nh­ững tiết khó dạy trong chương trình toán THPT và cách khắc phục và ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học môn toán

MỞ ĐẦU
Theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo, việc bồi dưỡng thường
xuyên cho giáo viên, cán bộ quản lí Giáo dục là việc làm diễn ra hàng
năm và có nội dung chương trình cụ thể. Chương trình bồi dưỡng thường
xuyên cho giáo viên trung học cơ sở là căn cứ của việc quản lý, chỉ đạo,
tổ chức, biên soạn tài liệu phục vụ công tác bồi dưỡng, tự bồi dưỡng
nhằm nâng cao năng lực chuyên môn, nghiệp vụ của giáo viên trung học
cơ sở, nâng cao mức độ đáp ứng của giáo viên trung học cơ sở với yêu
cầu phát triển giáo dục trung học cơ sở và yêu cầu của chuẩn nghề nghiệp
giáo viên trung học cơ sở. Trong Chương trình BỒI DƯỠNG THƯỜNG
XUYÊN GIÁO VIÊN TRUNG HỌC CƠ SỞ (Ban hành kèm theo Thông
tư số 31/2011/TT- BGDĐT, ngày 08 tháng 8 năm 2011 của Bộ trưởng Bộ
Giáo dục và Đào tạo), Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định rõ các nội dung
về khối kiến thức bắt buộc và khối kiến thức tự chọn mà mỗi giáo viên
cần được bồi dưỡng và tự bồi dưỡng trong mỗi năm học. Trong khối
kiến thức bắt buộc có hai nội dung:
- Nội dung bồi dưỡng đáp ứng yêu cầu thực hiện nhiệm vụ năm
học cấp trung học cơ sở áp dụng trong cả nước (sau đây gọi là nội dung
bồi dưỡng 1): Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định cụ thể theo từng năm học
các nội dung bồi dưỡng về đường lối, chính sách phát triển giáo dục trung
học cơ sở, chương trình, sách giáo khoa, kiến thức các môn học, hoạt
động giáo dục thuộc chương trình giáo dục trung học cơ sở.
- Nội dung bồi dưỡng đáp ứng yêu cầu thực hiện nhiệm vụ phát
triển giáo dục trung học cơ sở theo từng thời kỳ của mỗi địa phương (sau
đây gọi là nội dung bồi dưỡng 2): Sở giáo dục và đào tạo quy định cụ thể
theo từng năm học các nội dung bồi dưỡng về phát triển giáo dục trung
học cơ sở của địa phương, thực hiện chương trình, sách giáo khoa, kiến
thức giáo dục địa phương; phối hợp với các dự án (nếu có) qui định nội
dung bồi dưỡng theo kế hoạch của các dự án.
Năm học 2013-2014, nhằm đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp
dạy học thực hiện nhiệm vụ phát triển giáo dục THCS theo từng thời kì

của địa phương, Sở GD và ĐT Quảng Bình đã tiến hành lựa chọn và biên
soạn chương trình bồi dưỡng thường xuyên (nội dung bồi dưỡng 2) với
hai chuyên đề: NHỮNG TIẾT KHÓ DẠY TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TOÁN THPT VÀ CÁCH KHẮC PHỤC và ỨNG DỤNG
CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN.
Mục tiêu của đợt bồi dưỡng thường xuyên lần này thứ nhất là giúp
giáo viên có thêm một số kinh nghiệm xử lý những tiết khó dạy trong
chương trình toán THPT, nhằm năng cao chất lượng dạy học môn Toán.
Thứ hai là giúp giáo viên có được kỹ năng khai thác, sử dụng một số
phần mềm tin học trong việc nghiên cứu bài dạy, thiết kế bài giảng điện
tử, bài giảng Elerning nhằm nâng cao chất lượng các tiết dạy có ứng dụng
công nghệ thông tin.
1


Hình thức tổ chức và thời lượng thực hiện chương trình bồi dưỡng theo
hướng dẫn của Sở Giáo dục và Đào tạo trong Công văn số 1459/
SGDDT-GDCN-TX, ngày 22/7/2013.

2


Chuyên đề I
NHỮNG TIẾT KHÓ DẠY TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN
THPT VÀ CÁCH KHẮC PHỤC
(Trần Xuân Bang - GV THPT Chuyên Quảng Bình)

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Quan tâm đến những vấn đề khó, những tiết khó dạy trong chương trình
Toán THPT là một trong những trăn trở thường xuyên của những thầy cô

giáo dạy toán.
Bài viết này đề cập đến hai loại tiết khó dạy: Loại tiết có các kiến thức
khó và loại tiết có nội dung dài. Mặt khác có tiết không dài, cũng không
khó dạy nhưng có ý kiến ngược lại nên cũng xin được trao đổi ở đây.
II. NỘI DUNG
Bài 1.
TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ (HH10NC - 01 tiết)
Đây là một trong những bài dài.
Chuẩn kiến thức và kỷ năng
Chuẩn kiến thức- kĩ năng Kiến thức cơ bản
Dạng toán - Ví dụ - lưu ý
2. Tổng và hiệu hai véc tơ 1. Tổng của hai véc tơ
Dạng 1. Vận dụng quy tắc
•
(Tổng và hiệu hai véc tơ:
ĐN
ba điểm và quy tắc hình
•
Quy tắc ba điểm, quy tắc
Quy tắc ba điểm
bình hành để tìm véc tơ
hình bình hành, tính chất; • Quy tắc hình bình hành
tổng của hai hay nhiều véc
Hiệu hai véc tơ)
tơ. Tìm độ dài véc tơ tổng
Về kiến thức:
Dạng 2. Chứng minh đẳng
- Hiểu cách xác định tổng
thức véc tơ
hiệu hai véc tơ; quy tắc ba

điểm, quy tắc hình bình
hành và các tính chất của
tổng véc tơ(giao hoán, kết
hợp), tính chất của véc tơkhông.
r r r r
- Biết được a + b ≤ a + b
Về kĩ năng:
- Vận dụng được quy tắc ba
điểm, quy tắc hình bình
hành khi lấy tổng hai véc tơ
cho trước.
** Các chữ in nghiêng đậm
thuộc bài sau.
Đề xuât PP giảng dạy:
1. Dạy định nghĩa tổng của hai véc tơ:
HĐ1. Bỏ qua việc dẫn dắt vào định nghĩa bằng câu hỏi 1.
3


GV trình bày ngay định nghĩa. Định nghĩa cho ta cách xác định véc tơ
tổng, lưu ý phải đặt hai véc tơ "nối đuôi".
HĐ2. Thực hiện nhanh các hoạt động 1 và hoạt động 2 trong SGK. Có
thể gọi HS Khá giỏi trả lời.
HĐ3. GV nêu các tính chất và giải thích trên hình vẽ mà không phải dẫn
dắt bằng hai hoạt động 3 và 4 trong SGK.
Nói nhanh tổng ba véc tơ.
HĐ4. GV thông báo quy tắc ba điểm là một kết quả trực tiếp từ định
nghĩa; quy tắc hình bình hành được suy từ định nghĩa và sự thay thế của
hai véc tơ bằng nhau.
r r r r

