Uốn ngang phẳng

Chương VI: Uốn phẳng
1. Khái niệm về uốn phẳng:
Quan sát - Một người nhảy cầu
(H.6.1).
- Cầu trục nâng hàng
(H.6.2).
- Thanh có mặt cắt đối xứng (H.6.3).

q
m

H. 6.1

P

P

P

H. 6.3

H. 6.2
P

P

Như vậy một thanh chịu uốn phẳng không Những chỉ chịu tác dụng của các lực có đư
ờng tác dụng nằm trong mặt phẳng đối xứng và có phương vuông góc với trục thanh mà
còn chịu tác dụng của ngẫu lực nằm trong mặt phẳng đối xứng đó.

Quan sát thanh (H. 6.3) có:
+ mặt phẳng chứa các ngoại lực tác dụng gọi là mặt phẳng tải trọng.
+ Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng và mặt cắt là đường tải trọng.
+ Thanh chịu uốn được gọi là dầm

q
P

d

y m
c
a
o
z

x
Mặt phẳng tải trọng

b
(H. 6.3)

đường tải trọng


2. Nội lực trong dầm chịu uốn phẳng:
Giả sử dầm có mặt cắt đối xứng chịu uốn phẳng bởi một lực P (H.6.4).
a. Xác định phản lực tại A và B
r
Pa

m
(
F
A ) = YB .l P.a = 0 YB = l
r
Pb
m
(
F
B ) = YA .l + P.b = 0 YA = l
b.Xác định nội lực
Dùng mặt cắt 1-1 cách A một khoảng là z cắt dầm
làm 2 phần và xét cân bằng phần trái.
- Phải thêm vào mặt cắt các thành phần nội lực là: Q
và Mx.
Theo điều kiện cân bằng tĩnh học ta có:

YA

YB

P
1

A
z

C

1a

B
b

l
H.6.4

YA
1
A
z

Mx
z

1Q

Pb
:Q được gọi là lực cắt
l
Pb
=

Y
.
z
+
M
=
0

M
=
Y
.
z
=
.z :Mx được gọi mô men uốn nội lực
11
A
x
x
A
l

F
m

y

= YA - Q = 0 Q = YA =

+ định nghĩa: Một thanh chịu uốn phẳng khi trên mặt cắt của nó tồn tại đồng thời
hai thành phần nội lực đó là lực cắt Q và mô men uốn Mx


* Quy ước dấu của nội lực
- Lực cắt Q có dấu dương nếu quay
pháp tuyến ngoài của mặt cắt 900
theo chiều kim đồng hồ sẽ trùng với

Q (H.6.5 a,b)

H.6.5

YA
1
A
z

Z

1 Q

Z

Q 1

Q>0

1

A
z
b)

a)

YA
YA

- Lực cắt Q có dấu âm nếu quay pháp
tuyến ngoài 900 ngược chiều kim
đồng hồ sẽ trùng với Q (H.6.5.c.d)

1 Q
Z

A
YA

z
c)

Z

Q<0

1

1
Q 1

A
z
d)

H.6.6

- Mô men uốn có dấu dương nếu nó
làm cho phần dầm đang xét dãn thớ

dưới (H.6.6.a,b)
- Mô men uốn có dấu âm nếu nó
làm cho phần dầm đang xét dãn thớ
trên. (H.6.6.c,d)

1

Mx

Mx

1

A
z

1

Mx > 0

1

A
z
c)

1

Mx

Mx

Mx < 0

z
b)

a)
1

A

1
1

A
z
d)


3. Biểu đồ nội lực

1. Các bước vẽ biểu đồ:
a) Xác định các phản lực.
b) Phân đoạn dầm và thiết lập biểu thức Q, Mx trên từng đoạn đó.
c) Dựa vào biểu thức Q và Mx đã thiết lập để vẽ biểu đồ.
+ Với biểu đồ lực cắt:
- Nếu Q > 0 biểu diễn lên phía trên trục chuẩn.
- Nếu Q < 0 biểu diễn xuống phía dưới trục chuẩn.
+ Với biểu đồ mô men uốn:

- Nếu mô men uốn Mx > 0 (thớ dưới dãn) ta biểu diễn xuống phía dưới trục chuẩn.
- Nếu mô men uốn Mx < 0 (thớ trên dãn) ta biểu diễn lên phía trên trục chuẩn.
Tóm lại đối với biểu đồ mô men uốn ta luôn biểu diễn về phía thớ của dầm bị dãn
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Vẽ biểu đồ lực cắt và mô men uốn cho dầm AB đặt trên hai gối đỡ chịu tác dụng của
lực P (H6.7)


+ Ta có phản lực tại hai gối đỡ là:

YA =

P.b
;
l

H. 6. 7

P.a
YB =
l

YA

P

z1

A

+ Chia dầm ra hai đoạn: AC và CB.
- Trên đoạn AC dùng mặt cắt 1- 1. Khảo sát phần trái ta có:

a

1
1

z2

2

C

YB
B

b 2
l

P.b
l
P.b
Mx1 = YA .Z1 =
.Z1
l

Q1 = YA =

-

(Q1 > 0)

(6-1)

( Mx1 > 0)

(6-2)

Vậy lực cắt trên AC là hằng số bằng (Pb/l)
Với biểu đồ Mx
Cho Z1= 0 Mx1= 0;
Cho Z1= a Mx1=Pab/l

YA

Mx1
z1

z

Q1

Mx2

Pb
l

P.a
l

Mx2 = YB .Z 2 =

-

(Q2 < 0)

P.a
.Z 2
l

(6-3)

(Mx2 > 0) (6-4)

Vậy lực cắt trên CB là hằng số bằng (-Pa/l)
Với biểu đồ Mx
Cho Z2= 0 Mx2= 0;
Cho Z2= b Mx2=Pab/l

Pab
l
Mx

Q2
z2

-Pa
l

Q

- Trên đoạn AC dùng mặt cắt 2- 2. Khảo sát phần phải ta có:

Q2 = YB =

z

YB


Ví dụ 2: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh AB (H.6.8)

P=qa

Phương trình cân bằng:

mA = YB .4a + Pa m 4qa = 0
2

C
C

YB = qa

Fy = Q1 + qa + qz1 = 0

Q1 = qa qz1

YA

A

a

3a

z1

mB = YA .4a + 5Pa + 12qa 2 m = 0 YA = 4qa
Chia dầm làm 3 đoạn: (CA; AD; DB)
+ Trên đoạn CA dùng mặt cắt 1- 1 xét cân bằng phần trái:

H.6. 8
q

P=qa
z1

(6-5)

D a
D

YB
B
B

q
Mx1

C

m=qa2

z

Q1

qz12
qz12

Mx
=

qaz

mx = qa.z1 +
+ Mx1 = 0
1
1
2 (6-6)
2
Biểu đồ trên đoạn CA được vẽ như sau:
Từ (6-5) vẽ được biểu đồ Q1
- Cho z1=0 Q1= - qa
- Cho z1=a Q1= - 2qa
Từ (6-6) vẽ được biểu đồ Mx1
- Cho z1=0 Mx1= 0
- Cho z1=a Mx1= -1,5qa2

Q

C

A

-qa

D

B

-2qa
-1,5qa2

Mx C

D
A

B


+ Trên đoạn AD dùng mặt cắt 2- 2 xét cân bằng phần trái:
Fy = Q2 + qa + qz2 4qa = 0

Q2 = 3qa qz2

P=qa

(6-7)

qz22
mx = qa.z2 +
+ Mx2 4qa ( z2 a ) = 0
2
qz22
Mx2 = qaz2
+ 4qa ( z2 a )
2

C

YA
A

a
z1

(6-8)

Biểu đồ trên đoạn AD được vẽ như sau:
Từ (6-7) vẽ được biểu đồ Q2
- Cho z2=a Q2= 2qa
- Cho z2=4a Q2= - qa
Từ (6-8) vẽ được biểu đồ Mx2
- Cho z2=a Mx2= -1,5qa2
- Cho z2=4a Mx2= 0.
- Tại mặt cắt F có Q2 = 0 nên tại đó mô men uốn Mx2
có cực trị.

Mặt cắt F cách A một khoảng là: AF = 2FD=2a.
Vây:

P=qa

C

YB
B

q

z1

P=qa

D a

3a

Mx1

C

m=qa2

z2

z

Q1
YA

q
A

z2

Mx2

z

Q2

2qa
Q

C

A

F

D

x=2a

-qa

B

-qa

-2qa

Mxmax = 3qa 2 4,5qa 2 + 8qa 2 = 0,5qa 2

Có thể xác định được vị trí của mặt cắt E bằng
qz22
cách cho:
Mx2 = qaz2
+ 4qa ( z2 a ) = 0
2
Giải phương trình trên ta xác định được vị trí của
mặt cắt E có Mx2 = 0 cách C là 1,876a

H.6. 8
q

-1,5qa2
Mx C

D

E
A
1,876a

0,5qa2

B


+ Trên đoạn DB dùng mặt cắt 3- 3 xét cân bằng phần
phải:
Q3 = qa (6-9)
Fy = Q3 + qa = 0

P=qa
C

mx = Mx3 qaz3 = 0 Mx3 = qaz3 (6-10)

Biểu đồ trên đoạn DB được vẽ như sau:
Từ (6-9) vẽ được biểu đồ Q3
Thấy Q3 là hằng số bằng (- qa) nên biểu đồ là
đường thẳng song song với trục chuẩn
Từ (6-10) vẽ được biểu đồ Mx3
- Cho z3=0 Mx3= 0
- Cho z3=a Mx3= qa2.

YA
A

a
z1

P=qa

H.6. 8

q

z2

C

Q1
YA

q
A

z2

C

z3

z

Mx2

z
z
M3

Q2

2qa
Q

B

q

z1

P=qa

D a

3a

Mx1

C

YB

m=qa2

A

F

D

x=2a

-qa

Q3
z3

YB
B

B

-qa

-2qa
-1,5qa2

Mx C

D

E
A
1,876a

0,5qa2

qa2

B


4. định lý Gui-Rap-Xki

a. đạo hàm bậc nhất của lực cắt Q theo trục
z tại một mặt cắt nào đó bằng cường độ phân
bố tải trọng q tại mặt cắt đó:
dQ
=q
dz
b. đạo hàm bậc nhất của mô men uốn theo
trục z tại một mặt cắt nào đó bằng lực cắt Q
tại mặt cắt đó:
dM
=Q
dz
c. đạo hàm bậc hai của lực cắt Q theo trục
z tại một mặt cắt nào đó bằng cường độ phân
bố tải trọng q tại mặt cắt đó:
2

d M
=q
dz 2

P=qa
C

YA
A

a
z1

P=qa

H.6. 8
q

z2

C

Q1
YA

q
A

z2

C

z3

z

Mx2

z
z
M3

Q2

2qa
Q

B

q

z1

P=qa

D a

3a

Mx1

C

YB

m=qa2

A

F

D

x=2a

-qa

Q3
z3

YB
B

B

-qa

-2qa
-1,5qa2

Mx C

D

E
A
1,876a

0,5qa2

qa2

B

Ví dụ 2: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh AB (H.6.8)

P=qa

Phương trình cân bằng:

mA = YB .4a + Pa m 4qa = 0
2

YB = qa

mB = YA .4a + 5Pa + 12qa m = 0 YA = 4qa

C

Fy = Q1 + qa + qz1 = 0

A

a
z1

2

Chia dầm làm 3 đoạn: (CA; AD; DB)
+ Trên đoạn CA dùng mặt cắt 1- 1 xét cân bằng phần trái:

YA

P=qa
C

q
Mx1 z

z1
Q1

Q1 = qa qz1

qz12
qz12
mx = qa.z1 +
+ Mx1 = 0 Mx1 = qaz1 2
2
Biểu đồ trên đoạn CA được vẽ như sau:
Với biều đồ Q
- Cho z1=0 Q1= - qa
- Cho z1=a Q1= - 2qa
Với biểu đồ Mx
- Cho z1=0 Mx1= 0
- Cho z1=a Mx1= -1,5qa2

Q
-qa

-2qa
-1,5qa2

Mx

H.6. 8
q
3a

m=qa2
D a

YB
B


Ví dụ 2: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh AB (H.6.8)

P=qa

Phương trình cân bằng:

mA = YB .4a + Pa m 4qa = 0
2

C
C

YB = qa

Fy = Q1 + qa + qz1 = 0

Q1 = qa qz1

YA
A

a

3a

z1

mB = YA .4a + 5Pa + 12qa 2 m = 0 YA = 4qa
Chia dầm làm 3 đoạn: (CA; AD; DB)
+ Trên đoạn CA dùng mặt cắt 1- 1 xét cân bằng phần trái:

H.6. 8
q

P=qa
z1

(6-5)

D a
D

YB
B
B

q
Mx1

C

m=qa2

z

Q1

qz12
qz12

Mx
=

qaz

mx = qa.z1 +
+ Mx1 = 0
1
1
2 (6-6)
2
Biểu đồ trên đoạn CA được vẽ như sau:
Từ (6-5) vẽ được biểu đồ Q1
- Cho z1=0 Q1= - qa
- Cho z1=a Q1= - 2qa
Từ (6-6) vẽ được biểu đồ Mx1

- Cho z1=0 Mx1= 0
- Cho z1=a Mx1= -1,5qa2

Q

C

A

-qa

D

B

-2qa
-1,5qa2

Mx C

D
A

B


+ Trên đoạn AD dùng mặt cắt 2- 2 xét cân bằng phần trái:
Fy = Q2 + qa + qz2 4qa = 0

Q2 = 3qa qz2

P=qa

(6-7)

qz22
mx = qa.z2 +
+ Mx2 4qa ( z2 a ) = 0
2
qz22
Mx2 = qaz2
+ 4qa ( z2 a )
2

C

YA
A

a
z1

(6-8)

Biểu đồ trên đoạn AD được vẽ như sau:
Từ (6-7) vẽ được biểu đồ Q2
- Cho z2=a Q2= 2qa
- Cho z2=4a Q2= - qa
Từ (6-8) vẽ được biểu đồ Mx2
- Cho z2=a Mx2= -1,5qa2

- Cho z2=4a Mx2= 0.
- Tại mặt cắt F có Q2 = 0 nên tại đó mô men uốn Mx2
có cực trị.
Mặt cắt F cách A một khoảng là: AF = 2FD=2a.
Vây:

P=qa

C

YB
B

q

z1

P=qa

D a

3a

Mx1

C

m=qa2

z2

z

Q1
YA

q
A

z2

Mx2

z

Q2

2qa
Q

C

A

F

D

x=2a

-qa

B

-qa

-2qa

Mxmax = 3qa 2 4,5qa 2 + 8qa 2 = 0,5qa 2

Có thể xác định được vị trí của mặt cắt E bằng
qz22
cách cho:
Mx2 = qaz2
+ 4qa ( z2 a ) = 0
2
Giải phương trình trên ta xác định được vị trí của
mặt cắt E có Mx2 = 0 cách C là 1,876a

H.6. 8
q

-1,5qa2
Mx C

D

E
A
1,876a

0,5qa2

B


- Nêu được khái niệm và định nghĩa một thanh chịu uốn phẳng.
- Chỉ ra được các thành phần nội lực trên mặt cắt của thanh.
- Quy ước dấu của lực cắt và mô men uốn nội lực.
- Thứ tự các bước vẽ biểu đồ nội lực.
- Vận dụng định lý Gui-Rap-Xki để kiểm tra biểu đồ đã vẽ.

Câu hỏi và bài tập
Câu 1: Nêu định nghĩa thanh chịu uốn phẳng? lấy ví dụ trong thực tế?
Câu 2: Nêu các bước vẽ biểu đồ nội lực của một dầm chịu uốn phẳng?
Câu 3: Vẽ biểu đồ nội lực cho các dàm chịu uốn dưới đây:
P=4kN

q=10kN/m
A

C

B
3a

2a

P=3kN
C

1m
c)

2m
b)

1m

D

P=20kN

A

D
2m

C
2m

d)

B
1m

1m

m=10kNm

q=2kN/m

D

C

A

a

a)

A

D

P=3kN

q=10kN/m

B
2m