CÁC bài TOÁN KHÚC xạ và PHẢN xạ bồi DƯỠNG học SINH GIỎI

1

CHUYÊN ĐỀ :
CÁC BÀI TOÁN KHÚC XẠ VÀ PHẢN XẠ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
Giáo viên: Nguyễn Phước Cẩm Nhung
A.MỞ ĐẦU
1) Lí do chọn đề tài
Trong chương trình Vật lí chuyên, phần quang học chiếm một số lượng lớn tiết
trong phân phối chương trình 11. Trong đó, các bài toán về khúc xạ và phản xạ toàn phần
thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi các cấp và thường có sử dụng đến đạo
hàm, tích phân và phương trình các đường cônic để giải các bài tập phức tạp.
Nhưng trong thực tế, giáo viên khi dạy cho học sinh còn gặp nhiều khó khăn vì
kiến thức toán học của học sinh 11 về đạo hàm, tích phân và phương trình các đường
cônic còn hạn chế, bên cạnh đó nguồn tài liệu cho vấn đề trên không nhiều và chưa tập
hợp thành dạng.
Với mong muốn giúp học sinh nắm bắt được các dạng bài tập khó trong phần khúc
xạ và phản xạ toàn phần chúng tôi chọn đề tài “ Các bài toán khúc xạ và xạ bồi dưỡng
học sinh giỏi.”. Hy vọng rằng đề tài sẽ có ích với học sinh và các đồng nghiệp trong quá
trình giảng dạy và ôn luyện học sinh giỏi.
2) Mục đích của đề tài
Đề tài nhằm đề xuất một số dạng bài tập về khúc xạ và phản xạ có sử dụng phép
tính đạo hàm, tích phân và các đường cônic kết hợp với các định luật quang học, đồng
thời trang bị cho bản thân tác giả những kiến thức cơ bản trong công tác giảng dạy học
sinh chuyên.


2

B.NỘI DUNG
I.LÍ THUYẾT
1)Định luật về sự truyền thẳng ánh sáng.

*Định luật
“ Trong một môi trường trong suốt và đồng tính, ánh sáng truyền theo đường thẳng”.
*Hệ quả:
Tia sáng là đường thẳng vẽ theo đường truyền của tia sáng”(trong một môi trường đồng
tính).
Trong thực tế, ta không thể tạo được một tia sáng hoàn toàn đúng theo định nghĩa
mà chỉ có thể tạo được những chùm sáng song song và hẹp.
2)Định luật phản xạ ánh sáng
*Nội dung:

- Tia phản xạ nằm trong mặt phẳng tới và ở bên kia pháp tuyến so với tia tới.
- Góc phản xạ bằng góc tới.
Trên hình 1,
mặt phản xạ:

là mặt ngăn cách hai môi trường trong suốt khác nhau và được gọi là

Tia SI được gọi là tia tới.
Tia IR được gọi là tia phản xạ.
I được gọi là điểm tới.
IN là pháp tuyến của mặt
Góc

tại điểm tới I.

là góc tới.

Góc
là góc phản xạ.
Mặt phẳng P chứa tia tới và pháp tuyến là

mặt phẳng tới.


3

Chú ý:
- Định luật phản xạ chỉ đúng khi mặt phản xạ có kích thước đủ lớn so với bước sóng của
ánh sáng.

- Khi chiếu một chùm tia sáng vào mặt

giới hạn hai môi trường truyền ánh sáng thì

ngoài chùm tia phản xạ theo định luật trên ta còn thấy nhiều chùm tia tán xạ truyền theo
nhiều phương khác, làm với chùm tia nhiều góc khác nhau. Nếu mặt

càng gồ ghề hoặc

có kích thước càng nhỏ thì cường độ các chùm tán xạ càng lớn và cường độ chùm phản
xạ càng nhỏ, cuối cùng không chênh lệch nhau nữa.
3) Định luật khúc xạ, định luật Snel-Đề-các
*Đinh luật:

- Tia khúc xạ nằm trong mặt phẳng tới (và ở bên kia pháp tuyến so với tia tới).
- Tỉ số giữa sin của góc tới i1 và sin của góc khúc xạ i2 là một hằng số n, gọi là chiết
suất tỉ đối của môi trường chứa tia khúc xạ đối với môi trường chứa tia tới.

