SKKN Tọa độ phẳng

sở giáo dục và đào tạo tỉnh yên bái
trờng trung học phổ thông trần nhật duật
báo cáo chuyên đề
toạ độ phẳng
Ngời viết: Ma Đình Khải
Tổ: Toán
Trờng thpt trần nhật duật
Năm học: 2007 - 2008
1
phần 1: phần mở đầu
A. lý do chọn đề tài
I, lý do pháp chế:
- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục thờng xuyên của ngành giáo
dục ở bậc phổ thông trung học.
- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học tập
bộ môn Hình giải tích.
II, cơ sở lý luận:
Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Toán học trình bày trong các tài liệu.
III, cơ sở thực tiễn
Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy bộ môn Hình giải tích và nhất
là toạ độ phẳng
B. nhiệm vụ yêu cầu:
I, nhiệm vụ:
- Những nội dung chính của phần toạ độ phẳng:
+ Xác định toạ độ và mô đun của một véc tơ.
+ Tìm véc tơ tổng, véc tơ hiệu và véc tơ tích.
+ Điều kiện để hai véc tơ vuông góc.
+ Điểm chia đoạn thẳng theo một tỷ số.
+ Tìm góc giữa hai véc tơ.
+Các bài toán về chọn hệ trục toạ độ.
- Đề cập đến một số bài toán sử dụng toạ độ phẳng.

II, yêu cầu :
- Giúp học sinh nắm vững những kiến thức cơ bản của phần toạ độ phẳng và thành
thạo trong việc tính toán toạ độ của một điểm, một véc tơ, tính độ dài một đoạn
thẳng, số đo góc giữa hai véc tơ, quan hệ cùng phơng hoặc vuông góc giữa hai véc tơ,
ba điểm thẳng hàng.
- Giúp học sinh sử dụng kiến thức toạ độ phẳng để giải một số bài toán: lập phơng
trình đờng thẳng, lập phơng trình tiếp tuyến với đờng tròn...
C. giới hạn của đề tài:
- Những kiến thức cơ bản của toạ độ phẳng trong chơng trình phổ thông trung học:
+ Xác định toạ độ và mô đun của một véc tơ.
+ Tìm véc tơ tổng, véc tơ hiệu, véc tơ tích.
+ Điều kiện để hai véc tơ vuông góc.
+ Điểm chia đoạn thẳng theo một tỷ số.
+ Tìm góc giữa hai véc tơ.
+ Các bài toán về chọn hệ trục toạ độ.
- Vận dụng toạ độ phẳng để giải một số bài toán:
+ Lập phơng trình đờng thẳng.
+ Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
+Tìm góc giữa hai đờng thẳng.
+Lập phơng trình tiếp tuyến với đờng tròn.
2
D. Đối tợng nghiên cứu:
Học sinh khối 12 bậc phổ thông trung học.
E. Phơng pháp nghiên cứu:
- Tham khảo các tài liệu.
- Tham gia đầy đủ các lớp học bồi dỡng do sở giáo dục tổ chức, các buổi sinh hoạt tổ,
nhóm chuyên môn.
F. thời gian nghiên cứu:
trong suốt quá trình đợc phân công giảng dạy khối 12 bậc phổ thông trung học.
phần II: nội dung đề tài

A. toạ độ phẳng
* Vấn đề 1: Xác định toạ độ và mô đun của một véc tơ.
I. Lý thuyết:
Cho hai điểm A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
)
Thì
AB
= ( x
B
- x
A
; y
B
-y
A
) (1)
Véc tơ
AB
có mô đun: |
AB
| =
22
)()(

ABAB
yyxx
+
(2)
Véc tơ
a
= (a
1
;a
2
) thì |
a
| =
2
2
2
1
aa
+
(3)
Điều kiện cần và đủ để
a
= (a
1
;a
2
) cùng phơng
b
= (b
1

;b
2
) là a
1
b
2
- a
2
b
1
= 0
(4)
Véc tơ đơn vị
e
= (e
1
;e
2
) có |
e
| =
2
2
2
1
ee
+
= 1 (5)
II. Bài tập:
Cho 2 điểm A(1;2), B(3;4)

a, Tìm toạ độ và mô đun của
AB
b, Tìm toạ độ của véc tơ đơn vị cùng phơng với
AB
Giải:
a, Ta có x
A
= 1; y
A
= 2; x
B
= 3; y
B
= 4
Theo công thức (1) thì toạ độ của véc tơ
AB
là:
AB
= (2;2)
Theo công thức (2): |
AB
| =
22
b, Gọi
e
= (e
1
;e
2
) là véc tơ cùng phơng với

AB
Vì
e
là véc tơ đơn vị nên từ (5): |
e
| =
2
2
2
1
ee
+
= 1
Vì
e
cùng phơng với
AB
nên theo (4): 2e
1
- 2e
2
= 0
Giải hệ phơng trình





=
+

022
21
2
2
2
1
ee
ee








=
=
2
2
2
2
2
1
e
e
Vậy có 2 véc tơ đơn vị cùng phơng với véc tơ
AB
là:
e

= (
2
2
;
2
2
) và
e

= (-
2
2
;
2
2

)
* Vấn đề 2: Tìm véc tơ tổng, véc tơ hiệu, véc tơ tích
3
I, Lý thuyết:
Cho
a
= (a
1
; a
2
),
b
= (b
1

;b
2
), k

R
a
=
b





=
=
22
11
ba
ba
(6)
a

b
= (a
1

b
1
; a
2

2
b

)
k
a
= (ka
1
;ka
2
)

a
+

b
= (

a
1
+

b
1
;

a
2
+

b
2
)
a
cùng phơng
b


b
= k
a
(7)
II, Bài tập:
1, Cho
a
= (2;4),
b
(-3;1),
c
(5;-2). Tìm toạ độ của véc tơ
a,
m
= 2
a
+ 3
b
- 5
c
b,
n

= 24
a
+ 14
c
Giải:
a, Gọi
m
= (m
1
; m
2
)
m
= 2
a
+ 3
b
- 5
c

m
1
=- 30, m
2
=21
Vậy
m
= (- 30; 21)
b, Gọi
n

= (n
1
; n
2
)
n
= 24
a
+ 14
c


n
1
= 118; n
2
= 68
Vậy
n
= (118; 68)
2, trong mặt phẳng oxy cho A(2;-1), B(0;3), C(4;2). Tìm toạ độ của M để
2
AM
+ 3
BM
- 4
CM
=
0
Giải:

Gọi điểm M(x
M
;y
M
) ta có: 2
AM
+ 3
BM
- 4
CM
=
0





=++
=+
0)2(4)3(3)1(2
0)4(4)0(3)2(2
MMM
MMM
yyy
xxx

=
=
1
12
M
M
y
x
hay M(-12; -1)
* Vấn đề 3: Điều kiện để 2 véc tơ vuông góc
Cho
a
= (a
1
; a
2
),
b
= (b
1
;b
2
) thế thì
a

b


a
1

b
1
+ a
2
b
2
= 0 (8)
Bài tập: Cho A(2;3), B(9;4), M(5;y), P(x
1
;-2)
a, Tìm y để tam giác AMB vuông tại M.
b, Tìm x để 3 điểm A,P,B thẳng hàng.
Giải:
a, Ta có
AM
= (3;y-3),
BM
=(-4;y-4). Tam giác AMB vuông tại M

AM

BM

AM
BM
= 0

y
2
- y = 0

y = 0; y= 7
Vậy với y = 0; y= 7 thì tam giác AMB vuông tại M
b, Để 3 điểm A,B,P thẳng hàng thì 2 véc tơ
AB
,
AP
cùng phơng
mà
AB
= (7;1),
AP
= (x-2;-5) theo công thức (4) ta có:
AB
,
AP
cùng phơng
4

-35 - x +2 = 0

x= -33
Chú ý: Để chứng minh 3 điểm A,P,B thẳng hàng ta chứng minh:
AB
,
AP
cùng ph-
ơng, hoặc
AP
,

BP
cùng phơng, hoặc
AB
,
BP
cùng phơng.
Bài tập: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2;-1), B(0;3), C(4;2). Tìm toạ độ trực tâm H
của tam giác ABC
Giải:
H là trực tâm tam giác ABC






ACBH
BCAH




0
0
=
=
ACBH
BCAH

=+
=
0932
094
HH
HH
yx
yx







=
=
7
9
18
H
H
y
x
hay H(
7
18

;
7
9
)
* Vấn đề 4: Điểm chia trên đoạn thẳng theo một tỉ số.
Cho 2 điểm A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
). Điểm M(x
M
; y
M
) chia đoạn thẳng AB theo
một tỉ số k

-1. Tức là:
MBkAM =
Toạ độ của M là

+
+
=
+
+
=
k
kyy
y
k
kxx
x
BA
M
BA
M
1
1
(9)
Đặc biệt khi k = 1 thì M là trung điểm của AB và toạ độ trung điểm của đoạn thẳng
AB là:








+

=
+
=
2
2
BA
BA
yy
y
xx
x
(10)
Bài tập:
Bài 1: Cho 3 điểm A(2;1), B(2;-1), C(-2;-3)
a, Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
b, Tìm toạ độ tâm M của hình bình hành.
Giải:
a, Gọi D(x;y) khi ABCD là hình bình hành thì ta có:
AD
=
BC
5
M
D
C
B
A
Mà
AD
= (x-2;y-1),

BC
=(-4;-2)

AD
=
BC




=
=
21
42
y
x




=
=
1
2
y
x
Vậy: D(-2;-1)
b, Tâm M của hình bình hành là giao điểm của hai đờng chéo. Vậy M là trung điểm
của đoạn thẳng AC. Theo công thức (10) ta có:

+
=
+
=
2
)3(1
2
)2(2
M
M
y
x




=
=
1
0
M
M
y
x

Vậy M(0;-1)
Bài 2: Cho các điểm A(2;6), B9-3;-4), C(5;0)
a, Tìm toạ độ trọng tâm, trực tâm và tâm đờng tròn ngoại tiếp tamgiác ABC
b, Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng BC với hai đờng phân giác trong và ngoài
của góc A.
c, Tìm toạ độ tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC
Giải :
a,
+ Gọi G(x;y) là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC. Trọng tâm
G là giao điểm của các đờng trung tuyến và là điểm chia trung tuyến thành hai đoạn
thẳng theo tỷ số
bằng 2

AG
= 2
GM

GM
AG
= 2
Gọi toạ độ của M(x
M
;y
M
) theo công thức (10) ta có:



=
=

2
1
M
M
y
x
Theo công thức (9) ta tính toạ độ (x;y) của G:
từ
GM
AG
= 2








+
+
=
+
+
=
21
)2(26
21
1.22
y

x








=
=
3
2
3
4
y
x


G(
3
2
;
3
4
)
6
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
0
=++

GCGBGA









++
=
++
=
3
3
CBA
G
CBA
G
yyy
y
xxx
x

=
=
3
2
3
4
G
G
y
x

+ Ta có A(2;6). B(-3;-4), C(5;0) nên
AB
(-5;-10),
BC
(8;4),
AC
(3;-6)



AC
BC
= 0. Vậy
AC

BC
hay tam giác ABC vuông tại C.

Do đó trực tâm của tam giác chính là C(5;0)
+ Tâm I của đờng tròn ngoại tiếp
là trung điểm của cạnh huyền AB nên I(
2
1

;0)
b, Toạ độ giao điểm D của đờng phân giác trong của góc A với cạnh BC.
Điểm D là điểm chia cạnh BC thành 2 đoạn tỉ lệ với 2 cạnh bên nên
AC
AB
DC
BD
=
Theo (1) ta có |
AB
| =
55125
=
; |
AC
| = AC =
45
= 3
5

Vậy
3
5
=

DC
BD
áp dụng (9) ta có:






=
=
2
3
2
D
D
y
x
Vậy D(2;
)
2
3

Tơng tự trên, nếu gọi E là giao của phân giác ngoài của góc A với cạnh BC thì:
3
5
=
EC
BE
Ta có

=


=
3
5
1
0.
3
5
4
3
5
1
5.
3
5

3
E
E
y
x




=
=
6
17
E
E
y
x

Vậy E(17;6)
c, Tâm K của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC là
giao điểm của các đờng phân giác trong của tam
giác.Nh vậy trong tam giác ABD, BK là đờng phân giác của góc B
Vậy K là điểm chia đoạn AD theo tỷ số bằng tỷ số của các cạnh AB, DB.
Ta có: BD =
2
25
)4
2
3
()32(

22
=+++
, AB = 5
5
7
I
C
B
A
F
K
B
C
D
B
A