SKKN kinh nghiệm giải bài toán hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của tam giác ở THCS

SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN KRÔNG ANA
TRƯỜNG THCS BUÔN TRẤP
----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:

KINH NGHIỆM
GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC SỬ DỤNG
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG ĐỒNG QUY
CỦA TAM GIÁC Ở THCS
Họ và tên: Nguyễn Thị Kim Thoa
Đơn vị công tác: Trường THCS Buôn Trấp
Trình độ đào tạo: Đại học Sư phạm Toán
Môn đào tạo: Sư phạm Toán

Krông Ana, tháng 03 năm 2015
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

1


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS

I. PHẦN MỞ ĐẦU
I.1. Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình dạy học Toán nói chung và dạy học Hình học ở THCS nói

riêng, điều quan trọng nhất là hình thành cho học sinh một hệ thống khái niệm Toán
học quan trọng; làm cho học sinh nắm vững bản chất kiến thức một cách sâu và rộng.
Đó chính là cơ sở, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng
kiến thức đã học để giải Toán. Tuy nhiên qua nhiều năm dạy học chương trình Hình
học cấp THCS, tôi nhận thấy đa số học sinh sợ học Hình học và chưa nắm vững bản
chất kiến thức, chưa có khả năng vận dụng tốt kiến thức để giải bài tập cũng như vào
thực tế. Do nắm kiến thức chưa sâu, hiểu vấn đề một cách mơ hồ nên học sinh thường
gặp nhiều khó khăn và thường mắc sai lầm khi vẽ hình cũng như khi giải bài tập hình
học. Nguyên nhân chủ yếu là do:
Cách giảng dạy của giáo viên chưa phù hợp, còn khó hiểu, nhàm chán. Các tiết
học chưa sinh động, chưa gây được niềm say mê, hứng thú học Hình học của học
sinh. Khi giảng dạy một số giáo viên còn ít tổng hợp kiến thức cho học sinh. Hơn nữa
trong một tiết học ngắn ngủi, giáo viên thường dạy lướt nhanh phần lý thuyết mà
không lật đi lật lại vấn đề để khắc sâu kiến thức cho học sinh. Khi dạy HS làm bài tập
Hình học, một số giáo viên chú ý việc rèn kỹ năng vẽ hình và chứng minh cho HS,
chưa hướng dẫn HS phân tích bài toán để từ đó HS định hướng cách giải.
Học sinh thường cảm thấy khó khăn, rất ngại hoặc không thích học lý thuyết,
nếu có học thì cũng chỉ học vẹt để đối phó với việc kiểm tra bài cũ dẫn đến ghi nhớ
máy móc, không nắm vững bản chất kiến thức hoặc nắm kiến thức cơ bản chưa sâu,
chưa biết kết nối giữa kiến thức này với kiến thức kia để giải một bài tập. Hơn nữa vì
không nắm được lý thuyết nên kỹ năng vẽ hình của HS cũng rất kém, mà không vẽ
được hình thì không thể làm được bài tập Hình học. Mặt khác do ý thức học tập của
học sinh chưa cao, chưa thật sự tập trung chú ý để hiểu và ghi nhớ các công thức, quy
tắc, định lý, tính chất và các hệ quả nên khi làm một bài Toán Hình học không nhớ
kiến thức nào để vận dụng.
Vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để tạo hứng thú học Hình học cho HS, giúp
HS nắm vững kiến thức cơ bản, biết cách vẽ hình và vận dụng được kiến thức để làm
bài tập nhằm nâng cao chất lượng đại trà và chất lượng mũi nhọn? Muốn vậy khi dạy
một chương, một bài nào đó, giáo viên phải giúp HS nắm vững kiến thức trọng tâm đã
học, đưa ra những bài tập phù hợp với đối tượng học sinh, hướng dẫn để HS có thể

vận dụng được kiến thức vào làm bài tập. Khi tự mình làm được bài tập và được sự
động viên khuyến khích của GV, HS sẽ tự tin hơn, cảm thấy Hình học không khó như
mình nghĩ và sẽ có hứng thú hơn với việc học Hình học.
Trong quá trình dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi ở THCS, tôi nhận thấy có
rất nhiều bài toán sử dụng tính chất ba đường đồng quy của tam giác (Tính chất ba
đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường cao, ba đường trung trực). Tuy
nhiên khi gặp những bài toán này, nhiều học sinh lúng túng, không biết vẽ hình,
không nhớ tính chất. Nhiều học sinh nắm được tính chất chưa vững, không hiểu bản
chất kiến thức nên không biết vận dụng tính chất để làm bài như thế nào, không biết
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

2


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS

cách phân tích bài toán để định hướng cách giải. Chính vì vậy việc giúp học sinh nắm
vững kiến thức và làm được bài tập về đường trung tuyến, đường phân giác, đường
cao, đường trung trực và tính chất của các đường này trong tam giác là vô cùng quan
trọng ngay từ chương trình Hình học lớp 7. Việc nắm vững kiến thức và áp dụng được
vào bài tập sẽ làm cho học sinh tự tin và thấy yêu thích môn Hình học hơn, làm cho
các em không còn cảm giác sợ học Hình học như trước, điều này không chỉ có tác
dụng nâng cao chất lượng đại trà và chất lượng mũi nhọn của môn Toán lớp 7 mà khi
học lên lớp 8, lớp 9, học sinh vẫn có thể làm được dạng bài tập có sử dụng kiến thức
về tính chất ba đường đồng quy của tam giác.
Để học sinh có thể hiểu sâu và nắm vững kiến thức về tính chất ba đường đồng
quy trong tam giác từ đó áp dụng vào giải bài tập Hình học mà không phải học thuộc
lòng từng câu chữ, giúp cho học sinh cảm thấy việc học nhẹ nhàng và có hiệu quả
hơn và cũng là để rèn luyện nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ của mình nên

tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Kinh nghiệm giải bài toán hình học sử dụng tính chất
ba đường đồng quy của tam giác ở THCS”. Rất mong được sự góp ý và trao đổi
chân thành của quý thầy cô để kinh nghiệm nhỏ này hoàn thiện hơn và mang lại hiệu
quả cao hơn trong dạy học Toán ở trường THCS.
I.2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
Nghiên cứu về các phương pháp sử dụng Tính chất ba đường đồng quy trong
tam giác trong dạy học Hình học cấp THCS nhằm giúp học sinh khắc sâu và nắm
vững bản chất kiến thức hơn để vận dụng vào việc giải bài tập cũng như vào thực tế.
Khắc phục được những sai lầm thường gặp của học sinh. Tạo niềm say mê, hứng thú
học Toán của học sinh, đặc biệt là môn Hình học, môn học mà hầu hết học sinh đều
sợ và không thích học.
Nhằm nâng cao chất lượng giáo dục và hiệu quả giảng dạy,chất lượng bồi
dưỡng học sinh giỏi và phụ đạo học sinh yếu kém; phát huy được tính tích cực, chủ
động và sáng tạo của giáo viên cũng như của học sinh trong quá trình dạy - học môn
Hình học cấp THCS.
Giúp học sinh nắm vững bản chất kiến thức về Tính chất ba đường đồng quy
trong tam giác một cách sâu và rộng hơn, biết cách vẽ hình, phân tích bài toán để định
hướng và trình bày cách giải, có hứng thú hơn trong học tập cũng như nhanh nhạy
hơn khi xử lý các tình huống gặp phải trong quá trình học Hình học cấp THCS.
Bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, làm tài liệu tham khảo cho
đồng nghiệp. Giúp đồng nghiệp thấy được sự quan trọng của việc giải bài toán sử
dụng Tính chất ba đường đồng quy trong tam giác khi dạy Hình học ở THCS.
I.3. Đối tượng nghiên cứu:
Giáo viên và học sinh trường THCS Buôn Trấp.
I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu:
- Dựa trên những nghiên cứu về phương pháp dạy học Toán cấp THCS và các
vấn đề thường gặp khi giảng dạy môn Toán ở trường THCS Buôn Trấp.
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

3

SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS

- Phương pháp sử dụng giải bài toán sử dụng Tính chất ba đường đồng quy
trong tam giáckhi dạy - học Hình học ở cấp THCS.
I.5. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Phương pháp điều tra, khảo sát
- Phương pháp thử nghiệm
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

II. PHẦN NỘI DUNG
II.1. Cơ sở lý luận:
Trong các môn học, Toán học là môn có nhiều khả năng nhất trong việc rèn
luyện phương pháp suy luận khoa học, muốn đạt hiệu quả cao trong việc dạy và học
Toán thì phải có phương pháp dạy và học tốt. Không có phương pháp tốt, không có
hiệu quả cao. Biết cách dạy Toán và biết cách học Toán, hiệu quả dạy và học sẽ tăng
gấp nhiều lần. Bên cạnh việc giảng dạy của giáo viên thì khi giải các dạng Toán đòi
hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản; biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo
các kiến thức từ đơn giản đến phức tạp.
Làm cho học sinh nắm vững bản chất kiến thức để tránh sai lầm khi áp dụng
vào bài tập là vô cùng quan trọng. Vì vậy trong mỗi tiết dạy bài mới, luyện tập hay ôn
tập giáo viên cần linh động phối hợp các phương pháp dạy học một cách hiệu quả,
phù hợp với đối tượng và tâm sinh lý của học sinh. Sau khi học xong các em sẽ tự hệ
thống hóa được các kiến thức cần nhớ để áp dụng vào bài tập và vào thực tế, việc học
vì thế cũng sẽ nhẹ nhàng và có hiệu quả hơn. các em sẽ giải được bài Toán nhẹ nhàng
và nhanh chóng, không còn thụ động trông chờ vào người khác.
Việc phát triển tư duy đồng thời gây hứng thú học tập cho HS, phát triển trí tuệ

cho HS qua bộ môn Hình học là một vấn đề rất quan trọng, cần được thực hiện trong
mọi khâu của việc giảng dạy: cách đặt vấn đề, nội dung các câu hỏi gợi mở của GV
khi giảng bài, cách GV kiểm tra và nội dung các câu hỏi, bài tập kiểm tra, cách yêu
cầu HS phân tích, phê phán các câu trả lời, các bài làm...có tác dụng rất lớn đến việc
giáo dục tư duy độc lập, sáng tạo, óc phê phán cho HS, giúp các em biết thắc mắc,
biết lật đi, lật lại vấn đề, dám tìm tòi và suy nghĩ... Chính vì thế giúp học sinh nắm
vững bản chất kiến thức và vận dụng kiến thức vào làm bài tập một cách hợp lý là
điều vô cùng quan trọng. Do đó khi dạy các dạng bài toán sử dụng Tính chất ba
đường đồng quy trong tam giác, giáo viên cần giúp học sinh biết cách vẽ hình, nắm
được kiến thức cơ bản về đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao, đường
trung trực và tính chất của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường cao,
ba đường trung trực trong tam giác:
1. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác:
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách
mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
(Giao điểm ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác)
4
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS

2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác:
Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách
đều ba cạnh của tam giác đó.
(Giao điểm ba đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đó)
3. Tính chất ba đường trung trực của tam giác:
Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách
đều ba đỉnh của tam giác đó.

(Giao điểm ba đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó)
4. Tính chất ba đường cao của tam giác:
Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm.
(Giao điểm ba đường cao được gọi là trực tâm của tam giác)
5. Về các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân:
* Tính chất của tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng
với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng
xuất phát từ một đỉnh đối diện với cạnh đó.
* Ngược lại với tính chất trên ta có: Trong một tam giác, nếu hai trong 4 loại
đường (đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh
và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó
là một tam giác cân.
* Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm
trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
Trên đây là những kiến thức cơ bản về tính chất ba đường đồng quy trong tam giác
mà giáo viên cần giúp học sinh nắm vững, hiểu và vận dụng được để làm bài tập. Khi
dạy giáo viên cũng cần khéo léo chọn lựa các bài toán phù hợp với đối tượng học
sinh, làm cho học sinh thấy được việc sử dụng tính chất ba đường đồng quy trong tam
giác sẽ giúp cho việc giải bài toán dễ dàng và nhanh chóng hơn, qua các bài toán giúp
học sinh thấy được khi giải dạng toán này ta cần chú ý điều gì, cách sử dụng tính chất
như thế nào cho hợp lý, khi nào ta sử dụng được tính chất và trong một số trường hợp
phải vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có thể vận dụng tính chất,.... Khi học sinh đã
hiểu và vận dụng được ở mức độ tương tự thì giáo viên có thể đưa thêm bài tập mở
rộng, nâng cao nhằm phát triển tư duy cho học sinh.
“Kinh nghiệm giải bài toán hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy
của tam giác ở THCS” sẽ giúp giáo viên trau dồi được kiến thức, nâng cao chất
lượng và hiệu quả giảng dạy; giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực,
chủ động, sáng tạo trong giải Toán, đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng
say mê học Toán cho học sinh.
II.2.Thực trạng:

a.Thuận lợi – Khó khăn:
*Thuận lợi:
Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã được Lãnh đạo trường, các Thầy cô,
bạn bè đồng nghiệp của trường THCS Buôn Trấp giúp đỡ tận tình và tạo điều kiện
thuận lợi cho việc nghiên cứu, được dự giờ một số giáo viên có nhiều kinh nghiệm
trong giảng dạy, được tiếp xúc với nhiều đối tượng học sinh khác nhau, trong đó có
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

5


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS

một số HS khá giỏi đã biết cách giải bài toán hình học sử dụng tính chất ba đường
đồng quy trong tam giác.
Trường đạt chuẩn quốc gia và đang tiến tới xây dựng mô hình trường trọng
điểm chất lượng cao nên cơ sở vật chất tương đối đầy đủ, đáp ứng nhu cầu dạy và
học. Đa số học sinh có ý thức học tập, hợp tác tốt, tạo điều kiện thuận lợi cho việc
trao đổi, nghiên cứu, thực hiện đề tài.
*Khó khăn:
Chưa có nhiều tài liệu viết về phương pháp giải bài toán hình học sử dụng tính
chất ba đường đồng quy của tam giác trong dạy học Hình học ở THCS. Việc nghiên
cứu được thực hiện chủ yếu dựa vào kinh nghiệm ít ỏi của bản thân trong quá trình
dạy học Hình học. Số tiết dự giờ để học hỏi kinh nghiệm giải bài toán sử dụng tính
chất ba đường đồng quy trong tam giác của những giáo viên có trình độ chuyên môn
cao còn ít
Trong quá trình thực hiện đề tài, nhiều học sinh không thích học Hình học nên
không mấy hứng thú với việc làm các bài tập theo yêu cầu của giáo viên, nhiều học
sinh không nắm vững kiến thức, không biết cách vẽ hình nên rất mất thời gian trong

việc ôn lại kiến thức và hướng dẫn học sinh vẽ hình. Mặt khác nhiều học sinh chưa
biết phân tích bài toán, chưa biết vận dụng kiến thức để làm bài.
b. Thành công - hạn chế:
* Thành công:
Trong quá trình vận dụng đề tài, tôi nhận thấy chất lượng học Hình học của
học sinh được nâng cao rõ rệt, nhiều học sinh đã nắm được tính chất ba đường đồng
quy trong tam giác, phân biệt được các loại đường trung tuyến, đường phân giác,
đường trung trực, đường cao, biết vẽ hình theo yêu cầu đề bài và bước đầu biết vận
dụng tính chất để làm các bài tập tương tự. Các tiết học Hình học cũng trở nên nhẹ
nhàng, vui vẻ và bớt căng thẳng hơn, thu hút được sự chú ý vào bài giảng và tạo hứng
thú học tập cho HS.
* Hạn chế:
Vẫn còn nhiều học sinh học yếu môn Hình học, chưa hiểu và chưa vận dụng
được tính chất vào bài tập tương tự. Chất lượng đại trà môn Toán đặc biệt là Hình học
được nâng lên nhưng chưa đạt được như yêu cầu đặt ra. Số học sinh làm được bài tập
mở rộng, nâng cao chưa nhiều.
c. Mặt mạnh, mặt yếu:
* Mặt mạnh:
Mỗi ví dụ đưa ra trong đề tài đều có phân tích đề bài chi tiết, định hướng cụ
thể, dẫn dắt để vẽ thêm yếu tố phụ, chỉ ra được kiến thức cần vận dụng để hình thành
phương pháp giải. Qua đó, củng cố, khắc sâu, mở rộng và nâng cao kiến thức cho học
sinh, rèn khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, phát triển khả năng tư duy của học
sinh. Mặt khác, nội dung, ngôn ngữ và cách trình bày các ví dụ đơn giản, dễ hiểu nên
cả giáo viên và học sinh đều có thể tham khảo và vận dụng đề tài dễ dàng trong quá
trình dạy và học.
*Mặt yếu:
Các giải pháp mang lại hiệu quả cao hơn trước nhưng vẫn chưa thực sự đáp
ứng được yêu cầu đặt ra về việc nâng cao chất lượng đại trà vì còn nhiều học sinh bị
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

6


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS

mất gốc, chưa nắm được kiến thức cơ bản của hình học, khả năng tư duy, kỹ năng vẽ
hình và trình bày bài chưa tốt, nên rất khó khăn trong việc vận dụng đề tài. Hơn nữa
trong một tiết học ngắn ngủi không thể đưa ra được đầy đủ các dạng toán phù hợp
với từng đối tượng học sinh.
Để vận dụng đề tài hiệu quả thì đòi hỏi cả giáo viên và học sinh đều phải nắm
vững kiến thức Hình học một cách sâu và rộng, và không phải lúc nào việc sử dụng
tính chất ba đường đồng quy để giải bài toán hình học cũng có hiệu quả, nếu không sử
dụng hợp lý thì càng làm cho học sinh tiếp nhận kiến thức một cách mơ hồ và không
tự tin khi học và vận dụng kiến thức vào bài tập và vào thực tế.
d.Các nguyên nhân, các yếu tố tác động:
*Nguyên nhân của thành công:
Các bài tập được đưa ra trong đề tài từ dễ đến khó, tương đối phù hợp với từng
đối tượng học sinh. Mỗi bài tập đều có phân tích chi tiết, định hướng phương pháp
giải cụ thể, dễ hiểu nên cả giáo viên và học sinh đều có thể tham khảo và vận dụng dễ
dàng trong quá trình dạy và học.
Để có thể khai thác và mở rộng kiến thức theo nhiều khía cạnh khác nhau, từ
đó đưa ra được các bài toán sử dụng tính chất ba đường đồng quy trong tam giác một
cách có hiệu quả, kích thích được sự phát triển tư duy của học sinh và giúp học sinh
nắm vững kiến thức hơn thì GV phải thường xuyên tìm tòi, nghiên cứu, bổ sung kiến
thức mới, tìm tòi và đổi mới phương pháp dạy học, nhờ đó mà năng lực chuyên môn
nghiệp vụ cũng được nâng lên rõ rệt.
HS thường có hứng thú học hơn khi có thể tự mình làm được các bài tập và
thường khắc sâu được kiến thức hơn, nhớ được lâu hơn khi tự tìm tòi kiến thức mới
hoặc khi mắc sai lầm và được sửa chữa sai lầm.

*Nguyên nhân của hạn chế, yếu kém:
Do chất lượng học Hình học của học sinh không đồng đều, khả năng tiếp thu
và vận dụng kiến thức của học sinh còn chênh lệch khá lớn. Hình học là một môn học
khó đối với học sinh, đặc biệt là học sinh trung bình, yếu, kém. Đa số học sinh sợ học
Hình học, khả năng tư duy, phân tích tổng hợp của học sinh còn hạn chế, nhiều học
sinh chưa có khả năng vận dụng kiến thức vào làm bài tập do không nắm vững kiến
thức. Khác với Đại số và Số học, khi đọc đề bài Hình học, nếu không vẽ hình ra, học
sinh không biết bài toán dễ hay khó, thuộc dạng toán quen thuộc nào, mình có làm
được hay, vì thế học sinh rất ngại làm vì sợ khó nên thường để bài tập hình làm sau
hoặc bỏ không làm trong quá trình kiểm tra, thi cử dẫn tới kết quả đạt được chưa cao.
Hơn nữa số tiết dạy bài mới và luyên tập về tính chất ba đường đồng quy ít, lại
rơi vào cuối học kỳ 2 chương trình lớp 7, vì thế không thể đưa được nhiều bài tập mở
rộng, nâng cao phát triển tư duy cho học sinh. Mặt khác thời gian dành cho dạng toán
về sử dụng tính chất ba đường đồng quy trong tam giác ở các lớp trên cũng không
nhiều nên việc vận dụng đề tài còn gặp nhiều khó khăn, do đó kết quả cũng chưa thực
sự được như mong muốn.
Một số giáo viên chưa thường xuyên và chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc
giải bài toán sử dụng Tính chất ba đường đồng quy của tam giác trong giảng dạy bộ
môn Hình học. Nguyên nhân chính là do giáo viên chưa thực sự đam mê nghiên cứu,
tìm tòi, đào sâu kiến thức, thậm chí là chưa nắm vững kiến thức Hình học một cách
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

7


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS

sâu và rộng. Do tâm lý học sinh học yếu và sợ học môn Hình học nên khi dạy giáo
viên thường chỉ dạy qua kiến thức sách giáo khoa mà không cần phải mở rộng, khai

thác kiến thức theo nhiều khía cạnh khác nhau.
e. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy phần lớn học sinh bị hổng kiến thức rất
nhiều, nhiều em chưa nắm vững được các kiến thức cơ bản cần thiết. Chính vì thế các
em cảm thấy thực sự khó khăn khi học Toán, tâm lý e ngại, dẫn đến tư tưởng lười học,
lười suy nghĩ, thiếu tự tin, sợ học môn Toán, đặc biệt là môn Hình học, điều này
không chỉ đúng với học sinh trung bình, yếu, kém mà ngay cả học sinh khá giỏi cũng
cảm thấy ngại và không thích học Hình học. Thậm chí khi kiểm tra học kỳ hoặc khi
thi học sinh giỏi, học sinh cũng thường để bài Hình học làm sau hoặc bỏ qua không
làm mà không cần biết dễ hay khó. Khi học khái niệm mới, học sinh chưa phân tích
được các dấu hiệu bản chất, chưa nhìn thấy mối liên hệ giữa khái niệm đó với các
khái niệm khác. Do chưa nắm vững kiến thức nên nhiều học sinh không biết vẽ hình
hoặc vẽ hình không chính xác, dẫn đến không làm được bài tập. Một số học sinh vẽ
được hình nhưng lại không biết bắt đầu từ đâu, không biết liên kết các kiến thức nào
để giải quyết vấn đề đặt ra. Khi nhìn nhận một vấn đề, HS chỉ nhìn một cách phiến
diện nên dễ bị mắc sai lầm. Chính vì thế mà việc giúp HS nắm vững bản chất kiến
thức, hiểu một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, vận dụng được kiến thức vào
làm bài tập và vào giải quyết các vấn đề thực tế cuộc sống, tạo niềm say mê, hứng thú
học Toán nói chung và Hình học nói riêng cho HS là vô cùng quan trọng.
Qua các vấn đề về thực trạng đã nêu ở trên có thể thấy được những thuận lợi,
thành công và mặt mạnh của việc giải bài toán sử dụng tính chất ba đường đồng quy
của tam giác trong dạy học Hình học ở THCS, ngoài ra nó còn có tác dụng giáo dục
học sinh về mọi mặt, đặc biệt là rèn tính cẩn thận, rèn khả năng sử dụng ngôn ngữ
chính xác.
Tuy nhiên bên cạnh những mặt tích cực thì việc giải bài toán sử dụng tính chất
ba đường đồng quy của tam giác trong dạy học Hình học ở THCS cũng còn có những
khó khăn, hạn chế nhất định, nhưng nếu giáo viên thực sự có tâm và yêu nghề, ham
tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi thì vẫn có thể khắc phục được những khó khăn, hạn chế
và mặt yếu của việc sử dụng phản ví dụ trong quá trình dạy học.

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

8


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS

II.3. Giải pháp, biện pháp:
a. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:
- Giúp GV nắm bắt được cách sử dụng tính chất ba đường đồng quy trong tam
giác để giải một số bài toán thường gặp khi dạy học Hình học ở THCS.
- Giúp HS nắm vững được bản chất kiến thức và khắc sâu được kiến thức cho
HS.
- Giúp HS tránh được những sai lầm thường gặp khi vẽ hình cũng như khi làm
bài tập Hình học.
- Tạo ra các tình huống có vấn đề, khơi dậy trí tò mò, óc sáng tạo, niềm say
mê, hứng thú học tập môn Hình học của HS.
- Tạo ra các tình huống bất ngờ, thú vị, làm tiết học nhẹ nhàng, vui vẻ hơn, tạo
sự thân thiện giữa GV và HS.
- Giáo dục tư duy độc lập sáng tạo, biết tìm tòi, suy nghĩ, rèn kỹ năng vẽ hình
và khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác...
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:
b.1. Dạng toán sử dụng Tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến và
vị trí của trọng tâm trong tam giác:
Khi dạy các dạng toán liên quan đến đường trung tuyến của tam giác, giáo viên
cần giúp học sinh nắm vững các kiến thức sau:
+ Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với
trung điểm của cạnh đối diện.Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
+ Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác: Ba đường trung tuyến của tam

giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm
của tam giác đó.
A
F
B

G

D

E

C

+ Vị trí của trọng tâm: Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng
2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
+ Hai tam giác có chung một đỉnh và có chung một trung tuyến xuất phát từ
đỉnh ấy thì có cùng một trọng tâm.
+ Trung tuyến của một tam giác chia tam giác thành hai tam giác có diện tích
bằng nhau.
+ Ba trung tuyến của tam giác chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ có diện tích
bằng nhau.
+ Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một
nửa cạnh huyền. Ngược lại nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh
bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

9

SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS

Ví dụ 1: Cho ∆ABC , trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Cho biết BM = CN,
chứng minh rằng AG ⊥ BC .
* Hướng dẫn:
Từ tính chất ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm ta suy ra
đường thẳng đi qua một đỉnh của tam giác và trọng tâm của nó cũng là đường trung
tuyến. Trong bài tập này, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G, suy ra G là
trọng tâm của tam giác, do đó AG cũng là đường trung tuyến. Vì trong tam giác cân,
đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh ứng với cạnh đáy cũng là đường cao nên để
chứng minh AG ⊥ BC , ta chỉ cần chứng minh ∆ABC cân tại A là được.
Giải:
A

N
G

B

M

C

BM, CN là hai đường trung tuyến, G là trọng tâm
BG =

∆ABC

nên

2
2
BM ; CG = CN .
3
3

Mà BM = CN (gt) nên BG = CG và GM= GN.

∆GBN = ∆GCM (c.g .c) ⇒ BN = CM ⇒ AB = AC ⇒ ∆ABC cân tại A.
Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên AG là đường trung tuyến, do đó AG ⊥ BC

(tính chất đường trung tuyến của tam giác cân)
Ví dụ 2: Cho ∆ABC cân tại A, đường cao AH. Trên tia đối của tia HA, lấy
điểm D sao cho HD = HA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB.
a) Chứng minh rằng C là trọng tâm của ∆ADE
b) Tia AC cắt DE tại M. Chứng minh rằng AE // HM.
* Hướng dẫn:
Vì trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung
tuyến đi qua đỉnh ấy, nên để chứng minh điểm C là trọng tâm của ∆ ADE, ngoài cách
chứng minh điểm C là giao điểm 2 đường trung tuyến của ∆ ADE, ta cũng có thể
2
3

1
3

chứng minh CE = EH ; CH = EH hoặc CE = 2CH (vì EH là đường trung tuyến),
trong bài này ta chứng minh được CE = 2CH, suy ra điểm C là trọng tâm của ∆ ADE

Để chứng minh HM // AE, ta chứng minh hai góc so le trong băng nhau
¶ =E
¶ (= E
µ ) . Từ tính chất ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm
H
1
2
1
ta suy ra đường thẳng đi qua một đỉnh của tam giác và trọng tâm của nó cũng là
đường trung tuyến, suy ra AC hay AM là đường trung tuyến của ∆ ADE ⇒ MD = ME
⇒ HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông DHE
¶ =E
µ
⇒ MH = ME ⇒ ∆MHE cân tại M ⇒ H
1
1
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

10


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS
¶ =E
µ , ngoài cách chứng minh ∆EHA = ∆EHD(c.g .c ) , ta cũng có
Để chứng minh E
2
1
thể chứng minh ∆ ADE cân tại E vì có EH vừa là đường cao vừa là đường trung
tuyến, (hoặc vì EH là đường trung trực của đoạn thẳng AD ⇒ EA = ED ⇒ ∆ADE cân

¶ =E
µ .
tại E) suy ra đường trung tuyến EH cũng là đường phân giác ⇒ E
2
1
Giải:
A

B

C
H

2
1

1

E

M
D

a) ∆ABC cân tại A, AH ⊥ BC nên HB = HC (Tính chất đường cao ứng với cạnh
đáy của tam giác cân).
Ta có CE = CB ⇒ CE = 2CH.
Xét ∆ADE có EH là đường trung tuyến mà CE = 2CH nên C là trọng tâm.
b) ∆ADE có AC là đường trung tuyến nên MD = ME ⇒ MH = ME (Tính chất
trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)
¶ =E

µ
⇒ ∆MHE cân tại M ⇒ H
(1)
1
1
¶ =E
µ (2)
∆EHA = ∆EHD(c.g .c ) ⇒ E
2
1
¶ =E
¶
Từ (1) và (2) ⇒ H
1

2

¶ và E
¶ là hai góc so le trong nên HM // AE.
Mà H
1
2

Ví dụ 3: Chia đoạn thẳng AB thành ba phần bằng nhau:
* Hướng dẫn:
Khi cho học sinh làm bài toán này, giáo viên có thể đặt câu hỏi: “Một đoạn thẳng
chia thành ba phần bằng nhau gợi cho ta kiến thức nào đã học về ba đường đồng quy
nào trong tam giác?” . HS sẽ nghĩ đến tính chất ba đường trung tuyến của tam giác cắt
nhau tại một điểm, điểm này cách đỉnh 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy,
nghĩa là có thể chia được đường trung tuyến của tam giác thành ba phần bằng nhau.

Như vậy, để chia được đoạn thẳng AB thành ba phần bằng nhau, ta tìm cách vẽ thêm
yếu tố phụ sao cho AB là đường trung tuyến của một tam giác nào đó (chẳng hạn
∆ACD ), vẽ thêm một đường trung tuyến khác (CE) cắt AB tại một điểm, ta sẽ xác
1
3

định được trọng tâm G của tam giác ACD ( G ∈ AB; BG = AB ), vẽ trung điểm K của
đoạn thẳng AG, ta sẽ chia được AB thành ba phần bằng nhau (AK = KG = GB).
Giải:

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

11


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS
A

K

E

G
D
B
C

y

- Vẽ tia By bất kỳ, By không trùng với tia BA. Trên By đặt điểm C bất kỳ, trên
tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BC.
- Vẽ E là trung điểm của AD, CE cắt AB tại G
1
3

G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ GB = AB
- Vẽ K là trung điểm của AG
Ta có: AK = KG = GB
Ví dụ 4:
Cho ∆ABC . Từ B, vẽ tia Bx (Bx nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa
điểm A). Vẽ tia Cy (Cy nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A) sao cho
Bx // Cy. Trên tia Bx lấy điểm D, trên tia Cy lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi G là
trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh G cũng là trọng tâm của tam giác ADE.
* Hướng dẫn:
Áp dụng tính chất: “Hai tam giác có chung một đỉnh và có chung một đường
trung tuyến xuất phát từ đỉnh ấy thì có cùng một trọng tâm”.
Trong bài toán này, ∆ABC và ∆ADE đã có chung đỉnh A, mà G là trọng tâm
tam giác ABC, nên ta chỉ cần vẽ thêm đường trung tuyến đi qua đỉnh A của ∆ABC ,
giả sử trung tuyến AM ( M ∈ BC ). Khi đó để chứng minh G là trọng tâm của ∆ADE ,
chỉ cần chứng minh AM cũng là đường trung tuyến của ∆ADE , hay chứng minh M là
trung điểm của DE.
Giải:
y
A

E

G
B

C
M

D
x

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

12


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS

Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC ( M ∈ BC ) ⇒ MB = MC
·
·
BD // CE ⇒ DBM
(2 góc so le trong)
= ECM
Xét ∆ MBD và ∆ MCE có:
MB = MC


·
·
DBM
= ECM
( cmt )  ⇒ ∆MBD=∆MCE(c.g.c)


BD = EC ( gt )

·
·
⇒ BMD = CME (2 góc tương ứng); MD = ME (2 cạnh tương ứng)
· D + DMC
·
Ta có: BM
= 1800 (2 góc kề bù)
·
·
⇒ CME
+ DMC
= 1800 ⇒ D, M, E thẳng hàng.

D, M, E thẳng hàng và MD = ME

⇒ M là trung điểm của DE hay AM là đường trung tuyến của ∆ADE

Hai tam giác ABC và ADE có chung đường trung tuyến AM nên có cùng trọng
tâm.
Vậy G là trọng tâm của tam giác ADE.
*Qua bài toán trên, giáo viên đã mở rộng thêm cho học sinh tính chất: “Hai
tam giác có chung một đỉnh và có chung một đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh ấy
thì có cùng một trọng tâm”. Việc chứng minh bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn. Nếu
không biết vận dụng tính chất này, học sinh sẽ phải chứng minh bài toán bằng cách
chứng minh G là giao điểm của ít nhất hai đường trung tuyến của tam giác ADE, hoặc
G thuộc một đường trung tuyến của tam giác ADE và cách đỉnh 2/3 độ dài đường
trung tuyến đi qua đỉnh ấy; như vậy học sinh sẽ cảm thấy bài toán sẽ khó hơn, không

biết phải chứng minh như thế nào với giả thiết bài toán đã cho.
b.2. Dạng toán sử dụng Tính chất đồng quy của ba đường phân giác của
tam giác:
Khi dạy các dạng toán liên quan đến đường phân giác của tam giác, giáo viên
cần giúp học sinh nắm vững các kiến thức sau:
+ Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
Đảo lại, điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia
phân giác của góc đó.
y
A
M
O

B

z

x

+ Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M , khi
đó đoạn thẳng AM được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác
ABC. Đôi khi ta cũng gọi đường thẳng AM là đường phân giác của tam giác
ABC. Mỗi tam giác có ba đường phân giác.
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

13


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS

A

B

C

M

+ Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường
trung tuyến ứng với cạnh đáy.
+ Tính chất ba đường phân giác của tam giác: Ba đường phân giác của một
tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.
A
K

H
O
B

I

C

+ Trong một tam giác, các đường thẳng chứa tia phân giác của hai góc ngoài
và tia phân giác của góc trong không kề cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều
ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.
+ Để chứng minh một tia là tia phân giác của một góc ta có thể:
- Dùng định nghĩa: Chứng minh tia này nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với
hai cạnh đó hai góc bằng nhau.
- Dùng tính chất: Chứng minh một điểm trên tia này cách đều hai cạnh của

góc.
- Dùng tính chất ba đường phân giác (hoặc hai tia phân giác ngoài và tia phân
giác của góc trong không kề) của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Ví dụ 1:
Cho ∆ABC , µA = 1200 , các đường phân giác AD, BE, CF. Tính chu vi ∆DEF ,
biết DE = 21, DF = 20.
* Hướng dẫn:
Bài toán cho biết DE = 21, DF = 20, để tính được chu vi của tam giác DEF, ta
phải tính được độ dài cạnh EF. Để tính độ dài một cạnh trong một tam giác khi đã
biết hai cạnh kia, thường ta nghĩ đến việc áp dụng Định lý Pitago, muốn vậy thì
phải chứng minh ∆DEF vuông (ta phải dự đoán xem tam giác này có thể vuông
được không và vuông tại đâu trước khi chứng minh). Trong chương trình Hình
học học kỳ 2 lớp 6 và học kỳ 1 lớp 7, học sinh đã chứng minh được tính chất hai
tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông, vì thế trong bài toán này
chỉ cần chứng minh DE và DF là hai tia phân giác của hai góc ADB và ADC bằng
cách dùng Tính chất ba đường phân giác (hoặc hai tia phân giác ngoài và tia phân
giác của góc trong không kề) của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Giải:
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

14


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS
y

x

A

3
4
1 2

F

B

E

C

D

¶ =µ
¶ = 600 . Xét ∆ABD có tia AC là tia phân giác góc ngoài
A3 = A
Dễ thấy µA1 = A
2
4
tại đỉnh A; tia BE là tia phân giác góc trong tại đỉnh B, hai tia phân giác này cắt
nhau tại E, suy ra tia DE là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh D.
Xét ∆ADC , chứng minh tương tự ta được DF là tia phân giác góc ngoài tại
đỉnh D.
Suy ra DE ⊥ DF (hai tia phân giác của hai góc kề bù).
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông DEF ta được:
EF2 = DE2 + DF2 = 212 + 202 = 841 ⇒ EF = 29.
Vậy chu vi tam giác DEF là 21 + 20 + 29 = 70.

Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC có BC = 17cm. CA = 15cm, AB = 8cm. Ba đường phân giác
của tam giác cắt nhau tại O. Tính tổng các khoảng cách từ O đến ba cạnh của tam
giác.
* Hướng dẫn:
Bài toán yêu cầu tính tổng các khoảng cách từ O đến ba cạnh của tam giác, mà O
là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác ABC nên O cách đều ba cạnh của tam
giác ABC (tính chất ba đường phân giác của tam giác), do đó ta phải kẻ các đường
vuông góc từ O xuống các cạnh của tam giác ABC:
OD ⊥ BC , OE ⊥ AB, OF ⊥ AC ( D ∈ BC , E ∈ AB, F ∈ AC ) , ta sẽ có: OD = OE = OF, sau
đó tìm mối quan hệ giữa các khoảng cách này với độ dài ba cạnh của tam giác ABC.
Khi một tam giác đã biết độ dài ba cạnh, ta thường nghĩ ngay đến việc sử dụng Định
lý Pitago đảo để kiểm tra xem tam giác đó có vuông hay không.
Giải:
A
F

1 2

E
O
B

1

2

D

C

Ta có: AB2 + AC2 = 82 + 152 = 289
BC2 = 172 = 289
Suy ra BC2 = AB2 + AC2
Do đó ∆ ABC vuông tại A (Định lý Pitago đảo)
Kẻ OD ⊥ BC , OE ⊥ AB, OF ⊥ AC ( D ∈ BC , E ∈ AB, F ∈ AC )
Vì O là gia điểm các đường phân giác của ∆ ABC nên OD = OE = OF (1)
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

15


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS
¶ = 450
AO là phân giác của góc A nên µA1 = A
2
Suy ra ∆ AEO vuông cân tại E, ∆ AFO vuông cân tại F, ta có:
AE = AF = OE = OF (2)
Từ (1) và (2) suy ra OD = OE = OF = AE = AF (3)
∆ OBD và ∆ OBE có:
µ =B
¶ (vì BO là tia phân giác); cạnh OB chung; BEO
·
· DO = 900
B
=B
1
2
⇒ ∆ OBD = ∆ OBE (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ BD = BE (hai cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự ta được: CD = CF
Ta có: AE = AB – EB = AB – BD
AF = AC – FC = AC – CD
Suy ra: AE + AF = AB + AC – (BD + DC) = AB + AC – BC
Hay 2AE = AB + AC – BC = 8 + 15 – 17 = 6(cm)
Do đó AE = 3(cm) (4)
Từ (3) và (4) suy ra OD + OE + OF = 3.AE = 3.3 = 9(cm).

Ví dụ 3:
Tam giác ABC cân tại A. tia phân giác của góc A cắt đường trung tuyến BD tại
K. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng ba điểm I, K, C thẳng hàng.
* Hướng dẫn:
Có nhiều phương pháp để chứng minh ba điểm I, K, C thẳng hàng (chẳng hạn
chứng minh góc IKC là một góc bẹt, chứng minh hai đường thẳng IK, IC cùng vuông
góc hoặc cùng song song với một đường thẳng thứ ba, chứng minh ba điểm I, K, C
cùng thuộc một tia hoặc cùng thuộc một đường thẳng), tuy nhiên trước khi chọn
phương pháp, ta phải xác định xem bài toán đã cho điều gì để từ đó chọn phương
pháp chứng minh nhanh nhất và ngắn gọn nhất. Theo tính chất: “Trong tam giác cân,
đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy”,
mà ∆ ABC cân tại A nên đường phân giác AK đồng thời là đường trung tuyến của ∆
ABC, mà K là giao điểm của hai đường trung tuyến AK và BD nên K là trọng tâm
của ∆ ABC. Ta lại có I là trung điểm của AB nên CI cũng là đường trung tuyến của ∆
ABC, do đó điểm K thuộc CI, suy ra ba điểm I, K, C thẳng hàng. Đây là một phương
pháp rất hay sử dụng để chứng minh các điểm thẳng hàng khi bài toán cho tam giác
cân.
Giải:
A

I

D
K

B

C

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

16


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS
∆ ABC cân tại A, AK là đường phân giác xuất phát từ đỉnh nên AK cũng là

đường trung tuyến.
BD và CI là 2 đường trung tuyến của ∆ ABC, mà AK I BD = { K } nên K là
trọng tâm của ∆ ABC ⇒ K ∈ CI
Do đó C, K, I thẳng hàng.
b.3. Dạng toán sử dụng Tính chất đồng quy của ba đường trung trực của
tam giác:
Khi dạy các dạng toán liên quan đến đường trung trực của tam giác, giáo viên
cần giúp học sinh nắm vững các kiến thức sau:
+ Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng ấy
tại trung điểm của nó.
+ Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút
của đoạn thẳng ấy.
+ Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực

của đoạn thẳng đó.
+ Để chứng minh đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta
chứng minh d chứa hai điểm cách đều A và B, hoặc dùng định nghĩa đường trung
trực.
+ Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực
của tam giác đó. Mỗi tam giác có ba đường trung trực.
+ Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường
trung tuyến, đường phân giác.
+ Tính chất ba đường trung trực của tam giác: Ba đường trung trực của một
tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Giao điểm ba đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
+ Trong tam giác vuông, giao điểm ba đường trung trực là trung điểm của cạnh
huyền.
+ Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực
ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là tam giác cân.
Ví dụ 1:
µ = 300 . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CB
· D = 100
Cho ∆ ABC, có µA = 1000 , C
. Vẽ đường phân giác của góc BAD cắt BC tại E. Chứng minh rằng AE là đường
trung trực của đoạn thẳng BD.
* Hướng dẫn:
+ Cách 1: Chứng minh A và E cách đều B và D. Trong bài toán này, để chứng
minh AB = AD, EB = ED, ta chưa thể chứng minh ∆ AEB = ∆ AED vì chưa đủ yếu tố
bằng nhau, trong trường hợp này ta có thể chứng minh ∆ ABD cân tại A để suy ra
AB = AD bằng cách chứng minh ·ABD = ·ADB (tính số đo hai góc này dựa vào tính
chất tổng ba góc và tính chất góc ngoài của một tam giác rồi so sánh hai góc). Để
chứng minh EB = ED, ta chứng minh ∆ AEB = ∆ AED.
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

17


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS

+ Cách 2: Dựa vào tính chất: “Trong một tam giác cân, đường trung tuyến
ứng với cạnh đáy đồng thời đường trung trực của tam giác”. Tức là cần chứng minh
∆ ABD cân tại A. Gọi I là giao điểm của AE và BD. Ta chứng minh AI là đường
trung tuyến ứng với cạnh đáy BD, từ đó suy ra AI hay AE là đường trung trực của
đoạn thẳng BD.
+ Cách 3: Dựa vào định nghĩa: Chứng minh AE vuông góc với BD tại trung
điểm của BD. Tức là cần chứng minh ∆ ABD cân tại A suy ra AB =AD. Gọi I là giao
điểm của AE và BD. Chứng minh ∆ AIB = ∆ AID, từ đó suy ra IB = ID và ·AIB = 900 ,
suy ra AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
Giải:

A

B

40 °

I

40 °

D
30 °

10 °

E

C

+ Cách 1:
µ = 300 nên B
µ = 1800 − µA − C
µ = 1800 − 1000 − 300 = 500.
∆ ABC, có µA = 1000 , C
· D = 100 ⇒ ·ABD = ·ABC − CB
· D = 500 − 100 = 400
Lại có CB
Mặt khác góc ADB là góc ngoài tại đỉnh D của ∆ BCD
· D+C
µ = 100 + 300 = 400 ⇒ ·ABD = ·ADB
nên ·ADB = CB
⇒ ∆ ABD cân tại A ⇒ AB = AD.
Xét ∆ AEB và ∆ AED có:
· B=E
· AD (gt), AE là cạnh chung
AB =AD (cmt), EA
⇒ ∆ AEB = ∆ AED (c.g.c) ⇒ EB = ED (2 cạnh tương ứng)
Ta có: AB = AD nên A thuộc đường trung trực của BD (1)
EB = ED nên E thuộc đường trung trực của BD (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
+ Cách 2:
µ = 300 nên B
µ = 1800 − µA − C

µ = 1800 − 1000 − 300 = 500.
∆ ABC, có µA = 1000 , C
· D = 100 ⇒ ·ABD = ·ABC − CB
· D = 500 − 100 = 400
Lại có CB
Mặt khác góc ADB là góc ngoài tại đỉnh D của ∆ BCD
· D+C
µ = 100 + 300 = 400 ⇒ ·ABD = ·ADB
nên ·ADB = CB
⇒ ∆ ABD cân tại A ⇒ AB = AD.
Gọi I là giao điểm của AE với BD
Xét ∆ AIB và ∆ AID có:
· B = I· AD (gt), AI là cạnh chung
AB =AD (cmt), IA
⇒ ∆ AIB = ∆ AID (c.g.c) ⇒ IB = ID (2 cạnh tương ứng)
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

18


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS
∆ ABD cân tại A, có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BD nên AI là đường

trung trực của đoạn thẳng BD. Suy ra AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
Ví dụ 2:
Cho ∆ ABC cân tại A, µA > 900 . Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau
tại O và cắt BC tại D và E. Chứng minh rằng:
a) OA là đường trung trực của BC;
b) BD = CE;

c) ∆ ODE là tam giác cân.
* Hướng dẫn:
Chứng minh A và O cách đều B và C.
a) Vì O là giao điểm các đường trung trực của ∆ ABC ⇒ OB = OC. Mặt khác
∆ ABC cân tại A ⇒ AB = AC, do đó ta có A và O cách đều B và C, suy ra AO là
đường trung trực của BC. Như vậy qua bài toán này ta thấy trong tam giác cân, đường
trung trực ứng với cạnh đáy đi qua đỉnh của tam giác.
b) Để chứng minh BD = CE, ta chứng minh ∆ HBD = ∆ KCE (với H là trung
điểm của AB, K là trung điểm của AC).
c) Để chứng minh ∆ ODE cân, ta phải dự đoán tam giác ODE cân tại đâu để
xác định yếu tố bằng nhau cần chứng minh. Trong bài này, nhìn hình vẽ cóa thể dự
· DE = OE
· D dựa vào H
· DB = O
· DE
đoán ∆ ODE cân tại O, nên ta chỉ cần chứng minh O
·
· D ( đối đỉnh).
(đối đỉnh); KEC
= OE
Giải:
A
K

H
B

D

E

C

O

a) O là giao điểm các đường trung trực của ∆ ABC ⇒ OB = OC (1)
∆ ABC cân tại A ⇒ AB = AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC.
b) Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AC.
Xét ∆ HBD và ∆ KCE, có:
µ =C
µ ( ∆ ABC cân tại A)
B
1
 1

AB = AC ÷
2
 2


HB = KC  =

· D = CKE
·
BH
= 900
⇒ ∆ HBD = ∆ KCE (cgv-gnk)
⇒ BD = CE (2 cạnh tương ứng)
· DB = KEC

·
c) ∆ HBD = ∆ KCE (câu b) ⇒ H
(2 góc tương ứng)

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

19


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS
· DB = O
· DE (đđ); KEC
·
· D (đđ) ⇒ O
· DE = OE
· D ⇒ ∆ ODE cân tại O.
mà H
= OE
Ví dụ 3:
Cho ∆ ABC cân tại A. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Lấy
điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD = CE. Chứng minh rằng
đường trung trực của DE đi qua O.
* Hướng dẫn:
Dựa vào tính chất: Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên
đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Để chứng minh đường trung trực của DE đi qua O, ta chỉ cần chứng minh OD
= OE. Trong bài toán này ta chứng minh ∆ OBD = ∆ OAE để suy ra OD = OE. Tuy
nhiên hai tam giác này chưa có sẵn các yếu tố tương ứng bằng nhau nên ta phải chứng
minh các yếu tố đó bằng nhau trước. Bài toán cho O là giao điểm hai đường trung trực

hai cạnh bên của tam giác cân ABC nên AO là đường trung trực thứ ba của tam giác.
Mà trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng là đường phân giác
¶ . Mặt khác O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác
của góc ở đỉnh ⇒ µA1 = A
2
µ =µ
A1
nên O cách đều ba đỉnh của tam giác ⇒ OA = OB ⇒ ∆ OAB cân tại O ⇒ B
1
µ =A
¶ . Ta chứng minh được ∆ OBD = ∆ OAE (c.g.c) ⇒ OD = OE . Suy ra đường
⇒B
1
2

trung trực của DE đi qua O.
*Ngoài cách trên, ta có thể gọi H và K là trung điểm của AB và AC, sau đó
chứng minh ∆ OHD = ∆ OKE. Vì H và K là trung điểm của AB và AC ⇒ AK = BH
mà AE = BD nên EK = DH. Theo tính chất “Trong một tam giác cân, đường trung
trực của cạnh đáy đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh”, nên ta có AO là tia
phân giác của góc A, do đó OH = OK (Tính chất: Điểm nằm trên tia phân giác của
một góc thì cách đều hai cạnh của góc) ⇒ ∆ OHD = ∆ OKE (2cgv) ⇒ OD = OE. Suy
ra đường trung trực của DE đi qua O
Giải:
A
1 2

H
D

E
K

O

1

B

C

+Cách 1:
O là giao điểm các đường trung trực của ∆ ABC ⇒ OA = OB ⇒ ∆ OAB cân
µ =µ
A1 .
tại O ⇒ B
1

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

20


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS
∆ ABC cân tại A suy ra AO là đường trung trực ứng với cạnh đáy nên AO
¶ ⇒B
µ =A
¶ .
cũng là đường phân giác của góc A, tức là µA1 = A

2
1
2
Xét ∆ OBD và ∆ OAE, có:
µ =µ
B
A1 (cmt )
1

BD = AE (gt)
OB = OA (cmt)
⇒ ∆ OBD = ∆ OAE (c.g.c)
⇒ OD = OE (2 cạnh tương ứng). Suy ra đường trung trực của DE đi qua O
+ Cách 2:
Gọi H và K là trung điểm của AB và AC. Ta có: AK = BH, AE = BD nên EK
= DH.

∆ ABC cân tại A suy ra AO là đường trung trực ứng với cạnh đáy nên AO

cũng là đường phân giác của góc A, do đó OH = OK.
Xét ∆ OHD và ∆ OKE, có:
· D = OKE
·
OH
= 900

OH = OK (cmt)
DH = EK (cmt)
⇒ ∆ OHD = ∆ OKE (2cgv)
⇒ OD = OE (2 cạnh tương ứng). Suy ra đường trung trực của DE đi qua O

b.4. Dạng toán sử dụng Tính chất đồng quy của ba đường cao của tam
giác:
Khi dạy các dạng toán liên quan đến đường cao của tam giác, giáo viên cần
giúp học sinh nắm vững các kiến thức sau:
+ Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa
cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. Mỗi tam giác có ba đường cao.
+ Tính chất ba đường cao của tam giác: Ba đường cao của một tam giác cùng
đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
+ Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường
phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
+ Trong một tam giác, nếu có hai trong 4 loại đường (đường phân giác, đường
trung tuyến, đường trung trực, đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
+ Để xác định trực tâm của tam giác, ta chỉ cần tìm giao điểm hai đường cao
của tam giác đó.
+ Nếu H là giao điểm của hai đường cao kẻ từ B và C của ∆ ABC thì
AH ⊥ BC .
+ Nếu ba đường thẳng là ba đường cao của một tam giác thì chúng cùng đi qua
một điểm.
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của
tia AC lấy điểm E sao cho AE = AD. Chứng minh rằng CD vuông góc với BE.
* Hướng dẫn:
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

21


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS

Sử dụng tính chất: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
Ta chứng minh D là giao điểm hai đường cao kẻ từ B và E của ∆ BEC (D là
trực tâm của ∆ BEC), khi đó CD ⊥ BE . Trong bài toán này, ta gọi K là giao điểm
của ED và BC, rồi chứng minh EK cũng là đường cao của ∆ BEC. Vì ∆ ABC
vuông cân tại A nên ·ACK = 450 , ∆ AED vuông cân tại A ⇒ ·AEK = 450
⇒ EK ⊥ BC mà EK I BA = { D} nên D là trực tâm của ∆ BCE ⇒ CD ⊥ BE .
Giải:
E

A

D
B

K

C

Gọi K là giao điểm của ED và BC.
∆ ABC vuông cân tại A nên ·ACK = 450 (1)
· AD = 900 nên ∆ AED vuông cân tại A ⇒ ·AEK = 450 (2)
∆ AED có AE = AD và E
Từ (1) và (2) ⇒ ∆ EKC vuông cân tại K ⇒ EK ⊥ BC
∆ BCE có BA, EK là hai đường cao, mà EK I BA = { D} nên D là trực tâm của ∆ BCE
⇒ CD ⊥ BE .
Ví dụ 2:
Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH. Vẽ điểm D sao cho AB là đường
trung trực của HD. Vẽ điểm E sao cho AC là đường trung trực của HE. DE cắt AB,
AC theo thứ tự ở I, K.

a) ∆ IDH là tam giác gì? IB là đường gì đối với ∆ IDH?
b) Chứng minh rằng HA là tia phân giác của góc IHK.
* Hướng dẫn:
a) Dựa vào tính chất: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì
cách đều hai mút của đoạn thẳng ấy. Suy ra ∆ IDH cân tại I, do đó đường trung trực
IB cũng là đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao của ∆ IDH.
b) Dùng tính chất ba đường phân giác (hoặc các đường thẳng chứa tia phân
giác của hai góc ngoài và tia phân giác của góc trong không kề) của một tam giác
cùng đi qua một điểm.
Vì ∆ IDH và ∆ KEH cân tại I và K nên hai đường trung trực IB và KC cũng là
hai đường phân giác của hai góc DIH và EKH, mà hai góc này là hai góc ngoài tại
đỉnh I và K của ∆ IHK. Ta lại có IB và KC cắt nhau tại A nên HA là tia phân giác của
góc IHK.
Giải:

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

22


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS
A

E
K

I
D
B

H

C

a) IB là đường trung trực của HD nên ID = IH ⇒ ∆ IDH cân tại I ⇒ IB là
đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực, đường cao của ∆ IDH.
b) Xét ∆ IHK có IB là đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh I, tương tự KC
là đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh K, chúng cắt nhau tại A nên HA là tia phân
giác của góc IHK.
Ví dụ 3:
Cho ∆ ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng AH, BH. Chứng minh rằng: CM ⊥ AN .
* Hướng dẫn:
Sử dụng tính chất: ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm.
Xét ∆ ABC có AH ⊥ BC , nếu có CM ⊥ AN , suy ra M là trực tâm ∆ ANC
⇒ MN ⊥ AC mà AB ⊥ AC . Như vậy phải có MN // AB. Điều này có được vì M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh HA, HB của ∆ AHB. Trong bài này ta cần vẽ
thêm yếu tố phụ là AN và MN.
Giải:
B

N
H

M
A

C

Vẽ đường thẳng MN, nối A với N. Ta có M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh HA, HB của ∆ AHB, suy ra MN là đường trung bình của ∆ AHB ⇒ MN // AB.
Mặt khác ta có: ∆ ABC vuông tại A ⇒ AB ⊥ AC ⇒ MN ⊥ AC
Xét ∆ ANC có AH ⊥ CN ( gt ); MN ⊥ AC (cmt )
Mà MN I AH = { M } ⇒ M là trực tâm của ∆ ANC ⇒ CM ⊥ AN (tính chất ba
đường cao của tam giác).

Ví dụ 4:
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

23


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Gọi C là một điểm
trên nửa đường tròn. Tia phân giác của góc CAx cắt nửa đường tròn ở E, AE và BC
cắt nhau ở K.
a) Tam giác ABK là tam giác gì? Vì sao?
b) Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh KI //Ax;
c) Chứng minh OE //BC.
* Hướng dẫn:
a) Sử dụng tính chất: Trong một tam giác, nếu có hai trong 4 loại đường
(đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực, đường cao) trùng nhau thì
tam giác đó là tam giác cân.
Ta chứng minh BE vừa là đường cao vừa là đường phân giác của ∆ ABK.
b) Sử dụng tính chất: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm.
Ta chứng minh I là giao điểm hai đường cao kẻ từ A và B của ∆ KAB (I là trực
tâm của ∆ BEC), khi đó KI ⊥ AB mà Ax ⊥ AB ⇒ KI // Ax (Hai đường thẳng phân biệt

cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau).
c) Sử dụng tính chất: Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên
đường trung trực của đoạn thẳng đó. Ta chứng minh O và E cách đều A và C. Từ đó
suy ra OE là đường trung trực của AC ⇒ OE ⊥ AC , mà BC ⊥ AC ⇒ OE // BC.
Giải:
K

x

C

E

1 2

A

I

2
1

O

B

a) ·AEB = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒ BE ⊥ AK
1
µ =µ
B

A1 (cùng bằng Sđ »AE )
1
2
¶ = ¶A (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)
B
2
2
¶ ⇒B
µ =B
¶ ⇒ BE là tia phân giác của góc ABK
Mà µA = A
1

2

1

2

∆ ABK có BE vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên ∆ ABK cân ở B.
b) ·ACB = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒ AC ⊥ BK
I là giao điểm hai đường cao trong ∆ ABK nên I là trực tâm của ∆ ABK
⇒ KI ⊥ AB , mà Ax ⊥ AB ⇒ KI // Ax.
¶ ⇒ »AE = EC
» ⇒ EA = EC . Vậy điểm E nằm trên đường trung trực
c) Vì µA1 = A
2

của AC.
Mặt khác OA = OC nên O nằm trên đường trung trực của AC

Do đó OE là đường trung trực của AC ⇒ OE ⊥ AC , mà BC ⊥ AC ⇒ OE // BC.
Ví dụ 5 :
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

24


SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy của
tam giác ở THCS

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O ; R). Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của BC, AB, AC. Tính các cạnh của tam giác ABC theo góc đối diện và R.
* Hướng dẫn:
Sử dụng tính chất : Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy
đồng thời là đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác đó.
Giải :
A

P

N

O
1

B

M

C

1·
·
» )
= BOC
Ta có : BAC
(1) (góc nt và góc ở tâm cùng chắn BC
2

∆BOC cân tại O ⇒ OM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao vừa là đường
·
µ
= 2O
(2)
phân giác ⇒ BOC
1
·
µ
=O
Từ (1) và (2) ⇒ BAC
1

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông BOM, ta được :
µ = Rsin BAC
·
⇒ BC = 2RsinA (vì BC = 2BM)
BM = OBsin O
1
Tương tự ta có : AC = 2RsinB ; AB = 2RsinC.
c. Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp:

Để thực hiện tốt các giải pháp, biện pháp nêu trên thì cần đảm bảo một số điều
kiện sau:
*Đối với giáo viên:
Phải không ngừng tìm tòi, đổi mới phương pháp dạy học cho phù hợp với đối
tượng học sinh, tạo được niềm say mê, hứng thú học tập, lôi cuốn học sinh tích cực
tham gia vào bài giảng của mình.
Phải định hướng và có sự chuẩn bị kỹ càng về hệ thống câu hỏi, bài tập về sử
dụng tính chất ba đường đồng quy của tam giác phù hợp đối tượng học sinh, lường
trước được các tình huống và các câu trả lời của học sinh để đưa ra các phương án xử
lý thích hợp. Thường xuyên chú ý việc rèn kỹ năng vẽ hình, phân tích và trình bày lời
giải bài toán Hình học cho học sinh mỗi học sinh, đặc biệt là học sinh yếu kém. Mở
rộng và nâng cao kiến thức để phát triển tư duy cho đối tượng học sinh giỏi.
Phải nắm vững kiến thức về đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung
trực, đường cao; tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác,
ba đường trung trực, ba đường cao của một tam giác và tính chất tam giác cân một
cách sâu và rộng. Nắm được các dấu hiệu bản chất của mỗi khái niệm, nhìn nhận một
vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau để có thể dễ dàng tạo ra các tình huống có vấn
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

25