Sáng kiến kinh nghiệm toán học lê hữu trác

LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm đổi mới phương pháp giảng dạy để thích ứng với sự đổi
mới chương trình sách giáo khoa, theo kịp sự đổi mới của Bộ giáo
dục và đào tạo, hưởng ứng phong trào mỗi thầy cô giáo là một tấm
gương đạo đức, tự học và sáng tạo, cùng với dịp nhà trường, công
đoàn phát động cuộc thi Sáng kiến kinh nghiệm và làm đồ dùng
dạy học với kinh nghiệm ít ỏi được tích luỹ trong những năm công
tác của mình, tôi nghiên cứu một đề tài giải bài toán chứa tham số
bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm.
Vì thời gian ít, kiến thức có hạn, tài liệu tham khảo không
nhiều nên tôi chỉ dừng lại ở mức các bài toán đã và sẽ gặp các các
kỳ thi do Trường, Sở và Bộ giáo dục đưa ra, tôi đi tìm một hướng
giải chung cho bài toán này.
Trong quá trình nghiên cứu không thể tránh được những sai
sót, mong quý đồng nghiệp cho ý kiến góp ý để đề tài tôi được phát
triển rộng rãi hơn.
Mọi đóng góp xin gửi về địa chỉ mail:
Cuối cùng xin chúc Ban giám khảo cuộc thi cùng gia đình sức
khoẻ, hạnh phúc và thành đạt.
Cưmgar, ngày 15 tháng 02 năm 2011
Người viết
Phạm Long Hổ

1


I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu
Trên thực tế học sinh THPT đã được học rất nhiều dạng toán về PT,
BPT và hệ PT cụ thể là : Lớp 10 có PT, BPT, hệ PT quy về bậc hai, chứa ẩn
dưới dấu căn và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối. Lớp 11 có PT lượng giác.

Lớp 12 có PT, BPT, hệ PT mũ và logarit. Trong đó có khá nhiều dạng bài toán
cần phải thực hiện phương pháp đặt ẩn phụ khi tiến hành lời giải và hầu hết đó
là các bài toán không chứa tham số. Tuy nhiên, trong các đề thi tuyển sinh Đại
học và đề thi học sinh giỏi thường có các bài toàn đề cập đến PT, BPT chứa
tham số hoặc tìm GTLN, GTNN mà khi tiến hành lời giải thì phải đặt ẩn phụ và
tìm ĐK của ẩn phụ.
Với gần mười năm làm giáo viên dạy toán, tôi đã may mắn được tham
gia giảng dạy cho khá nhiều lớp ôn thi Đại học tôi thấy có một số vấn đề cần
phải giải quyết:
Một là: Việc biến đổi PT, BPT hoặc đặt ẩn phụ để quy PT đã cho về các
PT bậc cao thì học sinh được giải quyết khá nhiều ở lớp 10 và lớp 11, nhưng
khảo sát hàm số bằng cách ứng dụng đạo hàm thì đến lớp 12 mới được học nên
khi làm bài cần phải kết hợp hai việc trên với nhau thì học sinh rất lúng túng
nên lời giải nhiều khi không chặt chẽ.
Hai là: Khi học sinh làm bài tập về PT, BPT hoặc tìm GTLN, GTNN
của biểu thức có điều kiện mà trong lời giải có bước đặt ẩn phụ thì tôi thấy
nhiều học sinh mắc phải một trong những sai lầm: hoặc là đặt ẩn phụ mà không
nghĩ đến tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc tìm sai điều kiện của nó, hoặc đã tìm
chính xác điều kiện của ẩn phụ nhưng khi lập luận trên PT, BPT theo ẩn phụ thì
lại không xét trên điều kiện ràng buộc của nó nên dẫn đến kết luận không chính
xác.
Ba là: Từ năm 2006, sách giáo khoa không nói đến định lý đảo về dấu
tam thức bậc hai, trong khi đó sách tham khảo xuất bản trước đó có rất nhiều bài
toán sử dụng định lý đó để thực hiện việc so sánh các nghiệm của một tam thức
bậc hai với các số cho trước nên học sinh đọc sách rất hoang mang. Do đó,
người giáo viên phải định hướng cho học sinh biến đổi về bài toán sử dụng đạo
hàm để khảo sát hàm số nếu là tình huống không thể giải quyết đơn thuần theo
kiểu tính biệt thức ∆(đenta).
Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài: Ứng dụng đạo

hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương
trình, bất phương trình.

2


2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
Những vấn đề tôi trình bày trong sáng kiến với mục đích sau:
Một là: Làm sáng tỏ sự liên hệ giữa số nghiệm của PT một ẩn với số
giao điểm của hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của PT đó, nghiệm của PT chính là
hoành độ các giao điểm nghĩa là từ các giao điểm mà chiếu vuông góc lên trục
hoành ta sẽ tìm được các nghiệm tương ứng.
Hai là: Trong khi giải quyết các bài toán về PT, BPT hoặc bài toán tìm
GTLN, GTNN của một biểu thức có điều kiện mà phải thực hiện việc đặt ẩn
phụ thì việc tìm điều kiện của ẩn phụ là rất cần thiết, việc tìm điều kiện của ẩn
phụ thực ra là tìm tập giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của bài toán đã cho.
Sau khi tìm được điều kiện của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bài
toán theo ẩn chính phải được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo
ẩn phụ trên điều kiện của nó.
Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các
em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về bài toán PT, BPT có tham số
hoặc bài toán tìm GTLN, GTNN có liên quan đến phép đặt ẩn phụ.

3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải
nghiên cứu trên các dạng toán về PT, BPT và các bài toán tìm GTLN, GTNN
đặc biệt là các bài toán về PT, BPT chứa tham số và trong lời giải có việc đặt ẩn
phụ.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải
tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần: PT, BPT, hệ PT

quy về bậc cao một ẩn, PT, BPT chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai và chứa ẩn dưới
dấu giá trị tuyệt đối, PT lượng giác, PT, BPT mũ và logarit.

4 . Kế hoạch nghiên cứu
Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần
cơ sở thực tiễn để đưa ra lý do chọn đề tài tôi đã cho các em học sinh từ lớp 10
làm các bài toán về PT, BPT quy về bậc hai, PT, BPT chứa ẩn dưới dấu căn bậc
hai có liên quan đến tham số và đặt ẩn phụ. Các em học sinh lớp 11 làm các bài
toán về PT lượng giác có liên quan đến tham số, bài toán tìm GTLN, GTNN của
biểu thức lượng giác nói chung là đều phải đặt ẩn phụ. Khi đó học sinh có thể
làm được các bài toán mà sau khi đặt ẩn phụ quy về PT bậc hai có thể tính toán
đơn thuần thông qua biệt thức ∆(đenta) hoặc sau khi biến đổi cô lập tham số ta
được một vế là hàm số bậc hai đối với ẩn phụ, nhưng nhiều em vẫn làm không

3


chính xác do không để ý tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc có tìm điều kiện của ẩn
phụ nhưng tìm không chính xác.
Với các bài toán có tham số mà sau khi đặt ẩn phụ lại quy về PT, BPT
có chứa hàm số đa thứ bậc ba, bậc bốn hoặc hàm số phân thức thì học sinh
không thể giải được vì khi đó các em chưa được học khảo sát các loại hàm số
này.
Các vướng mắc nói trên sẽ được giải quyết toàn diện khi học sinh đã
học về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số. Do đó, từ đầu năm học 2010
– 2011 tôi đã nghiên cứu đề tài nói trên thông qua một số tiết tự chọn chủ đề
ứng dụng đạo hàm tại hai lớp 12A3, 12A8 và các lớp luyện thi đại học và từ đó
xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình.

4

II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận
a) Tìm số nghiệm của phương trình
Xét PT f ( x) = g (m) , (1) . Trong đó x là ẩn thực và m là tham số thực.
- Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) ( có thể
nhận thấy hình dạng đồ thị hàm số thông qua BBT của nó) và đường thẳng
y = g (m) là đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng
g ( m) .
- Các nghiệm x1 , x2 ,..., xn (nếu có) của PT (1) chính là hoành độ của các
giao điểm.
b) Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số
* Từ việc lập BBT của hàm số f ( x) trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy
những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là
GTLN ( GTNN ) của hàm số .
* Nếu hàm số f ( x) xác định và liên tục trên đoạn [ a; b ] thì ta có thể tìm
GTLN và GTNN theo các bước sau :
- Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên đoạn [ a; b ] mà tại đó f ' ( x) = 0 hoặc f ' ( x)
không xác định;
- Tính các giá trị f ( a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ) ;
- Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là GTLN (GTNN ) của hàm số
f ( x) trên đoạn [ a; b ] .
c) Tìm tham số trong bài toán bất phương trình
Nếu hàm số f ( x) có GTLN và GTNN trên tập xác định D khi đó
f ( x ) ≥ g ( m) ;
BPT : f ( x) ≥ g (m) thỏa mãn ∀x ∈ D khi và chỉ khi min
D
f ( x) ≤ g (m) thỏa mãn ∀x ∈ D khi và chỉ khi mDax f ( x) ≤ g (m) ;
f ( x) ≥ g (m) có nghiệm x ∈ D khi và chỉ khi mDax f ( x) ≥ g (m) ;

f ( x ) ≤ g ( m) .
f ( x) ≤ g (m) có nghiệm x ∈ D khi và chỉ khi min
D
Trong trường hợp hàm số f ( x) không có GTLN hoặc GTNN trên tập D ta
phải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp.

2. Các phương pháp đã tiến hành
Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do
chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12, bắt đầu là
phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tự chọn tôi đã lồng
ghép các bài tập liên quan đến tìm tham số và đặt ẩn phụ. Nhưng vì thời gian
không có nhiều, hơn thế nhiều học sinh trên lớp dạy (12A3 và 12A8) thụ động
chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi chỉ cho một số học sinh một vài
5


bài tập để các em về nhà nghiên cứu tìm lời giải. Trên lớp tôi cho một số học
sinh lên bảng làm bài và một số học sinh khác nhận xét lời giải. Sau đó tôi phân
tích lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một số
điểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng.
Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết của
mình thành bốn phần sau:
- Phương trình, bất phương trình bậc cao một ẩn.
- Phương trình, bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
- Phương trình, bất phương trình mũ và logarit.
PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN
Bài 1. Tìm tham số a để PT: x 3 − 3x 2 − a = 0 , (1) có ba nghiệm phân biệt trong
đó có đúng một nghiệm bé hơn 1.
Giải
PT (1) ⇔ x3 − 3x 2 = a , (1a) .

Yêu cầu của đề bài tương đương với PT (1a) có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3
sao cho x1 < 1 ≤ x2 < x3 tức là đường thẳng y = a phải cắt đồ thị hàm số
y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn
x1 < 1 ≤ x2 < x3 .
x = 0
'
2
'
Ta có f ( x) = 3 x − 6 x ; f ( x) = 0 ⇔ 
x = 2
 3
lim f ( x) = lim x 3 1 − ÷ = −∞ ;
x →−∞
x →−∞
 x
Bảng biến thiên của hàm số f ( x)
x

f ' ( x)

-∞

+∞ +∞

0
+

lim f ( x) = +∞

x →+∞

1

0

-

2
-

0

-2

−∞

+

+∞

0

f ( x)

+∞

-4

Từ BBT suy ra điều kiện phải tìm là −4 < a ≤ −2 .
Nhận xét: Nghiệm của (1a) là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = a với

đồ thị hàm số y = f ( x ) tức là từ mỗi giao điểm ta chiếu vuông góc lên trục
hoành sẽ suy ra vị trí các nghiệm.
3
Bài 2. Biện luận theo m số nghiệm thực của PT: x − 1 + 3( x − 1) 2 + m = 0 , (2)
Giải
Đặt t = x − 1 , ∀x ∈ ¡ ⇒ t ≥ 0
6


PT (2) trở thành t 3 + 3t 2 + m = 0 ⇔ m = −t 3 − 3t 2 , (2a).
Xét hàm số f (t ) = −t 3 − 3t 2 với t ≥ 0 có f ' (t ) = −3t 2 − 6t ≤ 0, ∀t ≥ 0 ;
lim f (t ) = −∞
t →+∞

Bảng biến thiên của hàm số f (t )

t

+
-

f ' (t )

0

f (t )

−∞

Từ BBT ta thấy

- Nếu m > 0 ⇒ ( 2a) không có nghiệm t > 0 nên ( 2) vô nghiệm.
- Nếu m = 0 ⇒ ( 2a) có một nghiệm t = 0 nên ( 2) có một nghiệm x = 1 .
- Nếu m < 0 ⇒ ( 2a) có một nghiệm t > 0 nên ( 2) có hai nghiệm phân biệt.
Nhận xét:
- Thay vì việc khai dấu giá trị tuyệt đối ta thực hiện việc đặt ẩn phụ để có lời
giải ngắn gọn hơn.
- Lưu ý quan hệ giữa số nghiệm theo ẩn t và số nghiệm theo ẩn x .
Bài 3. Tìm tham số a để PT: − x 3 + ax 2 − 4 = m , ( 3)
có ba nghiệm phân biệt ∀m ∈ ( −4;0 ) .
Giải
Yêu cầu của đề bài tương đương với ∀m ∈ ( −4;0 ) đường thẳng y = m phải cắt
 f CD ≥ 0
đồ thị hàm số y = f ( x ) = − x 3 + ax 2 − 4 tại ba điểm phân biệt ⇔ 
(*)
f
 CT ≤−4
Ta có f ( x) = −3 x + 2ax ;
'

2

 x=0
f ( x) = 0 ⇔ 
2a
x =
3

'

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi 0 ≠

2a
⇔ a ≠ 0,
3

2a
là các điểm cực trị của hàm số ⇒ các giá trị cực trị là
3
2a
4a 3
f (0) = −4 và f  ÷ =
−4
 3  27

khi đó x = 0 và x =

7


4a 3
Theo ĐK (*) suy ra số -4 phải là giá trị cực tiểu do đó số
− 4 sẽ là giá trị
27
3
4
a
cực đại ⇒
− 4 ≥ 0 ⇔ a ≥ 3.
27
2a

≥ 0 .Lập Bảng xét dấu f ' ( x) suy ra x = 0 là điểm
Thử lại : Khi a ≥ 3 ⇒
3
2a
cực tiểu , x =
là điểm cực đại và các giá trị cực trị thỏa mãn ĐK (*)
3
Vậy ĐK phải tìm là a ≥ 3 .
Tổng quát:
Xét hàm số f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d với a ≠ 0 .
'
- Hàm số f ( x ) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi PT f ( x) = 0 có hai
nghiệm phân biệt.
- PT f ( x) = g (m) có ba nghiệm phân biệt điều kiện cần và đủ là
f CT ≤ g (m) ≤ f CD
Bài 4. Chứng minh rằng ∀a ≠ 0 hệ PT sau có nghiệm duy nhất:
 2
a2
2 x = y + y


2
2 y 2 = x + a

x
Giải
ĐK : x ≠ 0, y ≠ 0
 2x2 y = y 2 + a2
(1)
Hệ PT đã cho ⇔  2

2
2
(2)
2 y x = x + a
Từ (1) ⇒ 2 x 2 y > 0 ⇒ y > 0 ;
từ (2) ⇒ 2 y 2 x > 0 ⇒ x > 0
Lấy (1) trừ (2) theo vế ⇒ 2 xy ( x − y ) = y 2 − x 2 ⇔ 2 xy ( x − y ) + ( x − y )( x + y ) = 0
⇔ ( x − y )(2 xy + x + y ) = 0 ⇔ x − y = 0 ( vì 2 xy + x + y > 0 )
⇔ y = x thế vào (1)
Suy ra 2 x3 = x 2 + a 2 ⇔ 2 x3 − x 2 = a 2 (*)
Ta thấy số nghiệm dương của PT (*) là số nghiệm của hệ PT đã cho
Xét hàm số f ( x) = 2 x 3 − x 2 với x ≥ 0
x = 0
'
2
'
f ( x) = 6 x − 2 x;
f ( x) = 0 ⇔ 
1
x =
3

1

lim f ( x) = lim x 3  2 − ÷ = +∞
x →+∞
x →+∞
x


8


Bảng biến thiên

x

0

f ' ( x)

f ( x)

0

1/3
-

0

+

0

−

1
27

Từ BBT suy ra ∀a ≠ 0 đường thẳng y = a 2 luôn cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại

đúng một điểm có hoành độ dương suy ra hệ PT đã cho có đúng một nghiệm.
Nhận xét:
- Khi giải hệ PT đối xứng loại hai có dạng như hệ PT (1) và (2) nói trên cách
giải truyền thống là lấy các PT trừ cho nhau để tính một ẩn theo ẩn còn lại
sau đó thế lại một trong hai PT đã cho.
- Hệ PT trên có lời giải rất ngắn gọn như vậy vì ta nhận xét được tính chất
x > 0, y > 0 .
- Sau khi biến đổi về PT (*) là PT bậc ba nên nếu không sử dụng đạo hàm để
khảo sát hàm số thì việc tìm lời giải là vô cùng khó khăn.
 x 2 − 3x ≤ 0
Bài 5. Tìm tham số m để hệ sau có nghiệm  3
3
 x − 2 x x − 2 − m − 20m ≥ 0
Giải
Hệ đã cho
0≤ x≤3

⇔ 3
⇔ x3 − 2 x x − 2 ≥ m3 + 20m với ĐK x ∈ [ 0;3]
3
 x − 2 x x − 2 ≥ m + 20m
3
Đặt f ( x) = x − 2 x x − 2 .

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi BPT f ( x ) ≥ m3 + 20m có nghiệm x ∈ [ 0;3]
3
⇔ max f ( x ) ≥ m + 20m
[ 0;3]

- Nếu x ∈ [ 0;2] ⇒ f ( x) = x3 − 2 x(2 − x) = x 3 + 2 x 2 − 4 x

'
có f ' ( x) = 3 x 2 + 4 x − 4 ; f ( x) = 0 ⇔ x =

2
hoặc x = −2 ( loại )
3

40
2
f (0) = 0; f (2) = 8; f  ÷ = − ⇒ max f ( x) = 8
[ 0;2]
27
3
- Nếu x ∈ [ 2;3] ⇒ f ( x) = x3 − 2 x( x − 2) = x 3 − 2 x 2 + 4 x
'
2
có f ( x) = 3 x − 4 x + 4 > 0, ∀x ∈ [ 2;3]
f (2) = 8; f (3) = 21 ⇒ max f ( x) = 21
[ 2;3]

f ( x ) = 21 nên ta phải có m3 + 20m ≤ 21 ⇔ m ≤ 1
Vậy max
[ 0;3]
Tóm lại ĐK phải tìm là m ≤ 1 .
9