(1)

Trên hình 1: tia IT gọi là tia khúc xạ, góc

gọi là góc khúc xạ.

*Chiết suất:
- Chiết suất tuyệt đối n của một môi trường là chiết suất của môi trường ấy đối với chân
không.Gọi c và v lần lượt là vận tốc ánh sáng trong chân không và trong một môi trường,
và n là chiết suất tuyệt đối của môi trường ấy thì:


4

(2)
-Chiết suất tỉ đối: nếu n1, n2 lần lượt là chiết suất tuyệt đối của hai môi trường 1,2 và v 1,
v2 lần lượt là vận tốc ánh sáng trong hai môi trường ấy thì chiết suất tuyệt đối của hai

môitrường là:

. (3)

4)Nguyên lí Fermat
a)Quang trình
Xét hai điểm A, B(hình 2) trên một tia sáng truyền trong một môi trường chiết suất
n, và gọi e=AB là độ dài đoạn AB. Ánh sáng truyền từ A đến B, mất một thời gian:

(4)
Với v là vận tốc ánh sáng trong môi trường.
Cũng trong thời gian

đường:

ấy, nếu truyền trong chân không, ánh sáng đi được quãng

(5)

Hai quãng truyền e0 và e của ánh sáng trong cùng một thời gian
trong chân không và
trong môi trường chiết suất n được gọi là hai quãng truyền tương đương và e0 gọi là
quang trình của quãng truyền AB, kí hiệu là :
(6)


5

Nếu tia sáng truyền từ A đến B
qua một dãy môi trường đồng tính
chiết suất n1, n2, ...ni...nk, ngăn cách
nhau
bởi
các
mặt
, (hình 3)
thì các quãng truyền AiAi+1 của tia
sángtrong mỗi môi trườnglà một

đoạn thẳng, độ dài ei và quang trình của tia sáng trên quãng truyền AB là:

(7)
Trong thực tế, điểm B trong hình 3 mà ta xét thường là ảnh của điểm A cho bởi
quang hệ. Mà ảnh của một điểm sáng qua một quang hệ có thể là ảnh thật B hoặc ảnh ảo
B’. Ảnh ảo B’ không nằm trên phần A k-1B của tia sáng trong môi trường k, mà vẫn nằm

trên đường kéo dài về phía trước điểm A k-1 của tia Ak-1B. Để vẫn có thể áp dụng công
thức (7), khi xét quang trình (AB’), ta coi quang trình ảo A k-1B’, hướng ngược chiều
truyền của ánh sáng như vẫn được truyền trong môi trường k, nhưng là số âm và quang
trình (AB’) có giá trị.

Hay là

Hoặ

c


6

Trong đó quang trình

nào ảo thì có độ dài là một số âm.

b) Nguyên lí Féc-ma
“ Quang trình của đường truyền một tia sáng từ một điểm A đến một điểm B sau
một số lần phản xạ và khúc xa liên tiếp bất kí có giá trị cực tiểu, cực đại, hoặc dừng so
với quang trình của các tia sáng vô cùng gần AB”.
5)Tính tương điểm, điều kiện tương điểm
a) Định nghĩa
-Hệ quang học được gọi là tương điểm khi ảnh của một điểm sáng cho bởi quang hệ cũng
hoàn toàn đúng là một điểm.
Như vậy đối với một hệ tương điểm thì:
-Một chùm sáng đồng tâm sau khi truyền qua hệ vẫn là một chùm sáng đồng tâm.
-Một chùm sáng có mặt sóng là một hình cầu sau khi truyền qua hệ vẫn là một chùm sóng
cầu.

b)Điều kiện tương điểm
Giả sử A’ là ảnh tương điểm của điểm
sáng A qua một quang hệ gồm k môi
trường chiết suất n1, n2, ...,nk ngăn
cách nhau bằng (k-1) mặt
.
A là tâm của các mặt sóng cầu S, A’
là tâm của các mặt sóng cầu S’.
Khi lần lượt truyền qua các môi trường ni, các mặt sóng S lần lượt bị biến đổi thành các
mặt Si, và cuối cùng thành các mặt sóng cầu S’.
Đối với mọi tia sáng trong chùm đi từ A, quang trình từ A tới các mặt sóng S đều bằng
nhau, quang trình giữa hai mặt sóng S i, S’i cũng bằng nhau và quang trình từ các mặt


7

sóng S’ tới A’ cũng bằng nhau, do đó quang trình từ A đến A’ của mọi tia sáng đều bằng
nhau, tức là

Và điều kiện tương điểm đối với cặp điểm A, A’ là:

Chú ý: lấy dấu trừ cho các quang trình ảo.