Giải thích nhanh a + b ≤ a + b , do với A, B, C tùy ý ta có AB + BC ≤ AB
HĐ5. GV cho HS xung phong chứng minh bằng cách gợi ý biến đổi vế
trái thành vế phải.
Thông báo HS có nhiều cách chứng minh mà không thực hiện hoạt
động 5 của SGK.
HĐ6. GV HDHS giải nhanh Bài toán 3.
uuuu
r uuur
HĐ7. GV HDHS giải Bài toán 3. Hướng dẫn để HS phát hiện GC ' = CG
ngay trong khi giải mà không tách ra như SGK.
Ghi nhớ, đây là hai kết quả quan trọng.
HĐ8. HS tự nghiên cứu vấn đề tổng hợp lực.
HĐ9. Cho HS hai BT về nhà 6 và 12. BT7 nên chuyển lên cho tiết "Các
định nghĩa"
Bài 2
SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ (ĐS10 - 03Tiết)
Đây là một trong những bài khó về kiến thức.
Chuẩn kiến thức kĩ năng
Chuẩn kiến thức- kĩ năng Kiến thức cơ bản
4. Số gần đúng và sai số(Số Cho a là số gần đúng của a
gần đúng; Sai số tuyệt đối 1. ∆ a = a − a
và sai số tương đối; Số quy
∆ ≤ d thì d được
tròn; độ chính xác của số 2. Nếu a
gần đúng. Chữ số chắc và gọi là độ chính xác của số
dạng chuẩn của số gần gần đúng a, viết a = a ± d
đúng; kí hiệu khoa học của
một số thập phân)
Về kiến thức:
Hiểu khái niệm số gần đúng,

sai số tuyệt đối và sai số
tương đối, số quy tròn, chữ
số chắc và cách viết chuẩn
số gần đúng, kí hiệu khoa
học của số thập phân.
Về kĩ năng:
- Biết tìm số gần đúng của

∆

a
3. Tỉ số δ a = a được gọi là
sai số tương đối của số gần
đúng a, thường được nhân
với 100%
4. Cách viết số quy tròn của
số gần đúng căn cứ vào độ
chính xác cho trước...
5. Chữ số chắc
6. Dạng chuẩn của số gần
đúng

Dạng toán - Ví dụ - lưu ý
- Dạng 1. Tìm số gần
đúng của một số với độ
chính xác cho trước.
- Dạng 2. Sử dụng máy
tính bỏ túi để tính các số
gần đúng.
- Dạng 2. Xác định chữ số

chắc và cach viết chuẩn số
gần đúng.
- Dạng 4.Viết số gần
đúng dưới dạng kí hiệu
khoa học

4


một số với độ chính xác cho 7. Kí hiệu khoa học của một
trước.
số
- Biết sử dụng máy tính bỏ
túi để tính toán các số gần
đúng.
Đề xuất PP giảng dạy:
1. Phân tiết:
Tiết 1. Số gần đúng. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối. Số quy tròn.
Tiết 2. Chữ số chắc và cách viết chuẩn. Kí hiệu khoa học.
Tiết 3. Câu hỏi và Bài tập.
2. Các hoạt động trong từng tiết.
Ở đây chỉ trao đổi cho hai tiết lí thuyết tiết 1 và tiết 2.
Tiết 1
HĐ1. Dạy 1. Số gần đúng (1 phút)
HĐ2. GV trình bày định nghĩa ∆ a = a − a
Nhấn mạnh: Nhiều khi không tính chính xác được ∆ a nhưng có thể
đánh giá ∆ a không vượt quá số dương d nào đó.
VD1. Làm cho HS hiểu được sự đánh giá sau
(1,41)2 = 1,9881 < 2 < 2,0164 = (1,42)2
⇔ 1,41 < 2 < 1,42 ⇔ 0 < 2 - 1,41 < 0,01

⇔

2 − 1, 41 < 0, 01

Vậy sai số tuyệt đối của 1,41 không vượt quá 0,01.
Có thể thêm ví dụ: Biết rằng 3,1415 < π < 3,1416
nên 0 < π - 3,1415 < 0,0001, Vậy sai số tuyệt đối của 3,1415 không vượt
quá 0,0001.
HĐ3. GV trình bày ∆ a ≤ d ⇔ a − a ≤ d ⇔ a − d ≤ a ≤ a + d . Quy ước viết
a = a ± d và hiểu a ∈ [a − d ; a + d ]

Làm cho HS hiểu rõ nếu d càng nhỏ thì a càng gần a . Do đó d được gọi
là độ chính xác của số gần đúng.
Gọi HS giải quyết H2
HĐ4. GV nêu VD2 và cho HS biết rằng có hai phép đo với hai kết quả.
Vấn đề đặt ra là phép đo nào chính xác hơn? Người ta đưa ra khái niệm
sai số tương đối.
∆

a
HĐ5. GV trình bày định nghĩa sai số tương đối δ a = a .

d

HĐ6. Cho HS chứng minh δ a ≤ a (Do ∆ a ≤ d )
d

Yêu cầu HS trả lời: kết quả này nói lên điều gì? ( a càng nhỏ thì
chất lượng của phép đo hay tính toán càng cao)
d

GV nói thêm: Sai số tương đối không vượt quá a %
5


Trở lại VD2 để HS thấy sai số tương đối của phép đo chiều dài cây
0, 2
= 0,1316% , còn sai số tương đối trong phép đo
152
0,1
chiều cao ngôi nhà không vượt quá 15, 2 = 0, 6579% . Từ đó suy ra phép do

cầu không vượt quá

chiều dài cây cầu có độ chính xác cao hơn.
d

HĐ7. Giải quyết H3. Số a có a = 5,7824 với a = 0,5%.
Suy ra d = 0,5%. 5,7824 = 0,028 912
HĐ8. GV nêu quy tắc quy tròn
Cho hai VD: VD3. 7216,4 quy tròn thành 7220 và VD4. 2,645 quy
tròn thành 2,65
HĐ9. Từ hai VD trên GV cho HS thấy sai số tuyệt đối:
1
7216, 4 − 7220 = 3, 6 < 5 = .10 (một nữa đơn vị hàng quy tròn)
2
1 1
2, 654 − 2, 65 = 0, 004 < 0, 005 = .
(một nữa đơn vị hàng quy tròn)
2 100

GV cho HS phát biểu thành nhận xét.
HĐ10. Giải quyết H4
HĐ11. CHÚ Ý
2) GV cần phải giải thích n nói trong ''chính xác đến hàng

1
'' là số
10n

nguyên.
3) Đây là một quy tắc khó. GV cần làm rõ "quy tròn số a đến hàng cao
nhất mà d nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó"
HĐ12. Củng cố.
HĐ13. Dặn dò. HS học bài và giải các BT trong SGK 43-44-45-46
Tiết 2
HĐ1. Cho a = 1234,567 ± 0, 01 . 0,01 không vượt quá nữa đơn vị của hàng
chứa chữ số nào trong 1234,567 ?(Chữ số 5). GV:"5 là một chữ số chắc.
Hãy định nghĩa chữ số chắc của một số gần đúng.
GV ghi định nghĩa chữ số chắc(đáng tin) và giải thích định nghĩa
trên VD đã cho.
HĐ2. Trong VD trên chứng tỏ rằng các chữ số 1, 2, 3, 4 đều chắc ?
Vì 0,001 không vượt qua một nữa đơn vị hàng nào đó thì cũng
không vượt quá một nữa đơn vị hàng lớn hơn
HĐ3. VD5. 1 379 425 người ± 300 người.
HĐ4. Đặt vấn đề Một cách viết của số gần đúng là viết theo dạng chuẩn
và khi đó ta cũng biết được độ chính xác của nó.
• Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên
HĐ5. VD6
Cho một giá trị gần đúng của 5 được viết dưới dạng chuẩn 2,236(

5 ≈ 2, 236 ). GV giải thích rõ: Hàng thấp nhất là hàng phần nghìn nên độ
6


chính xác không vượt quá nũa đơn vị hàng phần nghìn:

1 −3
.10 = 0,0005.
2

Như thế, độ chính xác của 2,236 là 0,0005.
• Nếu số gần đúng là số nguyên
HĐ6. VD7
Số dân Việt Nam năm 2005 vào khoảng 83.106 người.
Ở đây k = 6 nên sai số tuyệt đối không vượt quá

1
.106 = 500 000. Như
2

thế độ chính xác của 83.106 là 500 000.
HĐ7. GV thông báo các số gần đúng trong bảng Bra-đi-xơ và trong máy
tính bỏ túi đều dạng chuẩn.
1
2

HĐ8. VD8. Bấm máy tính 2 + 3 ≈ 3,146 264 37 có độ chính xác .10−8 .
HĐ9. Kí hiệu khoa học của một số
Mỗi số thập phân khác 0 được viết dưới dạng α ,10n, trong đó 1 ≤ α < 10 ,
n ∈ Z gọi là kí hiệu khoa học của số đó.