Nhận xét:
Việc tìm tham số để hệ BPT đã cho có nghiệm được quy về bài toán tìm tham
số để một BPT có nghiệm trên một tập cho trước và đã được chuyển về bài toán

tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số.
Bài 6. Tìm tham số m để BPT mx 4 − 4 x + m ≥ 0 , (11) thỏa mãn ∀x .
Giải
4x
4x
4
BPT (11) ⇔ m( x + 1) ≥ 4 x ⇔ m ≥ 4
(11a) . Đặt f ( x) = 4
x +1
x +1
BPT (11) thỏa mãn ∀x khi và chỉ khi BPT (11a) thỏa mãn ∀x ⇔ max f ( x) ≤ m
4 − 12 x 4 4(1 + x 2 3)(1 − x 2 3)
'
f ( x) =
=
Ta có
3
3
4
x
+
1
(
)
( x4 + 1)
lim f ( x) = lim

1
f ( x) = 0 ⇔ x = ± 4 ;
3

'

x →−∞

x →−∞

4
1
x +
x
3

= 0;

lim f ( x) = 0

x →+∞

Bảng biến thiên

x
0

f ' ( x)

f ( x)

+

0

0
0

Từ BBT ⇒ max f ( x) = 4 27 . Vậy ĐK phải tìm là m ≥ 4 27 .
Nhận xét:
Trong đề bài trên bậc của tham số m bằng nhau nên ta có thể nhóm m làm
thừa số chung và thực hiện việc chia cả hai vế cho biểu thức dương để cô lập
tham số.
Bài 7. Tìm tham số m để BPT m 2 x 4 − 2 x 2 + m ≥ 0, (12) thỏa mãn ∀x .
Giải
Đặt t = x 2 ; ∀x ∈ ¡ ⇒ t ≥ 0 .
Bài toán trở thành tìm tham số m để f (t ) = m 2t 2 − 2t + m ≥ 0, ∀t ≥ 0
⇔ min f (t ) ≥ 0
[ 0;+∞ )

- Nếu m = 0 ⇒ f (t ) = −2t ≥ 0, ∀t ≥ 0 là vô lý suy ra m = 0 bị loại
1
f ' (t ) = 2m 2t − 2 ; f ' (t ) = 0 ⇔ t = 2 > 0
- Nếu m ≠ 0,
m
Bảng biến thiên
2

10


t

0

0

f ' (t )

+

f (t )
m3 − 1
m3 − 1
;
do
đó
≥ 0 ⇔ m ≥1
[ 0;+∞ )
m2
m2
Vậy ĐK phải tìm là m ≥ 1 .
Nhận xét:
Trong lời giải bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta được một hàm số bậc hai do
đó không cần sử dụng đạo hàm ta vẫn lập được BBT của hàm số. Tuy nhiên tôi
vẫn trình bày ở đây để tiện liên hệ với bài 11 trong trường hợp không cô lập
được tham số.
Bài tập tương tự
1.Tìm tham số a để PT sau có nghiệm duy nhất: x 3 + ax 2 − 4 = 0 .
2. Biện luận theo m số nghiệm của PT x 2 + (3 − m) x + 3 − 2m = 0 so sánh các
nghiệm đó với các số -3 và -1.
3. Tìm tham số m để PT sau có ba nghiệm dương phân biệt:
x 3 − x 2 + 18mx − 2m = 0 .
1
4. Cho hàm số f ( x) = − x 3 + 3mx − 4 . Tìm tham số m để f ( x) ≤ − 3 , ∀x ≥ 1.

x
Từ BBT suy ra min f (t ) =

PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN
Bài 1. Biện luận theo tham số m số nghiệm của PT x + 3 = m x 2 + 1 (1)
Giải
x+3
= m , (1a).
PT (1) ⇔
x2 + 1
x+3
Xét hàm số f ( x) =
trên ¡
x2 + 1
Số nghiệm của PT (1) bằng số nghiệm của PT (1a) và là số giao điểm của đồ
thị hàm số y = f ( x ) với đường thẳng y = m .
x
x2 + 1 −
( x + 3)
2
1 − 3x
1
'
x
+
1
'
f ( x) =
=

;
f
(
x
)
=
0
⇔
x
=
x2 + 1
3
( x 2 + 1) x 2 + 1

11


lim f ( x) = lim

x →−∞

x →−∞

1+

3
x

1
− 1+ 2

x

= −1 ;

lim f ( x) = 1

x →+∞

Bảng biến thiên
+

x
+

f ' ( x)

f ( x)

0
1

-1

Từ BBT suy ra:
 m > 10
⇒ PT (1) vô nghiệm.
- Nếu 
m
≤
−

1

 m = 10
⇒ PT (1) co một nghiệm.
- Nếu 
−
1
<
m
≤
1

- Nếu 1 < m < 10 ⇒ PT (1) có hai nghiệm phân biệt.
Nhận xét:
- Với kiến thức của học sinh lớp 10 có thể giải được bài toán trên theo cách
bình phương hai vế nhưng rất phức tạp vì phải so sánh các nghiệm của tam
thức bậc hai với các số cho trước.
- Với ứng dụng của đạo hàm như trên ta có lời giải rất rõ ràng.
- Bài toán trên còn có thể được phát biểu theo cách tìm miền giá trị của hàm
số f ( x) .
Bài 2. Tìm tham số m để PT sau có hai nghiệm thực phân biệt :
x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 , (2)
Giải
2
PT (2) ⇔ x 2 + mx + 2 = ( 2 x + 1) ( với ĐK 2 x + 1 ≥ 0 )
1
⇔ x 2 + mx + 2 = 4 x 2 + 4 x + 1 ( với x ≥ − )
2
2
⇔ mx = 3x + 4 x − 1 , (2a)

Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn PT (2a) do đó
1
1
PT (2a) ⇔ m = 3 x + 4 − , (2b) với x ≥ − và x ≠ 0
x
2

12


PT (2) có hai nghiệm thực phân biệt ⇔ PT (2b) có hai nghiệm phân biệt thỏa
1
mãn ĐK x ≥ − và x ≠ 0 tức là đường thẳng y = m phải cắt đồ thị hàm số
2
1
 1 
y = f ( x) = 3x + 4 −
tại hai điểm phân biệt trên tập  − ;0 ÷∪ ( 0; +∞ )
x
 2 
1
 1 
f ' ( x) = 3 + 2 > 0, ∀x ∈  − ;0 ÷∪ ( 0; +∞ )
Ta có
x
 2 
lim f ( x) = +∞ ; lim+ f ( x) = −∞ ; lim f ( x) = +∞
x →+∞
x →0 −
x →0