II.BỔ TÚC TOÁN
1)Bảng công thức đạo hàm
a) Các quy tắc tính đạo hàm:

1/

3/

2/

(c là hằng số)

4/

b)Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:

1/

3/

(c là hằng số)

2/

4/


8

5/

6/

7/

8/

9/

10/

11/

12/

13/
c)Một vài đạo hàm cấp cao của một vài hàm số sơ cấp:

1/

2/

3/

4/

5/


9

6/
2)Nguyên hàm, tích phân
a) Nguyên hàm

* Định nghĩa: Cho hai hàm số

là một nguyên hàm của

*Định lý: Nếu

,

xác định trong khoảng

nếu

được gọi

thì

sẽ có vô

.

là một nguyên hàm của

số nguyên hàm trong khoảng

.

trong khoảng

. Các nguyên hàm này có dạng

(c là hằng

số).

Người ta thường ký hiệu

b) Tích phân

là tập hợp các nguyên hàm của

.


10

* Định nghĩa:Cho hàm số

. Tích phân của

lên tục trên đoạn

trên đoạn

,

là một nguyên hàm của

là một số thực. Kí hiệu:

và được

xác định bởi :

Người ta thường dùng kí hiệu

(hoặc

) để chỉ

Khi đó:
*Các công thức tích phân
Công thức cơ bản

Công thức mở rộng

.


11

3)Các đường cônic
a)Định nghĩa:

-

Đường cô-nic có thể được định nghĩa theo hai cách:
Đường cô-nic là quỹ tích của các điểm mà tỉ lệ khoảng cách từ nó tới điểm cố
định F trên khoảng cách từ nó tới đường cố định L thì bằng giá trị thực e.

•

Đối với 0 < e < 1 ta được hình Ellipse (nằm trên mặt phẳng vuông góc với

đường L)

•

Đối với e = 1 là một parabol (nằm trên mặt phẳng chứa điểm F và đường L)


12

Đối với e > 1 là một hình hyperbol.

•

Ta có điểm cố định F được gọi là tiêu điểm, đường thẳng cố định L được gọi
là đường chuẩn và giá trị thực e được gọi là tâm sai.

- Đường cô-níc là đường giao giữa mặt nón tròn xoay và một mặt phẳng. Khi giao
của hình nón và mặt phẳng là một đường cong kín, tức mặt phẳng giao với toàn bộ
các đường sinh, không song song với đường sinh nào thì có tiết diện là một
đường ellipse. Nếu mặt phẳng song song một đường sinh của mặt nón, đường côníc sẽ trở thành một parabol. Cuối cùng, trường hợp mặt phẳng giao với hai mặt
nón có chung đỉnh (đồng thời cũng cắt hai đáy của hai hình nón này), tạo thành hai
đường cong riêng biệt gọi là hyperbol.
b) Phương trình đường cônic
Trong hệ tọa độ Descartes, hình của phương trình bậc hai hai ẩn luôn luôn là một
đường conic, và tất cả các đường cô-níc đều có thể biểu diễn được dưới dạng này.
Phương trình này có dạng
với A,B,Ckhông đồng thời bằng 0.
Ta có:

- Nếu

, phương trình cho ta một hình ellipse (trừ phi đường cô-nic bị

suy biến);

o Đồng thời nếu A = C và B = 0, phương trình cho ta hình tròn;

- Nếu

, phương trình cho một hình parabol;

- Nếu

, phương trình cho ta một hình hyperbol;


13

o Đồng thời nếu A+C=0, phương trình cho ta một hình theo tên tiếng anh
là rectangular hyperbola.

- Chú ý rằng A và B chỉ là các hệ số của đa thức, không phải là nửa độ dài của trục
-

thực hay trục ảo.
Qua hệ trục tọa độ, các phương trình có thể được viết dưới dạng đơn giản:

- Đường tròn:

.

- Ellipse:

- Parabol:

,

.

- Hyperbol:

- Rectangular Hyperbola:
-

.

Chú ý: Ở hình ellipse và hình hyperbol còn có thêm hai trục đối xứng mà ở
parabol chỉ có một:

- Ở hình ellipse được gọi là trục lớn và trục bé. Trục lớn là trục đi qua hai tiêu điểm
và tâm, trục bé là trục vuông góc với trục lớn tại tâm.

- Còn ở hình hyperbol tương ứng được gọi là trục thực và trục ảo. Trục thực là trục
đi qua hai tiêu điểm, hai đỉnh của hai nhánh, tâm. Trục ảo là trục vuông góc với
trục thực ở tâm của hyperbol.


14

Qui ước: Độ dài trục lớn (trục thực) bằng giá trị không đổi 2a. Độ dài trục ảo (trục bé)

bằng giá trị không đổi 2b. Trong đó,

đối với ellipse và

đối

với hyperbol (F1F2=2c và được gọi là tiêu cự).
III.BÀI TẬP
*Phản xạ bề mặt parabol
Bài 1: Một bình hình trụ đựng thủy ngân quay chung quanh trục thẳng đứng của hình trụ
với vận tốc góc không đổi

. Khi đạt trạng thái chuyển động ổn định, bề mặt thủy ngân

lõm xuống. Bỏ qua ảnh hưởng của lực căng mặt ngoài. Chứng tỏ rằng một chùm tia tới
song song chiếu từ trên xuống dọc theo trục quay, sau khi phản xạ trên mặt thủy ngân sẽ
hội tụ lại ở một điểm. Định vị trí của điểm hội tụ này?
Lời giải
Xét hệ quy chiếu không quán tính gắn với bình như hình vẽ 1.1.Khi đạt trạng thái
chuyển động ổn định, mỗi phần tử thủy ngân ở trên bề mặt cân bằng dưới tác dụng của
trọng lực và lực li tâm, hợp của hai lực nàyvuông góc với mặt thoáng của thủy ngân.
Mặt thoáng thủy ngân có trục quay là trục đối xứng. Trong mặt phẳng chứa trục
quay, xét một phần tử thủy ngân A bất kì trên bề mặt có tọa độ (x,y). Để tìm hệ thức liên
hệ giữa x và y ta áp dụng phương pháp vi phân. Xét một đoạn nhỏ giới hạn mặt thoáng
tại A, phương của đoạn nhỏ này có thể được xem như trùng phương với tiếp tuyến tại A.
Từ A kẻ tiếp tuyến của mặt thoáng thủy ngân cắt trục Ox tại I và hợp với Ox một góc
α.Ta có:

(góc có cạnh tương ứng vuông góc)

15

Theo định nghĩa đạo hàm ta có:
.

Mà

.

Suy ra
Tích phân hai vế ta được

.

.

Với

.Do đó

.

Vậy bề mặt thủy ngân là một paraboloic.
Xét tia sáng tới gặp mặt thủy ngân tại A(hình1.2). Tia phản xạ được xác định dựa vào
định luật phản xạ ánh sáng. Tia phản xạ cắt trục quay tại F. Tia sáng trùng với trục quay
phản xạ ngược lại theo chính nó.
Ta có
góc)

(góc có cạnh tương ứng vuông
OF=OA’-A’F,

với

.

Vậy
Mà

.


16

Suy ra

.

Vậy giao điểm F có vị trí cố định với mọi tia phản xạ ứng với chùm tia tới song song với
trục quay tại F. Đó là tiêu điểm chính với tiêu cự có giá trị là:

*Bài toán khúc xạ qua hai môi trường, giao tuyến của mặt khúc xạ và mặt phẳng tới
có hình dạng là các đường cônic.
Phương pháp chung:
Để giải bài toán này, thuận tiện hơn cả là ta dùng nguyên lí Fermat. Mặt khúc xạ là mặt
ngăn cách hai môi trường trong suốt đồng tính có chiết suất khác nhau, sao cho một
chùm tia song song bất kì sau khi khúc xạ qua nó đều hội tụ tại một điểm hoặc chùm tia
phân kì sau khi khúc xạ qua nó trở thành chùm tia song song. Do tính đối xứng, ta suy ra
rằng đó phải là một mặt tròn xoay đối với trục đối xứng của chùm sáng. Ta chỉ cần tìm

giao tuyến của mặt đó với một mặt phẳng bất kì đi qua trục.
Xét tia trung tâm và tia tùy ý. Vì tất cả các tia đến trục y đều cùng pha, nên quang trình
của các tia đều như nhau.Từ đây ta viết được phương trình của mặt cần tìm có chứa x và
y. Biến đổi phương trình này về dạng phương trình của các đường cônic.
Xét điều kiện của các giá trị chiết suất n1, n2 của hai môi trường để xác định dạng cụ thể
của đường cônic là hyperbol, elip, ....
Như vậy chúng ta đã tìm được dạng của mặt khúc xạ thỏa mãn điều kiện đặt ra.
Ví dụ.


17

Bài 2: Một mặt đối xứng tròn xoay
n2. Xác định
cách

ngăn cách hai môi trường trong suốt chiết suất n 1,

sao cho một chùm sáng hình nón, có đỉnh A ở trên trục đối xứng của

một khoảng d, trong môi trường 1, sau khi truyền qua mặt

,

sang môi trường 2,

thì trở thành một chùm song song. Xét hai trường hợp : n1>n2 và n1Lời giải
Ta lấy một mẳng phẳng chứa trục đối
xứng của mặt

làm mặt phẳng của
hình và lấy trục đối xứng làm trục
hoành, lấy giao điểm O của trục ấy với
mặt làm gốc tọa độ và trục Oy vuông
góc với Ox (Hình 2.1).
I là một điểm trên mặt

. Tia sáng AI

khúc xạ qua
rồi truyền trong môi
trường 2, theo phương song song với
trục Ox.

Gọi P là một mặt phẳng vuông góc với chùm tia khúc xạ, và H là giao điểm của tia khúc
xạ IA’ với mặt phẳng P.
Quang trình của tia AIH là:

Gọi x, y là tọa độ của I, đặt OB=b là khoảng cách từ O đến mặt phẳng P.
Chùm tia phản xạ là chùm tia song song và vuông góc với P nên quang trình của tia sáng
la không đổi, không phụ thuộc vào vị trí của điểm I. Vì vậy ta có:


18

,

hay

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

(2.1)
Đây là phương trình của một đường cônic, dạng cụ thể của nó phụ thuộc các giá trị của
n1, n2.
Trường hợp 1: n1>n2
Với n1>n2 hệ số của x2 và y2 đều dương. Vậy phương trình trên là phương trình của một
elip, và mặt

Thêm và bớt

là một mặt elipxôit tròn xoay. Phương trình (2.1) có thể viết:

vào vế trái, ta được:


19

Chia cả hai vế cho

, ta được:

Đây là phương trình elip quy về hai trục đối xứng của nó. Vậy, bán trục hướng theo Ox

và Oy có độ dài lần lượt là:

Tiêu cự 2c , với

Tâm O1 có hoành độ:

A cách O1 một khoảng:

; và tâm sai

.

.

.


20

Vậy A là tiêu điểm ở xa O, còn tiêu điểm
A1 ở gần O hơn, và elip có dạng vẽ trên
hình 2.2.
Nếu đặt một nguồn sáng tại điểm A, trong
môi trường n1, thì chùm sáng ló ra khỏi
elipxôit là một chùm hoàn toàn song song.

Trường hợp 2: n1Phương trình (1) vẫn đúng cho trường hợp này. Tuy nhiên bây giờ, hai số hạng đầu trở
thành số âm. Đổi dấu cả 3 số hạng ta được:

Biến đổi tương tư như trường hợp 1 ta được:

(2.3)
Đây là phương trình của một hyperbol quy về hai trục đối xứng. Hai bán trục và nửa tiêu
cự của nó có giá trị lần lượt là:

21

Cũng như trường hợp trên, A là tiêu điểm xa đỉnh
O của hyperbol, còn A 1 là tiêu điểm gần O và ở
trong môi trường có chiết suất n2(hình 2.3).

