bài tập về hàm so 2016

MOON.VN
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

TOÁN
Pro-S thầy Đặng Việt Hùng
Chuyên đề 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Hà Nội, tháng 9 năm 2015


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ - P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Sự biến thiên của hàm không có tham số
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính y ' và giải phương trình y ' = 0 để tìm các nghiệm.
+ Lập bảng biến thiên (hoặc chỉ cần bảng xét dấu y ' ) và kết luận trên cơ sở các điểm tới hạn.
Chú ý: Quy tắc xét dấu của hàm đa thức và phân thức.
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: [ĐVH]. Xét sự biến thiên của các hàm số sau đây:
a) y = −2 x 3 + 3 x 2 + 1.
b) y = x3 − 3x 2 + 3x + 1.
1
1
x2

d) y = x5 − x 4 − x3 +
+ 2 x − 1.
5
4
2
Lời giải:

c) y = x 4 − 2 x 2 − 1.
a) y = −2 x 3 + 3 x 2 + 1.
Tập xác định: D = R.

x = 0
Đạo hàm: y′ = −6 x 2 + 6 x = −6 x ( x − 1) 
→ y ′ = 0 ⇔ −6 x ( x − 1) = 0 ⇔ 
x =1
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x
−∞
0
1

−

y'

0

+

+∞

−

0

Vậy hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (−∞; 0) và (1; +∞).
b) y = x3 − 3x 2 + 3x + 1.
Tập xác định: D = R.
2
Đạo hàm: y′ = 3 x 2 − 6 x + 3 = 3 ( x − 1) ≥ 0 
→ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D.

Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến trên tập xác định.
c) y = x 4 − 2 x 2 − 1
Tập xác định: D = R.
x = 0
Đạo hàm: y′ = 4 x3 − 4 x = 4 x x 2 − 1 
→ y′ = 0 ⇔ 4 x x 2 − 1 = 0 ⇔ 
 x = ±1
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x
−∞
−1
0
1

(

y'

)

(

−

0

+

)

0

−

0

+∞
+

Hàm số đồng biến trên (−1; 0) và (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và (0; 1).
1
1
x2
d) y = x5 − x 4 − x3 + + 2 x − 1.
5
4
2
Tập xác định: D = R.

 x = −1
2
4
3
2
Đạo hàm: y′ = x − x − 3 x + x + 2 = ( x + 1) ( x − 1)( x − 2 ) 
→ y ′ = 0 ⇔  x = 1
 x = 2
Do ( x + 1) ≥ 0, ∀x nên dấu của y ' chỉ phụ thuộc vào biểu thức (x − 1)(x − 2).
2

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x

−∞

−1

y'

+

1

0

+

2
−

0

0

Facebook: LyHung95
+∞

+

Hàm số đồng biến trên (−∞; 1) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (1; 2).

Ví dụ 2: [ĐVH]. Xét sự biến thiên của các hàm số cho dưới đây:
x +1
x 2 + 3x + 3
a) y =
b) y =
.
.
2x − 2
x +1
2
c) y = 1 − x +
d) y = x 2 − 2 x + 2.
.
x +1

2x + 1
e) y = 2 x − x 2 .
f) y =
.
3x − 2
Lời giải:
x +1
a) y =
.
2x − 2
Tập xác định: D = R \ {1} .
Đạo hàm: y′ =

−4

( 2 x − 2 )2

> 0, ∀x ∈ D 
→ hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.

x 2 + 3x + 3
.
x +1
Tập xác định: D = R \ {−1} .

b) y =

Đạo hàm: y′ =

( 2 x + 3)( x + 1) − x 2 − 3x − 3 = x 2 + 2 x 

x = 0
→ y′ = 0 ⇔ x 2 + 2 x = 0 ⇔ 
2
2
 x = −2
( x + 1)
( x + 1)

Bảng xét dấu của đạo hàm:
x

−∞

−2

y'

+

−1
−

0

0
−

||

+∞

0

+

Hàm số đồng biến trên (−∞; 2) và (0; +∞); hàm số nghịch biến trên (−2; −1) và (−1; 0).
2
c) y = 1 − x +
.
x +1
Tập xác định: D = R \ {−1} .

Đạo hàm: y′ = −1 −

2

< 0, ∀x ∈ D 
→ hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định của nó.

( x + 1)2

d) y = x 2 − 2 x + 2.
Hàm số xác định khi x 2 − 2 x + 2 ≥ 0 ⇔ ( x − 1) + 1 > 0, ∀x 
→ D = R.
2

Đạo hàm: y′ =

(x

2

− 2x + 2

)′ =

2 x − 2x + 2
Bảng xét dấu của đạo hàm:
2

x −1
x − 2x + 2
2

x
y'


→ y ′ = 0 ⇔ x = 1.

−∞

1
−

0

+∞
+

Hàm số đồng biến trên (1; +∞) và nghịch biến trên (−∞; 1).

e) y = 2 x − x 2 .
Hàm số xác định khi 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ x ( x − 2 ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 
→ D = [ 0; 2].
′
2x − x )
(
y′ =
=
2

Đạo hàm:

2 2 x − x2

1− x
2x − x2


→ y′ = 0 ⇔ x = 1.

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

Bảng xét dấu của đạo hàm:

x

0

y'

1
+

2
−

0

Hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2).
2x + 1
f) y =
.
3x − 2
1

2 x + 1 ≥ 0  x ≥ −


 1
 2
2
Hàm số xác định khi 
⇔


→ D = − ; + ∞ \  .
2
 2
 3
 x ≠ 3
x ≠ 2

3
2
( 3x − 2 ) − 3 2 x + 1 3x − 2 − 3 ( 2 x + 1)
−3 x − 5
5
1
x
2
2
+
1
Đạo hàm: y′ =
=
=

→ y′ = 0 ⇔ x = − < −
2
2
2
3
2
( 3x − 2 )
( 3x − 2 ) . 2 x + 1 ( 3x − 2 ) . 2 x + 1

Bảng xét dấu của đạo hàm:
x
1
2
−
+∞
2
3

−

y’

||

−

 1 2
2

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên  − ;  và  ; +∞  .
 2 3
3


BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
1) y = −2 x + 5.

2) y = x 3 − 3 x + 2.

3) y = −2 x3 + 3x 2 + 2.

4) y = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 12.

5) y = x 4 − 2 x 2 + 5.

6) y = − x 4 + 4 x 2 − 1.

7) y = x 3 + x 2 + 2 x − 2.
x +1
9) y =
.
x−2
1− x
11) y =
.
3x − 2
1
13) y = x + .
x

8) y = 2 x + 3 x 2 + 1.
2x −1
10) y =
.
x +1
x2 + 3x + 3
12) y =
.

x +1
1
14) y = 2 x − 3 −
.
x +1

Dạng 2. Sự biến thiên của hàm có tham số
Phương pháp: Sử dụng các tính chất của tam thức bậc hai để giải
Xét tam thức bậc hai: f ( x ) = ax 2 + bx + c, gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình f(x) = 0, với x1 < x2
+ Nếu a > 0:

 x > x2
f ( x) > 0 ⇔ 
 x < x1
f ( x ) < 0 ⇔ x1 < x < x2

a > 0
+ f ( x ) > 0, ∀x ∈ R ⇔ 
∆ < 0
 x < x2 < α < β
a > 0 
→ 1
+ f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( α; β ) :
 α < β < x1 < x2
a < 0 
→ x1 < α < β < x2

f ( x ) > 0 ⇔ x1 < x < x2

+ Nếu a < 0:

 x > x2
f ( x) < 0 ⇔ 
 x < x1

a < 0
+ f ( x ) < 0, ∀x ∈ R ⇔ 
∆ < 0
+ f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( α; β ) :

a > 0 
→ x1 < α < β < x2
 x1 < x2 < α < β
a < 0 
→
 α < β < x1 < x2

Các ví dụ điển hình:

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm m để hàm số

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

x3
− x 2 + ( m − 1) x + m đồng biến trên R.

3
1
b) y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 nghịch biến trên R.
3

a) y =

c) y =

( m − 1) x 3 + mx 2 +
3

( 3m − 2 ) x + 2

đồng biến trên R.
Lời giải:

3

x
− x 2 + ( m − 1) x + m 
→ y′ = x2 − 2 x + m − 1
3
Hàm số đồng biến trên R khi y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ 1 − ( m − 1) ≤ 0 ⇔ m ≥ 2.

a) y =

Vậy hàm số đồng biến trên R khi m ≥ 2.
1
b) y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 

→ y ′ = − x 2 + 2mx + 3m − 2.
3
Hàm số nghịch biến trên R khi y′ ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ m 2 + ( 3m − 2 ) ≤ 0 ⇔
Vậy hàm số đồng biến trên R khi

c) y =

( m − 1) x 3 + mx 2 +

−3 − 17
−3 + 17
≤m≤
.
2
2

−3 − 17
−3 + 17
.
≤m≤
2
2

→ y ′ = ( m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 2
( 3m − 2 ) x + 2 

3
Để hàm số luôn đồng biến trên R thì y′ ≥ 0, ∀x ∈ R.
Khi m − 1 = 0 ⇔ m = 1 
→ y′ = 2 x + 1.

 1

Ta thấy hàm số chỉ đồng biên trên  − ; +∞  nên không thỏa mãn yêu cầu.
2


m − 1 > 0 m > 1
m > 1
Khi m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 
→ y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
⇔ 2
⇔
2
m − ( m − 1)( 3m − 2 ) ≤ 0 −2m + 5m − 2 ≤ 0
 ∆′ ≤ 0

m > 1

m ≥ 2
⇔ 

→ m ≥ 2.
1
m ≤
 
2
Vậy với m ≥ 2 thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên R.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

x3
− x 2 + ( m − 1) x + m đồng biến trên R.
3
2) Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3 ( 2m − 1) x + 1 đồng biến trên R.

1) Tìm m để hàm số y =

1
3) Tìm m để hàm số y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 nghịch biến trên R.
3
3
x
5
4) Tìm m để hàm số y =
+ ( m − 1) x 2 + ( 2m − 3) x + đồng biến trên R.
3
3
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC I
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính y ' và giải phương trình y ' = 0 để tìm các nghiệm.
+ Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên để kết luận về điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Chú ý: Với một số dạng hàm đặc biệt (thường là hàm vô tỉ) thì ta phải tính giới hạn tại các điểm biên để cho bảng
biến thiên được chặt chẽ hơn.
Các ví dụ điển hình:

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
a) y = 2 x3 + 3 x 2 − 36 x − 10.
b) y = x 4 + 2 x 2 − 3.
d) y =

c) y = 2 x 2 − x 4 .

1 4
x − x3 + 3.
4

Lời giải:
a) y = 2 x + 3 x − 36 x − 10.
Tập xác định: D = R.
3

2

 x = −3
Đạo hàm: y ' = 6 x 2 + 6 x − 36 = 6 x 2 + x − 6 
→ y ' = 0 ⇔ x2 + x − 6 = 0 ⇔ 
x = 2
Bảng biến thiên:
x
−∞

−3
2

(

)

y'

+

−

0

0

+∞

+
+∞

71
y

−∞

−54

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 3) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (−3; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = −3; y = 71 và đạt cực tiểu tại x = 2; y = −54.
b) y = x 4 + 2 x 2 − 3.
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: y′ = 4 x3 + 4 x = 4 x x 2 + 1 
→ y ′ = 0 ⇔ x = 0.

(

)

Bảng biến thiên:
−∞

x

0
−

y'

+∞

0

+

+∞

+∞

y
−3
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞).
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y = −3.
c) y = 2 x 2 − x 4 .
Tập xác định: D = R.
x = 0
Đạo hàm: y′ = 4 x − 4 x3 = 4 x 1 − x 2 
→ y′ = 0 ⇔ x 1 − x 2 = 0 ⇔ 
 x = ±1
Bảng biến thiên:

(

x

)

−∞

y'

(

−1
+

0

)

0
−

0

1
y

−∞

1
+

0

+∞
−

1
0

−∞

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (0; 1); hàm số nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞).
Hàm số đạt cực đại tại x = −1; y = 1 và x = 1; y = 1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y = 0.
1
d) y = x 4 − x3 + 3.
4

Tập xác định: D = R.

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

x = 0
Đạo hàm: y′ = x 3 − 3 x 2 = x 2 ( x − 3) 
→ y ′ = 0 ⇔ x 2 ( x − 3) = 0 ⇔ 
x = 3
Dấu của y’ chỉ phụ thuộc vào dấu của biểu thức (x − 3) nên ta có bảng biến thiên như hình vẽ

−∞

x

0

−

y'

0

+∞

3

−

0

+

+∞

+∞

y

−

15
4

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (3; +∞) và hàm số nghịch biến trên (−∞; 3).
15
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3; y = − .
4
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
x +1
a) y = x 1 − x 2 .
b) y = 2 x + 3 x 2 + 1.
c) y =
.
x+3
Lời giải:

a) y = x 1 − x 2 .
Hàm số xác định khi 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 
→ D = [ −1;1].

x2

Đạo hàm: y′ = 1 − x 2 −

1− x

2

=

1 − 2x2
1− x


→ y′ = 0 ⇔ 1 − 2 x 2 = 0 ⇔ x = ±

2

1
2

Bảng biến thiên:
x

−1

−
−

y'

1
2
0

1
2
+

0

+1
−

1
2

0

y
−

1
2

0

1 
 1 1 

 1 
Hàm số đồng biến trên  −
;
;1 .
 ; hàm số nghịch biến trên  −1; −
 và 
2 2
2


 2 
1
1
1
1
Hàm số đạt cực đại tại x =
;y=
và đạt cực tiểu tại x = −
;y =−
.
2
2
2
2

b) y = 2 x + 3 x 2 + 1.
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: y′ = 2 +

3x

2 x 2 + 1 + 3x


→ y ′ = 0 ⇔ 2 x 2 + 1 + 3 x = 0 ⇔ 2 x 2 + 1 = −3 x

x +1
x < 0
 x < 0
 x < 0
2

⇔ 2
⇔
⇔
→x = −
2 
 2

2
x
=
±
5
4 x + 4 = 9 x

5 x = 4 
5

Giới hạn:


1 
1
lim 2 x + 3 x 2 + 1 = lim  2 x + 3 x 1 + 2  = lim x  2 − 3 1 + 2
x 
→ −∞
x 
→−∞
x

→
−∞
x 
x



(

x +1

=

2

)

2


 = +∞


Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

( 2x + 3

)


1
x 2 + 1 = lim  2 x + 3 x 1 + 2
x 
→ +∞
x 
→+∞
x

Bảng biến thiên:
lim

x



1
 = lim x  2 + 3 1 + 2
x 
→ +∞
x



−∞

−
−

y'


 = +∞


2
5

0

+∞

Facebook: LyHung95

+∞

+

0
+∞

y

5
2 

 2

; +∞  .
Hàm số đồng biến trên  −∞; −
 ; hàm số nghịch biến trên 
5

 5

2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = −
; y = 5.
5
x +1
c) y =
.
x+3

Hàm số xác định khi x + 3 > 0 ⇔ x > −3 
→ D = [ −3; + ∞ ].

Đạo hàm: y′ =

x +1
( x + 3) + 2 
x+5
2 x + 3 = 2 ( x + 3) − x − 1 =
=
→ y ′ > 0, ∀x ∈ D.
x+3
2 ( x + 3) x + 3 2 ( x + 3) x + 3 2 ( x + 3) x + 3

x+3 −

Bảng biến thiên:
x

−3

+∞

y'

+
+∞

y
−∞

Hàm số đã cho luôn đồng biến trên miền xác định và không có cực trị.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc I:

1) y = 3x 2 − 2 x3
4) y =

x4
− x 2 + 3.
2

2) y = x3 − 2 x2 + 2 x − 1.
5) y = x 4 − 4 x 2 + 5.

1
3) y = − x 3 + 4 x 2 − 15 x.
3
x4
3
6) y = − + x 2 + .
2
2

DẠNG 2. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC II
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính y ' và giải phương trình y ' = 0 để tìm các nghiệm.
+ Tính y '' tại các giá trị nghiệm tìm được ở trên rồi kết luận.
Chú ý: Quy tắc II tìm cực trị thường được áp dụng cho các hàm số khó lập bảng biến thiên như hàm lượng giác,

hàm siêu việt, hàm vô tỉ...
Các ví dụ điển hình:

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
1
a) y = sin 2 x − x.
b) y = cos x + cos 2 x.
2
Lời giải:

c) y = x + 2 x − x 2 .

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

a) y = sin 2 x − x.
Tập xác định: D = R.
1
π
π
⇔ 2 x = ± + k 2π 
→ x = ± + kπ
2
3
6
π

π




y ′′  + kπ  = −4sin  + k 2π  = −2 3 < 0
6
3




Đạo hàm bậc hai: y′′ = −4sin 2 x 
→
 π

 π

y ′′  − + kπ  = −4sin  − + k 2π  = 2 3 > 0
6
3





Đạo hàm: y′ = 2cos 2 x − 1 
→ y ′ = 0 ⇔ cos 2 x =

Vậy hàm số đạt cực đại tại x =

Hàm số đạt cực tiểu tại x = −

π
3 π
π
 π
+ kπ; y = sin  + k 2π  − − kπ =
− − kπ.
6
2 6
3
 6

π
3 π
 π
 π
+ kπ; y = sin  − + k 2π  + − kπ = −
+ − kπ.
6
2 6
 3
 6

1
b) y = cos x + cos 2 x.
2
Tập xác định: D = R.

1

2π


cos x = −
x=±
+ k 2π


Đạo hàm: y′ = − sin x − sin 2 x = − sin x (1 + 2cos x ) 
→ y′ = 0 ⇔
2⇔
3


 x = kπ
sin x = 0
Đạo hàm bậc hai: y′′ = − cos x − 2cos 2 x
 2π

 2π

 4π
 3
y ′′  ±
+ 4nπ  = − cos  ±
+ 4nπ  − 2cos  ±
+ 8nπ  = > 0
+ Nếu k = 2n 
→
 3


 3

 3
 2
y ′′ ( 2nπ ) = − cos ( 2nπ ) − 2cos ( 4nπ ) = −3 < 0
 2π

 2π

 4π
 3
y ′′  ±
+ 4nπ + 2π  = − cos  ±
+ 4nπ + 2π  − 2cos  ±
+ 8nπ + 4π  = > 0
+ Nếu k = 2n + 1 
→
 3

 3

 3
 2
y ′′ ( π + 2nπ ) = − cos ( π + 2nπ ) − 2cos ( 2π + 4nπ ) = −1 < 0
3
 2 ; k = 2n
1
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = kπ; y = cos ( kπ ) + cos ( k 2π ) = 
2

 − 1 ; k = 2n + 1
 2
 3
− ; k = 2n
2π
 2π
 1
 4π
  4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±
+ kπ; y = cos  ±
+ kπ  + cos  ±
+ k 2π  = 
3
 3
 2
 3
  1 ; k = 2n + 1
 4

c) y = x + 2 x − x 2 .
Hàm số xác định khi 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 
→ D = [ 0; 2].
Đạo hàm:

y′ = 1 +

2 − 2x
2 2 x − x2

=

2 x − x2 + 1 − x

 x ≥ 1

→ y′ = 0 ⇔ 2 x − x2 + 1 − x ⇔ 2 x − x2 = x − 1 ⇔ 
2
2
 2 x − x = x − 2 x + 1

2x − x2
x ≥ 1

2+ 2

=1+
 x ≥ 1
 x =
⇔ 2
⇔ 
2
 2 x − 4 x + 1 = 0  
 x = 2 − 2 = 1 −
 
2

1
→x =
2 

1
2

(1 − x )2

− 2x − x −
2
2
′
1
2 x − x2 = x − 2 x − x + 2 x − 1 = −
<0
 =
2
2
2
2
2x − x
2x − x
2x − x
2x − x
2x − x2

2

 1− x
Đạo hàm bậc hai: y′′ = 

2
 2x − x

2+ 2
.
2

(

)

(

)

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Vậy hàm số đạt cực đại tại x =

Facebook: LyHung95

2+ 2
; y = 1 + 2.
2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc II:

1) y = x x 2 − 4.

2) y = x 2 − 2 x + 5.

4) y = cos 2 3 x.

5) y = sin

x
x
− cos .
2
2

3) y = x − 4sin 2 x.
6) y =

x2 − 4
.
3x − 2

DẠNG 3. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Phương pháp:
+ Hàm số có cực trị khi y ' = 0 có nghiệm và đổi dấu qua các nghiệm.
+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1; x2 thì khi đó x1; x2 là hai nghiệm của y ' = 0.
 y′ ( x0 ) = 0
+ Hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x0 khi 
 y′′ ( x0 ) < 0
 y′ ( x0 ) = 0
+ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x0 khi 
 y′′ ( x0 ) > 0
Các ví dụ điển hình:

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 2 x − 3m + 1 . Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 3.
c) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 2.
d) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = –1.
Lời giải:
2
′
a) Ta có y = 3x − 6mx + 2
Hàm số đã cho có cực trị khi y ' = 0 có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm.

6
m>

2
3
⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9m 2 − 6 > 0 ⇔ m 2 > ⇔ 
3

6
m < −
3

6
6
Vậy với m >
; m<−
thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.
3

3
b) Gọi x1; x2 là hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x1; x2 là nghiệm của phương trình y ' = 0 .
 x1 + x2 = 2m

Theo định lí Vi-ét ta có 
2
 x1 x2 = 3


 x1 + 2 x2 = 3
 x1 = 4m − 3


Theo giải thiết ta có x1 + 2x2 = 3 
→  x1 + x2 = 2m ⇔  x2 = 3 − 2m


2
2
 x1 x2 =
( 4m − 3)( 3 − 2m ) =
3
3


29

→ 8m 2 − 18m +
= 0 ⇔ 24m 2 − 54m + 29 = 0 
→ phương trình vô nghiệm.

3
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài.
c) Ta có y′′ = 6 x − 6m
7

 y′ ( 2 ) = 0
3.4 − 12m + 2 = 0 m =
7
⇔
⇔
→m = .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 khi 
6 
6
 y′′ ( 2 ) > 0 12 − 6m > 0
m < 2

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Giá trị m =

Facebook: LyHung95

7
thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm.
6

5


3 + 6m + 2 = 0 m = −
5
 y′ ( −1) = 0
d) Hàm số đạt cực đại tại x = –1 khi 
⇔
⇔
→m = − .
6 
6
 y′′ ( −1) < 0 −6 − 6m < 0
m > −1
5
Giá trị m = − thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm.
6

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + mx 2 + ( 2m + 3) x + 2. Tìm giá trị của m để
3

a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = –2.
c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 0.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = –2.
1
Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + mx 2 + ( m + 6 ) x − 1 . Tìm giá trị của m để
3

a) hàm số có cực trị.

1 1 x1 + x1
+ =
.
x1 x2
3

b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn
c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.

Bài 3: [ĐVH]. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị ?
a) y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4.
b) y = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – 1.
Bài 4: [ĐVH]. Tìm a, b để hàm số
a) y = ax4 + bx2 đạt cực trị bằng –9 tại điểm x = 3.
b) y =

ax 2 + bx + ab
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.
bx + a

c) y =

ax 2 + 2 x + b
đạt cực đại bằng 5 tại điểm x = 1.
x2 + 1

Bài 5: [ĐVH]. Tìm m để hàm số

(

)

(

)

a) y = x3 + 2 ( m − 1) x 2 + m2 − 4m + 1 x − 2 m2 + 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho

1 1 1
+ = ( x1 + x2 ) .
x1 x2 2

1
b) y = x3 − mx 2 + mx − 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho x1 − x2 ≥ 8.
3
1
1
c) y = mx3 − (m − 1) x 2 + 3(m − 2) x + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho x1 + 2x2 = 1.
3
3

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ - P2

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
III. ĐIỂM UỐN, TÍNH LỒI LÕM
Quy tắc xét tính lồi lõm, tìm điểm uốn:
Tính đạo hàm y ' rồi tính tiếp y ''
Giải phương trình y '' = 0 , từ đó tìm được tọa độ điểm uốn.
Xét dấu của y '' để kết luận:
+ nếu y '' > 0 thì đồ thị hàm số lõm.
+ nếu y '' < 0 thì đồ thị hàm số lồi.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm tọa độ điểm uốn và các khoảng lồi, lõm của đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x3 – 6x2 + 2x.
1
5
c) y = x 4 − 3x 2 + .
2
2

b) y = x3 + 6x – 4.
x4 x2
d) y =
+
− 2.
4
2

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm a, b để hàm số y = ax3 + bx2 + x + 2 nhận điểm U(1; –1) làm điểm uốn.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm m để hàm số y = x 3 +

3x 2
+ 1 nhận điểm U(–1; 3) làm điểm uốn.

m

BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Bài 1: [ĐVH]. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số
a) y = x3 + 3x2 – mx + 2 song song với đường thẳng d: y = 3x – 5.
b) y = x3 + 3mx2 – 2mx + 3 vuông góc với đường thẳng ∆: y = x – 3.
Bài 2: [ĐVH]. Tìm m, n để đồ thị các hàm số
a) y = x 4 − 2 x3 − 6 x 2 + mx + 2m − 1 có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2).
b) y = −

x3
2
− x 2 + mx + có điểm uốn nằm trên đường thẳng d : y = x + 2.
3
3

Bài 3: [ĐVH]. Tìm m, n để đồ thị các hàm số
a) y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 có điểm uốn thuộc đường thẳng d: y = x + 1.
b) y = 3x3 – 9x2 + 6x + m – 2 có điểm uốn nằm trên trục hoành.
c) y = x3 – 3mx2 + (3 + 2m2)x + m2 + 3 có điểm uốn cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy.
IV. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1) Nhắc lại một số giới hạn quan trọng
 
b c

lim ( ax n + bx n −1 + cx n − 2 ...) = lim  x n  a + + 2 + ...   =
x 
→∞
x 
→∞

x x

 
1
1

lim = 0 
→ lim n = 0
 x 
x 
→∞ x
→∞ x

1


lim + = +∞


x 
→0 x
 lim 1 = ∞ 
→
 x → 0 x
 lim 1 = −∞

 x → 0− x


 +∞ khi a > 0


 −∞ khi a < 0

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95


 0; khi m > n
a n x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 
lim
=  ∞; khi m < n
m
m −1
x 
→∞ b x + b
+ ... + b1 x + b0 
m
m −1 x
 an ; khi m = n
 bm

2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Định nghĩa: Đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị y = f(x) khi lim f ( x) = ∞
x 
→a

+ nếu lim f ( x) = +∞ thì x = a là tiệm cận đứng bên phải.
x 
→a

+ nếu lim f ( x) = −∞ thì x = a là tiệm cận đứng bên trái.
x 
→a

Cách tìm tiệm cân đứng:
Đồ thị hàm phân thức thường có tiệm cận đứng, và giá trị x = a thường là nghiệm của mẫu số, hoặc tại x = a thì hàm
số đã cho không xác định.

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số sau
x+2
x
a) y =
b) y = 2
2
x + 4x − 5
x −9
Hướng dẫn giải :

x 
a) Ta có lim 
→ x = ±3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
 = ∞ 
x 
→±3  x 2 − 9 



x =1
b) Xét phương trình x 2 + 4 x − 5 = 0 ⇔ 
 x = −5

 x+2 
 2
=∞
 x lim
1

→

 x + 4x − 5 
Ta có 

→ x = 1; x = 5 là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+
2
x


 lim
 2
=∞
 x →−5  x + 4 x − 5 
x−2
Ví dụ 2: [ĐVH]. Biện luận theo m số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 2
.
x + 3x + m
Hướng dẫn giải :

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm khác 2 của phương trình x2 + 3x + m = 0.

9
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi x2 + 3x + m = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ⇔ 9 − 4m < 0 ⇔ m > .
4
Đồ thị hàm số có một tiệm cận khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có nghiệm kép khác 2, hoặc có hai nghiệm phân
biệt, trong đó một nghiệm x = 2.

9
 ∆ = 0 ⇔ 9 − 4m = 0 ⇔ m = 4
9


→m =
4
 x = − b ≠ 2 ⇔ − 3 ≠ 2

2a
2
Điều đó xảy ra khi 

9

 ∆ > 0 ⇔ 9 − 4m > 0 ⇔ m < 4 
→ m = −10
 2
 2 + 6 + m = 0 ⇔ m = −10

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2.
9

9


 ∆ > 0 ⇔ 9 − 4m > 0 ⇔ m <
m <
Khi đó ta có 
→
4 
4
 22 + 6 + m ≠ 0 ⇔ m ≠ −10
 m ≠ −10

3) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Định nghĩa: Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị y = f(x) khi lim f ( x) = b
x 
→∞

Cách tìm tiệm cân ngang:

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận ngang khi bậc của tử số không lớn hơn bậc của mẫu số. Thông thường, với
hàm phân thức ta thường chia cả tử và mẫu số cho lũy thừa mũ cao nhất của x để tìm tiệm cận ngang.
Chú ý: Với các giới hạn mà hàm số có chứa căn thì chúng ta thực hiện theo quy tắc sau:
B C


Ax 2 + Bx + C = x 2  A + + 2  = x
x x 


A+

B C
+
=
x x2

x A+

B C
+
khi x 
→ +∞
x x2

−x A +

B C
+
→ −∞
khi x 
x x2

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau
a) y =

d) y =

x +1
.
2x − 3

b) y =

x2 + 2
.
x −3

e) y =

3 − 2x
.
x +1

c) y =

x +1
.
x − 2x + 1
2

x +1

.
2x2 + 3
Hướng dẫn giải :

x +1
3
= +∞ 
→ x = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
3
2
x 
→ 2x − 3

a) Ta có lim

2

1
1+
x +1
1
x = 1 
Mặt khác, lim
= lim
→ y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
3 2
x 
→∞ 2 x − 3
x 
→∞
2
2−
x

3 − 2x
b) Ta có lim
= +∞ 
→ x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x 
→−1 x + 1
3
−2
3 − 2x
Mặt khác, lim
= lim x
= −2 
→ y = −2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
1
x 
→∞ x + 1
x 
→∞
1+
x
x +1
c) Ta có lim 2
= +∞ 
→ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x 
→1 x − 2 x + 1
1 1
+ 2
x +1
Mặt khác, lim 2

= lim x x = 0 
→ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2 1
x 
→∞ x − 2 x + 1
x 
→∞
1− + 2
x x

d) Ta có lim

x 
→3

x2 + 2
= +∞ 
→ x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x−3

2 

2
x 2 1 + 2 
x 1+ 2
x +2
 x 
x
Xét lim
= lim

= lim
x 
→∞ x − 3
x 
→∞
x 
→∞
x −3
x−3
2
2
1+ 2
x 1+ 2
x = lim
x = 1 
Khi x 
→ +∞ thì |x| = x nên ta được lim
→ y = 1 là tiệm cận ngang.
3
x 
→+∞
x 
→+∞
x −3
1−
x
2
2
−x 1+ 2
− 1+ 2

x = lim
x = −1 
Khi x 
→ −∞ thì |x| = −x nên ta được lim
→ y = −1 là tiệm cận ngang.
3
x 
→−∞
x 
→−∞
x −3
1−
x
x +1
x +1
x +1
e) Xét lim
= lim
= lim
x 
→∞ 2 x 2 + 3
x 
→∞
x

→∞
3
3 

x 2+ 2

x2  2 + 2 
x
x 

2

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Khi x 
→ +∞ thì |x| = x nên ta được

lim

x 
→+∞

x +1
3
x 2+ 2
x

= lim

x 
→+∞

x +1
3

x 2+ 2
x

= lim

x 
→+∞

Facebook: LyHung95
1
x = 1
3
2
2+ 2
x

1+

1
là tiệm cận ngang.
2

⇒y=

Khi x 
→ −∞ thì |x| = −x nên ta được

lim

x +1

x 
→−∞

x 2+

3
x2

x +1

= lim

x 
→−∞

−x 2 +

3
x2

= lim

−1
là tiệm cận ngang.
2
4) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Định nghĩa:
Đường thẳng y = ax +b được gọi là tiệm cận xiên (TCX) của đồ thị y = f(x) khi lim

1+

x 
→−∞

1
x

− 2+

3
x2

=

−1
2

⇒ y=

x 
→∞

[ f ( x) − (ax + b)] = 0

Cách tìm tiệm cân xiên:
Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận xiên khi bậc của tử số phải lớn hơn bậc của mẫu số một bậc.
Cách 1:
f ( x)
+ Tìm hệ số a = lim

x
x 
→∞
+ Tìm b = lim [ f ( x) − ax ] . Từ đó suy ra đường tiệm cận xiên là y = ax + b.
x 
→∞

Cách 2:
Thực hiện phép chia đa thức f ( x) =
Suy ra lim

x 
→∞

g ( x)
r ( x)
r ( x)
= ax + b +
⇒ f ( x) − (ax + b) =
h( x )
h( x )
h( x)

lim
[ f ( x) − (ax + b)] = x 
→∞

r ( x)
= 0 do r(x) có bậc nhỏ hơn h(x).
h( x )

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm các tiệm cận của các đồ thị hàm số sau
a) y =

x2 + x + 1
.
x−2

b) y =

−2 x 2 + x + 3
.
2x + 1
Hướng dẫn giải :

c) y =

3x 2 + x + 3
.
x+2

x2 + x + 1
.
x−2
+) Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2.
x2 + x + 1
7
7
+) Ta có y = f ( x) =
= x −3+

⇒ f ( x) − ( x − 3) =
x−2
x−2
x−2
7
Suy ra lim [ f ( x) − ( x − 3) ] = lim
= 0 ⇒ y = x − 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
x 
→∞
x 
→∞ x − 2
−2 x 2 + x + 3
b) y =
.
2x + 1
1
+) Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x = − .
2
2
−2 x + x + 3
2
2
+) Ta có y = f ( x) =
= x +1+
⇒ f ( x) − ( x + 1) =
2x + 1
2x + 1
2x + 1
2
Suy ra lim [ f ( x) − ( x + 1)] = lim

= 0 ⇒ y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
x 
→∞
x 
→∞ 2 x + 1
3x 2 + x + 3
c) y =
.
x+2
+) Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x = −2.
3x 2 + x + 3
13
13
+) Ta có y = f ( x) =
= 3x − 5 +
⇒ f ( x) − (3 x − 5) =
x+2
x+2
x+2

a) y =

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Suy ra lim

x 
→∞

lim
[ f ( x) − (3x − 5)] = x 
→∞

Facebook: LyHung95

13
= 0 ⇒ y = 3x − 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
x+2

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm m để đồ thị hàm số y =

2 x 2 + mx − 2
có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam giác có
x +1

diện tích bằng 4.

Hướng dẫn giải :
2 x 2 + mx − 2
m
= 2x + m − 2 −
x +1
x +1
Đồ thị có tiệm cận xiên khi m ≠ 0.
Với m ≠ 0 thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = 2x + m – 2, (d).
2−m 
+) Giả sử A = d ∩ Ox, B = d ∩ Oy uy ra A 
;0  , B (0; m − 2)

 2

2−m
1
; OB = 2 − m . Tam giác OAB vuông tại O nên SOAB = OA.OB ⇒ OA.OB = 8
Ta dẽ dàng tính được OA =
2
2
2−m
m = 6
. 2 − m = 8 ⇔ (2 − m) 2 = 16 ⇔ 
⇔
2
 m = −2
Vậy m = 6 và m = –2 là các giá trị cần tìm.

+) Ta có y =

m2 + 1
. Tìm m biết rằng
x +1
a) tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 3x – 5.
1
b) tiệm cận xiên của đồ thị cách gốc tọa độ O một khoảng bằng
.
17

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2mx + m + 2 −

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1: [ĐVH]. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang các đồ thị hàm số sau :
1
2x + 3
a). y =
b) y =
1− x
x −1
d) y = 1 +

1
x2

−3x

e) y =

x2 + 3

Bài 2: [ĐVH]. Tìm các đường tiệm cận các đồ thị hàm số sau :
x2
x 2 + 3x + 4
1) y =
2) y =
x−2
1− x
3
x +2
2x
4) y = 2
5) y = 2

x −1
6 x + 11x − 10
1
−1
7) y =
8) y =
2
( 2 x − 3) 2
x + 5x + 6
x2

c) y =

1
4 − x2

x2 + 2
x −1

f) y =

x 2 + 3x + 4
x2 + 1
5 − 3x 2
6) y =
1 − x2

3) y =

9) y = x2 + x + 1

10) y = x − x 2 + 1

11) y =

13) y = x − x2 − 4 x + 1

14) y = 2 x + 1 + 4 x 2 − 2 x + 1

15) y =

17) y = 2 x − 4 x 2 − x + 2

18*) y =

16) y =

−2 x − 1
x2 + x + 2

19) y = 2 x − 3 + x 2 + x + 4

x +4
2

12) y =

x
x + x +1
2

2x2 + 1
2x −1
4x2 − 5x + 1
x −1

20) y = 3x 2 − 2 x + 4

Bài 3: [ĐVH]. Biện luận theo tham số m số tiệm cận của các đồ thị hàm số sau
b) y =

2 x 2 + mx − 4
x+m

c) y =

mx + 1
x+m

d) y =

mx3 − 1
x 2 − 3x + 2

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Bài 4: [ĐVH]. Tim m để đồ thị hàm số y =
Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y =

Facebook: LyHung95

x 2 + 2mx + m − 4
có tiệm cận xiên đi qua điểm M(1; 2).
x +1

2 x 2 + (m + 1) x − 3
x+m

a) Tìm m để đồ thị có tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1).
b) Tìm m để giao của hai tiệm cận thuộc (P): y = x 2 + 3 .
Bài 6: [ĐVH]. Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số
a) y =

x 2 + (m − 2) x + −2
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
x −1

b) y =

x 2 + mx − 1
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
x −1

c) y =

2 x 2 + 3mx − m + 2
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
x −1

Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y =

2x + m
. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các tiệm cận
mx − 1

cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.

Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y =

mx 2 + (3m + 1) x − m + 2
.
x +1

Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên ∆ biết ∆ tiếp xúc với đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R = 2 .

Bài 9: [ĐVH]. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị của các hàm số sau đến hai tiệm
cận luôn là một hằng số

a) y =

x2 − x + 1
x −1

b) y =

2 x2 + 5 x − 4
x+3

c) y =

x2 + x − 7
x −3

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x3 − 3x 2 + 4 ( C ) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( C ) .
Lời giải:

• Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:
- Giới hạn: lim y = lim ( x 3 − 3 x 2 + 4 ) = −∞ ; lim y = lim ( x 3 − 3 x 2 + 4 ) = +∞ .
x →−∞

x →−∞

x →+∞

x →+∞

x = 0

- Đạo hàm: y ' = 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔ 
x = 2
- Bảng biến thiên:
x

−∞

y’
y

0
+

−∞

0

2
−

0

+∞
+

4

+∞
0

Nhận xét: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCD = −4 ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = −8 .
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;0 ) và ( 2; +∞ ) .; hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 )

• Đồ thị.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số: y = − x 3 + 3x + 2 ( C ) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
Lời giải:

• Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:
- Giới hạn: lim y = lim ( − x 3 + 3 x + 2 ) = +∞ ; lim y = lim ( − x 3 + 3 x + 2 ) = −∞
x →−∞

x →−∞

x →+∞

x →+∞

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

 x = −1
- Đạo hàm: y ' = −3 x 2 + 3 = 0 ⇔ 
x = 1
- Bảng biến thiên:

x

−∞

y’

-1
+

0

1
−

+∞

0

+∞
+

4

y
−∞

0

Nhận xét: Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 và yCT = 0 ; hàm số đạt cực đại tại x = 1 và yCD = 4 .

Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) ; hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .

• Đồ thị.

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x3 − 4 x + 1 ( C ) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
Lời giải:
• Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:
- Giới hạn: lim y = lim ( x 3 − 4 x + 1) = −∞ ; lim y = lim ( x 3 − 4 x + 1) = +∞
x →−∞

x →−∞

x →+∞

x →+∞

2

x = 3
- Đạo hàm: y ' = 3 x 2 − 4 = 0 ⇔ 
2

x = − 3


Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

- Bảng biến thiên:
x

−2
3

−∞

y’

+

0

1+
y

2
3
−

yCT = 1 −

+

16
3 3

+∞

1−

−∞

Nhận xét: Hàm số đạt cực đại tại x = −

0

+∞

16
3 3

2
16
2
và yCD = 1 +
; hàm số đạt cực tiểu tại x =
và
3
3 3
3

16
.
3 3

2 

 2

; +∞  ;hàm số nghịch biến trên khoảng
Hàm số đồng biến trên các khoảng  −∞; −
 và 
3

 3

 2 2 
;
−

3 3

• Đồ thị.

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số: y = − x 3 + 2 x 2 + 3 ( C ) .
Lời giải:
• Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:
- Giới hạn: lim y = lim ( − x3 + 2 x 2 + 3) = +∞ ; lim y = lim ( − x3 + 2 x 2 + 3) = −∞
x →−∞

x →−∞

x →+∞

x →+∞

x = 0
- Đạo hàm: y ' = −3 x + 4 x = 0 ⇔ 
4
x =
3

2

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

- Bảng biến thiên:
x

−∞

y’

4
3

0
+

0

−

0

+∞
+

113
27

+∞
y

−∞

3

Nhận xét: Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 và yCT = 0 ; hàm số đạt cực đại tại x = 1 và yCD = 4 .

 4
4

Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  ; hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;0 ) và  ; +∞  .
 3
3

• Đồ thị.

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x3 − x 2 − x ( C ) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
Lời giải:
• Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:
- Giới hạn: lim y = lim ( x3 − x 2 − x ) = −∞ ; lim y = lim ( x3 − x 2 − x ) = +∞ .
x →−∞

x →−∞

x →+∞

x →+∞

x = 1
- Đạo hàm: y ' = 3 x − 2 x − 1 = 0 ⇔ 
1
x =
3

- Bảng biến thiên:
2

x

1
3

−∞

y’

+

y
−∞

0

1
−

0

−11
27

+∞
+
+∞

-1

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

Nhận xét: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCD = −4 ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = −8 .

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;0 ) và ( 2; +∞ ) .; hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 )

• Đồ thị.

Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hàm số: y = 2 x 3 + 1 ( C ) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( C ) .
Lời giải:

• Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:
- Giới hạn: lim y = lim ( 2 x 3 + 1) = −∞ ; lim y = lim ( 2 x 3 + 1) = +∞ .
x →−∞

x →−∞

- Đạo hàm: y ' = 6 x ≥ 0 ( ∀x ∈ R )
- Bảng biến thiên:

x →+∞

x →+∞

2

x

−∞

y’

0

+

0

+∞
+
+∞

y
−∞

Nhận xét: Hàm số không có cực trị và đồng biến trên R.
• Đồ thị.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hàm số: y = − x 3 + x 2 − 2 x

Facebook: LyHung95

( C ) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
Lời giải:

• Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:
- Giới hạn: lim y = lim ( − x 3 + x 2 − 2 x ) = +∞ ; lim y = lim ( − x 3 + x 2 − 2 x ) = −∞
x →−∞

x →−∞

- Đạo hàm: y ' = −3x + 2 x − 2 < 0 ( ∀x ∈ R )
- Bảng biến thiên:

x →+∞

x →+∞

2

x

−∞

+∞
−

y’
+∞
y

−∞

Nhận xét: Hàm số không có cực trị và nghịch biến trên R.
• Đồ thị.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x3 + 3x − 2 ( C ) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
Lời giải:
• Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:
- Giới hạn: lim y = lim ( x3 + 3 x − 2 ) = −∞ ; lim y = lim ( x3 + 3 x + 2 ) = +∞
x →−∞

x →−∞

- Đạo hàm: y ' = 3 x + 3 > 0 ( ∀x ∈ R )
- Bảng biến thiên:

x →+∞

x →+∞

2

x

−∞

y’

+∞

+
+∞

y
−∞

Nhận xét: Hàm số không có cực trị và đồng biến trên R.
• Đồ thị.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho hàm số: y = −3x3 + 3x 2 − x + 2 ( C ) .
Lời giải:

• Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:
- Giới hạn: lim y = lim ( −3 x3 + 3 x 2 − x + 2 ) = +∞ ; lim y = lim ( − x 3 + 3 x 2 − x + 2 ) = −∞
x →−∞

x →−∞

x →+∞

x →+∞

- Đạo hàm: y ' = −9 x + 6 x − 1 = − ( 3 x − 1) ≤ 0 ( ∀x ∈ R )
- Bảng biến thiên:
2

2

x

1
3

−∞
−

y’

0

+∞
−

+∞
y
−∞

Nhận xét: Hàm số không có cực trị và nghịch biến trên R.
• Đồ thị.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!