đến B (AB=S=8km) do chỉ có 1 xe
đạp nên người thứ nhất chở người thứ hai đến B với vận tốc v 1=16km/h, rồi quay
lại đón người thứ 3. trong lúc đó người 3 đi bộ đến B với vận tốc v2=4km/h.

a.Người thứ ba đến B lúc mấy giờ? Quãng đường phải đi bộ là bao nhiêu?
b.Để đến B chậm nhất lúc 9h, người thứ nhất bỏ người thứ hai tại điểm nào đó rồi
quay lại đón người thứ ba. Tìm quãng đường đi bộ của người thứ hai và thứ 3,
người thứ hai đến B lúc mấy giờ?
Bài 3. Lúc 6h một xe tải đi từ A về C, đến 6h30 một xe tải khác đi từ B về C với
cùng vận tốc với xe tải 1, lúc 7h một ô tô đi từ A về C, ô tô gặp xe tải thứ nhất lúc
9h, gặp xe tải thứ hai lúc 9h30’. Tìm vận tốc của xe tải và ô tô. Biết AB = 30km.
Bài 4. Lúc 6h sáng một người đi xe gắn máy từ thành phố A đi về phía thành phố B
ở cách thành phố A 300km, với vận ốc v1=50km/h. lúc 7h một xe ô tô đi từ B về
phía A với vận tốc v2=75km/h.
a.Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ và cách A bao nhiêu km ?
5


b.Trên đường có một người đi xe đạp lúc nào cũng cách đều 2 xe trên. Biết rằng
người đi xe đạp khởi hành lúc 7h. hỏi:
- Vận tốc của người đi xe đạp bằng bao nhiêu?.
- Người đó đi theo hướng nào?
- Điểm khởi hành của người đó cách B bao nhiêu km?
Bài 5:
Khi đi qua

3
chiều dài cầu AB, một người nghe sau lưng mình tiếng còi của
8

chiếc ô tô đang đi lại cầu với vận tốc không đổi 60 Km/h. Nếu người này chạy
ngược lại thì gặp ô tô ở A, còn nếu chạy về phía trước thì ô tô sẽ đuổi kịp anh ta ở
B. Hỏi vận tốc của người ấy bằng bao nhiêu?

DẠNG 2: VẬN TỐC TRUNG BÌNH
TRONG CHUYỂN ĐỘNG KHÔNG ĐỀU.
1. lý thuyết:
- Chuyển động không đều là chuyển động mà độ lớn của vận tốc thay đổi theo thời
gian.
- Với chuyển động không đều, tỉ số

s
chỉ cho biết vận tốc trung bình trên đường
t

đi s.
- Công thức tính vận tốc trung bình:
Vtb =

s s1 + s2 + ... + sn
=
t t1 + t2 + ... + tn

- Với chuyển động không đều, để so sánh sự nhanh, chậm của các chuyển động, ta
phải tính vận tốc trung bình trên cả quãng đường rồi so sánh các vận tốc đó với
nhau.
2. phương pháp:
a. Bài toán chia quãng đường:
-Là dạng bài tập mà vật chuyển động trên các đoạn đường khác nhau với các vận
tốc khác nhau.
* Phương pháp:
-Tính thời gian vật đi trên từng đoạn đường với các vận tốc tương ứng:
s1
s

; t2 = 2 ;......
v1
v2
(Biểu diễ s1 , s2 , s3 ….. theo S dựa vào đề bài)
s
s
- Áp dụng công thức: Vtb = t = t + t + ... + t
1
2
n
t1 =

*Ví dụ:
6


Một chuyển động trong nửa quãng đường đầu chuyển động với vận tốc không
đổi v1 . Trong nửa quãng đường còn lại có vận tốc v2 . Tính vận tốc trung bình của
nó trên toàn bộ quãng đường.
Hướng dẫn :
- Gọi chiều dài cả quãng đường là S
Thời gian vật đi hết nửa quãng đường đầu và sau lần lượt là t1 , t2 , ta có:
t1 =

s1
s
s
s
=
; t2 = 2 =

v 1 2v1
v2 2v2

-Vận tốc TB trên cả quãng đường:
Vtb =

s
s
s
2v v
=
=
= 1 2
s
s
t t1 + t2
v1 + v2
+
2v1 2v2

2.Bài toán chia thời gian:
Là dạng bài tập mà vật chuyển động trong các khoảng thời gian khác nhau với
các vận tốc khác nhau:
* Phương pháp:
-Tính các quãng đường s1 , s2 , ….. mà vật đi được trong các khoảng thời gian
khác nhau t1 , t2 …….
(Biểu diễn t1 , t2 ……., tn theo thời gian đi cả quãng đường t)
s
t

-Áp dụng công thức : Vtb = =

s1 + s2 + ... + sn
t

* Ví dụ : Một vật chuyển động trong nửa thời gian đầu đi với vận tốc v1 nửa thời
gian còn lại đi với vận tốc v2 . Tính vận tốc TB của vật trên quãng đường đã đi ?
Hướng dẫn
Gọi thời gian vật đi hết cả quãng đường S là t
- Quãng đường vật đi được trong nửa thời gian đầu và sau lần lượt là :
t
t
s1 = v1.t1 = v1. ; s2 = v2t2 = v2 .
2
2

- Vận tốc TB trên cả quãng đường:
s s +s
Vtb = = 1 2 =
t
t

t
t
v1. + v2 .
2
2 = v1 + v2
t
2

3. Bài tập tổng hợp ( vừa chia quãng đường, vừa chia thời gian) :
* Phương pháp:
- Nếu chia quãng đường thì ta tính thời gian đi trên quãng đường đó; Còn chia thời
gian ta lại tính quãng đường đi được trong các khoảng thời gian đã chia.
- Vận dụng các phép biến đổi toán học để tính s1 , s2 ... theo s; t1 , t2 theo t
s
t

- Áp dụng công thức: Vtb = =

s1 + s2 + ... + sn
t

7


s

s

hoặc Vtb = t = t + t + ... + t
1
2
n
+ Chú ý: Ta cũng có thể giải bài tập này bằng cách chia thành nhiều bài toán nhỏ
như dạng 1 và 2.
* Ví dụ 1:
Một người đi từ A đến B. 1/3 quãng đường đầu người đó đi với vận tốc v1 . 2/3 thời
gian còn lại đi với vận tốc v2 . Quãng đường cuối cùng đi với vận tốc v3 .Tính vận
tốc trung bình của người đó trên cả quãng đường.

Hướng dẫn:
Gọi chiều dài quãng đường AB là S
t1 là thời gian ô tô đi hết 1/3 quãng đường đầu : t1 =

s
3v1

t2 là thời gian ô tô đi quãng đường còn lại

- Quãng đường ô tô đi được trong 2/3 và 1/3 thời gian còn lại lần lượt là:
2
1
s2 = v2 t2 ; s3 = v3 t2
3
3
2
2
1
2
s ⇔ v2t2 + v3t 2 = s
3
3
3
3
Mặt khác ta có:
2s
⇒ t2 =
2v2 + v3
s2 + s3 =

- Vận tốc TB trên cả quãng đường:
Vtb =

3v ( 2v2 + v3 )
s
s
s
=
=
= 1
s
2s
t t1 + t2
6v1 + 2v2 + v3
+
3v1 2v2 + v3

Chú ý: Ta cũng có thể giải bài tập này bằng cách chia thành nhiều bài toán nhỏ như
dạng 1 và 2.
VD 2:
Khoảng cách từ nhà đến trường là 12km. Tan trường bố đi đón con, cùng với
một con chó. Vận tốc của con là v 1 = 2km/h, vận tốc của bố là v2 = 4km/h. Vận tốc
của con chó thay đổi như sau:
Lúc chạy lại gặp con với vận tốc v3 = 8km/h, sau khi gặp đứa con thì quay lại
chạy gặp bố với vận tốc v4 = 12km/h, rồi lại tiềp tục quá trình trên cho đến khi hai
bó con gặp nhau.
Hỏi khi hai bố con gặp nhau thì con chó đã chạy được quãng đường là bao nhiêu ?
Hướng dẫn:
S

12

Thời gian hai bố con gặp nhau là: t = v + v =
= 2(h).
2+4
1
2
+ Tính vận tốc trung bình của con chó:
- Thời gian con chó chạy lại gặp người con lần thứ nhất là:

8


S

12

t1 = v + v =
= 1,2 (h).
2+8
1
3
- Quãng đường con chó đã chạy được là:
S1 = t1.v3 = 1,2.8 = 9,6 (km).
- Thời gian con chó chạy lại gặp bố lần thứ nhất là:
S1

9,6 − 1,2.4

t2 = v + v =

= 0,3 (h).
4 + 12
2
4
- Quãng đường con chó đã chạy được là:
S2 = t2.v4 = 0,3.12 = 3,6 (km).
⇒ Vận tốc trung bình của con chó là:
S1 + S 2

9,6 + 3,6

vtb = t + t = 1,2 + 0,3 = 8,8(km).
1
2
Vận tốc trung bình của con chó không thay đổi trong suốt quá trình chạy do đó:
Quãng đường con chó chạy được cho đến khi hai bố con gặp nhau là:
S chó = vtb.t
= 8,8.2= 17,6(km).
Vậy đến khi hai bố con gặp nhau thì con chó đã chạy được quãng đường là 17,6
km.
1. Bài tập vận dụng:
Bài 1. Hai người cùng xuất phát từ hai địa điểm A và B với vận tốc v 1, người thứ
nhất đi từ A đến B chia đường thành 4 chặng bằng nhau, vận tốc đi ở các chặng là:
v1, 2v1, 3v1, 4v1. Người thứ hai đi từ B về A chia thời gian thành 4 khoảng bằng
nhau, vận tốc đi ở các khoảng là: v1, 2v1, 3v1, 4v1.
a. Tìm vận tốc trung bình của mỗi người trên quãng đường AB.
b. Ai là người đến đích trước tiên?
Bài 2: Một người đi xe máy từ A đế B cách nhau 3600m, nửa quãng đường đầu xe
đi với vận tốc v1, nửa quãng đường sau người đó đi với vận tốc v2 = v1/2. Hãy xác định
v1, v2 sao cho sau 10 phút người ấy đến được điểm B.

Bài 3. Một người đi xe đạp đi từ A đến B . Trên ¼ quãng đường đầu người đó đi
với vận tốc v1, nửa thời gian còn lại đi với vận tốc v 2, nửa quãng đường còn lại đi
với vận tốc v1 và đoạn cuối cùng đi với vận tốc v 2. tính vận tốc trung bình của
người đó trên cả quãng đường.
Bài 4. Một người đi trên quãng đường S chia thành n chặng không đều nhau, chiều
dài các chặng đó lần lượt là S1, S2, S3, … Sn.
9


Thời gian người đó đi các chặng tương ứng là t 1, t2, t3,….. tn. tính vận tốc trung bình
của người đó trên toàn bộ quãng đường. Chứng minh rằng vận tốc trung bình đó
lớn hơn vận tốc bé nhất và nhỏ hơn vận tốc lớn nhất.
Bài 5. Một ca nô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B của một con sông cách nhau
90km, rồi lại trở về A. Cho biết vận tốc của ca nô là 25km/h và vận tốc dòng nước
Là 5km/h. Tính vận tốc của ca nô khi xuôi dòng , khi ngược dòng và vận tốc trung
bình của ca nô trên toàn bộ cuộc hành trình cả đi và về.
DẠNG 3: VẬN TỐC TƯƠNG ĐỐI
1. Lý thuyết:
Hai vật chuyển động trên một đường thẳng có tốc độ lần lượt là v1 và v2 . Vận
tốc của chuyển động 1 so với chuyển động 2, hoặc của chuyển động 2 so với
chuyển động 1( gọi lầ vận tốc tương đối) là:
+ Nếu hai chuyển động cùng chiều: v12 = v21 = v1 − v2
+ Nếu hai chuyển động ngược chiều: v12 = v21 = v1 + v2
* Hệ quả:
- Nếu hai vật cách nhau một khoảng L chuyển động hướng về nhau thì thời gian hai
L

vật gặp nhau là: t = v + v
1
2

- Nếu hai vật cách nhau một khoảng L : Vật 1 đuổi theo vật 2 thì thời gian hai vật
L

gặp nhau là: t = v − v
1
2
2.Phương pháp:
- Xác định vận tốc tương đối của vật này đối với vật kia v12.
- Xác định quãng đường vật này đi được đối với vật kia s12.
s12

- Vận dụng công thức t = v và giải như các bài tập thông thường
12

AB

( hoặc áp dụng công thức t = v )
12
* Chú ý: Nếu các vật tham gia chuyển động không phải là chất điểm
( có chiều dài đáng kể) thì ta xét chuyển động của các điểm trên các vật; Và chọn
các điểm sao cho cuối cùng chúng gặp nhau ( ngang nhau). Và áp dụng công
AB

thức t = v .
12
3. Ví dụ:

10

VD1:
Hai gương phẳng (M) và (N) đặt song song quay mặt phản xạ vào nhau. Một
điểm sáng S nằm giữa hai gương, gọi S n là ảnh của S qua (N), S m là ảnh của S qua
(M). Cho S chuyển động thẳng đều với vận tốc v = 2cm/s trên đoạn thẳng vuông
góc với hai gương và hướng về gương (N). Tính vận tốc của S m so với S, vận tốc
của S m so với S n .
Hướng dẫn:
- Trong thời gian t điểm sáng S dịch chuyển lại gần gương (N) đoạn đường là d
thì:
v=

d
t

+ S m dịch chuyển ra xa gương N đoạn đường cũng là d, nên quãng đường S m dịch
chuyển so với S trong thời gian t là 2d. Vậy vận tốc của S m so với S:
vm =

2d
= 2v = 4cm / s
t

+ S n cũng dịch chuyển lại gần gương N đoạn đường cũng là d, nên S m không dịch
chuyển so với S n , vậy vận tốc của S m so với S n bằng không.
VD2:
Hai đoàn tàu chuyển động ngược chiều nhau, đoàn tàu thứ nhất có vận tốc 36km/h,
còn đoàn tàu kia có vận tốc 54km/h. Một hành khách ngồi trên đoàn tàu thứ nhất
nhận thấy đoàn tàu hai qua trước mặt mình mất một thời gian là 6 giây. Tính chiều
dài đoàn tàu thứ hai.
Hướng dẫn:

- Vì hai chuyển động ngược chiều , nên vận tốc của tàu hai so với tàu một là:
v = v1 + v2
- Lấy hành khách làm mốc thì quãng đường tàu hai đi được phải bằng chiều dài tàu
hai:
s = l2 = v.t = ( v1 + v2 ) t = ( 10 + 15 ) 6 = 150 ( m )

Vậy chiều dài tàu hai là 150m.
* Cách 2:
- Xét tại thời điểm to=0 thì hai đầu tàu ngang nhau( đầu tàu 1 cách đuôi tàu 2 một
khoảng là l2 )
- Khi đầu tàu 1 ngang đuôi tàu 2 ( đầu tàu 1 gặp đuôi tàu ) ta có:
l

2
t = v + v → l2 = t (v1 + v2 ) = 150m
1
2

4. Bài tập vận dụng:
11


Bài 1. Một hành khách ngồi trong một đoàn tàu thứ nhất có chiếu dài l1=900m đang
chạy với vận tốc 36km/h nhìn thấy đoàn tàu thứ hai chiều dài 600m chạy song song
cùng chiều, vượt qua trước mặt mình trong khoảng thời gian t2=60s. Hỏi:
a, Vận tốc của tàu thứ hai?
b, Thời gian t1 mà một hành khách ở đoàn tàu thứ hai nhìn thấy doàn tàu thứ
nhất qua trước mặt mình.
c, Giả sử hai tàu chạy ngược chiều . Tìm thời gian mà hành khách ở đoàn tàu
này nhìn thấy đoàn tàu kia đi qua trước mắt mình. Biết vận tốc của mỗi tàu đều giữ

nguyên như trên.
Bài 2. Một hành khách đi dọc theo sân ga với vận tốc không đổi 4km/h, ông ta chợt
nhận thấy có hai đoàn tàu hỏa đi lại gặp nhau trên hai đường sắt song song nhau.,
một tàu có n1=9toa, tàu kia có n2=10 toa. Ông ta ngạc nhiên thấy rằng hai toa đầu
của 2 đoàn tàu ngang hàng với nhau đúng lúc đối diện ông, ông còn ngạc nhiên hơn
nữa khi thấy hai toa cuối cùng của đoàn tàu cũng ngang hàng với nhau đũng lúc đối
diện với ông. Coi vận tốc các tàu như nhau. Tính vận tốc các tàu.
Bài 3. Một tàu điện đi qua một sân ga với vận tốc không đổi và khoảng thời gian đi
hết sân ga đó (tức là khoảng thời gian tính từ lúc đầu tàu điện ngang với đầu sân ga
đến khi đuôi nó ngang với đầu kia của sân ga) là 18s, . Một tàu điện khác cũng
chuyển động đều qua sân ga đó nhưng theo chiều ngược lại , khoảng thời gian đi
hết sân ga đó là 14s, xác định khoảng thời gian hai tàu điện này đi qua nhau. Biết
rằng hai tàu có chiều dài như nhau và bằng nửa chiều dài sân ga.
Bài 4: Các nhà thể thao chạy thành hàng dài l, với vận tốc v như nhau. Huấn luyện
viên chạy ngược chiều với họ với vận tốc uchiều với huấn luyện viên khi gặp ông ta với vận tốc như trước . Hỏi khi tất cả nhà
thể thao quay trở lại hết thì hàng của họ dài bao nhiêu?
Bài 5. Một người đi dọc theo đường tàu điện . Cứ 7 phút thì thấy có một chiếc tàu
điện vượt qua anh ta, nếu đi ngược chiều trở lại thì cứ 5 phút thì lại có 1 tàu điện
ngược chiều qua anh ta. Hỏi cứ mấy phút thì có 1 tàu chạy?
12