Bài 3:Một môi trường trong suốt, chiết suất n ngăn cách với chân không bằng một mặt
đối xứng tròn xoay

. Xác định phương trình của mặt

song song với trục đối xứng của

sao cho một chùm tia sáng

, khi truyền từ chân không qua mặt

vào môi trường

thì hội tụ tại một điểm F. Bán kính cực đại của chùm tia có thể hội tụ được bằng thấu
kính

này là bao nhiêu?

Nếu môi trường chứa chùm tia tới song song không phải chân không mà có chiết suất
N>n thì mặt

phải thay đổi thế nào?

Lời giải

Ta lấy đỉnh của trục đối xứng trên mặt

làm gốc tọa độ, trục đối xứng của mặt làm trục

hoành Ox, và trục Oy vuông góc với Ox trong một mặt kinh tuyến của
Ta xét hai tia sáng:

(Hình 3.1).


22

-Tia A0O đi theo trục đối xứng của
truyền qua
không bị lệch.

vào môi trường n,

-Tia AI song song với A0O tới điểm I
trên mặt , khúc xạ theo IR và cắt
tia Ox tại điểm F, cách O một
khoảng

.

Quang trình của hai tia là:

Quang trình của hai tia này phải bằng nhau với mọi x,y trên mặt

,

hay là
Bình phương hai vế của phương trình trên ta được phương trình:

Chia hai vế cho

, ta được:

. Ta có phương trình:


23

Thêm bớt số hạng

vào vế trái của phương trình ta thu được phương trình:

Hay

Theo giả thiết ta có n>1 nên

(3.1)

>0.

Vậy, phương trình (3.1) là phương trình của một elip với hai bán trục lần lượt là:

.

Bán tiêu cự của elip là

. Tâm sai là

.


24

Lập luận tương tự như bài 2, với giá trị
n>1,5 thì tiết diện của mặt
là một nửa
hình elip, mà F1 với OF1=f là một tiêu điểm,
còn tiêu điểm F2 ở gần O hơn(Hình 3.2).
Hình vẽ còn cho thấy rằng bán kính cực đại
của tiết diện chùm tia chính bằng bán trục
nhỏ của elip.

*Nếu môi trường chứa chùm tia song song có chiêt suất N>n thì ta chỉ cần đảo chiều các
tia sáng, bài toán lúc này tương tự như bài 2, từ đó ta có thể kêt luận rằng mặt

phải là

một hyperbolôit tròn xoay mà F là một tiêu điểm.

Mặt khác, vì chiết suất tỉ đối của môi trường chứa tia khúc xạ bây giờ là

<1 nên trong

phương trình của hyperbol, phù hợp với kết luận trên.

Bài 4: Một thấu kính phẳng - lồi có chiết suất n. Mặt lồi là một mặt cong. Một chùm tia
tới song song được chiếu vuông góc với mặt phẳng. Xác định dạng mặt cong để chùm tia
ló hội tụ tại một điểm.
Lời giải
Ta lấy gốc O của trục đối xứng trên mặt làm gốc tọa độ, trục đối xứng của thấu
kính làm trục hoành Ox, và trục Oy vuông góc với Ox (Hình 4.1).Ta xét hai tia sáng:
- Tia OJ đi theo trục đối xứng của thấu kính truyền qua thấu kính vào môi trường n,
không bị lệch.
-Tia AI song song với OJ, tới điểm I khúc xạ theo theo IR và cắt tia Ox tại điểm F, cách
O một khoảng d.


25

Gọi x,y là tọa độ của I. Gọi e là khoảng cách từ O đến đỉnh của mặt cong.
Quang trình của tia thứ nhất là :
.
Quang trình của tia thứ hai là:
.
Vì chùm tia tới là chùm song song và hội tụ
lại một điểm sau khi qua thấu kính nên
quang trình của chùm tia sáng là một hằng
số đối với mọi tia. Vì vậy ta có:

Bình phương hai vế của phương trình (4.1) ta được phương trình:

Vì n>1 nên số hạng đầu của phương trình âm, đổi dấu cả ba số hạng ta được:

.
Chia cả hai vế cho (n2-1) ta được phương trình sau:

.

Thêm số hạng

vào hai vế của phương trình ta được: