SKKN GIẢI PHÁP GIÚP HS học tốt TOÁN cực TRỊ

SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò

2011-2012

MỤC LỤC
STT
1

MỤC

2

NỢI DUNG
MỤC LỤC

A.PHẦN MỞ ĐẦU

3
4
5
6
7

I
II
III
IV

8
9
10

11
12
13

I
II
III
IV
V

14
15
16

I
II
III

17

IV

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI
KẾ HOẠCH THỰC HIỆN

B.PHẦN NỢI DUNG
CƠ SỞ LÍ ḶN
CƠ SỞ THỰC TIỄN

THỰC TRẠNG VÀ NHỮNG MÂU TH̃N
CÁC BIỆN PHÁP VÀ GIẢI QÚT VẤN ĐỀ
HIỆU QUẢ ÁP DỤNG

C.PHẦN KẾT ḶN
Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI ĐỚI VỚI CƠNG TÁC
KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
BÀI HỌC KINH NGHIỆM,HƯỚNG PHÁT
TRIỂN
ĐỀ X́T,KIẾN NGHỊ

TRANG
1
2
2
3
3
3
4
4
4
4
6
23
24
24
24
24
24

A. PHẦN MỞ ĐẦU
GV: Nguyễn Thò Thanh

1

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò

2011-2012

-----------  -----------

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
1. Cơ sở lí ḷn:
Đứng trước u cầu của cơng cuộc đổi mới, giáo dục phải ln đi trước một
bước, vì thế đòi hỏi ngành giáo dục nói chung và mỗi thầy cơ giáo nói riêng gánh
vác một trọng trách hết sức nặng nề. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại và xứng
đáng với vị trí của nó trong xã hội thì các nhà giáo dục phải đổi mới đề ra những
định hướng kịp thời. Trong q trình giáo dục thì việc dạy học trong các nhà trường
là chủ yếu, trong mỗi nhà trường thì bản thân mỗi giáo viên phải phấn đấu tìm tòi,
đổi mới phương pháp giảng dạy, nâng cao hiệu quả có làm được như vậy mới nâng
cao được chất lượng đào tạo, gây uy tín đối với học sinh, củng cố niềm tin với phụ
huynh học sinh và tồn xã hội.
Tốn cực trị là dạng tốn rất gần gũi với cuộc sống và có nhiều ứng dụng trong
thực tế hàng ngày, nó giúp học sinh rèn luyện nếp suy nghĩ khoa học, ln mong
muốn làm những cơng việc đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất. Vì vậy nó góp phần
khơng nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học tốn cho học sinh,
đặc biệt là các em khá, giỏi.

Tốn cực trị được đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo do vậy giáo viên
rất thuận lợi trong việc sưu tầm và tuyển chọn sắp xếp các dạng tốn một cách hợp
lý giúp cho học sinh dễ dàng áp dụng và một vấn đề là làm thế nào để học sinh nắm
được phương pháp, tư duy suy luận một cách có lơgíc khi giải tốn cực trị.
2. Cơ sở thực tiễn:
Hiện nay bản thân đang là giáo viên dạy Toán tại trường TH-THCS Gáo
Giờng, thấy được những khó khăn học sinh thường mắc phải trong quá trình giải
Toán, tơi cũng ln trăn trở và suy nghĩ để tìm ra được giải pháp nào tớt nhất, hữu
hiệu nhất để giúp đỡ học sinh trong quá trình nắm bắt kiến thức về Toán cực trị.Sau
nhiều năm tìm hiểu và nghiên cứu,tơi mạnh dạn đưa ra đề tài “ GIẢI PHÁP GIÚP
HỌC SINH HỌC TỚT TOÁN CỰC TRỊ” , hy vọng đem lại một phần thuận lợi
cho giáo viên khi thực hiện sáng kiến này trong q trình giảng dạy cho học sinh
cấp Trung học cơ sở nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 nói riêng.

II. MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

GV: Nguyễn Thò Thanh

2

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
2011-2012
- Tơi nghiên cứu, viết sáng kiến này hy vọng giúp các em học sinh lớp 8, lớp 9
nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng đặc biệt là các em học sinh giỏi có
phương pháp và hướng để giải . Đồng thời qua chun đề này hy vọng các em được
hình thành rèn luyện, củng cố kiến thức, kỹ năng trình bày một bài tốn cực trị.
Giúp học sinh mở rộng tầm hiểu biết thực tiễn của mình, giúp giáo dục tư tưởng

đạo đức vè rèn phong cách làm việc của người lao động mới, có kế hoạch. Có phân
tích tìm hướng giải quyết trước khi làm việc cụ thể.
- Để thực hiện nghiên cứu đề tài này tơi sử dụng các phương pháp sau đây:
+ Phương pháp nghiên cứu lý thuyết.
+ Phương pháp phân tích tổng hợp.
+ Phương pháp thực nghiệm.
III. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI
-Đề tài có thể được áp dụng đới với việc bời dưỡng học sinh giỏi lớp 8,9.
-Ơn thi cho học sinh tủn sinh vào lớp 10.
IV. KẾ HOẠCH THỰC HIỆN
Đề tài hiện đã và đang được áp dụng trong việc bời dưỡng học sinh giỏi lớp
8, trong những bài toán nâng cao ở lớp 9 và hướng tới áp dụng trong ơn tập cho học
sinh thi tủn vào lớp 10 năm học 2011-2012.

B. PHẦN NỘI DUNG
GV: Nguyễn Thò Thanh
Trường TH-THCS Gáo Giồng
3


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò

2011-2012

-----------  -----------

I. CƠ SỞ LÍ ḶN:
Vấn đề đổi mới phương pháp giảng dạy trong trường THCS là một vấn đề cấp
thiết hàng đầu, đối với học sinh THCS chủ yếu là ở lứa tuổi thiếu niên các em có
thói quen suy nghĩ độc lập, tuy nhiên khả năng tư duy của các em chưa phát triển

hồn chỉnh để nhận thức hoặc làm tốt vấn đề nào đó. Khi đứng trước một bài tốn
cực trị học sinh rất lúng túng, khơng biết bắt đầu từ đâu, làm gì, làm như thế nào,
khơng biết liên hệ giả thiết với các kiến thức đã học để tìm ra lời giải một cơng việc
rất quan trọng.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN.
Tốn cực trị là một nội dung thường được quan tâm trong các kỳ thi tuyển
sinh và thi học sinh giỏi. Vấn đề này tuy khơng mới mẻ nhưng tương đối khó đối
với học sinh lớp 8, lớp 9, nhất là các bài tốn cực trị ở mức độ được nâng cao trong
khi đó kiến thức trang bị cho học sinh khơng được đáng kể do đó với mong muốn
góp phần rèn luyện tư duy, sự sáng tạo của học sinh, khơi dậy được sự hứng thú
học tập u thích mơn tốn qua các bài tốn cực trị, tơi đã tìm tòi qua sách, đồng
nghiệp để tìm ra những phương pháp bài tập phù hợp với học sinh, nhất là trong
giai đoạn các em mới tiếp cận với các bài tốn này ở lớp 8 và lớp 9. Nhằm giúp cho
học sinh có cách giải nhanh gọn, hợp lý tơi đã mạnh dạn nghiên cứu sáng kiến này.
III. THỰC TRẠNG VÀ NHỮNG MÂU TH̃N.
1. Thuận lợi
Được sự quan tâm của các ban ngành địa phương,của Ban giám hiệu nhà
trường.
Phụ huynh học sinh có sự quan tâm đến việc học tập của con em, nên đã tạo
điều kiện để các em học tập tốt, rèn luyện tốt.
Đa số các em học sinh đều chăm ngoan, học giỏi, có ước mơ, hồi bão do đó
đã tạo thuận lợi cho chất lượng dạy và học.
2. Khó khăn
Đa số học sinh đều có tâm lí “sợ học tốn” đặc biệt là dạng tốn “Tìm cực trị”
nói riêng các em thường lúng túng khơng biết nên xuất phát từ đâu, nên bắt đầu từ cái gì
do đó dễ nảy sinh tâm trạng hoang mang, lúng túng dẫn đến bó tay, bất lực. Đặc biệt
đối với các em học sinh lớp 9 kiến thức cũ có liên quan ít nhiều đã lãng qn nên gây
khó khăn khơng nhỏ cho các em.
GV: Nguyễn Thò Thanh

4

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
2011-2012
Qua giảng dạy, điều tra, tìm hiểu và qua kết quả kiểm tra đầu năm học 2011
-2012 ở lớp 9 do tơi trực tiếp giảng dạy tơi thu được số liệu như sau:
Giỏi
9p
Lớ

Bài
Bài
số 1
kiểm tra

TS
15
HS

Điểm ≥ 5
Khá

Điểm <5
Yếu
Kém

TB

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

1

6,7

2

13,3

6

40,0

4

26,7

2

13,3

IV. CÁC BIỆN PHÁP GIẢI QÚT VẤN ĐỀ.
1. ĐỊNH NGHĨA
GV: Nguyễn Thò Thanh

5

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
2011-2012
a. Cho biểu thức f(x).
Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x) nếu
thoả mãn hai điều kiện :
+ Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) ≤ M (M là hằng số)
+ Tồn tại x0 sao cho f(x0) = M
Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) nếu
thoả mãn hai điều kiện :
+ Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) ≥ m (m là hằng số)

+ Tồn tại x0 sao cho f(x0) = m
Kí hiệu :
GTLN của hàm f là M = max f(x)
GTLN của hàm f là m = min f(x)
1. Tổng qt chung : Đối với biểu thức chứa nhiều biến ta cũng có định nghĩa
tương tự.
2. Các bước tìm cực trị : Từ các định nghĩa trên, thơng thường, để tìm GTLN
hoặc GTNN ta tiến hành theo 3 bước như sau :
- Bước 1 : Xác lập bất đẳng thức dạng :
f(x) ≤ M hoặc f(x) ≥ m với M, m là các hằng số.
- Bước 2 : Xét xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
- Bước 3 : Kết luận max hoặc min theo u cầu.
II) Cực trị hàm tam thức bậc hai:
1) phương pháp : Sử dụng trực tiếp định nghĩa về GTLN, GTNN thơng qua việc
biến đổi tổng qt một tam thức bậc hai về dạng bình phương của một nhị thức bậc
nhất chứa biến và hạng tử tự do.
Xét
Cho tam thức bậc hai : P = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
b
x) + c (do
a
b 2
b 2 4ac − b 2
b2
= a (x +
) +c= a (x +
) +
2a
2a
4a

4a
2
b 2
4ac − b
Đặt
=k
Do (x +
) ≥ 0 nên
2a
4a
b 2
b
b
- Nếu a > 0 thì a.(x +
) ≥ 0 do dó ⇒ min P = k ⇔ x +
=0⇔x=2a
2a
2a
Ta có P = ax2 +bx + c = a(x2 +

GV: Nguyễn Thò Thanh

6

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
b 2
b

- Nếu a < 0 thì a.(x +
) ≤ 0 do đó ⇒ max P = k ⇔ x = 2a
2a
2) Các ví dụ:
a) Dạng 1: Tìm GTLN,GTNN của tam thức bậc hai.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau.

2011-2012

A = x2 − 2x + 3

Giải: A = x 2 − 2 x + 3 = ( x − 1) 2 + 2 ≥ 2
Dấu (( = )) Xảy ra khi x=1
Vậy GTNN của A=2 Khi x=1
Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức B = − x 2 + 2 x + 6
Giải: B = − x 2 + 2 x + 6 = −( x 2 − 2 x + 1) + 7 = −( x − 1) 2 + 7 ≤ 7
Dấu (( = )) Xảy ra khi x=1
Vậy GTNN của B = 7 khi x=1
b) Dạng 2: Tìm GTNN của biểu thức bậc cao
Ví dụ 1 : Tìm GTLN của biểu thức
C = x 4 − 6 x 3 + 10 x 2 − 6 x + 9

Giải: C = x 4 − 6 x3 + 10 x 2 − 6 x + 9
C = ( x 4 − 6 x3 + 9 x 2 ) + ( x 2 − 6 x + 9) = ( x 2 − 3x) 2 + ( x − 3) 2 ≥ 0
Dấu =
((

))

 x 2 − 3x = 0

 x = 0; x = 3
⇔
⇒ x=3
Xảy ra <=> 
x
=
3
x
−
3
=
0



Vậy GTNN của C = 0 Khi x=3
VÝ dơ 2: Tìm GTNN của B = (x2 – x + 1)2
Giải :
Mặc dù B ≥ 0 nhưng GTNN của B khơng phải bằng 0 vì x2 – x + 1 ≠ 0
2

1 3 3
1

Ta có : x – x + 1 =  x −  + ≥ . Dấu "=" xảy ra ⇔ x =
2 4 4
2

2

Do đó B nhỏ nhất ⇔ (x2 – x + 1 ) nhỏ nhất.
2

9
1
3
Vậy min B =   =
⇔x=
2
 4  16
III) Cực trị của hàm phân thức:
A) Kiến thức cần thiết.
+ Để giải dạng tốn này ta chủ yếu dùng phương pháp tách phần ngun.
GV: Nguyễn Thò Thanh

7

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
2011-2012
1
1
1
+ Cho P =
với A > 0 thì max P =
; min P =
A
min A

max A
Bằng cách áp dụng tính chất trên ta có thể đưa bài tốn tìm cực trị của phân
thức về bài tốn tìm cực trị của đa thức.
B) Một số ví dụ.
1) Dạng 1: Tìm GTLN , GTNN của phân thức có tử là hằng số mẫu là tam thức bậc
hai.
Ví dụ: Tìm GTNN của N =
Giải: N =
Xét

−8
x − 2x + 5
2

−8
x − 2x + 5
2

x 2 − 2 x + 5 = ( x − 1) 2 + 4 ≥ 4 ⇒ ( x − 1) 2 + 4 ≥ 4
1

−8

1

−8

2
Ta có ( x − 1) + 4 ≥ 4 ⇔ ( x − 1)2 + 4 ≤ 4 ⇔ ( x − 1)2 + 4 ≥ 4 = −2

Dấu (( = )) Xảy ra <=>x=1
Vậy GTNN của N = -2 khi x=1
2) Dạng 2: Tìm GTLN , GTNN của phân thức có tử và mẫu số là nhị thức
Ví dụ 1 : Tìm x ∈ N để

7x − 8
đạt giá trị lớn nhất.
2x − 3

Giải :
Đặt A =

7x − 8
14x − 16 7(2x − 3) + 5
5
⇒ 2A =
=
=7+
2x − 3
2x − 3
2x − 3
2x − 3

Nhận thấy A lớn nhất ⇔ 2A lớn nhất ⇔

5
lớn nhất
2x − 3

⇔ 2x – 3 là số dương nhỏ nhất.

Mà x ∈ N nên 2x – 3 dương nhỏ nhất bằng 1 ⇒ x = 2
Vậy max(2A) = 12 ⇒ maxA = 6 ⇔ x = 2.
7−x
đạt giá trị nhỏ nhất.
x−5
− ( x − 7) − (x − 5 − 2)
2
Giải :
Ta có M =
=
= -1 +
x −5
x −5
x−5
2
Để M nhỏ nhất thì
nhỏ nhất ⇒ x – 5 là số âm lớn nhất.
x−5
Ví dụ 2 : Tìm x ∈ Z để M =

GV: Nguyễn Thò Thanh

8

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
Mà x ∈ Z nên x – 5 = -1 ⇒ x = 4 .

2011-2012

Vậy min M = -3 khi x = - 4.
3) D¹ng 3: T×m GTLN , GTNN cđa ph©n thøc cã tư lµ nhÞ thøc, mÉu sè lµ tam thøc
bËc hai.
Ví dụ 1 : Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

Q=

4x + 3
.
x2 + 1

Giải :
x 2 + 4 x + 4 − x 2 − 1 ( x + 2) 2
−1
a/ Ta có Q =
= 2
x2 + 1
x +1
( x + 2)2
Do 2
≥ 0 với ∀ x ⇒ Q ≥ -1 với ∀ x. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = -2
x +1
Vậy min Q = -1 ⇔ x = -2
4 x 2 + 4 − 4 x 2 + 4 x − 1 4( x 2 + 1) − (2x − 1)2
(2 x − 1)2
b/ Ta có Q =
=
= 4− 2

x2 + 1
x2 + 1
x +1
1
(2x − 1)2
Do − 2
≤ 0 với ∀ x ⇒ Q ≤ 4. Dấu “=” xảy ra ⇔ x =
2
x +1
1
2
2) Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của của phân thức là bình phương của một nhị
thức.
Vậy maxQ = 4 ⇔ x =

3x 2 − 8x + 6
Ví dụ: Tìm GTNN của M = 2
.
x − 2x + 1
Giải : ĐKXĐ : x ≠ 1
2
1
3(x 2 − 2x + 1) − 2(x − 1) + 1
3
−
+
Ta có M =
=
x − 1 (x − 1)2
( x − 1)2

1
, khi đó M = 3 – 2y + y2 = (y – 1)2 + 2 ≥ 2
x −1
1
Dấu “=” xảy ra ⇔ y = 1 ⇔
=1⇔x=2
x −1
Đặt y =

Vậy min M = 2 ⇔ x= 2
IV) Cực trị của hàm đa thức nhiều biến:
1) Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức biết quan hệ giữa các biến.
A = x2 + y 2

Ví dụ 1: Cho x + y = 2 Tìm GTNN của
GV: Nguyễn Thò Thanh

9

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
Giải: Ta có x + y = 2 ⇒ y = − x + 2 = 2 − x

2011-2012

Thay y = 2 − x vào biểu thức A = x 2 + y 2 Ta có:
A = x2 + ( 2 − x ) = x2 + 4 − 4 x + x2 = 2x2 − 4x + 4
2

(

)

A = 2 x 2 − 2 x + 1 + 2 = 2 ( x − 1) + 2 ≥ 2
2

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 1 ⇒ y = 1
Vậy GTNN của A=2 khi x =y=1
VÝ dơ 2: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
N = 2x + 3y – 4z
2 x + y + 3z = 6
3x + 4 y − 3z = 4

biết rằng x,y,z ≥ 0 và thoả mãn hệ phương trình 

(1)
(2)

Giải :
Từ hệ phương trình điều kiện ta có 5x + 5y = 10 ⇔ y = 2 – x
Thay (*) vào (1) ⇒ 2x + 2 – x + 3z = 6 ⇔ x + 3z = 4 ⇔ z =

(*)
4−x
(**)
3

Thay (*) và (**) vào biểu thức N ta được :

N = 2x + 3y − 4 z = 2x + 3( 2 − x ) − 4.

4−x
16 − 4x x 2
= 2 x + 6 − 3x −
= +
3
3
3 3

x 2 2
+ ≥ . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 0
3 3 3
2
4
Vậy min N = ⇔ x = 0, y = 2, z =
3
3
Do x ≥ 0 nên

Ta lại có y ≥ 0 nên từ (*) ⇒ x ≤ 2 z ≥ 0 nên từ (**) ⇒ x ≤ 4, từ đó ⇒ x ≤ 2
x 2 2 2
4
+ ≤ + = . Dấu bằng xảy ra ⇔ x = 2
3 3 3 3 3
4
2
Vậy max N = ⇔ x = 2, y = 0, z =
3
3

Ví dụ 2 : Tìm GTNN và GTLN của biểu thức x, y, z.
Do đó

x + y + z = 5
biết x, y, z là các số thoả mãn hệ phương trình : 
xy + yz + zx = 8
Giải :

GV: Nguyễn Thò Thanh

10

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
x + y + z = 5
y + z = 5 − x
Xét hệ phương trình 
⇔
2
xy + yz + zx = 8
yz = 8 + x − 5x

2011-2012

Do đó y, z là nghiệm của phương trình : t2 – (5 – x)t + x2 – 5x + 8 = 0 (1)
Ta có ∆ = (5 – x)2 – 4(x2 – 5x + 8 ) = -3x2 +10x – 7
Khi đó y, z có GTLN, GTNN ⇔ phương trình (1) có nghiệm.
tức là ∆ ≥ 0 ⇔ -3x2 +10x – 7 ≥ 0 ⇔ 3x2 – 10x + 7 ≤ 0

⇔ (x – 1)(3x – 7) ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤

7
3

Vì vai trò x, y, z như nhau nên 1 ≤ y ≤

7
7
;1≤z≤ .
3
3

7
và GTNN của x, y, z là 1.
3
2) Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức nhiều đại lượng bằng cách biến đổi
biểu thức đưa về các tổng bình phương.
Vậy GTLN của x, y, z là

Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 2 x 2 + y 2 − 2 xy − 2 x + 3
Giải

A = 2 x 2 + y 2 − 2 xy − 2 x + 3

(

) (

)

= x 2 − 2 xy + y 2 + x 2 − 2 x + 1 + 2

(

) (

)

= x 2 − 2 xy + y 2 + x 2 − 2 x + 1 + 2
x − y = 0
⇔ x = y =1
x −1 = 0

Dấu “=” xảy ra ⇔ 

Vậy AMin = 2 Khi x =y=1
Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức sau:
B = − x 2 − 5 y 2 − 4 xy + 2 xy − 2 y − 5

Giải: B = − x 2 − 5 y 2 − 4 xy + 2 xy − 2 y − 5

(

= − x 2 + 5 y 2 + 4 xy − 2 x + 2 y + 5

(

)

) (

)

= −  x 2 + 2 ( 2 y − 1) + x + 4 y 2 − 4 y + 1 + y 2 + 6 y + 9 − 5
2
2
= − ( x + 2 y − 1) + ( y + 3) − 5


= − ( x + 2 y − 1) − ( y + 3) + 5 ≤ 5
2

2

x + 2 y −1 = 0
 y = −3
⇔
y +3 = 0
x = 7

Dấu “=” xảy ra ⇔ 

GV: Nguyễn Thò Thanh

11

Trường TH-THCS Gáo Giồng

SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò

2011-2012

x = 7
 y = −3

Vậy GTLN của biểu thức B = 5 Khi 

Bài tập đề nghị:
1, Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a, 3x 2 − 2 x + 5
b, 4 x 2 + 4 x + 11
2, Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a, −5 x 2 − 4 x + 1

2
2
c, − ( x + x − 2 ) ( x + 9 x + 18 ) + 27

b, −2 x 2 + 8 x − 1

3, Bài 3: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a, ( x − 1) ( x − 2 ) ( x + 6 ) ( x + 7 ) − 2
b, x 4 − 3x3 + 4 x 2 − 3x + 2006
4, Bài 4:Tìm GTNN của
a, A =

3 x 2 + 6 x + 10
x2 + 2 x + 3

b, B = x 2 + 2 y 2 Biết x+2y =1

V) Phương pháp bất đẳng thức.
A) lý thuyết.
1, Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
a, x ≥ 0
b, x + y ≤ x + y

dấu “=” xảy ra ⇔ xy ≥ 0

c, x − y ≥ x − y

dấu “=” xảy ra ⇔ xy ≥ 0 và x ≥ y

d, x + y + z ≤ x + y + z

dấu “=” xảy ra ⇔ xy ≥ 0 và yz ≥ 0 ; xz ≥ 0

2, Bất đẳng thức Cơsi:
a, Cho 2 số khơng âm a và b ta có:
a+b
≥ ab Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b
2

b, Cho 3 số khơng âm a và b ta có:
a+b+c 3
≥ abc
3

dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c

c, Tổng qt: Cho n số khơng âm a1 : a2 ;.....; an ta có:
a1 + a2 + ...an n
≥ a1.a2 ...an
n

dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a2 = .... = an
3, Bất đẳng thức BunhiaCơpxki.
GV: Nguyễn Thò Thanh

12

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
a, Cho hai cặp số a và b; x và y ta có:

( ax + by )

2

(

≤ a2 + b2

)(x

+ y2

2

)

dấu “=” xảy ra ⇔ ay = bx

b, Tổng qt: Cho 2n số a1; a2 ;.....; an

( a1b1 + a2b2 + .....anbn )

2

a

2011-2012

(

b1 ; b2 .....; bn ta có

)(

≤ a12 + a2 2 + ... + an 2 b12 + b2 2 + ... + bn 2

)

a

a

n
1
2
dấu “=” xảy ra ⇔ b = b = ..... = b
1
2
n

B) Các ví dụ:
1) Bất đẳng thứcCơsi
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức:
M = x2 + x + 1 + x2 − x + 1

Giải:
áp dụng BĐT Cơsi cho hai số khơng âm ta có:
M ≥2

(x

2

)(

)

(

)

2

+ x + 1 x2 − x + 1 = 2 4 x2 + 1 − x2

dấu “=” xảy ra

⇔ x2 + x + 1 = x2 − x −1
⇔ x=0

Vậy GTNN của M=2 khi x = 0
2) Bất đẳng thức BunhiaCopski
Ví dụ 1: Tìm GTLN của A = x − 1 + y − 2 Biết x+y = 4
Giải: TXĐ: x ≥ 1 ; y ≥ 2
Xét A2 = ( x − 1 + y − 2 ) ≤ ( 12 + 12 ) ( x − 1 + y − 2 ) = 2. ( x + y − 3) = 2 ( 4 − 3) = 2
2

 x = 1,5 ( T / m )
x −1 = y − 2
⇔
⇔
dấu “=” xảy ra  x + y = 4
 y = 2,5 ( T / m )

Vậy GTLN của A = 2 khi x = 1,5 ; y= 2,5
Ví dụ 2: Cho x+y =2 . Tìm GTNN của A = x 2 + y 2
Giải: áp dụng BĐT BunhiaCopski ta có:

(
mà x+y=2 nên 2 ( x
( 1.x + 1. y )

2

)
) ≥4⇔ x

(

≤ ( 1 + 1) x 2 + y 2 ⇔ ( x + y ) ≤ 2 x 2 + y 2
2

+ y2

2

2

)

+ y 2 ≥ 2 tức là A ≥ 2

x = y
↔ x = y =1
x + y = 2

dấu “=” xảy ra ⇔ 

GV: Nguyễn Thò Thanh

13

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
Vậy GTNN của A = 2 khi x = y = 1
3) Sử dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức.

2011-2012

a, A = x − 2001 + 2004 − x
b, B = x − 1 + x − 2 + x − 3 + x − 4
Giải
Áp dụng BĐT x + y ≥ x + y
a, Ta có: A = x − 2001 + 2004 − x ≥ x − 2001 + 2004 − x = 3

(
dấu “=” xảy ra ⇔

x − 2001) ( 2004 − x ) ≥ 0

↔ 2001 ≤ x ≤ 2004

Vậy GTNN của A=3 khi 2001 ≤ x ≤ 2004
b, x − 1 + x − 4 = 1 − x x − 4 ≥ 1 − x + x − 4 = 3

(1)

x − 2 + x − 3 = x − 2 + 3 − x ≥ x − 2 + 3 − x = 1 (2)

dấu “=” xảy ra của (1) ⇔ ( x − 1) ( 4 − x ) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 4
dấu “=” xảy ra của (2) ⇔ ( x − 2 ) ( 3 − x ) ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3
Khi đó: B = x − 1 + x − 2 + x − 3 + x − 4 ≥ 3 + 1 = 4
Vậy GTNN của B=4 khi 2 ≤ x ≤ 3
Ví dụ 2: Tìm GTNN của
C = 9 x 2 − 6 x + 1 + 9 x 2 − 30 x + 25

Giải:
C = 9 x 2 − 6 x + 1 + 9 x 2 − 30 x + 25
C=

( 3x − 1)

2

+

( 3x − 5 )

2

C = 3x − 1 + 3x − 5 3x − 1 + 5 − 3x ≥ 3x − 1 + 5 − 3 x = 4
1
3

dấu “=” xảy ra ⇔ ( 3x − 1) ( 5 − 3x ) ≥ 0 ⇔ ≤ x ≤
Vậy GTNN của C=4 khi

5

3

1
5
≤x≤
3
3

4) Bài tập đề nghị:
a, Bài tập sử dụng BĐT Cơsi
Tìm GTNN của các biểu thức sau:
GV: Nguyễn Thò Thanh

14

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
A=

1 1
+
với x+y=100 và x; y > 0
x y

B=

x
3

+
với x > 2
3 x−2

C = x2 + y 2 +

2011-2012

2
với x;y cùng dấu
xy

b, Bài tập sử dụng BĐT BunhiaCopski: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
A = 2x + 5 − x2
B = x + y biết x 2 + 4 y 2 = 1

Cho xy+yz+xz = 1 Tìm GTNN của C = x 4 + y 4 + z 4
c, Bài tập sử dụng các BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối.
A = x − 4 + x − 3 − x − 5 − x − 1 Tìm GTLN của A
B = x − 2 x − 1 + x + 2 x − 1 Tìm GTNN của B

VI) Phương pháp tìm miền xác định.
1) Đưa về phương trình bậc 2 và sử dụng điều kiện ∆ ≥ 0
Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
A=

6 − 8x
x2 + 1

Giải: A =

6 − 8x
x2 + 1

(1)

Do x 2 + 1 ≠ 0
2
(1) ⇔ A ( x + 1) = 6 − 8 x

⇔ Ax 2 + A − 6 + 8 x = 0
⇔ Ax 2 + 8 x + A − 6 = 0

(2)

+, Nếu A=0 thì (2) có nghiệm x =

3
4

+, Nếu A ≠ 0 thì (2) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0
∆ ' = 16 − A ( A − 6 ) = − A2 + 6 A + 16 ≥ 0
⇔ A2 − 6 A − 16 ≤ 0
⇔ ( A + 2 ) ( A − 8 ) ≤ 0 ⇔ −2 ≤ A ≤ 8 ( T / m ) A ≠ 0

Với A=-2 thì nghiệm của (2) là: x =

−b ' − 4
=
=2

A −2

−b ' − 4 − 1
=
=
Với A=8 thì nghiệm của (2) là: x =
A −8 2

GV: Nguyễn Thò Thanh

15

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
Vậy GTNN của A = -2 khi x=2
GTLN của A=8 khi x =

2011-2012

−1
2

VI) Phương pháp đặt ẩn phụ:
Phương pháp đặt ẩn phụ ta đưa về biến mới để biến đổi rút gọn biểu thức đã cho về
dạng đơn giản hơn.
Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức sau:
A = ( x + 5 ) + ( x + 1)
4

4

Giải: Đặt y=x+3 ta có x=y-3 thay vào biểu thức A
Ta có:
A = ( y − 3 + 5 ) + ( y − 3 + 1)
4

A = ( y + 2) + ( y − 2)
4

4

4

A = y 4 + 8 y 3 + 24 y 2 + 32 y + 16 + y 4 − 8 y 3 + 24 y 2 − 32 y + 16
A = 2 y 4 + 48 y 2 + 32 ≥ 32

Dấu “=” xảy ra ⇔ y = 0 ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = −3
Vậy GTNN của A=32 khi x = -3
VII) Một số phương pháp khác.
1, Bình phương hai vế của biểu thức.
Có trường hợp ta khơng thể tìm trực tiếp cực trị của một biểu thức mà đi tìm cực trị
của bình phương biểu thức đó:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau:
M = x2 + x + 1 + x2 − x + 1

Giải:
Tìm GTNN của biểu thức M đã được giải trong phương pháp bất đẳng thức Cơsi ở
phần trên, ngồi phương pháp đó ra ta còn có phương pháp giải khác.

M = x2 + x + 1 + x2 − x + 1
M 2 = x2 + x + 1+ x2 − x + 1 + 2

(x

2

)(

)

+ x + 1 x2 − x + 1

M 2 = 2 x2 + 2 + 2 x4 + x2 + 1 ≥ 2 + 2 = 4
⇒ M2 ≥4⇒ M ≥2

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0 vậy GTNN của M=2 khi x=0
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức sau:
GV: Nguyễn Thò Thanh

16

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
A = 3 x − 1 + 4 5 − x với 1 ≤ x ≤ 5

2011-2012

Giải:

(

A2 = 3 x − 1 + 4 5 − x

)

= 9 x − 9 + 80 − 16 x + 24
= −7 x + 71 + 24

2

= 9 ( x − 1) + 16 ( 5 − x ) + 24

( x − 1) ( 5 − x )

( x − 1) ( 5 − x )

( x − 1) ( 5 − x )

Vì x ≤ 5 ⇔ −7 x ≥ −35 và ( x − 1) ( 5 − x ) ≥ 0
nên A2 ≥ −35 + 71 + 0 hay A2 ≥ 36
Do A ≥ 0 nên A ≥ 36
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 5 và ( x − 1) ( 5 − x ) =0 ⇔ x = 5
2) Sử dụng bài tốn phụ:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau:
M = x2 + x + 1 + x2 − x + 1

Vậy GTNN của bài tốn này ta đã làm bằng hai cách nêu trên ngồi ra ta còn có

cách khác nữa để giải bằng cách sử dụng bài tốn phụ.
Xét bài tốn phụ:
Chứng minh rằng:

( a + x)

a 2 + b2 + x 2 + y 2 ≥

2

+ ( b + y)

2

Dấu “=” xảy ra ⇔ ay = bx
áp dụng bài tốn phụ ở trên ta có:
M = x2 + x + 1 + x2 − x + 1
2

2

2

2
2
2
1  3
1 1
3


1
  3

  3
=  x + ÷ + 
+
−
x
+
≥
x
+
+
−
x
+
+
÷

÷

÷

÷

÷
2  2 ÷
2 2
2 ÷


2
  2 ÷

  2




= = 1+ ( 3 ) = 4 = 2
2

Dấu “=” xảy ra ⇔

3
1
31

 x + ÷=
 − x ÷⇔ x = 0
2 
2 2 2


Vậy GTNN của M=2 khi x=0
Để giải bài tốn theo cách này học sinh phải chứng minh bài tốn phụ rồi mới được
vận dụng. Ngồi cách giải trên ta còn có cách giải khác xét trong phần tiếp theo.
3, Sử dụng mp tọa độ.
Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức.
GV: Nguyễn Thò Thanh

17

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò

2011-2012

M = x2 + x + 1 + x2 − x + 1

Giải:
Xét trong cùng mặt phẳng tọa độ 0xy xét các điểm.
A ( x; o )
 −1 3 
B  ;
÷
÷
 2 2 

1
3
C  ; −
÷
2 ÷
2


Ta thấy điểm B, C nằm khác nhau đối với trục hồnh mà A thuộc trục hồnh
Xét 3 điểm A; B; C ta có:

AB + AC ≥ BC
2

2
1 
3

Ta có: AB =  x + ÷ +  0 − ÷÷ = x 2 + x + 1
2 
2 

2

2
1 
3

AC =  x − ÷ +  0 +
= x2 − x + 1
÷
÷
2 
2 

2

2
3
 1 1  3
BC =  − − ÷ + 

+
÷ = 4=2
2 ÷
 2 2  2


⇒ AB + AC = x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1 ≥ BC = 2

Dấu “=” xảy ra ⇔ A là giao điểm của BC với trục hồnh A ≡ 0 ⇔ x = 0
Vậy GTNN của M=2 khi x=0
Nhận xét: Tìm GTNN của biểu thức M ở đây tơi đã đưa ra 4 phương pháp để tìm,
trong mỗi phương pháp đều có cách giải riêng biệt tùy theo từng bài, từng dạng bài
tập ta có thể lựa chọn cách giải cho phù hợp.
4, Phương pháp xét khoảng giá trị:
Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức để
A = x − 2 + x − 5 + 15

Dạng bài tập này ta đã có cách giải cụ thể sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối đã nêu ở phần 4.3 ở trên ngồi ra ta còn sử dụng phương pháp xét khoảng
để giải.
A = x − 2 + x − 5 + 15

+, Nếu x<2 thì x − 2 = 2 − x
x −5 = 5− x

GV: Nguyễn Thò Thanh

18

Trường TH-THCS Gáo Giồng

SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
Khi đó A =2 – x +5-x+15 = 22-2x <18 ( 1)

2011-2012

+, Nếu x>5 thì x − 2 = x − 2
x−5 = x−5

Khi đó A= x- 2 +x = 5-15 = 2x+8 > 18 ( 2 )
+, Nếu 2 ≤ x ≤ 5 thì x − 2 = x − 2 ; x − 5 = 5 − x
Khi đó A = x- 2 + 5 –x +15 = 18 ( 3)
Kết hợp các giá trị của A trong 3 trường hợp trên ta có:
Giá trị nhỏ nhất của A = 18 khi 2 ≤ x ≤ 5
Ta cũng xét ví dụ này ngồi cách trên ta còn có cách giải khác ta xét trong phần
tiếp theo sau đây:
5, Sử dụng A ≥ A
Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức: A = x − 2 + x − 5 + 15
Giải:
A = x − 2 + x − 5 + 15
A = x − 2 + 5 − x + 15

Ta có: x − 2 ≥ x − 2
x −5 = 5− x
⇒ x −2 + 5− x ≥ x−2+5− x
⇒ x − 2 + 5 − x + 15 ≥ x − 2 + 5 − x + 15 = 18
⇒ A ≥ 18
x − 2 ≥ 0
x ≥ 2

⇔
5 − x ≥ 0
x ≤ 5

Dấu “=” xảy ra ⇔ 

⇔ 2≤ x≤5

Vậy GTNN của A = 18 khi 2 ≤ x ≤ 5
Nhận xét:
Qua 3 cách giải trên cả cách giải theo 4.3 ta thấy cách giải thứ 3 là đơn giải dễ hiểu
hơn cả. Ta chỉ cần sử dụng giá trị tuyệt đối A ≥ A Dấu “=” xảy ra ⇔ A ≥ 0
VIII) Ứng dụng của bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất .
Trong khi làm chúng ta có thể gặp nhứng bài tốn tìm GTLN, GTNN một cách
tường minh cụ thể, cũng có khi lại gặp nó dưới dạng một dạng tốn khác. Đó chính
là ứng dụng của bài tốn tìm GTLN, GTNN.
GV: Nguyễn Thò Thanh

19

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1:
Giải phương trình:

2011-2012

x − 4 + 6 − x = x 2 − 10 x + 27

x − 4 ≥ 0

Giải: TXĐ: 6 − x ≥ 0
 x 2 − 10 x + 27 ≥ 0


⇔4≤ x≤6

Xét VT 2 = ( x − 4 + 6 − x ) ≤ ( 12 + 12 ) ( x − 4 + 6 − x ) = 4
2

⇒ VT 2 ≤ 4 ⇒ VT = 2
VP = x 2 − 10 x + 27 = ( x − 5 ) + 2 ≥ 2
2

 x − 4 + 6 − x = 2
 x − 4 + 6 − x = 2
VT
=
VP
⇔
⇔
Để
 2

2
 x − 10 x + 27 = 2
( x − 5 ) = 0

 x − 4 + 6 − x = 2
⇔
 x = 5
⇔ x = 5 thuộc TXĐ

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=5
Nhận xét:Để giải phương trình này bằng các phương pháp thơng thường rất phức
tạp và khó khăn nhưng giải phương trình trên bằng phương pháp đánh giá hai vế ta
sử dụng BĐT BunhiaCopski đối với vế trái thì việc giải phương trình đơn giản hơn
rất nhiều.
Ví dụ 2: Giải phương trình
x 2 + 2 x − 1 = 2 3x3 − 5 x 2 + 5 x − 2

Giải:
3
2
2
Ta có: 3x − 5 x + 5 x − 2 = ( x − x + 1) ( 3x − 2 )
2

1 3

Do x − x + 1 =  x − ÷ + > 0∀x
2 4

2

Khi đó TXĐ x ≥

2

3

2
2
Ta có: x + 2 x − 1 = ( x − x + 1) + ( 3x − 2 )

áp dụng BĐT Cơsi cho hàm số khơng âm ta có:

(x

2

)

− x + 1 + ( 3x − 2 ) ≥ 2

(x

2

)

− x + 1 ( 3x − 2 )

GV: Nguyễn Thò Thanh

20

Trường TH-THCS Gáo Giồng

SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
Dấu “=” xảy ra ⇔ x 2 − x + 1 = 3x − 2

2011-2012

x = 1
⇔ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ 
x = 3

Ví dụ 3: Cho hai điểm A và B cố định và điểm M di động sao cho MAB là tam
giác có 3 góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao
vẽ từ M của tam giác MAB. Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KM
Giải:
Xét ∆KHA và ∆KMB có
¼
¼ = 900
AKH = MKB

M

E

¼ = KMB
¼
cùng phụ với ¼
AMN
KMA

⇒

S

⇒ ∆KHA

H

∆KMB

KH
AK
=
⇒ KM .KH = KB. AK
KB KM

A

áp dụng BĐT Cơsi cho hai số dương ta có:
AK .KB ≤

AK + KB
⇔
2

Do đó KM .KH ≤

AK .KB ≤

K

B

AB
AB 2
⇔ AK .KB ≤
2
4

AB 2
AB 2
mà
khơng đổi
4
4

Dấu “=” xảy ra ⇔ KH = KB
Vậy GTLN của KH .KM là

AB 2
4

Nhận xét: Ở đây tơi đã đưa ra 3 ví dụ để thấy được việc ứng dụng của bài tốn tìm
GTLN; GTNN rất rộng rãi , nhờ có bất đẳng thức việc giải phương trình ở ví dụ 1,
ví dụ 2 đơn giản hơn rất nhiều nếu khơng sử dụng Bất đẳng thức thì việc giải
phương trình gặp nhiều khó khăn, đặc biệt hơn trong một số dạng tốn cực trị trong
bộ mơn hình học.
IX) Một số sai lầm thường gặp trong bài tốn cực trị:
Trong q trình giải tốn cực trị học sinh thường mắc phải một số sai lầm sau:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau:
A = ( x + 5 ) + ( x + 1)

4

4

Trong ví dụ này ta đã nêu cách giải cụ thể phần phương pháp ẩn phụ.
Lời giải sai:
GV: Nguyễn Thò Thanh

21

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò

2011-2012

( x + 1) ≥ 0 
4
2
 ⇒ A = ( x + 5 ) + ( x + 1) ≥ 0
4
( x + 5) ≥ 0
2

Từ đó A ≥ 0 điều này khơng thể xảy ra, vì khơng tồn tại để cho ( x + 5) và ( x + 1)
4

2

đồng thời bằng 0
Lời giải đúng ta đã giải trong phần VI ( Phương pháp đặt ẩn phụ)
Ví dụ 2: Tìm GTNN của:
M = x+ x

+) Lời giải sai:
2

1 
1 1
1

M = x + x =  x + x + ÷=  x + ÷ − ≥ −
4 
2 4
4


Vậy GTNN của M = −

1
4

+) Phân tích sai lầm:
Sau khi chứng minh M ≥ −
xảy ra ⇔ x = −

1
1
chưa chỉ ra trường hợp xảy ra M = −

4
4

1
( vơ lý)
2

+) Lời giải đúng:
Để tồn tại x thì x ≥ 0 do đó M = x + x ≥ 0 dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0
Vậy M Min = 0 khi x = 0
V. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG:
Sau một số năm bền bỉ hướng dẫn học sinh tìm GTLN, GTNN tơi thấy áp
dụng tốt SKKN này cho học sinh thì chất lượng học sinh tăng lên rõ rệt, góp phần
khơng nhỏ vào việc trí thơng minh , khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, bởi khi
giải các bài tập này học sinh phải vận dụng kiến thức một cách hợp lý, phải phân
tích một cách tổng hợp.Do đó trong năm học này tơi đã mạnh dạn đưa vào chương
trình lớp 9 mợt sớ bài toán ở mức dợ vừa phải với sức học của học sinh và kết quả
thu được như sau:
Kết quả kiểm tra đối chứng
Hs khối 9

Số Hs Tìm ra hướng giải Khơng tìm ra hướng giải
hồn chỉnh
hồn chỉnh

GV: Nguyễn Thò Thanh

22

Trường TH-THCS Gáo Giồng

SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
Khi chưa áp dụng Skkn 15
9
60,0
6
Khi áp dụng Skkn
15
12
80,0
3

2011-2012
40,0
20,0

C. PHẦN KẾT LUẬN
-----------  -----------

I.Ý nghĩa của đề tài đới với cơng tác :
Trong q trình giảng dạy kiểm tra khảo sát chất lượng học sinh tơi nhận thấy
khi chưa áp dụng học sinh chưa có phương pháp cụ thể , học sinh lúng túng chưa
tìm được cách giải sau khi được vận dụng thì nhiều học sinh đã giải được thành
thạo.
II. Khả năng áp dụng.
- Chủ yếu dùng để bồi dưỡng thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 THPT và đặc
biệt phù hợp với việc học của học sinh khá giỏi.
III. Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển tiếp theo.
*Qua q trình áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, tơi thấy để có kết quả cao

giáo viên cần lưu ý một số vấn đề sau:
GV: Nguyễn Thò Thanh

23

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
2011-2012
- Dành thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo phân loại các dạng bài
tập.
- Lượng bài tập phù hợp với năng lực, đối tượng học sinh.
- Phải kiên trì áp dụng sáng kiến kinh nghiệm mỗi khi có bài tồn tìm GTLN,
GTNN.
- Giáo viên phải soạn kỹ trước khi lên lớp, đưa ra phương án giải quyết tốt
nhất cho từng dạng. Đặc biệt nên khai thác vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau
đề củng cố và rèn khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh.
* Do điều kiện áp dụng SKKN trên ở trường có tỉ lệ học sinh khá giỏi chưa
cao và do hạn chế về thời gian cũng như năng lực tư duy của các em nên trong
SKKN này còn một số hạn chế sau:
- Chưa nêu những ví dụ phong phú, chưa khai thác và phát triển và đưa về
dạng bài tập tổng qt.
- Lời giải của nhiều bài tập còn mang tính áp đặt chưa mang tính chất lấy học
sinh làm trung tâm.
- Đã nêu nhưng chưa nhiều về bài tốn cực trị hình học.
V. Kiến nghị và đề xuất.
Để SKKN ngày càng đạt hiều quả cao tơi thấy phải tiếp tục nghiên cứu nhằm:
+ Tìm ra được nhiều dạng bài, nhiều phương pháp giải quyết đối với từng
dạng bài đó.

+Áp dụng tối đa phương pháp đổi mới dạy học tốn theo hướng phát triền tư
duy sáng tạo cho học sinh.
Nhà trường cũng như các cấp các ngành có chức năng cần tạo điều kiện giúp
đỡ về thời gian cũng như tài liệu để các giáo viên có thể đầu tư vào cơng việc tốt
hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn.
-----------  -----------

Gáo Giờng, ngày 08 tháng 3 năm 2012
Người viết

GV: Nguyễn Thò Thanh

24

Trường TH-THCS Gáo Giồng


SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò
2011-2012
Ngũn Thị Thanh

DỤT CỦA HỢI ĐỜNG THẨM ĐỊNH
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
DỤT CỦA PHÒNG GIÁO DỤC
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
GV: Nguyễn Thò Thanh

25

Trường TH-THCS Gáo Giồng