• VD8. Khối lượng trái đất là 5,98.1024kg
Khối lương nguyên tử Hiđrô là 1,66.10-24g
HĐ10. Củng cố.
HĐ11. Dặn dò.
HS học bài và là các BT trong SGK 47-48-49
Bài 3
GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC(ĐS10NC - 02 Tiết)
Đây là một bài vừa dài vừa khó về kiến thức.
Chuẩn kiến thức kỷ năng
Chuẩn kiến thức- kĩ năng Kiến thức cơ bản
Dạng toán - Ví dụ - lưu ý
VI. GÓC LG VÀ CÔNG 1. Quan hệ giữa độ và - Dạng 1. Đổi đơn vị góc
THỨC LG
rađian
từ độ sang rađian và
1.Góc và cung lượng giác 2. Độ dài l cung tròn bán ngược lại.
(Độ và rađian; số đo của góc kính R có số đo α rad là - Dạng 2. Tính độ dài
và cung lượng giác; Đường l = Rα .
cung tròn khi biết số đo
tròn lượng giác (thuộc bài 3. Số đo của các cung lượng của cung
Giá trị lượng giác của một giác điểm đầu A, điểm cuối - Dạng 3. Biểu diễn cung
Ð
góc (cung) lượng giác)
B là: sđ AB = α + k 2π , k ∈ Z lượng giác và góc lượng
Về kiến thức:
,trong đó α là số đo của giác trên đường tròn định
- Biết hai đơn vị đo góc là cung lượng giác tùy ý có hướng.
độ và rađian
điểm đầu A, điểm cuối B. Ví dụ. Đổi số đo của các
- Hiểu khái niệm đường tròn Mỗi giá trị k ứng với một góc sau đây ra rađian:

Lượng giác; góc và cung cung.
1050; 1080; 57030'
lượng giác; số đo của góc và 4. Để biểu diễn cung lượng Ví dụ. Đổi số đo của các
cung lượng giác.
giác có số đo α trên đường góc sau đây ra độ, phút,
- Hiểu được hệ thức Sa-lơ tròn lượng giác, ta chọn giây:
π 3 π
cho các cung và góc lượng điểm A(1; 0) làm điểm
; ;
15 4 7
giác
đầu...
Về kĩ năng:
5. Mỗi cung lượng giác CD Ví dụ. Một đường tròn có
7


- Biết đổi đơn vị góc từ độ
sang ra đian và ngược lại.
- Tính được độ dài của cung
tròn khi biết số đo của cung.

ứng với một góc lượng giác bán kính 10cm. Tìm độ dài
(OC, OD) ... (thuộc bài Giá của các cung trên đường
trị lượng giác của một góc tròn có số đo:
(cung) lượng giác)
300; - 1200; 6300;
7π
4π
; −

6
6

- Biết cách xác định điểm
cuối của một cung lượng
giác và tia cuối của một góc
lượng giác trên đường tròn
lượng giác(thuộc bài Giá trị
lượng giác của một góc
(cung) lượng giác)

Ví dụ. Trên mặt phẳng
tọa độ cho đường tròn
lượng giác tâm O, điểm A
và các đường thẳng y = x,
y = - x. Gọi M, N, P, Q là
giao của đường tròn
lượng giác với các đường
thẳng đó. Tìm số đo của
các cung lượng giác coa
điểm đầu là A và điểm
cuối là M, N, P, Q. (thuộc
bài Giá trị lượng giác của
một góc (cung) lượng
giác)

Ở đây chỉ xin được tập trung vào tiết 1.
Một số vấn đề ở trong nội dung SGK của tiết này cần phải được xác định
trọng tâm và cách trình bày thì mới có thể bảo đảm được tiến độ của tiết.
Vấn đề thứ nhất: Độ dài cung tròn được trình bày trong SGK rất khó

hiểu đối với học sinh.
Xét các cung của đường tròn có bán kính R. Vì cung tròn có độ dài
bằng R thì có số đo 1rad (Định nghĩa rađian) nên:
- Toàn bộ đường tròn (do có độ dài bằng 2π R ) có số đo rađian là
2π R
= 2π
R

- Cung có độ dài bằng l thì có số đo

l
rad
R

Vậy cung tròn bán kính R có số đo α rad thì có độ dài l = Rα
Nên chăng, trình bày như sau: Trên đường tròn có bán kính R, cung
1rad có độ dài R nên cung l có số đo α rad thì có độ dài l = Rα
Vấn đề thứ hai: Quy đổi đơn vị đo góc (cung) cũng vậy, trình bày của
SGK làm cho HS rất khó hiểu:
πR
α
a
.a suy ra =
180
π 180
0
180
 180 
0
Vậy cung 1rad thì có số đo độ

hay 1rad = 
÷ ≈ 57 17 ' 45''
π
π


0
π
 π 
Nên chăng
bày
Cung trình
1độ thì
có như
số đosau:
rad là
rad hay 10 = 
÷ ≈ 0, 01745rad
180
180


Cung có độ dài R thì có số đo 1rad (Định nghĩa rađian)

Từ l = Rα =

8


Cung có độ dài π R thì có số đo π rad đồng thời cũng có số đo 1800.

1800
π
, 10 =
rad
Suy ra π rad = 1800 ⇒ 1rad =

π

180

Vấn đề thứ ba: Rất khó cho một định nghĩa hoàn chỉnh, dễ hiểu đối
với khái niệm góc và cung lượng giác. Trình bày của SGK tập trung vào
việc diễn giải "quay" và "quét" nên nội dung dài. Theo cách đó GV có thể
không đủ thời giai để bảo đảm tiến độ bài giảng.
Nên chăng trình bày ngắn gọn:
i) Cho hai tia Ox và Oy. Quay tia Om theo chiều dương (hoặc theo
chiều âm) từ tia đầu Ox đến trùng với tia cuối Oy rồi dừng lại, hoặc quay
thêm một vòng, hai vòng... Mỗi lần như thế ta được một góc lượng giác
tia đầu Ox, tia cuối Oy.
Vậy, Cho hai tia Ox và Oy ta có vô số góc lượng giác mà tia đầu Ox,
tia cuối Oy. Kí hiệu (Ox, Oy).
ii) Trên đường tròn định hướng, cho hai điểm X, Y. Điểm M di động
trên đường tròn theo chiều dương (hoặc chiều âm) từ X đến trùng với Y
rồi dừng lại, hoặc di động thêm một vòng, hai vòng... Mỗi lần như thế ta
được một cung lượng giác điểm đầu là X, điểm cuối là Y.
Vậy, trên đường tròn định hướng, cho hai điểm X, Y ta có vô số cung
lượng giác điểm đầu X, điểm cuối Y. Kí hiệu XY.
Vấn đề thứ tư: Sẽ rất hoàn hảo nếu chúng ta cho vài VD, gọi HS phân
tích rồi tổng quát cho một định nghĩa số đo góc (cung) lượng giác.
Nhưng điều này là không thể vì thời gian không cho phép.

Vì vậy, nên đi thẳng vào định nghĩa rồi giải thích định nghĩa bằng
VD cụ thể như sau:
i) Số đo góc lượng giác
·
Cho hai tia Ox, Oy ta có xOy
= a 0 = α rad (00 ≤ a 0 ≤ 1800 , 0 ≤ α ≤ π )
·
Nếu tia Om quay từ tia Ox đến trùng tia Oy quét qua xOy
một lần theo
chiều dương thì ta nói:
sđ(Ox, Oy) = a 0 + k 3600 , k ∈ Z
hay sđ(Ox, Oy) = α + k 2π , k ∈ Z
·
Nếu tia Om quay từ tia Ox đến trùng tia Oy quét qua xOy
một lần theo
chiều âm thì ta nói:
sđ(Ox, Oy) = - a 0 + k 3600 , k ∈ Z
hay sđ(Ox, Oy) = - α + k 2π , k ∈ Z
Mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối Oy có số đo tương ứng với một
số k nguyên.
ii) Số đo cung lượng giác
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm X, Y ta có
»XY = a 0 = α rad (00 ≤ a 0 ≤ 1800 , 0 ≤ α ≤ π )

Nếu điểm M di động từ tia X đến trùng với Y theo cung »XY một lần
theo chiều âm thì ta nói:
Ð
sđ XY = a 0 + k 3600 , k ∈ Z
9

sđ XY = α + k 2π , k ∈ Z
Nếu điểm M di động từ tia X đến trùng với Y theo cung »XY một lần
theo chiều âm thì ta nói:
Ð
sđ XY = a 0 + k 3600 , k ∈ Z
Ð
sđ XY = α + k 2π , k ∈ Z
Mỗi cung lượng giác tia đầu Ox, tia cuối Oy có số đo tương ứng với
một số k nguyên.
Ð

Đề xuất PP giảng dạy:
Tiết 1.
HĐ1. Cho đường tròn có bán kính R. Cung có số đo 1 0 thì có độ dài bằng
bao nhiêu ? Gợi ý: Cung có số đo 360 0 (cả đường tròn) dài 2π R . Trả lời
πR
. Vậy cung tròn bán kính R có số đo a0 thì có độ dài bằng bao nhiêu ?
180
πR
.a
Trả lời
180

HĐ2.
VD1. Tính số đo của

3
3
đường tròn ? Trả lời .3600 = 2700

4
4

Tính độ dài cung tròn bán kính R có số đo 720 ? Trả lời

πR
2π R
.72 =
180
5

HĐ3.
H1. Một hải lí dài 1,852km
HĐ4. ĐN rađian
• Trên đường tròn có bán kính R, cung 1rad có độ dài R. Vậy cung có số
đo α rad thì có độ dài l bằng bao nhiêu ? Trả lời l = Rα
HĐ5. Đổi đơn vị đo góc (Cung)
Cung có độ dài R thì có số đo 1rad (Định nghĩa rađian)
Cung có độ dài π R thì có số đo π rad đồng thời cũng có số đo 1800.
1800
π
, 10 =
rad
Suy ra π rad = 1800 ⇒ 1rad =

π

180

HĐ6.

CHÚ Ý
GHI NHỚ
HĐ7. Khái niệm góc lượng giác và số đo của chúng
• GV giới thiệu quay chiều dương, quay chiều âm. Giải thích "có vô số
góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối Oy", tất cả đều kí hiệu (Ox, Oy)
• GV tiếp tục giới thiệu số đo góc lượng giác.
VD2.
3π
+ k 2π , k ∈ Z
sđ(Ox,
Oy)
=
Cho các tia Ox,4 Oy, Oz, Ot
π

3π3π
4

3π

· = , xOy
· − = + k, xOz
·2π , k=∈ Z
có xOt
sđ(Ox,
Oz)
=
4
4
4

Ta có:
π
sđ(Ox, Ot) = + k 2π , k ∈ Z

4
π
sđ(Oz, Oy) = + k 2π , k ∈ Z
2

10


HĐ8. Gọi HS giải quyết H3.
HĐ9. Khái niệm cung lượng giác và số đo của chúng
• GV giới thiệu đường tròn định hướng. Giải thích "có vô số cung lượng
Ð
giác điểm đầu đầu X, điểm cuối Y", tất cả đều kí hiệu XY .
• GV tiếp tục giới thiệu số đo cung lượng giác

VD. Cho các điểm M, N, X, Y, P trên đường tròn định hướng (O) cho các
º , PN
» . Ta có:
cung hình học có số đo 600 là ¼
XM , »XY , YP
π
+ k 2π , k ∈ Z
3
2π
Ð

sđ XP = 3 + k 2π , k ∈ Z
π
Ð
sđ XM = − + k 2π , k ∈ Z
3
2π
Ð
sđ MN = − + k 2π , k ∈ Z
3
Ð

sđ XY =

HĐ10. Củng cố, dặn dò.

Bài 4
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG. PHÉP CHIẾU SONG SONG.
HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN
(HH12CB - 01Tiết)
11


Đây là một bài quá dài của chương trình chuẩn.
Chuẩn kiến thức kĩ năng
Chuẩn kiến thức- kĩ năng Kiến thức cơ bản
4. Hai mặt phẳng song Tất cả các định nghĩa, định
song. Hình lăng trụ và hình lí và hệ quả trong SGK
hộp
Về kiến thức:
Biết được:

- Khái niệm và điều kiện hai
mp song song.
- Định lý Ta-lét(thuận và
đảo) trong không gian
- Khái niệm hình lăng trụ,
hình hộp.
- Khái niệm hình chóp cụt.
Về kĩ năng:
- Biết cách chứng minh hai
mặt phẳng song song.
- Vẽ được hình biểu diễn
của hình hộp; hình lăng trụ,
hình chóp có đáy là tam
giác, tứ giác.
- Vẽ được hình biểu diễn
của hình chóp cụt với đáy là
tam giác, tứ giác

Dạng toán - Ví dụ - lưu ý
- Dạng 1. Vẽ hình biểu
diễn của một hình chóp,
chóp cụt, lăng trụ.
- Dạng 2: Chứng minh hai
mặt phẳng song song với
nhau.
- Dạng 3: Xác định thiết
diện tạo bởi mp( α ) với
hình chóp khi cho biết
mp( α ) song song với một
mặt phẳng nào đó trong

hình chóp.
Ví dụ
a) Vẽ hình biểu diễn của
hình lăng trụ với đáy là
tam giác.
b) Vẽ hình biểu diễn của
hình chóp cụt với đát là
tam giác đều. Chỉ ra trên
hình vẽ mặt đáy, mặt bên,
cạnh đáy, cạnh bên của
chóp cụt đó.
Ví dụ. Cho hình lập
phương ABCD.A'B'C'D'.
a) Mặt phẳng (A'B'C'D')
có cắt mặt phẳng (ABCD)
không?
b) Chứng minh rằng
(AB'D')//(BDC').
Ví dụ. Cho hình lập
phương ABCD.A'B'C'D'.
Xác định giao tuyến của
mp(P) đi qua trung điểm
M của cạnh BB' và (P)
song song với (ABCD).
Ví dụ. Cho lăng trụ
ABC.A'B'C' có M là
trung điểm của CA'. Mặt
phẳng (P) đi qua điểm M
và đồng thời song song
12

với AB' và BC'. Xác định
thiết diện của hình lăng
trụ khicawts bởi mp(P).
Ví dụ. Cho tứ diện
ABCD. Các điểm M,N
theo thứ tự chạy trên các
cạnh AD, BC sao cho
AM CN
=
. Chứng
AD CB

minh

rằng MN luôn luôn song
song với một mặt phẳng
cố định.
`5. Phép chiếu song song. Tất cả các định nghĩa, định - Dạng 1. Xác định hình
Hình biểu diễn của một hình lí và hệ quả trong SGK
chiếu của một hình phẳng
trong không gian
qua phép chiếu song song.
Về kiến thức:
- Dạng 2. Vẽ hình biểu
Biết được:
diễn của một hình không
- Khái niệm phép chiếu song
gian.