Bảng biến thiên
0
+

x

+

'

f ( x)

+∞

f ( x)

−∞

9
2
Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là m ≥

+

9
2

Nhận xét:
Sau khi biến đổi PT (2) về PT (2a) ta có thể thực hiện lời giải theo cách so
1

sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với số − nhưng sẽ khá phức tạp ,
2
trong khi đó nếu ứng dụng đạo hàm như trên ta có thể biện luận số nghiệm của
PT đã cho.
Bài 3. Chứng minh rằng ∀m > 0 PT sau luôn có hai nghiệm phân biệt:
x 2 + 2 x − 8 = m( x − 2) (3)
Giải
( x 2 + 2 x − 8 ) 2 = m( x − 2)
2
2
⇔ ( x − 2 ) ( x + 4 ) = m ( x − 2 ) , (3a)
PT (3) ⇔ 
x2 + 2x − 8 ≥ 0

với ĐK x ≤ −4 hoặc x ≥ 2
Từ PT (3a) ⇒ m ( x − 2 ) ≥ 0 mà m > 0 ⇒ x ≥ 2 do đó ta chỉ cần xét PT (3a) với
ĐK x ≥ 2
x=2

⇔
PT (3a)

2
 m = ( x − 2 ) ( x + 4 ) , (3b)
(3b) ⇔ m = x3 + 6 x 2 − 32
Xét hàm số f ( x) = x 3 + 6 x − 32 với x ≥ 2
f ' ( x) = 3 x 2 + 12 x ≥ 0, ∀x ≥ 2
13

lim f ( x) = +∞

x →+∞

Bảng biến thiên

x
+

f ' ( x)

f ( x)
Từ BBT suy ra ∀m > 0 PT (3b) có đúng một nghiệm x > 2 ⇒ PT (3) có đúng
hai nghiệm phân biệt.
Nhận xét:
Sau khi tìm được ĐK x ≥ 2 việc khảo sát hàm số f ( x) ở trên là rất dễ dàng
chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến
của hàm số f ( x) .
Bài 4. Tìm tham số m để PT sau có nghiệm:
3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) = m , (5)
Giải
ĐK : −3 ≤ x ≤ 6
2
u2 − 9
2
Đặt u = 3 + x + 6 − x ⇒ u = 3 + x + 6 − x ⇒ (3 + x )(6 − x ) =
2
Để tìm ĐK của u ta xét hàm số u = f ( x) = 3 + x + 6 − x với x ∈ [ −3;6]
1
1

3
'
−
; f ' ( x) = 0 ⇔ 3 + x = 6 − x ⇔ x =
Có f ( x) =
2 3+ x 2 6− x
2
'
và f ( x) không xác định tại các điểm x = −3, x = 6
3
f ( −3) = 3,
f (6) = 3,
f  ÷= 3 2
2
⇒ max f ( x) = 3 2, min f ( x) = 3

(

[ −3;6]

)

[ −3;6]

vậy ∀x ∈ [ −3;6] ⇒ u ∈ 3;3 2 
u2 − 9
1
9
PT (5) trở thành u −
= m ⇔ − u 2 + u + = m , (5a) với u ∈ 3;3 2  .

2
2
2
PT (5) có nghiệm khi và chỉ khi PT (5a) có nghiệm u ∈ 3;3 2  .
1
9
Xét hàm số g (u ) = − u 2 + u + trên đoạn 3;3 2 
2
2
g ' (u ) = −u + 1 < 0, ∀u ∈ 3;3 2 
⇒ hàm số g (u ) nghịch biến trên đoạn 3;3 2 



14


và g (3) = 3;

g (3 2) = 3 2 −

Vậy ĐK phải tìm là 3 2 −

9
2

9
≤ m ≤ 3.
2

Nhận xét:
- Có thể thay bài toán trên bằng bài toán BPT hoặc bài toán tìm GTLN và
GTNN của hàm số ở vế trái ta có phương pháp giải tương tự.
- Nếu đề yêu cầu giải PT (5) với m là một số cụ thể thì việc tìm điều kiện
của u là không cần thiết, ta chỉ cần suy ra các điều kiện hiển nhiên vì sau
khi tìm được ẩn phụ u ta còn phải thay vào bước đặt để tìm ẩn chính x .
- Nếu trong bài toán có tham số thì việc tìm ĐK của u là không thể bỏ qua
và không được làm sai. Việc tìm ĐK của u như trên thực chất là việc tìm
tập giá trị của hàm số f ( x) trên tập xác định của PT đã cho.
Bài 5. Tìm tham số m để PT sau có nghiệm:
m( 1 + x 2 − 1 − x 2 + 2) = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2 , (6)
Giải
ĐK : −1 ≤ x ≤ 1
Đặt u = 1 + x 2 − 1 − x 2
 1 ≤ 1 + x 2 ≤ 2
∀x ∈ [ −1;1] ⇒ 
⇒0≤u≤ 2
2
−
1
≤
−
1
−
x
≤
0

Dễ thấy u = 0 khi x = 0; u = 2 khi x = ±1
Vậy ∀x ∈ [ −1;1] ⇒ u ∈ 0; 2 

và u =
2

(

1+ x − 1− x
2

2

)

2

⇒ 2 1 − x4 = 2 − u 2

PT (6) trở thành m(u + 2) = 2 − u 2 + u với ĐK u ∈ 0; 2 
−u 2 + u + 2
⇔m=
, (6a)
u+2
PT (6) có nghiệm khi và chỉ khi PT (6a) có nghiệm u ∈ 0; 2 
−u 2 + u + 2
Xét hàm số f (u ) =
, với u ∈ 0; 2 
u+2
2
−u − 4u
f ' (u ) =
≤ 0, ∀u ∈ 0; 2 

2
u
+
2
(
)
suy ra hàm số f (u ) nghịch biến trên đoạn  0; 2 
f (0) = 1;

f

( 2) =

Vậy ĐK phải tìm là

2 −1
2 −1 ≤ m ≤ 1.

15


Nhận xét:
Lời giải của bài tập 5 và 6 có phương pháp như nhau nhưng việc tìm ĐK của
ẩn phụ trong bài số 6 không dùng đạo hàm mà thực hiện một số phép biến đổi
kéo theo nên cần phải thấy rõ tập giá trị của ẩn phụ trên TXĐ của PT (6).
Bài 6. Tìm tham số m để PT sau có nghiệm:
3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1, (7)
Giải
4 2
x −1

x −1
ĐK: x ≥ 1 , khi đó x + 1 > 0 và PT (7) ⇔ 3
+m=2
x +1
x +1
x −1
x −1
⇔3
+ m = 2. 4
x +1
x +1
x −1
x −1 2
⇒
=t
Đặt t = 4
x +1
x +1
x −1
Xét hàm số g ( x) =
, với x ≥ 1 .
x +1
2
'
g
(
x
)
=
> 0, ∀x ≥ 1 suy ra hàm số g ( x) đồng biến ∀x ≥ 1

Có
2
( x + 1)
g (1) = 0;
lim g ( x) = 1 . Như vậy ∀x ≥ 1 ⇒ t ∈ [ 0;1)
x →+∞

PT đã cho trở thành: −3t 2 + 2t = m , (7a) với ĐK t ∈ [ 0;1)
PT (7) có nghiệm khi và chỉ khi PT (7a) có nghiệm t ∈ [ 0;1)
Xét hàm số f (t ) = −3t 2 + 2t trên nửa khoảng [ 0;1)
1
f ' (t ) = −6t + 2 ; f ' (t ) = 0 ⇔ t =
3
Bảng biến thiên
1

t

+

f ' (t )

0

f (t )
0

-1

1

Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là −1 < m ≤ .
3
Nhận xét:
Trong lời giải trên việc tìm ĐK của t và việc khảo sát hàm số f (t ) không
nhất thiết phải sử dụng đạo hàm nhưng việc ứng dụng đạo hàm sẽ làm cho lời
giải tự nhiên và dễ dàng hơn.

16


Bài 7. Tìm tham số m để BPT sau có nghiệm:
mx − x − 3 ≤ m + 1, (8)
Giải
ĐK: x ≥ 3 . Đặt t = x − 3 ⇒ t ≥ 0 và x = t 2 + 3
BPT (8) trở thành m(t 2 + 3) − t ≤ m + 1 với ĐK t ≥ 0
t +1
⇔ m(t 2 + 2) ≤ t + 1 ⇔ m ≤ 2
, (8a) với ĐK t ≥ 0
t +2
t +1
Xét hàm số f (t ) = 2
t +2
f (t ) ≥ m
Ta thấy BPT (8) có nghiệm ⇔ BPT (8a) có nghiệm t ≥ 0 ⇔ max
[ 0;+∞ )
f (t ) =
'

−t 2 − 2t + 2

(t

2

+ 2)

2

;

 t = −1 + 3
f ' (t ) = 0 ⇔ −t 2 − 2t + 2 = 0 ⇔ 
t = −1 − 3

Bảng biến thiên

t

+
+

f ' (t )

0

f (t )
1+ 3
[ 0;+∞ )
4
1+ 3

Vậy ĐK phải tìm là m ≤
.
4
Nhận xét:
Với kiến thức của lớp 10 học sinh có thể giải được bài toán trên thông qua việc
so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0, tuy nhiên khá phức tạp.
Từ BBT suy ra max f (t ) =


x + y =3
m
Bài 8. Tìm tham số để hệ 
có nghiệm thỏa mãn x ≥ 4 .
 x + 5 + y + 3 ≤ m
Giải
ĐK : x ≥ 4 và y ≥ 0
Đặt u = x ⇒ u ≥ 2;

v= y ⇒v≥0

u + v = 3
Hệ đã cho trở thành  2
2
 u + 5 + v + 3 ≤ m
Từ (1) ⇒ v = 3 − u thế vào (2)
17

(1)
(2)

⇒ u 2 + 5 + u 2 − 6u + 12 ≤ m, (3)
 v≥0
 u≥2

⇒ u ∈ [ 2;3]
Vì  u ≥ 2 ⇒ 
3
−
u
≥
0
v = 3 − u 

Xét hàm số f (u ) = u 2 + 5 + u 2 − 6u + 12
f (u ) ≤ m
Vậy hệ đã cho có nghiệm ⇔ BPT (3) có nghiệm u ∈ [ 2;3] ⇔ min
[ 2;3]
Hàm số f (u ) xác định và liên tục trên đoạn [ 2;3]
u
u −3
f ' (u ) =
+
;
2
2
u +5
u − 6u + 12

f ' (u ) = 0 ⇔ u u 2 − 6u + 12 = (3 − u ) u 2 + 5

⇔ u 2 ( u 2 − 6u + 12 ) = ( 3 − u ) ( u 2 + 5 ) với u ∈ [ 2;3]
2


15 + 135
 u1 =
4
⇔ 2u 2 − 30u + 45 = 0 ⇔ 

15 − 135
u 2 =

4
u1 > 3, u2 < 2 nên đều bị loại
f (2) = 5,
f (3) = 3 + 14
⇒ min f (u ) = 5
[ 2;3]

Vậy ĐK phải tìm là m ≥ 5 .
Nhận xét:
- Trong lời giải bài toán trên việc tìm ra TXĐ cho hàm số f (u ) là rất qua
trọng.
- Đề bài trên cũng có thể phát biểu theo kiểu tương tự: Cho các số x, y thỏa
mãn ĐK x ≥ 4, y ≥ 0 và x + y = 3 . Hãy tìm GTLN và GTNN của biểu
thức P= x + 5 + y + 3 .
Bài tập tương tự
1.Tìm tham số m để PT sau có đúng một nghiệm:
4 4

x − 13x + m + x − 1 = 0
2
 x − 5 x + 4 ≤ 0
2.Tìm tham số m để hệ sau có nghiệm:  2
3 x − mx x + 16 = 0
Hướng dẫn: Hệ đã cho ⇔ 3 x 2 − mx x + 16 = 0, với x ∈ [ 1;4]
Đặt t = x ; ∀x ∈ [ 1;4] ⇒ t ∈ [ 1;2]

3.Tìm tham số m để BPT m( x 2 − 2 x + 2 + 1) + x(2 − x) ≤ 0
18


có nghiệm x ∈ 0;1 + 3 
4.Tìm tham số m để PT sau có nghiệm: x x + x + 12 = m( 5 − x + 4 − x )
x x + x + 12
trên đoạn [ 0;4]
5− x + 4− x

Hướng dẫn: Khảo sát hàm số f ( x) =
5. Tìm tham số m để BPT:

(x

2

+ 1) + m ≤ x x 2 + 2 + 4 , thỏa mãn ∀x ∈ [ 0;1]
2

∀x ∈ [ 0;1] ⇒ t ∈ 0; 3 
6. Tìm tham số a để BPT: a 2 x 2 + 7 < x + a nghiệm đúng với mọi x

2
Hướng dẫn : Đặt t = x x + 2,

PHẦN III : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
log(mx)
= 2, (1)
Bài 1. Tìm tham số m để PT sau có nghiệm thực duy nhất:
log( x + 1)
Giải
 x +1> 0
mx > 0

x > −1, x ≠ 0




x≠0
⇔
PT (1) ⇔  x + 1 > 0, x + 1 ≠ 1 ⇔ 
x2 + 2x + 1
, (1a)
log( mx) = 2log( x + 1)

m =
2
x


mx

=
x
+
1
(
)

PT (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi PT (1a) có nghiệm duy nhất thỏa mãn
ĐK x > −1 và x ≠ 0 tức là đường thẳng y = m phải cắt đồ thị hàm số
x2 + 2x + 1
y = f ( x) =
tại đúng một điểm trên tập ( −1;0 ) ∪ ( 0; +∞ )
x
x2 − 1
'
Ta có f ( x) = 2 ;
f ' ( x) = 0 ⇔ x = ±1
x
lim− f ( x) = −∞;
lim+ f ( x) = +∞;
lim f ( x) = +∞;
x →0

x →+∞

x →0

Bảng biến thiên

x

f ' ( x)

0

1

0

+

0

+

0

f ( x)
4
m < 0
Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là 
.
m = 4
Nhận xét:

19


- có thể phát biểu đề bài theo tổng quát hơn: Biện luận theo tham số m số
nghiệm của PT đã cho.
- Lưu ý nhờ phép biến đổi logic nên PT (1) trở thành PT (1a) với ĐK x > −1

và x ≠ 0 .
Bài 2. Tìm tham số m a để PT sau có nghiệm thực:
2
2
91+ 1− x − (m + 3)31+ 1− x + 2m + 1 = 0, (2)
Giải
ĐK: −1 ≤ x ≤ 1
∀x ∈ [ −1;1] ⇒ 1 ≤ 1 + 1 − x 2 ≤ 2 ⇒ 3 ≤ u ≤ 9
PT (2) trở thành u 2 − (m + 3)u + 2m + 1 = 0 với ĐK u ∈ [ 3;9]
⇔ u 2 − 3u + 1 = m(u − 2)
Đặt u = 31+

1− x 2

;

u 2 − 3u + 1
= m , (2a) với u ∈ [ 3;9]
u−2
PT (2) có nghiệm ⇔ PT (2a) có nghiệm u ∈ [ 3;9]
u 2 − 3u + 1
Xét hàm số f (u ) =
xác định và liên tục trên đoạn [ 3;9]
u−2
u 2 − 4u + 5
'
f (u ) =
> 0, ∀u ∈ [ 3;9]
2
u

−
2
(
)
⇒ f (u ) là hàm số đồng biến trên đoạn [ 3;9]
55
f (3) = 1;
f ( 9) =
7
55
Vậy ĐK phải tìm là 1 ≤ m ≤
.
7
Nhận xét:
- Đề bài có thể phát biểu tương tự thay PT là BPT.
- Lưu ý phải tìm ĐK chính xác của ẩn phụ, học sinh thường làm sai bước
này và sai theo nhiều kiểu khác nhau.
Bài 3. Tìm tham số m để PT (m + 3)16 x + (2m − 1)4 x + m + 1 = 0, (3)
có hai nghiệm trái dấu.
Giải
Đặt t = 4 x ⇒ t > 0 ;
PT (3) trở thành (m + 3)t 2 + (2m − 1)t + m + 1 = 0
⇔ m(t 2 + 2t + 1) = −3t 2 + t − 1
⇔m=

−3t 2 + t − 1

( t + 1)

2

, (3a) với t > 0

Nếu x1 < 0 ⇒ t1 = 4 x1 < 1

20


Nếu x2 > 0 ⇒ t2 = 4 x2 > 1
Do đó x1 < 0 < x2 ⇔ 0 < t1 < 1 < t2
Lưu ý với mỗi số t > 0 PT t = 4 x chỉ có một nghiệm ẩn x .
PT (3) có hai nghiệm trái dấu ⇔ PT (3a) có hai nghiệm t1 , t2 sao cho
0 < t1 < 1 < t2 tức là đường thẳng y = m phải cắt đồ thị hàm số
−3t 2 + t − 1
y = f (t ) =
tại đúng hai điểm với ĐK hoành độ giao điểm thứ nhất
(t + 1) 2
thuộc khoảng ( 0;1) và hoành độ giao điểm thứ hai trong khoảng ( 1;+∞ )
−3t 2 + t − 1
Hàm số f (t ) =
với ĐK t > 0
(t + 1) 2
−7t + 3
3
'
;
f ' (t ) = 0 ⇔ t = .
Có f (t ) =
3
(t + 1)

7

lim f (t ) = −3

t →+∞

Bảng biến thiên

t

1
+

f ' (t )

0

−55
100

f (t )

−3
4

-1

-3

3

Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là −1 < m < − .
4
Nhận xét:
Nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì lời giải của bài toán
trên khá gắn gọn nhưng sách giáo khoa hiện hành không trình bày. Nhưng giải
theo phương pháp nào cùng đều phải tìm được ĐK của ẩn phụ, mối liên hệ giữa
số nghiệm theo ẩn phụ và số nghiệm theo ẩn chính.
2
2
2
Bài 4. Tìm tham số m để BPT 92 x − x − 2(m − 1)62 x − x + (m + 1)4 2 x − x ≥ 0, (6)
1
nghiệm đúng ∀x thoả x ≥ .
2
Giải
2 x2 − x

9
BPT (6) ⇔  ÷
4

2 x2 − x

6
− 2(m − 1)  ÷
4

2 x2 − x

3

Đặt t =  ÷
2

;

x≥

+ m +1≥ 0

1
1 1


⇔ x ∈  −∞; −  ∪  ; +∞ ÷ = D
2
2 2



21


2 x2 − x

3
Xét g ( x) = t =  ÷
2

trên tập D
2 x2 − x

3
1
3
g ' ( x) = ( 4 x − 1)  ÷
ln ,
g ' ( x) = 0 ⇔ x =
2
4
2
lim g ( x) = +∞;
lim g ( x) = +∞;

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên của hàm số g ( x)
+

x
g ' ( x)

g ( x)

+∞

−

+

+∞
3
2

1

Từ BBT của g ( x) suy ra ∀x ∈ D ⇒ t ≥ 1
BPT đã cho trở thành t 2 − 2(m − 1)t + m + 1 ≥ 0 với ĐK t ≥ 1
⇔ t 2 + 2t + 1 ≥ m(2t − 1)
t 2 + 2t + 1
⇔
≥ m, (6a) với t ≥ 1
2t − 1
t 2 + 2t + 1
Xét hàm số f (t ) =
trên nửa khoảng [ 1;+∞ )
2t − 1
f (t ) ≥ m
BPT (6) nghiệm đúng ∀x ∈ D ⇔ BPT (6a) nghiệm đúng ∀t ≥ 1 ⇔ min
[ 1;+∞ )
 t = −1
'
2
f
(
t
)
=
0

⇔
2
t
−
2
t
−
4
=
0
⇔
2
t=2
( 2t − 1)

Bảng biến thiên của hàm số f (t )
1
2
+
Ta có f (t ) =
'

2t 2 − 2t − 4

;

t

f ' (t )

0

+

f (t )
3
f (t ) = 3 ⇒ m ≤ 3
Từ BBT suy ra min
[ 1;+∞ )
Vậy ĐK phải tìm là m ≤ 3 .
Nhận xét: Việc tìm ĐK của ẩn phụ chính là việc tìm tập giá trị của hàm số g ( x)
trên tập D .
22


2
2
2
Bài 5. Tìm tham số m để BPT sau có nghiệm: 2sin x + 3cos x ≥ m.3sin x , (7)
Giải
2
2
2
PT (7) ⇔ 2sin x + 31−sin x ≥ m.3sin x
2
Đặt t = sin x, ∀x ∈ ¡ ⇒ t ∈ [ 0;1]

t

2

Ta được BPT 2 + 3 ≥ m.3 ⇔  ÷ + 31−2t ≥ m, (7a) với ĐK t ∈ [ 0;1]
3
t
2
Xét hàm số f (t ) =  ÷ + 31−2t trên đoạn [ 0;1]
3
Ta thấy BPT (7) có nghiệm ⇔ BPT (7a) có nghiệm t ∈ [ 0;1] ⇔ max f (t ) ≥ m
t

1−t

t

[ 0;1]

t

2 2
Ta có f ' (t ) =  ÷ ln − 2.31−2t ln 3 < 0, ∀t ∈ [ 0;1]
3 3
f (t ) = 4
⇒ f (t ) là hàm số nghịch biến trên đoạn [ 0;1] , mà f (0) = 4 ⇒ max
[ 0;1]
Vậy ĐK phải tìm là m ≤ 4 .
Bài tập tương tự
1. Bện luận theo tham số m số nghiệm của PT: e2 x + (3 − m)e x + 2(3 − m) = 0
2
2
2. Giải PT: 3sin x + 3cos x = 2 x + 2− x + 2
Hướng dẫn: Ước lượng hai vế bằng cách sử dụng hàm số và BĐT Côsi.

3. Tìm tham số m để BPT sau có nghiệm: x x + x + 12 ≤ m.log 2 (2 + 4 − x )
Hướng dẫn: xét hàm số f ( x) =
4. Tìm tham số m để PT:

x x + x + 12
trên đoạn [ 0;4] .
log 2 (2 + 4 − x )

log 22 x + log 1 x 2 − 3 = m(log 4 x 2 − 3)
2

có nghiệm thuộc khoẩng [ 32;+∞ ) .
5. Tìm tham số m để BPT: (m − 1).4 x + 2 x +1 + m + 1 > 0 thỏa mãn với mọi x .

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

23


Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một
số bài tập người giáo viên có thể nắm bắt được tình hình tiếp thu bài học và học
sinh đón nhận bài toán chứa tham số một cách nhẹ nhàn.
Căn cứ vào kết quả dạy học trước và sau khi thực hiện đề tài sáng kiến,
Đối chiếu so sánh kết quả làm bài của các lớp luyện thi đại học và hai lớp còn
lại không được tham gia thực nghiệm ta thấy: Với các nội dung đã trình bày
trong bài viết này đã giúp các em học sinh lớp 12 thấy được sự liên hệ chặt chẽ
giữa bài toán PT, BPT chứa tham số và bài toán khảo sát hàm số đồng thời giúp
các em có cái nhìn khá toàn diện về bài toàn PT, BPT chứa tham số và ẩn phụ
trong phạm vi toán học THPT góp phần đáng kể hỗ trợ cho các em học sinh
trong việc ôn thi vào Đại học.

III. KẾT LUẬN
Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 trong một số buổi học
nâng cao, chủ yếu là hướng dẫn học sinh nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo
hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán PT, BPT đã giúp cho học sinh thấy
được sự liên hệ chặt chẽ giữa số nghiệm của một PT với số giao điểm của các
đồ thị của hai hàm số ở hai vế, học sinh biết cách sử dụng đạo hàm trong nhiều
bài toán tìm tham số, học sinh làm bài có những lập luận chặt chẽ hơn trong
những tình huống tìm tham số và đặt ẩn phụ.
Mặc dù Sách giáo khoa đã giảm tải khá nhiều nhưng trong các đề thi
tuyển sinh vào đại học có nhiều bài rất khó được phát triển từ các bài tập trong
sách giáo khoa, nên việc dạy ứng dụng đạo hàm trong những tình huống tìm
tham số đối với bài toán PT, BPT để học sinh thấy rõ hơn ý nghĩa của đạo hàm
đồng thời có cái nhìn toàn diện hơn về bài toán tìm tham số.
Với thời gian ngắn, tuổi nghề chưa nhiều nên việc thực hiện đề tài khó
tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các
bạn đồng nghiệp.
Cưmgar , ngày 15 tháng 02 năm 2011
Ý KIẾN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
Tác giả

Phạm Long Hổ

24


Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ

IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo viên , Sách giáo khoa và Sách bài tập Đại số , Giải tích lớp 10 ,

11 , 12 theo chương trình chuẩn và chương trình nâng cao của nhà xuất bẩn
Giáo Dục;
2. Tuyển tập các đề thi tuyển sinh vào các trường Đai học và Cao đẳng từ
năm 1996 đến năm 2010 của nhà xuất bẩn Hà Nội;
3. Tạp chí toán học và tuổi trẻ;
4. Tài liệu trên mạng Internet.

25