DẠNG 4: TỔNG HỢP HAI VÉC TƠ VẬN TỐC
1. Lý thuyết:
- Trong chuyển động đều , tốc độ không thay đổi. Véc tơ vận tốc có:
+ Gốc tại một điểm trên vật.
+ Hướng trùng với hướng chuyển động.
+ Độ dài tỉ lệ với tốc độ theo một tỉ lệ xích tùy ý cho trước.
- Chuyển động của vật có tính tương đối , vận tốc của cùng một vật sẽ có giá trị,

phương và chiều khác nhau so với các vật làm mốc khác nhau.
- Một vật đồng thời tham
r urgiauu
rhai chuyển động , thì véc tơ vận tốc của vật bằng tổng
hai véc tơ vận tốc: v = v1 + v2
ur uu
r
+ Nếu v1 , v2 cùng hướng → vec tơ tổng có độ lớn: v = v1 + v2
ur uu
r
+ Nếu v1 , v2 ngược hướng → vec tơ tổng có độ lớn : v = v1 − v2
ur
uu
r
+ Nếu v1 vuông góc với v2 → v 2 = v12 + v2 2
2. Phương pháp:
- Xét chuyển động của vật : Xem vật tham gia vào mấy chuyển động, các chuyển
động đó cùng hay ngược chiều.
- Tổng hợp các véc tơ vận tốc ( tổng hợp từng cặp một). Và coi vật tham gia vào
một chuyển động với tốc độ bằng độ lớn của véc tơ vận tốc tổng.
- Giải bài tâp như các bài toán chuyển động thông thường.
1. Ví dụ:
VD 1: Một chiếc thuyền chuyển động xuôi dòng khi đi qua một chiếc cầu tại A thì
đánh rơi một chiếc phao xuống sông. Thuyền chạy được 40 phút tới một điểm B,
cách cầu 1,2 km thì phát hiện ra phao bị mất, nên quay lại tìm phao với vận tốc so
với nước gấp đôi vận tốc của nó so với nước trước đó. Sau khi vớt được phao
thuyền chạy với vận tốc so với nước giống như trước lúc mất phao và quay lại đi
xuôi dòng mất 30 phút ( kể từ lúc vớt được phao) mới tới được điểm B. Tìm vận
tốc của nước chảy và vận tốc của thuyền đối với nước.
Hướng dẫn

Gọi t1 = 40 phút =

2
h là thời gian thuyền đi từ A đến B;
3

t2 là thời gian thuyền đi từ B đến lúc gặp phao;
t3 = 30 phút = 0,5 h là thời gian thuyền đi xuôi dòng từ lúc gặp lại phao đến lúc
đến B;
vtn và vn lần lượt là vận tốc của thuyền đối với nước lúc xuôi dòng và vận tốc của
nước
Trong thời gian t1 thuyền đi xuôi dòng:
13


t1 ( vtn + vn ) = AB ⇒ ( vtn + vn ) =

AB
3
= 1, 2. = 1,8...(1)
t1
2

Trong thời gian t2 thuyền đi ngược dòng
AB − vn t1 − vn t2 = ( 2.vtn − vn ) t2

2
1, 2 − vn
AB − vn t1
3

⇒ t2 =
=
2.vtn
2vtn

Quãng đường đi của thuyền trong thời gian t3 là
t2 ( 2vtn − vn )

2
1, 2 − vn
3 ( 2v − v ) = ( v + v ) . 1 = 1,8 = 0,9 ⇒
= ( vtn + vn ) t3 ⇒
tn
n
tn
n
2vtn
2 2

2
(1, 2 − vn ) ( 2vtn − vn ) = 1,8vtn
3
2
⇒ vn − 2,1vn + 0,54 = 0..(2)

Nghiệm của phương trình (2)
vn = 1,3km / h
 vtn = 1,8 − vn = 0,5km / h
v = 0,3km / h ⇒  v = 1,8 − v = 1,5km / h
n

 n
 tn

Điều kiện để thuyền đi ngược dòng là
2vtn − vn > 0 ⇒ vtn >

vn
2

Vậy đáp số của bài toán là
vtn = 1,5km / h
v = 0,3km / h
 n

VD2:
Một ca nô chạy tư bến A đến bến B rồi trở về bến A trên một dòng sông. Hỏi
nước sông chảy nhanh hay chậm thì vận tốc trung bình của ca nô trong suốt thời
gian cả đi lẫn về thay đổi gì ?
Hướng dẫn:
- Gọi v là vận tốc của ca nô so với nước, vn là vận tốc của nước so với bờ sông,
AB = s.Ta có:
Vận tốc của ca nô so với bờ khi xuôi và ngược dòng lần lượt là:
v + vn và v − vn .
- Thời gian ca nô đi từ A đến B khi xuôi và ngược dòng lần lượt là:
t1 =

s
s
, t2 =
v + vn

v − vn

- Vận tốc trung bình của ca nô trong thời gian cả đi lẫn về là:

14


vTB =

v 2 − vn 2
2s
=
t1 + t2
v

Nhận thấy: Khi nước sông chảycàng nhanh thì vận tốc trung bình của ca nô
càng nhỏ, thời gian cả đi lẫn về củ ca nô càng lớn và ngược lại.
VD3:
Một ca nô đi ngang sông xuất phát từ A nhằm thẳng hướng tới B. A cách B một
khoảng AB = 400m. Do nước chảy nên ca nô đi đến vị trí C cách B một đoạn BC
= 300m
Biết vận tốc nước chảy là 3m/s
Tính thời gian ca nô chuyển động.
Tính vận tốc của ca nô so với nước và so với bờ hồ.
Hướng dẫn
B
C
v1

v

v2

A
Tính thời gian chuyển động của ca nô :
Gọi V1 là vận tốc ca nô đơi với dòng nuớc
V2
là vận tốc dòng nước dối với bờ
V là vận tốc ca nô đối với bờ.
Ta có V = V1 + V2
Thời gian ca nô chuyển động từ A đến C bằng thời gian ca nô chuyển động từ A
đến B hoặc từ B đến C ta có:
t=

BC 300
=
= 100s
V
3

b) Vận tốc ca nô đối với nước.
V1 =

AB 400
=
= 4(m / s)
t
100

Vận tốc ca nô đối với bờ:
V = V12 + V 22

V = 4 2 + 32

V = 5 (m/s)
VD 4:
Hai điểm A và B nằm trên cùng một bờ sông, điểm C nằm trên bờ sông đối diện
sao cho đoạn AC vuông góc với dòng chảy. Các đoạn AB và AC bằng nhau. Một
lần người đánh cá từ A hướng mũi thuyến đến C1 để cập bến ở C rồi bơi ngay về A
15


theo cách đó thì mất t1 (h). Lần sau, ông hướng mũi thuyền sang C thì bị trôi xuống
C2 , phải bơi ngược lên C. Sau đó bơi ngay về A theo cách đó thì mất t 2 (h). Lần thứ
3, ông bơi xuống B sau đó quay về A thì mất t3 (h).
a. Hỏi lần nào ông lão bơi tốn ít thời gian nhất ? Lần nào bơi tốn nhiều thời gian
nhất ?
b. Xác định tỉ số giữa vận tốc dòng nước vn và vận
tốc v của thuyền. Biết rằng tỉ số giữa t1 và t3 là
4/5.
Xem vận tốc của thuyền do mái chèo và vận
tốc của
dòng nước trong mỗi lần là như nhau.
A
(Xem hình bên).
C
Hướng dẫn
a. Lần 1:
- Vận tốc chuyển động thực của thuyền là:
v1 = v 2 − vn2 .

B

AC
- Thời gian người đó đi từ A đến C là: v .
1

2 AC

2 AC

-Thời gian tổng cộng cả đi cả về của người đó là: t1 = v = 2 2 .
v − vn
1
Lần 2:
Người đó đi thuyền đến C2 với vận tốc v2 = v 2 + vn2 cũng giống như là người đó
đi thuyền đến C với vận tốc là v .
Ta có thời gian người đó đi từ A đến C2 sau đó đi từ C2 đến C là:
AC CC 2
+
v
v − vn
AC
v
ACvn
Mà ta lại có: CC = v ⇒ CC 2 =
v
2
n

(1)
(2)

Thay (2) vào (1) ta có thời gian người đó đi từ A đến C 2 sau đó đi từ C2 đến C sẽ là:
AC CC 2
AC.vn
AC
AC
+
+
=
=
.
v
v−v
v
v (v − v n ) v − v n

Nên thời gian tổng cộng cả đi cả về của người đó trong lần thứ 2 là:
t2 =

2 AC
v − vn

Lần 3:
AB

AB

AB.2v

AC.2v

Thời gian người đó cả đi cả về là: t3 = v + v + v − v = v 2 − v 2 = v 2 − v 2 .
n
n
n
n

16


2 AC
2
t1
v 2 − vn2
v 2 − vn2
v 2 − vn2
 vn 
Ta có: t =
=
=
= 1 −   < 1. Nên t1 < t3 .
2 AC.v
3
v2
v
v 
2
2
v − vn
2 AC.v

t3 v 2 − vn2
v
=
=
< 1. Nên t3 < t 2
2 AC
t2
v + vn
v − vn
Từ (3) và (4) ta có: t1 < t3 < t 2 .

(3)

(4).

Vậy nên lần thứ nhất tốn ít thời gian nhất, còn lần thứ hai mất nhiều thời gian nhất.
2
t1
 vn 
b. Từ câu (a) ta đã có: t = 1 −   .
3
v 
2
t1 4
v
4
3
v



n
Mà theo bài ra thì t = + ⇒ 1 −   = ⇒ n = .
5
5
v 5
3
v 

4.Bài tập vận dụng:
Bài 1: Một chiếc thuyền xuôi dòng từ A đến B rồi ngược dòng từ B về A hết 2h30
phút.
a. Tính khoảng cách AB. Biết vận tốc của thuyền khi xuôi dòng là v1=18km/h,
khi ngược dòng là v2=12km/h.
b. Trước khi thuyền khởi hành t=30 phút có một chiếc bè trôi theo dòng nước
qua A. Tìm thời điểm các lần thuyền và bè gặp nhau.
Bài 2: Khi đi xuôi dòng sông , một chiếc ca nô đã vượt một chiếc bè tại điểm A.
Sau thời gian t=60 phút , chiếc ca nô đi ngược lại và gặp chiếc bè tại một điểm cách
A về phía hạ lưu một khoảng l=6km. xác định vận tốc của dòng nước. Biết rằng
động cơ ca nô chạy với cùng một chế độ ở cả hai chiều chuyển động.
Bài 3. Hai ca nô làm nhiệm vụ đưa thư giữa hai bến sông A và B . hằng ngày vào
lúc quy định 2 ca nô rời bến A và B chạy đến gặp nhau trao đổi bưu kiện cho nhau
rồi quay trở lại . Nếu cả hai cùng rời bến một lúc thì ca nô A đi hết 1,5h mới quay
về bến , còn ca nô B đi mất 3h mới quay trở về bến . Hỏi muốn hai ca nô đi mất

17


thời gian bằng nhau thì ca nô ở B phải xuất phát muộn hơn ca nô ở A một khoảng
thời gian bằng bao nhiêu. Biết hai ca nô có cùng vận tốc đối với nước.
Bài 4: Một thang cuốn tự động đưa khách từ tầng trệt lên tầng lầu (khách đứng yên

trên thang) mất thời gian 1 phút. Nếu thang chạy mà khách bước lên đều thì mất
thời gian 40s. Hỏi nếu thang ngừng thì khách phải đi lên trong thời gian bao lâu?
Bài 5: Một ca nô đi ngang qua sông xuất phát từ A, nhằm thẳng hướng tới B, A
cách B một khoảng AB = 400m. Do nước chảy nên ca nô đến vị trí C cách B một
đoạn BC=300m. Biết vận tốc nước chảy bằng 3m/s.
a. Tính thời gian ca nô chuyển động .
b. Tính vận tốc của ca nô so với nước và so với bờ sông.
DẠNG 5: CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU.
CHUYỂN ĐỘNG THEO QUY LUẬT
1. Phương páp:
a. Chuyển động tròn đều:
- Khi vật đi được một vòng thì chiều dài quãng đường bằng chu vi hình tròn:
C= 2π R ( R là bán kính đường tròn).
- Ứng dụng tính tương đối của chuyển động.
- Số lần gặp nhau giữa các vật được tính theo số vòng chuyển động của vật được
coi là chuyển động.
b. Chuyển động theo quy luật:
+ Phương pháp:
- Xác định quy luật của chuyển động.
- Tính tổng quãng đường chuyển động. Tổng này thường là tổng của một dãy số.
- Giải phương trình nhận được với số lần thay đổi vân tốc là số nguyên.
2. Ví dụ:
VD1:
Chiều dài của một đường đua hình tròn là 3,6km.Hai xe máy chạy trên đường
này hướng tới gặp nhau với vận tốc v1 = 36km / h và v2 = 54km / h . Hãy xác định
khoảng thời gian nhỏ nhất tính từ thời điểm họ gặp nhau tại một nơi nào đó trên
đường đua đến thời điểm họ lại gặp nhau tại chính nơi đó.
Hướng dẫn:
18

- Thời gian để mỗi xe chạy được một vòng là:
t1 =

C
= 0,1( h)
v1

t2 =

C 1
= ( h)
v2 15

- Giả sử lần đầu tiên chúng gặp nhau tại A. Sau khi xe một đi thêm m vòng,xe hai
đi thêm n vòng nữa thì chúng lại gặp nhau lần 2 và mất khoảng thời gian là ∆t .
Ta có:

∆t = mt1 = nt2 ↔

t1 n
n 3 3k
= ↔ = =
t2 m
m 2 2k

→ ∆t = mt1 = 2kt1 → ∆tmin ↔ k = 1 → ∆tmin = 2t1 = 0, 2h

VD2:
Hai vật chuyển động cùng chiều trên hai đường tròn đồng tâm có chu vi là

C1= 50m và C2 = 80m với các vận tốc tương ứng v 1= 4m/s và v2= 8m/s. Giả sử vào
một thời điểm cả hai vật nằm trên cùng một bán kính của vòng tròn lớn thì sau bao
lâu chúng lại nằm trên cùng một bán kính của vòng tròn lớn đó?
Hướng dẫn
Thời gian để các vật chuyển động hết một vòng tròn tương ứng (chu kì )là:
C

1
T1= v = 12,5s ;
1

C

2
T2= v = 10s
2

Giả sử có một chuyển động thứ ba trên đường tròn C2 có thời gian đi hết một vòng
bằng T1 thì vận tốc của của chuyển động này là:
v3 =

C2
80
=
= 6, 4m / s
T1 12,5

Giả sử tại thời điểm nào đó cả ba chuyển động cùng
nằm trên một bán kính của vòng tròn lớn, khi đó
chuyển động một và chuyển động ba luôn nằm trên

cùng một bán kính của vòng tròn lớn đó (vì chuyển
động một và chuyển động ba cùng chu kì)
Khi đó bài toán chuyển thành: chuyển động hai và
chuyển động ba đuổi nhau trên vòng tròn lớn
(hình vẽ 1)
Thời gian giữa hai lần chúng gặp nhau( thời gian cần tìm)
∆t =

C2
TT
= 1 2 = 50 s
v2 − v3 T1 − T2

19

v2
v

O• 1
C2

C1

v3


VD3:
Một người đi bộ và một người đi xe đạp cùng khởi hành ở một địa điểm, và đi
cùng chiều trên một đường tròn bán kình R =
v1 = 6, 25m / s , của người đi bộ là v2 = 1,25m/s.

900
(m) .Vận tốc của người đi xe đạp là
π

a, Hỏi khi người đi bộ đi được một vòng thì gặp người đi xe đạp mấy lần?
b,Tính thời gian và địa điểm gặp nhau lần đầu tiên khi người đi bộ đi được
một vòng?
Hướng dẫn:
a, Chu vi hình tròn: C = ∆ 2π R = 1800m
C

1800

+ Thời gian để người đi bộ đi hết một vòng là: t = v = 1, 25 = 1440( S )
2
+ Vận tốc của người đi xe đạp so với người đi bộ là: v = v1 − v2 = 6,25 -1,25 =5(m/s)
+ Quãng đường đi được của người đi xe đạp so với người đi bộ là:
s2 = vt = 7200(m)

+ Số vòng người đi xe đạp đi được so với người đi bộ là:
n=

s2 7200
=
= 4 ( vòng)
C 1800

Vậy người đi xe đạp gặp người đi bộ 4 lần.
b,Khi đi hết một vòng so với người đi bộ thì người đi xe đạp gặp người đi bộ một

lần ở cuối đoạn đường.
+ Thời gian người đi xe đạp đi hết một vòng so với người đi bộ là:
t1 =

C 1800
=
= 360( S )
v
5

+ Lần gặp thứ nhất sau khi xuất phát cách vị trí xuất phát là
x1 = v2t1 = 1, 25.360 = 450(m)

VD 4:
Một động tử xuất phát từ A trên đường thẳng hướng về B với vận tốc ban đầu
v0 = 1m / s , biết rằng cứ sau 4 giây chuyển động vận tốc lai tăng gấp 3 lần, và cứ
chuyển động được 4 giây thì động tử ngừng chuyển động trong 2 giây. Trong khi
chuyenr động thì động tử chỉ chuyển động thẳng đều.Sau bao lâu động tử đến B
biết AB= 6km.
Hướng dẫn:
+ Dễ thấy vận tốc của động tử trong n lần chuyển động đầu tiên là:
30 m / s;31 m / s;32 m / s......;3n −1 m / s

+ Quãng đường tương ứng mà động tử đi được trong n lần chuyển động tương ừng
là: 4.30 m; 4.31 m;......; 4.3m n −1 4.30 m; 4.31 m;......; 4.3n −1 m
+Quãng đường động tử chuyển động trong thời gian này là:
sn = 4(30 + 31 + 32 + ...... + 3n −1 ) = 2(3n − 1) (m)
Ta có phương trình:
2(3n − 1) = 6000 → 3n = 3001

20


+ Ta thấy 37 = 2187;38 = 6561 nên ta chọn n=7
+ Quãng đường động tử đi trong 7 lần chuyển động đầu tiên là:
2.2186= 4372
+ Quãng đường còn lại là: 600 – 4372 =1628 (m)
Trong quãng đường còn lại này động tử đi với vận tốc là : 37 = 2187 (m/s)
( Với n=8)
+ Thời gian đi hết quãng đường còn lại này là: 1628:2187=0,74 (s)
+ Tổng thơi gian chuyển động của động tử là: 7.4 + 0,74 =28,74 (s)
Ngoài ra trong quá trình chuyển động động tử vó 7 lần nghỉ. Nên thời gian động tử
chuyển động từ A đến B là: t = 28,74 + 2.7 =42,74 ( s )
2. Bài tập vận dụng:
Bài 1. Vòng chạy quanh sân trường dài 400m. Hai học sinh chạy thi cùng xuất phát
từ một điểm. Biết vận tốc của các em lần lượt là v1 = 4,8 m/s và v2 = 4 m/s. Tính thời
gian ngắn nhất để hai em gặp nhau trên đường chạy.
Bài 2. Có 3 chiếc xe chuyển động trên một đường
tròn khép kín chiều dài 200km, bắt đầu từ A.
-Xe 1 xuất phát lúc 8h với vận tốc v1=20km/h
-Xe 2 đi theo chiều xe 1 nhưng khởi hành sau 1h
-Xe 3 khởi hành lúc 10h với vận tốc v3
a. Tính v2, v3 để 3 xe đến C cùng một lúc. Biết A cách C 100km.
b. Lúc 3 xe gặp nhau thì đồng hồ chỉ mấy giờ?
Bài 3.
Hai vật chuyển động cùng chiều trên hai đường tròn đồng tâm có chu vi là
C1= 50m và C2 = 80m với các vận tốc tương ứng v 1= 4m/s và v2= 8m/s. Giả sử vào
một thời điểm cả hai vật nằm trên cùng một bán kính của vòng tròn lớn thì sau bao
lâu chúng lại nằm trên cùng một bán kính của vòng tròn lớn đó?
Bài 4. Một xe khởi hành từ A để đi đến B. Quãng đường AB dài 60km. Xe cứ chạy

20 phút lại dừng lại nghỉ 10phút .Trong 20 phút đầu xe chạy với vận tốc
v1=12km/h.Trong các khoảng 20 phút chuyển động sau vận tốc tăng dần là 2 v 1, 3
v1, 4 v1,………
a)Tính thời gian xe chạy từ A về B.
b)Tìm vận tốc trung bình của xe trên quãng đường AB.
c)Xác định vị trí xe dừng lại nghỉ mà vận tốc trung bình của xe trên quãng
đường từ A đến vị trí đó là 18km/h.
Bài 5. Một người đi trên quãng đường S chia thành n chặng không đều nhau, chiều
dài các chặng đó lần lượt là S1, S2, S3, … Sn.

21


Thời gian người đó đi các chặng tương ứng là t 1, t2, t3,….. tn. tính vận tốc trung bình
của người đó trên toàn bộ quãng đường. Chứng minh rằng vận tốc trung bình đó
lớn hơn vận tốc bé nhất và nhỏ hơn vận tốc lớn nhất.
DẠNG 6: ĐỒ THỊ ĐƯỜNG ĐI VÀ Ý NGHĨA CỦA NÓ.
1. Kiến thức cơ bản:
- Vì s= v.t ( Có dạng y = a .x ) nên đồ thị quãng đường theo thời gian là đường
thẳng.
- Điểm gặp nhau trên đồ thị cho biết thời điểm và vị trí hai vật gặp nhau.
- Hình chiếu của một điểm bất kỳ trên đồ thị lên trục OS cho biết độ lớn của đường
đi, lên trục Ot cho biết thời gian ( Trục tung là trục quãng đường, trục hoành là trục
thời gian).
- Nếu đồ thị của các chuyển động mà song song với nhau hoặc trùng nhau thì các
chuyển động đó có cùng vận tốc.
- Đồ thị càng nghiêng ( càng dốc) thì vận tốc càng lớn.
2. Phương pháp:
a,Vẽ đồ thị đường đi:
- Viết biểu thức đường đi .

- Lập bảng biến thiên của đường đi S theo thời gian t kể từ vị trí khởi hành.
- Vẽ hệ trục tọa độ Sot có gốc tọa độ trùng với điểm khởi hành, gốc thời là thời
điểmr xuất phát.
- Căn cứ vào bảng biến thiên, biểu diễn các điểm thuộc đồ thị lên hệ trục tọa độ
( chỉ cần xác định hai điểm). Nối các điểm này ta được đồ thị.
+ Chú ý: Khi vẽ đồ thị đường đi của nhiều chuyển động ta làm tương tự , nhưng
nên chọn gốc thời gian là lúc xe xuất phát trước, để bài toán đơn giản hơn.
*VD1:
Tại hai điểm A và B trên cùng một đường thẳng cách nhau 30km có hai xe
khởi hành cùng một lúc, chạy cùng chiều AB. Xe ô tô khởi hành từ A với vận tốc
45km/h. sau khi chạy được 1giờ thì dừng lại nghỉ 1 giờ, rồi tiếp tục chạy với vận
tốc 30km/h. Xe đạp khởi hành từ B với vận tốc 15km/h.
a. Vẽ đồ thị đường đi của hai xe trên cùng một hệ trục tọa độ.
b. Căn cứ vào đồ thị xác định thời điểm và vị trí lúc hai xe đuổi kịp nhau.
Hướng dẫn:

22


a. Đường đi của hai xe từ điểm xuất
phát:
- Xe ô tô tính từ A.
+ 1 giờ đầu: s1 = v1t = 45.1 = 45 km
+ 1 giờ nghỉ: s1 = 45km
Sau 2 giờ: s1 = 45 + v1t = 45 + 30t
- Xe đạp tính từ B: s2 = v2t = 15t
Bảng biến thiên:
0

1

2

3

s

t (h)
0
S 2 (km) 0
S1 (km)

45
15

45

(I)

(II)

3

t

75
75

60

45

30 b
bbbbB
15

A

0

1

2

b.Thời điểm và vị trí đuổi kịp nhau:
Giao điểm của hai đồ thị là I và K
- Giao điểm I có tọa độ (1 ; 45). Vậy sau 1 giờ ô tô đuổi kịp xe đạp, vị trí này cách
A 45km.
- Giao điểm K có tọa độ (3, 75) .Vậy sau 3h ô tô đuổi kịp xe đạp, vị trí này cách A
75km. Sau 3 giờ ô tô luôn chạy trước xe đạp.
VD 2:
Lúc 10 giờ một người đi xe đạp với vận tốc 10km/h gặp một người đi bộ đi ngược
chiều với vận tốc 5km/h trên cùng một đường thẳng. Lúc 10 giờ 30’ người đi xe
23


đạp dừng lại, nghỉ 30’ rồi quay trở lại đuổi theo người đi bộ với vận tốc như trước.
chuyển động của hai người là đều.
Vẽ đồ thị toạ độ – thời gian của hai người.
Căn cứ vào đồ thị xác định vị trí và thời điểm khi hai người gặp nhau lần thứ hai.

Hướng dẫn:
Chọn gốc thời gian là lúc 10h tại A
B v1=10km/h A v2=5km/h
Chiều dương của trục toạ độ là chiều chuyển động của người đi bộ chuyển động
của hai người là chuyển động đều nên đồ thị toạ độ thời gian là những đoạn thẳng.
- Phương trình chuyển động của người đi bộ.
Sau thời gian t toạ độ của người đi bộ X1 = V.t (Xo = 0)
Sau khi thời gian t toạ độ người đi xe đạp X2 = - V2 t
Người đi xe đạp sau thời gian t thì nghĩ lại thời gian t1 (tại B)
V1 = 0
X2 = X1+ V1t  X2 = Xo.
Sau thời gian t2 toạ độ người đi xe đạp là X2 = Xo + V1t3
t

0

X1 = X2t
X2 = -V1t
X2 = Xo = Xo-V1t1
X2 = Xo + V1t

0
0
0
0

1/2(10h30’) 1h(11) 2h(12) 3h(13)
2,5
-5

5

10

-5
v2 5

x(km)
D

15
10

0
5

v1

A

5

2
B

15

t(h)

3

B'

10

24

15


Nhìn vào đồ thị ta thấy. Đồ thị chuyển động của người đi bộ là đường thẳng 0A đồ
thị của người đi xe đạp là đường gấp khúc 0BBC.
Điểm D biểu diễn chỉ hai ngườ gặp nhau lần thứ 2 cách chổ gặp nhau lần thứ nhất
15 km theo chiều chuyển động của người đi bộ vào lúc 3h nghĩa là lúc 10h + 3h =
13h (1 giờ chiều).
b, Đồ thị đường đi và ý nghĩa của nó:
- Căn cứ vào chiều dương của trục thời gian để xác định điểm đầu của đồ thị.
- Từ tọa độ điểm đầu của đồ thị suy ra thời điểm và vị trí khởi hành của mỗi
chuyển động.
- Căn cứ vào chiều đi lên hay đi xuống của đồ thị đối với trục quãng đường để suy
ra chiều chuyển động.
- Dựa vào đồ thị xác định các đại lượng đã cho.
- Liên hệ các đoạn, các điểm được biểu diễn trên đồ thị.
- Vận dụng các công thức liên quan để suy ra đại lượng cần tìm.
VD1:
Hai chiếc xe ô tô chuyển động trên
một đường thẳng có đồ thị đường 100
đi được biểu diễn như hình vẽ .
a.Căn cứ vào đồ thị (1) và (2) . Hãy
so sánh chuyển động của hai xe.

80
b.Từ đồ thị hãy xác định thời
điểm , quãng đường đi và vị trí của
hai xe khi chúng gặp nhau, khi
chúng cách nhau 30m
60

x(km)
B
(I)

(II)
N
K
G

40

M

20

I

A

0

Hướng dẫn:
a. So sánh chuyển động của hai xe:

25

1

2

3

4

5 t(h)