song.
- Khái niệm hình biểu diễn
Ví dụ. Xác định hình chiếu
của một hình không gian.
của một đường thẳng qua
Về kĩ năng:
phép chiếu song song
- Xác định được: Phương
trong các trường hợp:
chiếu; mặt phẳng chiếu
- Đường thẳng đó song
trong một phép chiếu song
song với phương chiếu.
song. Dựng được ảnh của
- Đường thẳng đó không
một điểm, một đoạn thẳng,
song song với phương
một tam giác, một đường
chiếu.
tròn qua phép chiếu song
Ví dụ. Hình chiếu song
song.
song của một hình bình
- Vẽ được hình biểu diễn
hành có phải là một hình
của một hình trong không
bình hành không ?
gian.
Ví dụ. Vẽ hình biểu diễn
của: tam giác đều, hình

thang vuông, hình bình
hành, hình thoi.
Ví dụ. Vẽ hình biểu diễn
của một lục giác đều nội
tiếp trong đường tròn.
Đề xuất PP giảng dạy
Cần sử dụng thiết bị dạy học hỗ trợ dạy HHKG11
Dưới đây xin được trình bày bài soạn bằng PowerPoint.
HĐ1. GV nói về vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Khi (P) và (Q) không
có điểm chung nào, ta nói (P) và (Q) là hai mp song song.
13


HĐ2. Hai mặt phẳng gọi là song song
nếu chúng không có điểm chung
Viết (P)//(Q)
HĐ3. Δ1. Cho hai mp song song (P) và (Q).
Đường thẳng d nằm trong (P) thì có điểm chung với (Q) khơng ?
Cho HS xung phong ngay, nếu khơng, GV trả lời và giải thích, ghi kết
quả: (P)//(Q), d C (P) => d//(Q)
HĐ4. Đònh lí 1
GV giải thích định lí và chỉ nêu ý nghĩa của định lí. u cầu HS xem
CM trong SGK
HĐ5. Δ Cho tứ diện ABCD. Hãy dựng mp(P) đi qua trung điểm I của
2
đoạn SA và song song với mp(ABC).
GV nói nhanh cách dựng. u cầu HS xem SGK
HĐ6. Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm
các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh mặt phẳng (G1, G2, G3)
song song với mặt phẳng (BCD).

GV nói nhanh cách giải. u cầu HS xem SGK
HĐ7. Định lí 2.
GV giải thích định lí và nêu ý nghĩa của định lí. Khơng chứng minh định
lí.
HĐ8. Hệ quả 1
GV giải thích Hệ quả và nêu ý nghĩa của nó. Khơng chứng minh hệ quả.
HĐ9. Hệ quả 2
GV giải thích Hệ quả và nêu ý nghĩa của nó. Khơng chứng minh hệ quả.
HĐ10. Hệ quả 3
GV giải thích Hệ quả và nêu ý nghĩa của nó. Khơng chứng minh hệ quả.
HĐ11. Ví dụ 2.
Cho tứ diện SABC có SA=SB=SC. Gọi Sx, Sy, Sz lần lượt là phân giác
ngồi của góc S trong các tam giác SBC, SCA, SAB. Chứng minh:
a) Mặt phẳng (Sx, Sy)//(ABC).
b) Sx, Sy, Sz cùng nằm trên một mặt phẳng.
GV nói nhanh LG. u cầu HS về nhà xem SGK
HĐ12. Định lí 3
GV giải thích định lí và nêu ý nghĩa của nó. Khơng chứng minh định lí.
HĐ13. Hệ quả
GV giải thích Hệ quả và nêu ý nghĩa của nó. Khơng chứng minh hệ quả.
HĐ14. Định lí 4 (Định lí Ta-let trong KG):
GV giải thích định lí và nêu ý nghĩa của nó. Khơng chứng minh định lí.
HĐ15. GV thuyết trình trình định nghĩa hình lăng trụ và hình hộp như
SGK bằng PP kiến thiết.
HĐ16. GV thuyết trình trình định nghĩa và tính chất của hình chóp cụt
như SGK bằng PP kiến thiết.
14


HĐ17. GV thuyết trình trình định nghĩa phép chiếu song song và chú ý

sau định nghĩa.
HĐ18. Định lí 1
a) Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng
và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó
GV chỉ thuyết trình.
HĐ19. b) Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng,
biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
GV chỉ thuyết trình.
HĐ20. c) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành
hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau
HĐ21. d) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai
đoạn
thẳng nằm trên hai đường thẳng song hoặc cùng nằm trên một đường
thẳng
HĐ22. Δ1 Hình chiếu song song của một hình vuông có thể là hình bình
hành được không ?
Δ2 Hình 2.67.có thể là hình biểu diễn của một lục giác đều được không ?
Tại sao ?
Gọi HS xung phong trả lời.
HĐ23. GV thuyết trình khái niệm hình biễu diễn của một hình.
HĐ24. Δ3. Hình nào dưới đây biểu diễn hình lập phương ?
Gọi HS xung phong trả lời.
HĐ25. GV cho HS xung phong trả lời Δ4 – Δ5
HĐ26. GV giải thích hình biểu diễn hình tròn là elip
HĐ27. Δ6 Hình 2.72 minh họa nội dung sau: Các đường thẳng a và b
song song cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) lần lượt tại A, B và C,
D. Minh họa đó đúng hay sai ?
GV gọi HS trả lời.
HĐ28. Củng cố.

Dặn dò: Bài tập 2, 3, 4 trang 71 SGK
Bài 5
KHOẢNG CÁCH - LUYỆN TẬP
(HH11NC - 02 Tiết)
Nhiều ý kiến cho rằng đây là một bài dài.
Với tóm tắt nội dung dưới đây sẽ thấy đây không phải là một bài dài.
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường
thẳng.
ĐỊNH NGHĨA 1
Kí hiệu d(M,(P)): khoảng cách từ điểm M đến mp(P)
d(M,∆): khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆
15


• ?1

Trong các khoảng cách từ điểm M đến một điểm bất kì thuộc mp(P),
khoảng cách nào là ngắn nhất ?
• ?2 Trong các khoảng cách từ điểm M đến một điểm bất kì thuộc đường
thẳng Δ, khoảng cách nào là ngắn nhất ?
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai
mặt phẳng song song.
ĐỊNH NGHĨA 2
Kí hiệu d(a,(P)): khoảng cách từ đường thẳng a đến mp(P)
• ?3
ĐỊNH NGHĨA 3
Kí hiệu d((P), (Q)): khoảng cách từ đường thẳng a đến mp(P)
• ?4
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Chuẩn kiến thức, kĩ năng

Chuẩn kiến thức- kĩ năng Kiến thức cơ bản
Dạng toán - Ví dụ - lưu ý
5. Khoảng cách (khoảng 1. Định nghĩa
- Dạng Bài tập : Tính:
cách từ một điểm đến một 1) Cho một điểm O và đường • Khoảng cahs từ một
đường thẳng, đến một mặt thẳng a không đi qua O. điểm đến một đường
phẳng; Khoảng cách giữa Trong mặt phẳng xác định thẳng;
hai đường thẳng chéo nhau; bởi điểm O và đường thẳng • Khoảng cách giữa hai
Khoảng cách giữa đường a, gọi H là hình chiếu của đường thẳng;
thẳng và mặt phẳng; điểm O trên a. Khi đó • Khoảng cách giữa
Khoảng cách giữa hai mặt khoảng cách giữa hai điểm O đường thẳng và mặt
phẳng)
và H được gọi là khoảng phẳng song song với nó;
Về kiến thức - kĩ năng
cách từ điểm O đến đường • khoảng cách giữa ahi
Biết và xác định được:
thẳng a. kí hiệu là d(O,a).
mặt phẳng song song;
• Đường vuông góc
- Khoảng cách từ một điểm Như vậy: d(O, a) = OH
đến một đường thẳng.
2) Khoảng cách từ một điểm chung của hai đường
- Khoảng cách từ một điểm O đến mặt phẳng (P) là thẳng chéo nhau;
đến một mặt phẳng.
khoảng cách giữa hai điểm O • Khoảng cách giữa hai
- Khoảng cách giữa hai và H, với H là hình chiếu của đường thẳng chéo nhau.
đường thẳng.
O trên (P). Kí hiệu là d(O, Ví dụ. Cho hình lập
- Khoảng cách giữa đường (P))
phương ABCD. A'B'C'D'.

thẳng và mặt phẳng song Như vậy: d(O, (P)) = OH
+ Xác định khoảng cách
song.
3) Khoảng cách giữa đường giữa điểm A và đường
- Khoảng cách giữa hai mặt thẳng a và mặt phẳng (P) thẳng BC.
phẳng song song.
song song với a là khoảng + Xác định khoảng cách
- Đường vuông góc chung cách từ một điểm bất kì giữa điểm A và mặt phẳng
của hai đường thẳng chéo thuộc a tới mặt phẳng (P), kí (CDD'C').
nhau.
hiệu là d(a, (P)).
+ Xác định khoảng cách
- Khoảng cách giữa hai Như vậy: d(a, (P)) = OH, giữa đường thẳng AA' và
đường thẳng chéo nhau
trong đó O thuộc a còn H là C'C.
hình chiếu của O trên (P).
+ Xác định khoảng cách
4) Khoảng cách giữa hai mặt giữa đường thẳng AD và
phẳng song song (P) và (Q), mặt phẳng (BCC"B")
16


kí hiệu d((P), (Q)), là khoảng
cách từ một điểm bất kì của
mặt phẳng này đến mặt
phẳng kia.
d (( P), (Q)) = d ( M , (Q)), M ∈ ( P) .

+ Xác định khoảng cách
giữa mặt phẳng (ABB'A')

và mặt phẳng (CDD'C').
+ Xác định khoảng cách
giữa đường thẳng AB và
d (( P), (Q)) = d ( N , ( P)), N ∈ ( P)
đường thẳng C'C.
Như vậy: d((P), (Q)) = MH, *Lưu ý:
trong đó M thuộc (P) còn H 1) Tính khoảng cách có
là hình chiếu của M trên thể áp dụng trực tiếp định
(Q).
nghĩa hoặc gián tiếp.
5) Khoảng cách giữa hai Chẳng hạn có thể tính
đường thẳng chéo nhau là độ được đường cao của một
dài đoạn vuông góc chung tao giác(khoảng cách từ
của hai đường thẳng đó.
đỉnh đến đáy) nếu biết
diện tích và số đo độ dài
cạnh đáy của tam giác đó.
2) Phải xác định được các
yếu tố cần có trước khi
tính toán.
Nhiều ý kiến cho đây là một bài dài. Tôi cho rằng đây không phải là
một bài khó dạy vì dài. Một bài có thời lượng bình thường và kiến thức
cũng bình thường. Điều này được thể hiện qua bài dạy dưới đây. Xin
được trình bày bài soạn bằng PowerPoint.
HĐ1. GV thuyết trình ĐN1. Gọi HS trả lời hai câu hỏi:
?1 Trong các khoảng cách từ điểm M đến một điểm bất kì thuộc mp(P),
khoảng cách nào là ngắn nhất ?
?2 Trong các khoảng cách từ điểm M đến một điểm bất kì thuộc đường
thẳng Δ, khoảng cách nào là ngắn nhất ?
GV nêu ý nghĩa của vấn đề đó.

HĐ2. GV thuyết trình ĐN2. Gọi HS trả lời ?3
GV nêu ý nghĩa của vấn đề đó.
HĐ3. Bài toán. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b tìm đường thẳng c
cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b.
GV HDHS dựng c. Thuyết trình về thuật ngữ “đường vuông góc
chung” và
“đoạn vuông góc chung”
GV gọi HS trả lời ?5
HĐ4. 3. Khoảng giữa hai đường thẳng chéo nhau
Hỏi: Hãy so sánh độ dài IJ với d(a, (Q) và d((P), (Q))
GV cho HS phát biểu hai Nhận xét.
GV phân tích ý nghĩa của hai nhận xét này.
HĐ5. Ví dụ 1
Cho hình hộp chữ nhật…
a) Tính d(B,(ACC’A’))
b) Tính d(BB’, AC’)
17


c) Tính d((AB’C),(A’C’D)) khi a = b = c
GV gọi HS phát biểu xây dựng lời giải
HĐ6. Ví dụ 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
(ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
a) SB và AD
b) BD và SC
GV gọi HS phát biểu xây dựng lời giải
HĐ7. Củng cố.
Dặn dò: Học bài và làm các bài tập 29 - 35
Bài 6

LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ- LUYỆN TẬP
(GT12NC- 02Tiết)
Đây là một bài khó dạy vì nội dung của nó có quá nhiều thông tin cần
phải truyền tải, những kiến thức cơ bản tưởng như đơn giản nhưng rất dễ
mắc sai lầm.
Chuẩn kiến thức, kĩ năng
Chuẩn kiến thức- kĩ năng Kiến thức cơ bản
1. Lũy thừa
Lũy thừa với số mũ
Định nghĩa Lũy thừa với số nguyên
mũ nguyên, số mũ hữu tỉ. - Lũy thừ với số mũ nguyên
Các tính chất.
dương: Cho a ∈ R , n ∈ N* .
n
.a...a
Về kiến thức:
Khi đó a = a{
- Biết khái niệm lũy thừa
n thừa số
với số mũ nguyên của một
số thực, lũy thừa với số mũ - Lũy thừa với số mũ
nguyên âm, số mũ 0:
hữu tỉ của một số dương.
*
- Biết các tính chất của lũy Cho a ≠ 0, n ∈ N , quy ước
1
thừa với số mũ nguyên, lũy
a−n = n ; a0 = 1
a
thừa với số mũ hữu tỉ.

Căn bậc n
Về kĩ năng:
- Biết dùng các tính chất của Cho số thực b và số nguyên
lũy thừa để đơn giản biểu dương n ≥ 2
là căn bậc n
thức, so sánh những biểu - Số a được gọi
n
của số b nếu a = b.
thức có lũy thừa.
- Khi n lẻ, b ∈ R : Tồn tai
duy nhất n b .
- Khi n chẵn:
+ b < 0: Không tồn tại căn
bậc n chủa b
+ b = 0: n 0 = 0
+ b > 0: có hai căn
 n b > 0
 n
 − b < 0

Dạng toán - Ví dụ - lưu ý
- Rút gọn biểu thức có lũy
thừa với số mũ nguyên, số
mũ hữu tỉ.
- Tính giá trị biểu thức có
lũy thừa với số mũ
nguyên, số mũ hữu tỉ.
- Chứng minh hệ thức có
lũy thừa với số mũ
nguyên, số mũ hữu tỉ.

- So sánh những biểu thức
có chứa lũy thừa(dựa vào
tính chất của lũy thừa).
Ví dụ. Chứng tỏ rằng
−0,75

1
 ÷
 16 

+ 0, 25

−

5
2

= 40

Ví dụ. Rút gọn biểu thức
4
2
 −1

a3  a 3 + a3 ÷


với a > 0.
1
3

1
− 
 4
4
4
a a +a ÷



Ví dụ. Chứng minhrằng
2 5

1
 ÷
 3

3 2

1
< ÷
3

Ví dụ. So sánh các cặp số

18


3
2
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

1
1
Cho số thực a > 0 và số sau:  3 ÷ và  3 ÷
hữu tỉ
5
10
2
3
π
π




m
r = , m ∈ Z, n ∈ N* . Khi đó
 ÷ và  ÷

2

n

m
n

ar = a = n am

5
Ví dụ. Cho x = 1 + 2α và
y = 1 + 2−α . Tính y theo x.

Đề xuất PP giảng dạy
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
HĐ1. GV nhắc lại khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên dương.
GV lưu ý, trong biểu thức lũy thừa a n có hai đại lượng: Cơ số a và số mũ
n.
Khi n nguyên dương thì a là số thực tùy ý.
Gọi HS giải quyết H1
GV đặt vấn đề: Trong tập hợp số nguyên, ngoài số nguyên dương còn
số 0 và số nguyên âm.
a) Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm.
HĐ2. GV trình bày ĐN1 và VD1
GV lưu ý, khi n = 0 hoặc n nguyên âm thì a phải khác 0.
GV tiếp tục trình bày VD2 và CHÚ Ý. Trong chú ý 2) cần thông báo 2) là
quy ước toán học.
b) Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên
HĐ3. GV trình bày ĐỊNH LÍ 1. Nhấn mạnh các giả thiết. Liên hệ các tính
chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
HD HS chứng minh công thức 5)
HĐ4. GV HD nhanh cách chứng minh H2.
HĐ5. GV trình bày ĐỊNH LÍ 2. Có thể cho VD minh họa
2

3

1 1
2 > 2 , ÷ >  ÷
2 2
3

2

HĐ6. GV trình bày HỆ QUẢ 1 và HDHS Chứng minh.
HĐ7. GV trình bày HỆ QUẢ 2 và nói nhanh cách chứng minh.
HĐ8. GV trình bày HỆ QUẢ 3 và nói nhanh cách chứng minh.
HĐ9. GV gọi HS giải quyết H3.
2. Căn bậc n và lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
a) Căn bậc n
HĐ10. GV trình bày ĐỊNH NGHĨA 2
Lưu ý HS Ghi nhớ hai khẳng định:
• Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n, kí hiệu n a .
• Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối
nhau. Căn có giá trị dương, kí hiệu là n a (căn số học), căn có giá trị âm kí
hiệu là
-n a.
HĐ11. GV truyền đạt 5 nhận xét.
19


HĐ12. GV trình bày 5 tính chất của căn bậc n. Dừng lại từng tính chất để
nhấn mạnh ý nghĩa vận dụng của nó.
HDHS chứng minh tính chất 5.
HĐ13. GV gọi HS giải quyết Ví dụ 3.
HĐ14. GV gọi HS giải quyết H4.
b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
HĐ15. GV trình bày ĐỊNH NGHĨA 3 và Nhận xét. Nhấn mạnh ĐK a >
0. r =

m
là một phân số tối giản có m nguyên, n nguyên dương.

n

• Chốt lại: Khi viết an cần chú ý:

+ Nếu n là số nguyên dương thì a là số thực tùy ý.
+ Nếu n là số nguyên âm hoặc 0 thì a là số thực khác 0.
+ Nếu n không nguyên thì a > 0.
HĐ16. GV HDHS giải quyết Ví dụ 4.
HĐ17. GV HDHS giải quyết Ví dụ 5.
HĐ18. Củng cố, dặn dò.
Trên đây là một số kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy cũng như
qua học tập, trao đổi với đồng nghiệp. Trong phạm vi cho phép, chỉ dừng
lại ở một số tiết dạy có chọn lọc. Còn nhiều những tiết khó trong chương
trình Toán THPT, mong được tiếp tục trao đổi. Xin tiếp thu và cảm ơn
các ý kiến góp ý.
Đồng Hới, tháng 9 năm 2013

Chuyên đề II
ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRONG
DẠY HỌC MÔN TOÁN.

20


Ứng dụng CNTT trong dạy học nói chung và trong dạy học môn
Toán nói riêng là một xu thế tất yếu của thời đại. Trong nhiều năm qua,
việc sử dụng CNTT trong giảng dạy môn Toán đã được triển khai rộng
rãi và nhận được sự ủng hộ của phần lớn giáo viên. Sự thuận tiện trong
giảng dạy và học tập khi sử dụng CNTT là một điều không thể bàn cãi,
tuy nhiên, hiệu quả của bài dạy còn phụ thuộc phần lớn vào khả năng sử

dụng CNTT người giáo viên. Trong tài liệu này, với mong muốn cung
cấp cho các giáo viên một số công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu bài
dạy và thiết kế giáo án điện tử, chúng tôi xin được giới thiệu phần mềm
Maple và một số phương pháp hỗ trợ trong việc thiết kế bài giảng điện tử,
thiết kế bài giảng Elerning. Những nội dung trong phần này được biên tập
từ các tài liệu bồi dưỡng của Bộ Giáo dục và Đào tạo, giáo trình giảng
dạy của các trường ĐHSP.
I. SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE HỖ TRỢ ĐỔI MỚI PHƯƠNG
PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG
1. Giới thiệu
Phần mềm Maple xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1980 bởi nhóm
Tính toán Hình thức tại Đại học Waterloo, Ontario, Canada. Từ năm
1988, nó đã được phát triển và thương mại hóa bởi Waterloo Maple Inc,
một công ty Canada cũng có trụ sở tại Waterloo, Ontario. Phiên bản hiện
tại là Maple 12 được phát hành vào tháng 5 năm 2008.
Người dùng có thể nhập biểu thức toán học theo các ký hiệu toán
học truyền thống, có thể dễ dàng tạo ra những giao diện tùy chọn. Maple
hỗ trợ cho việc tính toán trên các số, tính toán hình thức, cũng như hiển
thị. Trong Maple, nhiều phép tính số học được thực hiện dựa trên chương
trình con NAG, cho phép độ chính xác lớn.
Maple cũng có một ngôn ngữ lập trình cấp cao đầy đủ, cũng có
giao diện cho những ngôn ngữ khác (như C, Fortran, Java, MatLab, và
Visual Basic, Excel).
Ngôn ngữ lập trình Maple là một ngôn ngữ kiểu động, phần lớn
chức năng toán học của Maple được viết bằng ngôn ngữ Maple và được
thông dịch bởi nhân Maple, được viết bằng ngôn ngữ C, chạy trên tất cả
các hệ điều hành chính. Cũng giống như các hệ thống đại số máy tính,
các biểu thức hình thức được lưu trữ trong bộ nhớ theo đồ thị không chu
trình có hướng (DAG). Ngôn ngữ cho phép các biến có phạm vi nhất định

(lexical scoping). Ngôn ngữ có hình thức lập trình hàm, nhưng cũng có
hỗ trợ đầy đủ cho lập trình truyền thống, theo kiểu mệnh lệnh.
1.1. Cấu trúc và giao diện.
Cấu trúc ttài nguyên của Maple
• Khi khởi động Maple, chương trình chỉ tự động kích hoạt nhân
của Maple bao gồm các phép toán và chức năng cơ bản nhất. Phần nhân
chiếm khoảng 10% dung lượng của toàn chương trình.
21


• Các dữ liệu và chương trình còn lại của Maple được lưu giữ trong
thư viện Maple và được chia ra 2 nhóm: nhóm các lệnh cơ bản và nhóm
các gói lệnh. Maple 9.0 có khoảng 85 gói lệnh. Gói lệnh có thể nạp vào
bằng:
> with(plots):
Lệnh của Maple
• Lệnh được gõ vào trang làm việc (worksheet) tại dấu nhắc lệnh
">" và theo ngầm đđịnh được hiển thđị bằng font Courier màu đỏ. Một lệnh
đựợc kết thúc bởi dấu ":" hoặc dấu ";" và được ra lệnh thực hiện bằng
việc nhấn Enter khi con trỏ đang ở trên dòng lệnh.
> factor(2*x^102+x^100-2*x^3-x+60*x^2+30):
• Kết quả của lệnh được hiển thị ngay bên dưới dòng lệnh nếu dùng
dấu ";". Có thể dễ dd àng dùng chuột và bàn phím để thực hiện các chức
năng bôi đen, copy, paste, cut, delete...đối với dữ liệu trên dòng lệnh hay
kết quả thực hiện.
Sử dụng dđịch vụ trợ giúp (Help) trong Maple
Maple có dịch vụ trợ giúp khá đầy đủ và thuận lợi bao gồm cú pháp, giải
thích cách dùng và các ví dụ đi kèm. Để nhận được trợ giúp, có thể:
• Nếu đã biết tên lệnh thì từ dấu nhắc gõ vào ?tên lệnh, chẳng hạn
> ?factor

• Nếu dùng một gói lệnh thì khi nạp gói lệnh, Maple sẽ hiển thị
toàn bộ lệnh trong gói đó.
• Một cách thông dụng nữa là dùng trình Help =>Topic Search rồi
gõ vào từ khóa cần tìm.
1.2. Lưu giữ và trích xuất dữ liệu.
• Trang làm việc của Maple sẽ được lưu giữ bằng file có đuôi
".mws". File được lưu giữ bằng trình File => Save. Một file đã có được
mở bằng File =>Open.
• Ngoài việc lưu giữ bằng định dạng của Maple như trên, dữ liệu có
thể được trích xuất thành các định dạng khác như Word, LaTex hay
HTML. Trích xuất bằng File => Export.
1.3. Các môi trường làm việc trong Maple
Maple có 2 môi trường làm việc là toán và văn bản. Sau khi khởi
động, Maple tự động bật môi trường toán. Muốn chuyển sang môi trường
văn bản, kích chuột vào biểu tượng T trên thanh công cụ hay vào trình
Insert => Text. Ngược lại, từ môi trường văn bản, kích chuột vào dấu
"[>" trên thanh công cụ hay vào Insert để chuyển sang môi trường toán.
> ifactor(58600);
2. Sử dụng Maple hỗ trợ trong quá trình dạy học truyền thống
2.1 Các dấu phép toán, hàm và hằng số cơ bản
Các phép toán và dấu phép toán
Cú pháp
!
^
+

Giải thích
giai thừa
lũy thừa
cộng

Ví dụ
100!
a^5
a+b
22


*
/
<
>
>=
<=
=
:=

trừ hoặc số âm
nhân
chia
nhỏ hơn
lớn hơn
lớn hơn hoặc bằng
nhỏ hơn hoặc bằng
bằng
phép gán

x-y
2*x
120/5

a<100
b>100
x>=1/2
x<=1/2
a=b
x:=2/3

Giải thích
các hàm lượng giác
các hàm LG ngược
hàm trị tuyệt đối
hàm mũ cơ số e
hàm logarit cơ số e
hàm logarit cơ số 10

Ví dụ
sin(x)
arcsin(x)
abs(x)
exp(x) hay E^x
log(x) hay ln(x)
log[10]

Các hàm thông dụng
Cú pháp
sin, cos, tan
arcsin, arccos, arctan
abs
exp
log hay ln

log[10]
(x)
sqrt

khai căn bậc 2

sqrt(3)

Các hằng số thông dụng
Cú pháp
Hằng số
Pi
π
exp(1)
e
infinity
∞
2.2. Các tính toán số học
a) Maple có thể làm việc như một máy tính bỏ túi hiện đại
> 5*3;
> 120/7+2^100;
Khả năng tính toán số học của Maple là rất lớn, có thể làm việc với
những số có đến 228 = 268435456 chữ số.
> 300000!:
> length(%);
Ta thấy số 300.000! có 1.512.852 chữ số, khoảng 20 ngàn dòng
trên màn hình.
> ifactor(1512852);
> FermatPrime:=2^(2^n)+1;
> [seq(FermatPrime,n=1..6)];

> map(ifactor,%);
b) Các hàm trên số nguyên
> isprime(1388990297):
> nextprime(123456789):
> prevprime(123456789):
23


> ilcm(786,120):
> igcd(786,120):
> irem(786,120):
> iquo(786,120):
Ngoài ra còn có các lệnh sau:
max, min Tìm số lớn nhất và nhỏ nhất trong tập các số cho trước.
iroot Tìm nghiệm nguyên xấp xỉ căn bậc n của 1 số nguyên.
isqrt Tìm nghiệm nguyên xấp xỉ căn bậc 2 của 1 số nguyên.
mod Các phép toán trên hệ thặng dư modulo.
rsolve Giải phương trình hàm nhờ các công thức truy hồi.
convert Chuyển đổi số nguyên sang các hệ cơ số khác nhau.
c) Tính toán chính xác và gần đúng
• Khi làm việc với số hữu tỷ hoặc căn thức, Maple có khả năng tính
toán với kết quả chính xác. Điều này hết sức quan trọng khi cần các tính
toán nhiều bước.
> A:=7/3+6^10/7;
> 3^(2/5);
> Pi;
• Tuy nhiên, khi cần Maple cũng có thể tính gần đúng với độ chính
xác tùy ý.
> evalf(10/3);
> B:=7.0/3+6^10/7;

> evalf(3^(2/5),20);
> evalf(Pi,100);
• Maple làm việc thuận lợi trên các số phức:
> (2+2*I)/(1-3*I);
> sqrt(1+I);
> evalf(%);
d) Tính tổng, tích hữu hạn và vô hạn
Tính tổng hữu hạn.
100
1+ i
Ví dụ: Tính tổng ∑
4 Ta có thể hoặc là dùng 2 lệnh
i =1 1 + i
> Sum((1+i)/(1+i^4),i=1..20);
> value(%);
Hoặc tính trực tiếp:
> sum((1+i)/(1+i^4),i=1..20);
Tính tổng vô hạn.
∞
1
Ví dụ: Tính tổng ∑ 2 . Tương tự như trên, ta có thể dùng
k =1 k
> Sum(1/k^2,k=1..infinity);
> value(%);
Hoặc
> sum(1/k^2,k=1..infinity);
> value(%);
24

Hoàn toàn tương tự với tính tổng, ta có thể tính các tích hữu hạn và
vô hạn với Maple. Cách làm như trên với việc thay lệnh Sum hay sum
bởi Product hay product.
2.3. Các tính toán đại số
2.3.1. Các tính toán trên biểu thức đại số
Gán tên cho biểu thức và trị cho biến
Dùng phép ":=" để gán tên và lệnh "subs" để gán trị cho biến.
> A:=a*x^2+b*x+c:
> A1:=subs(a=1,b=2,c=I,A):
Biến đổi biểu thức đại số
Lệnh khai triển với expand
> B:=(x+1)*(x-2)+3*x+2;
> expand(A);
> expand(sin(x+y));
> L:=exp(a+ln(b));
> expand(%);
Lệnh đơn giản biểu thức với simplify
> C:=cos(x)^5+sin(x)^4+2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-cos(2*x);
> simplify(C);
> simplify(sin(x)^2+ln(3*x)+cos(x)^2);
> simplify(sin(x)^2+ln(3*x)+cos(x)^2,'trig');
> simplify(sin(x)^2+ln(3*x)+cos(x)^2,'ln');
Lưu ý: Lệnh simplify là một lệnh rất "mơ hồ" do không có một
tiêu chuẩn rõ ràng cho sự đơn giản hóa. Nhiều khi ưu tiên cửa Maple
trong việc đơn giản một biểu thức không giống như kỳ vọng của người
dùng. Hơn thế nó cần rất nhiều bộ nhớ để simplify. Trong đa số trưòng
hợp, lệnh expand là một lệnh đơn giản tốt hơn.
> ?seq
Ngược lai với expand là lệnh factor và combine
> expand((x-2)*(x+3));

> factor(%);
> expand(e^(2*x+y)+sin(2*x));
> combine(%);
Lệnh chuẩn hóa với normal, đặc biệt dùng để đơn giản các phân
thức về dạng chuẩn tắc
> PT:=(x^2-y^2)/(x^3+y^3+3*x^2*y+3*x*y^2);
> normal(PT);
> factor(PT);
Lệnh convert cho phép chuyển các biểu thức về các dạng biểu diễn
khác nhau
> convert(sin(x),exp);
> M:=Matrix([[a,b],[x,y]]);
> convert(M,'listlist');
> convert(M,set);
> convert(%,list);
25