Sang kien kinh nghiem Toan Hoc (new)

Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Đề tài:
"Một số kinh nghiệm
Giải bài toán cực trị đại số"
Phần thứ nhất
mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:
Nh chúng ta đã biết, trong toán học nói chung và trong chơng trình toán
THCS nói riêng, dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một trong những
dạng toán khó, lại hay thờng gặp trong các kì thi của cả GV lẫn HS. Mặc dầu
vậy, chúng ta vẫn cha có một tài liệu nào có thể cung cấp cho ta đầy đủ những
phơng pháp, những dạng toán cơ bản thờng gặp và cũng cha có một phơng
pháp tìm cực trị nào tối u cho mọi dạng toán.
ở bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã đợc làm quen với loại toán
này với dạng chuyên đề. Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm một số đồng nghiệp thì
thấy nó cũng không dễ dàng với HS.
Với những lí do nh vậy, tôi đã tìm hiểu, xây dựng đề tài Một số kinh
nghiệm giải bài toán cực trị Đại số. Với mong muốn đợc trình bày một vài
kinh nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong đợc
sự đóng góp chân thành để đề tài đợc phát huy hiệu quả.
II. nhiệm vụ và mục đích nghiên cứu:
1. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Đa ra những kiến thức cơ bản nhất của giá trị cực trị, chỉ ra một số sai
lầm thờng mắc phải.
- Đề xuất một số phơng pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải.
- Lựa chọn phơng pháp giải hợp lý. Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả
năng phân tích, xem xét bài toán dới dạng đặc thù riêng lẻ. Mặt khác, cần khuyến
khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy đợc khả
năng t duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo đợc lòng say mê, sáng

tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với bài toán cực trị.
*********************************************************************************
1 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
2. Mục đích nghiên cứu:
Tác giả muốn đa ra sáng kiến này với mục đích giúp cho học sinh và
đồng nghiệp có một cách nhìn tổng quát về các cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất. Thông qua các ví dụ cụ thể ban đọc có thể vận dụng từng phơng pháp
nêu trên vào từng bài toán cụ thể.
Do việc biến đổi để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các bài toán khác
nhau là khác nhau nên bản thân không thể rút ra một công thức, hay phơng
pháp cụ thể có thể áp dụng cho tất cả bài toán mà chỉ thông qua các bài tập cụ
thể để đồng nghiệp và HS có cách nhìn phù hợp khi giải các bài tập tơng tự.
III. Đối t ợng và ph ơng pháp nghiên cứu:
1. Đối t ợng nghiên cứu:
- Học sinh THCS (chủ yếu là học sinh lớp 8, 9)
2. Ph ơng pháp nghiên cứu:
- Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
- Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dỡng học sinh giỏi
toán lớp 8, 9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện.
- Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm
giảng dạy chuyên đề.
- Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp
*********************************************************************************
2 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Phần thứ hai.
nội dung đề tài

I. Kiến thức cơ bản:
1. Định nghĩa:
Cho biểu thức đại số F(x,y,) xác định trên miền
D
và
,M m R
.
Ta nói:
M
là giá trị lớn nhất (hoặc m là giá trị nhỏ nhất) của
, ),( yxf
trên
D

nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn:
i) Với mọi x, y, . . .

D
thì F(x,y, . . .)
M
(hoặcF(x,y, . . .)
m
),
ii) Tồn tại x
0
, y
0
, . . .

D

sao cho F(x
0
,y
0
, . . .) =
M
(hoặc = m)
2. Chú ý:
Để tranh sai lầm thờng mắc phải khi làm loại bài toán này, ta cần nhấn
mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa, chú ý đến miền giá trị của biến.
Rèn những phản xạ sau:
+ Chứng tỏ F(x,y, . . .)
M
(hoặc F(x,y, . . .)
m
) với mọi x, y, . . .
D

+ Chỉ ra sự tồn tại x
0
, y
0
, . . .

D
để F(x
0
,y
0
, . . .) đạt cực trị.

Ta ký hiệu
MaxA
là giá trị lớn nhất của
MinAA,
là giá trị nhỏ nhất của
A
II. Những sai lầm th ờng g ặp khi giải toán cực trị:
1. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
544
3
2
+
=
xx
A
Lời giải sai: Phân thức
A
có tử số là số không đổi nên
A
có giá trị lớn
nhất khi mẫu nhỏ nhất.
Ta có:
xxxx +=+ ,44)12(544
22
x
xx

+
,

4
3
544
3
2
2
1
4
3
== xAMax
*********************************************************************************
3 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhng khi khẳng định
A
có tử
số là số không đổi nên
A
có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất mà cha đa ra
nhận xét tử mẫu là các số dơng.
Ta đa ra một ví dụ:
Xét biểu thức
4
1
2

=
x
B

Với lập luận phân thức
B
có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi
mẫu nhỏ nhất, do mẫu nhỏ nhất bằng
4
khi
0=x
, ta sẽ đi đến:
4
1
max =B

không phải là giá trị lớn nhất của
B
, chẳng hạn với
3=x
thì
4
1
5
1

.
Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã
máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên
sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên.
Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét:
44)12(544
22
+=+ xxx

nên
tử và mẫu của A là các số dơng. Hoặc từ nhận xét trên suy ra
0
>
A
, do đó
A

lớn nhất khi và chỉ khi
A
1
nhỏ nhất
544
2
+ xx
nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
22
yxA +=
biết
4=+ yx
Lời giải sai:
Ta có:
xyyxA 2
22
+=
Do đó,
A
nhỏ nhất
xyyx 2

22
=+

2== yx
Khi đó
822
22
=+=MinA
Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhng lập luận mắc sai lầm. Ta
mới chứng minh đợc
),(),( yxgyxf
, chứ cha chứng minh đợc
myxf ),(
với
m
là hằng số.
Ta đa ra một vị dụ: Với lập luận nh trên, từ bất đẳng thức đúng
44
2
xx
sẽ suy ra:
2
x
nhỏ nhất
20)2(44
22
=== xxxx
.
Dẫn đến:
24

2
== xMinx
Dễ thấy kết quả đúng phải là: Min
00
2
== xx
Lời giải đúng:
Ta có:
1624)(
2222
=++=+ yxyxyx
)1(
Ta lại có:
020)(
222
+ yxyxyx
)2(
Từ
)1(
,
)2(
:
816)(2
2222
++ yxyx
Vậy
28 === yxMinA
2. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:
*********************************************************************************
4 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình

Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
xxA +=
Lời giải sai:
4
1
2
1
4
1
4
1
2







+=






++=+= xxxxxA
Vậy

4
1
=MinA
Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh
,
4
1
)( xf
cha chỉ ra trờng hợp
xẩy ra dấu đẳng thức
.
4
1
)( xf
Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi
,
2
1
=x

vô lý.
Lời giải đúng:
Để tồn tại
x
phải có
0x
Do đó
0+= xxA
Min
00

==
xA
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của:
))(()( xzxyyxxyzA +++=
Với
0,, zyx
và
1=++ zyx
Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức:
2
)(4 baab +
1)()(4
2
=+++ zyxzyx
1)()(4
2
=+++ xzyxzx
1)()(4
2
=+++ yxzyxx
Nhân từng vế (do hai vế đều không âm)
1)))((64 +++ xzxyyxxyz
64
1
=MaxA
Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ cha chỉ ra đợc trờng hợp xẩy ra
dấu đẳng thức. Điều kiện để
64
1
=A

là:
*********************************************************************************
5 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình










=++
=+
=+
=+
0,,
1
zyx
zyx
yxz
xzy
zyx

=++
===
0,,
1
0
zyx
zyx
zyx
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Lời giải đúng: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
3
.31 xyzzyx ++=
)1(
3
))()((.3)()()(2 xzzyyxxzzyyx ++++++++=

)2(
Nhân từng vế
)1(
với
)2(
do 2 vế đều không âm)
3
3
9
2
.92

AA
3
1
9
2
3
===






= zyxMaxA
III. một số ph ơng pháp giải bài toán tìm c ực trị đại số
1. Ph ơng pháp tam thức b ậc hai:
a, Nội dung ph ơng pháp:
Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức
bậc hai về dạng bình phơng một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do.
b, Ví dụ:
Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai.
Ví dụ: 1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của
18
2
+= xxA
2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của

142
2
+= xxB
3/ Tìm giá trị nếu có của
143
2
+= xxC
4/ Cho tam thức bậc hai
2
P ax bx c= + +
-Tìm giá trị nhỏ nhất của
P
nếu
0>a
-Tìm giá trị lớn nhất của
P
nếu
0<a
HD giải:
Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai.
1/
1515)4(18
22
=+= xxxA

415min == xA
2/
11)1(2142
22
=+= xxxB

11min == xB
*********************************************************************************
6 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình

mâu thuẫn
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
3/
3
7
3
7
3
2
3143
2
2
+






=+= xxxC

3
2
3

7
max == xC
4/
c
acb
a
b
xa
a
c
x
a
b
xacbxaxP
4
4
2
2
2
22








=

++=++=
+ Nếu
a
b
x
a
acb
Pa
24
4
min:0
2
=

=>
+ Nếu
a
b
x
a
acb
Pa
24
4
max:0

2
=

=<
Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao:
VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
)1( ++= xxA
HD:
)1(
2
++ xxMinMinA
Bài toán trên là dạng đặc biệt của bài toán sau:
[ ]
)()(
2
NkxfB
k
=
VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
)7)(4)(3( = xxxxC
HD: Dùng phơng pháp đổi biến.
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là hằng số,
có mẫu là tam thức bậc hai.
VD: Tìm giá trị lớn nhất của
544
3
2
+
=

xx
M
-Dạng này phải chú ý đến dấu của tử thức.
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là bình
phơng nhị thức.
VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
)1(
1
+
++
=
x
xx
P
HD:
2
)1(
1
1
1
1
+
+
+
=
x
x
P

*********************************************************************************
7 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Đặt
,
1
1
+
=
x
y
có
4
3
4
3
2
1
1
2
2
+






=+= yyyP

1
2
1
4
3
=== xyMinP
Cách 2: Viết P dới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm:
4
3
1(2
1
4
3
)1(4
444
2
2
2









+

+=

+
+
=
x
x
x
xx
P
,
1
4
3
== xMinP
Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức quan hệ giữa các
biến:
VD: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
22
3 yxxyA =
Biết
yx,
là nghiệm của phơng trình:
1025 =+ yx
Giải:
Ta có:
2
510
1025
x
yyx

==+
)10016059(
4
1
2
+= xxA
25
59
160
4
59
2







+= x
25
3481
6400
59
80
4
59
2

+






= x
25
59
1600
59
80
4
59
2
+

= x
59
125
59
80
4
59
59
125
2







= xA
. Vậy







=
=
=
59

95
59
80
59
125
max
y
x
A
c, Tiểu kết:
Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phơng pháp tam thức bậc
hai là cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị. Rèn kỹ năng
giải toán, đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi
các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai.
2. Ph ơng pháp miền giá tr ị của hàm số:
a, Nội dung phơng pháp:
*********************************************************************************
8 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
)(xf
với
.Dx


Gọi
0
y
là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ phơng

trình (ẩn
x
) sau có nghiệm:
0
)( yxf =

)1(
Dx

)2(
Tuỳ dạng của hệ
)1(
,
)2(
mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp.
Trong nhiều trờng hợp, điều kiện ấy sẽ đa về dạng
bya
0

)3(
.
Vì
0
y
là một giá trị bất kỳ của
)(xf
nền từ
)3(
ta thu đợc:
axfMin =)(

và
bxfMax =)(
trong đó
.Dx

Nh vậy thực chất của phơng pháp này là đa về phơng trình bậc hai và sử
dụng điều kiện
.0
b, Ví dụ:
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:
1
1
2
2
++
+
=
xx
xx
A
Giải:
Biểu thức A nhận giá trị

khi và chỉ khi phơng trình ẩn x sau đây có nghiệm:
1
1
2
2
++
+

=
xx
xx
a

)1(
Do
01
2
++ xx
nên
)1(

1
22
+=++ xxaaxax

)2(0)1()1()1)(
2
=+++ axaxa
+ TH1: Nếu
1
=
a
thì
)2(
có nghiệm
0
=
x

+ TH2: Nếu
0a
thì để
)2(
có nghiệm, cần và đủ là
0
, tức là:
0)1(4)1(
22
+ aa
0)2214)(221( ++++ aaa
0)3)(13( aa
)1(3
3
1
aa
.
Với
3
1
=a
hoặc
3
=
a
thì nghiệm của
)2(
là:
)1(2
)1(

)1(2
)1(
a
a
a
a
x

+
=

+
=
*********************************************************************************
9 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Với
3
1
=a
thì
,1=x
với
3
=
a
thì
1
=

x
Gộp cả hai trờng hợp 1 và 2 ta có:
1
3
1
== xMinA
,
13
==
xMaxA
Cách khác:
3
1
)1(2
3
1
242333
2
2
2
22

++
+
=
++
++
=
xx
x

xx
xxxx
A
13max
==
xA
3
1
)1(3
)1(2
3
1
)1(3
)12(2
)1(3
1
333
333
2
2
2
2
2
2
2
2

++

+=

++
+
+
++
++
=
++
+
=
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
A
1
3
1
== xMinA
Mở rộng: Bài toán còn có thể cho dới dạng khác, đó là:
1/ Chứng minh:
3
1
1
3
1
2

2

++
+

xx
xx
2/ Tìm điều kiện để phơng trình sau có nghiệm (vô nghiệm):
0
1
1
2
2
=
++
+
m
xx
xx
c, Tiểu kết:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hoặc những biểu thức
có thể đa về hàm số bằng phơng pháp miền giá trị thờng đợc đa về phơng trình
và tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm. Phơng pháp này có u điểm là tìm
cực trị thông qua việc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm, thông qua việc
này giúp cho học sinh rèn kỹ năng giải phơng trình.
3. Ph ơng pháp sử d ụng các bất đẳng thức quen thuộc:
a. Nội dung phơng pháp:
Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

=

=
MxfDx
DxMxf
xMaxfM
00
(:
,)(
)(
*********************************************************************************
10 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************



=

=
mxfDx
DxMxf
xfMinm
00
(:
,)(
)(
Nh vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
)(xf

trên
miền
D
nào đó, ta tiến hành theo hai bớc:
+ Chứng minh một bất đẳng thức
+ Tìm giá trị
Dx
0
sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức tìm đợc trở
thành đẳng thức. Nếu sử dụng các bất đẳng thức cơ bản nh Côsi, Trêbsep,
Bunhiacôpxki thì các giá trị nh vậy thờng đợc tìm thấy nhờ phần 2 trong cách
phát hiện ra dấu đẳng thức ấy, cần có một nhận xét thích hợp.
b, Các bất đẳng thức thờng dùng:
1/
.0
2
a
Tổng quát
2
0,
k
a k
nguyên dơng
Xẩy ra dấu đẳng thức
0
=
a
2/
.0
2

a
Tổng quát
ka
k
,0)(
2

nguyên dơng
Xẩy ra dấu đẳng thức
0
=
a
3/
.0a
Xẩy ra dấu đẳng thức
0= a
4/
aaa
Xẩy ra dấu đẳng thức
0= a
5/
baba ++
Xẩy ra dấu đẳng thức
baab ,(0
cùng dấu)

baba +
Xẩy ra dấu đẳng thức
baab ,(0
cùng dấu)

cbacba ++++
Xẩy ra dấu đẳng thức
0;0;0 acbcab
;
6/
.
11
0;
ba
abba
Xẩy ra dấu đẳng thức
ba =
7/
2+
a
b
b
a
với
ba,
cùng dấu. Xẩy ra dấu đẳng thức
ba =
8/ Bất đẳng thức Côsi:
+ Đối với 2 số dơng
ba,
bất kỳ.
ab
ba

+
2
(hoặc
)2
22
abba +
. Xẩy ra dấu đẳng thức
ba =
+ Đối với
:, ,1;0
1
nia =

n
n
aaa
n
aaa
221
21



+++
9/ Bất đẳng thức Bunhia côpxki:
*********************************************************************************
11 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Nếu

), ,(
21 n
aaa
và
), ,(
21 n
bbb
là những số tuỳ ý, ta có:
), (
22
2
2
1 n
aaa +++
.
2
2211
22
2
2
1
) (), (
nnn
babababbb ++++++
Dấu bằng xẩy ra
j
j
i
i
b

a
b
a
=
(với quy ớc rằng nếu
0=
i
a
thì
0=
i
b
).
10/ Bất đẳng thức Trêbsép.
+ Nếu
n
aaa
21
,
n
bbb
21

thì
) ).( () (
21212211 nnnn
bbbaaabababan +++++
Dấu bằng xẩy ra
ji
aa =

hoặc
jiji
babb ,;=
tuỳ ý
+ Nếu
n
aaa
21
,
n
bbb
21

thì
) ).( () (
21212211 nnnn
bbbaaabababan +++++
Dấu bằng xẩy ra
ji
aa =
hoặc
jiji
babb ,;=
tuỳ ý.
c, Các ví dụ:
VD1: Cho biểu thức
1=++ zxyzxy
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
444
zyxP ++=

Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpsxki đối với
),,( zyx
và
),,( xzy
22222222222
)(1))(()(1 zyxxzyzyxzxyzxy ++++++++=

)1(
Mặt khác, đối với
)1,1,1(
và
),,,
222
zyx
ta có:
).()111().1.1.1(
44422222222
xzyzyx ++++++
)2(
Từ
)1(
và
)2(
suy ra:
3
1
3)(31
444
=++ PPxzy

Vậy
zyx
==

VD2: Tìm giá trị lớn nhất của:
a/
21 += yxA
biết
4=+ yx
*********************************************************************************
12 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình







==
==
=
222
111
3
1
zxy
x
z
x
y

y
x
MinP
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
b/
y
y
x
x
B
2
1

+

=
Giải:
a/ Điều kiện:
;1x

2y
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng:
ab
ba

+
2
ở đây lại muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức:
)(2

22
baba ++
2)21(221 =++= yxyxA
Cách khác: Xét
2
A
rồi dùng bất đẳng thức Côsi
b/ Điều kiện:
2;1 yx
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm trội một tích:
2
ba
ab
+

Ta xem các biểu thức:
2,1 yx
là các tích:
)1.(11 = xx
2
)2.(2
2

=
y
y
Theo bất đẳng thức Côsi:
2
1
2

11
)1.(1
1
=
+


=

x
x
x
x
x
x

4
2
22
2
.
22
22
2
)2(22
==
+


=

y
y
y
y
y
y



=
=




=
=

+
=+=
4
2
22
11
4
22
4
2
2

1
y
x
x
x
MaxB
VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
32 += xxA

Giải:
Ta có:
13232 =++= xxxxA
30)3()2(1 = xxxMinA
*********************************************************************************
13 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Chú ý: Giải bài toán linh hoạt khi biến đổi
xx = 33
để áp dụng bất
đẳng thức giá trị tuyệt đối.
Cách khác: Xét khoảng giá trị của x.
VD4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2000 21 +++= xxxy

Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức:
baba ++
đối
với 1000 cặp giá trị tuyệt đối.
Ta có:

)1000999( )19992()20001( ++++++= xxxxxxy
[ ]
2000;11999min1999)20001(
11
=+= xyxxy
[ ]
2000;21997min1997)19992(
22
=+= xyxxy
[ ]
1000,9991min1)1000999(
10001000
=+= xYxxY
Vậy
100000010001999 531
2
==++++=yMin
, đạt đợc khi
[ ]
999,1000x
Mở rộng: Từ bài toán trên ta có thể ra các bài toán sau:
1/ Tìm miền giá trị của hàm số:
2004 21 ++++= xxxy
2/ Chứng minh bất đẳng thức:
6
102004 21 +++= xxxy
3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2002 21 +++= xxxy
d, Tiểu kết:
Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đối với mỗi bài đòi hỏi tính linh hoạt

cao, mỗi bài có một nét riêng biệt, không có quy tắc chung để vận dụng. Vì
vậy cần cho học sinh làm quen với nhiều loại bài tập này./.
4. Ph ơng pháp dùng ẩn ph ụ:
Đối với dạng toán này, nếu biết cách dùng ẩn phụ sẽ giúp chúng ta nhìn nhận
ra vấn đề một cách rõ ràng.
Ví dụ 1:
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của biểu thức x
2
+y
2
với điều
kiện: (x
2
-y
2
+1)
2
+ 4x
2
y
2
-x
2
-y
2
= 0.(1)
Lời giải:
Điều kiện (1) biến đổi đợc về dạng(x
2
+y

2
)
2
-3(x
2
+y
2
)+1+4x
2
=0 (2)
(x
2
+y
2
)
2
-3(x
2
+y
2
)+1=-4x(3).
*********************************************************************************
14 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Đặt u=x
2
+y
2
. Khi đó từ (3) ta có u

2
-3u+1

0 (4)
Hay (3-
5
)/2

u

(3+
5
)/2.
Giá trị lớn nhất của biểu thức x
2
+y
2
là
(3+
5
)/2 khi x=0
Giá trị bé nhất của biểu thức x
2
+y
2
là
(3-
5
)/2 khi x=0.
Ví dụ 2:

Cho hai số x,y

0 thay đổi thoả mãn (x+y)xy=x
2
+y
2
-xy.Tìm giá trị lớn nhất
của biêu thức C=
3
1
x
+
3
1
y
.
Lời giải:
Đặt t=
x
1
+
y
1
. Từ giả thiết có
x
1
+
y
1
=

2
1
x
+
2
1
y
-
xy
1
(chia cả hai vế cho x
2
y
2).
Suy ra C=t
2
và
x
1
+
y
1
=
4
1
(
x
1
+
y

1
)
2
+
4
3
(
x
1
-
y
1
)
2

4
1
(
x
1
+
y
1
)
2
( Đẳng thức xẩy ra
khi x = y )

4t

t
2
.Suy ra 0

t

4 nên t
2

16.
Từ đó suy ra C đạt giá trị lớn nhất bằng 16 khi và chỉ khi x=y=
2
1
Cách 2:Có thể đặt u=x+y,v=x.y(điều kiện u
2

4v).
IV. một số Bài tập tự luyện:
1/ Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức sau:
a/
35204
2
+= xxA
b/
132
2
++= xxB
2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a/
)5)(3(2)(1( = xxxxA

b/
542
22
+++= yyxxB
3/Cho phơng trình: (
01)3102()123
222
=++++ xmmxmm
có 2 nghiệm
.,
21
xx
Tìm giá trị lớn nhất của tổng
.
21
xx +
4/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
1
1
/
2
2
+
++
=
x
xx
ya
1
1

/
2
2
+
++
=
x
xx
yb
5/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
32
)1()1( xxA =
với
1x
(HD: áp dụng bất đẳng thức Côsi với 5 số không âm:
3
1
;
3
1
;
3
1
;
2
1
;
2
1 xxxxx +++
)

6/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2
923 xxy +=
*********************************************************************************
15 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
(HD: áp dụng bất đẳng thức Bunhia với
)92;3();1;1(
2
xx
7/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1415 = xM
8/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1+= xxN
9/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a/
9612
22
+++= xxxxA
b/
xxxxB 2169 +++=
10/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x+
)(
1
yxxy
với x>y>0
(HD: y(x-y)

+
2
)( yxy
2
=
4
2
x
; x+
3
4
x
=
3
x
+
3
x
+
3
x
+
3
4

x

4.
27
4
4
)
Phần thứ ba.
Kết luận
Trong phạm vi sáng kiến này bản thân tôi đã hết sức cố gắng, mạnh dạn
trình bày kinh nghiệm của mình khi giải bài toán cực trị đại số nh trên. Có
những ví dụ tôi đã đa ra một vài cách giải khác nhau để bạn đọc tiện so sánh
và tìm hớng đi thích hợp nhất trong quá trình giải các bài tuơng tự.
Để triển khai sáng kiến này một cách có hiệu quả trớc hết chúng ta cần
cung cấp cho học sinh một cách tờng minh các khái niệm mới mẻ, những kiến
thức trừu tợng mà trong chơng trình SGK cha đề cập tới nh: Khái niệm " Miền
nghiệm ", Bất đảng thức cô-Si, Bunhiacopski, . . Đồng thời, cần chọn những
bài toán từ đơn giản, đến phức tạp để học sinh làm quen các dạng toán một
cách tự nhiên và hiệu quả. Bên cạnh đó cần phải chú ý những sai lầm thờng
gặp và thống kê những bài tập vận dụng để học sinh lựa chọn phơng pháp phù
hợp, có lời giải chính xác.
Trong đề tài này có một số dạng toán mà trong quá trình nghiên cứu bản
thân tôi cha thể nêu ra đợc cách giải tổng quát mà chỉ thông qua các ví dụ
minh hoạ mong bạn đọc cùng t duy sáng tạo. Tuy nhiên nếu khi đã quen thuộc
các dạng toán ta có thể tìm ra một phơng pháp cụ thể cho từng dạng toán để
phát triển và nhân rộng.
Sau mấy năm ứng dụng đề tài này vào chơng trình dạy học, tôi thấy việc
giải quyết các bài tập về cực trị đợc học sinh giải quyết linh hoạt hơn và có
những bài giải ngắn gọn và rất dễ hiểu, các em dễ tiếp thu và vận dụng, nhất
là số học sinh giải đợc nhiều những bài toán tìm cực trị tơng đối khó. Do đó,

*********************************************************************************
16 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
bản thân tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm này. Hy vọng rằng, nó sẽ
giúp cho quý vị đồng nghiệp, các em học sinh và các bạn yêu toán những điều
thú vị và bổ ích.
Mặc dầu trong quá trình tìm tòi, học hỏi, tôi đã rất cố gắng chọn lọc
kiến thức và cũng cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu nhng dẫu sao
cũng không tránh khỏi những hạn chế, những sai sót, tôi rất mong các đồng
chí, đồng nghiệp và các em học sinh chỉ bảo, đóng góp ý kiến để sáng kiến
kinh nghiệm này đợc hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
*********************************************************************************
17 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Danh mục tài liệu tham khảo:
1. Tuyển tập toán "30, 45 năm toán học và tuổi trẻ" do hội toán học Việt Nam
biên soạn.
2. Sách "Bồi dỡng đại số cho học sinh lớp 8" do nhóm tác giả: Vũ Hữu Bình -
Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều biên soạn.
3. Sách giáo khoa toán 8, toán 9
4. Sách giáo viên toán 8, toán 9.
5. Tuyển tập "Các dạng toán dành cho học sinh THCS" do tác giả Phan Duy
Khải biên soạn.
6. Một số cuốn tạp chí Thế giới trong ta
*********************************************************************************
18 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình